TD induction - énoncé

Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse
Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4
Série: Induction électromagnétique:
Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire
Moteur à courant continu (d’après MP 2000)
Le rotor du moteur entraînant le miroir mobile du Michelson est constitué d’un
cylindre d’axe (z’ O z), de rayon  et de hauteur  sur lequel on enroule un fil
Conducteur formant une spire rectangulaire.
L’ensemble étant placé dans un champ magnifique permanent créé par un dispositif
auxiliaire.
L’expression de ce champ est 
 du côté (1) et 
 du côté (2),
(cf figures 6.a et 6.b).
figure 6.a figure 6.b
On désigne par 
 , le vecteur rotation du rotor (spire + cylindre) et par  le
courant qui circule dans la spire dans le sens indiqué sur la figure 6-a. La base
 est orthonormée directe.

Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse
Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4
1 .Montrer que la résultante des actions qui s’exercent sur la spire parcourue par le
courant  et placée dans le champ 
, se réduit à un couple de moment 
.
2 .Lors de la rotation le rotor est soumis en plus à un couple résistant
.( )
En désignant par J le moment d’inertie du rotor par rapport à l’axe (z‘O z) et en
utilisant les lois de la mécanique, établir l’équation, dite (E M) reliant
3. Montrer que la force électromotrice   , induite par la rotation de la spire
dans le champ permanent 
peut s’écrire sous la forme
  .
On négligera le phénomène d’auto-induction dans la spire.
4. La spire de résistance R est connectée par l’intermédiaire de deux points K et L à
un générateur de tension de f.é.m. constante E. Le montage électrique équivalent est
représenté sur la figure 7.
Déterminer l’équation dite électrique (EE) reliant E, ,  

Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse
Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4
5.
a) À partir des équations (EM) et (EE), établir une équation différentielle vérifiée
par la vitesse angulaire .
b) Sachant qu’à t =0, le rotor est immobile, chercher la loi de variation de  en
fonction du temps. On posera   
et on supposera que 
.
Tracer la courbe donnant  en fonction du temps.
6. Sachant que pour un tour effectué par le rotor, le miroir mobile de
l’interféromètre de Michelson se déplace d’une distance .
a) Donner l’expression de la vitesse limite  atteinte par le miroir en fonction des
données du problème       
b) Au bout de combien de temps  , la vitesse de translation du miroir atteintes
99 de sa valeur limite  ? On exprimera ce temps en fonction de.

Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse
Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4
Roues de Barlow
Un disque métallique de rayon OA = a, de masse m et de moment d’inertie
2
2
1maJ=
.
Il tourne autour de son axe Oz à la vitesse angulaire ω, dans un champ magnétique
permanent et uniforme
B
. Il est alimenté par un générateur de tension U entre deux
contacts fixes frottant l’un sur son axe au point O, l’autre au point A de la périphérie
de disque. La résistance totale du circuit est R.
1. Prévoir le sens de rotation de la roue initialement immobile, puis choisir les
vecteurs unitaires
u
et
z
u
sachant que l’orientation positive du circuit est prise selon
r
u
dirigé de O vers A.
2. Evaluer la force électromotrice eOA et le moment
O
M
en O de la force de Laplace.
3. Ecrire les équations du système. En déduire l’équation d’évolution de la vitesse
angulaire ω sous la forme:
l
dt
d
=+
.
Donner τ et ωl. Donner également la solution ω(t) avec ω(t=0)=0. Interpréter.
4. Ecrire et Commenter le bilan de puissance.
O
R
E
A
i

Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse
Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4
Deux roues de Barlow couplées
Deux disques identiques au précédent peuvent tourner librement autour d’un axe
horizontal commun OO’z, qui est aussi l’axe du champ uniforme
z
uBB =
.
Le circuit est fermé sur lui-même sur l’axe conducteur OO’ d’une part, à l’extérieur
AA’ d’autre part. Les frottements sont négligés ; la résistance totale du circuit est R.
A l’instant initial, le disque (D) tourne avec une vitesse ω(t=0) = ω0, alors que (D’) est
immobile ω’(t=0) = 0.
1. Prévoir dans quel sens va se mettre à tourner le disque (D’).
2. Ecrire les équations du système.
3. Donner les solutions i(t), ω(t) et ω’(t).
4. Toute l’énergie cinétique perdue par (D) est-elle récupérée par (D’)?
R
A’
A
ω
z
O
O’
(D)
(D’)