Circuit équivalent de la machine asynchrone en régime permanent Handy Fortin Blanchette Département de génie électrique TABLE 1 – Modifications au document. Date Modification 22/09/2011 Ajout de l’exercice 2 23/09/2011 Correction de l’équation (1.14) (Lr ) est remplacé par LR 23/09/2011 Correction de l’équation (1.14) (Ls ) est remplacé par LS 23/09/2011 Correction de l’équation (1.15) (Llr ) est remplacé par LR 13/10/2011 Correction de l’équation (1.7) ωe il manquait un carré à ce terme ωe2 04/09/2012 Révision du document. Nouveau formattage des pages. 08/09/2014 Correction du titre. ′ ′ ′ ′ 1.1 Modèle en régime permanent Le modèle par phase de la machine asynchrone est obtenu à partir des équations dynamiques.Le modèle équivalent est présenté à la figure 1. Ce modèle est obtenu en supposant les tensions au rotor nulles, ce qui s’applique aux machines à cage d’écureuil car les conducteurs rotoriques sont court-circuités aux extrémités par des bagues métalliques conductrices. Le courant efficace circulant dans la phase du modèle équivalent, identifié par I˜as sur la figure 1, est calculé à partir de l’impédance. L’impédance équivalente (Z) pour une phase est donnée par la relation (1.1). ′ Z= rs rr s ′ + ωe2 (L2M − LS LR ) + jωe ′ rr s ′ ′ rr L s S ′ + rs L R (1.1) + jωe LR ′ où rs est l’impédance statorique en (Ω), rr est la résistance rotorique reportée au stator en (Ω), ωe est la √ fréquence angulaire du réseau en (rad/s), s est le glissement (en P.U.) et j = −1. Le glissement s est IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques 1 Branche statorique RS Branche rotorique Lls L’ lr r’r Ias Vas Rp ( ) LM Branche de magné!sa!on r’r 1-s s Résistance mécanique F IGURE 1 – Modèle équivalent de la machine asynchrone pour une phase. défini comme suit : s= ωe − ωr(e) ωe (1.2) où ωr(e) est la vitesse angulaire électrique du rotor. La vitesse angulaire électrique du rotor est obtenue en multipliant la vitesse angulaire mécanique (ωr(mec) ) par le nombre de paires de pôles de la machine (p). (Notez : p minuscule pour le nombre de paires de pôles et P majuscule pour le nombre de pôles). ωr(e) = pωr(mec) (1.3) ′ Les inductances LS et LR sont définies comme suit : LS = Lls + LM (1.4) et ′ ′ LR = Llr + LM (1.5) ′ où LM représente l’inductance de magnétisation, Lls est l’inductance de fuite du stator et Llr est l’inductance de fuite du rotor reportée au stator. À partir de l’impédance définie en (1.1), il est possible de déterminer le module du courant circulant dans la phase |I˜as | (A) en utilisant la relation (1.6) |I˜as | = |Ṽas | |Z| (1.6) où |Ṽas | est la tension de phase efficace appliquée à l’enroulement statorique. Le couple électromagnétique IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques 2 (Te ) développé par la machine en fonction du courant est donné par la relation (1.7) 3 Te = P 2 ′ ωe L2M rsr |I˜as |2 ′ 2 ′ rr + ωe2 LR2 s (1.7) Le couple électromagnétique peut également être exprimé directement en fonction de la tension appliquée à la phase par l’équation (1.8) Te = 3 rs rr′ + sωe2 (L2M P 2 ′ ωe L2M rr s|Ṽas |2 2 ′ ′ − LS LR ) + ωe2 (rr′ LS + srs LR )2 (1.8) où |Ṽa s| est le module de la tension appliquée à la phase (en Volts). En effectuant l’examen des expressions (1.7) et (1.8), on observe que pour un glissement nul (s = 0), le couple développé est nul. Ceci s’explique par le fait que lorsque le rotor tourne à la vitesse synchrone, le flux magnétique circulant dans les pôles du rotor ne varie plus temporellement. Un flux invariant dans le temps ne produit pas de tension dans les mailles formées par les barres métalliques du rotor et donc, il n’y a aucun courant résultant. Puisque le couple électromagnétique est développpé par l’interraction des courants statoriques et rotoriques, le couple est nul lorsque les courants rotoriques sont nuls. Dès que la vitesse du rotor diminue en bas de la vitesse synchrone, il y a induction de courants rotoriques et un couple électromagnétique apparaı̂t à nouveau. L’augmentation de la charge sur l’arbre de la machine a donc pour effet de réduire la vitesse et ainsi, augmenter le couple. Toutefois, il y a une limite de charge qu’il faut respecter. En effet, si l’arbre est trop chargé et que le glissement devient trop important, le rotor se décroche du champ tournant. La valeur du couple à laquelle ce décrochage survient se nomme couple de décrochage. Il est possible, en dérivant l’expression (1.7) par rapport à s et en posant la dérivée égale à zéro de trouver la valeur du glissement à la valeur du couple de décrochage. Cette valeur notée sm est donné par la relation (1.9) ′ s m = rr G (1.9) où r 2 1 ωe G = ±p rs2 + L2S (L2M − LS LR )2 ωe2 + rs2 LR2 ′ ′ IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques (1.10) 3 La provenance du signe ± provient du fait que la machine peut être opéréé en mode moteur ou générateur. En mode moteur, pour une vitesse positive, le glissement est positif. En utilisant la valeur du glissement lors du décrochage, il est possible de déterminer la valeur du couple de décrochage. Le couple de décrochage (Te(max) ) est obtenu en substituant les relations (1.9) et (1.10) dans l’équation (1.8). Te(max) = 3 rs + Gωe2 (L2M P 2 ωe L2M G|Ṽas |2 2 ′ ′ − LS LR ) + ωe2 (LS + Grs LR )2 (1.11) Le glisssement n’est pas seulement utile pour calculer le couple : il permet également l’étude de la fréquence des courants rotoriques. Tel que mentionné précédemment, lorsque le rotor tourne à la vitesse synchrone, il n’y a plus d’induction dans les barres du rotor et donc, il n’y a plus de courants. La fréquence des courants induits est alors égale à zéro. À l’extrême, si le rotor est bloqué, il subit une fréquence angulaire d’induction égale à la fréquence angulaire du champ tournant (qui est à la fréquence angulaire synchrone). Il existe donc une relation entre la fréquence des courants rotoriques et la vitesse de rotation de la machine. Cette relation est exprimée par : ωir = sωe (1.12) où ωir est la fréquence angulaire des courants induits dans les conducteurs du rotor. 1.2 Identification des paramètres L’identification des paramètres du modèle s’effectue à partir de trois mesures expérimentales 1. La mesure en courant continu de la résistance des enroulements statoriques 2. Le test à rotor bloqué 3. Le test à la vitesse synchrone 1.2.1 Résistance des enroulements statoriques La première mesures consiste à appliquer une source à courant continu entre deux bornes statoriques afin de mesurer la résistance. Pour une tension Vdc et un courant idc , la résistance statorique (rs ) est donnée par : rs = 1 Vdc 2 idc IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques (1.13) 4 Le facteur 1/2 de l’équation (1.13) provient du fait que généralement, un seul conducteur par phase est disponible à l’extérieur de la machine. Puisque la source de tension ne peut être appliquée qu’entre deux phases, il faut diviser la résistance par 2. 1.2.2 Test à rotor bloqué Le second test est le test à rotor bloqué. Lorsque le rotor d’un moteur asynchrone est bloqué (vitesse mécanique nulle), le glissement correspondant est égal à 1. Dans ce cas, la branche comprenant l’inductance de magnétisation LM et la résistance associée aux pertes ferromagnétiques RP est en parallèle ′ ′ avec l’inductance de fuite rotorique reportée au stator Llr et la résistance rotorique reportée au stator rr . L’impédance de la branche rotorique étant beaucoup plus faible que celle de magnétisation, l’impedance équivalente du circuit peut être approximée en considérant l’impédance de la branche rotorique seulement. En utilisant cette hypothèse, on obtient le circuit équivalent en rotor bloqué illustré à la figure 2. RS Lls L’ lr r’ r s Ias Vas F IGURE 2 – Modèle équivalent de la machine asynchrone en rotor bloqué. L’impédance mesurée en utilisant le circuit équivalent de la figure 2 comporte quatre éléments : la résistance statorique (rs ), l’inductance de fuite statorique (Lls ), l’inductance de fuite rotorique reportée ′ ′ au stator (Llr ) et finalement, la résistance rotorique reportée au stator (rr ). Il est important de remarquer ′ que l’inductance de fuite totale qui sera mesurée par ce test est la sommation de Llr et de Lls . À priori, il n’existe pas de méthode pour dissocier ces deux inductances. La procédure de test standardisée d’identification des paramètres des machines asynchrones (IEEE Std.112-1996) propose la table (2) qui indique des rapports empiriques entre les deux inductances en fonction de la classe des moteurs. En utilisant ces rapports, il est possible de dissocier les deux inductances. 1.2.3 Test à la vitesse synchrone Le test à la vitesse synchrone vise l’identification de l’inductance statorique LS définie par l’équation (1.4). Puisque la vitesse du rotor est égale à la vitesse du champ tournant, le glissement est égal à 0. Cette IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques 5 TABLE 2 – Distribution empirique des inductances de fuite des moteurs d’induction selon la norme IEEE Std.112-1996. ′ Classe Description Fraction Lls Fraction Llr A Couple de démarrage normal, courant de démarrage normal 0.5 0.5 B Couple de démarrage normal, faible courant de démarrage 0.4 0.6 C Couple de démarrage élevé, faible courant de démarrage 0.3 0.7 D Couple de démarrage glissement élevé 0.5 0.5 élevé, ′ condition impose que le terme rr /s dans le modèle équivalent de la figure 1 soit égal à l’infinie. La branche contenant la résistance et l’inductance de fuite rotorique disparaı̂t et seule la branche de magnétisation en série avec l’inductance de fuite statorique (Lls ) et la résistance statorique (rs ) demeure. Le circuit équivalent est illustré à la figure 3. RS Lls Ias Vas Rp LM F IGURE 3 – Modèle équivalent de la machine asynchrone entraı̂née à la vitesse synchrone. 1.2.4 Facteur de dispersion et constante de temps rotorique À partir des données receuillies expérimentalement, il est possible de calculer deux paramètres utilisés dans la modélisation des machines électriques. Il s’agit du facteur de dispersion (σ) et le constante de temps rotorique (τr ). Le facteur de dispersion est défini par l’équation (1.14) : σ =1− L2M ′ LR LS (1.14) ′ Les inductances LS et LR sont définies aux équations (1.4) et (1.5) respectivement. L’inductance de magnétisation LM peut être déduite à partir des tests proposés aux sections 1.2.1, 1.2.2 et 1.2.3. La mesure de la dispersion permet de quantifier la quantité de flux qui n’est pas utile à la conversion électromécanique IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques 6 ′ (flux de fuite). Par exemple, si les inductances de fuite Lls et Llr sont nulles, le facteur de dispersion est égal à zéro. Plus l’on augmente la valeur des inductances de fuite, plus le facteur de dispersion augmente également. Finalement, la constante de temps rotorique est définie par l’équation (1.15). ′ τr = LR rr′ IGEE405/ELE4455 - Systèmes électromécaniques (1.15) 7
