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2Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in ran-
dom environments 45
Homog´en´eisation d’un Ornstein-Uhlenbeck dans un milieu al´eatoire 45
2.1 Introduction............................ 45
2.2 Homogeneization in a frozen environment . . . . . . . . . . . . 48
2.2.1 The Ornstein-Uhlenbeck process . . . . . . . . . . . . . 48
2.2.2 The resolvent equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.3 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.4 Random viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 System of interacting particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.4 Comparison between the diffusion coefficients . . . . . . . . . 71
2.4.1 Quantitative comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.4.2 Asymptotic comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3Superdiffusive behaviour of Ornstein-Uhlenbeck processes
in a turbulent Shearflow 81
Comportement superdiffusif d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck dans
un fluide incompressible stratifi´e turbulent ........... 81
3.1 Introduction............................ 81
3.1.1 Random flows and energy spectrum . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Kolmogorov statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.3 Objects and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 MainResults ........................... 85
3.2.1 Results in the steady case . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2 The time dependant case . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3 Dependance on the various parameters . . . . . . . . . 89
3.3 Preliminary calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 The diffusive case : ε < 0..................... 92
3.4.1 The trivial terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.2 Introduction of a useful martingale . . . . . . . . . . . 93
3.4.3 Asymptotic behaviour of ut............... 96
3.4.4 Asymptotic behaviour of Mδ(t) ............. 97
3.4.5 Computation of D(ε)................... 98
3.5 The superconvective ε > 2case ................. 99
3.6 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case . . . . . . . . . . 100
3.6.1 The scale factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2 Introduction of a suitable measure . . . . . . . . . . . . 101
3.6.3 The diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.4 Computation of the effective variance . . . . . . . . . . 104