Mecanique de solide

Chapitre 2 : Méthode des forces -1-
Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM-
Chapitre 2 - METHODE DES FORCES
Sommaire :
A - Méthodes pratiques de résolution
B - Méthode des forces
But de ce chapitre :
Application de la méthode des forces pour la résolution des problèmes
hyperstatiques.

Chapitre 2 : Méthode des forces -2-
Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM-
A. Méthodes pratiques de résolution
Cherchons plusieurs méthodes pour calculer la flèche à l'extrémité d'une console supportant une charge
uniforme.
1) Par Castigliano : en introduisant une force fictive 
dx
EI
M
qW l
0
2
2
1
)(
M(x) = - qx²/2 - x , x- 
M
dx
M
M
EI
W
yl
A
 0
0
1
)(lim
)
6
.
8
(
1
).
2
(
134
0
2lql
EI
xdxx
qx
EI
yl
A
quand -> 0
EI
ql
yA
8
4
2) Par superposition de 2 états de charge :
A
q
l
M(q) l
-ql²/2
M( )
- l

Chapitre 2 : Méthode des forces -3-
Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM-
q
M
-q ²/2
l
m
l
-l
1
=x=x
=
++}M*
l
M* = M + .m ; m 
M
quand -> 0 , M* -> M, donc 
l
Adx
EImM
y
0
Les intégrales de la forme M.m dx sont appelées intégrales de Mohr.
Il existe des tables donnant les valeurs des intégrales des produits M.m.
Calculons yA avec une table dans laquelle on trouve :
l l
f
x = ¼lf
8
2
4
1
4
142 qlql
lllf 
On peut généraliser la méthode de superposition en considérant les autres sollicitations pour obtenir le
déplacement d'un point :
dx
GStT EImM ES
nN
vl
r
iii
i.)(
0
Cette expression est connue sous le nom de Théorème de la charge unité, ou de Théorème de Müller-
Breslau, ou encore d'équation de Bertrand de Fontviollant.

Chapitre 2 : Méthode des forces -4-
Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM-
3) Calcul des intégrales du type  M.m.dx
a - Calcul direct : pour le même exemple on obtient :
l x
l x
M
m
-x
-qx²/2
-l
M = - qx²/2 , m = - x
ll
AEI
ql
dx
qx
EI
dxmM
EI
y
0
43
083
11
b - Théorème de VERECHTCHAGUINE :
 M.m.dx = A.mG
A : aire délimitée par la courbe M(x)
mG : valeur de m à l'abscisse du Centre de Gravité de A,
peut être lue sur la fonction linéaire m.
M
m
M(x)
G
xdx x
m = ax + b x
x
O
Ol
A
A2 A1
x = 3l/4
G1
G2
x = 3l/8
A1 = 1/3 du rectangle circonscrit
= lh/3
A2 = 2lh/3
Aires délimitées par un arc de parabole
h
l
GG
G
G1
G2
M(x) est une droite, une parabole ou une cubique.
m(x) est toujours linéaire (moment de flexion d'une charge unitaire concentrée), soit m = a.x + b
 Mmdx =  M(ax + b)dx = a Mxdx + b Mdx
 Mdx = A , aire délimitée par le diagramme de M(x) entre les abscisses 0 et l.
Mxdx = (Mdx)x = moment de l'aire hachurée par rapport à l'origine.
 Mxdx = A.xG , moment statique de l'aire A par rapport à l'origine.
 Mmdx = a.A.xG + b.A = A (a.xG + b) = A.mG

Chapitre 2 : Méthode des forces -5-
Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM-
Cette méthode est commode si l'on sait calculer l'aire délimitée par le diagramme du moment de flexion et
l'abscisse de son centre de gravité. On peut aussi calculer une aire par l'intégrale :
b
a
dxxMA )(
Application à la console :
M
m
x =3l/4
x
l
m
-l
-ql²/2
A = - --- l = ---
1 ql² ql³
3 2 6
m = 3l/4
y = -- A.m
1
EI = ---
ql
8EI
4
G
G
G
A G
B. Méthode des forces
Cette méthode permet de calculer les inconnues hyperstatiques (actions des appuis ou sollicitations
dans la structure) en utilisant les méthodes énergétiques.
1) Degré d'hyperstaticité
Si on appelle :
- b le nombre de barres
- e le nombre d'encastrements
- a le nombre d'articulations
- as le nombre d’apuis simples.
Le nombre d'équations que l'on peut écrire est :
X = 3b
Le nombre d'inconnues N est :
N = 3.e + 2.a + 1.as
Le degré d'hyperstaticité est n = N - X
Le degré d'hyperstaticité est égal au nombre de coupures nécessaires pour rendre la structure isostatique.
On peut distinguer entre l’hyperstaticité extérieure et l’hyperstaticité intérieure :
n = ne + nint