Chapitre 2 - METHODE DES FORCES Sommaire : A - Méthodes pratiques de résolution B - Méthode des forces But de ce chapitre : Application de la méthode des forces pour la résolution des problèmes hyperstatiques. Chapitre 2 : Méthode des forces -1- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- A. Méthodes pratiques de résolution Cherchons plusieurs méthodes pour calculer la flèche à l'extrémité d'une console supportant une charge uniforme. 1) Par Castigliano : en introduisant une force fictive q A l M(q) l -ql²/2 M( ) - l l 1 M2 W (q ) dx 2 0 EI M -x M(x) = - qx²/2 - x , l W 1 M y A lim ( ) M dx 0 EI 0 l 1 qx 2 1 ql 4 .l 3 yA ( . x) xdx ( ) EI 0 2 EI 8 6 ql 4 yA 8EI quand -> 0 2) Par superposition de 2 états de charge : Chapitre 2 : Méthode des forces -2- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- M q l = -q l ²/2 m + + = x } M* 1 l = x -l M* = M + .m M m ; l quand -> 0 , M* -> M, y A donc 0 M m dx EI Les intégrales de la forme M.m dx sont appelées intégrales de Mohr. Il existe des tables donnant les valeurs des intégrales des produits M.m. Calculons yA avec une table dans laquelle on trouve : f x = l ¼lf l 1 1 ql 2 ql 4 lf l l 4 4 2 8 On peut généraliser la méthode de superposition en considérant les autres sollicitations pour obtenir le déplacement d'un point : l vi ( 0 N ni M mi T ti ).dx ES EI GSr Cette expression est connue sous le nom de Théorème de la charge unité, ou de Théorème de MüllerBreslau, ou encore d'équation de Bertrand de Fontviollant. Chapitre 2 : Méthode des forces -3- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- 3) Calcul des intégrales du type M.m.dx a - Calcul direct : pour le même exemple on obtient : M l x -qx²/2 m l -l -x M = - qx²/2 , m=-x l yA x l 1 1 qx 3 ql 4 M m dx dx EI 0 EI 0 3 8EI b - Théorème de VERECHTCHAGUINE : M.m.dx = A.mG A : aire délimitée par la courbe M(x) mG : valeur de m à l'abscisse du Centre de Gravité de A, peut être lue sur la fonction linéaire m. M M(x) xG1 = 3l/4 G G1 A O l x dx x A2 xG A1 h G2 xG2 = 3l/8 m l O mG = axG + b A1 = 1/3 du rectangle circonscrit= lh/3 A2 = 2lh/3 Aires délimitées par un arc de parabole x M(x) est une droite, une parabole ou une cubique. m(x) est toujours linéaire (moment de flexion d'une charge unitaire concentrée), soit m = a.x + b Mmdx = M(ax + b)dx = a Mxdx + b Mdx Mdx = A , aire délimitée par le diagramme de M(x) entre les abscisses 0 et l. Mxdx = (Mdx)x = moment de l'aire hachurée par rapport à l'origine. Mxdx = A.xG , moment statique de l'aire A par rapport à l'origine. Mmdx = a.A.xG + b.A = A (a.xG + b) = A.mG Chapitre 2 : Méthode des forces -4- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- Cette méthode est commode si l'on sait calculer l'aire délimitée par le diagramme du moment de flexion et l'abscisse de son centre de gravité. On peut aussi calculer une aire par l'intégrale : b A M ( x )dx a Application à la console : M xG =3l/4 x 1 ql² ql³ A = - --- l = --3 2 6 -ql²/2 m m G = 3l/4 l ql4 1 y A = -- A.m G = --8EI EI mG -l B. Méthode des forces Cette méthode permet de calculer les inconnues hyperstatiques (actions des appuis ou sollicitations dans la structure) en utilisant les méthodes énergétiques. 1) Degré d'hyperstaticité Si on appelle : - b le nombre de barres - e le nombre d'encastrements - a le nombre d'articulations - as le nombre d’apuis simples. Le nombre d'équations que l'on peut écrire est : X = 3b Le nombre d'inconnues N est : N = 3.e + 2.a + 1.as Le degré d'hyperstaticité est n=N-X Le degré d'hyperstaticité est égal au nombre de coupures nécessaires pour rendre la structure isostatique. On peut distinguer entre l’hyperstaticité extérieure et l’hyperstaticité intérieure : n = ne + nint Chapitre 2 : Méthode des forces -5- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- Hyperstaticité extérieure : ne On a X’ équations d' équilibre (3 dans le plan, 6 dans l'espace) et N’ inconnues. Le degré d'hyperstaticité est ne = N’ – X’ Hyperstaticité intérieure : nint Même si l'on connait toutes les actions des appuis il peut se faire que le calcul des sollicitations dans la structure soit impossible. On dit que la structure est hyperstatique intérieurement. Il faut alors faire des coupures internes. 2) Notion de coupure Une coupure permet de rendre isostatique une structure hyperstatique pour pouvoir la calculer plus facilement en utilisant le principe de superposition. Coupure externe : on supprime l'appui par une ou plusieurs coupures : - appui simple : 1 coupure - articulation : 2 coupures - encastrement : 3 coupures On referme une coupure externe en lui appliquant l'action d'appui correspondante. Coupure interne pour une sollicitation N, M ou V : on empèche la sollicitation d'agir par un moyen mécanique : - pour N : glissière longitudinale - pour M : articulation - pour V : glissière transversale On referme une coupure interne en appliquant la sollicitation aux bords de la coupure. 3) Structure isostatique associée On peut rendre une structure isostatique par des coupures externes ou internes : Choix de la structure isostatique associée : il faut la choisir la plus simple possible pour pouvoir calculer facilement les intégrales. Chapitre 2 : Méthode des forces -6- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- Exemple : poutre encastrée-appuyée (structure hyperstatique de degré 1) q S A B q S' B A v1 = 0 X1 S' est identique à S si X1 est tel que le déplacement vertical de B sous l'effet de q et de X1 est nul : v1 = 0. Remplaçons S' par les 2 systèmes So et S1 tels que l'on puisse appliquer le principe de superposition : So + S1 = S' q So v10 A v 11 S1 A X1 (So+S1) est identique à S si l'on a : v1 = v10 + v11 = 0 v10 : déplacement sur la direction de X1 dû à q v11 : déplacement dans le sens de X1 dû à X1, ou encore v11 = X1.11, soit : v10 + X1.11 = 0 (11 : déplacement sous l'action de la charge unité), d'où : X1 v10 11 Chapitre 2 : Méthode des forces -7- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- q l 1 l/4 M 1= l l Go m G1=2l/3 M o=-ql²/2 m Go=3l/4 G1 l l/4 l/3 En appliquant l'équation de B. de Fontviollant : v10 S M 0 M1 dx EI Mo : Moment de flexion dû à q M1 : Moment de flexion dû à X1 = 1 11 S M1 M1 dx EI 1 ql 2 3 ql 4 EI v10 l l 3 2 4 8 EI 11 ; '-----''--' A mG l2 2 l3 l 2 3 3 '-''--' A mG X1 v10 3ql RB 11 8 4) Méthode des forces Généralisons la méthode précédente. On définit plusieurs états de la structure étudiée, correspondant à des chargements et à des configurations que l'on superposera. Etat réel : c'est la structure S telle qu'elle est donnée avec son chargement et sa configuration. Elle est hyperstatique de degré n. On choisit les n inconnues hyperstatiques que l'on va calculer : X1, X2, ... , Xi, ... Xn. Etat O : On garde le chargement. On fait n coupures aux points d'applications des inconnues pour rendre S isostatique. On calcule les déplacements aux bords des coupures. Etat 1 : On enlève le chargement et à la place de X1 on applique la charge 1. On calcule les déplacements projetés correspondant aux inconnues Xi. Chapitre 2 : Méthode des forces -8- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- ... Etat i : Le chargement étant enlevé, on remplace l'action inconnue Xi par la valeur 1. On calcule les déplacements projetés correspondant à toutes les inconnues. ... jusqu'à l'état n. En refermant les coupures on écrit que la somme de ces déplacements est nulle : Etat réel = Etat O + Etat 1*X1 + Etat 2*X2 + .... + Etat n*Xn soit : Etat réel = Etat 0 + Etat i*Xi On obtient ainsi autant d'équations que d'inconnues. Exemple : portique bi-encastré ABCD q q F F B y MA A YA O ou S h +M B C MD D XA x YD C S A D X1 XD X2 l X3 Etat réel : Structure S charges : . répartie q sur la traverse . concentrée horizontale F en B inconnues : 3 en A, 3 en D équations : 3 ( proj. sur Ox : XA + XD + F = 0 ( proj. sur Oy : YA + YD - ql = 0 ( moments/D : MA + MD - YA.l + F.h + ql²/2 = 0 degré d'hyperstaticité, n = 3 Calculons les actions en D en utilisant le fait que les 3 déplacements uD, vD, D sont nuls. Etat O : on supprime l'encastrement D par 3 coupures, ce qui fait apparaître 3 déplacements uD0, vD0 et D0 que l'on peut calculer. Chapitre 2 : Méthode des forces -9- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- q F C B So A D vDo Do u Do Etat 1 : la force horizontale 1 provoque 3 déplacements uD1, vD1, D1 que l'on peut calculer. S 1 X * 1 1 Etat 2 : la force verticale 1 provoque 3 déplacements uD2, vD2, D2 que l'on peut calculer. X S 2 * 2 1 Etat 3 : le moment unitaire provoque 3 déplacements uD3, vD3, D3 que l'on peut calculer. X S3 3 * 1 En refermant les coupures on obtient : Etat réel = Etat 0 + Etat 1*X1 + Etat 2*X2 + Etat 3*X3 Calcul des déplacements : Déplacement horizontaux : uD = uD0 + uD1.X1 + uD2.X2 + uD3.X3 = 0 ce qu'on écrit : uD = d10 + d11.X1 + d12.X2 + d13.X3 = 0 Déplacements verticaux : vD = d20 + d21.X1 + d22.X2 + d23.X3 = 0 Rotations D = d30 + d31.X1 + d32.X2 + d33.X3 = 0 : Chapitre 2 : Méthode des forces -10- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- on a obtenu un système de 3 équations à 3 inconnues qui peut s'écrire : d11 d 21 d 31 d11 Avec : S d 21 d 31 d12 d 22 d 32 d12 d 22 d 32 d13 X 1 d10 d 23 X 2 d 20 d d 33 X 3 30 d13 d 23 appelée Matrice de souplesse d 33 dij : deplacement dans la direction de la coupure i à l’état j. Il y a donc 12 déplacements à calculer sous la forme : dij M iM j EI structure ds On les calcule avec les intégrales de Mohr ou le théorème de Verechtchaguine. exemple : calcul de d10 = uD0 (sous l'action de q seulement) q -ql²/2 G 2 A2 l/4 So MA YA G1 + Mo m h m = h/2 G1 A3 = 0 G2 l/4 S et M 1 1 A1 EI.d10 = A1.mG1 + A2.mG2 + A3.mG3 ql²h h ql² l ql²h = - ---- . -- - --- . - h + 0 = - ---- ( 3h + 2l) 2 2 2 3 12 Chapitre 2 : Méthode des forces -11- Mécanique des Structures Y.BAHI - ENSAM- h
