Exercice 6
PLYGNE est un hexagone régulier inscrit dans le cercle (C)
de centre O et de rayon 4 cm.
1) Calculez la mesure de l’angle
NOE . Justifiez.
ABCDEFGH est un polygone régulier à 6 côtés de centre O
donc
NOE = 360
6 = 60°.
2) Quelle est la nature du triangle NOE ?
OE = ON (rayons) donc NOE est un triangle isocèle en O.
NOE est un triangle isocèle qui a un angle de 60° donc NOE est un
triangle équilatéral.
3) Soit S le milieu de [EN].
Que représente la droite (OS) pour le triangle NOE ?
(OS) passe par le sommet O et par le milieu de [EN] donc (OS) est une médiane du triangle NOE.
Dans un triangle équilatéral, les médianes, les hauteurs, les médiatrices et les bissectrices sont confondues, donc (OS)
est aussi une hauteur, une médiatrice et une bissectrice pour le triangle NOE.
4) Calculer OS.
D’après le théorème de Pythagore dans le triangle ESO rectangle en S, on a :
OE² = ES² + OS²
4² = 2² + OS²
16 = 4 + OS²
OS² = 16 – 4
OS² = 12
OS = 12
OS = 4 × 3
OS = 4 × 3
OS = 2 3 cm
5) Calculer l’aire de NOE.
AireNOE = b × h
2 = NE × OS
2 = 4 × 2 3
2 = 4 3 cm²
6) En déduire l’aire de l’hexagone PLYGNE.
AirePLYGNE = 6 × AireNOE = 6 × 4 3 = 24 3 cm²
7) L’hexagone PLYGNE occupe-t-il plus ou moins de 85% de l’aire du disque ?
Aire du disque = × r² = × 4² = 16 cm²
AirePLYGNE
Aire du disque × 100 = 24 3
16 × 100 82,7%
PLYGNE occupe moins de 85% du disque.
8) Quelle est la mesure de l’angle
ELG ?
EOG = 60 × 2 = 120°
ELG est un angle inscrit associé à l’angle au centre
EOG donc
ELG =
EOG
2 = 120
2 = 60°