TD optique

Exercise 1 1. On demande de déterminer la position du point focal image et
de calculer la distance focale image, par trois di¤érentes méthodes, d’une
lentille plan-convexe L1d’indice de réfraction net de rayon de courbure
de la face courbe R. La lentille reçoit sur sa face plane un rayon lumineux
parallèle à son axe principal
(a) En assimilant la lentille , dans le cas de faible incidence, à un prisme
d’indice net d’angle au sommet A, dont la base est confondue avec
l’axe. Utiliser l’expression de la déviation du prisme pour établir que
la distance focale image est donnée par: f0=R
n1
(b) Cette lentille, considérée comme demi boule, est éclairée par un fais-
ceau de rayons parallèles tombant en incidence normale sur sa face
plane. Soit un rayon incident caractérisé par l’angle d’incidence i
sur la surface sphérique. Ce rayon subit une réfraction sur la surface
sphérique et on note F0le point d’intersection entre le rayon émer-
gent et l’axe de la lentille. Calculer en fonction de cos ile chemin
optique parcouru par le rayon entre la face d’entrée de la lentille et
le point F0.
F0est l’image du point à l’in…ni si sa position est indépendante de i.
Déterminer la position de F0.
(c) On considère la lentille comme ensemble des dioptres .Utiliser les for-
mules de conjugaison pour trouver la distance focale de cette lentille.
On donne n= 1:5et R= 20 cm.
2. Déterminer la position du centre optique et en déduire les points nodaux.
3. A 20cm après L1, supposée mince, on dispose une deuxième lentille mince
L2. Le point focal image du système se forme à 40 cm de L2. Déterminer
la nature et la convergence de L2.
4. Le système ainsi constitué donne une image A0B0de l’objet réel AB placé
à80 cm devant L1. Déterminer la position et la nature de A0B0
5. On remplace les lentilles L1et L2par une autre lentille Lplacer juste à la
place de L1. Que doit être la distance focale de Lpour conserver l’image
A0B0dans la même position ?.
Solution 2 :
1

A
A
D
D
C
F
'
I
O
1. (a) Dans le cas des petits angles l’expression de déviation du prisme
d’indice net d’angle au sommet Aest donnée par : D= (n1) A
La géométrie de la …gure 1 démontre que :
tan D'D=OI
OF 0=)OF 0=OI D=OI (n1)A
D’autre part : tan A'A=OI
CO =)CO =OI A
On peut aussi écrire dans le cas de faible épaisseur
sin A
=A=OI
R=)R=OI A
CF 0=CO +OF 0=OI
A+OI (n1)A=R+R n1=nR n1
en…n f0=SF 0=SC +CF 0=R+nR
(n1) =R n1
n=3
2; R = 20 cm =)f0=20
3
21
= 40 cm
(b) Le rayon incident est normal à la face d’entrée et il pénètre dans la
lentille sans déviation. Il rencontre la face sphérique au point I et
subit une réfraction suivant la direction IF 0(…g.2)
i
C
F'
I
H
2

Le chemin optique parcouru par le rayon entre la face d’entrée de
la lentille et le point F0est déterminer par :
 = nHI +IF 0=CI avec HI =CI cos i=Rcos i
et IF 02=IC2+CF 022CI:CF 0cos i
Donc :  = nR cos i+pR2+x22Rx cos i, en posant x=CF 0
dans le cas de peitt angles on peut écrire : cos i= 1 i2
2
=) = nR 1i2
2+sR2+x22Rx 1i2 2=nR 1i2 2+
p(Rx)2+Rxi2
=nR 1i2
2+ (xR)r1 + Rx (Rx)i2
comme iest faible alors Rx
(rx)i2<< 1donc :  = nR 1i2 2+
(xR)"1 + Rx
2 (Rx)2i2#
=nR + (xR) + Ri2
2x xRn
Pour que F0soit limage d’un objet à l’in…ni il faut que soit in-
dépendant de idonc que
x
xR=n=)x=CF 0=nR n1la distance focale est
f0=SF 0=SC +CF 0=R+x=nR
n1R=R n1= 40 cm
(c) L’objet se trouve à l’in…ni son image par rapport au dioptre plan
est aussi à l’in…ni. Cette image devient objet par rapport au dioptre
sphérique dont la formule de conjugaison est : n2
CA n1 CA0=n2n1 CS
Dans notre cas n2= 1 ,n1=n,CS =R,CA =1et CA0=CF 0
d’où :
n
CF 0=1n
R=)CF 0=nR n1et f0=SF 0=R n1= 40 cm
2. La lentille est plan convexe alors le centre optique O1se trouve dans le
sommet de la face courbe O1S
(a) O1est l’image du point nodal objet Npar rapport au dioptre plan si
Hest le point d’intersection avec l’axe de la lentille, la formule du
dioptre plan nous donne :
1
HN =n HS =)HN =HS n=HO1 n
Le point Sest un point double pour le dioptre sphérique donc le point
nodal image N0est confondu avec S
3

3. Soit F0le point focal image du système alors F0est l’image d’un objet à
l’in…ni par rapport au système des lentilles et donc l’image du foyer image
F0
1de L1par rapport à L2. Soit O2le centre optique de L1donc la
formule de conjugaison de L1s’écrit :
1
O2F01
O2F0
1
=1
O2F0
2
=1
f0
2
:on a O2F0= 40 cm et O2F0
1= 20 cm
=)1
f0
2
=1
40 1 20 =1 40
=)f0
2=40 (en cm)et C2=1
0:4=2;5La lentille L2est donc
divergente .
4. On a jO1Aj= 80 = f0
1, donc l’image relativement à L1est A1B1
1
O1A11 O1A=1
f0
1
=)1
O1A1
=1
O1A+1
f0
1
=1
80 +1 40 =1 80 =)O1A1= 80: A1B1sera
objet pour L2et O2A1=O2O1+O1A1=20 + 80 = 60
1
O2A01 O2A1
=1
f0
2
=)1
O2A0=1 O2A1
+1
f0
2
=1
60 1 20 =2 60 =)O2A0=30
A0B0est une image virtuelle
5. Soit f0la distance focale de Let Oson centre optique. Si A0B0est l’image
de AB par rapport à Lalors on a : 1
OA01 OA =1
f0. on a OA =80;
OA0=10
=)1
f0=1 10 +1 80 =7 80 =)f0=80 7
Exercise 3 Soit (L)une lentille biconcave fabriquée de verre d’indice n= 1:5;
plongée dans l’air. On désigne par C1; C2les centres de courbure des faces
d’entrée et de sortie respectivement et par S1et S2les sommets correspon-
dants. S1C1=R,S2C2= 2Rsont les rayons de courbure et e=S1S2
est l’épaisseur de (L):
1. Déterminer, en fonction de eet de Rles positions du centre optique et des
points nodaux.
2. Calculer les vergences des faces d’entrée et de sortie. En déduire la dis-
tance focale de (L):
3. On suppose que (L)est mince déterminer la position, la nature, et la
longueur de l’image formée par (L)d’un objet ! AB ;AB = 10 cm, placé à
la distance x=2Rdu centre optique avant la face d’entrée perpendicu-
lairement à l’axe tel que Aest sur l’axe.
4

Solution 4 Lentille biconcave
1. La position du centre optique(O)est tout simplement donnée par la relation
:OS1
OS2
=R1
R2
OS1
OS2
=R
2R=1 2=)OS2=2OS1;
e=S1S2=S1O+OS2=3OS1=)OS1=e
3et OS2=2e 3
Tout rayon dirigé vers, ou passe par, le point nodal objet (N)emerge de
la face d’entrée en passant par le centre optique (O)
(N)(1;n) !(O):1
S1Nn S1O=1n S1C1
=1n
R=n1 R
=)1
S1N=n S1O+n1
R=3n e+n1 R=3nR +e(n1) eR =)
S1N=eR
3nR +e(n1)
(O)(n;1) !(N0) : n
S2O1 S2N0=n1 S2C2
=n1
2R
=)1
S2N0=n S2On1
2R=3n 2en1 2R=3nR +e(n1) 2eR =)
S2N0=2eR
3nR +e(n1)
2. Les distances focales de la première face sont: f1=R
n1et f0
1=nR
n1
=)V1=1
f1
=n
f0
1
=1n
R
Pour la deuxième face: f2=2nR
n1et f0
2=2R
n1=)V2=n f2
=1
f0
1
=
1n
2R
V=V1+V2e
nV1V2=1n R+1n 2Re n
1n
R
1n
2R=3 2
1n
R
e(1 n)2
2nR2
Avec n= 1;5 =)V=9R+e
12R2=)f0=12R2 9R+e
3. Si (L)est mince donc e
=0 =)f0=12
9R=4 3R
5