Diffusion de particules

Diffusion de particules dans un tuyau poreux:
On considère la diffusion de particules en régime permanent suivant un axe Ox, le long d’un
tube cylindrique de rayon R.
Cette diffusion axiale suit la loi de Fick avec une diffusivité Dax. On notera  le vecteur
densité de flux de particules correspondant. La concentration en particules en x = 0 vaut n*o.
Le tuyau étant constitué dans un matériau poreux il existe en plus des pertes latérales de
particules à travers la paroi du tuyau. On modélise ces pertes par un vecteur densité surfacique
de flux radial donné par la relation
r
ext
latlat unxnKJ ** )( 
. Klat est une constante
positive. n*ext est la concentration en particules à l’extérieur du tuyau, constante et inférieure à
la concentration en particules à l'intérieur du tuyau qui sera notée n*(x) en un point d'abscisse
x..
1/ Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la concentration n*(x) à l'intérieur du
tuyau s'écrit sous la forme :
Où  et  sont des constantes positives que l'on exprimera en fonction de Dax, Klat, R et n*ext.
2/ Donner la forme générale des solutions n*(x) de cette équation sans chercher à expliciter les
constantes d'intégration.
3/ Le tuyau étudié est en réalité très fin, son rayon R étant très petit comparé à sa longueur. Il
peut donc être modélisé par un tuyau de longueur infinie.
Vers quelle valeur tend n*(x) lorsque x devient très grand ? En déduire, parmi les solutions
trouvées à la question 2/, le type de solutions à conserver pour modéliser le comportement des
particules. Déterminer alors complètement n*(x) en fonction de x, Dax, Klat, R, n*ext et n0.
R
x
0
n*ext
x + dx
x
x

Source sphérique
On considère un milieu dans lequel se produit la diffusion de neutrons caractérisée en régime
permanent en un point M par la concentration particulaire n(r,) dépendant uniquement de
r= OM. Les particules radioactives qui produisent les neutrons sont présentes dans la sphère
de centre O, de rayon a. Elles produisent  neutrons par unité de temps et de volume,  étant
une constante.
1 Etablir l'équation différentielle vérifiée par n(r).
2. Déterminer n(r) .