Année scolaire : 2021-2022
Renforcement du 23/10/2021
Classe : TleC Durée : .... heures
Etablissement : Bakhita
SITUATION D’EVALUATION DE MATHEMATIQUES
Contexte : Un souvenir des vacances.
Papitou raconte en ce début d’année scolaire à ses nouveaux camarades de
terminale C les moments forts de ses vacances dans l’usine de fabrication de
fromages de lait de vache «Amon » de son oncle. Il déclare : « cette usine est un
véritable label Bénin, je passais la majorité de mes moments dans deux de ses
bâtiments. Le premier nommé bloc « P » a la forme d’un pavé droit dont les aires
des faces latérales sont 52 𝑚2 , 78 𝑚2 et 96 𝑚2 . Il est l’image du second bloc
nommé « L » par l’application ℎ de l’espace dans lui-même qui à tout point 𝑀
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − 2𝑀𝑓(Ω)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , où dans le repère
associe le point 𝑀’ tel que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝑀′ = 𝛼𝑓(Ω)𝑀
(𝐷; ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒2 ) de l’espace, Ω(3,2, −1), 𝑓 est l’application affine de l’espace
laissant invariant 𝐷 et dont l’application vectorielle 𝜑 associée est définie par
𝜑(𝑒⃗⃗⃗1 ) = ⃗⃗⃗
𝑒2 , 𝜑(𝑒
⃗⃗⃗2 ) = ⃗⃗⃗
𝑒1 + ⃗⃗⃗
𝑒3 , 𝜑(𝑒⃗⃗⃗3 ) = ⃗⃗⃗
𝑒1 et 𝛼 désigne un nombre réel. Ce
second bloc « L » sert de laboratoire et a une capacité de 78 𝑚3 . Dans le bloc
« P » de prétraitement, se trouvent des cuves de conservation du lait de vache
recueilli. L’une des cuves a la forme d’un cylindre ayant à l’intérieur une partie
tétraédrique 𝐾𝑂𝐼𝐽, elle a une ouverture et deux robinets 𝑅1 et 𝑅2 . Le point 𝑂 est
le centre du disque de base sur lequel repose le cylindre ; le triangle 𝑂𝐼𝐽 est isocèle
et rectangle en 𝑂 ; le segment [𝑂𝐾] est la hauteur du cylindre ; 𝑂𝐼 = 1𝑚 et 𝑂𝐾 =
2𝑚. Le robinet 𝑅1 est au point 𝐴 tel que ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 =
1
1
√3 ⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐼
+
𝑂𝐽
+
𝑂𝐾 . L’ouverture
2
2
2
sur la base supérieure est délimitée par un ensemble (Γ)…»
Sat et ses camarades voudraient appréhender au mieux l’application ℎ, représenter
l’ouverture (Γ). Le mécanisme d’analyse biochimique mis en place dan ce
laboratoire suscite la curiosité de Sat et ses camarades jusqu’à ce jour.
Tâche : Tu vas aider Papitou et ses camarades en résolvant les trois problèmes
suivants :
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Problème1 :
1) Justifie que le volume du bloc « P » est 624 𝑚3 .
2) a- Détermine 𝑓(Ω).
b- Détermine dans le repère (𝐷; ⃗⃗⃗
𝑒1 , ⃗⃗⃗
𝑒2 , ⃗⃗⃗
𝑒2 ), l’expression analytique de 𝑓.
c- Prouve que 𝑓 n’est pas une symétrie orthogonale de l’espace.
3) a- Détermine la nature et les éléments caractéristiques de ℎ.
b- Déduis-en l’ensemble des valeurs de 𝛼?
Problème 2 :
Une représentation de la cuve cylindrique est la suivante :
K
O
I
J
La partie tétraédrique à l’intérieur de cette cuve est hermétiquement fermée et
contient un liquide de refroidissement du lait et le lait est stocké dans la partie
restante.(Γ) est l’ensemble des points 𝑀 du plan rapporté au repère
⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗
(𝐾; 𝑂𝐼
𝑂𝐽) tels qu 2𝑀𝐸 2 − 4𝑀𝐹 2 + 2𝑀𝐺 2 − 4𝑀𝐻 2 = −5 avec 𝐸𝐹𝐺𝐻 un carré
de centre 𝐾 et 𝐾𝐺 = 1. Pour mieux appréhender les aspects mathématiques mis
en jeu, Sat et ses camarades rapportent l’espace au repère orthonormé direct 𝑅 =
1
(𝑂; 𝑖, 𝑗,
⃗ 𝑘⃗ ) tel que 𝑖 = ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐼 , 𝑗 = ⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐽 et 𝑘⃗ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐾 .
2
4) Détermine les coordonnées du point 𝐴.
5) Le robinet 𝑅2 est placé au point 𝐵, image du point 𝐴 par l’application 𝑆1 ∘
𝑆2 , où 𝑆1 est la réflexion de plan (𝐾𝑂𝐼 ) et 𝑆2 la réflexion de plan (𝐾𝑂𝐽).
a- Justifie que 𝑆1 ∘ 𝑆2 est un demi-tour dont tu préciseras l’axe (Δ).
b- Détermine dans 𝑅, l’expression analytique de 𝑆1.
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c- Détermine les coordonnées du point 𝐵.
6) a- Montre que l’application 𝑔 de l’espace dans lui-même d’expression
𝑥 ′ = −𝑧
analytique { 𝑦 ′ = 𝑦 est une réflexion de plan.
𝑧 ′ = −𝑥
b- Détermine l’ensemble (𝐸0 ) des points invariants par 𝑆1 ∘ 𝑔.
c- Déduis-en 𝑆1 ∘ 𝑔.
d- Etudie la position relative de (𝐸0 ) et (Δ).
7) Calcule le volume de lait de vache que l’on peut stocker dans cette cuve.
8) a- Justifie que 𝐾 est barycentre des points pondérés (𝐸 ; 2), (𝐹 ; −4), (𝐺 ; 2)
et (𝐻 ; −4).
b- Détermine (Γ).
Problème 3 :
Lorsque les cuves sont transférées dans le bloc « L », les techniciens du
laboratoire, dans un premier temps, introduisent dans chacune des cuves un
appareil qui désinfecte le lait. La quantité 𝑄 en 𝑐𝑙 de lait perdu après 𝑛 passages
𝑛
de ce appareil dans une cuve est définie par : ∑ 𝑘(𝑛 − 𝑘) . Après ce premier
𝑘=1
niveau de traitement, les techniciens devront ajouter au lait restant dans la cuve
𝑥 gramme d’un produit alpha et 𝑦 gramme d’un produit Bêta tels que (𝑥, 𝑦) est
solution de l’équation (𝜏): −2𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦 + 13 = 0.
9) a- Démontre par récurrence que pour tout 𝑛 ∈ 𝐼𝑁 ∗ , 𝑄 =
(𝑛−1)𝑛(𝑛+1)
6
.
b- Détermine la quantité de lait restant dans une cuve cylindrique après
19 passages de l’appareil désinfectant.
10)
Résous dans 𝐼𝑁 2 l’équation (𝜏).
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CSAFN
TD PCT
Classe : Tle C
Année Scolaire : 2019-2020
Epreuve de PCT
Durée : 4 heures
Compétences disciplinaires évaluées :
CD1 : Elaborer une explication d’un fait ou d’un phénomène de son environnement naturel ou construit
en mettant en œuvre les modes de raisonnement propres aux PCT.
CD2 : Exploiter la physique, la chimie et la démarche technologique dans la production, l’utilisation et la
réparation d’objets technologiques.
Compétence transversale : Communiquer de façon précise et appropriée.
A/ CHIMIE ET TECHNOLOGIE
Contexte
Lors de la préparation de la solution aqueuse d’acide sulfurique, Alice, une élève studieuse, demande
à son camarade Joël de verser l’acide dans l’eau, mais celui-ci lui dit que verser l’eau dans l’acide concentré
ne change rien à la solution préparée. Alice n’est pas d’accord avec Joël qui soutient aussi que le pH d’un
mélange de deux solutions aqueuses d’acides forts est égal à la somme de leurs pH, et que celui du mélange
d’un acide fort et d’une base forte doit être égal à la différence des pH des deux solutions.
Ils sollicitent alors l’aide de leur professeur de P.C.T. afin de trouver de solutions aux différentes
préoccupations.
Support
Toutes les solutions sont à 25°C ; Ke = 10-14.
On donne les masses molaires atomiques en g.mol-1 : M (H) = 1 ; M (O) = 16 ; M (Ca) = 40.
Les résultats obtenus pour la mesure des pH des solutions d’acide chlorhydrique sont les suivants :
Solution
A
B
C
D
Concentration (en mol.L-1)
pH
5.10-2
4.10-2
3.10-2
2.10-2
1,3
1,4
1,5
1,7
Concentration de la solution commerciale d’acide sulfurique notée S O : CO = 10 mol.L-1 ;
concentration et volume de la solution d’acide sulfurique notée S A préparée : CA = 5.10-2 mol.L-1 ;
VA = 2 L.
Volume de la solution d’hydroxyde de calcium notée S B préparée : VB = 1,5 L.
Masse de dihydroxyde de calcium solide utilisée : m = 2,22 g ;
Les deux mélanges préparés sont notés M1 et M2.
*M1 est le mélange d’un volume V1 = 50mL de la solution D du tableau et d’un volume V2=50 mL de la
solution d’acide sulfurique notée SA ;
*M2 est obtenu en versant dans M1 un volume V3 = 50 mL de la solution SB. Le dihydroxyde de calcium a
pour formule Ca(OH)2.
Tâche : Expliquer les faits, décrire l’utilisation de matériel de laboratoire et prendre position.
1.
1.11.21.3-
Après avoir dit comment identifier une solution aqueuse d’acide chlorhydrique, décrire le mode
opératoire de la mesure de pH des solutions aqueuses d’acide chlorhydrique du support.
Montrer à partir des résultats du tableau, que l’acide chlorhydrique est un monoacide fort.
Calculer la molarité de toutes les espèces chimiques présentes dans la solution D.
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2.
2.1- Indiquer le mode opératoire de la préparation de la solution S A.
2.2- Donner son point de vue sur la déclaration de Joël par rapport à l’acide et l’eau.
2.3- Calculer la valeur du pH de la solution S A et les concentrations molaires des espèces chimiques qui
s’y trouvent à l’exception de l’eau.
3.
3.1- Déterminer le pH de chaque mélange.
3.2- Prendre position par rapport aux dires de Joël et de Alice.
3.3- Déterminer le volume de la solution SA ou SB qu’il faut verser dans le mélange M2 pour obtenir une
solution finale neutre.
B/ PHYSIQUE ET TECHNOLOGIE
Contexte
C’est la fin des activités relatives à la cinématique, la dynamique et les caractéristiques du champ
gravitationnel. Un élève en classe de terminale scientifique, dans le but de réinvestir ses acquis dans une
situation de vie courante, décide de :
faire l’étude cinématique du mouvement d’une balle de tennis frapper par un joueur qui tente de
lober son adversaire sur une surface de jeu parfaitement horizontal afin de vérifier si ce joueur a
réussi son coup ;
faire l’étude dynamique du mouvement d’un skieur sur une piste de jeu afin de déterminer l’intensité
des forces de frottements sur une partie de la piste ;
comprendre un passage d’un extrait de texte qu’il a lu dans une revue scientifique :
𝐒𝐮𝐩𝐩𝐨𝐫𝐭
Etude cinématique du mouvement d’une balle de tennis dans le repère ሺ𝑶; 𝒊Ԧ ; 𝒋Ԧሻ
Un joueur de tennis, situé dans la
y
partie I de la surface de jeu parfaitement
Filet
Partie I
Partie II
horizontale, tente de lober son adversaire
(faire passer la balle au – dessus de ce
M0
H
dernier). Celui – ci est situé à une
𝑗Ԧ
𝑖Ԧ
x
distance d = 2 𝑚 derrière le filet, dans la
O
partie II de la surface, juste en face du
d
D
joueur. Le joueur frappe la balle
L
L
assimilée à un point matériel, à t 0 = 0 s,
Figure 1 : Surface de jeu
alors que celle – ci se trouve au point
M0 ሺx0 = 0 m ; y0 = 0,5 mሻ.
La balle part dans le repère ሺ𝑂; 𝑖Ԧ ; 𝑗Ԧሻ, avec un vecteur vitesse initial v
ሬԦ0 = 6 Ԧi + 6ξ3 Ԧj et
un vecteur accélération constant aሬԦ = − 9,8 Ԧj.
Le lob est réussi si la balle retombe dans la surface de jeu et dans la partie II.
L’adversaire tenant sa raquette à bout de bras, saute et atteint au maximum la hauteur
H = 2,5 m par rapport au sol.
Autre donnée : D = 9 m et L = 12 m.
Etude dynamique du mouvement du skieur sur la piste de jeu.
La piste de jeu est constituée de
trois parties :
AB
rectiligne
de
longueur
L1 = 10 m et incliné d’un angle
α1 = 39,6°
par
rapport
à
l’horizontale ;
BC circulaire de centre O et de
rayon r = 60 m ;
CD rectiligne de longueur L2 = 5 m
et incliné d’un angle α = 11° par
A
Figure 2 : Schéma de la piste de jeu
O
𝛼1
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B
𝛼1
𝜃
𝛼2
M
Données relatives au satellite Ganymède
- constante de gravitation universelle : K = 6,67. 10−11 S. I. ;
- masse de Jupiter : MJ = 1,90. 1027 kg ;
- masse de Ganymède : mG = 1,48. 1023 kg ;
- rayon de la planète Jupiter : R J = 69 911km ;
- période orbitale du satellite Ganymède autour de Jupiter : T = 7,1550 jours.
- Ganymède est en orbite circulaire autour de Jupiter ;
- le demi grand axe d’une orbite circulaire est son rayon ;
-Jupiter est un corps à répartition sphérique de masse ;
- on suppose que la seule force que subit le satellite Ganymède est celle exercée par le satellite Jupiter.
- le mouvement de Ganymède autour de Jupiter est étudié dans le référentiel jovicentrique supposé galiléen,
et lié au centre de Jupiter.
- Extrait de texte lu par l’élève : « Jupiter est une planète géante et gazeuse. Il s'agit de la plus grosse
planète du Système solaire, plus volumineuse et massive que toutes les autres planètes réunies. Ganymède,
de nom international Jupiter III, est un satellite naturel de Jupiter. Son demi grand axe est de
1, 07.106 km ».
Tâche : Expliquer des faits et prendre position.
1.
1-1- Etablir les lois horaires 𝑥ሺ𝑡ሻ et 𝑦ሺ𝑡ሻdu mouvement de la balle de tennis dans le repère ሺ𝑂; 𝑖Ԧ ; 𝑗Ԧሻ
puis déduire la nature de sa trajectoire.
1-2- Prouver que l’adversaire ne peut pas intercepter la balle puis déduire la distance qui sépare alors la
balle et l’extrémité supérieure de la raquette.
1-3- Prendre position quant à la réussite ou non du lob.
2.
2-1- Etablir l’expression de la vitesse du skieur à son passage par le point M, en fonction de g , L1 , α1 ,
r et θ puis déduire sa valeur au point C.
2-2- Etablir l’expression de la réaction de la piste sur le skieur au point M, en fonction de
m , L1 g , α1 , r et θ puis déduire les caractéristiques de cette réaction au point C.
2-3- Déterminer l’intensité 𝑓 des forces de frottements exercées sur le skieur entre C et D pour qu’il
arrive en D avec une vitesse nulle.
3.
3-1- Etablir l’expression du champ gravitationnel G créé par la planète Jupiter en un point M situé à la
distance r de son centre en fonction de K, MJ et r. En déduire celle G0 créé par Jupiter à sa propre
surface en fonction de K, MJ et RJ puis calculer sa valeur.
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3-23-3-
Etablir l’expression de G en fonction de G0 de RJ et de la distance h du point M à la surface de la
planète Jupiter.
Expliquer le passage suivant de l’extrait : « Son demi grand axe est de 1,07.106 km »
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