Equations différentielles

4 Equations différentielles linéaires
4.1 Equations di↵érentielles linéaires du premier ordre
4.1.1
Définition
Définition 80.
Soient a, b : I ! K des fonctions continues. L’équation
(E) :
y 0 + a(x)y = b(x)
est appelée équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1 définie sur I en l’inconnue y. Une solution de cette
équation di↵érentielle est une fonction y : I ! K dérivable vérifiant :
8 x 2 I , y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x).
Exemple :
— (E) : y 0 + 2xy = x est une équation linéaire d’ordre 1 définie sur R.
On vérifie par le calcul que les fonctions données par
y(x) =
1
+ e
2
x2
avec
2R
sont solutions. On montrera dans ce qui suit, qu’il n’y en a pas d’autres.
— L’équation
(E) : (1 + x2 )y 0 = 1 xy
n’est pas proprement une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1, car il y’a ici une fonction de x en facteur
de y 0 et les membres ne sont pas correctement organisés. Cependant, elle se ramène à une équation d’ordre
un. Car on peut dire que l’équation di↵érentielle (E) est équivalente à l’équation di↵érentielle
y0 +
4.1.2
x
1
y=
.
2
1+x
1 + x2
Remarque :
Les solutions de (E) sont des fonctions de classes C 1 , car leur dérivée est nécessairement continue.
4.1.3
Problème de Cauchy.
Soit
(E) :
y 0 + a(x)y = b(x)
une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1 définie sur I .
Définition 81.
Pour x0 2 I et y0 2 K données, le problème de Cauchy consiste à déterminer les solutions de (E) vérifiant
la condition (dite initiale) y(x0 ) = y0 .
35
Théorème 82.
Soient a, b : I ! K des fonctions continues, x0 2 I et y0 2 K. Il existe une unique solution sur l’intervalle
I de l’équation di↵érentielle
(E) : y 0 + a(x)y = b(x)
vérifiant la condition initiale y(x0 ) = y0 .
Preuve :
— Unicité : Soit y une solution du problème posé.
Considérons A la primitive de a qui s’annule en x0 ; celle-ci existe car la fonction a est continue sur I. On a :
(y(x)eA(x) )0 = (y 0 (x) + a(x)y(x))e A(x) = b(x)e A(x) .
Considérons maintenant B, la primitive de x 7! b(x)e A(x) qui s’annule en x0 ; celle-ci existe car la fonction
x 7! b(x)e A(x) est continue sur I. On obtient,
8 x 2 I , y(x)e A(x) = B(x) + y0 .
Finalement
8 x 2 I , y(x) = (B(x) + y0 )e
A(x)
ce qui détermine la fonction y de façon unique.
— Existence : Considérons A la primitive de a qui s’annule en x0 et B la primitive de x 7! b(x)eA(x) qui s’annule
en x0 .
Soit y : I ! K la fonction définie par :
y(x) = (B(x) + y0 )e
D’une part y(x0 ) = (B(x0 ) + y0 )e
A(x0 ) , = y .
0
A(x)
, 8x 2 I.
D’autre part, y est dérivable sur I et
8 x 2 I , y 0 (x) = a(x)y(x) + B0 (x)e
donc
A(x)
8 x 2 I , y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x).
Ainsi y est solution de l’équation di↵érentielle étudiée et satisfait la condition initiale y(x0 ) = y0 .
Exemple :
Soit a 2 R. Il existe une unique solution sur R au problème de Cauchy
y 0 (x) = ay(x) et y(0) = 1.
Cette solution est la fonction x 7! e ax .
4.1.4
Remarque :
En pratique, la formule solution proposée par ce théorème n’est pas employée même si la démarche d’obtention
peut être remise en place.
4.1.5
Principe de résolution
Soit
(E) :
y 0 + a(x)y = b(x)
une équation di↵érentielle linéaire d’ordre un définie sur I .
36
Définition 83.
L’équation
y 0 + a(x)y = 0
(E0 ) :
est appelée équation homogène associée à l’équation di↵érentielle (E).
Exemple :
l’équation homogène associée à l’équation
y 0 = xy + 1
(E) :
est l’équation
(E0 ) :
y0
xy = 0.
Théorème 84.
Si y1 désigne une solution particulière de l’équation (E), alors les solutions de (E) sont toutes les fonctions de la forme
x 7! y1 (x) + y0 (x),
avec y0 solution de l’équation homogène associée (E0 ).
Preuve :
Supposons que y1 est solution de (E) sur I. Soit y : I ! K une fonction dérivable.
y est solution de (E) sur I si, et seulement si,
8 x 2 I , y 0 (x) + a(x)y(x) = b(x).
i. e. ;
ce qui est équivalent encore à
8 x 2 I, y 0 (x) + a(x)y(x) = y10 (x) + a(x)y1 (x)
8 x 2 I, (y
y1 )0 (x) + a(x)(y
ainsi y est solution de E sur I si, et seulement si, y
y1 )(x) = 0
y1 est solution sur I de l’équation homogène (E0 ).
Protocole : Pour résoudre une équation di↵érentielle
(E) :
—
—
—
—
4.1.6
y 0 + a(x)y = b(x)
On présente le type d’équation di↵érentielle ;
On résout l’équation homogène associée : y0 (x) = · · · ;
On détermine une solution particulière : y1 (x) = · · · ;
On exprime la solution générale : y(x) = y1 (x) + y0 (x).
Remarque :
Afin de trouver une solution particulière, il arrive parfois qu’on décompose le second membre en plusieurs
fonctions plus simples, on peut alors exploiter le résultat suivant :
37
Proposition 85 (Principe de superposition des solutions).
Soient
y 0 + a(x)y = b1 (x) + b2 (x),
(E) :
avec a, b1 , b2 : I ! K continues.
Si pour i 2 {1, 2}, yi est solution de l’équation
y 0 + a(x)y = bi (x),
(Ei ) :
alors la fonction y1 + y2 est solution de (E).
Preuve :
On vérifie la propriété par un calcul homogène.
Théorème 86.
Soient a : I ! K et A une primitive de a.
Les solutions sur I de l’équation homogène
(E0 ) :
sont toutes des fonctions de la forme x 7! e
A(x)
y 0 + a(x)y = 0
avec
parcourant K.
Preuve :
Soit y une fonction dérivable définie sur I. La fonction x 7! y(x)eA(x) est dérivable et
(y(x)e A(x) )0 = (y 0 (x) + a(x)y(x))e A(x)
donc y est solution de l’équation homogène si, et seulement si, x 7! y(x)e A(x) est une constante. Par suite, on conclut
que y(x) = e A(x) avec parcourant K.
Exemple :
Résolvons sur R l’équation :
y 0 + sin(x)y = 0.
(E) est une équation linéaire d’ordre 1 (homogène). Cherchons A une primitive de x 7! sin(x).
A(x) = cos(x), 8 x 2 R.
Par suite, y(x) = e
A(x)
= ecos(x) , 8 x 2 R.
Méthode de la variation de la constante.
Soient a, b : I ! K continues et
(E) y 0 (t) + a(t)y(t) = b(t).
On a vu que que s’il existe une solution particulière apparente, on peut directement exprimer la solution
générale de notre équation. Sinon, on peut chercher une solution particulière par la méthode dite de la variation
de la constante.
Protocole :
On cherche yp , la solution particulière, sous la forme yp (t) = (t)e A(t) avec t 7! (t) une fonction dérivable.
et A est une primitive de a(t) sur I.
Puisque
yp0 (t) + a(t)yp (t) = ( 0 (t) a(t) (t))e A(t) + a(t) (t)e A(t) = 0 (t)e A(t) .
38
Donc yp est une solution particulière de (E) si, et seulement si,
0
A(t)
(t) = b(t)e
.
Par détermination de primitive, on déterminera une fonction , puis notre solution particulière yp .
Exemple :
1. Résolvons sur R l’équation
2t
2t
y(t) =
.
1 + t2
1 + t2
(E) est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1.
(E) y 0 (t) +
(EH ) y 0 (t) +
et
2t
2t
y(t) = 0 , y 0 (t) =
y(t)
1 + t2
1 + t2
Z
2t
dt = log(1 + t 2 ).
1 + t2
Solution générale homogène :
yH (t) =
1 + t2
avec
parcourant K.
Solution particulière :
Cherchons la solution particulière sous la forme :
yp (t) =
(t)
1 + t2
avec t : 7! (t) dérivable.
On a :
0 (t)
1
2t
y(t) =
=
, 0 (t) = 1.
2
2
1+t
1+t
1 + t2
t
Choisir (t) = t convient et alors yp (t) =
est solution particulière de (E).
1 + t2
y 0 (t) +
Solution générale :
y(t) =
2. Résolvons sur ] 1, 1[ l’équation
t+
avec
1 + t2
parcourant K.
(E) (1 t 2 )y 0 (t) ty(t) = 1.
(E) est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1.
(EH ) (1 t 2 )y 0 (t) ty(t) = 0 , y 0 (t) =
et
Z
t
y(t)
1 t2
t
1
dt =
log(1 t 2 ).
2
1 t2
Solution générale homogène :
yH (t) = p
avec
1 t2
Solution particulière :
39
parcourant K.
Cherchons la solution particulière sous la forme :
(t)
yp (t) = p
1 t2
avec t : 7! (t) dérivable.
On a :
p
(1 t 2 )y 0 (t) ty(t) = 1 t 2 0 (t) = 1 ,
Choisir (t) = arcsin(t) convient et alors yp (t) =
0
(t) = p
1
1 t2
.
arcsin(t)
est solution particulière de (E).
1 t2
Solution générale :
y(t) =
arcsin(t) +
1 t2
avec
parcourant K.
3. Résolvons sur R l’équation
(E) y 0 (t) ty(t) = t.
(E) est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 1.
et
(EH ) y 0 (t) ty(t) = 0 , y 0 (t) = ty(t)
Z
t dt =
1 2
t .
2
4.2 Equations di↵érentielles linéaires du second ordre à coefficients réels
constants
4.2.1
Définition
Définition 87.
Si a, b 2 K des constantes et c : I ! K une fonction continue. L’équation
(E) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = c(t)
est appelée équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants définies sur I en l’inconnue
y. Une solution de cette équation di↵érentielle est une fonction y : I ! K deux fois dérivable vérifiant :
8 t 2 I, y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = c(t).
Exemple :
(E) y 00 (t) + y 0 (t) 2y(t) = t 2
est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants définies sur R.
Définition 88.
L’équation
(EH ) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = 0
est appelée équation homogène associée à l’équation di↵érentielle (E).
40
Exemple :
L’équation homogène associée à l’équation y 00 = y 0
2y + t est y 00
y 0 + 2y = 0.
Théorème 89.
Si yp désigne une solution particulière de l’équation (E), alors les solutions de (E) sont toutes les fonctions de la forme
t 7! yp (t) + yH (t)
avec yH solution générale de l’équation homogène associée (EH ).
Preuve :
Supposons yp solution particulière de (E) sur I .
Soit y : I ! K une fonction deux fois dérivable.
y est solution de (E) sur I si, et seulement si,
8 t 2 I, y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = c(t).
Donc
Ce qui est équivaut à
8 t 2 I, y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = yp00 (t) + ayp0 (t) + byp (t).
8 t 2 I, (y
yp )00 (t) + a(y
yp )0 (t) + b(y
Ainsi, y est solution de (E) sur I si, et seulement si, la fonction t 7! (y
(EH ).
yp )(t) = 0.
yp )(t) est solution de l’équation homogène
Protocole
Pour résoudre l’équation di↵érentielle
(E) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = c(t) :
—
—
—
—
On présente le type de l’équation di↵érentielle ;
on résout l’équation homogène associée ;
on détermine une solution particulière ;
on exprime la solution générale.
Proposition 90 (Principe de superposition des solutions).
Si a, b 2 K des constantes et c1 , c2 : I ! K des fonctions continues.
Si pour i 2 {1, 2}, yi est solution de l’équation
(Ei ) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = ci (t)
alors la fonction y1 + y2 est solution de
(E) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = c1 (t) + c2 (t).
4.2.2
Résolution de l’équation homogène
On veut résoudre l’équation homogène
(E) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = 0.
41
Equation caractéristique
Définition 91.
On appelle équation caractéristique associée à (EH ) l’équation
r 2 + ar + b = 0
d’inconnue r 2 C.
Exemple :
L’équation caractéristique associée à l’équation y 00 + y = 0 est r 2 + 1 = 0.
Définition 92.
— Si l’équation caractéristique r 2 + ar + b = 0 possède deux racines réelles distinctes ↵ et
solutions sur R de (EH ) sont de la forme
alors les
y(t) = e↵t + µe t , , µ parcourant C.
— Si l’équation caractéristique r 2 + ar + b = 0 possède une racine double ↵, alors les solutions sur
R de (E0 ) sont les fonctions de la forme
y(t) = ( t + µ)e ↵t avec , µ parcourant C.
— Si l’équation caractéristique r 2 + ar + b = 0 possède deux racines complexes conjuguées ↵ ± i!
(avec ↵, ! 2 R, ! , 0) alors les solutions sur R de (EH ) sont les fonctions de la forme
y(t) = ( cos(!t) + µ sin(!t))e ↵t avec , µ parcourant C.
Exemples :
1. Résolvons sur R l’équation
y 00 + 4y 0 + 4y = 0.
C’est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 homogène à coefficients constants d’équation caractéristique
r 2 + 4r + 4 = 0
de racine double r = 2. Solution générale
y(t) = ( t + µ)e
2. Résolvons sur R l’équation
2t
, avec , µ parcourant R.
y 00 + 2y 0 + 2y = 0.
C’est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 homogène à coefficients constants d’équation caractéristique
r 2 + 2r + 2 = 0
de racines complexes 1 ± i.
Solution générale :
y(t) = ( cos(t) + µ sin(t))e t , avec , µ parcourant R.
3. Soit ! 2]0, +1[. Résolvons sur R l’équation
y 00 + !2 y = 0.
42
C’est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 homogène à coefficients constants d’équation caractéristique
r 2 + !2 = 0
de racines complexes ±i!.
Solution générale :
y(t) = cos(!t) + µ sin(!t), avec , µ parcourant R.
4. Soit ! 2]0, +1[. Résolvons sur R l’équation
!2 y = 0.
y 00
C’est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 homogène à coefficients constants d’équation caractéristique
r 2 !2 = 0
de racines complexes ±!.
Solution générale :
4.2.3
y(t) = e !t + µ e
!t
, avec , µ parcourant R.
Obtention d’une solution particulière
On considère l’équation di↵érentielle complète
(E) y 00 (t) + ay 0 (t) + by(t) = c(t).
Pour achever la résolution, il suffit de déterminer une solution particulière.
Théorème 93.
1. Second membre c, est de du type P(x)e ↵x avec ↵ 2 K et P 2 K[X].
On cherche une solution particulière sous la forme yp (x) = e ↵x xm Q(x) ou Q est un polynôme de
même degré que P avec
— yp (x) = e↵x Q(x), si ↵ n’est pas une racine de l’équation caractéristique ;
— yp (x) = xe↵x Q(x), si ↵ est une racine simple de l’équation caractéristique ;
— yp (x) = x2 e ↵x Q(x), si ↵ est une racine double de l’équation caractéristique.
2. Second membre c, est de du type (P1 (x) cos( x) + P2 (x) sin( x))e ↵x avec ↵ 2 K et (P1 , P2 ) 2 (K[X])2 .
On cherche une solution particulière sous la forme :
— yp (x) = (Q1 (x) cos( x) + Q2 (x) sin( x))e ↵x , si ↵ + i n’est pas une racine de l’équation caractéristique ;
— yp (x) = x(Q1 (x) cos( x) + Q2 (x) sin( x))e↵x , si ↵ + i est une racine simple de l’équation caractéristique ;
où Q1 et Q2 sont deux polynômes de degré n = max(deg P1 , deg P2 ).
Exemples :
Résolvons
(E) y 00 (t) + 3y 0 (t) + 2y(t) = 2ch(t).
(E) est une équation di↵érentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants d’équation homogène
(EH ) y 00 (t) + 3y 0 (t) + 2y(t) = 0
d’équation caractéristique
r 2 + 3r + 2 = 0
de racines 1 et 2.
La solution générale homogène est
y(t) = e
t
43
+ µe
2t
.
On peut décomposer le second membre 2ch(t) = e t + e t .
Pour le second membre f 1 (t) = e t , on obtient la solution particulière
y1 (t) =
1 t
e.
6
Pour le second membre f 2 (t) = e t , on obtient la solution particulière
y2 (t) = t e t .
Par le principe de superposition, on peut affirmer que la solution générale de (E) est
y(t) = e
t
+ µe
2t
44
+
1 t
e + t e t.
6