Exercise 1 1. On demande de déterminer la position du point focal image et de calculer la distance focale image, par trois di¤ érentes méthodes, d’une lentille plan-convexe L1 d’indice de réfraction n et de rayon de courbure de la face courbe R. La lentille reçoit sur sa face plane un rayon lumineux parallèle à son axe principal (a) En assimilant la lentille , dans le cas de faible incidence, à un prisme d’indice n et d’angle au sommet A, dont la base est confondue avec l’axe. Utiliser l’expression de la déviation du prisme pour établir que R la distance focale image est donnée par: f 0 = n 1 (b) Cette lentille, considérée comme demi boule, est éclairée par un faisceau de rayons parallèles tombant en incidence normale sur sa face plane. Soit un rayon incident caractérisé par l’angle d’incidence i sur la surface sphérique. Ce rayon subit une réfraction sur la surface sphérique et on note F 0 le point d’intersection entre le rayon émergent et l’axe de la lentille. Calculer en fonction de cos i le chemin optique parcouru par le rayon entre la face d’entrée de la lentille et le point F 0. F 0 est l’image du point à l’in…ni si sa position est indépendante de i. Déterminer la position de F 0. (c) On considère la lentille comme ensemble des dioptres .Utiliser les formules de conjugaison pour trouver la distance focale de cette lentille. On donne n = 1:5 et R = 20 cm. 2. Déterminer la position du centre optique et en déduire les points nodaux. 3. A 20cm après L1 , supposée mince, on dispose une deuxième lentille mince L2 . Le point focal image du système se forme à 40 cm de L2 . Déterminer la nature et la convergence de L2 . 4. Le système ainsi constitué donne une image A0B0 de l’objet réel AB placé à 80 cm devant L1 . Déterminer la position et la nature de A0 B 0 5. On remplace les lentilles L1 et L2 par une autre lentille L placer juste à la place de L1 . Que doit être la distance focale de L pour conserver l’image A0B0 dans la même position ?. Solution 2 : 1 I D A A C D O F ' 1. (a) Dans le cas des petits angles l’expression de déviation du prisme d’indice n et d’angle au sommet A est donnée par : D = (n 1) A La géométrie de la …gure 1 démontre que : OI OI OI tan D ' D = =) OF 0 = = OF 0 D (n 1)A OI OI D’autre part : tan A ' A = =) CO = CO A On peut aussi écrire dans le cas de faible épaisseur OI OI =) R = sin A = A = R A OI OI R nR 0 0 CF = CO + OF = + =R+ = A (n 1)A n 1 n 1 nR R 0 0 en…n f = SF = SC + CF 0 = R + = (n 1) n 1 3 20 n = ; R = 20 cm =) f 0 = = 40 cm 3 2 1 2 (b) Le rayon incident est normal à la face d’entrée et il pénètre dans la lentille sans déviation. Il rencontre la face sphérique au point I et subit une réfraction suivant la direction IF 0 (…g.2) I H i F' C 2 Le chemin optique parcouru par le rayon entre la face d’entrée de la lentille et le point F 0 est déterminer par : = nHI + IF 0 = CI avec HI = CI cos i = R cos i et IF 02 = IC 2 + CF 02 2CI:CF 0 cos i p Donc : = nR cos i + R2 + x2 2Rx cos i , en posant x = CF 0 i2 dans le cas de peitt angles on peut écrire : cos i = 1 2 s 2 2 i i i2 =) = nR 1 + R2 + x2 2Rx 1 = nR 1 + 2 2 2 p (R x)2 + Rxi2 r i2 Rx 2 = nR 1 + (x R) 1 + i 2 (R x) i2 Rx 2 i << 1 donc : = nR 1 + comme i est faible alors (r# x) 2 " Rx 2 (x R) 1 + 2i 2 (R x) i2 x n 2 x R Pour que F 0 soit limage d’un objet à l’in…ni il faut que soit indépendant de i donc que x R = n =) x = CF 0 = n la distance focale est x R n 1 R R f 0 = SF 0 = SC + CF 0 = R + x = n R= = 40 cm n 1 n 1 (c) L’objet se trouve à l’in…ni son image par rapport au dioptre plan est aussi à l’in…ni. Cette image devient objet par rapport au dioptre n2 n1 n2 n1 sphérique dont la formule de conjugaison est : = CA CA0 CS Dans notre cas n2 = 1 , n1 = n , CS = R , CA = 1 et CA0 = CF 0 d’où : 1 n nR R n = =) CF 0 = et f 0 = SF 0 = = 40 cm R n 1 n 1 CF 0 = nR + (x R) + R 2. La lentille est plan convexe alors le centre optique O1 se trouve dans le sommet de la face courbe O1 S (a) O1 est l’image du point nodal objet N par rapport au dioptre plan si H est le point d’intersection avec l’axe de la lentille, la formule du dioptre plan nous donne : 1 n HS HO1 = =) HN = = HN HS n n Le point S est un point double pour le dioptre sphérique donc le point nodal image N 0 est confondu avec S 3 3. Soit F 0 le point focal image du système alors F 0 est l’image d’un objet à l’in…ni par rapport au système des lentilles et donc l’image du foyer image F10 de L1 par rapport à L2 . Soit O2 le centre optique de L1 donc la formule de conjugaison de L1 s’écrit : 1 1 1 1 = = 0 :on a O2 F 0 = 40 cm et O2 F10 = 20 cm 0 0 0 f2 O2 F O2 F1 O2 F2 1 1 1 1 = =) 0 = f2 40 20 40 1 =) f20 = 40 (en cm) et C2 = = 2; 5 La lentille L2 est donc 0:4 divergente . 4. On a jO1 Aj = 80 = f10 , donc l’image relativement à L1 est A1 B1 1 1 1 = 0 f1 O1 A1 O1 A 1 1 1 1 1 1 =) = + 0 = + = =) O1 A1 = 80: A1 B1 sera f1 80 40 80 O1 A1 O1 A objet pour L2 et O2 A1 = O2 O1 + O1 A1 = 20 + 80 = 60 1 1 1 = 0 0 f2 O2 A O2 A1 1 1 1 2 1 1 = + 0 = = =) O2 A0 = 30 =) 0 f 60 20 60 O2 A O2 A1 2 A0 B 0 est une image virtuelle 5. Soit f 0 la distance focale de L et O son centre optique. Si A0 B 0 est l’image 1 1 1 = 0 . on a OA = 80; de AB par rapport à L alors on a : 0 f OA OA OA0 = 10 1 1 1 7 80 =) 0 = + = =) f 0 = f 10 80 80 7 Exercise 3 Soit (L) une lentille biconcave fabriquée de verre d’indice n = 1:5; plongée dans l’air. On désigne par C1 ; C2 les centres de courbure des faces d’entrée et de sortie respectivement et par S1 et S2 les sommets correspondants. S1 C1 = R , S2 C2 = 2R sont les rayons de courbure et e = S1 S2 est l’épaisseur de (L) : 1. Déterminer, en fonction de e et de R les positions du centre optique et des points nodaux. 2. Calculer les vergences des faces d’entrée et de sortie. En déduire la distance focale de (L) : 3. On suppose que (L) est mince déterminer la position, la nature, et la ! longueur de l’image formée par (L) d’un objet AB ; AB = 10 cm, placé à la distance x = 2R du centre optique avant la face d’entrée perpendiculairement à l’axe tel que A est sur l’axe. 4 Solution 4 Lentille biconcave 1. La position du centre optique(O) est tout simplement donnée par la relation OS1 R1 : = R2 OS2 OS1 1 R = =) OS2 = = 2R 2 OS2 2OS1 ; e 2e et OS2 = 3 3 Tout rayon dirigé vers, ou passe par, le point nodal objet (N ) emerge de la face d’entrée en passant par le centre optique (O) 1 n 1 n 1 n n 1 (1;n) = = = (N ) ! (O) : R R S1 N S1 O S1 C1 1 n n 1 3n n 1 3nR + e (n 1) =) = + = + = =) R e R eR S1 N S1 O e = S1 S2 = S1 O + OS2 = 3OS1 =) OS1 = S1 N = eR 3nR + e (n 1) n 1 n 1 n 1 = = 2R S2 O S2 N 0 S2 C2 3n n 1 3nR + e (n 1 n n 1 = = =) = 0 2R 2e 2R 2eR S2 N S2 O (n;1) (O) ! (N 0 ) : S2 N 0 = 2eR 3nR + e (n 1 f1 = n 2R V = V1 + V2 2 R n 1 et f10 = n nR 1 1 n n = 0 f1 R Pour la deuxième face: f2 = 1 =) 1) 2. Les distances focales de la première face sont: f1 = =) V1 = 1) 2R n 1 2nR et f20 = =) V2 = = 0 = n 1 n 1 f2 f1 e 1 n 1 n V1 V2 = + n R 2R e1 n1 n 31 n = n R 2R 2 R e (1 n) 2nR2 Avec n = 1; 5 =) V = 9R + e =) f 0 = 12R2 3. Si (L) est mince donc e = 0 =) f 0 = 5 12R2 9R + e 12 R= 9 4 R 3 La formule de conjugaison s’écrit : =) 1 1 1 = 0+ = 0 f OA OA 3 4R 1 OA0 1 = 2R OA0 = 1 1 = 0 f OA 5 =) 4R 4R 5 l’image est virtuelle Le grandissement linéaire est : = 0; 4 =) A0 B 0 OA0 = = AB OA 4R=5 4 = = 2R 10 A0 B 0 = 4cm: Exercise 5 On considère un dioptre sphérique de sommet S, de centre C et de rayon R = SC, séparant le vide d’indice n1 = 1 et le verre d’indice n2 = 1:5. Déterminer la position de l’image, formée par le dioptre, d’un point objet réel A placé dans le vide, sur l’axe et à une distance x du sommet S. Un miroir plan M est disposé juste après le dioptre dans le verre, son sommet est pratiquement confondu avec S. 1. Déterminer les positions des images successives de l’objet A par le dioptre, le miroir puis le dioptre en retour. 2. En déduire la relation de conjugaison pour le système complet. 3. Quel est le système équivalent ? Solution 6 . n 1 n 1 A A C S A C S A 1. L’image de A se détermine par la relation de conjugaison du dioptre 1 n nRx 1 n sphérique avec origine en S : = =) SA0 = = 0 R (1 n) x SA SA SC 3Rx avec x = SA 2R + x Le système dioptre miroir donne trois images successives : (1;n) M A ! A1 ! A2 et les positions sont telles que : 6 (n;1) ! A0 1 SA n 1 n , = R SA1 SA2 = SA1 et n 1 n 1 = 0 R SA2 SA 2. ce qui nous donne : 1 1 n 1 =2 + 0 R SA SA 3. Cette dernière relation est la relation de conjugaison d’un miroir sphérique R de sommet S, de centre C et de rayon R0 tel que : R0 = : 1 n 7
