Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 Série: Induction électromagnétique: Circuit mobile dans un champ magnétique stationnaire Moteur à courant continu (d’après MP 2000) Le rotor du moteur entraînant le miroir mobile du Michelson est constitué d’un cylindre d’axe (z’ O z), de rayon 𝒂 et de hauteur 𝒃 sur lequel on enroule un fil Conducteur formant une spire rectangulaire. L’ensemble étant placé dans un champ magnifique permanent créé par un dispositif auxiliaire. ⃗⃗ = 𝑩𝟎 𝒖 ⃗⃗ = −𝑩𝟎 𝒖 ⃗ 𝒓 du côté (1) et 𝑩 ⃗ 𝒓 du côté (2), L’expression de ce champ est 𝑩 (cf figures 6.a et 6.b). figure 6.a figure 6.b ⃗⃗⃗ = 𝝎 𝒖 ⃗ 𝒛 , le vecteur rotation du rotor (spire + cylindre) et par 𝒊𝒔 le On désigne par 𝝎 courant qui circule dans la spire dans le sens indiqué sur la figure 6-a. La base ⃗ 𝒓, 𝒖 ⃗ 𝜽, 𝒖 ⃗ 𝒛 ) est orthonormée directe. (𝒖 Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 1 .Montrer que la résultante des actions qui s’exercent sur la spire parcourue par le ⃗⃗ , se réduit à un couple de moment 𝑪 ⃗ = courant 𝒊𝒔 et placée dans le champ 𝑩 ⃗ 𝒛. 𝟐 𝒊𝒔 𝒂𝒃 𝑩𝟎 𝒖 2 .Lors de la rotation le rotor est soumis en plus à un couple résistant ⃗ = − 𝑪𝟎 𝒖 ⃗ 𝒛.( 𝑪𝟎 > 𝟎) 𝑪 En désignant par J le moment d’inertie du rotor par rapport à l’axe (z‘O z) et en utilisant les lois de la mécanique, établir l’équation, dite (E M) reliant 𝝎, 𝒊𝒔 , 𝑱, 𝒂, 𝒃, 𝑩𝟎 𝒆𝒕 𝑪𝟎 . 3. Montrer que la force électromotrice (𝒆 = 𝒆𝑲𝑳 ), induite par la rotation de la spire ⃗⃗ peut s’écrire sous la forme dans le champ permanent 𝑩 𝒆 = −𝟐 𝝎 𝒂𝒃 𝑩𝟎. On négligera le phénomène d’auto-induction dans la spire. 4. La spire de résistance R est connectée par l’intermédiaire de deux points K et L à un générateur de tension de f.é.m. constante E. Le montage électrique équivalent est représenté sur la figure 7. Déterminer l’équation dite électrique (EE) reliant E, 𝒊𝑺 , 𝑹, 𝒂, 𝒃, 𝝎 𝒆𝒕 𝑩𝟎 . Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 5. a) À partir des équations (EM) et (EE), établir une équation différentielle vérifiée par la vitesse angulaire . b) Sachant qu’à t =0, le rotor est immobile, chercher la loi de variation de 𝝎 en fonction du temps. On posera 𝝉 = et on supposera que 𝑪𝟎 < 𝟐𝒂𝒃𝑬𝑩𝟎 𝑹 𝑱𝑹 𝟒𝒂𝟐 𝒃𝟐𝑩𝟐 𝟎 . Tracer la courbe donnant 𝝎 en fonction du temps. 6. Sachant que pour un tour effectué par le rotor, le miroir mobile de l’interféromètre de Michelson se déplace d’une distance 𝒍. a) Donner l’expression de la vitesse limite 𝝑𝟎 atteinte par le miroir en fonction des données du problème 𝑬, 𝒍, 𝑹 , 𝒂, 𝒃, 𝝎, 𝑪𝟎 𝒆𝒕 𝑩𝟎 . b) Au bout de combien de temps 𝜟𝒕 , la vitesse de translation du miroir atteintes 99 % de sa valeur limite 𝒗𝟎 ? On exprimera ce temps 𝜟𝒕 en fonction de 𝝉. Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 Roues de Barlow Un disque métallique de rayon OA = a, de masse m et de moment d’inertie J= 1 2 ma 2 . Il tourne autour de son axe Oz à la vitesse angulaire ω, dans un champ magnétique permanent et uniforme B . Il est alimenté par un générateur de tension U entre deux contacts fixes frottant l’un sur son axe au point O, l’autre au point A de la périphérie de disque. La résistance totale du circuit est R. R O i E A 1. Prévoir le sens de rotation de la roue initialement immobile, puis choisir les vecteurs unitaires u et u z sachant que l’orientation positive du circuit est prise selon u r dirigé de O vers A. 2. Evaluer la force électromotrice eOA et le moment M O en O de la force de Laplace. 3. Ecrire les équations du système. En déduire l’équation d’évolution de la vitesse angulaire ω sous la forme: d + = l dt . Donner τ et ωl. Donner également la solution ω(t) avec ω(t=0)=0. Interpréter. 4. Ecrire et Commenter le bilan de puissance. Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 Deux roues de Barlow couplées Deux disques identiques au précédent peuvent tourner librement autour d’un axe horizontal commun OO’z, qui est aussi l’axe du champ uniforme B = Bu z . Le circuit est fermé sur lui-même sur l’axe conducteur OO’ d’une part, à l’extérieur AA’ d’autre part. Les frottements sont négligés ; la résistance totale du circuit est R. A l’instant initial, le disque (D) tourne avec une vitesse ω(t=0) = ω 0, alors que (D’) est immobile ω’(t=0) = 0. (D’) (D) ω O O’ z A’ A R 1. Prévoir dans quel sens va se mettre à tourner le disque (D’). 2. Ecrire les équations du système. 3. Donner les solutions i(t), ω(t) et ω’(t). 4. Toute l’énergie cinétique perdue par (D) est-elle récupérée par (D’)? Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 Principe du galvanomètre ABCD est un cadre carré conducteur, de côté 2a, de résistance R, de coefficient d'auto-induction négligeable, de moment d'inertie J par rapport à l'axe 𝛀𝒛 , constitué d'un enroulement de N spires identiques, de surface S. ll est suspendu à un fil de torsion 𝛀𝛀′ , de longueur b, de constante de torsion C (On rappelle que le ⃗ = -C 𝜶 𝒖 ⃗ 𝒛 , où 𝜶 est l'angle de torsion couple de rappel qui s'exerce sur le fil s'écrit 𝚪 du fil). L'ensemble est plongé dans un champ magnétique radial, de norme constante : ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐀𝐁 ⃗ = 𝑩𝟎 𝒖 ⃗ 𝑨𝑩 ; 𝒖 ⃗ 𝑨𝑩 = est le vecteur unitaire colinéaire à ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐁 𝐀𝐁. 𝟐𝒂 La position du cadre est repérée par l'angle 𝜶 entre l'axe Ox et la normale ⃗𝒏 au cadre. Quand le système est à l'équilibre, 𝜶 = 0. Au cours de son mouvement le cadre est ⃗ 𝒇𝒓𝒐𝒕𝒕 = -h 𝒅𝜶 𝒖 ⃗ 𝒛 , le cadre est fermé sur un soumis à un couple de frottement fluide 𝚪 𝒅𝒕 circuit électrique composant en série une source de tension f.é.m. E et une résistance r. Le système est abandonné sans vitesse initiale dans la position définie par l'angle 𝜶𝟎 = 0. Ecole Supérieure des Sciences et de la technologie de Hammam Sousse Classe Préparatoires : MP2 TD1,TD2,TD3,TD4 1. Analyser ce qui se passe. 2. Déterminer le moment des forces de Laplace par rapport à l'axe 𝛀𝒛 et la puissance des forces de Laplace. 3. Déduire la force électromotrice induite. 4. Déterminer alors l’équation mécanique du système puis l'équation électrique du circuit. On posera 𝝓𝟎 = 𝟒𝒂𝟐 𝑵𝑩𝟎. 5. Montrer que l'équation du mouvement du cadre se met sous la forme : 𝒅𝟐 𝜶 𝟐 𝒅𝜶 + + 𝝎𝟐𝟎 𝜶 = 𝝎𝟐𝟎 𝜶é𝒒 𝟐 𝒅𝒕 𝝉 𝒅𝒕 où , 𝝎𝟎 et 𝜶é𝒒 sont des constantes à déterminer en fonction des caractéristiques du système. 6. Discuter des différents mouvements possibles selon les paramètres du problème. 7. Montrer que la mesure de la position d'équilibre du cadre permet de déterminer le courant i circulant dans le circuit électrique. 8. En considérant l' E.M et l' E.E effectuer un bilan énergétique global du système.
