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Chapitre 2 : Méthode des forces -4-
Mécanique des Structures
Y.BAHI - ENSAM-
3) Calcul des intégrales du type M.m.dx
a - Calcul direct : pour le même exemple on obtient :
l x
l x
M
m
-qx²/2
-l
M = - qx²/2 , m = - x
ll
AEI
ql
dx
qx
EI
dxmM
EI
y
0
43
083
11
b - Théorème de VERECHTCHAGUINE :
M.m.dx = A.mG
A : aire délimitée par la courbe M(x)
mG : valeur de m à l'abscisse du Centre de Gravité de A,
peut être lue sur la fonction linéaire m.
M
m
M(x)
G
xdx x
m = ax + b x
x
O
Ol
A
A2 A1
x = 3l/4
G1
G2
x = 3l/8
A1 = 1/3 du rectangle circonscrit
= lh/3
A2 = 2lh/3
Aires délimitées par un arc de parabole
h
l
GG
G
G1
G2
M(x) est une droite, une parabole ou une cubique.
m(x) est toujours linéaire (moment de flexion d'une charge unitaire concentrée), soit m = a.x + b
Mmdx = M(ax + b)dx = a Mxdx + b Mdx
Mdx = A , aire délimitée par le diagramme de M(x) entre les abscisses 0 et l.
Mxdx = (Mdx)x = moment de l'aire hachurée par rapport à l'origine.
Mxdx = A.xG , moment statique de l'aire A par rapport à l'origine.
Mmdx = a.A.xG + b.A = A (a.xG + b) = A.mG