Telechargé par axel cuentas

PHY562 Optique quantique 2

ECOLE POLYTECHNIQUE
Recueil
Optique quantique 2 :
Photons
Textes de contrôles
des connaissances proposés
les années antérieures
Département de Physique
Année 3
Période 2
PHY562
Optique quantique 2 : Photons
Textes de contrôles des connaissances
proposés les années antérieures
Année 2017-2018
TABLE DES MATIÈRES
Contrôle 2017 : Transformée de Wigner ............................................................................................................................................................................................................. 7
Contrôle 2016 : Refroidissement radiatif d’un système optomécanique
.......................................................................................................
27
Contrôle 2015 : Lame semi-réfléchissante pour photons ....................................................................................................................................................... 36
Lame semi-réfléchissante pour atomes .......................................................................................................................................................... 40
Contrôle 2014 : Clonage et cryptologie avec des variables quantiques continues ......................................................................... 59
1. Définitions et notations ................................................................................................................................................................................................ 59
2. Détection homodyne ........................................................................................................................................................................................................ 60
3. Clonage de variables quantiques continues ................................................................................................................................... 61
4. Cryptographie quantique avec ! et ! ...................................................................................................................................................... 63
Contrôle 2013 : Fonctions de corrélation du rayonnement. Effet Hanbury Brown et Twiss .........................................
1. Rayonnement émis par un ensemble d’émetteurs quantiques indépendants ...............................
2. Rayonnement laser monomode ........................................................................................................................................................................
3. Rayonnement incohérent ...........................................................................................................................................................................................
4. Détermination de g(2)(τ) par le montage de Hanbury Brown et Twiss .................................................
68
69
72
72
74
Contrôle 2018 : Détection de l’état d’un qubit à la limite de Heisenberg………………………….…….82
Contrôle 2019 : Chat de Schrödinger optique………………………………………………………….…94
Promotion 2014
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 20 mars 2017
Sujet proposé par Alain Aspect, Philippe Grangier et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Il est rappelé qu’une présentation soignée et une rédaction claire ont une influence favorable sur le correcteur.
Les diﬀérentes parties s’enchaînent logiquement, et il est recommandé de les traiter dans
l’ordre. Mais il est possible de progresser dans le problème sans avoir toutes les réponses
aux questions.
Transformée de Wigner
La caractérisation d’un état quantique du rayonnement sous une forme aisément interprétable, permettant de mettre en évidence des caractéristiques typiquement quantiques,
est un problème auquel la transformation de Wigner apporte une réponse élégante. De
plus, il existe des méthodes expérimentales permettant de déterminer de façon eﬃcace
la fonction de Wigner de l’état quantique d’un système dont on peut préparer un grand
nombre d’exemplaires tous dans le même état.
Dans ce problème, on calculera la transformée de Wigner d’un certain nombre d’états
du rayonnement particulièrement importants, et on confrontera certains résultats de calcul
à des résultats expérimentaux.
7
Table de quelques intégrales utiles
I0 =
I0 0 =
I2 =
I2 0 =
Z
Z
Z
Z
+1
1
+1
1
+1
1
+1
(1)
(u + iµ)2
p
2 2 du = 2⇡
e
(2)
u2
p
u2 e 2 2 du = 2⇡
(3)
3
(u + iµ)2
p
2 2 du = 2⇡
(u + iµ)2 e
1
1
IT F = p
2⇡
1
u2
p
e 2 2 du = 2⇡
Z
+1
1
u2
e±iuv e 2 2 du =
3
v2 2
2
e
(4)
(5)
Mesure des quadratures du rayonnement par détection homodyne diﬀérentielle
1.1
Composantes de quadrature d’un champ monomode classique
On considère un mode du rayonnement classique
E(r, t) = "E
(1)
h
i ↵ ei(k·r
!t)
i ↵⇤ e
i(k·r !t)
i
= E(+) (r, t) + E( ) (r, t).
Dans cette expression, " est un vecteur unitaire réel, ↵ est un nombre complexe, et
r
h̄!`
E (1) =
2"0 L3
(6)
(7)
est l’amplitude du champ classique associé à une énergie h̄! dans le volume V = cT S
2
(on considère une impulsion de durée T
! 1 et de section transverse S
avec
= 2⇡c/! ; c est la vitesse de la lumière dans le vide).
Le mode est défini par " , k et V . L’état du rayonnement classique dans ce mode est
complètement caractérisé par les deux nombres réels |↵| et ' dans
↵ = |↵|ei' .
8
(8)
Il est tout aussi bien caractérisé par les deux composantes de quadrature
↵ + ↵⇤
p
2
↵ ↵⇤
P = p .
i 2
Q=
(9)
(10)
Questions 1.1
a) Exprimer Q et P en fonction de |↵| et '.
b) Exprimer le champ E(r, t) en fonction de Q et P , en utilisant uniquement des quantités
réelles.
1.2
Mesure des quadratures d’un champ monomode classique
On réalise le montage schématisé sur la figure 1.
Figure 1 – Schéma de principe d’un montage homodyne diﬀérentiel (“balanced homodyne detection”). Le rayonnement à analyser (signal), qui est une impulsion de durée finie, est mélangé avec un champ de référence de
même fréquence et de même durée sur la lame
semi-réfléchissante équilibrée (R = T = 1/2).
Les deux détecteurs, supposés idéaux, travaillent
en régime de comptage, et on fait la diﬀérence
entre les résultats.
Le rayonnement à analyser (6), caractérisé par le nombre complexe (8), entre par la voie
1 de la lame semi-réfléchissante, tandis qu’on injecte un champ de référence de même
fréquence
h
i
0 0
0 0
⇤
EOL (r0 , t) = "E (1) i ↵OL ei(k ·r !t) i ↵OL
e i(k ·r !t)
(11)
dans la voie 2 de la lame semi-réfléchissante. Ce champ (oscillateur local) est une impulsion
de section S et de durée T qui coïncide exactement sur la lame avec l’impulsion du champ
à analyser. Elle est caractérisée par le nombre complexe
↵OL = |↵OL | ei✓ .
(12)
L’amplitude du champ de référence est grande devant celle du champ à analyser
|↵OL |
|↵|
9
(13)
et on peut régler la phase ✓ à volonté. Sur la lame semi-réfléchissante (au point r = r0 = 0),
les amplitudes complexes des champs d’entrée et de sortie sont reliées par
(+)
E3
(+)
E4
1
(+)
(+)
= p (E1 + E2 )
2
1
(+)
(+)
= p (E1
E2 ) .
2
(14)
(15)
Les détecteurs D3 et D4 , supposés parfaits, fonctionnent en régime de comptage. Le
nombre de coups détectés par impulsion lumineuse vaut, en moyenne,
N3 = |↵3 |2
N4 = |↵4 |2 .
(16)
(17)
Un système électronique permet, pour chaque impulsion lumineuse, de déterminer N3 N4 ,
puis, après avoir répété la mesure un grand nombre de fois, de fournir la moyenne
N = N3
N4 .
(18)
Questions 1.2
a) Ecrire l’expression de N pour ✓ = 0 et pour ✓ = ⇡/2. Montrer que l’on peut ainsi
déterminer les quadratures Q et P .
b) Ecrire l’expression de N pour ✓ quelconque, et montrer que l’on peut ainsi déterminer
Q✓ = cos ✓ Q + sin ✓ P .
(19)
p
c) Tracer dans le plan complexe : 2 ↵, Q et iP . Porter Q✓ sur l’axe défini par le vecteur
unitaire ei✓ , et donner une interprétation géométrique de Q✓ .
Question bonus Quel est l’intérêt de mesurer Q et P , plutôt que d’observer directement
E(r, t) ? On considèrera plus particulièrement le cas de la lumière visible.
1.3
Mesure des quadratures d’un rayonnement monomode quantique
On considère maintenant un état quantique | i du rayonnement entrant dans la voie
1 de la lame semi-réfléchissante, tandis qu’on a toujours le rayonnement de l’oscillateur
local dans la voie 2. Le rayonnement entrant est donc décrit par
|
in i
= | i1 ⌦ |↵OL i2 ,
(20)
où |↵OL i est un état quasi-classique (état cohérent de Glauber) caractérisé par le nombre
complexe ↵OL = |↵OL |ei ✓ (cf. equation [12]). Les deux états correspondent à deux impulsions se recouvrant exactement sur la lame semi-réfléchissante. Les détecteurs, supposés
10
parfaits, permettent de mesurer les observables “nombre de photons”
N̂3 = â†3 â3
(21)
N̂4 = â†4 â4 .
(22)
Les opérateurs â3 et â4 s’expriment en fonction de â1 et â2 suivant des relations analogues
à (14) et (15). On rappelle que
[âi , â†j ] =
i,j
,
i, j = 1, 2 ou i, j = 3, 4 .
(23)
Questions 1.3
a) Exprimer
ˆN = N̂3
N̂4 .
(24)
en fonction de â1 et â2 .
On omettra désormais l’indice 1 pour ce qui concerne la voie d’entrée 1.
b) Calculer h in | ˆN | in i pour ✓ = 0 et pour ✓ = ⇡/2. Montrer que l’on obtient ainsi les
valeurs moyennes des observables “quadratures” de l’état entrant en 1
Q̂ =
â + â†
p
2
(25)
P̂ =
â â†
p .
i 2
(26)
Justifier le terme “observable” pour ces opérateurs.
c) Pour ✓ quelconque montrer que l’on obtient la valeur moyenne de l’observable Q̂✓ de
l’état entrant en 1
Q̂✓ = cos ✓ Q̂ + sin ✓ P̂ .
(27)
Noter qu’il est utile pour la suite d’avoir également l’expression de Q̂✓ en fonction de â et
â† et on recommande d’écrire cette expression.
⇤
d) Pour |↵OL |
1 on peut remplacer â2 et â†2 respectivement par ↵OL et ↵OL
dans
l’expression de N̂ obtenue à la question 1.3.a . En déduire que
N̂ = N̂✓ =
où
Q̂✓ .
(28)
est une constante que l’on déterminera.
e) Calculer le commutateur
[ N̂✓ , N̂✓0 ] .
Que peut-on conclure de ce résultat ?
11
(29)
2
Distributions de probabilité des quadratures de
quelques états
Comme on l’a vu dans la partie 1 il est possible d’eﬀectuer la mesure de l’observable
associée à n’importe quelle quadrature Q̂✓ (Equation 27). En répétant la mesure on peut
donc obtenir les distributions de probabilité P(Q✓ ) associée à n’importe quel état entrant
dans la voie 1. On se propose de déterminer les distributions de probabilité attendues
pour quelques états typiques.
On rappelle qu’un mode du rayonnement est strictement analogue à un oscillateur
harmonique matériel. On peut donc représenter un état | i du rayonnement par une
fonction d’onde (Q) = hQ| i, analogue de la fonction d’onde (x) = hx| i de
p la particule
matérielle (plus exactement, Q est ici une variable réduite, analogue de x/ h̄/m!). On
sait qu’il est également possible de représenter l’état par la transformée de Fourier de
(x) que l’on écrit ˜(p) = hp| i .
2.1
Vide
L’entrée 1 est vide. Pour un oscillateur harmonique dans son état fondamental la
“fonction d’onde” n=0 (Q) = hQ|0i est une gaussienne centrée sur l’origine. La distribution
de probabilité des résultats de mesure de Q̂ est donc de la forme
P(Q) = |
où
2
n=0 (Q)|
2
=p
1
2⇡
Q2
e 2 2
(30)
est la variance de Q.
Questions 2.1
a) Calculer
2
= h0|Q̂2 |0i
(h0|Q̂|0i)2
(31)
= h0|P̂ 2 |0i
(h0|P̂ |0i)2
(32)
et en déduire l’expression exacte de P(Q).
b) Calculer
2
P
c) La “fonction d’onde” ˜n=0 (P ) = hP |0i est une gaussienne centrée sur l’origine. Justifier
cette aﬃrmation et en déduire l’expression de P0 (P ) = | ˜n=0 (P )|2 .
d) En généralisant les résultats ci-dessus, deviner la valeur de la distribution de probabilité
P(Q✓ ).
12
2.2
Etat quasi-classique
L’état entrant dans la voie 1 est maintenant un état quasi-classique |↵i caractérisé par
le nombre complexe
↵ = |↵|ei' .
(33)
On peut montrer que la distribution de probabilité P(Q) est une gaussienne.
a) Calculer h↵|Q̂|↵i et h↵|Q̂2 |↵i et en déduire la forme explicite de la gaussienne.
b) La distribution de probabilité P(P ) est également une gaussienne. Déterminer la forme
explicite de la gaussienne.
2.3
Etat à un photon
L’état entrant dans la voie 1 est maintenant un état à un photon |1i. Pour un oscillateur
harmonique dans l’état |n = 1i la “fonction d’onde” n=1 (Q) est de la forme
Q2
2
n=1 (Q) = hQ|1i = A Q e 4
où
(34)
est le même que pour l’état |n = 0i. La constante A est un réel positif.
a) Donner l’expression explicite de P1 (Q), et déterminer ses extrema. Tracer cette fonction.
b) Calculer
et placer +
(Q)
1
et
(P )
c) Calculer 1 et
à l’équation [27]).
(Q)
1
(Q✓ )
1
⇥
(Q) ⇤2
1
= h1|Q̂2 |1i
h1|Q̂|1i2
(35)
sur le graphe précédent.
définis de façon analogue à
(Q)
1 .
(L’observable Q̂✓ a été définie
On admettra pour la suite que les probabilités P1 (P ) et P1 (Q✓ ) ont la même forme
que P1 (Q).
3
Transformée de Wigner
On s’est demandé s’il est possible de rendre compte des distributions de probabilité des
observables quantiques Q̂ et P̂ dans un état | i quelconque en introduisant une fonction
F (Q, P ) qui jouerait un rôle analogue à la densité de probabilité dans l’espace des phases
13
que l’on peut introduire pour un ensemble statistique classique. On souhaiterait donc que
Z
P(Q) = F (Q, P ) dP
(36)
Z
P(P ) = F (Q, P ) dQ .
(37)
Question bonus Une telle distribution ne peut pas s’obtenir directement en partant des
principes de la mécanique quantique. Expliquer pourquoi.
Eugene Wigner (1902-1995) a néanmoins montré que l’on peut satisfaire les conditions
(36-37) avec la fonction W (Q, P ), appelée “Transformée de Wigner“ (TW), définie par
Z
1
W (Q, P ) =
d⌫ ei⌫P (Q ⌫/2) ⇤ (Q + ⌫/2) ,
(38)
2⇡
où (Q) = hQ| i est la fonction d’onde associée à | i. On peut montrer que la TW
contient toute l’information relative à l’état | i et nous allons constater que la représentation de | i par sa TW présente un intérêt certain. Nous allons vérifier les propriétés
(36-37) sur les exemples d’états quantiques vus ci-dessus, et nous demander si la TW peut
être considérée comme une densité de probabilité classique.
3.1
Transformée de Wigner du vide
La fonction d’onde
0 (Q)
associée au vide est de la forme
0 (Q)
=⇡
1/4
e
Q2 /2
(39)
.
Questions 3.1
a) Calculer la transformée de Wigner W0 (Q, P ) de
b) Montrer que
c) Calculer
Z
0 (Q).
W0 (Q, P ) dP = P0 (Q) = |
Z
W0 (Q, P ) dQ .
0 (Q)|
2
.
(40)
(41)
et le comparer à P0 (P ) calculé à la question 2.1.c.
d) Quelle est la forme de la surface représentant W0 (Q, P ) en fonction de Q et P ?
Pourrait-on interpréter W0 (Q, P ) comme une densité de probabilité dans l’espace des
phases (Q, P ) ?
14
3.2
Transformée de Wigner de l’état à un photon
La fonction d’onde
1 (Q)
associée à l’état à un photon est de la forme
⇣ 2 ⌘1/2
2
p
(Q)
=
Q e Q /2 .
1
⇡
(42)
Questions 3.2
a) Calculer la transformée de Wigner W1 (Q, P ) de 1 (Q). On mettra le résultat sous la
forme
⇤
2
2 ⇥
W1 (Q, P ) = D e (Q +P ) E (Q2 + P 2 ) 1 .
(43)
et on déterminera avec un soin particulier les valeurs de D et E.
b) Montrer que
Z
W1 (Q, P ) dP = P1 (Q) = |
1 (Q)|
2
.
(44)
c) On s’intéresse particulièrement à P1 (Q = 0) : rappeler sa valeur, obtenue directement
à partir de (42).
Afin de comparer cette valeur à celle obtenue à partir de W1 (Q, P ) par l’expression (44), tracer W1 (Q = 0, P ) et commenter. Pensez-vous que l’on pourrait interpréter
W1 (Q, P ) comme une densité de probabilité dans l’espace des phases (Q, P ) ?
Question bonus Pensez-vous qu’il existe une densité de probabilité F (Q, P ) possédant
la symétrie de révolution et telle que
Z
F (Q = 0, P ) dP = P1 (Q = 0) ?
(45)
3.3
Transformée de Wigner d’un état quasi-classique
La fonction d’onde ↵ (Q) associée à un état quasi-classique |↵i (voir la section 2.2 et
l’équation [33]) s’obtient par un déplacement de la fonction d’onde du vide. Elle s’écrit, à
un facteur de phase près,
↵ (Q)
=⇡
1/4
e (Q
hQi↵ )2 /2 eihP i↵ Q .
(46)
Questions 3.3
a) Calculer la TW W↵ (Q, P ) de
b) Montrer que
Z
↵ (Q).
W↵ (Q, P ) dP = P↵ (Q) = |
15
↵ (Q)|
2
.
(47)
c) Calculer
P↵ (P ) =
Z
W↵ (Q, P ) dQ .
(48)
d) Représenter dans le plan (Q, P ) la fonction W↵ (Q, P ). On pourra par exemple hachurer
la zone telle que W↵ (Q, P ) soit plus grande que la fraction 1/e de sa valeur maximale.
Pensez-vous que l’on pourrait interpréter W↵ (Q, P ) comme une densité de probabilité
dans l’espace des phases (Q, P ) ?
3.4
Transformée de Wigner d’un état à un photon non-idéal
Il est diﬃcile d’injecter la totalité d’un état à un photon dans la voie d’entrée 1 du
montage de mesure homodyne, et une partie va hors de la voie d’entrée. La procédure
d’injection produit un état du rayonnement de la forme
p
2 |0i ⌦ |1i
| i = |1i1 ⌦ |0ihors de 1 + 1
(49)
1
hors de 1 .
On pourra considérer ”hors de 1” comme un seul mode.
On ne s’intéresse qu’au rayonnement entrant dans la voie 1, que l’on décrit par une
matrice densité ⇢ˆ. La transformée de Wigner est alors définie par
Z
1
W (Q, P ) =
d⌫ ei⌫P hQ ⌫/2| ⇢ˆ |Q + ⌫/2i .
(50)
2⇡
Questions 3.4
a) Justifier le fait qu’il faut décrire l’état entrant par une matrice densité, et déterminer
cette matrice densité.
b) Calculer la transformée de Wigner du rayonnement entrant.
c) Une mesure 1 a obtenu une valeur de la fonction de Wigner à l’origine
W (0, 0) =
Déterminer
2
0.12 .
(51)
. Commenter la valeur numérique obtenue.
1. Ourjoumtsev, A., Tualle-Brouri, R., & Grangier, P. (2006). Quantum homodyne tomography of a
two-photon Fock state. Physical Review Letters, 96(21), 213601. Cet article présente les mesures des
transformées de Wigner d’états à un et deux photons.
16
Promotion 2014
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 20 mars 2017
Sujet proposé par Alain Aspect, Philippe Grangier et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Transformée de Wigner : corrigé
1
1.1
Mesure des quadratures du rayonnement par détection homodyne diﬀérentielle
Champ monomode classique
a) Exprimer Q et P en fonction de |↵| et '.
p
Q = 2|↵| cos '
p
P = 2|↵| sin ' .
(1)
(2)
b) Exprimer le champ E(r, t) en fonction de Q et P , en utilisant uniquement des quantités
réelles.
E(r, t) =
p
2 "E
(1)
⇥
Q sin(k · r
17
!t) + P cos(k · r
⇤
!t) .
(3)
1.2
Mesure des quadratures d’un champ monomode classique
a) Ecrire l’expression de N pour ✓ = 0 et pour ✓ = ⇡/2. Montrer que l’on peut ainsi
déterminer les quadratures Q et P .
1
↵3 = p (↵ + ↵OL )
2
1
↵4 = p (↵ ↵OL ) .
2
(4)
N = |↵3 |2
(6)
|↵4 |2
⇤
= ↵ ↵OL
+ ↵⇤ ↵OL .
Pour ✓ = 0
N = |↵OL |(↵ + ↵⇤ ) =
Pour ✓ = ⇡/2
N=
i|↵OL |(↵
p
↵⇤ ) =
(5)
(7)
2 |↵OL | Q .
(8)
p
(9)
2 |↵OL | P .
b) Ecrire l’expression de N pour ✓ quelconque, et montrer que l’on peut ainsi déterminer
Q✓ = cos ✓ Q + sin ✓ P .
(10)
⇤
N = ↵ ↵OL
+ ↵⇤ ↵OL
= ↵ |↵OL |(cos ✓ i sin ✓) + ↵⇤ |↵OL |(cos ✓ + i sin ✓)
p
= 2 |↵OL |(cos ✓ Q + sin ✓ P )
p
= 2 |↵OL | Q✓
(11)
(12)
(13)
p
c) Tracer dans le plan complexe : 2 ↵, Q et iP . Porter Q✓ sur l’axe défini par le vecteur
unitaire ei✓ , et donner une interprétation géométrique de Q✓ .
Qθ
Figure 1 – Composantes de quadrature
θ
iP
α 2
ϕ
Q
d’un champ caractérisé par la variable
normale sans dimension
p ↵ . La composante
Q✓ = cos ✓ Q +
psin ✓ P = i✓ 2|↵| cos(✓ ') est la
projection de 2 |↵| sur e .
Question bonus Quel est l’intérêt de mesurer Q et P , plutôt que d’observer directement
E(r, t) ? On considèrera plus particulièrement le cas de la lumière visible.
Il n’existe aucun détecteur suﬃsamment rapide pour enregistrer E en fonction du
temps, pour des fréquences supérieures à 1012 Hz (pour la lumière visible on a typiquement
5⇥1014 Hz). En revanche, les signaux homodynes sont continus, et permettent de remonter
à Q et P et donc à ↵ et ' [cf. Equations (1) et (2)] même à des fréquences aussi élevées.
1.3
Mesure des quadratures d’un rayonnement monomode quantique
a) Exprimer ˆN = N̂3
N̂4 en fonction de â1 et â2 .
ˆN = â† â1 + â2 â† .
2
1
(14)
On omettra désormais l’indice 1 pour ce qui concerne la voie d’entrée 1.
b) Calculer h in | ˆN | in i pour ✓ = 0 et pour ✓ = ⇡/2. Montrer que l’on obtient ainsi les
valeurs moyennes des observables “quadratures” de l’état entrant en 1
h
in |
ˆN |
⇤
= ↵OL
h |â| i + ↵OL h |â† | i .
in i
Pour ✓ = 0
ˆN |
h
in |
h
ˆ
in | N |
Pour ✓ = ⇡/2
in i
=
in i =
p
(16)
2 |↵OL |h |Q̂| i
p
(15)
(17)
2 |↵OL |h |P̂ | i
Les opérateurs Q̂ et P̂ sont hermitiens. Ce sont donc des observables.
c) Pour ✓ quelconque montrer que l’on obtient la valeur moyenne de l’observable Q̂✓ =
cos ✓ Q̂ + sin ✓ P̂ de l’état entrant en 1.
h
in |
car
d) Pour |↵OL |
déterminera.
ˆN |
in i
⇣
= |↵OL | e
i✓
⌘ p
h |â| i + ei✓ h |aˆ† | i = 2 |↵OL |h |Q̂✓ | i
1 ⇣
Q̂✓ = p e
2
i✓
â + ei✓ aˆ†
1 montrer que N̂ = N̂✓ =
ˆN =
p
.
(19)
Q̂✓ où
est une constante que l’on
2 |↵OL | Q̂✓ .
19
⌘
(18)
(20)
e)
[ N̂✓ , N̂✓0 ] =
2
[Q̂✓ , Q̂✓0 ] = i
2
sin(✓0
(21)
✓) .
Si ✓0 6= ✓ les mesures sont incompatibles. On ne peut mesurer qu’une quadrature à la fois.
2
2.1
Distributions de probabilité des quadratures de
quelques états
Vide
a) On sait que â|0i = 0 ; d’où
1
h0|Q̂|0i = p h0|â + â† |0i = 0
2
et
2
1
= h0| â + â†
2
2
|0i
1
h0|â + â† |0i
2
2
(22)
1
1
= h0|â â† |0i = .
2
2
(23)
En utilisant les intégrales I0 et I2 on trouve qu’une gaussienne de variance 1/2 s’écrit
2
1
P(Q) = p e Q .
⇡
(24)
b) Un calcul analogue donne
2
P
=
1
h0| â
2
â†
2
|0i =
1
h0|
2
â â† |0i =
1
2
(25)
c) La “fonction d’onde” ˜n=0 (P ) = hP |0i est la transformée de Fourier d’une gaussienne
centrée sur l’origine. C’est donc une gaussienne centrée sur l’origine.
p Donc P0 (P ) =
| ˜n=0 (P )|2 est aussi une gaussienne. On vient de calculer P = 1/ 2. On en déduit
donc
2
1
P(P ) = p e Q .
(26)
⇡
d) On constate que P(Q) et P(P ) ont strictement la même forme. Or il s’agit de P(Q✓ )
pour ✓ = 0 et ✓ = ⇡/2, respectivement. On a manifestement une symétrie par rotation,
et on peut généraliser en
2
1
P(Q✓ ) = p e Q✓ .
(27)
⇡
Un calcul basé sur la définition Q✓ = cos ✓ Q + sin ✓ P donne évidemment le même
résultat.
20
2.2
Etat quasi-classique
a)
p
1
h↵|Q̂|↵i = p (↵ + ↵⇤ ) = 2|↵| cos ' .
2
1
h↵|Q̂2 |↵i = h↵|â2 + (â† )2 + ââ† + â† â|↵i
2
⇤ 1 1
1⇥ 2
=
↵ + (↵⇤ )2 + 1 + 2↵⇤ ↵ = + (↵ + ↵⇤ )2
2
2 2
d’où
(Q) 2
↵
= h↵|Q̂2 |↵i
h↵|Q̂|↵i2 =
1
.
2
On connaît donc la valeur moyenne et la variance de la gaussienne, qui s’écrit
p
1
(Q
2|↵| cos ')2
P↵ (Q) = p e
⇡
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
b) En raisonnant de même pour P
1
h↵|P̂ |↵i = p (↵
i 2
et
2.3
↵⇤ ) =
1
P↵ (P ) = p e (P
⇡
p
p
2|↵| sin ' .
2|↵| sin ')2
(33)
(34)
Etat à un photon
a) On a trouvé
2
= 1/2 en (23), d’où
Q2
2
P1 (Q) = | n=1 (Q)|2 = A2 Q2 e 2 2 = A2 Q2 e Q .
(35)
On normalise la fonction en utilisant l’intégrale I2 et on trouve
A=
Extrema :
⇣p
2⇡
3
⌘
d
P1 (Q) = 2Q(1
dQ
✓p ◆
⇡
=
2
1/2
.
2
Q2 )A2 Q2 e Q = 0
) Q = 0 ou Q = ±1
21
(36)
(37)
(38)
Figure 2 – Distribution de probabilité
P1 (Q) .
−1
0
+1 σ 1(Q )
b) On procède comme en 2.1.a. On sait que â|1i = |0i et â† |0i = |1i ; d’où
1
h1|Q̂|1i = p h1|â + â† |1i = 0
2
et
h
(Q)
1
i2
1
= h1| â + â†
2
2
(39)
1
1
3
|1i = h1|â â† + â† â|1i = h1|1 + 2 â† â|1i = .
2
2
2
(40)
(P )
c) Le calcul est analogue pour 1 (il faut faire attention aux signes). Il en est de même
(Q )
pour 1 ✓ en utilisant l’expression (19).
3
Transformée de Wigner
Question bonus Les observables Q̂ et P̂ sont incompatibles (elles ne commutent pas) et
on ne peut donc pas leur assigner simultanément une valeur infiniment précise. Or une loi
de probabilité F (Q, P ) est associée à la possibilité d’avoir simultanément une valeur aussi
précise qu’on le veut pour Q et P . Une telle probabilité est donc a priori contradictoire
avec les principes de la mécanique quantique.
3.1
Transformée de Wigner du vide
a)
W0 (Q, P ) =
1
2⇡
Z
(Q
d⌫ ei⌫P ⇡
1
e Q
2⇡ 3/2
On a utilisé l’intégrale IT F .
=
2
Z
1/4
e
⌫/2)2
2
⇡
(Q + ⌫/2)2
1/4
2
e
⌫2
2
2
1
d⌫ ei⌫P e 4 = e (Q + P ) .
⇡
b) En utilisant I0 , on obtient
Z
Z
2
2
1 Q2
1
W0 (Q, P ) dP = e
dP e P = p e Q
⇡
⇡
(41)
(42)
(43)
ce qui est bien P0 (Q).
c) Un calcul analogue donne
Z
(44)
W0 (Q, P ) dQ = P0 (P ) .
d) La fonction W0 (Q, P ) remplit donc bien les conditions (37)et (38) de l’énoncé. C’est
une gaussienne à deux dimensions, dont l’intégrale suivant une dimension donne une
gaussienne de l’autre variable. Si on avait une probabilité classique de cette forme pour
deux variables Q et P , les distributions marginales de Q ou P seraient bien obtenues par
les intégrales (43) et (44). Donc W0 (Q, P ) peut légitimement être considéré comme une
densité de probabilité, et pour un tel état on pourrait calculer n’importe quelle fonction
de Q et P en utilisant cette densité de probabilité dans un calcul classique.
3.2
Transformée de Wigner de l’état à un photon
a)
W1 (Q, P ) =
=
=
1
⇡ 3/2
1
⇡ 3/2
1
⇡
Z
Z
(Q
d⌫ ei⌫P (Q
⌫/2)(Q + ⌫/2)e
d⌫ ei⌫P (Q2
Q2 Q2 I 0
e
3/2
⌫/2)2
(Q + ⌫/2)2
2
2
e
2
2
⌫ 2 /4)e (Q + ⌫ /4)
(46)
(47)
I 00 .
2
2
p
I 0 = d⌫ ei⌫P e (⌫ /4) = 2 ⇡ e P .
(48)
Z
2
1
I =
d⌫ ei⌫P ⌫ 2 e ⌫ /4
4
Z
2
2
1 P2
1
d⌫ ⌫ 2 e (⌫ i2P ) /4 = e P I 000 .
= e
4
4
(49)
00
En posant z = ⌫ i 2P on a
Z
Z
2
000
2
z
/4
I = dz (z + i2P ) e
= dz (z 2
Finalement
W1 (Q, P ) =
1
e
⇡
(45)
2
p
4P 2 ) e z /4 = 4 ⇡
Q2 + P 2 ⇥2 Q2 + P 2
23
⇤
1 .
(50)
p
8P 2 ⇡ .
(51)
(52)
p
= 1/ 2 pour trouver
b) On utilise I0 et I2 avec
Z
ce qui est bien égal à |
1 (Q)|
2
2
2
W1 (P, Q)dP = p Q2 e Q ,
⇡
.
c) On a
P1 (Q = 0) = 0
−1
0
−
+1
(53)
(54)
Figure 3 – W1 (Q = 0, P ). L’intégrale de cette
fonction de 1 à +1 est nulle.
1
π
L’intégrale est nulle, ce qui est possible parce que W1 (Q = 0, P ) a une partie négative.
Question bonus
Une densité de probabilité est positive ou nulle, et est diﬀérente de zéro en certains
points puisque son intégrale vaut 1. S’il y a symétrie de révolution, F (Q = 0, P ) est donc
forcément non-nulle et positive en certains points. Son intégrale ne peut pas être nulle.
On ne peut donc obtenir P1 (Q = 0) à partir d’une densité de probabilité F (Q, P ).
C’est parce que la transformée de Wigner a des valeurs négatives que l’on peut obtenir
P1 (Q = 0) à partir d’un formalisme qui ressemble à celui que l’on aurait avec une vraie
densité de probabilité. Mais une fonction prenant des valeurs négatives ne peut pas être
considérée comme une densité de probabilité.
La négativité de la transformée de Wigner est considérée comme un critère suﬃsant
pour indiquer le caractère spécifiquement quantique d’un état.
3.3
Transformée de Wigner d’un état quasi-classique
a) Calcul de W↵ (Q, P ) .
Z
2
2
1
W↵ (Q, P ) = 3/2 d⌫ ei⌫P e [(Q hQi↵ ) + ⌫ /4] e i⌫hP i↵
2⇡
Z
2
2
1
(Q
hQi
)
↵
= 3/2 e
d⌫ ei⌫(P hP i↵ ) e ⌫ /4
2⇡
2
2
1
= e [(Q hQi↵ ) + (P hP i↵ ) ] .
⇡
24
(55)
(56)
(57)
b) On utilise une fois de plus I0 pour obtenir
Z
2
1
1
W↵ (Q, P ) dP = p e (Q hQi↵ ) = p e (Q
⇡
⇡
p
2|↵| cos ')2 ,
(58)
ce qui est bien égal à P↵ (Q) (Équation 32).
c) De même
P↵ (P ) =
Z
1
W↵ (Q, P ) dQ = p e (P
⇡
hP i↵ )2 = p1 e (P
⇡
p
2|↵| sin ')2 , .
(59)
d)
P
Figure 4 – W↵ (Q, P ). Le disque grisé représente l’ensemble des points pour lesquels
W↵ (Q, P ) W↵ (0, 0).
α 2
ϕ
Q
La fonction W↵ (Q, P ) est définie positive, et elle permet d’obtenir P↵ (Q) et P↵ (P ) par
intégration sur P et Q, respectivement. On peut donc l’interpréter comme une densité de
probabilité de Q et P .
3.4
Transformée de Wigner d’un état à un photon non-idéal
a) Comme on ne s’intéresse qu’à une partie du rayonnement (le rayonnement entrant
dans la voie 1), il faut le décrire par une matrice densité obtenue par trace partielle de la
matrice densité du rayonnement total.
Ici, on peut directement obtenir la matrice densité de l’état du rayonnement dans la
voie 1 en remarquant que la probabilité d’y trouver un photon vaut 2 et la probabilité
2
d’y trouver 0 photon vaut 1
. L’opérateur densité s’écrit alors
⇢ˆ1 = (1
2
)|0ih0| +
2
|1ih1| .
(60)
Calcul plus formel, en notant |1i1 ⌦ |0ihors de 1 = |11 , 1h i, etc... :
2
|11 , 0h ih11 , 0h | + (1
)|01 , 1h ih01 , 1h |
p
p
2 |1 , 0 ih0 , 1 | +
2 |0 , 1 ih1 , 0 | .
+
1
1
1 h
1 h
1 h
1 h
⇢ˆ = | ih | =
2
(61)
(62)
La trace partielle sur h s’obtient en projetant à gauche et à droite sur le même |↵h i, soit
X
2
⇢ˆ1 =
h↵h |ˆ
⇢|↵h i = 2 |11 ih11 | + (1
)|01 ih01 | + .
(63)
↵=0,1
b) On a déjà calculé les TW du vide et de l’état à un photon et on obtient
W (Q, P ) = (1
2
2
) W0 (Q, P ) +
(64)
W1 (Q, P ) .
c) En utilisant les résultats (42) et (52), on obtient
W (0, 0) = (1
2
) W0 (0, 0) +
2
W1 (0, 0) = (1
2
)
1
⇡
2
1
1
= (1
⇡
⇡
2 2) .
On constate que la négativité de la fonction de Wigner ne subsiste que si
La référence 1 a trouvé W (0, 0) = 0.12 (voir la figure 3.4) ce qui correspond à
2
1
= (1 + 0.12 ⇡) ⇡ 0.7 .
2
2
(65)
> 1/2.
(66)
Une fraction importante de l’état à un photon a donc été couplée dans le mode 1, ce
qui est un résultat remarquable.
Figure 5 – Transformée de Wigner observée (référence 1). Noter la valeur négative autour de l’origine.
1. Ourjoumtsev, A., Tualle-Brouri, R., & Grangier, P. (2006). Quantum homodyne tomography of a
two-photon Fock state. Physical Review Letters, 96(21), 213601.
26
Promotion 2013
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 15 février 2016
Sujet proposé par Philippe Grangier, Alain Aspect et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Refroidissement radiatif d’un système optomécanique.
L’optomécanique quantique est un domaine actuellement très actif, qui combine l’optique quantique et la “mécanique” quantique, c’est-à-dire l’étude quantique du mouvement
d’objets matériels macroscopiques, qui sont en général les miroirs de cavités optiques. On
peut ainsi envisager d’amener ces miroirs dans un régime où le caractère quantique de
leur mouvement est apparent, et où apparaissent donc des quanta de vibration mécanique
(phonons). Dans ce problème on étudiera plus particulièrement deux e↵ets importants :
la bistabilité optique induite mécaniquement, et la possibilité de “refroidir” le mouvement
d’un miroir, jusqu’à l’amener dans son état quantique fondamental. Le principe général
d’un système optomécanique est représenté sur la Figure 1.
Figure 1 – Schéma de principe d’un système op-
laser
optical
cavity
microwave drive
mechanical
mode
tomécanique : l’un des miroirs d’une cavité optique (celui de droite sur la figure) est susceptible de se déplacer
mécaniquement, et se comportera ainsi comme un oscillateur harmonique de fréquence ⌦m , amorti avec un taux m .
Le champ dans la cavité est aussi décrit comme un oscillateur harmonique de fréquence !cav , amorti avec un taux .
Ces deux oscillateurs seront décrits quantiquemement, avec
des opérateurs â associé au champ dans la cavité, et b̂ associé
au mouvement du miroir, dont la position est x̂.
vibrating
capacitor
1. Dans le dispositif ci-dessus, on considère que le miroir de droite est placé sur un
ressort qui exerce une
force de rappel, créant ainsi un mouvement d’oscillateur harmonique
LC circuit
unidimensionnel. On décrit ce mouvement par les opérateurs position x̂ et impulsion p̂,
27
et par les opérateurs b̂ et b̂† , où b̂ détruit et b̂† crée un phonon (quantum de vibration
du mouvement). Comment s’écrit le Hamiltonien Hmec du système en fonction de x̂, p̂,
de la masse m et de la fréquence ⌦m de l’oscillateur ? On précisera quels sont les termes
d’énergie cinétique Ĥc et d’énergie potentielle Ĥp . Donner aussi (sans démonstration)
l’expression de Hmec en fonction de b̂† et b̂.
On pose x̂ = x0 (b̂ + b̂† ). En calculant les valeurs moyennes de Ĥc , Ĥp et Hmec dans un
état à n phonons, et en se souvenant que les valeurs moyennes des énergies cinétique et
potentielle sont égales pour un oscillateur harmonique, donner l’expression de x0 .
2. En considérant à la fois le mode optique de la cavité, et l’oscillateur mécanique, le
Hamiltonien du système s’écrit en première approximation comme la somme de deux
Hamiltoniens d’oscillateur harmonique
1
1
Ĥ0 = h̄!cav (â† â + ) + h̄⌦m (b̂† b̂ + )
2
2
(1)
Rappeler sans démonstration les valeurs propres et les états propres de Ĥ0 . On notera
respectivement na et nb les nombres de photons et de phonons.
3.a En seconde approximation, il est nécessaire de prendre en compte l’amortissement de
ces oscillateurs, et on doit considérer des équations de Heisenberg-Langevin, similaires à
celles dérivées dans le cours. Pour une cavité de grande finesse, l’évolution de l’opérateur
“lentement variable” â(t) décrivant le mode de la cavité est décrit par l’équation
p
p

â˙ = (
+ i ) â + ex âin + 0 fˆin
2
(2)
où le taux d’amortissement  = ex +0 de la cavité est la somme de ex correspondant au
champ transmis par le miroir d’entrée sortie (à gauche sur la figure), et de 0 correspondant
aux autres facteurs de pertes de lumière dans la cavité. Cette équation est écrite dans le
référentiel du champ tournant, avec = !L !cav où !L est la fréquence du laser. Préciser
à quoi correspondent les di↵érents termes du membre de droite de (2). En admettant que
l’opérateur â† â corresponde au nombre de photons dans la cavité, à quelle quantité doit
correspondre â†in âin pour que l’équation ci-dessus soit homogène ?
3.b L’opérateur entrant âin inclut à la fois le champ du laser (état cohérent) et les fluctuations quantiques des modes concernés. La force de Langevin fˆin a une valeur moyenne
nulle dans l’état initial du champ. Pour une cavité de grande finesse, les champs entrant
et sortant sont reliés par la relation approchée :
p
âout = âin
ex â
(3)
En prenant la moyenne de l’éq. (2) pour un faisceau laser entrant de puissance constante,
calculer la valeur moyenne hâi en régime stationnaire, et exprimer hâout i en fonction de
hâin i. Que devient cette expression si 0 = 0 ? Discuter en considérant le module et la
phase de hâout i/hâin i.
28
3.c Par analogie avec l’équation (2) justifier que l’équation de Heisenberg-Langevin pour
l’opérateur b̂(t) puisse s’écrire sous la forme :
˙
b̂ = (
m
i⌦m ) b̂ +
2
A quoi corrrespondent les quantités
m
et b̂in (t) ?
p
m
b̂in (t)
(4)
4. On s’intéresse maintenant au couplage entre les oscillateurs optiques et mécaniques,
qu’on peut décrire en étudiant la dépendance de la fréquence de résonance de la cavité en
fonction de la position du miroir :
!cav (x) ⇡ !cav + x @!cav /@x + . . .
On se limite au premier ordre de ce développement, et on pose G = @!cav /@x. Donner l’expression de k = !cav /c pour une cavité de longueur (L + x), et en déduire que
G = !cav /L (on vérifiera physiquement que le signe est le bon). En prenant en compte la
dépendance h̄!cav (x̂) dans l’expression de H0 , déterminer la forme du terme de couplage
optomécanique HI . On posera g0 = Gx0 , et on ne conservera que les termes qui couplent
e↵ectivement les photons et les phonons. Donner une interprétation physique de g0 .
5. En prenant en compte le terme de couplage HI défini ci-dessus, montrer que les
équations de Heisenberg-Langevin du système optomécanique s’écrivent :
⇣
⌘
p
p

â˙ =
â + i
+ g0 (b̂ + b̂† ) â + ex âin (t) + 0 fˆin (t)
(5)
✓2
◆
p
˙
m
b̂ =
i⌦m
b̂ + ig0 â† â +
(6)
m b̂in (t)
2
Que deviennent ces équations si on prend la valeur moyenne des opérateurs sur l’état
initial du système ? On supposera que les oscillateurs sont dans des états cohérents, et on
posera ↵(t) = hâ(t)i, ↵in (t) = hâin (t)i et (t) = hb̂(t)i.
6. On considère l’état stationnaire de ces équations, ↵˙ = ˙ = 0. Ecrire l’équation permettant d’obtenir ↵ en fonction de ↵in en éliminant , et discuter physiquement le résultat
obtenu. On pourra comparer cette équation à celle obtenue en cours pour la bistabilité
optique induite par la dispersion non-linéaire d’une vapeur atomique (Amphi 9). Quelle
est l’origine physique de la non-linéarité pour le système optomécanique ?
7.a Dans les expériences d’optomécanique, le paramètre g0 est trop petit pour obtenir
des interactions significatives avec quelques photons ou phonons. On injecte donc dans
la cavité un laser relativement intense, et on va s’intéresser aux fluctuations du champ
de la cavité autour de sa valeur moyenne, en séparant l’amplitude moyenne cohérente
hâi = ↵
¯ et un terme fluctuant â = â ↵
¯ . En reportant cette expression dans le terme
29
d’interaction du Hamiltonien, montrer que l’on a au premier ordre pour les fluctuations
(1)
ĤI =
h̄g ( â† + â)(b̂ + b̂† )
(7)
On supposera que ↵
¯ est réel, et on donnera l’expression de g.
Montrer que le terme d’ordre 0 correspond à un décalage de la position d’équilibre du
miroir, et donc de la fréquence de résonance de la cavité. A quoi ce décalage est-il dû ?
7.b On s’intéresse maintenant à la possibilité de “refroidir” le mouvement du miroir,
c’est-à-dire de diminuer le nombre de phonons hb† bi, en utilisant le faisceau lumineux.
On se place dans une situation où les états propres |na , nb i des deux oscillateurs sont
(1)
faiblement couplés par le Hamiltonien HI obtenu ci-dessus. Quels sont les états couplés
(1)
à |na , nb i par HI à l’ordre le plus bas ? Calculer les éléments de matrice correspondants.
ωL
ωL
Figure 2 – Principe du refroidissement optomécanique (voir texte).
8.a On considère les processus décrits sur la figure 2 : à partir d’un état initial noté
|na = 0, nb = ni (le champ correspondant au régime d’oscillation forcé de la cavité est
omis grâce à un changement de représentation), la cavité peut di↵user un photon, en
passant de l’état |0, ni à |0, n ± 1i, via les états |1, n ± 1i (processus de di↵usion Raman).
Montrer que les probabilités par unité de temps pnb !nb +1 et pnb !nb 1 d’augmenter ou de
diminuer de 1 le nombre de phonons sont respectivement proportionnelles à nb + 1 et nb .
8.b On admettra (cela se démontre à l’aide de la règle d’or de Fermi) que le taux
de di↵usion d’un photon à la fréquence ! = !L ± ⌦m est proportionnelle à un facteur
2
L(!) = g 2 /((! !cav )2 + 4 ). En déduire les valeurs de pnb !nb 1 et pnb !nb +1 , à un facteur
de proportionnalité près (qu’on n’explicitera pas).
9.a On note ⇧n la population du niveau |0, nb = ni, et on suppose que ⇧n satisfait
la condition dite de “bilan détaillée”, c’est-à-dire l’égalité des probabilités de passage de
|0, ni vers |0, n + 1i et de |0, n + 1i vers |0, ni. En déduire le rapport ⇧n+1 /⇧n et montrer
que ce rapport est indépendant de n.
30
9.b On veut écrire que ce rapport correspond à une distribution thermique à la
température T
0, soit ⇧n+1 /⇧n = e (En+1 En )/kB T . Donner une condition pour que
ceci soit possible, et dans ce cas calculer la valeur de kB T correspondant à la température
d’équilibre du mouvement du miroir (kB = 1.38 10 23 J/K est la constante de Boltzmann).
9.c Montrer que la température minimale qui peut être atteinte en optimisant le
désaccord laser-cavité est donnée par (⇠ est un facteur numérique que l’on calculera) :
!!
r
2
⇠⌦m

kB Tmin = h̄⌦m / log 1 + 2
⌦m + ⌦2m +

4
10. On suppose maintenant que  ⌧ ⌦m . A quoi correspond physiquement cette
condition, appelée “condition de bandes latérales résolues” ? Quelle valeur faut-il donner à
pour minimiser la température ? Simplifier l’expression de kB T et en déduire la
température, puis la largeur de la distribution en vitesse. Interprétation ?
11. On suppose maintenant que ⌦m ⌧ . En e↵ectuant un développement limité et
en minimisant le résultat par rapport au désaccord, calculer la température minimale
d’équilibre et le désaccord correspondant (on pourra comparer ce résultat avec 9.c).
12.a Une très grande variété de paramètres est disponible dans les expériences d’optomécanique, en fonction de la nature des résonateurs optiques et mécaniques qui sont
utilisés. La Table 1 page suivante indique une série de paramètres possibles, indiquer pour
chacun d’entre eux la température minimale qui peut être atteinte, en prenant garde à la
validité des hypothèses utilisées. On fera un tableau indiquant pour chaque expérience :
1. condition de couplage faible (oui / non) ?
2. température avec la formule complète ? (question 9 ; on pourra prendre ⇠ ⇠ 10)
3. température avec la formule à bandes latérales résolues ? (question 10)
4. température avec la formule Doppler ? (question 11)
5. bandes latérales résolues (oui / non / peut-être) ?
Il est conseillé d’écrire un petit programme sur votre calculette pour éviter les calculs
répétitifs, et les erreurs associées.
12.b La figure 3 page suivante montre des valeurs de températures obtenues dans une série
d’expériences réalisées récemment. Quels enseignements peut-on tirer de ces résultats ?
31
Reference
Murch2008
Chan2011c
Teufel2011
Thompson2008
Groblacher2009a
Arcizet2006a
⌦m /2⇡[Hz]
4.2 · 104
3.9 · 109
1.1 · 107
1.3 · 105
9.5 · 105
8.14 · 105
m [kg]
1 · 10 22
3.1 · 10 16
4.8 · 10 14
4 · 10 11
1.4 · 10 10
1.9 · 10 7
m /2⇡[Hz]
3
1 · 10
3.9 · 104
32
0.12
1.4 · 102
81

⌦m
/2⇡[Hz]
6.6 · 105
5 · 108
2 · 105
5 · 105
2 · 105
1 · 106
15.7
0.13
0.02
3.7
0.22
1.3
g0 /2⇡[Hz]
6 · 105
9 · 105
2 · 102
5 · 101
3.9
1.2
MIT 2011
Boulder 2011
JILA
Cornell 2010
EPFL 2011
Yal
e
IQ
OQ
I
MPQ
MIT
1x1010
1x109
1x108
1x107
1x106
100000
10000
1000
100
10
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
LKB
phonon number
Table 1 – Paramètres de diverses expériences d’optomécanique. Les références indiquées
sont extraites de l’article “Cavity optomechanics”, par Markus Aspelmeyer, Tobias J.
Kippenberg, Florian Marquardt, Reviews of Modern Physics vol. 86 p. 1391 (2014)
Caltech 2011
ground state
0.01
0.1
Ωm
min
i
phomum p
non oss
num ible
ber
1
10
Figure 3 – Résultats d’expériences de refroidissement opto-mécanique, en fonction du
paramètre ⌦m /. Les traits verticaux correspondent aux nombres moyens de phonons
thermiques n̄b = kB T /h̄⌦m , avant et après le refroidissement. La ligne bleue “minimum possible phonon number” correspond à la température minimale calculée dans
les questions précédentes. On retrouve certaines expériences du tableau précédent, sous
les dénominations LKB (Arcizet2006a), Yale (Thompson2008), IQOQI (Groblacher2009),
Caltech 2011 (Chan2011c), Boulder 2011 (Teufel2011).
32
Promotion 2013
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 15 février 2016
Sujet proposé par Philippe Grangier, Alain Aspect et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Refroidissement radiatif d’un système optomécanique - Corrigé
1. Hmec = p̂2 /(2m) + m⌦2m x̂2 /2 = h̄⌦m (b̂†q
b̂ + 1/2) et on a hEc i + hEp i = m⌦2m hx̂2 i =
h̄
m⌦2m x20 (2n + 1) = h̄⌦m (n + 1/2) donc x0 = 2m⌦
(dispersion de la position dans l’état
m
fondamental de l’oscillateur).
2. Les états propres sont les produits tensoriels |na , nb i, correspondant aux énergies
(na + 1/2) h̄!cav + (nb + 1/2) h̄⌦m .
3.a On reconnait un terme d’amortissement â/2, un terme d’oscillation propre i â, et
les fluctuations quantiques associées, que l’on sépare en âin (miroir d’entrée) et fˆin (autres
pertes de lumière). La quantité â†in âin doit correspondre à un flux de photons (en s 1 )
pour que l’équation soit homogène.
3.b
hâi =
p
ex hâin i
/2 i
hâout i = (1
ex
) hâin i .
/2 i
(1)
Si 0 = 0 alors hâout i = ( +/2+i
) hâin i. Le rapport hâout i / hâin i ayant un module unité,
/2+i
le champ réfléchi a le même module mais pas la même phase que le champ entrant.
3.c On retrouve la forme habituelle d’une équation de Heisenberg-Langevin, où
l’amortissement et b̂in (t) la force de Langevin associée.
m
est
4. Pour une cavité de longueur L on a !cav /!cav =
L/L donc G = !cav /L. Si on
prend x > 0 la longueur de la cavité augmente, et !cav (x) diminue si G > 0. On a alors
h̄!cav (x) â† â ⇡ h̄(!cav
Gx̂) â† â
donc
ĤI =
h̄G x̂ â† â =
h̄g0 â† â (b̂ + b̂† ) ,
où g0 = Gx0 caractérise l’interaction entre un photon et un phonon.
33
(2)
5.
↵˙ =
˙=
6. On a

↵ + i(
✓2
i⌦m
= ig0 |↵|2 / i⌦m +
+ g0 ( + ⇤ ))↵ +
◆
m
+ ig0 |↵|2
2
p
ex ↵in
(3)
(4)
, et on en déduit
✓
◆
p

2g02 ⌦m |↵|2
↵ = ex ↵in /
i( + 2
)
2
⌦m + 2m /4
m
2
La position de la résonance dépend de l’intensité lumineuse : e↵et de bistabilité optique
induit par pression de radiation : la lumière “pousse” le miroir, et donc modifie !cav .
7.a On a bien l’expression attendue, avec g = ↵
¯ g0 . Le terme d’ordre zéro h̄g0 |¯
↵|2 (b̂ +
b̂† ) = h̄G |¯
↵|2 x̂ correspond à une force moyenne de pression de radiation sur le miroir,
qui peut être réabsorbée dans un déplacement de sa position d’équilibre. Le terme d’ordre
deux â† â est petit et sera négligé.
(1)
(1)
7.b On a ĤI = h̄g ( â† + â)(b̂+b̂† ), donc ĤI modifie na et nb de ±1. Plus précisément,
|na , nb i est couplé à |na + 1, nb + 1i, |na + 1, nb 1i, |na 1, nb + 1i, et |na 1, nb 1i
avec les éléments de matrices :
p
p
(1)
hna , nb |ĤI |na + 1, nb + 1i = h̄g na + 1 nb + 1
p
p
(1)
hna , nb |ĤI |na + 1, nb 1i = h̄g na + 1 nb
p
p
(1)
hna , nb |ĤI |na 1, nb + 1i = h̄g na nb + 1
(1)
hna , nb |ĤI |na
1, nb
1i =
h̄g
p
na
p
nb
8.a La probabilité de chaque processus étant proportionnelle au carré des éléments de
matrices calculés en 7.b, on a bien le résultat demandé.
8.b On a donc
pnb !nb
2
1
⇠ nb g 2 /( 4 + (
2
+ ⌦m )2 ) et pnb !nb +1 ⇠ (nb + 1) g 2 /( 4 + (
⌦m )2 ).
9.a On doit avoir : ⇧n pn!n+1 = ⇧n+1 pn+1!n d’où on déduit :
⇧n+1 /⇧n = pn!n+1 /pn+1!n = L(
⌦m )/L(
+ ⌦m )
9.b On peut écrire ce rapport sous la forme ⇧n+1 /⇧n = e (En+1 En )/kB T = e h̄⌦m /kB T à
condition que L(
⌦m ) < L( + ⌦m ) ou encore ( + ⌦m )2 < (
⌦m )2 donc ⌦m < 0
et < 0 (sinon on excite le mouvement et l’énergie du miroir augmente). On en déduit :
kB T = h̄⌦m / log
✓
L(
L(
+ ⌦m )
⌦m )
◆
= h̄⌦m / log
34
✓
2 /4 + (
2 /4 + (
⌦m ) 2
+ ⌦m )2
◆
9.c On trouve ⇠ = 8, et la valeur minimale de T est obtenue pour
=
q
⌦2m +
2
.
4
10. Cas  ⌧ ⌦m : les niveaux de vibration sont résolus et on place la résonance de
la cavité sur la bande latérale qui “extrait” de l’énergie de la cavité, donc
= ⌦m :
“refroidissement par bande latérale résolue”
✓ 2
◆
✓
◆
 /4 + 4⌦2m
16⌦2
kB T = h̄⌦/ log
⇡ h̄⌦/ log
2 /4
2
Donc kB T ! 0 lorsque  ! 0 : le mouvement
du miroir est refroidi dans le niveau
p
fondamental. On a alors v = ⌦m x0 = h̄⌦m /(2m) ou encore : Ec = m v 2 /2 = h̄⌦m /4.
On a dans l’état fondamental Ec = Ep = E0 /2 = h̄⌦m /4.
11. Cas ⌦m ⌧  (bandes latérales non résolues), et on aura aussi ⌦m ⌧ .
✓
◆
✓
◆
2
1 2⌦m /( 2 + 2 /4)
+ 2 /4
h̄ 2

kB T = h̄⌦m / log
⇡ h̄⌦m
⇡
+
1 + 2⌦m /( 2 + 2 /4)
4⌦m
8

2
Il faut encore < 0 pour avoir un refroidissement. La température minimale kB T = h̄/4
est obtenue pour = /2 (“Limite Doppler” du refroidissement radiatif).
12.a Voir table ci-dessous
Reference
Murch2008
Chan2011c
Teufel2011
Thompson2008
Groblacher2009a
Arcizet2006a
g 0 ⌧ ⌦m
non
oui
oui
oui
oui
oui
Tmin [mK]
27
0.05
0.0062
0.0077
0.0155
Tres [mK]
27
0.05
0.0077
0.0165
TDop [mK]
0.0060
0.0120
/⌦m
0.13
0.02
3.7
0.22
1.3
BL résolues
oui
oui
non
oui
peut-être
12.b On observe sur la figure que le régime à bandes latérales résolues (sur la droite) est
plus favorable à l’obtention de basses températures, c’est-à-dire de faibles nombres de phonons thermiques. Néanmoins, aucune expérience n’atteint la limite prévue théoriquement
(ligne bleue). Cela peut être attribué à divers facteurs techniques, qui incluent en priorité la difficulté à isoler suffisamment l’oscillateur mécanique de son environnement, la
température trop élevée de cet environnement (qui est pourtant refroidi aussi), et les
fluctuations (en particulier du laser utilisé) qui “chau↵ent” le mouvement.
35
Promotion 2012
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 2 mars 2015
Sujet proposé par Alain Aspect, Michel Brune, Laurent Sanchez-Palencia
et Philippe Grangier
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Les deux parties sont indépendantes. Dans chaque partie, les premières questions sont des
applications directes du cours.
Il est rappelé qu’une présentation soignée et une rédaction claire ont une influence très
favorable sur le correcteur.
1
Lame semi-réfléchissante pour photons
On a vu en cours qu’une lame séparatrice (encore appelée lame semi-réfléchissante)
couple deux modes d’entrée 1 et 2 à deux modes de sortie 3 et 4
2
1
4
3
On prend des modes polarisés perpendiculairement au plan d’incidence (celui de la
figure) et on considère donc des champs scalaires
(+)
(1)
Êℓ (r, t) = iEℓ eikℓ ·r âℓ (t)
(1.1)
tels que
ï
Êℓ (r, t) = εℓ Êℓ (r, t) =
(−)
où Êℓ
(+)
εℓ Êℓ (r, t)
(+)
est le conjugué hermitien de Êℓ .
36
+
(−)
Êℓ (r, t)
ò
(1.2)
On se propose ici de justifier les relations d’entrée-sortie vues en cours
(+)
(+)
(+)
(1.3)
(+)
(+)
(+)
(1.4)
Ê3 (r = 0, t) = ρ Ê1 (r = 0, t) + τ Ê2 (r = 0, t)
Ê4 (r = 0, t) = τ Ê1 (r = 0, t) − ρ Ê2 (r = 0, t)
où ρ et τ sont des nombres réels tels que (lame sans pertes)
ρ2 + τ 2 = 1 .
(1.5)
1.1 Rappeler l’expression de âℓ (t) en fonction de âℓ (0). On notera ωℓ la fréquence du
mode ℓ, et on rappellera son expression en fonction de kℓ = |kℓ |.
Les quatre modes ont la même fréquence, notée ω, et on note k = ω/c. Les relations
(1.3) et (1.4) s’écrivent alors sous la forme indépendante du temps
(+)
= ρ Ê1
(+)
= τ Ê1
Ê3
Ê4
avec
(+)
Êℓ
(+)
+ τ Ê2
(+)
(1.6)
(+)
− ρ Ê2
(+)
(1.7)
(+)
= Êℓ (r = 0, t = 0) .
(1.8)
|ψ⟩ = |α1 , α2 ⟩ ,
(1.9)
âℓ |αℓ ⟩ = αℓ |αℓ ⟩
(1.10)
1.2 Champ semi-classique
On prend un état d’entrée
où |α1 ⟩ et |α2 ⟩ sont des états quasi-classiques des modes 1 et 2, tels que
avec αℓ un nombre complexe.
a) Montrer que pour ℓ = 1 ou ℓ = 2
(+)
(+)
(1.11)
Êℓ (r, t)|αℓ ⟩ = Eℓ,cl (r, t)|αℓ ⟩
(+)
et donner l’expression de Eℓ,cl (r, t).
On notera, par analogie avec (1.8)
(+)
(+)
(1.12)
Eℓ,cl = Eℓ,cl (r = 0, t = 0) .
(+)
(+)
(+)
(+)
b) Montrer que Ê3 |α1 , α2 ⟩ = E3,cl |α1 , α2 ⟩ et exprimer E3,cl en fonction de E1,cl et
(+)
(+)
E2,cl . Même question pour Ê4 |α1 , α2 ⟩. On obtient ainsi les relations d’entrée-sortie entre
!
"
!
"
(+)
(+)
(+)
(+)
E1,cl , E2,cl et E3,cl , E4,cl .
c) On rappelle que, pour un champ classique
(+)
Eℓ,cl (r, t) = εℓ Eℓ,cl (r, t) + c.c. ,
37
(1.13)
le vecteur de Poynting a pour module
#
(+)
#2
Πℓ = 2ε0 c ##Eℓ,cl (r, t)## .
(1.14)
On admet que pour des champs classiques les relations d’entrée-sortie sont de la forme
trouvée à la question b). Calculer Π3 + Π4 en fonction de Π1 et Π2 .
d) Donner la signification physique de la relation trouvée à la question c).
e) Quels arguments peut-on donner pour dire que le calcul ci-dessus justifie les relations
(1.6–1.7) ? (5 lignes au maximum)
1.3 États nombres
On considère maintenant un état d’entrée
|ψ⟩ = |n1 , n2 ⟩
(1.15)
avec |n1 ⟩ et |n2 ⟩ des états nombres des modes 1 et 2. On rappelle que l’opérateur « nombre
de photons dans le mode ℓ » s’écrit
N̂ℓ = â†ℓ âℓ .
(1.16)
a) Calculer le nombre de photons dans le mode 1 et dans le mode 2. A-t-on une
dispersion sur les résultats de mesure ?
Même question en ce qui concerne le nombre total de photons entrant
N̂ent = N̂1 + N̂2 .
(1.17)
b) Les opérateurs â3 et â4 s’expriment en fonction de â1 et â2 par des expressions
identiques à (1.6) et (1.7).
Calculer le nombre total de photons sortant, associé à l’observable
N̂sort = N̂3 + N̂4 .
(1.18)
Existe-t-il une dispersion sur les résultats de mesure ?
c) Quels arguments peut-on donner pour dire que les résultats ci-dessus justifient les
relations (1.6–1.7). (5 lignes maximum)
d) Calculer le nombre moyen de photons sortant dans le mode 3. Calculer la dispersion
∆N3 définie par
∆N32 = ⟨N32 ⟩ − ⟨N3 ⟩2 .
(1.19)
Même question pour le mode 4. Suggérer une interprétation de ces résultats.
1.4 Transformation des états à 1 photon
Le rayonnement incident sur la lame semi-réfléchissante est de la forme
|ψ⟩ = γ1 |1⟩1 + γ2 |1⟩2
38
(1.20)
avec
|γ1 |2 + |γ2 |2 = 1 .
(1.21)
â†ℓ âℓ .
(1.22)
La notation |1⟩1 signifie implicitement que tous les modes autres que ℓ = 1 sont vides, et
de même pour |1⟩2.
a) Calculer N̂ent |ψ⟩ avec
N̂ent =
$
ℓ=1,2
Commenter.
b) Exprimer |ψ⟩ en fonction du vide |0⟩ à l’aide des opérateurs â†1 et â†2 .
(−)
c) Les opérateurs â†ℓ se transforment comme les champs Êℓ , c’est-à-dire suivant les
équations conjuguées de (1.6) et (1.7). Exprimer â†3 et â†4 en fonction de â†1 et â†2 .
d) En déduire l’état du rayonnement après la lame semi-réfléchissante
(1.23)
|ψ⟩sort = γ3 |1⟩3 + γ4 |1⟩4 .
On donnera les expressions explicites de γ3 et γ4 . Calculer la norme de |ψ⟩sort et commenter.
e) Calculer ⟨N̂3 ⟩, ⟨N̂4 ⟩, ⟨N̂sort ⟩ (cf. [1.18]) ainsi que les dispersions ∆N3 , ∆N4 , ∆Nsort .
î
On rappelle que ∆Nℓ = ⟨N̂ℓ2 ⟩ − ⟨N̂ℓ ⟩2
ó1/2
. Commenter.
f ) Calculer la probabilité de photo-détection conjointe dans les voies 3 et 4.
g) Cette question est longue. On pourra la sauter et y revenir après avoir traité le
deuxième problème.
Les voies de sortie 3 et 4 sont renvoyées, à l’aide de miroirs, vers les voies d’entrée 1′ et
2 d’une deuxième lame semi-réfléchissante S ′ , dont les relations d’entrée-sortie, analogues
à (1.6–1.7), s’écrivent
′
(+)
= ρ′ eikL3 Ê3
(+)
= τ ′ eikL3 Ê3
Ê5
Ê6
(+)
+ τ ′ eikL4 Ê4
(+)
(+)
− ρ′ eikL4 Ê4
(+)
(1.24)
,
(1.25)
où ρ′ et τ ′ sont des réels positifs ; L3 et L4 sont les chemins optiques dans les bras 3 et 4.
Calculer ⟨N̂5 ⟩ et ⟨N̂6 ⟩, et tracer ces grandeurs en fonction de (L3 −L4 )/λ avec λ = 2π/k.
Commenter.
2
1 S
4
3
4
3
39
5
6
S
′
2
Lame semi-réfléchissante pour atomes
On considère un atome à deux niveaux |g⟩ et |e⟩, d’énergies Eg et Ee
(2.1)
Ee − Eg = ! ω0 > 0 .
Le niveau fondamental |g⟩ a une durée de vie infinie, et le niveau excité |e⟩ a une durée
de vie τe très longue (niveau métastable) de sorte que l’on pourra négliger l’émission
spontanée.
L’atome se déplace à vitesse uniforme V = p/m, et on décrit son mouvement par
l’état |p⟩ associé à la fonction d’onde
1
p
|p⟩ ↔ ψp (x, y, z) = √ exp i · r .
3
!
L
ß
™
(2.2)
Pour pouvoir normer la fonction d’onde, on utilise un volume de quantification L3 .
L’état de l’atome est donc décrit par l’état |α, p⟩ = |α⟩ ⊗ |p⟩ où α = g ou e.
L’atome interagit avec un rayonnement quantifié monomode, décrit par une onde plane
de vecteur d’onde kℓ tel que kℓ = ωℓ /c. Le champ électrique quantifié s’écrit donc, en
représentation de Schrödinger
(1)
Ê(x, y, z) = iεℓ Eℓ exp{ikℓ · r}âℓ + h.c.
avec
E
(1)
ℓ
=
%
(2.3)
!ωℓ
.
2ε0 L3
L’interaction est décrite par le hamiltonien
ĤI = −D̂ · Ê
(2.4)
où D̂ est l’opérateur dipôle électrique. On en prend la forme approchée (approximation
résonnante)
(1)
ĤI = −id Eℓ âℓ exp{ikℓ · r}|e⟩ ⟨g| + h.c. .
(2.5)
Dans cette expression
d = ⟨e|D̂ · εℓ |g⟩ .
(2.6)
Pour les applications numériques, on prendra les valeurs suivantes, correspondant à la raie
d’intercombinaison 1 S0 − 3 P1 du calcium 40
λℓ = 657 nm
τe = 0.4 ms
|d| = 1.4 × 10−31 C.m
Mat = 40 g
Navogadro = 6.02 × 1023
40
2.1 Le rayonnement est un état nombre |nℓ ⟩. Le système atome-champ est initialement
décrit par l’état
|ψ1 ⟩ = |g, p; nℓ ⟩ .
(2.7)
En l’absence d’interaction, l’hamiltonien du système est
Ĥ0 = Eg |g⟩ ⟨g| + Ee |e⟩ ⟨e| +
p̂2
+ ĤR .
2m
(2.8)
a) Montrer que |ψ1 ⟩ est état propre de Ĥ0 et donner l’énergie E1 associée.
b) On considère
|ψ2 ⟩ = |e, p′ ; nℓ − 1⟩ .
(2.9)
Montrer que |ψ2 ⟩ est état propre de Ĥ0 et donner l’énergie E2 associée.
c) Montrer que l’hamiltonien d’interaction ĤI couple |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩ à condition qu’il y
ait entre p′ et p une condition que l’on écrira. On rappelle que
eikℓ ·r |p⟩ = |p + ! kℓ ⟩ ,
(2.10)
et ⟨p|p′ ⟩ = 0 si p ̸= p′ .
Donner l’interprétation de la condition obtenue.
d) La condition ci-dessus étant remplie, la transition entre les états |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩ est
maximale si E2 = E1 .
En déduire une relation entre p, kℓ , ωℓ et ω0 .
e) Interpréter la relation ci-dessus dans le cas où p ≫ !k.
On définit VR = !kℓ /m.
Donner la valeur numérique de VR pour la transition à 657 nm du calcium 40.
Comparer cette vitesse à une vitesse atomique typique (inutile de faire un calcul précis)
à température ambiante et conclure.
e) Avec les techniques modernes de refroidissement d’atomes par laser, on peut avoir
des échantillons atomiques à des vitesses de l’ordre de VR , voire inférieures, et il faut alors
tenir compte du terme indépendant de p dans la relation de la question 2.1d. Quelle est
la valeur en Hz de la correction apportée à la condition de résonance 2.1d ? Comparer
cette valeur à la largeur de raie ∆ω/2π avec ∆ω = τe−1 , et conclure dans le cas de la raie à
657 nm de 40 Ca.
2.2 On suppose la condition de résonance ci-dessus exactement satisfaite. Le couplage
entre les deux états |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩ s’écrit
⟨ψ2 |ĤI |ψ1 ⟩ = !
41
Ω
.
2
(2.11)
On admet que l’on a choisi les phases des états |g⟩ et |e⟩ de sorte que Ω soit réel positif
(l’argument du nombre complexe d dépend de ces phases).
a) Écrire l’équation de Schrödinger pour un état du système mis sous la forme
|ψ⟩ = γ1 (t)e−iE1 t/! |ψ1 ⟩ + γ2 (t)e−iE2 t/! |ψ2 ⟩ .
(2.12)
Montrer que si la condition E2 = E1 est remplie, elle est équivalente à
Ö
i
d
dt
γ1
è
Ö
=
γ2
Ω
2
0 1
èÖ
γ1
è
(2.13)
1 0
γ2
dans la base {|ψ1 ⟩, |ψ2 ⟩}.
b) Les valeurs propres de la matrice sont ±1. Calculer les vecteurs propres correspondants, |ϕ± ⟩, en fonction de |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩. Montrer que |ϕ+ ⟩ et |ϕ− ⟩ sont états propres de
l’hamiltonien total Ĥ0 + ĤI , et donner les valeurs propres E+ et E− .
c) On rappelle que la solution de l’équation de Schrödinger peut s’écrire
|ψ(t)⟩ = µ+ e−i
E+
t
!
|ϕ+ ⟩ + µ− e−i
E−
t
!
|ϕ− ⟩ .
(2.14)
Exprimer µ+ et µ− en fonction de γ1 (0) et γ2 (0).
d) On applique le rayonnement sur les atomes entre t = 0 et t = T , tel que ΩT = π/2.
Écrire l’état du système |ψ(T )⟩ dans la base {|ψ1 ⟩, |ψ2 ⟩} et en déduire γ1 (T ) et γ2 (T ).
π
e) On peut considérer l’action de l’impulsion comme une lame séparatrice transfor2
mant l’état entrant
E
|ψ⟩ = (γ1 |ψ1 ⟩ + γ2 |ψ2 ⟩) e−i ! T
(2.15)
en état sortant
E
|ψ ′ ⟩ = (γ1′ |ψ1 ⟩ + γ2′ |ψ2 ⟩) e−i ! T ,
(2.16)
avec γ1′ = γ1 (T ) et γ2′ = γ2 (T ) calculés à la question précédente, et E = E1 = E2 .
On décrit l’action de la séparatrice par une matrice [S] telle que
Ö
γ1′
è
Ö è Ö
=
γ1
S
γ2′
è
.
(2.17)
γ2
Écrire explicitement [S] et montrer qu’il s’agit d’une matrice unitaire. On rappelle qu’une
matrice unitaire est caractérisée par la relation
$
Sij Sik = δjk .
(2.18)
i
Citer une loi de conservation entre l’entrée et la sortie qui est assurée par l’unitarité de
la matrice.
42
2.3 On veut calculer explicitement Ω à partir de l’équation (2.11).
a) Écrire
!Ω
(1)
en fonction de d, Eℓ , nℓ et ⟨p + !kℓ | exp{ikℓ · r}|p⟩.
2
b) Montrer que ⟨p + !kℓ | exp{ikℓ · r}|p⟩ est égal à un nombre indépendant de L, dont
on donnera la valeur.
c) Le champ appliqué est caractérisé par un vecteur de Poynting Πℓ dont le module
vaut
∥Πℓ ∥ = 1 mW/mm2 .
On rappelle que ∥Πℓ ∥ est la puissance moyenne traversant une surface unité perpendiculaire à kℓ , et on définit
∥Πℓ ∥
(ℓ)
Πphot =
.
(2.19)
!ωℓ
(ℓ)
Exprimer nℓ en fonction de Πphot et L3 .
d) En déduire l’expression Ω, et montrer que le résultat est indépendant de L.
e) Calculer la valeur numérique de Ω. En déduire Tπ/2 tel que ΩTπ/2 =
à la durée de vie τe de l’état |e⟩ et conclure.
π
. Comparer
2
2.4 On applique une deuxième fois l’impulsion π/2 aux atomes. L’état final |ψ ′′ ⟩ est
caractérisé par les coeﬃcients (γ1′′ , γ2′′ ) qui sont reliés à (γ1′ , γ2′ ) par la matrice [S].
a) Calculer la matrice reliant (γ1 , γ2 ) à (γ1′′ , γ2′′ ). Appliquer la résultat à l’état
(γ1 = 1, γ2 = 0).
b) Entre les deux impulsions les deux états |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩ sont soumis à des déphasages
diﬀérents, ∆φ1 et ∆φ2 , ce que l’on représente par la matrice
Ñ
[∆] =
ei∆φ1
0
0
ei∆φ2
é
.
(2.20)
Calculer la matrice reliant l’état initial (γ1 , γ2 ) à l’état final (γ1′′ , γ2′′ ). Appliquer le résultat
à l’état (γ1 = 1, γ2 = 0).
c) Calculer |γ1′′ |2 et |γ2′′ |2 en fonction de ∆φ1 et ∆φ2 . Commenter.
d) Les déphasages ∆φ1 et ∆φ2 sont dus à la pesanteur. Lorsqu’on prend en compte
cette dernière, |p⟩ n’est plus un état propre du mouvement, et il faut apporter une corp
rection au terme ei ! ·r de l’équation (2.2). On peut obtenir une bonne estimation de cette
correction en calculant
& r′′
& t′′
p
1
φ=
· dr =
p2 dt .
(2.21)
′
′
!
m! t
r
avec p = p′ − mg(t − t′ ) et en comparant à l’expression obtenue φ0g en l’absence de
pesanteur. Calculer la correction ∆φ = φ − φ0g en fonction de t′′ − t′ et p′ .
43
e) La première impulsion π/2 est appliquée à t′ et la deuxième à t′′ . A t′ , les deux
composantes de l’état atomique ont des valeurs d’impulsion p′1 et p′2 qui diﬀèrent de
p′2 − p′1 = !kℓ . Calculer la diﬀérence des corrections ∆φ1 − ∆φ2 entre t′ et t′′ .
Exprimer |γ1′′ |2 et |γ2′′ |2 calculés à la question 2.4c en fonction de t′ et t′′ . On prendra
kℓ vertical, opposé à g.
Application numérique : t′′ − t′ = 10−3 s. Commenter.
2.5 Interaction avec un état cohérent
On considère à partir de maintenant que l’état du champ est un état cohérent mono√
mode |αℓ ⟩ où αℓ = nℓ . On suppose ici que nℓ ≫ 1.
On suppose comme dans la question 2.1 que l’atome est initialement dans l’état
|ψ1,at ⟩ = |g, p⟩. Le temps d’interaction atome-champ T est tel que ΩT = π/2. On introduit les notations |ψ1,n ⟩ = |g, p; n⟩ et |ψ2,n ⟩ = |e, p + !kℓ ; n⟩ où n désigne désormais le
nombre de photons dans le mode ℓ. On définit Ωn par la relation
⟨ψ2,n−1 |ĤI |ψ1,n ⟩ = !
Ωn
.
2
(2.22)
Dans toute la suite on supposera que pour toutes les valeurs possibles de n on a Ωn ≃ Ω.
a) Justifier cette approximation.
b) On rappelle la décomposition de l’état |αℓ ⟩ dans la base des états nombre :
|αℓ ⟩ = e−|αℓ |
2 /2
∞
$
αℓn
n=0
√ |n⟩ .
n!
(2.23)
En utilisant le résultat de la question 2.2d, écrire l’état du système |ψcoh (T )⟩ à l’instant
T dans la base des états {|ψ1,n ⟩, |ψ2,n ⟩, n ∈ !}.
c) Montrer que l’état |ψcoh (T )⟩ se met sous la forme
|ψcoh (T )⟩ ≃ |ψat ⟩ ⊗ |αℓ (T )⟩
(2.24)
où |ψat ⟩ est un état purement atomique que l’on précisera et où αℓ (T ) √
= αℓ e−iωT . On
2
utilisera le fait que pour Nℓ = |αℓ | ≫ 1 on peut faire l’approximation n ≃ |α| pour
tous les nombres de photons significativement peuplés dans la décomposition de l’état
cohérent |αℓ ⟩.
d) Reprendre les deux questions précédentes avec l’état initial |ψ2,at ⟩ = |e, p + !kℓ ⟩
e) En déduire qu’un état atomique initial arbitraire |ψat (0)⟩ = γ1 |ψ1,at ⟩ + γ2 |ψ2,at ⟩ se
transforme en un état
|ψat (T )⟩ = γ1 (T )e−iE1,at T /! |ψ1,at ⟩ + γ2 (T )e−iE2,at T /! |ψ2,at ⟩
44
(2.25)
où E1,at et E2,at sont les énergies des états |ψ1,at ⟩ et |ψ2,at ⟩ en l’absence de couplage.
Donner les expressions de γ1 (T ) et de γ2 (T ). Montrer que
Ü
ê
γ1 (T )
Ö
èÜ
γ1
ê
Scl
=
γ2 (T )
(2.26)
γ2
où [Scl ] est une matrice unitaire que l’on précisera. Comparer à la matrice obtenue à la
question 2.2e.
Pourquoi ce résultat est-il important sur le plan pratique ?
45
CORRIGÉ
1
Lame semi-réfléchissante pour photons
1.1 Le hamiltonien du champ libre ne couplant pas les modes ℓ, âℓ (t) a une évolution
harmonique (en représentation de Heisenberg),
âℓ (t) = âℓ (0) e−iωℓ t
avec ωℓ = c|kℓ | où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
(+)
(1)
1.2a) On a Êℓ (r, t)|αℓ ⟩ = i Eℓ e−iωℓ t αℓ |αℓ ⟩, donc
(+)
Ê (+) (r, t)|αℓ ⟩ = Êℓ,cl (r, t)|αℓ ⟩
(+)
(1)
où Êℓ,cl (r, t) = i Eℓ ei(kℓ ·r−ωℓ t)
1.2b) Puisque les opérateurs â1 et â2 n’agissent respectivement que sur les modes 1 et
2, on a
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
Ê3 |α1 , α2 ⟩ = ρ Ê1 |α1 , α2 ⟩ + τ Ê2 |α1 , α2 ⟩ = ρ E1,cl |α1 , α2 ⟩ + τ E2,cl |α1 , α2 ⟩
donc
(+)
(+)
Ê3 |α1 , α2 ⟩ = E3,cl |α1 , α2 ⟩
(+)
(+)
(+)
avec E3,cl = ρ E1,cl + τ E2,cl .
De même, en remplaçant ρ par τ et τ par −ρ, on obtient
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
Ê4 |α1 , α2 ⟩ = E4,cl |α1 , α2 ⟩ où E4,cl = τ E1,cl − ρ E2,cl .
1.2c) On a
Å
ã
Π3 + Π4
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
(+)
= |ρ E1,cl + τ E2,cl |2 + |τ E1,cl − ρ E2,cl |2 = (ρ2 + τ 2 ) |E1,cl |2 + |E2,cl |2 .
2ε0 c
En utilisant la relation ρ2 + τ 2 = 1, on obtient alors
Π3 + Π4 = Π1 + Π2 .
1.2d) Cette relation exprime que toute l’énergie incidente à la lame en ressort dans
les voies de sortie. Ceci est en accord avec l’hypothèse que la lame n’a pas de perte et que
l’évolution à la traversée de la lame peut être représentée par un hamiltonien eﬀectif ne
dépendant pas du temps.
1.2e) La forme générale de ces formules est assez naturelle. Les positions des termes
ρ et τ expriment simplement que le mode 3 (4) résulte de la réflexion, du mode 1 (2) et
46
la transmission du mode 2 (1). Ce qui est moins évident, c’est le signe −. On voit dans
le calcul précédent que ce signe est nécessaire pour annuler les termes croisés et assurer
ainsi la conservation de l’énergie.
1.3a) Un état nombre |nℓ ⟩ est par définition un état propre de N̂ℓ ,
√
âℓ |nℓ ⟩ = nℓ |nℓ − 1⟩
√ »
â†ℓ âℓ |nℓ ⟩ = nℓ (nℓ − 1) + 1|nℓ ⟩ ,
donc
N̂ℓ |nℓ ⟩ = nℓ |nℓ ⟩ .
Ainsi
⟨N̂1 ⟩ = n1
et ⟨N̂2 ⟩ = n2 .
Il n’y a pas de dispersion car N̂ℓ2 |nℓ ⟩ = n2ℓ |nℓ ⟩, donc
∆Nℓ2 ≡ ⟨N̂ℓ2 ⟩ − ⟨Nℓ ⟩2 = n2ℓ − (nℓ )2 .
Ainsi
∆N1 = ∆N2 = 0 .
On en déduit sans diﬃculté que
⟨Nent ⟩ = n1 + n2
∆Nent = 0 .
N.B. : N̂1 N̂2 = N̂2 N̂1 et ⟨N̂1 N̂2 ⟩ = n1 n2 = ⟨N̂1 ⟩⟨N̂2 ⟩.
1.3b) On a
⎧
⎨â
3
⎩â
4
donc
et
⎧
⎪
⎨N̂3
⎪
⎩N̂4
= ρ â1 + τ â2
= τ â1 − ρ â2
avec ρ, τ ∈ ! ,
= ρ2 N̂1 + τ 2 N̂2 + ρ τ (â†1 â2 + â†2 â1 )
= τ 2 N̂1 + ρ2 N̂2 − ρ τ (â†1 â2 + â†2 â1 )
N̂sort = N̂1 + N̂2 = N̂ent .
Puisque N̂sort = N̂ent , on a
⟨Nsort ⟩ = n1 + n2
∆Nsort = 0 .
1.3c) L’argument est exactement le même que précédemment pour justifier que le
signe − dans la relation (1.7) est nécessaire à la conservation du nombre de photons. Une
autre manière de le voir est de noter que les relations de commutation des a3 , a†3 , a4 et a†4
ne sont conservées que grâce à ce signe −.
47
1.3d) On a ⟨N̂3 ⟩ = ⟨ρ2 N̂1 + τ 2 N̂2 + ρτ (â†1 â2 + â†2 â1 ) donc
⟨N̂3 ⟩ = ρ2 n1 + τ 2 n2
puisque
⎧
⎪
⎨⟨n1 |â†1 |n1 ⟩
⎪
⎩⟨n1 |â1 |n1 ⟩
=
√
=
√
n1 + 1 ⟨n1 |n1 + 1⟩ = 0
n1 ⟨n1 |n1 − 1⟩ = 0 .
N.B. : Ceci n’est vrai que pour des états nombre.
≠
Par ailleurs,
∆N32
∑
2
= (N̂3 − ⟨N3 ⟩) .
Or
donc
N̂3 − ⟨N3 ⟩ = ρ2 (N̂1 − ⟨N1 ⟩) + τ 2 (N̂2 − ⟨N2 ⟩) + ρτ (â†1 â2 + â1 â†2 ) ,
ï√
√
n1 + 1 n2 |n1 + 1, n2 − 1⟩
ò
√ √
+ n1 n2 + 1|n1 − 1, n2 + 1⟩
(N3 − ⟨N3 ⟩)|n1 n2 ⟩ =ρτ
ï
ò
et ∆N32 = (ρτ )2 (n1 + 1)n2 + n1 (n2 + 1) . Ainsi
∆N32 = (ρτ )2 (2 n1 n2 + n1 + n2 ) .
Le résultat est exactement le même pour N̂4 et ∆N̂4 en changeant ρ en τ et τ en −ρ ce
qui conduit à
⟨N4 ⟩ = τ 2 n1 + ρ2 n2
et ∆N42 = ∆N32
L’interprétation de ces résultats est simple. Les photons incidents se répartissent dans les
voies 3 et 4 selon les valeurs de la transmission et de la réflexion. Il y a des fluctuations
dans chacune des voies 3 et 4 mais elles sont parfaitement anti-corrélées. Tout ce qui sort
en moins dans la voie 3 sort en plus dans la voie 4 et réciproquement.
On pourra remarquer par ailleurs que l’on obtiendrait le même résultat par un traitement purement classique en répartissant aléatoirement d’une part les n1 photons arrivant
par la voie 1 dans la voie 3 avec la probabilité R = |ρ|2 et dans la voie 4 avec la probabilité T = |τ |2 et d’autre part les n2 photons arrivant par la voie 2 dans la voie 3 avec la
probabilité T et dans la voie 4 avec la probabilité R.
1.4a) On a
N̂ent |ψ⟩ = γ1 N̂ent |1⟩1 + γ2 N̂ent |1⟩2 = γ1 |1⟩2 + γ2 |1⟩2 ,
donc
N̂ent |ψ⟩ = |ψ⟩ .
48
L’état |ψ⟩ est donc un état à exactement un photon (sans fluctuations). En revanche, son
mode n’est pas déterminé. Ce mode est ℓ avec la probabilité |γℓ |2 .
1.4b) On a |1⟩ℓ = â†ℓ |0⟩, donc
|ψ⟩ = (γ1 â†1 + γ2 â†2 )|0⟩ .
1.4c) Les coeﬃcients ρ et τ étant réels, on a
â†3 = ρ â†1 + τ â†2
â†4 = τ â†1 − ρ â†2 .
1.4d) Afin de déterminer l’état de sortie, on inverse les relations ci-dessus. Il vient
⎧
⎪
⎨â†1
⎪
⎩â†
2
= ρ â†3 + τ â†4
= τ â†3 − ρ â†4 .
Ces relations peuvent aussi être déduites de la figure de la page 1 en échangeant les modes
d’entrée et de sortie (en faisant bien attention à la position du signe −). On en déduit
ï
ò
|ψ⟩sort = (γ1 ρ + γ2 τ )â†3 + (γ1 τ − γ2 ρ)â†4 |0⟩
donc
|ψ⟩sort = γ3 |1⟩3 + γ4 |1⟩4
⎧
⎨γ 3 = γ 1 ρ + γ 2 τ
où ⎩
On a
γ4 = γ1 τ − γ2 ρ .
⟨ψ|ψ⟩ = |γ3|2 + |γ4|2
= |γ1|2 ρ2 + |γ2 |2 τ 2 + (γ1∗ γ2 + γ1 γ2∗ )ρτ + |γ1 |2 τ 2 + |γ2 |2 τ 2 − (γ1∗ γ2 + γ1 γ2∗ )ρτ
= (|γ1|2 + |γ2|2 ) (ρ2 + τ 2 ) .
donc
∥ψ⟩sort |2 = 1 .
Ce résultat est bien attendu de l’évolution unitaire à la traversée de la lame.
1.4e) L’expression de |ψ⟩sort donne sans diﬃculté
⎧
⎪
⎨⟨N3 ⟩ = |γ3 |2
⎪
⎩⟨N4 ⟩ = |γ4 |2
(puisque â3 |1⟩4 = 0)
(puisque â4 |1⟩3 = 0)
49
donc
⟨Nsort ⟩ = 1 .
Par ailleurs,
⎧
⎪
⎨N̂3 |ψ⟩
⎪
⎩N̂4 |ψ⟩
donc
⎧
⎪
⎨⟨N32 ⟩
⎪
⎩⟨N 2 ⟩
4
d’où
= γ3 |1⟩3
= γ4 |1⟩4 ,
= |γ3|2
= |γ4|2 ,
»
∆N3 = |γ3 | 1 − |γ3 |2
»
∆N4 = |γ4 | 1 − |γ4 |2 .
2
Enfin, N̂sort = N̂ent et N̂ent |ψ⟩ = |ψ⟩, donc ⟨N̂sort
⟩ = 1 et
∆Nsort = 0 .
Pour les mêmes raisons que précédemment, il n’y a pas de fluctuations du nombre de
photons en sortie de la lame. Il y a en revanche des fluctuations des nombres de photons
dans chaque mode. A nouveau celles-ci sont anti-corrélées. On notera que |γ4 |2 = 1 − |γ3 |2
de sorte que
∆N3 = ∆N4 = |γ3| · |γ4 | .
%
%2
%
%
%
1.4f ) La probabilité de détection conjointe est w ∝ %â3 â4 |ψ⟩%% . On a bien sûr
2
w (2) = 0
puisqu’il n’y a qu’un seul photon.
1.4g) Les miroirs ne jouant pas de rôle dans la formulation du problème, on peut
directement utiliser ce qui précède. D’après la question 1.4e), on a
⟨N5 ⟩ = |γ5 |2
avec, d’après la question 1.4d),
⎧
⎪
⎨γ 5
⎪
⎩γ 6
et ⟨N6 ⟩ = |γ6|2
= γ3 ρ′ eikL3 + γ4 τ ′ eikL4
= γ3 τ ′ eikL3 − γ4 ρ′ eikL4 .
Puisque γ3 et γ4 ne dépendent pas de L3 et L4 , on peut se contenter d’écrire le résultat
en fonction de γ3 et γ4 plutôt qu’introduire γ1 et γ2 . On obtient
⟨N5 ⟩ = |γ3 |2 ρ′2 + |γ4 |2 τ ′2 + 2|γ3γ4 |ρ′ τ ′ cos[k(L4 − L3 ) + ϕ43 ]
⟨N6 ⟩ = |γ3 |2 τ ′2 + |γ4 |2 ρ′2 − 2|γ3γ4 |ρ′ τ ′ cos[k(L4 − L3 ) + ϕ43 ] ,
où ϕ43 = ϕ4 − ϕ3 avec ϕj = arg(γj ).
50
(|γ3 |2 ρ′ ±|γ4 |2 τ ′ )2
1
(|γ3 |2 ρ′ +|γ4 |2 τ ′ )2
(|γ3 |2 τ ′ +|γ4 |2 ρ′ )2
−ϕ43
π−ϕ43
2π−ϕ43
L3 −L4
λ
(|γ3 |2 τ ′ ±|γ4 |2 ρ′ )2
On notera que bien sûr ⟨N5 ⟩ + ⟨N6 ⟩ = 1 et qu’il n’y a pas de fluctuations. C’est naturel
puisque les voies 5 et 6 sont les seules voies de sortie (les miroirs ne renvoient rien vers 1
et 2 dans cette configuration).
Le résultat montre un eﬀet d’interférence qui dépend des chemins optiques parcourus
le long des trajets 3 et 4. Cet eﬀet est naturellement supprimé si γ3 = 0 ou γ4 = 0 auquel
cas il n’y a qu’une seule voie d’entrée sur la deuxième lame. Il est aussi supprimé si ρ′ = 0
(resp. τ ′ = 0) puisqu’alors la seconde lame renvoie intégralement 3 vers 6 (resp. 5) et 4
vers 5 (resp. 6) et les diﬀérents chemins sont complètement indépendants. Dans tous les
autres cas, il y a eﬀectivement un eﬀet d’interférence.
On notera enfin que les résultats des questions 1.4f ) et 1.4g) illustrent la dualité ondecorpuscule. Les premières s’interprètent en termes purement particulaires et suggèrent que
le photon va soit dans la voie 3, soit dans la voie 4. Au contraire les deuxièmes mettent
en lumière un eﬀet d’interférence résultant du fait que le photon passe par les deux voies
à la fois.
2
Lame semi-réfléchissante pour atomes
ò
p2
+ !ωℓ (nℓ + 1/2) |ψ1 ⟩ donc
2.1a) On a Ĥ0 |ψ1 ⟩ = Eg +
2m
ï
|ψ1 ⟩ est état propre de Ĥ0 d’énergie
p2
E1 = Eg +
+ !ωℓ (nℓ + 1/2) .
2m
2.1b) De même
|ψ2 ⟩ est état propre de Ĥ0 d’énergie
p′2
E2 = Ee +
+ !ωℓ (nℓ − 1/2) .
2m
51
√
(1)
2.1c) On a ⟨ψ2 |ĤI |ψ1 ⟩ = −idEℓ ⟨p′ |eikℓ ·r |p⟩ nℓ , donc
(1) √
⟨ψ2 |ĤI |ψ1 ⟩ = −idEℓ
nℓ δp′ ,p+!h′ℓ
Ainsi, ĤI couple |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩ à condition que p′ = p + !kℓ . Cette condition exprime la
conservation de l’impulsion du système atome-champ imposée par l’invariance par translation du problème. L’état |ψ1 ⟩ a une impulsion atomique p et une impulsion de photons
nℓ !kℓ . L’état |ψ2 ⟩ a une impulsion atomique p′ et une impulsion de photons (nℓ − 1)!kℓ .
2.1d) La condition de résonance s’écrit E1 = E2 , c’est-à-dire
+hω0 +
i.e.
ω0 +
p′2 − p2
− !ωℓ = 0
2m
kℓ · p !kℓ2
+
= ωℓ .
m
2m
2.1e) Dans le cas |p| ≫ |!kℓ |, la relation ci-dessus s’écrit
ω0 = ωℓ −
p
· kℓ .
m
Cette condition de résonance résulte de l’eﬀet Doppler. La fréquence apparente d’un photon dans le référentiel de l’atome est décalée de −V · kℓ . Si la source se rapproche de
l’atome et kℓ est dirigé vers l’atome (i.e. kℓ · V < 0), il y a un décalage vers le bleu (hautes
fréquences).
La vitesse VR est la vitesse de recul de l’atome absorbant un photon de vecteur d’onde
kℓ . On a
h NA
6 × 10−34
6 × 1023
VR =
∼
×
∼ 1.5 × 10−2 m.s−1 .
λℓ Mat
6 × 10−7
4 × 10−2
Cette vitesse est très inférieure à la vitesse d’atomes de calcium à température ambiante,
Vth ∼
»
3 kB T /m ∼
&
3×
6 × 10+23
× 1, 4 × 10−23 × 300
4 × 10−2
donc Vth ∼ 400m.s−1 . L’application numérique montre que la vitesse de recul est très
petite devant les vitesses typiques et il est donc justifié de négliger le terme de recul.
2.1f ) Le terme indépendant de p dans la condition de résonance est, en Hz (donc à
diviser par 2π),
1 (!kℓ )2
1 1
6 × 1023
∼ × ×
2π 2m!
6 2 4 × 10−2
donc
Ç
6 × 10−34
6 × 10−7
1 kℓ2
∼ 1, 2 × 104 Hz.
2π 2m
52
å2
1
1025 10−54
∼
× −34
10−34
8
10
∆ω
1
−
∼ 4 × 102 Hz.
−3
2π
6 × 0, 4 × 10
Or
La largeur de raie est très petite ici donc l’eﬀet de recul joue un rôle.
2.2a) L’équation de Schrödinger s’écrit, par projection sur les états |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩,
!Ω
γ2 e−i(E2 −E1 )t/!
2
⎪
⎪
!Ω
⎪
⎩i![γ̇2 − i E2 γ2 ] = E2 γ2 +
γ1 e+i(E2 −E1 )t/!
!
2
⎧
⎪
E1
⎪
⎪
⎨i![γ̇1 − i ! γ1 ]
donc
Ñ
i
γ̇1
é
Ñ
Ω
=
2
γ̇2
= E1 γ1 +
0
e−i(E2 −E1 )t/!
e+i(E2 −E1 )t/!
0
éÑ
γ1
é
γ2
.
Ainsi, à résonance (E1 − E2 ),
Ñ
d
i
dt
γ1
é
γ2
Ñ
Ω
=
2
0 1
éÑ
1 0
γ1
γ2
é
.
2.2b) Pour le vecteur propre |ϕ± ⟩, on a
±γ1 = γ2 ,
donc
|ϕ± ⟩ =
|ψ1 ⟩ ± |ψ2 ⟩
√
.
2
Les énergies propres de Ĥ0 + ĤI associées sont donc
E± = E ±
!Ω
2
où E = E1 = E2 .
2.2c) A t = 0, on a
|ψ(0)⟩ = γ1 (0)|ψ1 ⟩ + γ2 (0)|ψ2 ⟩ = γ1 (0)
|ϕ+ ⟩ + |ϕ− ⟩
|ϕ+ ⟩ − |ϕ− ⟩
√
√
+ γ2 (0)
,
2
2
donc
µ± =
2.2d) On a
γ1 (0) ± γ2 (0)
√
.
2
E± T
ET
π
1∓i
=
± , donc e−i(E± −E)T /! = e∓iπ/4 = √ .
!
!
4
2
ñ
−i ET
!
|ψ(T )⟩ = e
γ1 + γ2 1 − i
γ1 − γ2 1 + i
√
× √ |ϕ+ ⟩ + √
× √ |ϕ− ⟩
2
2
2
2
ET
e−i !
= √ [γ1 |ψ1 ⟩ + γ2 |ψ2 ⟩ − iγ1 |ψ2 ⟩ − iγ2 |ψ1 ⟩] ,
2
53
ô
donc
ñ
−i ET
!
|ψ(T )⟩ = e
On a donc
γ1 (0) − iγ2 (0)
γ2 (0) − iγ2 (0)
√
√
|ψ1 ⟩ +
|ψ2 ⟩ .
2
2
ô
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨γ1 (T )
γ1 (0) − iγ2 (0)
√
2
⎪
γ2 (0) − iγ1 (0)
⎪
⎪
⎪
√
.
⎩γ2 (T ) =
2
2.2e) On a
Ñ
γ1′
é
γ2′
Ñ
1
Par ailleurs S + = √
2
=
Ñ
1
=√
2
é
1 i
i 1
1
−i
−i
γ1
1
Ñ
1 0
et S + S =
éÑ
0 1
é
.
γ2
é
, donc
est unitaire .
S
L’unitarité de S assure la conservation de la norme de l’état |ψ⟩.
2.3a) D’après la définition de Ω [cf. équation (2.11)] et le résultat de la question 2.1c),
on a
2
(1) √
Ω = (−id)Eℓ nℓ ⟨p + !kℓ |eikℓ ·r |p⟩ .
!
2.3b) Puisque eikℓ ·r |p⟩ = |p + !kℓ ⟩ [voir équation (2.10)],
⟨p + !kℓ |eikℓ ·r |p⟩ = 1
en utilisant la normalisation des états.
Plus explicitement, on a
ikℓ ·r
⟨p + !kℓ |e
|p⟩ =
'
(p+!kℓ )·r
!
e−i
dr √
L3
2.3c) On a
|Πℓ | = ! ωℓ ×
( )*+
l’énergie
d’un
photon
(ℓ)
donc Πphot =
p·r
ikℓ ·r
e
nℓ
× ()*+
c
L3
()*+
densité
de
photons
nℓ c
et
L3
(ℓ)
nℓ =
Πphot L3
.
c
54
ei !
√ =
L3
vitesse
des
photons
'
dr
=1.
L3
2.3d) Des trois questions précédentes, on déduit que
Ã
2(−id)
Ω=
!
&
(ℓ)
Πphot L3
×1,
c
!ωℓ
2ε0 L3
donc
Ã
(ℓ)
2ωℓ Πphot
Ω = (−id)
.
!ε0 c
Ainsi, le volume (arbitraire) de quantification disparaît-il.
(ℓ)
2.3e) En notant que ωℓ Πphot =
Πℓ
, on obtient
!
1, 4 × 10−31
Ω∼
10−34
&
donc
2 × 10+3
,
3 × 108 × 8 × 10−10
Ω ∼ 105 s−1 .
On a donc Tπ/2 ∼ 10 µs ≪ τe ≃ 400 µs. Ceci montre encore que l’on peut négliger
l’émission spontanée du niveau excité |e⟩.
2.4a) On a
γ1′′
Ü
Ü ê2 Ü
ê
γ1
=
ê
S
γ2′′
γ2
avec
Ñ
1
(S) =
2
2
−2i
−2i
donc
Ñ
(S)2 =
é
0
0
0
−i
−i
é
.
0
Pour |ψ(0)⟩ = |ψ1 ⟩ (i.e. γ1 = 1 et γ2 = 0), on a
(S)2 |ψ(0)⟩ = −i|ψ2 ⟩ .
Cette transformation est équivalente à une impulsion π.
2.4b) Si l’on applique un déphasage entre les deux impulsions π/2, on obtient la
matrice
Ñ
1
S×∆×S =
2
−i
Ñ
1
=
2
1
1
−i
−i
éÑ
−i
éÑ
0
0
ei∆φ2
1
ei∆φ1
−iei∆φ2
1
55
éÑ
ei∆φ1
−i
−i
−iei∆φ1
ei∆φ2
1
1
é
,
é
donc
Ñ
1
S×∆×S =
2
ei∆φ1 − ei∆φ2
−i(ei∆φ1 + ei∆φ2 )
−i(ei∆φ1 + ei∆φ2 )
é
−ei∆φ1 + ei∆φ2
.
Si |ψ(0)⟩ = |ψ1 ⟩, on obtient
−i ET
!
|ψ ′′ ⟩ = e
,
ei∆φ1 − ei∆φ2
ei∆φ1 + ei∆φ2
|ψ1 ⟩ − i
|ψ2 ⟩ .
2
2
-
2.4c) On obtient donc
⎧
⎪
⎪
′′ 2
⎪
⎨|γ |
1
⎪
⎪
⎪
⎩|γ2′′ |2
1 − cos(∆φ2 − ∆φ1 )
2
1 + cos(∆φ2 − ∆φ1 )
=
.
2
=
On a bien sûr |γ1′′ |2 + |γ2′′ |2 = 1 ce qui traduit l’unitarité de chacune des transformations
eﬀectuées (imlulsion π/2, déphasage, impulsion π/2). Par ailleurs, les déphasages auxquels
sont soumis les états |ψ1 ⟩ et |ψ2 ⟩ induisent un eﬀet d’interférence similaire à celui que l’on
a vu dans la partie 1.
2.4d) On a
t′′ −t′
1
dt(p′ − mgt)2
m! 0
ñ
′′
′ 3ô
1
(t′′ − t′ )2
′2 ′′
′
2 2 (t − t )
=
p (t − t ) − 2mg · p
+m g
m!
2
3
φ=
'
donc
∆φ = φ − φ0g = −
g · p′ ′′
m2 g 2 ′′
(t − t′ )2 +
(t − t′ )3 .
!
3
2.4e) On obtient donc
∆φ1 − ∆φ2 = g · kℓ (t′′ − t′ )2 .
Pour kℓ //g, on obtient
∆φ1 − ∆φ2 ≃ 10 ×
6
10−6 ≃ 100 .
−7
6 × 10
Ce déphasage est très grand devant 2π. Ainsi, la valeur de ∆φ1 − ∆φ2 modulo 2π va
dépendre fortement de la valeur de g.
2.5a) Un état cohérent a un nombre de photons moyen |αℓ |2 = nℓ avec une dispersion
√
∆n = |αℓ | = nℓ . Ainsi, pour nℓ ≫ 1, la distribution du nombre de photons est très
√
piquée autour de n ≃ nℓ . Or HI varie lentement avec ℓ (en ωℓ ) de sorte que l’on peut
prendre Ωn ≃ Ω pour tous les états |n⟩ peuplés significativement.
56
2.5b) Le hamiltonien d’interaction couple les états |ψ1,n ⟩ et |ψ2,n−1 ⟩ uniquement entre
eux. Par conséquent, les sous-espaces engendrés par |ψ1,n ⟩ et |ψ2,n−1 ⟩ sont indépendants
pour des n diﬀérents. On peut donc appliquer directement les résultats de la question
2.2d) et sommer les contributions des diﬀérents sous-espaces avec les poids et les énergies
correspondants de l’état cohérent. On obtient
.
|ψ(T )⟩ =
e−iω1,n T e−|αℓ |
n
2 /2
αn |ψ1,n ⟩ − i|ψ2,n−1 ⟩
√ℓ
√
2
n!
p2
+ !ωℓ (nℓ + 1/2) est l’énergie de l’état |ψ1,n ⟩, qui est aussi celle de
2m
l’état |ψ2,n−1 ⟩ à résonance. On a supposé ici que |ψcoh (0)⟩ = |g, p⟩ × |αℓ ⟩ donc γ1 (0) = 1
et γ2 (0) = 0.
où !ω1,n = Eg +
2.5c) On a
. e−iω1,n T
αn
√ ℓ [|g1 , p⟩ ⊗ |n⟩ − i|e, p + !kℓ ⟩ ⊗ |n − 1⟩]
2
n!
n≥0
. −iω (n+1/2) − |αℓ |2 αℓn
Eat ,1
1
≃ √ e−i ! T |g, p⟩ ⊗
e ℓ
e 2 √ |n⟩
2
n!
n≥0
|ψcoh (T )⟩ =
√
e−
|αℓ |2
2
.
|α |2
i −i Eat ,2 T
αℓn−1
−iωℓ (n−1/2) − 2ℓ
!
»
−√ e
|e, p + !kℓ ⟩ ⊗
e
e
|n − 1⟩
2
(n − 1)!
n≥0
car !ω1,n = Eat,1 + !ωℓ (n + 1/2) = Eat,2 + !ωℓ (n − 1/2) et
pertinents.
√
n ≃ αℓ pour les états |n⟩
Ainsi
|ψcoh (T )⟩ ≃ |ψat ⟩ ⊗ |αℓ (T )⟩
où
⎧
−iEat ,1T /!
⎪
ω
|g, p⟩ − ie−iEat T /! |e, p + !kℓ ⟩
⎪
⎨|ψ ⟩ = e−i 2ℓ T × e
√
at
2
⎪
⎪
⎩α(T ) = α e−iωℓ T .
ℓ
2.5d) On procède de la même manière pour l’état initial |ψcoh (0)⟩ = |e, p + !kℓ ⟩ en
échangeant simplement les états 1 et 2 (cf. question 2.2d), on obtient ainsi
|ψcoh (T )⟩ = |ψat ⟩ ⊗ |αℓ (T )⟩
où |ψat ⟩ = e−i
ωℓ T
2
−i e−iEat,1 T /! |g, p⟩ + e−iEat,2 T /! |e, p + !kℓ ⟩
√
2
2.5e) La transformation étant linéaire, il suﬃt de sommer les états obtenus ci-dessus
avec les coeﬃcients des états initiaux. Puisque l’état du champ est le même |αℓ (T )⟩ dans
57
les deux cas, on obtient
|ψcoh (T )⟩ = |ψat ⟩ ⊗ |αℓ (T )⟩
−i
avec |ψat ⟩ = e
γ1 (0) − iγ2 (0)
√
|g, p⟩
2
ô
−iEat,2 T /! −iγ1 (0) + γ2 (0)
√
+e
|e, p + !kℓ ⟩ .
2
ωℓ T
2
ñ
e−iEat,1 T /!
Ñ
On obtient donc
1
[Scl ] = [S] = √
2
1
−i
−i
1
é
.
Nous avons ainsi réalisé une lame semi-réfléchissante pour atomes. La diﬀérence essentielle avec la lame pour photons est qu’il y a des déphasages dus au fait que les coeﬃcients
de réflexion (−i) ne sont pas réels. Par ailleurs, l’intérêt d’utiliser un état cohérent est
que le dispositif découple (approximativement) les états de l’atome et du champ. Les
impulsions π/2 induits par l’interaction des photons avec la lumière agit donc comme la
transformation d’un état atomique pur sur un autre état atomique pur. D’un point de
vue pratique enfin il est facile de créer un état cohérent en allumant simplement un laser
alors qu’on ne sait créer un état nombre que pour un n très faible.
58
Promotion 2011
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 24 mars 2014
Sujet proposé par Philippe Grangier, Alain Aspect, Michel Brune, Fabien Bretenaker.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Sauf mention explicite, les di↵érentes parties ne sont pas indépendantes et doivent être
traitées dans l’ordre. Il est rappelé qu’une présentation soignée et une rédaction claire ont
une influence très favorable sur le correcteur.
Clonage et cryptographie
avec des variables quantiques continues.
Le but du problème est d’étudier plusieurs “protocoles” d’information quantique (clonage optimal, cryptographie quantique), en utilisant non pas des variables quantiques
discrètes (bits quantiques), mais des variables quantiques continues, qui seront en pratique
des composantes de quadrature du champ électromagnétique quantifié, mesurées grâce à
une détection homodyne. On rappelle d’abord quelques propriétés de ces composantes de
quadrature (inégalités de Heisenberg), puis le principe de la détection homodyne, et on
aborde ensuite les questions du clonage et de la cryptographie quantique.
1. Définitions et notations
On rappelle que l’opérateur champ électrique en représentation de Heisenberg s’écrit :
⇣
⌘
X
~
~
Ê(~r, t) = i
El~✏l âl ei(kl .~r !l t) â†l e i(kl .~r !l t)
(1)
l
p
où El = h̄!l /(2✏0 V ), V étant le volume de quantification. L’indice l regroupe les indices spatiaux et l’indice de polarisation. Les opérateurs âl et â†l sont respectivement les
opérateurs annihilation et création d’un photon dans le mode l, et vérifient : [âl , â†m ] = lm ,
59
[âl , âm ] = [â†l , â†m ] = 0. Pour l’opérateur champ électrique dans le mode l, on définit les
opérateurs composantes de quadratures X̂l et P̂l par les relations suivantes :
X̂l ⌘ (âl + â†l )
P̂l ⌘
â†l )
(âl
i
1. Quelle est la dimension des opérateurs X̂l et P̂l ? Exprimer l’opérateur champ
électrique dans le mode l en fonction de ces nouveaux opérateurs.
2. En utilisant les relations de commutation des opérateurs âl et â†l , déterminer les
relations de commutation des opérateurs de quadratures d’un même mode.
3. On rappelle que pour tout état quantique deux observable Â et
q B̂ quelconques
vérifient l’inégalité de Heisenberg
Â B̂
1
|h[Â, B̂]i|,
2
où
Â =
hÂ2 i
hÂi2 est
l’écart-type de l’observable Â. Expliciter cette l’inégalité pour les deux composantes
de quadrature d’un même mode. Que vaut X̂l P̂l dans l’état vide ?
2. Détection homodyne
On considère un mode signal décrit par âs pour lequel on souhaite mesurer les quadratures, et un mode oscillateur local dans un état cohérent décrit par âol , pris comme
référence de phase. En modifiant le chemin optique vu par l’oscillateur local, on peut
introduire un déphasage ✓ par rapport au mode signal, et âol devient âol ei✓ .
1. Donner l’expression des opérateurs destructions pour les deux modes â+ et â obtenus par mélange de âs et de âol ei✓ sur une lame
p séparatrice, dont les coefficients
p
de réflexion et de transmission sont rs = tol = 1/ 2 pour â+ , et ts = rol = 1/ 2
pour â (on dessinera cette lame séparatrice pour clarifier les notations).
2. Le signal Iˆ produit par une photodiode est proportionnel à l’intensité du champ
à mesurer, donc au nombre de photons. Donner l’expression de la di↵érence Iˆ ⌘
Iˆ+ Iˆ des signaux détectés dans les voies + et , en fonction des opérateurs des
modes d’entrée et de ✓.
3. Si on suppose que l’oscillateur local est suffisamment intense pour être décrit par
un champ classique,
on peut remplacer âol par sa valeur moyenne (choisie réelle)
p
hâol i = ↵ol / Iol , où Iol est l’intensité moyenne de l’oscillateur local. Montrer
que Iˆ est alors proportionnel à un opérateur X̂✓ dont on donnera l’expression
par analogie avec la question II.1. Comment peut-on définir et mesurer l’opérateur
conjugué P̂✓ ? On donnera les expressions de X̂✓ et P̂✓ en fonction de X̂s , P̂s , et ✓.
4. Le spectre des opérateurs X̂l et P̂l est continu, et on peut définir deux bases de l’espace de Hilbert constituées de leurs états propres |xl i et |pl i, analogues aux bases
des états de position |xi et d’impulsion |pi d’un oscillateur harmonique quantique.
Un état du champ électromagnétique mono-mode peut se décomposer sur ces bases,
et on parlera par abus de langage de la “fonction d’onde” d’un état quantique en
représentation x, (xl ) = hxl | i, ou en représentation p, (pl ) = hpl | i, correspondant respectivement aux amplitudes de probabilité de mesurer les valeurs xl et pl des
60
quadratures X̂l et P̂l . On rappelle que pour un état nombre |ni on a hx|ni = Hn (x),
2
et on donne l’expression des fonctions de Hermite-Gauss H0 (x) = e x /2 ⇡ 1/4 ,
2
2
H1 (x) = x e x /2 (⇡/4) 1/4 , H2 (x) = (2x2 1) e x /2 (4⇡) 1/4 .
Dessiner les fonctions d’onde hx|ni et les densités de probabilité |hx|ni|2 correspondant aux états “nombre” (états de Fock) |n = 0i, |n = 1i, |n = 2i.
5. On suppose que l’état du mode est décrit par le mélange statistique (matrice densité)
⇢ = (1 ⌘)|0ih0| + ⌘|1ih1|. Quelle est alors la densité de probabilité de x ? Cette
courbe présente en x = 0 un maximum si ⌘ = 0, et un minimum si ⌘ = 1. Déterminer
la valeur de ⌘ correspondant au cas intermédiaire (annulation de la dérivée seconde).
6. Pour un mode donné on peut mesurer la densité de probabilité de x, qui est
représentée sur la Figure 1 lorsque l’état entrant est soit vide, soit proche d’un
état de Fock |1i dans le mode analysé. Justifier la forme de ces courbes, et expliquer
pourquoi un des états observés peut être décrit par le mélange statistique de la question précédente ; en comparant les deux courbes, on donnera une valeur plausible
de ⌘. Cette valeur est-elle compatible avec le résultat de la question précédente ?
Figure 1 – Mesures de densités de probabilité de x.
Figure 2 – “Clonage” du mode in vers
les modes a et b (voir Partie 3).
3. Clonage de variables quantiques continues
On s’intéresse à la possibilité de “cloner” l’état quantique d’un mode du champ, en
utilisant un dispositif “duplicateur” (voir Figure 2) agissant sur les paires de quadratures
conjuguées X̂in , P̂in d’une voie d’entrée in, pour les transformer en opérateurs X̂a , P̂a et
X̂b , P̂b associés respectivement à deux voies de sortie a et b, via les relations linéaires :
X̂a = gXa X̂in + B̂Xa
X̂b = gXb X̂in + B̂Xb
P̂a = gPa P̂in + B̂Pa
P̂b = gPb P̂in + B̂Pb
Dans ces expressions, les quantités scalaires gX, P représentent les “gains” du dispositif duplicateur, et les opérateurs B̂X, P représentent des “bruits” (ou fluctuations) ajoutés par le
dispositif, que l’on supposera de valeur moyenne nulle, et indépendants des opérateurs du
61
mode entrant. On admettra aussi que les opérateurs correspondant aux “modes sortants”
a et b commutent entre eux, c’est-à-dire que l’on a :
[X̂a , X̂b ] = [X̂a , P̂b ] = [P̂a , X̂b ] = [P̂a , P̂b ] = 0.
1. En utilisant les équations ci-dessus, ainsi que l’inégalité de Heisenberg rappelée dans
la question I.3, montrer que les écarts-types des bruits ajoutés par le duplicateur
obéissent aux inégalités :
B̂Xa B̂Pb
|gXa gPb |
B̂Xb B̂Pa
|gXb gPa |.
(2)
2. On définit les variances des “bruits ramenés à l’entrée” du duplicateur par les relations (où i représente a ou b) :
NXi = ( X̂i /|gXi |)2 ( X̂in )2 = ( B̂Xi /|gXi |)2
NPi = ( P̂i /|gPi |)2 ( P̂in )2 = ( B̂Pi /|gPi |)2
Déterminer une borne inférieure pour les produits NXa NPb et NXb NPa . On peut
utiliser le duplicateur pour tenter de mesurer à la fois Xin (copié sur la voie a) et
Pin (copié sur la voie b). Pouvez vous alors interpréter physiquement ces inégalités ?
3. On suppose que les deux copies réalisées ont le même bruit ajouté sur les deux
composantes de quadratures, c’est-à-dire que NXa = NPa = Na , et NXb = NPb = Nb .
A quelle inégalité obéissent alors Na et Nb ? L’expression obtenue correspond au
“théorème de non-clonage” pour les “variables quantiques continues” X̂ et P̂ .
4. Afin de réaliser un tel duplicateur avecpun gain global unité (gX = gP = 1), on
peut utiliser unpamplificateur de gain 2, suivi d’un miroir semi-transparent de
transmission 1/ 2 (ces deux situations ont été traitées en cours). Ecrire les équations
entrée-sortie pour les composantes de quadrature dans ce dispositif, et montrer que
le bruit ajouté est égal à la limite inférieure obtenue à la question précédente.
5. Les réponses à cette question ne sont pas utilisées dans la suite du problème
On souhaite généraliser les inégalités ci-dessus au “clonage 1 vers M ”, c’est à dire
à la copie d’une entrée vers M états identiques.
Pour simplifier le problème, nous supposerons que chaque canal a un gain unité,
et que toutes les copies sont identiques, dans le sens où elles ont toutes la même
variance, et que la corrélation entre deux sorties ne dépend pas de la paire de sorties
considérée. Plus précisément, nous supposerons que les composantes de quadrature
des M sorties d’une “machine cloneuse” 1 ! M (M > 2) obéissent aux relations :
⇢
X̂i = X̂in + B̂Xi
(3)
P̂i = P̂in + B̂Pi ,
pour chaque 1  i  M . On définit de plus les quantités CX , NX and NP :
CX = hB̂Xi B̂Xj i pour chaque i 6= j
NX =
2
B̂X
pour chaque i
i
NP =
B̂P2 i pour chaque i.
62
(a) Calculer les commutateurs [B̂Xi , B̂Pj ] et [B̂Xi , B̂Pi ].
ˆ :
(b) Pour tout réel on définit l’opérateur ⇤
ˆ = B̂X1 +
⇤
M
X
B̂Xi .
i=2
ˆ B̂P1 ], et en déduire une inégalité de Heisenberg
Calculer le commutateur [⇤,
ˆ B̂P1 .
sur le produit ⇤
ˆ 2 pour une valeur judicieusement choisie de , montrer que :
(c) En calculant ⇤
✓
◆2
2(M 1)
NX NY
(4)
M
et vérifier que lorsque a ⌘ b on retrouve bien le résultat III.3 pour M = 2.
(d) En supposant que le bruit ne dépend pas de la quadrature, quel est le bruit
minimal ajouté par la machine cloneuse 1 vers M ? Quel est la limite de ce
bruit à la “limite classique” où M ! 1 ?
4. Cryptographie quantique avec X̂ et P̂ .
On suppose maintenant qu’Alice et Bob veulent échanger une clé secrète en utilisant
les composantes de quadrature X̂ et P̂ , ce qui constitue un “protocole de cryptographie
quantique”. Une clé secrète est une suite de valeurs aléatoires, strictement identiques pour
Alice et Bob, et connues d’eux seuls ; elle est ensuite utilisée pour chi↵rer et déchi↵rer des
messages. Cette clé est constituée à partir de l’envoi d’impulsions lumineuses modulées,
permettant à Alice et Bob d’échanger une information, qui est ensuite traitée pour constituer la clé. Soulignons que le mot “information” ne désigne pas ici un message utile, mais
seulement les données partagées entre Alice et Bob, et utilisées pour constituer la clé.
Alice va ainsi envoyer à Bob des impulsions lumineuses correspondant à des états
cohérents, en modulant aléatoirement les valeurs de hX̂A i et hP̂A i, c’est-à-dire en choisissant un point (x, p) dans l’espace des phases (ou le diagramme de Fresnel) décrivant
le mouvement de l’oscillateur. Bob e↵ectue une détection homodyne de ces impulsions,
en choisissant aléatoirement de mesurer soit X̂B , soit P̂B . Il stocke le résultat, puis informe Alice de son choix de mesure ; Alice conserve la valeur de la quadrature choisie par
Bob. Après avoir envoyé beaucoup d’impulsions, Alice et Bob auront ainsi échangé de
l’information, qui aura pu être partiellement interceptée par l’espion Eve.
Pour quantifier cet échange, on considère que le canal de transmission se comporte
comme un “duplicateur”, caractérisé par les gains et des bruits définies dans la partie III,
et dont les deux sorties correspondent respectivement à l’espion Eve (E, au lieu de a) et
à Bob (B, au lieu de b). Le canal de transmission permet donc d’échanger des séries de
données, qui pour Alice, Bob et Eve sont voisines les unes des autres, mais pas identiques
à cause du bruit ajouté par la transmission.
63
La quantité d’information échangée entre deux interlocuteurs est d’autant plus grande
que la di↵érence entre les séries enregistrées par ces deux interlocuteurs est plus petite,
et elle est mesurée par une quantité appelée information mutuelle, introduite par Claude
Shannon en 1948. Si les valeurs (x, p) sont choisies aléatoirement par Alice avec une
double distribution Gaussienne de variance VA , identique pour x et p, et que le bruit
ajouté par le canal est un bruit additif Gaussien, l’information mutuelle maximale entre
l’émetteur et le récepteur est donnée par une formule établie par Shannon :
1
VA
IAD = log2 (1 +
)
2
1 + ND
où VA est donc la variance de la modulation d’Alice, et où ND la variance du bruit (supposé
Gaussien) “ramené à l’entrée” de la voie de transmission vers le destinataire D.
1. En supposant que VA a la même valeur pour les deux quadratures, quelles sont les
expressions des informations mutuelles IAB et IAE ? Suivant le choix de la mesure effectuée, on exprimera ces informations mutuelles en fonction d’un des bruits ajoutés
NXB , NPB , NXE ou NPE .
2. Eve ne sait pas à l’avance quelle quadrature va mesurer Bob, mais on suppose
qu’elle dispose d’une “mémoire quantique”, capable de stocker l’impulsion dont elle
dispose, sans e↵ectuer de mesure. Quelle doit alors être sa stratégie pour extraire le
maximum d’information ?
3. A partir de l’information échangée, Alice et Bob peuvent générer deux suites de
valeurs strictement identiques, qui vont constituer une “clé secrète” pour coder et
décoder des messages ultérieurs. On admettra que la taille de cette clé secrète est
donnée par I = IAB IAE . En utilisant l’inégalité établie dans la question III.2,
calculer la valeur de I en fonction du bruit ajouté vu par Bob, supposé identique
pour les deux quadratures (ce bruit peut être estimé par Alice et Bob). Quelle est
la condition sur ce bruit ajouté pour que I soit positif ?
4. On suppose que la transmission optique du canal est égale à T , et qu’on peut
modéliser ce canal comme un miroir partiellement réfléchissant, de coefficients de
transmission T et de réflexion R = 1 T . On supposera aussi qu’Eve peut s’emparer
de la partie du faisceau (réfléchie) non reçue par Bob. Calculer le bruit ajouté pour
Bob, et donner la condition pour que I = IAB IAE soit positif. En supposant
que l’atténuation du canal est celle d’une fibre optique (0.2 dB/km), quelle est la
distance maximale à laquelle une clé secrète peut être distribuée par cette méthode ?
5. Il est possible de dépasser cette distance, à condition de prendre comme base pour
construire la clé secrète les valeurs du signal reçu par Bob, et non celles du signal
envoyé par Alice (comme cela avait été fait à la question 2). On montre que la taille
de la clé est alors I 0 = IAB IBE , où IBE est maintenant l’information mutuelle
entre Eve et Bob. On admettra que IBE obéit à l’inégalité suivante :
✓
◆
1
1
2
IBE  log2 T (NB + 1 + VA )(NB +
)
2
1 + VA
En considérant à nouveau que NB est uniquement dû à la transmission du canal,
quelle est alors la condition sur cette transmission pour I 0 soit positif ? Conclure.
64
CORRIGÉ
1. Définitions et notations
1. Opérateur champ électrique dans le mode l en fonction de X̂l et P̂l :
!
"
Êl (⃗r, t) = −El ⃗ϵl X̂l sin(⃗kl .⃗r − ωt) + P̂l cos(⃗kl .⃗r − ωt)
(1)
2. Relations de commutation des opérateurs de quadratures :
[X̂l , P̂m ] = 2i δlm
(2)
3. Inégalité de Heisenberg pour les deux composantes de quadrature :
∆X̂l ∆P̂l ≥ 1
(3)
2. Détection homodyne
1. Opérateurs destructions pour les deux nouveaux modes â+ et â− :
â+ =
âs + âol eiθ
√
2
et â− =
âs − âol eiθ
√
.
2
2. Expression de la diﬀérence δ Iˆ ≡ Iˆ+ − Iˆ− des signaux des deux photodiodes :
δ Iˆ ≡ Iˆ+ − Iˆ− ∝ â†+ â+ − â†− â− = â†s âol eiθ + â†ol âs e−iθ .
3. Expressions de X̂θ et P̂θ√en fonction de X̂s et P̂s :
On a δ Iˆ ∝ α(âe−iθ + â† eiθ ) ∝ Iol X̂θ et donc
X̂θ = (aˆs e−iθ + aˆs † eiθ ) = X̂s cos θ + P̂s sin θ
P̂θ = −i(aˆs e−iθ − aˆs † eiθ ) = −X̂s sin θ + P̂s cos θ
(4)
(5)
où P̂θ est obtenu à partir de X̂θ en ajoutant π/2 à θ.
4. Dessin des fonctions d’onde ⟨x|n⟩ et des densités de probabilité |⟨x|n⟩|2 : voir cours
de Tronc Commun.
2 √
5. On a P (x) = (1 − η + 2ηx2 ) e−x / π, et on vérifie facilement que P ′′ (x = 0)
s’annule pour η = 1/3. Ce mélange statistique correspond à la détection d’un photon avec
une eﬃcacité quantique η, donc pour observer la “propriété caractéristique” qui consiste
à avoir un minimum en x = 0, il faut une eﬃcacité de détection plus grande que 1/3.
√
6. On vérifie que P0 (x = 0) = 1/ π ∼ 0.56, et on a P1 (x = 0) ∼ 0.56(1 − η) ∼ 0.28,
donc η ∼ 0.5 (en fait la valeur mesurée est η = 0.55), ce qui est bien supérieur à 1/3.
65
3. Clonage de variable quantiques continues
1. En combinant les équation ci-dessus pour Xa et Pb , pour Xb et Pa , et en utilisant
les inégalités de Heisenberg, on montre facilement que les bruits ajoutés obéissent
aux inégalités (les chapeaux sont omis) :
∆BXa ∆BPb ≥ |gXa gPb |
∆BXb ∆BPa ≥ |gXb gPa |.
(6)
2. En utilisant les définitions on obtient alors les inégalités :
NXa NPb ≥ 1
NXb NPa ≥ 1
(7)
Un faible bruit ajouté sur une quadrature revient à dire qu’on peut mesurer
précisément cette quadrature. Les inégalités disent donc qu’on ne peut pas mesurer simultanément la composante X sur l’une des copies, et la composante P sur
l’autre. En eﬀet, si on pouvait le faire, on pourrait déterminer à la fois X et P sur
l’état initial, ce qui serait contradictoire avec les inégalités de Heisenberg.
3. Si NXa = NPa = Na et NXb = NPb = Nb alors on a Na Nb ≥ 1.
4. D’après les équations vues en cours on a :
√
Xa = 2Xin + Xb
√
Pa = 2 Pin + Pb
√
√
Xt = (Xa + Xv )/ 2 = Xin + (Xb + Xv )/ 2
√
√
Pt = (Pa + Pv )/ 2 = Pin + (Pb + Pv )/ 2
√
√
Xr = (Xa − Xv )/ 2 = Xin + (Xb − Xv )/ 2
√
√
Pr = (Pa − Pv )/ 2 = Pin + (Pb − Pv )/ 2
où Xb , Pb , Xv , Pv sont associés à des modes vides entrants dans l’amplificateur (b)
ou dans la lame séparatrice (v). La variance de ces opérateurs valant 1, la variance
du bruit total ajouté vaut bien 1 aussi, comme annoncé par l’inégalité générale.
5. (a) Pour les commutateurs [BXi , BPj ] et [BXi , BPi ] on trouve
[BXi , BPj ] = −[Xin , Pin ] pour chaque i ̸= j
[BXi , BPi ] = 0 pour chaque i
(8)
(9)
(b) Le commutateur [Λ, BP1 ], et l’inégalité de Heisenberg sur le produit ∆Λ∆BP1
sont :
[Λ, BP1 ] = −λ(M − 1)[Xin , Pin ].
(10)
∆Λ∆BP1 ≥ |λ(M − 1)|.
(11)
(c) En calculant ∆Λ2 on obtient :
∆Λ
2
=
2
∆BX
1
+λ
2
M
#
2
∆BX
i
i=2
+ 2λ
M
#
i=2
⟨BX1 BXi ⟩ + λ
2
i̸=j
#
⟨BXi BXj ⟩
i,j>1
= [1 + λ2 (M − 1)]NX + [2λ(M − 1) + λ2 (M − 1)(M − 2)]CX .
66
En prenant λ = −2/(M − 2) on obtient :
∆Λ2 =
d’où on déduit
M2
NX ,
(M − 2)2
(12)
%2
2(M − 1)
NX NP ≥
(13)
M
Cette formule est aussi valable si M = 2, et dans le cas trivial M = 1.
(d) Si le bruit ne dépend pas de la quadrature, le bruit minimal ajouté par la
machine cloneuse 1 vers M est NX = NP = Nmin = 2(M − 1)/M et la “limite
classique” où M → ∞ est 2.
$
4. Cryptographie quantique avec X et P.
1. Les expressions des informations mutuelles IAB et IAE sont suivant les cas :
VA
VA
IAB = 21 log2 (1 + 1+N
), IAE = 12 log2 (1 + 1+N
) pour une mesure de X, et
X
X
B
IAB = 12 log2 (1 +
VA
),
1+NPB
E
IAE = 12 log2 (1 +
VA
1+NPE
) pour une mesure de P .
2. Si Eve ne sait pas à l’avance quelle quadrature Bob va mesurer, sa meilleure stratégie
est de cloner les impulsions, d’en envoyer une à Bob, et de conserver l’autre dans
une mémoire, pour mesurer soit X soit P lorsque Bob annonce son choix de mesure.
3. On peut donc utiliser l’inégalité de non-clonage établie précédemment, et on obtient
en considérant une mesure de X (les mêmes relations sont obtenues pour P ) :
$
%
1
VA
VA
∆I =
log2 (1 +
) − log2 (1 +
)
2
1 + NXB
1 + NXE
Puisque NXE ≥ 1/NXB , on a :
$
%
1
VA
VA
∆I ≥
log2 (1 +
) − (1 +
)
2
1 + NXB
1 + 1/NXB
et en supposant NXB = NPB = NB , ∆I ≥ 12 log2 ((1 + NB + VA )/(1 + NB + NB VA )).
On a ∆I ≥ 0 ssi NB < 1.
4. Pour un canal avec des pertes seulement, on obtient NB = (1 − T )/T On a donc
∆I ≥ 1 ssi (1 − T )/T < 1, donc T > 1/2. Ceci correspond donc à des pertes de
3 dB, donc à 15 km de fibre optique.
5. On a alors
1
VA
1
1
∆I ≥ log2 (1 +
) − log2 (T 2 (NB + 1 + VA )(NB +
))
2
1 + NB
2
1 + VA
1
1
1
T
∆I ≥ − log2 (T 2 (NB + 1)(NB +
)) = − log2 (1 − T +
)
2
1 + VA
2
1 + VA
donc ∆I ≥ 0 pour 1 + VA ≥ 1, ce qui est toujours vrai. On peut donc distribuer une
clé secrète à une distance arbitraire, tant que d’autres défauts n’entrent pas en jeu.
67
Promotion 2010
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 25 mars 2013
Sujet proposé par Alain Aspect, Philippe Grangier, Michel Brune et Fabien Bretenaker
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Il est rappelé qu’une présentation soignée et une rédaction claire ont une influence favorable sur le correcteur.
Les trois premières parties s’enchaînent, mais il n’est pas indispensable d’avoir traité la
totalité d’une partie pour passer à la partie suivante. Il est néanmoins fortement recommandé de traiter les questions 1.2 à 1.6 avant de passer aux parties 2 et 3.
La partie 4 est un exercice indépendant des parties précédentes, à condition de se reporter
aux questions 1.3, 1.4 et 1.5 pour y trouver la définition des fonctions de corrélation du
rayonnement.
Fonctions de corrélation du rayonnement.
Eﬀet Hanbury Brown et Twiss
Le but de ce problème est de calculer les fonctions de corrélation du premier ordre et du
deuxième ordre de divers types de rayonnement. La fonction de corrélation du deuxième
ordre a été mesurée pour la première fois par R. Hanbury Brown et R.Q. Twiss en 1956.
Cette expérience a ouvert la voie à l’optique quantique moderne.
On considère le rayonnement émis par une source éloignée, vue sous un angle petit,
dans la direction − Oz. On le décrit par des ondes planes se propageant suivant Oz.
z
L
0
Figure 1.
68
En ignorant la polarisation, on écrira donc le champ en représentation de Heisenberg
Ê(z, t) =
!
(1)
iEℓ âℓ ei(kℓ z−ωℓ t) + h.c.
(1.1)
ℓ
= Ê
(+)
(z, t) + Ê
(−)
(z, t)
avec
kℓ =
ωℓ
.
c
(1.2)
On va s’intéresser aux fonctions de corrélation du rayonnement au point L, pour diverses
sources émettant dans des bandes spectrales étroites, de sorte qu’on pourra ignorer la
(1)
dépendance en fréquence de Eℓ
(1)
Eℓ
= E (1) .
(1.3)
Dans le problème, on aura besoin d’utiliser les propriétés ci-dessous.
La transformée de Fourier de
Γ
f (τ ) = e− 2 |τ | e−iω0 τ
(1.4)
est la Lorentzienne
1
f˜(ω) = √
2π
"
+∞
−∞
1
Γ
dτ eiωτ f (τ ) = √
2π (ω − ω0 )2 +
(1.5)
Γ2
4
et réciproquement
1
f (τ ) = √
2π
"
+∞
−∞
1
dω e−iωτ f˜(ω) =
2π
"
+∞
−∞
Γ e−iωτ
(ω − ω0 )2 +
Γ2
4
.
(1.6)
On a donc en particulier
1
f (0) = 1 =
2π
"
+∞
dω
−∞
Γ
(ω − ω0 )2 +
Γ2
4
.
(1.7)
1. Rayonnement émis par un ensemble d’émetteurs quantiques
indépendants
Un ensemble d’atomes excités émettent des photons de fluorescence indépendants, et
le rayonnement résultant peut être décrit par l’état (représentation de Heisenberg)
|ψfluo ⟩ = |1⟩1 ⊗ |1⟩2 . . . |1⟩N =
N
#
j=1
69
|1⟩j ,
(1.8)
où |1⟩j est un état à 1 photon dans le mode j. Les N modes excités couvrent une bande
de fréquence de largeur à mi-hauteur Γ, centrée sur ω0 . Plus précisément, ils sont répartis
avec une densité Lorentzienne
ρ(ω) =
dN
N
Γ
=
dω
2π (ω − ω0 )2 +
Γ2
4
(1.9)
.
La fonction ρ(ω) est proportionnelle à la densité spectrale de la source. Pour les applications numériques, on prendra
ω0
= 5 × 1014 Hz ;
2π
Γ = 108 s−1 .
(1.10)
Lorsque le texte le précisera, on pourra être amené à remplacer des sommes discrètes par
des intégrales en eﬀectuant la substitution
N
!
−→
"
+∞
dω ρ(ω) .
(1.11)
−∞
j=1
1.1. Calculer N̂ℓ |ψfluo ⟩ puis N̂ |ψfluo ⟩ avec N̂ℓ =
â†ℓ
âℓ (ℓ ∈ [1, N]) et N̂ =
+∞
!
N̂ℓ .
ℓ=−∞
Commenter.
1.2. On s’intéresse au rayonnement en L. Montrer que Ê (+) (L, t)|ψfluo ⟩ peut s’écrire
Ê (+) (L, t)|ψfluo ⟩ =
!
fℓ (t) âℓ |ψfluo ⟩ .
(1.12)
ℓ
Donner la forme explicite de fℓ (t).
1.3. La fonction de corrélation temporelle du premier ordre G(1) du rayonnement |ψ⟩
est définie par
G(1) (L, t; L, t + τ ) = ⟨ψ|Ê (−) (L, t) Ê (+) (L, t + τ )|ψ⟩ .
(1.13)
a) Exprimer ⟨ψfluo |Ê (−) de façon analogue à (1.12), et mettre G(1) sous la forme
G(1) (L, t; L, t + τ ) =
! !
ℓ
fℓ∗′ (. . . )fℓ (. . . )⟨ψfluo |â†ℓ′ âℓ |ψfluo ⟩ .
(1.14)
ℓ′
On donnera l’expression des arguments (. . . ) de fℓ∗′ (. . . ) et fℓ (. . . ) dans l’expression cidessus.
b) Montrer que la double somme peut se ramener à une somme à un seul indice.
En déduire que G(1) (L, t; L, t + τ ) ne dépend que de τ . On utilisera désormais dans ce
problème la notation simplifiée G(1) (τ ) pour désigner G(1) (L, t; L, t + τ ).
c) Eﬀectuer la substitution (1.11), et montrer que G(1) (τ ) s’exprime en fonction de la
transformée de Fourier de ρ(ω), que l’on calculera explicitement en utilisant les formules
(1.4-1.6).
70
1.4. La fonction de corrélation temporelle réduite du premier ordre est définie par
g (1) (τ ) =
G(1) (τ )
.
G(1) (τ = 0)
(1.15)
On peut la mesurer par exemple en utilisant un interféromètre de Michelson dont le signal
s’exprime en fonction du retard τ entre les deux bras sous la forme
IMich (τ ) = I0
g (1) (τ ) + [g (1) (τ )]∗
1+
2
$
%
.
(1.16)
En déduire la forme du signal IMich (τ ), que l’on représentera graphiquement de façon
schématique. Indiquer la valeur de g (1) (0).
Quelle valeur de diﬀérence de marche ∆ = cτ doit être accessible au Michelson
pour pouvoir déterminer la valeur de la largeur de raie Γ ? Faire l’application numérique
(c = 3 × 108 m/s).
Pensez-vous qu’il serait possible de déterminer Γ avec un spectromètre à prisme ou à
réseau ?
1.5. La fonction de corrélation temporelle du deuxième ordre est définie par
G(2) (L, t; L, t + τ ) = ⟨ψ|Ê (−) (L, t) Ê (−) (L, t + τ ) Ê (+) (L, t + τ ) Ê (+) (L, t)|ψ⟩ .
(1.17)
En raisonnant comme ci-dessus, on peut montrer qu’elle ne dépend que de τ , et on
utilisera désormais la notation simplifiée G(2) (τ ).
La fonction de corrélation temporelle du deuxième ordre réduite est définie par
g (2) (τ ) =
G(2) (τ )
.
[G(1) (0)]2
(1.18)
a) Exprimer G(2) (τ ) en généralisant la démarche de 1.3a) et faire apparaître une
quadruple somme sur les indices ℓ, m, p, q.
b) Montrer que la quadruple somme se ramène à la somme de deux doubles-sommes
que l’on écrira explicitement.
c) Montrer que
1
g (0) = µ 1 −
N
(2)
Ç
å
(1.19)
et déterminer µ.
1.6. N étant très grand, on peut négliger 1 devant N. Montrer qu’alors G(2) (τ ) s’exprime en fonction de G(1) (τ ) et G(1) (0) (question 1.3b)). En déduire l’expression de g (2) (τ )
en fonction de g (1) (τ ).
71
Que valent g (2) (0) et g (2) (τ → ∞).
1.7. Un photodétecteur rapide placé en z = L donne un photocourant dont la fonction
d’autocorrélation est proportionnelle à g (2) (τ ).
a) Tracer le signal obtenu avec un autocorrélateur qui calcule la fonction d’autocorrélation du photocourant.
Quelle est la résolution temporelle que doit avoir l’instrumentation, pour les valeurs
numériques indiquées ici ?
b) Au lieu d’utiliser un autocorrélateur, on peut étudier les fluctuations du photocourant avec un analyseur de spectre, qui fournit la transformée de Fourier de la fonction
d’autocorrélation du courant (théorème de Wiener-Khintchine).
Déterminer la forme du spectre obtenu.
c) Les méthodes des questions a) et b) permettent-elles de déterminer la forme de
ρ(ω) ? Permettent-elles de déterminer ω0 ?
2.
Rayonnement laser monomode
Le rayonnement émis par un laser monomode idéal est de la forme
|ψmono ⟩ = |α0 ⟩0 .
(2.1)
L’indice ℓ = 0 caractérise le mode du faisceau laser, qui est une onde de fréquence ω0 , se
propageant suivant Oz.
L’état |α0 ⟩0 est un état quasi-classique tel que
â|α0 ⟩0 = α|α0 ⟩0 .
(2.2)
où α0 est un nombre complexe.
2.1. Calculer G(1) (τ ) et g (1) (τ ) (cf. questions 1.3 et 1.4).
2.2. Calculer G(2) (τ ) et g (2) (τ ) (cf. question 1.6).
2.3. Comparer les résultats ci-dessus à ceux de la question 1.6, et commenter.
3.
Rayonnement incohérent
On considère maintenant du rayonnement incohérent, décrit par
|ψinc ⟩ =
N
#
j=1
72
|αj ⟩j
(3.1)
où les |αj ⟩j sont des états quasi-classiques, caractérisés par les nombres complexes αj dont
les arguments (phases) sont des variables aléatoires classiques équiparties sur [0, 2π]. On
a donc
αj = |αj | eiφj
(3.2)
avec
eiφj = 0
(3.3)
ei(φj −φj′ ) = δjj ′ ,
(3.4)
formules dans lesquelles la notation
indique une moyenne statistique habituelle. Les
fonctions de corrélation sont alors définies en prenant la moyenne statistique
des
fonctions de corrélation G(1) et G(2) définies aux questions 1.2, 1.3, 1.4.
Comme dans la partie 1, on suppose que les modes contenant du rayonnement forment
un quasi-continuum, caractérisé par une densité de modes
ρ(ω) =
N
∆ω
2π (ω − ω0 )2 +
∆ω 2
4
.
(3.5)
Ce modèle permet de décrire le rayonnement obtenu en filtrant du rayonnement thermique
à l’aide d’un filtre à bande étroite Lorentzienne. On prendra ∆ω = 108 s−1 . On peut alors
considérer que tous les |αℓ | sont égaux
|αℓ | = |α(ω)| = |α| = 2 × 10−2 .
(3.6)
Comme à la partie 1, on pourra si nécessaire remplacer les sommes discrètes par des
intégrales (formule 1.11).
3.1. Calculer G(1) (τ ) puis G(1) (τ ), et exprimer le résultat en fonction de la transformée
de Fourier ρ̃(τ ) de ρ(ω) et |α|.
3.2. Comme en 1.4, on analyse le rayonnement en utilisant un interféromètre de
Michelson.
a) Donner l’expression du signal obtenu, qui est de la forme (1.16), en remplaçant
g (τ ) par
(1)
g (1) (τ ) =
G(1) (τ )
.
G(1) (0)
(3.7)
b) Calculer explicitement le signal pour la densité spectrale (3.5), et tracer schématiquement la forme du signal.
3.3.a) Calculer G(2) (τ ), en faisant apparaître une quadruple somme sur des indices
ℓ, m, p, q.
73
b) Prendre la moyenne statistique pour obtenir G(2) (τ ), et montrer qu’elle se ramène
à la somme de deux doubles sommes.
c) Exprimer le résultat en fonction de G(1) (τ ), et en déduire
g (2) (τ ) =
G(2) (τ )
|G(1) (0)|2
(3.8)
en fonction de g (1) (τ ). Donner la valeur de g (2) (0).
Tracer g (2) (τ ), qui peut être mesuré à l’aide d’un détecteur rapide et d’un autocorrélateur.
3.4. Vous paraît-il possible, avec les mesures de g (1) et g (2) , de distinguer le rayonnement de la partie 3 et celui de la partie 1 ? Même question pour le rayonnement de la
partie 2 et de la partie 3.
4. Détermination de g (2) (τ ) par le montage de Hanbury Brown et
Twiss
2
1
3
D
z
w (1) (D)
4
w (2) (D, D ′, τ )
D
′
w (1) (D ′ )
z′
Figure 2. Montage de Hanbury Brown et Twiss.
La plupart des photodétecteurs ont un temps mort qui empêche de mesurer la fonction d’autocorrélation du photocourant pour des retards τ petits (le temps mort peut
atteindre plusieurs dizaines de nanosecondes). Pour s’aﬀranchir de ce problème et mesurer la fonction de corrélation g (2) (τ ) du rayonnement à petit retard, R. Hanbury Brown
et R.Q. Twiss ont introduit en 1956 un montage à deux détecteurs D et D ′ , images l’un
de l’autre dans une lame semi-réfléchissante (Figure 2).
74
On rappelle que les probabilités de photodétection simples et en coïncidences sont proportionnelles aux fonctions de corrélation du rayonnement G(1) et G(2) . Plus précisément
w (1) (D) = s G(1) (D, τ = 0)
(−)
(+)
(4.1)
= s ⟨ψout |Ê3 (D, t)Ê3 (D, t)|ψout ⟩
(−)
(+)
w (1) (D ′) = s ⟨ψout |Ê4 (D ′ , t)Ê4 (D ′ , t)|ψout ⟩
(−)
(−)
(4.2)
(+)
(+)
w (2) (D, D ′, τ ) = s2 ⟨ψout |Ê3 (D, t)Ê4 (D ′ , t + τ )Ê4 (D ′ , t + τ )Ê3 (D, t)|ψout ⟩ . (4.3)
L’état |ψout ⟩ désigne l’état du rayonnement après la lame semi-réfléchissante où seuls les
modes de type 3 et 4 sont excités (voir figure). De même Ê3 et Ê4 sont les restrictions de
l’opérateur champ électrique aux modes 3 et 4.
On sait qu’on peut se ramener dans l’espace situé avant la lame semi-réfléchissante
(modes de type 1 et 2), en considérant le rayonnement entrant
|ψin ⟩ = |ψ⟩1 ⊗ |0⟩2 ,
(4.4)
constitué du rayonnement à analyser en 1 et du vide en 2, et en utilisant la transformation
des champs sur la lame
√
√
(+)
(+)
(+)
Ê3 (D, t) = T Ê1 (L, t) + R Ê2 (L, t)
(4.5)
√
√
(+)
(+)
(+)
Ê4 (D ′ , t) = − R Ê1 (L, t) + T Ê2 (L, t) .
(4.6)
4.1. Calculer w (1) (D) et w (1) (D ′ ) en fonction de la corrélation G(1) (τ = 0) du rayonne(1)
ment entrant |ψin ⟩, dont on montrera qu’elle est égale à celle G1 (τ = 0) du rayonnement
|ψ⟩1 reçu de la source.
4.2. Calculer w (2) (D, D ′ , τ ) en fonction de la corrélation G(2) (τ ) du rayonnement en(2)
trant |ψ⟩in. On montrera qu’il s’agit aussi de la fonction de corrélation G1 (τ ) du rayonnement |ψ⟩1 reçu de la source.
4.3. Montrer que les mesures ci-dessus permettent de déterminer la fonction de cor(2)
rélation du deuxième ordre réduite g1 (τ ) du rayonnement reçu de la source.
4.4. En comptage de photons, un photodétecteur fournit une impulsion logique
dont le front de montée est défini avec une excellente résolution temporelle (mieux
que la nanoseconde) mais la durée vaut plusieurs dizaines de nanosecondes (on prendra
tM = 50 ns).
a) Quelle condition faut-il respecter sur les taux moyens de comptage (nombres de
coups par seconde ν et ν ′ ) pour que ces taux donnent une bonne approximation de G(1) (0).
b) Expliquer pourquoi g (2) (τ ) peut alors être déterminé avec une résolution temporelle
bien meilleure que tM grâce au montage de Hanbury Brown et Twiss.
75
CORRIGÉ
Fonctions de corrélation du rayonnement.
Eﬀet Hanbury Brown et Twiss
1.
Emetteurs quantiques indépendants
N
!
|ψfluo ⟩ =
|1⟩j .
j=1
1.1. Si ℓ ∈ [1, N], alors N̂ℓ |ψfluo ⟩ = 1|ψfluo ⟩ : 1 photon dans le mode ℓ pour ℓ ∈ [1, N].
Si ℓ ∈
/ [1, N], alors N̂ℓ |ψfluo ⟩ = 0
+∞
"
ℓ=−∞
1.2.
N̂ℓ |ψfluo ⟩ = N|ψfluo ⟩ : N photons dans le rayonnement .
Ê (+) (L, t) =
"
ℓ
i E (1) âℓ ei(
ωℓ
L−ωℓ t
c
) = " i E (1) â e−iωℓ (t− Lc )
ℓ
ℓ
(1) −iωℓ (t− L
c)
fℓ (t) = i E
e
.
1.3.a)
ò2
" "ï
L
L
(1)
(1)
G (L, t; L, t + τ ) =
E
eiωℓ′ (t− c ) e−iωℓ (t+τ − c ) ⟨ψfluo |â†ℓ′ âℓ |ψfluo ⟩
ℓ
b)
ℓ′
⟨ψfluo |â†ℓ′ âℓ |ψfluo ⟩ = δℓ′ ℓ
ï
(1)
⇒
G (L, t; L, t + τ ) = E
(1)
ò2 "
e−iωℓ τ .
ℓ
c) En utilisant (1.11)
ï
(1)
G (τ ) = E
(1)
ò2 #
dω
N
Γ
2π (ω − ω0 )2 +
Γ2
4
e−iωτ .
D’après (1.4-1.6)
−Γ
|τ | −iω0 τ
2
f (τ ) = e
⇒
e
1
=
2π
#
dω
ò2
ï
Γ
(ω − ω0 )2 +
Γ2
4
e−iωτ
Γ
G(1) (τ ) = N E (1) e− 2 |τ | e−iω0 τ .
1.4.
Γ
g (1) (τ ) = e− 2 |τ | e−iω0 τ
Γ
g (1) (τ ) + g (1) (τ )∗
= e− 2 |τ | cos ω0 τ
2
ï
Γ
IMich (τ ) = I0 1 + e− 2 |τ | cos ω0 τ
76
ò
IMich
2I0
0
−1/Γ
1/Γ
τ
Pour déterminer Γ, il faut un retard τ = Γ−1 = 10−8 s, donc une diﬀérence de marche
∆ = 3 m, soit un déplacement de 1.5 m du miroir mobile.
ω0
π × 1015
La résolution correspondante est
=
= π × 107 . Aucun spectromètre à
8
Γ
10
prisme ou à réseau n’a une telle résolution. C’est la force de la spectroscopie à transformée
de Fourier de permettre une pareille résolution.
1.5.a)
G(2) (τ ) =
ℓ
b)
∗
fℓ∗ (t) fm
(t + τ ) fp (t + τ ) fq (t)⟨ψfluo |â†ℓ â†m âp âq |ψfluo ⟩ .
""""
m
p
q
⟨ψfluo |â†ℓ â†m âp âq |ψfluo ⟩ = δℓp δmq (1 − δℓm ) + δℓq δmp (1 − δℓm ) ,
car âℓ âℓ |1⟩ℓ = 0.
Donc
G(2) (τ ) =
" "
ℓ
m̸=ℓ
+
" "
ℓ
(2)
G (τ ) =
∗
fℓ∗ (t) fℓ (t + τ ) fm
(t + τ ) fm (t)
N
"
∗
fℓ∗ (t) fℓ (t) fm
(t + τ ) fm (t + τ ) .
m̸=ℓ
fℓ∗ (t) fℓ (t
N
"
+ τ)
ℓ=1
+
N
"
ℓ=1
m̸=ℓ
|fℓ (t)|2
ï
= E (1)
ï
∗
fm
(t + τ ) fm (t)
+ E (1)
ò4 "
N
"
m̸=ℓ
|fm (t + τ )|2
e−iωℓ τ
ℓ=1
ò4 "
N
ℓ=1
$
"
m̸=ℓ
1
"
1 .
m̸=ℓ
%&
N (N −1)
77
'
eiωm τ
c)
ï
(2)
G (0) = 2N(N − 1) E
(1)
ò4
.
En se souvenant de
ï
G(1) (0) = N E (1)
ò2
N(N − 1)
1
g (0) = 2
=
2
1
−
N2
N
µ=2.
Ç
(2)
å
1.6. Si N ≫ 1, on peut
ignorer
la restriction m ̸= ℓ dans les doubles sommes. La
ï
ò4
deuxième donne alors N 2 E (1) , et la première |G(1) (τ )|2 . On a donc
G(2) (τ ) = |G(1) (τ )|2 + |G(1) (0)|2
d’où
g (2) (τ ) = 1 + |g (1) (τ )|2
g (2) (0) = 2 g (2) (τ ≫ Γ) = 1
1.7.a) g (2) (τ ) = 1 + e−Γ|τ |
g (2) (τ )
2
1
Γ−1
τ
L’appareillage doit avoir une résolution temporelle meilleure que Γ−1 = 10−8 s. Ce
sont des performances courantes aujourd’hui.
b) La transformée de Fourier de g (2) (τ ) est
g̃ (2) (ω) =
#
+∞
−∞
=
√
1
2π δ(ω) + √
2π
dτ e−Γ|τ | e−iωτ =
#
0
−∞
#
+∞
−∞
dτ e−Γ|τ | e−iωτ
dτ e+Γτ e−iωτ +
#
0
∞
dτ e−Γτ e−iωτ
1
1
−iω − Γ + iω − Γ
2Γ
−
=
=
−iω + Γ −iω − Γ
−ω 2 − Γ2
ω 2 + Γ2
g (2) (ω) =
√
2π δ(ω) +
2
Γ
2
π ω + Γ2
Pic à ω = 0, plus Lorentzienne de largeur à mi-hauteur Γ.
c) Les deux méthodes donnent Γ, la largeur du spectre mais pas ω0 . En revanche la
mesure de la question 1.4 permet non seulement d’obtenir Γ mais aussi ω0 .
78
2.
Rayonnement laser monomode
2.1.
G(1) (τ ) = |α0 |2 e−iω0 τ
g (1) (τ ) = e−iω0 τ .
2.2.
G(2) (τ ) = |α0 |4
g (2) (τ ) = 1 .
2.3. On a g (2) (0) = 1 = g (2) (∞). Il n’y a pas de bosse autour de τ = 0. Pas de
fluctuations de l’intensité, à la diﬀérence du rayonnement de la question 1.
3.
Rayonnement incohérent
G(1) (τ ) =
3.1.
" "
ℓ
ℓ′
fℓ∗′ (t) fℓ (t + τ )⟨ψinc |â†ℓ′ âℓ |ψinc ⟩ .
Or ⟨ψinc |â†ℓ′ âℓ |ψinc ⟩ = αℓ∗′ αℓ ⟨ψinc |ψinc ⟩ = αℓ∗′ αℓ .
En prenant la moyenne statistique, on a
αℓ∗′ αℓ = |αℓ |2 δℓℓ′ .
D’où
G(1) (τ )
=
"
fℓ∗ (t) fℓ (t
ℓ
2
ï
+ τ )|αℓ | = E
(1)
ò2 "
ℓ
e−iωℓ τ |αℓ |2 .
En eﬀectuant la substitution (1.11), on obtient
ï
ò2
G(1) (τ ) = E (1) |αℓ |2
2
ï
= N|αℓ | E
ï
ò2
(1)
#
ò2
dω ρ(ω)e−iωτ
1
2π
= E (1) |αℓ |2 e−
3.2.a) g (1) (τ ) = e−
∆ω
|τ |
2
#
+∞
−∞
∆ω
|τ |
2
dω
∆ω e−iωτ
2
(ω − ω0 )2 + ∆ω
4
e−iω0 τ .
e−iω0 τ .
Le résultat est analogue à celui de 1.4, en remplaçant Γ par ∆ω.
(
b) IMich = I0 1 + e−
∆ω
|τ |
2
)
cos ω0 τ .
79
IMich
2I0
0
−1/∆ω
1/∆ω
τ
3.3.a)
G(2) (τ ) =
""""
ℓ
m
p
q
∗
fℓ∗ (t) fm
(t + τ ) fp (t + τ ) fq (t)⟨ψinc |â†ℓ â†m âp âq |ψinc ⟩
∗
avec ⟨ψinc |â†ℓ â†m âp âq |ψinc ⟩ = αℓ∗ αm
αp αq .
b) Moyenne statistique
αℓ∗
∗
αm
4
Å
ã
αp αq = |α| δℓp δmq + δℓq δmp .
D’où
ï
G(2) (τ ) = |α|4 E (1)
ò4
Ñ
""
e−iωℓ τ e−iωm τ +
m
ℓ
" "
ℓ
m̸=ℓ
(il ne faut pas coupler deux fois le terme ℓ = m = p = q)
(2)
(1)
2
(1)
G (τ ) = |G (τ )| + |G (0)|
2
Ç
1
1−
N
å
.
c) g (2) (τ ) = 1 + |g (1) |2 (N ≫ 1).
Comme à la partie 1
g (2) = 1 + e−∆ω|τ | .
2
g (2) (τ )
1
∆ω −1
4.
τ
Montage de Hanbury Brown et Twiss
4.1.
(1)
w (D) = s∥
Å√
(+)
T Ê1
80
+
√
(+)
RÊ2
ã
|ψin ⟩∥2 .
1
é
(+)
(+)
Mais Ê2 |ψin ⟩ = Ê2 |0⟩2 = 0, d’où
(+)
(1)
w (1) (D) = s T ∥Ê1 |ψ⟩1 ∥2 = s T G1 (τ = 0) .
De même
(1)
w (1) (D ′ ) = s R G1 (τ = 0) .
4.2.
w (2) (D, D ′, τ ) =
*Å √
*2
ãÅ√
ã
√
√
*
(+)
(+)
(+)
(+)
2*
*
s * − R Ê1 (L, t + τ ) + T Ê2 (L, t + τ )
t E1 (L, t) R E2 (L, t) |ψin ⟩** .
(+)
Ici encore, on a Ê2 |ψin ⟩ = 0 et il reste
(2)
′
w (D, D , τ ) = s
*
(+)
*Ê1 (L, t
2*
*
+
(2)
= s2 RT G1 (τ ) .
*
*
(+)
τ ) Ê1 (L, t)|ψin ⟩**
4.3. En utilisant les résultats des questions 4.1 et 4.2, on obtient
(2)
w (2) (D, D ′, τ )
G1 (τ )
(2)
=
= g1 (τ ) .
(1)
(1)
(1)
′
2
w (D)w (D )
[G1 (0)]
4.4.a) Il faut que la probabilité de recouvrement de deux impulsions soit négligeable,
soit
w (1) · tM ≪ 1
ou encore w (1) ≪ 2 × 107 s−1 .
b) Dans ces conditions, le circuit donnant w (2) (τ ) relatif aux fronts de montée donne
accès à G(2) (τ ), et donc à g (2) (τ ), avec la résolution associée aux fronts de montée (mieux
que 1 ns). Si on avait travaillé avec un seul détecteur, on n’aurait pas pu détecter deux
impulsions séparées de moins de 50 ns, et on n’aurait pas pu résoudre la bosse de largeur
Γ−1 = 10 ns.
81
Promotion 2015
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 19 mars 2018
Sujet proposé par Philippe Grangier, Alain Aspect et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Le problème constitue un tout. Néanmoins, à plusieurs endroits, il est possible de passer
à la suite sans résoudre complètement les questions. Il est rappelé qu’une présentation
soignée et une rédaction claire ont une influence favorable sur le correcteur.
Détection de l’état d’un qubit à la limite de Heisenberg.
On considère un amplificateur paramétrique optique (voir Figure 1), permettant de
coupler une pompe intense P (fréquence !P ) à deux modes distincts A et B (fréquences
!A et !B telles que !A + !B = !P ). La pompe est traitée comme un champ classique,
tandis que les modes A et B sont quantifiés. Dans ces conditions le rayonnement est
décrit dans la base de Fock {|nA , nB i ; nA et nB entiers positifs ou nuls} et l’hamiltonien
de couplage entre la pompe et les modes A et B s’écrit
ĤI = ih̄(e
i!P t
â† b̂†
ei!P t â b̂)
(1)
où â et b̂ sont les opérateurs d’annihilation dans les modes A et B, et  est réel. On
suppose que les entrées de l’amplificateur paramétrique sont vides, c’est-à-dire que l’état
où â et b̂ sont les opérateurs d’annihilation dans les modes A et B, et κ est réel.
initial du rayonnement
(avant interaction) est
Dans tout ce problème, on suppose que les entrées sont vides, c’est-à-dire que l’état
| 0 iinteraction)
= |nA =est0, nB = 0i .
initial du rayonnement (avant
(2)
(3)
|ψ0 ⟩ = |0, 0⟩ .
A
P
B
Figure 1 :
Figure 1 : Représentation du couplage entre les deux modes A et B à l’intérieur d’un
cristal
présence
faisceau
pompeA
P. et B à l’intérieur
Représentation
dunon-linéaire,
couplageenentre
lesd’un
deux
modes
cristal non-linéaire, en présence d’un faisceau pompe P.
1. Corrélations de photons
1
Dans toute cette partie, on utilise le formalisme de Schrödinger, dans lequel l’état du
82 â et b̂ ne dépendent pas du temps.
système |ψ(t)⟩ évolue, tandis que les opérateurs
1.1. L’hamiltonien du rayonnement libre vaut
Ç
å
Ç
å
1
1
Ĥ0 = !ωA â† â +
+ !ωB b̂† b̂ +
.
2
2
(4)
Écrire la forme la plus générale de l’état |ψ(t)⟩ du rayonnement des deux modes à l’instant
t, dans la base |nA , nB ⟩, en l’absence du Hamiltonien de couplage ĤI .
d’un
On rappelle enfin que l’hamiltonien libre, limité aux deux modes pertinents, est
Ĥ0 = h̄!A â† â + h̄!B b̂† b̂,
(3)
où on n’inclut pas l’énergie du vide qui ne joue aucun rôle ici.
1. Opérateurs quadratures en sortie de l’amplificateur paramétrique.
Dans cette partie, on utilise le formalisme de Heisenberg dans lequel les opérateurs
dépendent du temps, et le rayonnement est décrit par son état initial [équation (2)].
Si nécessaire l’indice S ou H indique qu’il s’agit d’un opérateur en représentation de
Schrödinger ou d’Heisenberg. En l’absence d’indice, on est en représentation H.
1.1. L’équation d’évolution d’un opérateur ÔH (t) en représentation d’Heisenberg peut
s’écrire
dÔH
ih̄
= [ÔS , ĤS ]H
(4)
dt
où ÔS est l’opérateur en représentation de Schrödinger, qui n’a pas de dépendance explicite
en temps. On remarquera que cette équation est valable même si l’Hamiltonien dépend
explicitement du temps en représentation de Schrödinger.
Écrire les équations d’évolution de â(t) et b̂(t) dans l’amplificateur, sous l’e↵et de
l’hamiltonien Ĥ = Ĥ0 + ĤI [voir équations (1) et (3)].
1.2. On e↵ectue le changement de variables
â(t) = Â(t) e
i!A t
b̂(t) = B̂(t) e
i!B t
.
(5)
Montrer que les opérateurs Â et B̂ obéissent à des équations di↵érentielles de la forme
dÂ
=
dt
dB̂
=
dt
B̂ †
Â†
(6)
et déterminer la valeur de .
1.3. Montrer que les valeurs Â(T ) et B̂ † (T ) à la sortie de l’amplificateur, après une
interaction présente entre t = 0 et t = T , s’expriment en fonction des opérateurs Â(0) et
B̂ † (0) associés au rayonnement d’entrée, par les relations suivantes :
Â(T )
= Â(0) cosh r + B̂ † (0) sinh r
(7)
B̂ † (T ) = Â(0) sinh r + B̂ † (0) cosh r .
(8)
D
E
Donner la valeur de r, et calculer le nombre de photons Ns = Â† (T )Â(T ) + B̂ † (T )B̂(T )
dans l’état obtenu.
2
1.4. Dans ce problème, on définit les composantes de quadratures entrantes (indice
“in”) et sortantes (indice “out”) par
A
X̂in
= Â† (0) + Â(0)
ŶinA = i(Â† (0)
A
X̂out
= Â† (T ) + Â(T )
A
Ŷout
= i(Â† (T )
Â(0))
Â(T ))
(9)
(10)
et de même pour le mode B.
A
Calculer le commutateur [X̂in
, ŶinA ]. En déduire la valeur du membre de droite de la
relation de dispersion de Heisenberg (parfois appelée ”relation d’incertitude”) :
1 D A AE
A
A
Xin · Yin
[X̂in , Ŷin ] .
(11)
2
B
On a des résultats analogues pour Xin
· YinB .
1.5. Calculer
A
Xin
=
rD
A
0 (X̂in
A 2
hX̂in
i)
0
A
A
où hX̂in
i = h 0 |X̂in
| 0 i, et | 0 i = |0, 0i. Calculer de même
de la question 1.4. Commenter.
E
(12)
YinA . Comparer au résultat
A
B
A
1.6. En utilisant les résultats précédents, exprimer X̂out
et X̂out
en fonction de X̂in
et
B
A
B
A
B
X̂in . De même exprimer Ŷout et Ŷout en fonction de Ŷin et Ŷin .
A
1.7. Calculer Xout
, défini en remplaçant l’indice “in” par “out” dans (12), ainsi que
A
A
A
Yout . En déduire la valeur de Xout
· Yout
.
A
A
1.8. Calculer le commutateur [X̂out
, Ŷout
] et en déduire une borne inférieure pour
A
A
Xout · Yout . La relation de Heisenberg est-elle saturée ? Commenter. On examinera,
B
B
en particulier, le cas r
1. On a des résultats identiques pour Xout
et Yout
.
A
B
A
B
1.9. Calculer X̂out
X̂out
, ainsi que sa moyenne et l’écart-type (Xout
Xout
) défini
comme en (12). Examiner le cas r
1. Commenter ce résultat, notamment à la lumière
des résultats de (1.7).
A
B
1.10. Calculer Ŷout
+ Ŷout
, ainsi que la moyenne et l’écart-type
le cas r
1, et commenter.
1.11. Calculer le commutateur
h
A
X̂out
B
X̂out
,
A
Ŷout
+
B
Ŷout
A
B
(Yout
+Yout
). Examiner
i
(13)
et commenter les résultats des questions 1.8 et 1.9. Est-il possible d’atteindre le minimum
de l’inégalité de Heisenberg (11) associée au commutateur (13) ?
2. Mesure de l’état d’un qubit par couplage à un champ micro-onde.
On considère un qubit, d’états |0i et |1i, ou, en notations de spin, | #i et | "i respectivement. Un tel qubit peut être réalisé à l’aide de circuits supraconducteurs à très basse
3
température, de l’ordre de T ⇠ 10 mK. Afin de mesurer le qubit, on le couple à un champ
micro-onde monomode, de fréquence ⌫ = !/2⇡, de l’ordre de 10 GHz.
2.1. Comparer kB T à h⌫, où kB = 1, 38⇥10 23 J·K 1 est la constante de Boltzmann et
h = 6, 62 ⇥ 10 34 m2 ·kg·s 1 la constante de Planck. Que peut-on en déduire concernant la
probabilité d’occupation des états à un ou plusieurs photon(s) dans le champ micro-onde ?
Qu’en conclure sur l’état du champ ?
2.2. On fait interagir le qubit avec le champ micro-onde pendant un temps ti , via le
Hamiltonien de couplage
Ĥi = h̄ â† â ˆz
où â† et â sont les opérateurs de création et d’annihilation d’un photon micro-onde et
ˆz est la matrice de Pauli. On rappelle que c’est une matrice 2 ⇥ 2 diagonale, de valeurs
propres 1 et +1 associées respectivement aux états |0i et |1i du qubit.
On appelle la valeur propre de ˆz associée aux états |0i ( = 1) et |1i ( = +1)
On suppose que le qubit est dans l’un de ces deux états. Déterminer, en représentation
de Heisenberg, l’équation d’évolution des opérateurs â et â† en fonction de , et de la
fréquence ! d’évolution libre. En déduire l’expression de â(t).
2.3. On introduit l’opérateur Â = âe+i!t et on définit les quadratures X̂in/out et Ŷin/out
comme dans la partie 1 [voir équations (9) et (10)].
Déterminer les expressions des opérateurs X̂out et Ŷout en fonction de X̂in , Ŷin , ,
du temps d’interaction ti .
⇥
⇤
⇥
⇤
2.4. Calculer les commutateurs X̂in , Ŷin puis X̂out , Ŷout .
et
0
2.5. Ecrire explicitement les expressions des opérateurs de quadrature de sortie X̂out
,
1
1
X̂out et Ŷout , correspondants aux deux cas où le qubit est dans l’état |0i ( = 1) ou
|1i ( = 1). En déduire l’expression de la di↵érence des quadratures X de sortie dans
1
0
les deux voies, D̂m = X̂out
X̂out
.
0
Ŷout
,
2.6. En déduire que l’on peut détecter l’état du qubit en mesurant D̂m . Comment
fait-on en pratique ? Décrire la méthode en quelques lignes, sans rentrer dans les détails.
2.7. On suppose que le champ micro-onde est placé dans un état cohérent |↵m i.
Calculer la valeur moyenne du signal obtenu hD̂m i. On pourra exprimer les résultats en
fonction de la partie imaginaire Im(↵m ) de ↵m . Pour quelle(s) valeur(s) de ↵m (pour une
valeur de |↵m | fixée) obtient-on le plus grand signal hD̂m i ?
q
1
0
2.8. On définit le rapport signal à bruit de la mesure, Sm = |hDm i|/ ( X̂out
)2 + ( X̂out
)2 .
Calculer Sm et déterminer la valeur de ( t) qui maximise sa valeur.
2.9. Comment se comporte Sm en fonction du nombre de photons Nm injectés dans
le champ micro-onde ? Comparer ce résultat à la sensibilité d’un interféromètre utilisant
des états cohérents, calculée dans le cours.
4
3. Amélioration de la sensibilité de la mesure.
On couple à présent le qubit non plus à un seul mais à deux champs micro-onde dans
des modes di↵érents, repérés par les indices A et B. L’hamiltonien de couplage s’écrit
⇣
⌘
†
†
Ĥi = h̄ A â â + h̄ B b̂ b̂ ˆz
avec des notations similaires à celles des parties précédentes. Comme dans la partie 1, on
e↵ectuera le changement de variables â(t) = Â(t) e i!A t et b̂(t) = B̂(t) e i!B t .
3.1. On pose
X̂ ± (t) =
X̂ A (t) ± X̂ B (t)
p
2
et
Ŷ ± (t) =
Ŷ A (t) ± Ŷ B (t)
p
2
en utilisant toujours des notations similaires à ce qui précède. Déterminer toutes les relations de commutation mutuelles des opérateurs X̂± et Ŷ± .
3.2. Dans la suite on ne s’intéressera qu’au cas où
⌘
l’hamiltonien de couplage s’écrit alors
h̄ ⇣ +
Ĥi =
X̂ X̂ + Ŷ + Ŷ ) ˆz .
2
A
=
B.
Montrer que
3.3. On suppose d’abord que les deux modes du champ sont alimentés par des états
cohérents de paramètres ↵A et ↵B , en général complexes. Déterminer les valeurs moyennes
±
±
initiales hX̂t=0
i, et hŶt=0
i des opérateurs de quadrature correspondants.
p
3.4. Montrer que si on choisit ↵A et ↵B tels que ↵A = ↵B = Nc /2 alors on a
+
hŶt=0
i = 0 et hX̂t=0 i =
6 0. On se place dans cette situation dans toute la suite.
3.5. On suppose que l’état du qubit est soit |0i ( = 1) soit |1i ( = +1). Ecrire les
équations d’évolution des opérateurs Ŷ + et X̂ , en faisant apparaitre = ±1.
3.6 Résoudre ces équations pour un temps d’évolution t = T , en faisant apparaitre les
±
±
valeurs initiales des opérateurs X̂t=0
et Ŷt=0
.
+
3.7 Montrer que sous l’action de Ĥi on obtient un signal sur hŶt=T
i qui dépend de la
valeur du qubit.
+
+
3.8. Déterminer l’opérateur D̂Y = [Ŷt=T
]1 [Ŷt=T
]0 associé à la détection de l’état du
qubit, où les indices 0 et 1 correspondent aux deux états du qubit. En déduire le signal
moyen hD̂Y i, et montrer qu’il est maximal pour un temps Ti tel que Ti = ⇡/2 [⇡].
3.9. On suppose à présent que les deux modes A et B du champ micro-onde sont
alimentés par des états dont la valeur moyenne est l’amplitude cohérente de la question
précédente , et les fluctuations sont celles calculées dans la partie 1. On peut obtenir de
tels états en appliquant des opérateurs de translation adéquats à chacun des deux modes
A et B obtenus dans la partie 1. On ne cherchera pas à décrire ce processus ici.
5
+
En utilisant les résultats des questions 1.11 et 3.6, montrer que les fluctuations de Ŷt=T
font intervenir deux opérateurs qui peuvent être simultanément comprimés. En déduire
+ 2
+ 2
la variance [Ŷt=T
]1 + [Ŷt=T
]0 associée à la détection de l’état du qubit.
3.10. En déduire le rapport signal à bruit de la mesure, donné comme dans la partie
2 par l’expression
q
+ 2
+ 2
Rm = |hD̂Y i|/
[Ŷt=T
]1 + [Ŷt=T
]0
3.11. Le nombre total de photons injectés est N = Ns + Nc , et inclut une contribution
de l’état comprimé Ns = hA† A + B † Bi calculée dans la partie 1 et une contribution Nc
provenant de l’amplitude cohérente. En supposant que N a une valeur fixée, montrer
que la valeur optimale de Rm est obtenue
pour Ns = N 2 /[2(N + 1)], et que cette valeur
p
optimale est Rm,opt = 2| sin( T )|N 1 + 2/N (on pourra admettre ces résultats et passer
aux questions suivantes).
3.12. Comparer le comportement de la variation de ce rapport signal à bruit avec le
nombre total de photons N dans le champ micro-onde
à celui obtenu dans la question 2.5.
p
Sachant qu’un comportement en N (plutôt que N ) s’appelle “limite de Heisenberg”, estil possible d’atteindre cette limite dans ce système ?
4. E↵et de l’atténuation du champ micro-onde (question bonus).
On étudie l’e↵et de l’atténuation des champs micro-onde en insérant une lame
séparatrice sur chacun des modes A et B. Ces lames combinent les champs après l’interaction avec le qubit, associés à des opérateurs âM (M = A ou B) avec un mode vide,
associés à des opérateurs ĉM .
4.1. En notant ⌘ la transmission des lames séparatrices, donner l’expression des
opérateurs destruction â⌘,M associés aux champs détectés, ainsi que celle la quadrature
Ŷ⌘,M correspondante. On notera ŷM = i(ĉ†M ĉM ) la quadrature combinée des modes vides
intervenant dans Ŷ⌘,M .
4.2. Comme dans les question 3.8 et 3.9, donner l’expression du signal hD⌘,Y i et des
+ 2
+ 2
fluctuations [Ŷ⌘,T
]1 + [Ŷ⌘,T
]0 en présence des lames séparatrices.
q
+ 2
+ 2
4.3. Comme dans la question 3.10 on pose R⌘ (r) = |hD⌘,Y i|/
[Ŷ⌘,T
]1 + [Ŷ⌘,T
]0 .
Montrer que la valeur de R⌘ (r) après la lame séparatrice est donnée par l’expression
1
1
=
R⌘ (r)
Rm (r = 0)
✓
e
2r
+
1
⌘
⌘
◆1/2
.
4.4. Que devient cette expression si r est grand et ⌘ < 1 ? Discuter.
6
Promotion 2015
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562 du lundi 19 mars 2018
CORRIGÉ
1. Opérateurs quadratures en sortie de l’amplificateur paramétrique.
1.1. La formule de Ehrenfest s’écrit
dâH
ih̄
= [âS , ĤS ]H
dt
[âS , ĤS ]S = h̄!A [âS , â†S , âS ] + ih̄ e
i!P t
[âS , â†S , b̂†S ] = h̄!A âS + ih̄ e
i!P t †
b̂S
dâH
= i!A âH +  e i!P t b̂†H .
dt
De même, en omettant les indices H,
)
db̂
=
dt
i!B b̂ +  e
1.2. On obtient
dâ
=
dt
dÂ
i!A Â +
dt
i!P t †
â .
!
e
i!A t
.
En égalant à la valeur obtenue en (1.1), et en se souvenant que !P
dB̂
=  Â† .
dt
dÂ
=  B̂ †
dt
Ainsi,
!B = !A , on trouve
= .
1.3. On écrit
d
(Â + B̂ † ) = (Â + B̂ † )
dt
d’où
et
d
(Â
dt
(Â + B̂ † )(T ) = eT (Â + B̂ † )(0)
et
(Â
B̂ † ) =
(Â
B̂ † )(T ) = e
T
(Â
B̂ † )
B̂ † )(0),
et on en déduit le résultat (7)–(8), avec r = T .
Le nombre moyen de photons s’écrit
D⇣
⌘⇣
⌘E
†
†
Ns =
Â(0) cosh r + B̂(0) sinh r Â(0) cosh r + B̂ (0) sinh r +
D⇣
⌘⇣
⌘E
Â(0) sinh r + B̂(0)† cosh r Â(0)† sinh r + B̂(0) cosh r .
1
L’état, en représentation de Heisenberg, étant le vide pour les deux modes A et B, les
opérateurs Â(0) et B̂(0) situés à droite d’une part et les opérateurs Â(0)† et B̂(0)† situés
à gauche d’autre part donnent des contributions nulles. On en déduit
Ns = hB(0)B̂(0)† i sinh2 r + hA(0)Â(0)† i sinh2 r = 2 sinh2 (r).
1.4. On a Â(0) = â(0), d’où [Â(0), Â† (0)] = 1 et
A
[X̂in
, YinA ] = i[Â† (0) + Â(0), Â† (0)
Â(0)] = 2i
A
Xin
·
)
YinA
1.
A
A 2
1.5 On a h0, 0|X̂in
|0, 0i = 0 et (Xin
) = (â† )2 + (â)2 + â† â + ââ† d’où
A 2
h0, 0|(X̂in
) |0, 0i = h0, 0|âa† |0, 0i = 1
)
A
Xin
= 1 . De même
YinA = 1 .
L’état entrant est minimal (résultat connu, le vide est un état minimal).
1.6. On trouve
A
A
B
X̂out
= cosh(r)X̂in
+ sinh(r)X̂in
A
Ŷout
= cosh(r)ŶinA
1.7. On trouve
A
Xout
=
B
B
A
X̂out
= cosh(r)X̂in
+ sinh(r)X̂in
sinh(r)ŶinB
B
Ŷout
= cosh(r)ŶinB
A
Yout
= cosh(2r). On a donc
A
Xout
·
sinh(r)ŶinA .
A
Yout
= cosh2 (2r).
A
A
A
A
1.8. On trouve [X̂out
, Yout
] = 2i. Ainsi, Xout
· Yout
est toujours supérieur à la limite
de Heisenberg et diverge si r
1. L’état n’est plus du tout un état minimal pour le mode
A (ni pour le mode B).
A
B
A
B
1.9. On trouve X̂out
X̂out
= e r (X̂in
X̂in
). La moyenne est nulle et la variance vaut
A
B 2
2r
(Xout Xout ) = 2e , qui tend vers zéro pour r
1.
A
B
Dans la limite des grandes valeurs de r, les quadratures X̂out
et X̂out
deviennent parfaitement corrélées, comme les nombres de photons.
A
B
1.10. On obtient de même Ŷout
+ Ŷout
= e r (ŶinA + ŶinB ), de moyenne nulle et de variance
2r
A
2e , qui tend vers zéro pour r
1. Pour de grandes valeurs de r les quadratures Ŷout
B
et Ŷout
deviennent parfaitement anticorrélées, ce qui est encore une corrélation parfaite.
h
i
A
B
A
B
1.11. On vérifie que X̂out
X̂out
, Ŷout
+ Ŷout
= 0, donc les quantités physiques
correspondant à ces opérateurs peuvent être parfaitement définies simultanément, puisque
le minimum de l’inégalité de Heisenberg associée au commutateur est zéro. Les résultats
1.8 et 1.9 montrent que l’on peut s’approcher arbitrairement près du minimum de la
relation de Heisenberg à condition de prendre un temps d’interaction et/ou un facteur 
suffisamment grand(s).
2
2. Mesure de l’état d’un qubit par couplage à un champ micro-onde.
2.1. On trouve kB T ' 1, 4 ⇥ 10 25 J et h⌫ ' 6 ⇥ 10 24 J. On en déduit que la
température est un à deux ordres de grandeur plus faible que l’énergie de création d’un
photon. Il s’ensuit qu’à l’équilibre thermique, le champ micro-onde est vide de photons.
2.2. L’hamiltonien total est Ĥ = Ĥ0 + Ĥi = h̄ (! + ˆz ) â† â. On travaille ici dans
l’espace de Hilbert du système couplé qubit-champ micro-onde de sorte que nous allons
garder l’opérateur ˆz , qui n’agit que sur les degrés de liberté du champ micro-onde. On
pourrait aussi supposer que le qubit est dans un état déterminé associé à l’une ou l’autre
des valeurs propres = ±1. Cela revient à remplacer ˆz par dans ce qui suit.
Afin d’appliquer la formule de Ehrenfest, on note d’abord que, puisque â et ˆz agissent
dans des espaces de Hilbert di↵érents, ils commutent. Il s’ensuit que, en représentation de
Schrödinger, [â, Ĥ] = h̄ (! + ˆz ) â. On en déduit que, en représentation de Heisenberg,
la formule de Ehrenfest s’écrit
ih̄
dâ
= h̄ (! + ˆz ) â.
dt
Sa solution est immédiate :
â(t) = e
2.3. On a Â(t) = e
i ˆz
i(!+ ˆz )
â(0).
Â(0). En utilisant les notations de la partie 1, on obtient
X̂(t) + iŶ (t) = 2Â(t)
et
X̂(t)
iŶ (t) = 2Â† (t).
et
X̂(t)
⇣
iŶ (t) = X̂in
On en déduit
⇣
⌘
X̂(t) + iŶ (t) = X̂in + iŶin e
i ˆz
⌘
iŶin e+i
ˆz
,
avec X̂in = X̂(0) et Ŷin = Ŷ (0). En faisant la somme et la di↵érence de ces deux expressions
à l’instant de sortie ti , on obtient alors
X̂out = X̂in cos( ˆz ti ) + Ŷin sin( ˆz ti )
et
2.4. On a d’abord
⇥
⇤ ⇥
X̂in , Ŷin = Â† (0) + Â(0), i Â† (0)
Ŷout =
Â(0)
⇤
X̂in sin( ˆz ti ) + Ŷin cos( ˆz ti ).
⇥
= â† + â, i â†
â
⇤
= 2i.
Ensuite,
⇥
⇤
⇥
⇤
X̂out , Ŷout = X̂in cos( ˆz ti ) + Ŷin sin( ˆz ti ), X̂in sin( ˆz ti ) + Ŷin cos( ˆz ti )
= 2i cos2 ( ˆz ti ) + 2i sin2 ( ˆz ti ).
Ainsi,
⇥
⇤ ⇥
⇤
X̂in , Ŷin = X̂out , Ŷout = 2i.
3
2.5. En utilisant les résultats de la question 2.3, on obtient sans difficulté
0
X̂out
= X̂in cos( ti )
Ŷin sin( ti )
0
Ŷout
= X̂in sin( ti ) + Ŷin cos( ti ),
et
si le qubit est dans l’état |0i, et
1
= X̂in cos( ti ) + Ŷin sin( ti )
X̂out
1
Ŷout
=
et
X̂in sin( ti ) + Ŷin cos( ti ),
si le qubit est dans l’état |1i.
On obtient donc
D̂m = 2Ŷin sin( ti ).
2.6. A condition de prendre un temps d’interaction ti tel que le sinus est non nul et
un champ pour lequel la quadrature Y est initialement non nulle, il suffit de mesurer la
quadrature de sortie X. Ceci peut être réalisé à l’aide d’une détection homodyne.
2.7. On obtient
hDm i = 2i (↵⇤
↵m ) sin( ti ) = 4 Im(↵m ) sin( ti ).
Le signal hDm i est donc maximal pour un paramètre ↵m imaginaire pur.
p
p
1
0
2.8 On a ( X̂out
)2 = ( X̂out
)2 = 1, donc Sm = 2 2 |↵m | sin( ti ) = 2 2Nm sin( ti )
en utilisant
l’expression Nm = |↵m |2 pour un état cohérent. Cette valeur est maximale et
p
vaut 2 2Nm pour ti = ⇡/2 [⇡].
p
2.9 La valeur obtenue 1/Smp= 1/ 8Nm correspond au même comportement en fonction de Nm que le résultat 1/ Nm obtenu en cours pour la sensibilité en phase d’un
interféromètre dans lequel on injecte un état cohérent.
3. Amélioration de la sensibilité de la mesure.
3.1. En se plaçant à l’instant initial t=0, on a [X̂ + , X̂ ± ] = 12 [X̂ A + X̂ B , X̂ A ± X̂ B ] = 0
puisque A et B agissent dans des espaces de Hilbert di↵érents. On obtient de même
[Ŷ + , Ŷ ± ] = 0. Par ailleurs, [X̂ + , Ŷ ± ] = 12 [X̂ A + X̂ B , Ŷ A ± Ŷ B ] = 12 (2i ± 2i), de sorte que
[X̂ + , Ŷ + ] = 2i et [X̂ + , Ŷ ] = 0. On obtient de même [X̂ , Ŷ + ] = 0 et [X̂ , Ŷ ] = 2i.
En résumé, les seuls commutateurs non nuls sont
[X̂ + , Ŷ + ] = [X̂ , Ŷ ] = 2i.
On notera que l’évolution dans le temps e↵ectuant une transformation unitaire, ces
relations de commutation sont préservées dans le temps.
3.2. On note d’abord que
!
A
A
X̂
i
Ŷ
â† â =
2
X̂ A + iŶ A
2
!
4
=
⌘
1⇣ A 2
(X̂ ) + (Ŷ A )2 + i[X̂ A , Ŷ A ]
4
On en déduit
⌘
1⇣ A 2
A 2
B 2
B 2
b̂ b̂ =
(X ) + (Ŷ )
(X̂ )
(Ŷ )
4
⇣
1
=
(X̂ A + X̂ B ) (X̂ A X̂ B ) + (Ŷ A + Ŷ B ) (Ŷ A
4
1 +
=
(X̂ X̂ + Ŷ + Ŷ ).
2
†
†
â â
⌘
Ainsi, pour
A
=
B,
B
Ŷ )
⌘
on obtient
h̄ ⇣ +
Ĥi =
X̂ X̂ + Ŷ + Ŷ ) ˆz .
2
A/B
A/B
3.3. On note d’abord que hXt=0 i = 2 Re(↵A/B ) et hYt=0 i = 2 Im(↵A/B ), d’où
i
i
p h
p h
±
±
et
hŶt=0 i = 2 Im(↵A ) ± Im(↵B ) .
hX̂t=0 i = 2 Re(↵A ) ± Re(↵B )
+
3.4. Afin d’obtenir hŶt=0
i = 0 et hX̂t=0 i =
6 0, il suffit de prendre deux paramètres ↵A
et ↵B de parties réelles di↵érentes (Re(↵A ) 6= Re(↵B )) etpde parties imaginaires opposées
p
(Im(↵A ) = Im(↵B )). C’est bien le cas si ↵A = ↵B = Nc /2, avec hX̂t=0 i = 2 Nc .
3.5. Pour l’opérateur Ŷ + , le théorème de Ehrenfest s’écrit
i
dŶ + h +
= Ŷ , Ĥi .
dt
h
i
+
Or, en utilisant les résultats précédents, on obtient Ŷ , Ĥi =
si le qubit est dans l’état correspondant aux valeurs = ±1,
ih̄
dŶ +
=
dt
X̂
ih̄ X̂ ˆz . Il s’ensuit que
dX̂
=+
dt
et de la même manière
Ŷ + .
3.6 En dérivant la première équation par rapport au temps une seconde fois et en
utilisant la seconde équation, on obtient
d2 Ŷ +
=
dt2
(
)2 Ŷ +
dont la solution générale est
Ŷ + = û cos(
t) + v̂ sin(
t),
où û et v̂ sont des opérateurs constants à déterminer. En utilisant à nouveau la première
équation, on obtient de plus
X̂ = û sin(
t)
T)
X̂t=0 sin(
t).
+
X̂t=0 et û = Ŷt=0
. Ainsi, pour t = T
Les conditions initiales s’écrivent donc v̂ =
+
+
Ŷt=T
= Ŷt=0
cos(
v̂ cos(
+
X̂t=T = Ŷt=0
sin(
T ) et
5
T ) + X̂t=0 cos(
T ).
3.7 Nous avons ainsi obtenu
⌦ +↵
Y
=
⌦
↵
Xt=0 sin( T ).
⌦
↵
Cette quantité est non nulle puisqu’on a choisi Xt=0 6= 0 et dépend de la valeur du
qubit via la quantité = ±1. On notera qu’il convient d’utiliser T 6= 0 [⇡] pour obtenir
e↵ectivement des signaux di↵érents pour les deux états du qubit.
3.8 A partir de ce qui précède, on obtient immédiatement
D̂Y =
2X̂t=0 sin( T ).
En valeur absolue, le signal moyen hDY i maximal est bien obtenu pour Ti = ⇡/2 [⇡].
+
3.9 On a vu que Ŷt=0
et X̂t=0 peuvent être simultanément comprimés, et on a
+ 2
[Ŷt=T
]1 +
+ 2
[Ŷt=T
]0 = 2e
2r
3.10. En utilisant les résultats précédents on obtient
p
p
Rm = 2|hXt 0 i sin( T )|/( 2 e r ) = 2 er 2Nc | sin( T )|
3.11. En utilisant le résultat Ns = 2 sinh2 (r) établi dans la partie 1, on doit déterminer
le maximum de (N 2 sinh2 (r))e2r , qui est obtenu pour r = 12 ln(N +1), donc e2r = N +1.
On en déduit que Ns = 2 sinh2 (r) = N 2 /(2 + 2N ) et Nc = N (N + 2)/(2 + 2N ). On obtient
2
donc Rm
= 8e2r Nc sin2 ( T ) = 4N (N + 2) sin2 ( T ) ⇠ 4N 2 sin2 ( T ) si N est grand.
3.12. Le rapport signal à bruit Rm ⇠ 2N | sin( T )| varie comme
le nombre total de
p
photons N dans le champ micro-onde, alors qu’il variait comme N dans la question 2.5.
Il est donc possible en principe d’atteindre la limite de Heisenberg.
4. E↵et de l’atténuation du champ micro-onde (question bonus).
4.1. On obtient comme dans le cours
p
p
â⌘,M = ⌘ âM + 1 ⌘ ĉM ,
Ŷ⌘,M =
4.2. On déduit de la question précédente
p
+ 2
hD̂⌘,Y i = ⌘ hD̂⌘,Y i,
[Ŷ⌘,T
]1 +
p
⌘ ŶM +
+ 2
[Ŷ⌘,T
]0 = 2(⌘ e
p
2r
1
⌘ ŷM
+ (1
4.3. On obtient l’expression de R⌘ (r) en fonction de Rm (r = 0) = 2
✓
◆
1
1
1 ⌘
2r
= 2
e
+
R⌘2 (r)
Rm (r = 0)
⌘
p
⌘))
2Nc | sin( T )| :
d’où le résultat donné dans l’énoncé.
4.4. Si r est grand
le terme en e 2r devient négligeable devant (1 ⌘)/⌘ et on a
p
R⌘ (r) ⇡ R(r = 0) ⌘/(1 ⌘). On retrouve alors un rapport signal à bruit limité par les
pertes et l’avantage donné par l’état comprimé disparait.
6
Promotion 2016
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 18 mars 2019
Sujet proposé par Alain Aspect, Philippe Grangier et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Il est rappelé qu’une présentation soignée et une rédaction claire ont une influence favorable sur le correcteur.
Les diﬀérentes parties s’enchaînent logiquement, et il est recommandé de les traiter dans
l’ordre. Mais il est possible de progresser dans le problème sans avoir toutes les réponses
aux questions : par exemple on peut sauter la partie 1.4.
Chat de Schrödinger optique
En référence à la discussion de Schrödinger sur le passage du microscopique au macroscopique en physique quantique, on appelle “chat de Schrödinger” un système quantique
placé dans un état superposition de deux états macroscopiquement distinguables. L’objet de ce problème est de présenter une telle situation dans laquelle un mode du champ
électromagnétique se trouve dans une superposition de deux états quasiclassiques distinguables. Cette situation a été réalisée avec des champs radio-fréquences piégés en cavité et
avec des impulsions de lumière visible se propageant dans l’espace libre. C’est ce dernier
cas que nous considérons dans ce problème.
************************************************************************
Rappel de quelques formules utiles
— Développement d’une exponentielle (z nombre complexe ou opérateur)
z
e =
1
X
zn
n=0
1
94
PHY562 exam2019sujet
n!
.
(1)
— Formule de Glauber
(2)
eÂ eB̂ = eÂ+B̂ e[Â,B̂]/2
à condition que Â et B̂ commutent tous les deux avec leur commutateur [Â, B̂] .
— Gaussienne normée
Z
+1
1
p
1
e
2⇡
— Transformée de Fourier d’une Gaussienne
Z +1
1
p
e ipx e
2⇡ 1
u2
2 2
x2
2
(3)
du = 1
dx = e
p2
2
(4)
******************************************************************
Dans tout le problème, sauf mention contraire, on considère uniquement des états d’un
seul mode du champ, pour lesquels l’observable champ électrique s’écrit, en représentation
de Heisenberg
Ê(r, t) = "E
(1)
h
i â e
i(k·r !t)
†
i â e
i(k·r !t)
i
= Ê(+) (r, t) + Ê( ) (r, t).
Dans cette expression, " est un vecteur unitaire réel et
r
h̄!`
(1)
E =
2"0 V
(5)
(6)
est l’amplitude du champ classique associé à une énergie h̄! dans le volume V = cT S
2
(on considère une impulsion de durée T
! 1 et de section transverse S
avec
= 2⇡c/! ; c est la vitesse de la lumière dans le vide).
1
Quelques propriétés des états quasi-classiques du
rayonnement
On rappelle qu’un état quasi-classique est un état propre de l’opérateur d’annihilation
â|↵i = ↵|↵i ,
où ↵ est complexe .
(7)
Il s’exprime, dans la base des états nombres, sous la forme
|↵i = e
|↵|2
2
1
X
↵n
p |ni .
n!
n=0
2
PHY562 exam2019sujet
(8)
1.1
Nombre de photons
Calculer la valeur moyenne et l’écart type du nombre de photons dans l’état |↵i.
1.2
Relation de quasi orthogonalité
Calculer le produit Hilbertien h |↵i pour
pour que |h ↵|↵i| < 10 2 .
1.3
=
↵ (↵ complexe). Donner une condition
Quadratures
En utilisant une détection homodyne, on peut mesurer les observables associées aux
quadratures du champ
X̂ =
â + â†
p
2
(9)
P̂ =
â â†
p
i 2
(10)
(11)
Q̂✓ = cos ✓ X̂ + sin ✓ P̂ .
a) Calculer le commutateur [X̂, P̂ ]. Peut-on mesurer simultanément X̂ et P̂ ? Même question pour X̂ et Q̂✓ .
b) Il est néanmoins possible de déterminer expérimenalement les valeurs moyennes hX̂i,
hP̂ i, hQ̂✓ i. De quelle façon ?
Calculer ces valeurs moyennes dans le cas d’un état quasi-classique |↵i.
c) Pour un état quasi-classique |↵i, calculer les écarts quadratiques moyens
Q✓ tels que X 2 = hX̂ 2 i hX̂i2 etc...
1.4
X,
P et
Fonctions d’onde
Dans l’espace des fonctions d’onde '(x), l’opérateur annihilation s’écrit
✓
◆
1
d
â = p x +
.
dx
2
(12)
a) En utilisant la définition du vide, déterminer la fonction d’onde du vide '0 (x). On
prendra la constante de normalisation C réelle positive.
3
PHY562 exam2019sujet
b) On s’intéresse maintenant à la fonction d’onde '↵ (x) associé à l’état |↵i.
Calculer le commutateur [b̂, b̂† ], où
b̂ = â
(13)
↵.
En déduire qu’il s’agit d’un opérateur décrivant un oscillateur harmonique unidimensionnel.
c) Montrer que |↵i est l’état fondamental de l’oscillateur harmonique caractérisé par b̂, et
en déduire la forme explicite de la fonction d’onde '↵ (x), que l’on mettra sous la forme
'↵ (x) = ei
x
'0 (x
µ) .
(14)
Pour obtenir cette forme, il sera utile de faire apparaître explicitement les parties réelle
et imaginaire de ↵ = ↵0 + i↵00 . On pourra alors exprimer et µ en fonction de hP̂ i et hX̂i.
d) La fonction d’onde '˜↵ (p), est la transformée de Fourier de '↵ (x)
Z +1
1
'˜↵ (p) = p
e ipx '↵ (x) dx .
2⇡ 1
(15)
Calculer '˜0 (p).
e) Calculer '˜↵ (p) et montrer que l’on peut le mettre sous la forme
'˜↵ (p) = C 0 e
avec
2
iµp
'˜0 (p
),
(16)
(17)
|C 0 | = 1 .
Chat de Schrödinger
On considère l’état “chat”
|
chat i
= B (|↵i
|
↵i) .
(18)
On se propose d’étudier cet état qui peut être une superposition cohérente de deux états
“macroscopiquement distincts”, susceptible d’être utilisé comme bit quantique (“qubit”).
2.1
Critère de “macroscopicité”
Déterminer la constante B, que l’on prendra réelle positive. On pourra utiliser le
résultat de la question 1.2.
Si le critère de la question 1.2 est satisfait, on pourra considérer que les deux états
de base du chat sont macroscopiquement distincts. Sauf mention contraire, on supposera
dans le reste du problème que l’on est dans ce cas et on prendra alors
p
B = 1/ 2 .
(19)
4
PHY562 exam2019sujet
2.2
Nombre de photons
a) Exprimer l’état chat sur la base des états nombres |ni du mode considéré. Commenter.
b) Il existe des détecteurs capables de mesurer le nombre de photons dans une impulsion lumineuse. On répète cette mesure un grand nombre de fois sur un grand nombre
d’impulsions-chat identiques. Que va-t-on observer ?
c) Calculer le nombre moyen de photons dans l’état chat, et son écart quadratique moyen.
Comparer à la réponse de la question 1.1.
2.3
Fonction d’onde 'chat (x) de l’état chat
On peut écrire la fonction d’onde de l’état |↵i sous la forme
(x
'↵ (x) = ⇡
1/4
eixhpi↵ e
De même
(x
'
↵ (x)
=⇡
1/4
eixhpi
↵
e
hxi↵ )2
2
.
(20)
hxi ↵ )2
2
(21)
avec
hxi
hpi
↵
=
↵
=
hxi↵
hpi↵ .
(22)
(23)
Dans cette question, on prendra, sauf mention contraire,
hxi↵ = hpi↵ = 2.5 .
(24)
a) Ecrire la fonction d’onde 'chat (x), et calculer la densité de probabilité
2
⇢chat
x (x) = |'chat (x)| .
p
On rappelle qu’on utilise la valeur approchée B = 1/ 2.
(25)
b) Montrer que ⇢chat
x (x) est maximal autour de deux régions distinctes. Ecrire une expression approchée dans chacune de ces deux régions. Donner la valeur approximative de ces
maxima.
c) Ecrire ⇢chat
x (x) autour de x = 0. Tracer schématiquement le comportement de cette
fonction autour de x = 0, en donnant l’échelle, comparée à la valeur des maxima de la
question ci-dessus. Préciser sa valeur en x = 0.
Comment ce résultat est-il modifié si on prend hxi↵ = 0.2 et hpi↵ = 3.5.
5
PHY562 exam2019sujet
d) Comment les résultats ci-dessus seraient-ils modifiés si on avait un mélange statistique
(une superposition incohérente) des deux composantes du chat.
En déduire un critère pour tester la cohérence entre les deux composantes du chat.
2.4
Fonction d’onde '˜chat (p) du chat
On peut écrire la fonction d’onde '˜↵ (p) de l’état |↵i sous la forme
(p
'˜↵ (p) = ⇡
1/4
eiphxi↵ e
De même
(p
'˜ ↵ (p) = ⇡
1/4
eiphxi
↵
e
hpi↵ )2
2
.
(26)
hpi ↵ )2
2
.
(27)
Comme dans la question précédente, on prendra a priori
hxi↵ = hpi↵ = 2.5 .
(28)
On pourra répondre aux questions ci-dessous par simple analogie/généralisation de la
partie 2.3, sans faire de calcul détaillé.
a) Ecrire la fonction d’onde '˜chat (p), et la densité de probabilité
⇢p chat(p) = |'˜chat (p)|2 .
p
On rappelle qu’on utilise la valeur approchée B = 1/ 2.
(29)
b) Montrer que ⇢chat
(p) est maximal autour de deux régions distinctes. Ecrire une expresp
sion approchée dans chacune de ces deux régions. Donner la valeur approximative de ces
maxima.
c) Ecrire ⇢chat
(p) autour de p = 0. Tracer schématiquement le comportement de cette
p
fonction autour de p = 0, en donnant l’échelle, comparée à la valeur des maxima de la
question ci-dessus. Préciser sa valeur en p = 0.
Comment ce résultat est-il modifié si on prend hxi↵ = 0.2 et hpi↵ = 3.5. Même question
si on prend hxi↵ = 3.5 et hpi↵ = 0.2.
d) Comment les résultats ci-dessus seraient-ils modifiés si on avait un mélange statistique
(une superposition incohérente) des deux composantes du chat.
En déduire un critère pour tester la cohérence entre les deux composantes du chat.
6
PHY562 exam2019sujet
2.5
Existe-t-il une densité de probabilité ⇢chat (x, p) du chat ?
On peut se demander si, comme en optique statistique classique, il existe une densité
chat
de probabilité à deux dimensions ⇢chat (x, p), dont ⇢chat
(p) seraient les densités
x (x) et ⇢p
à une dimension marginales, c’est à dire
Z +1
chat
⇢x (x) =
⇢chat (x, p) dp
(30)
⇢chat
(p) =
p
Z
1
+1
⇢chat (x, p) dx ,
(31)
1
et plus généralement, quelle que soit la quadrature q✓ ,
Z +1
chat
⇢q✓ (q✓ ) =
⇢chat (x, p) dq✓+⇡/2 .
(32)
1
a) Montrer que
chat
⇢chat (x, p) = ⇢chat
(p) .
x (x).⇢p
(33)
satisfait les équations 30 et 31.
b) Tracer schématiquement ⇢chat (x, p) dans un plan (x, p), et indiquer à quelle opération
correspondent les relations (30) et (31). On fera un agrandissement de la région autour
de l’origine, où on indiquera en particulier les lignes où ⇢chat (x, p) = 0. On considèrera
successivement les cas (hxi↵ = 2.5 ; hpi↵ = 2.5) et (hxi↵ = 0.2 ; hpi↵ = 3.5).
c) Par raison de symétrie, les composantes de la fonction d’onde 'chat (q✓ ) s’écrivent
'↵ (q✓ ) = ⇡
' ↵ (q✓ ) = ⇡
1/4
1/4
eihq✓+⇡/2 i↵ q✓ e
eihq✓+⇡/2 i ↵ q✓ e
(q✓
(q✓
hq✓ i↵ )2
2
hq✓ i ↵ )2
2
.
(34)
(35)
2
Montrer que ⇢chat
q✓ (q✓ ) = |'chat (q✓ )| s’annule en q✓ = 0.
d) Montrer que l’intégrale de l’équation (32) ne s’annule jamais sauf si ✓ = 0 (q✓ = x) ou
✓ = ⇡/2 (q✓ = p).
On pourra se contenter d’un argument reposant sur le graphique tracé ci-dessus.
3
Fonction de Wigner du chat
On peut démontrer (théorème de Hudson-Piquet) que le résultat de la question 2.5.d
est général : pour un chat de Schrödinger de la forme (18) il n’existe aucune densité de
7
PHY562 exam2019sujet
probabilité vraie (positive et intégrable) ⇢chat (x, p) telle que la relation (32) soit vraie pour
tout q✓ .
En revanche, Eugene Wigner (1902-1995) a introduit une fonction, aujourd’hui appelée
fonction de Wigner W (x, p), ou transformée de Wigner, telle que
Z +1
⇢(q✓ ) =
W (x, p) dq✓+⇡/2
(36)
1
quel que soit q✓ . Cette fonction est obtenue par la transformation de Wigner
Z +1
1
W (x, p) =
d⌫ ei⌫p '(x ⌫/2) '⇤ (x + ⌫/2) .
2⇡ 1
3.1
(37)
Fonction de Wigner d’un état quasi-classique
a) Calculer la transformée de Wigner d’un état quasi-classique |↵i avec ↵ complexe. On
utilisera la forme (20) de la fonction d’onde.
b) Donner une représentation schématique de cette transformée de Wigner dans le plan
(x, p).
3.2
Fonction de Wigner d’un chat de Schrödinger.
On considère l’état chat défini à l’équation (18). On utilisera la forme de la fonction
d’onde calculée à la question 2.3.a.
a) Calculer la transformée de Wigner de cet état. (Ce calcul demande du soin, et il
faut en particulier calculer correctement les préfacteurs des divers termes – à un facteur
multiplicatif global près – pour pouvoir répondre à la question suivante).
b) Montrer que la transformée de Wigner possède des parties négatives. Commenter.
c) Donner une représentation schématique de cette transformée de Wigner dans le plan
(x, p).
d) Expliquer qualitativement comment les parties négatives permettent d’avoir une densité marginale (32) nulle à l’origine quelle que soit la valeur de ✓.
4
Préparation d’un chat
La préparation d’un chat de la forme
|
chat i
= B (|↵i ± |
8
PHY562 exam2019sujet
↵i) .
(38)
est extrêmement diﬃcile.
On étudie dans cette partie une méthode de préparation d’un état proche, dans une
certaine mesure, d’un état de type (38), et qui a donné des résultats expérimentaux
spectaculaires.
La méthode consiste à envoyer un état nombre |ni sur une lame semi-réfléchissante
équilibrée (coeﬃcients de réflexion et de transmission de modules égaux), et à faire une
détection homodyne de la quadrature P̂ dans l’une des voies de sortie de la lame, en ne
gardant que les valeurs de P très petites. On montre alors que l’état sortant dans l’autre
voie de la lame a des caractéristiques voisines de celles d’un état de type (38).
Sauf mention contraire, nous considèrerons un état nombre |n = 2i dans la voie 1
d’entrée, la voie 2 d’entrée étant vide.
4.1
Etat du champ en sortie de la lame
L’état d’entrée sur la lame est
|
in i
(39)
= |2i1 |0i2 .
(On sous-entend le signe de produit tensoriel).
a) Exprimer |
in i
en utilisant l’opérateur â†1 appliqué au vide.
b) Les relations d’entrée / sortie de la lame sont
1
â3 = p (â1 + â2 )
2
1
â4 = p (â1 â2 ) .
2
Exprimer â†1 en fonction de â†3 et â†4 , afin d’obtenir l’expression de |
modes de sortie, après normalisation de cet état.
4.2
(40)
(41)
in i
dans la base des
Etat |P3 = 0i
Pour décrire la sélection des situations où la mesure de la quadrature P̂3 dans la voie 3
donne zéro, nous allons projeter sur l’état |P3 = 0i, c’est à dire l’état propre de P̂3 associé
à la valeur propre 0. Il faut donc trouver l’expression de cet état, que nous écrivons sous
la forme
1
X
|P3 = 0i =
cn |ni3 .
(42)
n=0
9
PHY562 exam2019sujet
a) Ecrire que
en utilisant la forme (42).
(43)
P̂3 |P3 = 0i = 0
b) En déduire des relations entre les coeﬃcients cn permettant d’exprimer ces coeﬃcients
en fonction de c0 . On se bornera aux trois premiers coeﬃcients.
c) Dans la mesure où on a seulement deux photons, on peut se limiter aux coeﬃcients c0 ,
c1 et c2 . Ecrire explicitement l’état |P3 = 0i dans dans le sous-espace {|0i3 , |1i3 , |2i3 }.
4.3
Sélection des cas |P3 = 0i
On sélectionne les cas où la mesure de P̂3 donne zéro. On projettera donc l’état | in i,
écrit dans la base des modes 3 et 4, sur l’état |P3 = 0i. Déterminer la forme de l’état | i4
obtenu par cette projection.
4.4
Chat pair
On veut montrer que l’état | i4 ressemble à un chat pair B (|↵i + |
↵i).
a) Montrer qu’un état chat pair n’a de composantes que sur des états nombres pairs.
b) Quelle valeur faut-il donner à ↵ réel pour que le rapport entre les coeﬃcients des états
|n = 0i et |n = 2i d’un chat pair soit le même que pour l’état | i4 obtenu à la question
4.3.
4.5
Résultat expérimental
L’expérience 1 réalisée à partir d’un état |n = 2i a permis de reconstruire la fonction de
Wigner grâce à une série de mesures homodynes de diverses composantes de quadrature.
Le résultat est présenté sur la figure.
a) On voit deux pics importants que l’on peut dans une certaine mesure associer à des
états quasi-classiques |↵i et | ↵i. Quelle est la valeur de ↵ que l’on peut leur associer ?
Commenter.
b) On voit par ailleurs que la fonction de Wigner prend des valeurs négatives. Que peut-on
en conclure ?
c) Dans l’article, on peut lire que l’état obtenu est un état chat “comprimé” (“squeezed”).
Le voit-on sur la figure ?
1. Alexei Ourjoumtsev, Hyunseok Jeong, Rosa Tualle-Brouri & Philippe Grangier. Generation of optical ‘Schrödinger cats’ from photon number states. Nature 448, 784 (2007).
10
PHY562 exam2019sujet
d) Un autre indice de la compression est donné par la comparaison du nombre de photons
et de son écart quadratique moyen. Calculer ces quantités pour l’état | i4 obtenu à la
question 4.3 et commenter.
Figure 1 – Fonction de Wigner d’un état chat pair. La figure a montre une
représentation 3D de la fonction de Wigner. La figure b montre cette fonction vue de
dessus. Les échelles indiquées correspondent aux conventions du texte en ce qui concerne
les quadratures x et p.
11
PHY562 exam2019sujet
Promotion 2016
ÉCOLE POLYTECHNIQUE
CONTRÔLE NON-CLASSANT DE PHYSIQUE
Optique quantique 2 : Photons - PHY562
du lundi 18 mars 2019
Sujet proposé par Alain Aspect, Philippe Grangier et Laurent Sanchez-Palencia.
Durée : 3 heures (9h00-12h00)
* * *
Documents autorisés : Cours polycopié, copies des diapositives montrées en cours, énoncés
et corrigés de PC, notes personnelles.
Il est rappelé qu’une présentation soignée et une rédaction claire ont une influence favorable sur le correcteur.
Les diﬀérentes parties s’enchaînent logiquement, et il est recommandé de les traiter dans
l’ordre. Mais il est possible de progresser dans le problème sans avoir toutes les réponses
aux questions : par exemple on peut sauter la partie 1.4.
Chat de Schrödinger optique : corrigé
provisoire 1
1
Quelques propriétés des états quasi-classiques du
rayonnement
1.1
Nombre de photons
Calculer la valeur moyenne et l’écart type du nombre de photons dans l’état |↵i.
hN̂ i = h↵|â† â|↵i = ↵⇤ ↵ = |↵|2 .
hN̂ 2 i = h↵|â† ââ† â|↵i = h↵|â† (1 + â† â)â|↵i = hN̂ i + hN̂ i2
)
N 2 = hN̂ 2 i
hN̂ i2 = hN̂ i
1
)
N = |↵| .
(1)
(2)
(3)
1.2
Relation de quasi orthogonalité
Calculer le produit Hilbertien h |↵i pour
|↵|2 + | |2 1
X(
2
h |↵i = e
=
↵ (↵ complexe).
|↵|2 + | |2
↵)
2
|ni = e
n!
⇤
n=0
n
2
⇤
↵
2
) h ↵|↵i = e 2|↵| .
(4)
(5)
Donner une condition pour que |h ↵|↵i| < 10 2 .
|↵| > 1.51 .
1.3
(6)
Quadratures
En utilisant une détection homodyne, on peut mesurer les observables associées aux
quadratures du champ
X̂ =
â + â†
p
2
(7)
P̂ =
â â†
p
i 2
(8)
Q̂✓ = cos ✓ X̂ + sin ✓ P̂ .
(9)
a) Calculer le commutateur [X̂, P̂ ]. Peut-on mesurer simultanément X̂ et P̂ ?
[X̂, P̂ ] = i .
(10)
On ne peut pas mesurer simultanément sur un seul système deux observables qui ne
commutent pas.
Même question pour X̂ et Q̂✓ .
[X̂, Q̂✓ ] = i sin ✓ .
(11)
On ne peut pas mesurer simultanément sur un seul système deux observables qui ne
commutent pas.
b) Il est néanmoins possible de déterminer expérimenalement les valeurs moyennes hX̂i,
hP̂ i, hQ̂✓ i. De quelle façon ?
Il faut être capable de préparer un grand nombre de fois le système dans le même état.
On peut alors faire des séries de mesures pour chaque observable.
2
Calculer ces valeurs moyennes dans le cas d’un état quasi-classique |↵i.
hX̂i =
h↵|â + â|† ↵i
↵ + ↵⇤
p
= p
2
2
(12)
hP̂ i =
h↵|â â|† ↵i
↵ ↵⇤
p
= p
i 2
i 2
(13)
↵
↵⇤
hQ̂✓ i = cos ✓hX̂i + sin ✓hP̂ i = p e i✓ + p ei✓ .
2
2
c) Pour un état quasi-classique |↵i, calculer les écarts quadratiques moyens
Q✓ tels que X 2 = hX̂ 2 i hX̂i2 etc...
X=
1.4
P =
1
Q✓ = p .
2
(14)
X,
P et
(15)
Fonctions d’onde
Dans l’espace des fonctions d’onde '(x), l’opérateur annihilation s’écrit
✓
◆
1
d
â = p x +
.
dx
2
(16)
a) En utilisant la définition du vide, déterminer la fonction d’onde du vide '0 (x). On
prendra la constante de normalisation C réelle positive.
✓
◆
d
2
x+
'0 (x) = 0 ) '0 (x) = Ce x /2 ; C = ⇡ 1/4 .
(17)
dx
b) On s’intéresse maintenant à la fonction d’onde '↵ (x) associé à l’état |↵i.
Calculer le commutateur [b̂, b̂† ], où
b̂ = â
↵.
(18)
En déduire qu’il s’agit d’un opérateur décrivant un oscillateur harmonique unidimensionnel.
On trouve
[b̂, b̂† ] = 1 .
ce qui est caractéristique d’un oscillateur harmonique.
3
(19)
c) Montrer que |↵i est l’état fondamental de l’oscillateur harmonique caractérisé par b̂, et
en déduire la forme explicite de la fonction d’onde '↵ (x), que l’on mettra sous la forme
'↵ (x) = ei
x
'0 (x
(20)
µ) .
Pour obtenir cette forme, il sera utile de faire apparaître explicitement les parties réelle et
imaginaire de ↵ = ↵0 + i↵00 . On pourra alors exprimer et µ en fonction de hP̂ i et hX̂i.
✓
x+
p
d
dx
p
◆
'↵ (x) = C 0 e
)
2↵ '↵ (x) = 0
(x
2↵ = hX̂i↵ + ihP̂ i↵
)
'↵ (x) = Ce
✓
x2
2
p
2↵x
◆
hX̂i↵ )2
2
ei xhP̂ i↵ .
(21)
(22)
On retrouve la constante C de l’équation (17).
d) La fonction d’onde '˜↵ (p), est la transformée de Fourier de '↵ (x)
Z +1
1
'˜↵ (p) = p
e ipx '↵ (x) dx .
2⇡ 1
(23)
Calculer '˜0 (p).
On trouve
'˜0 (x) = Ce
p2 /2
(24)
e) Calculer '˜↵ (p) et montrer que l’on peut le mettre sous la forme
'˜↵ (p) = C 0 e
avec
iµp
),
hP̂ i↵ )2
2
e i phX̂i↵
(p
'˜↵ (p) = Ce
(25)
(26)
|C 0 | = 1 .
On trouve
2
'˜0 (p
(27)
Chat de Schrödinger
On considère l’état “chat”
|
chat i
= B (|↵i
|
↵i) .
(28)
On se propose d’étudier cet état qui peut être une superposition cohérente de deux états
“macroscopiquement distincts”, susceptible d’être utilisé comme bit quantique (“qubit”).
4
7 bis
ρ xchat (x)
x
α
p
α
= 2.5
= 2.5
ρ xchat (x)
x
p
α
α
= 0.2
= 3.5