Diffusion de particules dans un tuyau poreux: On considère la diffusion de particules en régime permanent suivant un axe Ox, le long d’un tube cylindrique de rayon R. Cette diffusion axiale suit la loi de Fick avec une diffusivité Dax. On notera 𝑗⃗𝑎𝑥 le vecteur densité de flux de particules correspondant. La concentration en particules en x = 0 vaut n*o. n*ext R 0 x x x + dx x Le tuyau étant constitué dans un matériau poreux il existe en plus des pertes latérales de particules à travers la paroi du tuyau. On modélise ces pertes par un vecteur densité surfacique de flux radial donné par la relation J lat K lat n* ( x ) n* ext ur . Klat est une constante positive. n*ext est la concentration en particules à l’extérieur du tuyau, constante et inférieure à la concentration en particules à l'intérieur du tuyau qui sera notée n*(x) en un point d'abscisse x.. 1/ Montrer que l’équation différentielle vérifiée par la concentration n*(x) à l'intérieur du tuyau s'écrit sous la forme : 𝑑 2 𝑛∗ − 𝛼. 𝑛∗ = −𝛽 𝑑𝑥 2 Où et sont des constantes positives que l'on exprimera en fonction de Dax, Klat, R et n*ext. 2/ Donner la forme générale des solutions n*(x) de cette équation sans chercher à expliciter les constantes d'intégration. 3/ Le tuyau étudié est en réalité très fin, son rayon R étant très petit comparé à sa longueur. Il peut donc être modélisé par un tuyau de longueur infinie. Vers quelle valeur tend n*(x) lorsque x devient très grand ? En déduire, parmi les solutions trouvées à la question 2/, le type de solutions à conserver pour modéliser le comportement des particules. Déterminer alors complètement n*(x) en fonction de x, Dax, Klat, R, n*ext et n0. Source sphérique On considère un milieu dans lequel se produit la diffusion de neutrons caractérisée en régime permanent en un point M par la concentration particulaire n(r,) dépendant uniquement de r= OM. Les particules radioactives qui produisent les neutrons sont présentes dans la sphère de centre O, de rayon a. Elles produisent neutrons par unité de temps et de volume, étant une constante. 1 Etablir l'équation différentielle vérifiée par n(r). 2. Déterminer n(r) .
