Thèse (1)

Ann´ee : 2005 Noattribu´e par la biblioth`eque
TH` ESE
pr´esent´ee `a l’
UNIVERSIT´ E PARIS-DAUPHINE
pour obtenir le titre de
DOCTEUR EN SCIENCES
Discipline : Math´ematiques
soutenue par
Ga¨el Benabou
le 7 d´ecembre 2005
Titre
Homog´ en´ eisation de
Processus de Diffusion
en Milieu Al´ eatoire
Directeur de th`ese : Stefano Olla
Rapporteurs
M. S. R. Srinivasa Varadhan
M. ´ Etienne Pardoux
Jury
M. Thierry Bodineau Examinateur
M. Pierre-Louis Lions Examinateur
M. St´ephane Mischler Examinateur
M. Stefano Olla Directeur de th`ese
M. ´ Etienne Pardoux Rapporteur
M. C´edric Villani Examinateur

Table des mati` eres
Remerciements 5
Table des mati` eres 9
Introduction 13
I.1 Br`eve pr´esentation de l’homog´en´eisation . . . . . . . . . . . . 13
I.2 Objetdelath`ese ......................... 14
I.3 Plandelath`ese.......................... 14
I.4 Pr´esentation des r´esultats contenus dans cette th`ese . . . . . . 15
I.4.1 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis `a un potentiel
non-born´e ......................... 15
I.4.2 Comparaison de la vitesse de diffusion du mouvement
Brownien et de l’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . 17
I.4.3 Comportements diffusif et superdiffusif dans un champ
de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifi´e 17
I.5 R´esultats ant´erieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5.1 Description des processus . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.5.2 Mod`eles de milieux al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . 19
I.5.3 Quelques exemples d’homog´en´eisations de processus . . 24
1Homog´ en´ eisation d’un mouvement Brownien dans un milieu
al´ eatoire 33
1.1 Objets et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1.1 D´efinition du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.1.2 L’environnement vu depuis la particule . . . . . . . . . 35
1.2 Le th´eor`eme central limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.1 ´ Etude des solutions de l’´equation r´esolvante . . . . . . 38
1.2.2 Le th´eor`eme d’homog´en´eisation . . . . . . . . . . . . . 41

2Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in ran-
dom environments 45
Homog´en´eisation d’un Ornstein-Uhlenbeck dans un milieu al´eatoire 45
2.1 Introduction............................ 45
2.2 Homogeneization in a frozen environment . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 The Ornstein-Uhlenbeck process . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 The resolvent equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.4 Random viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 System of interacting particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Comparison between the diffusion coefficients . . . . . . . . . 71
2.4.1 Quantitative comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Asymptotic comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3Superdiffusive behaviour of Ornstein-Uhlenbeck processes
in a turbulent Shearflow 81
Comportement superdiffusif d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck dans
un fluide incompressible stratifi´e turbulent ........... 81
3.1 Introduction............................ 81
3.1.1 Random flows and energy spectrum . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Kolmogorov statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.3 Objects and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 MainResults ........................... 85
3.2.1 Results in the steady case . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2 The time dependant case . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3 Dependance on the various parameters . . . . . . . . . 89
3.3 Preliminary calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 The diffusive case : ε < 0..................... 92
3.4.1 The trivial terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.2 Introduction of a useful martingale . . . . . . . . . . . 93
3.4.3 Asymptotic behaviour of ut............... 96
3.4.4 Asymptotic behaviour of Mδ(t) ............. 97
3.4.5 Computation of D(ε)................... 98
3.5 The superconvective ε > 2case ................. 99
3.6 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case . . . . . . . . . . 100
3.6.1 The scale factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2 Introduction of a suitable measure . . . . . . . . . . . . 101
3.6.3 The diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.4 Computation of the effective variance . . . . . . . . . . 104

Annexe : outils 107
A.1 Rappels de notions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.1.1 Martingales, processus de Markov . . . . . . . . . . . . 107
A.1.2 Mesures invariantes pour un processus de Markov . . . 110
A.2 Quelques r´esultats et th´eor`emes importants . . . . . . . . . . . 110
A.2.1 Formuled’Ito .......................110
A.2.2 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . . . . . . . . . 111
A.2.3 In´egalit´e de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Articles de l’auteur 115
R´ ef´ erences 116