No attribué par la bibliothèque Année : 2005 THÈSE présentée à l’ UNIVERSITÉ PARIS-DAUPHINE pour obtenir le titre de DOCTEUR EN SCIENCES Discipline : Mathématiques soutenue par Gaël Benabou le 7 décembre 2005 Titre Homogénéisation de Processus de Diffusion en Milieu Aléatoire Directeur de thèse : Stefano Olla Rapporteurs M. M. S. R. Srinivasa Varadhan Étienne Pardoux Jury M. M. M. M. M. M. Thierry Bodineau Pierre-Louis Lions Stéphane Mischler Stefano Olla Étienne Pardoux Cédric Villani Examinateur Examinateur Examinateur Directeur de thèse Rapporteur Examinateur Table des matières Remerciements 5 Table des matières 9 Introduction I.1 Brève présentation de l’homogénéisation . . . . . . . . . . . . I.2 Objet de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.3 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Présentation des résultats contenus dans cette thèse . . . . . . I.4.1 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un potentiel non-borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4.2 Comparaison de la vitesse de diffusion du mouvement Brownien et de l’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . . I.4.3 Comportements diffusif et superdiffusif dans un champ de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifié I.5 Résultats antérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1 Description des processus . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2 Modèles de milieux aléatoires . . . . . . . . . . . . . . I.5.3 Quelques exemples d’homogénéisations de processus . . 1 Homogénéisation d’un mouvement Brownien dans un milieu aléatoire 1.1 Objets et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Définition du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 L’environnement vu depuis la particule . . . . . . . . . 1.2 Le théorème central limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Étude des solutions de l’équation résolvante . . . . . . 1.2.2 Le théorème d’homogénéisation . . . . . . . . . . . . . 13 13 14 14 15 15 17 17 18 18 19 24 33 33 34 35 37 38 41 2 Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in random environments Homogénéisation d’un Ornstein-Uhlenbeck dans un milieu aléatoire 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Homogeneization in a frozen environment . . . . . . . . . . . . 2.2.1 The Ornstein-Uhlenbeck process . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 The resolvent equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Random viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 System of interacting particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Comparison between the diffusion coefficients . . . . . . . . . 2.4.1 Quantitative comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Asymptotic comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 45 48 48 52 59 65 67 71 71 76 3 Superdiffusive behaviour of Ornstein-Uhlenbeck processes in a turbulent Shearflow 81 Comportement superdiffusif d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck dans un fluide incompressible stratifié turbulent . . . . . . . . . . . 81 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 3.1.1 Random flows and energy spectrum . . . . . . . . . . . 81 3.1.2 Kolmogorov statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.1.3 Objects and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3.2 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.1 Results in the steady case . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.2.2 The time dependant case . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 3.2.3 Dependance on the various parameters . . . . . . . . . 89 3.3 Preliminary calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 3.4 The diffusive case : ε < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.1 The trivial terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.4.2 Introduction of a useful martingale . . . . . . . . . . . 93 3.4.3 Asymptotic behaviour of ut . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.4.4 Asymptotic behaviour of Mδ (t) . . . . . . . . . . . . . 97 3.4.5 Computation of D(ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.5 The superconvective ε > 2 case . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.6 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case . . . . . . . . . . 100 3.6.1 The scale factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.6.2 Introduction of a suitable measure . . . . . . . . . . . . 101 3.6.3 The diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.6.4 Computation of the effective variance . . . . . . . . . . 104 Annexe : outils A.1 Rappels de notions de base . . . . . . . . . . . . A.1.1 Martingales, processus de Markov . . . . A.1.2 Mesures invariantes pour un processus de A.2 Quelques résultats et théorèmes importants . . . A.2.1 Formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . . A.2.2 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . . A.2.3 Inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 107 107 110 110 110 111 111 Articles de l’auteur 115 Références 116 Introduction I.1 Brève présentation de l’homogénéisation En physique, nos sens ou nos appareils de mesure simples nous permettent d’évaluer un certain nombre de grandeurs macroscopiques des matériaux : leur volume, leur masse, leur température, leur viscosité... Toutes ces grandeurs perceptibles à notre échelle proviennent des propriétés microscopiques du matériau : pour les calculer, il est donc nécessaire de les relier à des grandeurs microscopiques. Ce lien se fait en pratique par l’intermédiaire de méthodes statistiques en utilisant des modèles probabilistes. Imaginons le cas d’un gaz. Chaque molécule du gaz possède à chaque instant une position et une vitesse. Vu à l’échelle d’une molécule, le gaz est donc un matériau totalement inhomogène. Pourtant, s’il se trouve à l’équilibre, nous le percevrons à notre échelle comme un ensemble parfaitement homogène. L’agitation moyenne des molécules se traduira pour nous par la mesure de la température du gaz. Il en va de même de la plupart des phénomènes observés dans la nature. À chaque échelle spatiale ou temporelle, pour un système donné à l’équilibre, sont associées un certain nombre de grandeurs physiques globales, provenant de propriétés de ce système perceptibles uniquement à une échelle inférieure. Ce constat est à l’origine de la théorie physique de l’homogénéisation, qui porte sur l’étude des structures composites afin d’en appréhender certaines propriétés globales à plus grande échelle. Plus le nombre d’échelles à considérer est grand, et plus la complexité des modèles mathématiques à développer pour décrire ces phénomènes sera importante. Le problème physique de l’homogénéisation a ainsi donné naissance à un domaine, appelé théorie de l’homogénéisation, qui s’avère intéressant d’un point de vue purement mathématique. 14 Objet de la thèse Cette théorie ne prétend aucunement donner des modèles parfaits. Elle suppose en effet une bonne séparation des échelles spatio-temporelles, c’està-dire en termes plus mathématiques un rapport de taille infini de l’une à l’autre. Les résultats et modèles obtenus par homogénéisation ne seront donc que des approximations asymptotiques de la réalité, mais des approximations très correctes et qui auront de plus le mérite de correspondre à notre perception directe des choses. Pour une description plus poussée de la théorie de l’homogénéisation, se reporter à [5]. I.2 Objet de la thèse L’objet de cette thèse est l’étude de certaines propriétés d’un mouvement aléatoire, appelé processus d’Ornstein-Uhlenbeck, qui nous permettra de modéliser la trajectoire d’une particule de masse non nulle dans un fluide, en introduisant, par rapport au classique mouvement Brownien, un terme de frottement visqueux dans les équations de mouvement. Plus précisément, nous nous intéressons ici au comportement de ce mouvement vis-à-vis des changements d’échelle décrits ci-dessus. Dans toute cette thèse, on observera une particule marquée, que l’on suivra dans son mouvement microscopique, les interactions entre la particule marquée et son environnement étant décrites à l’échelle de la particule elle-même. La question est de déterminer quelle trace est laissée à l’échelle macroscopique par cette trajectoire microscopique, autrement dit quel type de mouvement est suivi par la particule marquée si on la laisse évoluer suffisamment longtemps et en prenant du recul par rapport à l’environnement. Ce type de problème a déjà été beaucoup étudié dans le cas d’une particule marquée de masse nulle, dont la trajectoire est décrite par un mouvement Brownien. Nous ferons très souvent des comparaisons entre les deux cas (processus d’Ornstein-Uhlenbeck et mouvement Brownien) afin de détacher des différences et des similitudes. I.3 Plan de la thèse Nous commençons par la présente partie introductive, où nous ferons état des résultats antérieurs en vue de présenter au mieux les nouveautés Présentation des résultats contenus dans cette thèse 15 apportées par ce travail de thèse. La première partie ne contient aucun résultat nouveau mais permettra de situer le problème posé dans la partie 2 dans son contexte. Certaines preuves données dans cette partie seront utiles pour la suite. La seconde partie se penchera sur le problème de l’homogénéisation du processus d’Ornstein-Uhlenbeck dans un milieu aléatoire stationnaire dont l’interaction avec la particule est représentée par un potentiel. Le résultat d’homogénéisation sera prouvé sous des hypothèses très générales (théorème 2.1.1). La méthode utilisée sera ensuite appliquée au cas d’une particule marquée évoluant dans un système infini de particules massives (théorème 2.3.1). Nous montrerons ensuite que la particule massive a une diffusion inférieure à celle de la particule non massive (théorème 2.4.1), et que cette différence disparaı̂t lorsque la viscosité du fluide tend vers l’infini (théorème 2.4.2). La troisième partie de cette thèse décrira le résultat de ce changement d’échelle dans le cas d’une particule marquée évoluant dans un liquide incompressible turbulent et stratifié. Nous prouverons en particulier que la particule massive a cette fois une diffusion plus rapide que la particule de masse nulle lorsque la turbulence du fluide reste modérée (théorème 3.2.1 et équation 3.9). Nous prouverons également que dans le cas de fortes turbulences, la particule marquée a un comportement superdiffusif (théorèmes 3.2.2 et 3.2.3). En annexe, les objets, notations et concepts mathématiques les plus utilisés dans cette thèse sont définis de façon précise. I.4 I.4.1 Présentation des résultats contenus dans cette thèse Processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un potentiel non-borné La méthode d’obtention de l’homogénéisation du mouvement Brownien en milieu aléatoire exposée dans la partie 1 de cette thèse est inspirée de celle utilisée par Kipnis et Varadhan ([12]) pour le problème de la particule marquée dans le modèle d’exclusion simple symétrique. Elle s’appuie de façon cruciale sur la réversibilité temporelle du modèle et peut être étendue à des 16 Présentation des résultats contenus dans cette thèse systèmes très généraux vérifiant cette propriété. Une méthode proche est également utilisée par Papanicolau et Varadhan ([22]) afin de prouver un théorème central limit pour le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, qui n’est pas réversible, et qui est de plus dégénéré. L’homogénéisation est prouvée dans ce dernier article sous l’hypothèse que la force exercée par le milieu doit rester bornée. Cette hypothèse est de fait trop lourde. Prenons l’exemple d’une particule marquée évoluant dans un système infini de particules distribuées dans l’espace selon une mesure diffuse (par exemple une mesure de Poisson). On fige ce système de particules, et on suppose que l’action du milieu est représentée par un potentiel à deux corps lisse et à support compact. Le nombre de particules du milieu présentes dans un volume fini n’étant pas borné, il est clair que la particule marquée peut “voir” à un instant donné de son évolution un nombre très grand de particules. La force exercée sur la particule marquée par le milieu ne peut donc en aucun cas être bornée. Ce simple constat montre qu’il est nécessaire de s’affranchir de l’hypothèse de bornitude sus-mentionnée afin de décrire les systèmes physiques de façon réaliste. Le principal résultat de cette thèse est précisément de proposer une méthode –plus exactement une adaptation de la métode de Kipnis et Varadhan– qui permette de le faire. La simplicité de la preuve de ce résultat sautera aux yeux du lecteur. Celle-ci s’appuie sur une autre forme de symétrie du problème. On peut en effet constater que le processus à temps inversé a la même loi que le processus original dont on aurait renversé la vitesse. De cette méthode découle également la solution du problème de l’homogénéisation de la particule marquée dans un système infini de particules. Dans ce modèle, toutes les particules sont en mouvement et interagissent par l’intermédiaire d’un potentiel à deux corps. Le mouvement de chaque particule est donc décrit par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à une force extérieure exercée par l’ensemble des autres particules du système. Dans leur article [18], Stefano Olla et Christel Trémoulet prouvent un résultat d’homogénéisation pour la diffusion globale de ce système. On s’intéresse dans cette thèse au mouvement propre d’une des particules qui est marquée et suivie dans sa trajectoire, et on prouve un théorème “central limit” pour ce processus. Présentation des résultats contenus dans cette thèse I.4.2 17 Comparaison de la vitesse de diffusion du mouvement Brownien et de l’Ornstein-Uhlenbeck Le mouvement Brownien et le processus d’Ornstein-Uhlenbeck décrivent tous les deux la trajectoire d’une particule. Dans le cas du mouvement Brownien, la particule considérée est de masse nulle, contrairement au cas de l’Ornstein-Uhlenbeck. Il peut donc sembler logique que la particule massive ait une diffusion plus lente que la particule non-massive. Ce résultat intuitif est vrai et cela sera prouvé dans cette thèse. Cependant, lorsque la viscosité du milieu tend vers l’infini, cette différence s’annule. I.4.3 Comportements diffusif et superdiffusif dans un champ de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifié La dernière partie de cette thèse se penchera sur le comportement d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un champ de vitesses gaussien incompressible. Le cas considéré ici est très particulier puisqu’il s’agit d’un champ de vitesses stratifié. Il s’agit d’un modèle bidimensionnel dans lequel le champ des vitesses externe ne dépend que d’une direction, cependant qu’il n’agit que sur l’autre. Ce travail a été inspiré par les résultats antérieurs d’Avellaneda et Majda ([1]) qui ont étudié le cas d’un mouvement Brownien évoluant dans ce même type de champ gaussien incompressible. La difficulté de l’étude de ces phénomènes vient du fait que l’on ne connaı̂t pas la “mesure invariante” du système, la force exercée par le milieu ne dérivant pas d’un potentiel. Dans ces conditions, Avellaneda et Majda sont tout de même parvenus à obtenir des limites hydrodynamiques exactes pour les différents degrés de turbulence du système. Des résultats analogues sont obtenus ici dans le cas du processus d’Ornstein-Uhlenbeck avec des méthodes similaires. Il sera notamment prouvé que le résultat intuitif cité plus haut (une particule massive diffuse plus lentement qu’une particule non-massive) est ici mis en défaut de façon surprenante. En effet, dans le cas de faible turbulence du milieu, c’est l’inverse qui est démontré, à savoir que la particule massive possède une diffusion supérieure. Ce résultat s’explique par un phénomène d’inertie qui rend la particule massive moins sensible aux turbulences du milieu. 18 Résultats antérieurs I.5 Résultats antérieurs Dans toute cette section, w désignera un mouvement Brownien standard sur Rd défini sur un espace de probabilité filtré. On utilisera la lettre d (pour dimension) pour désigner un entier supérieur ou égal à 1. |.| désignera la norme euclidienne sur Rd et · le produit scalaire associé. I.5.1 Description des processus Soit F(x, t) une application de Rd × R dans Rd . Définition I.1 Une solution x(t) de l’équation différentielle stochastique dx(t) = F(x(t), t)dt + dwt (I.1) x(0) = 0 sera appelée mouvement brownien évoluant dans le milieu décrit par F. On définira de même le processus d’Ornstein-Uhlenbeck évoluant dans le milieu F Définition I.2 Une solution (y(t), v(t)) du système dym (t) = v(t)dt mdv(t) = −v(t)dt + F(ym (t), t)dt + dwt (I.2) ym (0) = 0 v(0) = v0 m > 0, sera appelée processus d’Ornstein-Uhlenbeck évoluant dans le milieu décrit par F. À noter que dans chacun de ces deux cas, des hypothèses de régularité devront être faites sur F pour assurer l’existence de solutions. Se reporter aux parties 2 et 3 de cette thèse pour des exemples d’hypothèses dans des cas pratiques. Résultats antérieurs 19 Un lien entre ces deux types de mouvements peut être fait de façon heuristique. L’équation (I.2) peut, en effet, être considérée comme l’écriture du principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse m soumise à une force extérieure F + ẇ ainsi qu’à un frottement de type fluide. On constate que prendre m = 0 nous donne l’équation (I.1). On a d’ailleurs un résultat de convergence en probabilité, pour tout T ≥ 0 lim sup |x(t) − ym (t)| = 0. m→0 [0,T ] Il est donc parfaitement naturel de s’interroger sur les liens qui peuvent exister entre ces deux types de mouvements. Un article récent de M. Freidlin ([9]) tend à rapprocher ces deux modèles. Dans cette thèse, nous mettrons en évidence des différences importantes. Nous prouverons essentiellement que l’homogénéisation de ces deux modèles conduit à des vitesses de diffusion différentes. Dans le cas où la force exercée par le milieu aléatoire dérive d’un potentiel, il sera prouvé que la particule massive se diffuse plus lentement que la particule de masse nulle, tandis que dans un fluide turbulent, elle sera plus rapide. I.5.2 Modèles de milieux aléatoires Stationnarité Soit un espace probabilisé (X, F, µ). On suppose qu’il existe un groupe de transformations agissant sur X G = {τx,t , (x, t) ∈ Rd × R} préservant la mesure ∀(x, t) ∈ Rd × R, ∀A ∈ G, µ(τx,t A) = µ(A) et ergodique ∀A ∈ G, si A = τx,t A ∀(x, t) ∈ Rd × R, alors µ(A) = 0 ou µ(A) = 1. On définit également un groupe d’opérateurs Tx,t agissant sur l’espace des fonctions f mesurables sur X Tx,t f (η) = f (τ−x,−t η). 20 Résultats antérieurs Pour décrire l’action d’un milieu aléatoire inhomogène de dimension d sur une particule y évoluant, on introduit une application aléatoire F : Rd × R × X → Rd (x, t, η) 7→ F(x, t, η) où x désigne la position de la particule, t le temps et η est la variable décrivant le caractère aléatoire de l’environnement. Une telle application F sera appelée champ stationnaire en espace et en temps si elle est telle que ∀(x, t, η), F(x, t, η) = Tx,t F(0, 0, η) = F̃(τ−x,−t η) (I.3) où on a défini F̃(η) = F(0, 0, η). F est appelée représentation de F̃. A noter que dans ce cas, quels que soient x et t, la loi de F(x + h, t + s, .) est indépendante de (h, s). Inversement, si F vérifie cette propriété et est de plus ergodique, alors il existe un espace de probabilité et un groupe de transformations permettant la représentation (I.3), voir [7]. Si l’on souhaite décrire un environnement statique, on définira de même le groupe τx et l’opérateur Tx correspondants, et la stationnarité de F(x, η) par rapport à l’espace. On imposera dans toute la suite la continuité stochastique du groupe Tx,t (respectivement Tx ) sur l’espace L2 (µ), ∀f ∈ L2 (µ), ∀δ > 0 lim µ({η, |Th f (η) − f (η)| > δ}) = 0. h→0 Un résultat classique de Von Neumann (cf. [23]) montre que cette condition entraı̂ne en fait que Tx,t (respectivement Tx ) est fortement continu sur L2 (µ). L’opérateur Tx,t permet en outre de définir des dérivations D0 et D comme étant des opérateurs fermés non-bornés sur L2 (µ) par l’intermédiaire de ses générateurs infinitésimaux définis par T0,h f (η) − f (η) . h→0 h D0 f (η) = lim et pour tout l ∈ Rd Thl,0 f (η) − f (η) . h→0 h l · Df (η) = lim Résultats antérieurs 21 On notera D(D0 ) et D(D) leurs domaines respectifs, qui sont des sous-espaces denses de L2 (µ). Ces dérivations vérifient la formule d’intégration par parties suivante Proposition I.1 Soient (φ, ψ) deux éléments de D(D). Alors on a Z Dφdµ = 0 X et Z Z ψDφdµ = − φDψdµ. X X ♦ Du fait que G préserve µ, on a Z Z Dφ(η)µ(dη) = Dφ(τ−x η)µ(dη) X X Z ∇x φ(τ−x η)|x=0 µ(dη) = X Z = ∇x φ(τ−x η)µ(dη) X Z = ∇x x=0 φ(η)µ(dη) X x=0 = 0. L’intégration par parties se prouve classiquement en remarquant que D(φψ) = φDψ + ψDφ. ♦ L’opérateur D0 vérifie des propriétés analogues. Diffusions dans un milieu aléatoire Muni de ces notations, on peut désormais considérer l’évolution des deux mouvements (Brownien et Ornstein-Uhlenbeck) décrits ci-dessus dans un milieu aléatoire. Ces mouvements seront donc régis respectivement par les équations suivantes dxη (t) = F(xη (t), t, η)dt + dwt xη (0) = 0 22 et Résultats antérieurs η dym (t) = v(t)dt η (t), t, η)dt + dwt mdv(t) = −v(t)dt + F(ym η (0) = 0 ym v(0) = v0 ∈ Rd où l’environnement η sera fixé au départ. Dans ces modèles, le caractère aléatoire provient donc de deux sources différentes et indépendantes : le milieu F, et le bruit Brownien w. On peut noter immédiatement que ces modèles sont déjà le fruit d’une première homogénéisation : le frottement fluide, comme le bruit w, ne sont que la version mésoscopique de propriétés du milieu à une échelle plus petite. Un calcul immédiat, fondé sur la formule d’Ito, montre que les générateurs infinitésimaux des processus markoviens définis par ces équations sont donnés respectivement par LηM B = ∂t + ∆x − F(x, t, η) · ∇x et LηOU = ∂t + m−1 m−1 ∆v − v · ∇v + v · ∇x + m−1 F(x, t, η) · ∇v . Il est impossible en l’état de déterminer des mesures invariantes pour ces processus, ni même de montrer leur existence. Le point de vue de la particule L’idée première des méthodes utilisées dans toute cette thèse est la suivante : on effectue en quelque sorte un changement de repère en prenant le point de vue de la particule. Nous allons donc créer à partir de nos diffusions sur Rd un processus de Markov sur l’espace des environnements X. Considérons tout d’abord le cas du mouvement brownien. On définit le processus (η(t)) sur X par η(t) = τ−xη (t),t η. (I.4) Ce processus est markovien sur X. Son générateur peut être aisément calculé LM B = D0 + D2 − F̃(η) · D. Résultats antérieurs 23 De la même façon, on définit dans le cas du processus d’Ornstein-Uhlenbeck η η 0 (t) = τ−ym (t),t η. Le processus (η 0 (t), v(t)) est lui aussi markovien sur X × Rd . Son générateur est LOU = D0 + m−1 m−1 ∆v − v · ∇v + v · D + m−1 F̃(η 0 ) · ∇v . Nous allons maintenant nous concentrer sur des cas particuliers de forces F. Potentiels et Flots incompressibles On distingue en général deux types de forces dans les milieux aléatoires : celles dérivant d’un potentiel, et celles dues à un flot incompressible dans le milieu. Potentiels stationnaires. Soit V (x, η) une application aléatoire de Rd × X dans R, stationnaire en espace. On supposera que V est continûment différentiable en x. Dans ce cas, sa dérivée ∇x V est elle-même un champ stationnaire. On dira que la force F introduite ci-dessus dérive du potentiel V si F(x, η) = −∇x V (x, η). A noter que l’hypothèse de stationnarité donne ∇x V (x, η) = DṼ (τ−x η) où Ṽ (η) = V (0, η). Considéraons tout d’abord le cas du mouvement Brownien. Le processus de Markov η(t) représentant l’environnement vu depuis la particule a alors pour générateur LM B = D2 − DṼ (η) · D. Il est aisé dans ce cas de voir que la mesure de probabilité e−Ṽ (η) dπ(η) = Z e −Ṽ (η) dµ(η) dµ(η) X est invariante pour η(t). Elle est de plus ergodique. 24 Résultats antérieurs Dans le cas de l’Ornstein-Uhlenbeck, il est tout aussi aisé de voir que le générateur de (η(t), v(t)) est LOU = m−1 m−1 ∆v − v · ∇v + v · D + m−1 DṼ (η) · ∇v . Dans ce cas, la mesure de probabilité 2 e−Ṽ (η) e−|v| /2m dv dπ(η) = Z dµ(η) (2πm)d/2 e−Ṽ (η) dµ(η) X est invariante et ergodique. Flots incompressibles. Dans le cas où la particule dont nous cherchons à décrire le mouvement évolue dans un liquide, nous allons être amenés à considérer que la force F est proportionnelle à un flot de vitesses incompressible. On supposera alors que F vérifie µ-presque sûrement ∇x · F(x, t, η) = 0. Nous ne nous attarderons pas ici sur ce point, voir la partie 3 pour un exemple concret d’étude dans ce cas. I.5.3 Quelques exemples d’homogénéisations de processus Nous allons dans toute la suite considérer les solutions x(t) d’équations différentielles stochastiques à coefficients aléatoires, du type de celles décrites ci-dessus. Le but est à chaque fois de prouver que le processus renormalisé xε (t) = εx(ε−2 t) converge en probabilité vers un mouvement Brownien de matrice de diffusion déterministe. La méthode générale sera la même à chaque fois, mais il sera plus ou moins aisé de l’appliquer. Nous pointerons à chaque fois les raisons essentielles qui permettent d’obtenir l’homogénéisation. Cas périodique Considérons tout d’abord le cas périodique très simple. Soit V une fonction C ∞ sur Rd de période 1. On notera ẋ la projection canonique de x ∈ Rd sur le tore Td = Rd /Zd . Par abus de notations, on considérera V comme Résultats antérieurs 25 étant également une application sur Td . On considère dans Rd la solution x(t) de l’équation différentielle stochastique suivante √ dx(t) = ∇V (x(t)) + 2dw(t) x(0) = x où w est un mouvement Brownien standard. Le générateur de ce processus est donc donné par L = ∆ + ∇V (x) · ∇. Il est aisé de montrer que ẋ(t) possède pour mesure invariante π(dẋ) = Z −1 eV (ẋ) dẋ où Z est une constante de normalisation et où l’on a abusivement identifié la mesure de Lebesgue sur Rd à sa trace sur Td . De même, on notera toujours L l’opérateur L dont le domaine est réduit aux applications de période 1. Il est facile de prouver que L est symétrique négatif pour π. Pour des raisons de compacité, il s’avr̀e que L possède un trou spectral λ0 strictement positif, c’est-à-dire que si l’on définit Sp∗ (L) ⊂] − ∞, 0] comme étant le spectre de L privé de 0, on a sup Sp∗ (L) = −λ0 < 0. Dans cette situation, l’homogénéisation est simple à démontrer car l’équation Lχl = l · ∇V admet une solution dans L2 (π) pour tout l ∈ Rd . Par conséquent, on peut écrire Z t l · x(t) = l · ∇V (x(s))ds + l · w(t) 0 t Z Lχl (x(s))ds + l · w(t) = (I.5) 0 = χl (x(t)) − χl (x) + M (t) où M (t) est la martingale Z t [1 + l · ∇χl (x(s))]dw(s). M (t) = 0 Il reste à montrer un théorème central limit pour cette martingale pour obtenir la convergence de ẋε (t) vers un mouvement Brownien projet sur Td . 26 Résultats antérieurs Cas réversible La présentation ci-dessous est inspirée de [17]. Soit η(t) un processus de Markov défini sur un espace de probabilité (X, F, µ). Ce processus est voué à être l’environnement vu depuis la particule décrit par (I.4). On suppose qu’il existe sur X une probabilité π invariante et ergodique pour η(t). On notera P t le semi-groupe associé à η(t) que l’on supposera fortement continu, et L son générateur infinitésimal, dont le domaine D(L) est dense dans L2 (π). L sera supposé symétrique par rapport à π. P t étant contractant, on sait également que L est nécessairement négatif. On notera h.i l’espérance par rapport à π et h., .i le produit scalaire associé. Eπ sera l’espérance sur la trajectoire de η(t) avec η(0) distribué selon π. On introduit la forme de Dirichlet associée à L, que l’on notera kφk21 = − hφ, Lφi . Quitte à quotienter, on pourra supposer que k.k définit une norme et on notera H1 la complétion de {φ ∈ L2 (π), kφk1 < ∞} par rapport à cette norme. On définira aussi le dual H−1 de H1 comme étant le complété de {ψ ∈ L2 (π), ∃C > 0, ∀φ ∈ L2 (π), hψ, φi ≤ Ckφk1 } pour la norme kψk−1 = inf{C, ∀φ ∈ L2 (π), hψ, φi ≤ Ckφk1 }. On notera que ψ ∈ H−1 ∩ L2 (π) ⇒ hψi = 0. On cherche de façon très générale à démontrer un théorème central limit pour des quantités du type Z ε ε−2 t ψ(η(s))ds 0 Résultats antérieurs 27 pour ψ ∈ H−1 ∩ L2 (π). On constate déjà que pour qu’un tel résultat soit vrai, il faut que le coefficient de diffusion résultant !2 Z ε−2 t 1 σ 2 (ψ) = lim Eπ ε ψ(η(s))ds ε→0 t 0 soit fini. Or, en utilisant la réversibilité, on montre aisément Z ∞ 2 σ (ψ) = 2 Eπ [ψ(η(s))ψ(η(0))]ds. 0 Toute la question réside donc dans la finitude de cette intégrale. Or, il est immédiat que cette finitude est équivalente à l’existence de la limite Z ∞ e−λs Eπ [ψ(η(s))ψ(η(0))]ds. (I.6) lim λ→0 0 On est donc amené à considérer la solution uλ de l’équation résolvante (λ − L)uλ = ψ. Si (I.6) existe, alors grâce au théorème de Hille-Yosida (cf. [8] p.10) σ 2 (ψ) = 2 lim ψ(λ − L)−1 ψ = 2 lim λ u2λ + kuλ k21 ≤ 2kψk−1 . λ→0 λ→0 Comme L est symétrique, il est clair que kLuλ k−1 ≤ kuλ k1 ≤ kψk−1 (I.7) et par conséquent kλuλ k−1 ≤ 2kψk−1 . Comme λuλ tend vers 0 fortement dans L2 , on en déduit qu’il tend faiblement vers 0 dans H−1 . Un argument du type de celui utilisé dans la partie 2 de cette thèse pour montrer la proposition (2.2.6) est alors utilisable. On procède ensuite comme dans le cas périodique en écrivant l’équivalent de (I.5) Z ε ε−2 t ε−2 t Z (ε2 − L)uε2 (η(s))ds ψ(η(s))ds = ε 0 0 =ε 3 Z ε−2 t uε2 (η(s))ds + εuε2 (η(ε−2 t)) − εuε2 (η(0)) 0 +εM (ε−2 t) 28 Résultats antérieurs A noter que l’objectif essentiel est donc d’obtenir une convergence du type λ u2λ → 0 afin de faire disparaı̂tre les termes de bord, pour n’avoir plus qu’à utiliser un théorème central limit sur les martingales. C’est là le principe de l’approche initiale de Kipnis et Varadhan ([12]). La méthode proposée ci-dessus, qui s’en inspire, permet d’y parvenir pour des modèles réversibles. Enfin, pour montrer la convergence des processus considérés vers des mouvements Browniens, il est indispensable d’avoir un résultat de tension permettant d’affirmer que la limite est presque sûrement continue. Le résultat suivant, prouvé dans [17] page 12 pour tout T > 0 suffit dans la plupart des cas (réversibles ou non) " Eπ Z 2 t ψ(η(s))ds sup 0≤t≤T # ≤ 8T kψk−1 . (I.8) 0 Condition de secteur La réversibilité n’est pas nécessaire pour utiliser l’argument ci-dessus. En effet, il suffit de prouver (I.7). La condition suivante sur L, appelée condition de secteur forte, est alors suffisante. Elle est vérifiée s’il existe K > 0 tel que hu, Lvi ≤ Kkuk1 kvk1 . Cette condition peut être affaiblie. Voir [17] pour plus de détails. Cette approche avec condition de secteur faible est celle qui a été utilisée dans [15]. On pourra aussi se réferer à l’approche entreprise dans [13], où malgré l’absence de condition de secteur, un résultat très général est prouvé. Cas d’un système de particules browniennes en interaction Comme application des résultats précédents, on peut également étudier le cas de la particule marquée dans un système infini de particules nonmassives en interaction. On considère l’espace de configurations Ω comme le sous-ensemble suivant de (Rd )N Ω = {ω = {yi }i∈N , ∀A ⊂ Rd borné, Card(ω ∩ A) < ∞}. Résultats antérieurs 29 On munit Ω de la topologie la plus faible telle que X φ : η 7→ h(xi ) i∈N soit continue pour toute h continue à support compact de Rd dans R. F sera la tribu borélienne associée. Pour toute fonction f F-mesurable pour laquelle cela a un sens, on définit le gradient par rapport à y ∈ ω f ([ω \ {y}] ∪ {y + δl}) − f (ω) δ→0 δ ∇y f (ω) · l = lim pour tout l ∈ Rd . Soit U un potentiel sur Rd pair ∀x ∈ Rd , U (x) = U (−x) (I.9) lisse (typiquement C 2 ), superstable, i.e. pour tout sous-ensemble borné Λ de Rd , il existe C1 > 0 et C2 ≥ 0 tels que pour tout (x1 , ..., xn ) ∈ Λn X U (xi − xj ) ≥ −C2 n + C1 n2 |Λ|−1 (I.10) i6=j où |Λ| est le volume de Λ, et à support compact. Pour tout Λ ⊂ Rd borné, on définit le hamiltonien HΛ sur Ω 1 X HΛ (ω) = U (y − y 0 ) 2 0 2 (y,y )∈(ω) {y,y 0 }∩Λ6=∅ et la mesure de Gibbs à volume fini correspondante sur la tribu F, de température inverse β et d’activité z Λ (ω) µΛ (dω) = ZΛ−1 z NΛ (ω) e−βH QΛ (dω) (I.11) où QΛ est la mesure de Poisson sur Λ, NΛ (ω) est le cardinal de ω ∩ Λ et ZΛ la fonction de partition, dont la finitude est assurée par la superstabilité de U (on ne notera pas sa dépendance en β et z). De fait, pour toute fonction f µΛ -mesurable, on a Z ∞ X zn Λ −1 Λ µ (f ) = ZΛ f (y)e−βH (y) dy n! (Λ×Rd )n n=0 30 Résultats antérieurs où y = (y1 , ..., yn ). Afin de simplifier les notations, on a identifié ici toute ∞ [ fonction µΛ -mesurable à une fonction symétrique sur Λn . Sous des hyn=0 pothèses correctes en z, β et V , il existe une unique mesure de Gibbs µ sur Ω de température inverse β et d’acitivité z compatible avec µΛ pour tout Λ ⊂ Rd borné. Nous y ferons référence comme étant la mesure de Gibbs grancanonique associée au hamiltonien formel 1 X H(ω) = U (y − y 0 ). 2 0 2 (y,y )∈(ω) On considère un système infini de particules évoluant dans Rd et dont les trajectoires sont décrites par le système suivant ∀i ∈ N s X 2σ 2 1 ∇U (x − x )dt + dwi (t) dx (t) = − i j i γ γ j6=i avec pour distribution initiale de (xi (0))i∈N la mesure de Gibbs définie cidessus. Si l’on marque une des particules du système, il a été prouvé ([6]) un théorème central limit sur sa trajectoire. On peut également montrer un résultat d’homogénéisation pour la densité du système, voir [18]. Dans ce même article, il est prouvé un résultat analogue pour un système d’Ornstein-Uhlenbeck en interaction (voir le chapitre 2 de cette thèse pour une description complète de ce système). Il est également prouvé que les diffusions volumiques macroscopiques des deux modèles sont égales. Cas présentés dans cette thèse Nous nous intéressons dans cette thèse à deux situations non-réversibles. La première est celle du processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un potentiel non-borné. Dans ce cas, aucune condition de secteur, même sous sa forme affaiblie, n’est vérifiée. Cependant, la symétrie du problème par renversement des vitesses signalée auparavant nous permet d’obtenir un résultat d’une grande généralité de façon presque aussi simple que dans le cas réversible en utilisant pour l’essentiel l’approche de Papanicolau et Varadhan (cf. [22]). Nous traitons également du problème de la particule marquée dans un système infini d’Ornstein-Uhlenbeck en interaction. Résultats antérieurs 31 La seconde situation est donc celle d’un Ornstein-Uhlenbeck poussé par un champ de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifié. Outre l’irreversibilité, on se heurte ici à la méconnaissance de la mesure invariante du processus. La grande particularité du modèle étudié permet cependant de de s’en sortir par des calculs explicites, selon la méthode développée par Avellaneda et Majda (cf. [1]). Partie 1 Homogénéisation d’un mouvement Brownien dans un milieu aléatoire Dans ce chapitre, nous allons rappeler la preuve d’un résultat démontré dans [21] avec la méthode de Kipnis et Varadhan ([12]). Cependant, la méthode utilisée ici est beaucoup moins axée sur la réversibilité du processus et permettra la transition avec le modèle du processus d’Ornstein-Uhlenbeck traité dans la partie suivante. 1.1 Objets et notations Soit un espace probabilisé (X, F, µ). On suppose qu’il existe un groupe de transformations agissant sur X G = {τx , (x) ∈ Rd × R} préservant la mesure et ergodique. On définit le groupe d’opérateurs Tx agissant sur l’espace des fonctions f mesurables sur X Tx f (η) = f (τ−x η) que l’on supposera fortement continu sur L2 (µ). D sera son générateur infinitésimal fermé non-borné, de domaine D(D) dense dans L2 (µ). Voir la partie introductive de cette thèse pour de plus amples détails. 34 Objets et notations 1.1.1 Définition du processus On s’intéresse au processus défini par l’équation différentielle stochastique suivante s 1 2σ 2 dytη = − ∇x V (ytη , η)dt + dwt γ γ (1.1) y =0 0 où (wt ) est un mouvement brownien standard sur Rd , γ et σ des paramèteres strictement positifs, et V un potentiel stationnaire, donc vérifiant pour tout x ∈ Rd et tout η ∈ X V (x, η) = V (τ−x η) où V (η) ≡ V (0, η). Nous supposerons que V ∈ D(D), de sorte que Z |DV (η)|2 µ(dη) < ∞ (1.2) X et qu’il existe σ0 > 0 tel que Z 2 e−V (η)/σ0 µ(dη) < ∞. (1.3) X σ sera donc pris plus petit que σ0 . Afin d’avoir une solution forte de (1.1), nous ferons aussi l’hypothèse usuelle suivante : pour tout compact K ⊂ Rd et tout η ∈ X, il existe une constante cK (η) vérifiant µ[c(η) < ∞] = 1 et telle que pour tous x, y dans K |∇x V (x, η) − ∇x V (y, η)| ≤ cK (η)|x − y|. (1.4) On a alors le résultat suivant Proposition 1.1.1 Sous les hypothèses (1.2), (1.4), le processus (y η (t)) est défini pour tout t ≥ 0 jusqu’à un éventuel temps d’explosion. Le générateur de ce processus est donné par Lη = 1 σ2 ∆x − ∇x V (x, η) · ∇x . γ γ ♦ L’existence et l’unicité d’une solution forte sont des conséquences de (1.4) et de théorèmes usuelles sur les solutions d’équations différentielles stochastiques, voir [11]. Le calcul du générateur découle de la formule d’Ito. ♦ Objets et notations 1.1.2 35 L’environnement vu depuis la particule Nous allons associer à (ytη ) un processus de Markov (η(t)) défini sur X comme étant l’environnement vu depuis la particule. Proposition 1.1.2 Les assertions suivantes sont vérifiées a. η(t) est un processus de Markov sur X dont le semigroupe est donné par Z t P η (t, 0, dy)f (τ−y η) P f (η) = Eη [f (η(t))] = Rd où P t est défini sur L∞ (X) et P η est la fonction de transition de y η (t). b. Le générateur de ce processus est donné par L= σ2 2 1 D − DV (η) · D γ γ c. La mesure de probabilité 2 e−V (η)/σ µ(dη) dπ = Z 2 e−V (η)/σ µ(dη) X est invariante et ergodique pour L, et L est autoadjoint négatif. Dans la suite, h.i désignera l’espérance par rapport à dπ, et h., .i le produit scalaire sur L2 (π) associé. La forme de Dirichlet associée à L est donnée pour une fonction φ ∈ D(L) par − hLφ, φi = σ2 |Dφ|2 . γ De plus, P t s’étend en un semigroupe de contraction fortement continu et positif sur Lp (π), p ≥ 1. d. Pour π-presque tout η, le processus (y η (t)) est à valeur finie et de carré intégrable pour tout t ≥ 0, et (η(t)) est donc bien défini pour tout t ≥ 0. ♦ Soit Γ un borélien de X, Ft la filtration engendrée par η(t), et κ l’application de Rd dans X associant τ−x η à x. D’après la définition de G, κ est 36 Objets et notations mesurable. Ainsi, ∀(s, t) ∈ R2+ : P[η(t + s) ∈ Γ|Ft ] = P[τ−yη (t+s) η ∈ Γ|Ft ] = P[y η (t + s) ∈ κ−1 (Γ)|κ−1 (Ft )] = P[y η (t + s) ∈ κ−1 (Γ)|y η (t)] = P[η(t + s) ∈ Γ|η(t)] et η(t) est markovien. Si P t désigne son semigroupe, on a pour toute fonction bornée f de X dans R P t f (η) = Eη [f (η(t))] = E0 [f (τ−yη (t) η)] Z f (τ−y η)P η (t, 0, dy). = Rd d Pour toute f de X × R dans R bornée, si θf est l’application de Rd dans R envoyant y sur f (τ−y η), on a Eη [f (η(t))] = E0 [f (τ−yη (t) η)] Z t Lη θf (y η (s))ds = f (η) + 0 Z = f (η) + t Lf (η(s))ds 0 ce qui prouve (a). Pour les points (b) et (c), il est aisé de voir que L peut s’écrire pour tout φ ∈ D(L) 2 2 Lφ = eV /σ D · (e−V /σ Dφ) ce qui prouve l’invariance de π, la symétrie de L, et donne la forme de Dirichlet. Montrons maintenant l’ergodicité de π. Soit φ ∈ D(L) telle que Lφ = 0. En multipliant cette équation par φ et en intégrant par rapport à π, il vient |Dφ|2 = 0. Par ergodicité de G par rapport à µ, ceci prouve que φ est µ presque sûrement constante, et donc π presque sûrement. Le théorème central limit 37 De plus, pour tout p ≥ 1 et f ∈ L∞ (X), l’inégalité de Jensen donne p |P t f (η)| = |Eη [f (η(t)]|p ≤ Eη [|f (η(t)|p ] = P t |f |p (η). En intégrant par rapport à π, on obtient P tf p ≤ P t |f |p = h|f |p i . Le théorème de convergence monotone donne allors la définition de P t comme semigroupe de contraction sur Lp (π). Sa positivité vient de sa définition, et sa continuité forte de celle de Tx et de la continuité presque sûre de y η en t. Penchons-nous sur le point (d). On peut voir que Z t p η 2 γy (t) = −σ DV (y η (s), η)ds + 2γσ 2 w(t). 0 Ainsi, pour tout T > 0, si E désigne l’espérance par rapport à la loi de w, on a par invariance de π * " #+ Z T 2σ 2 8σ 2 η 2 E |DV (y η (s), η)|2 ds T+ 2 T E sup |y (t)| ≤ γ γ t∈[0,T ] 0 σ2 σ2 2 ≤ 2 + 8 T + 2 T 2 |DV |2 < ∞ γ γ γ et (d) est ainsi démontré. ♦ 1.2 Le théorème central limit On considère donc le processus renormalisé pour tout ε > 0 yεη (t) = εy η (ε−2 t). L’objectif est de prouver le théorème suivant Théorème 1.2.1 Le processus εy η (ε−2 t) converge faiblemmeent en π- probabilité vers un mouvement brownien de matrice de diffusion déterministe ΣM B définie pour tout l ∈ Rd par la seule matrice symétrique vérifiant l · ΣM B l = σ2 |l − ζl |2 γ 38 Le théorème central limit où ζl ∈ (L2 (π))d est défini par (1.8), ce qui signifie que pour toute fonction F continue définie sur l’espace C([0, ∞[, Rd ) des applications continues de [0, ∞[ dans R, on a pour tout δ > 0 lim π {η : |E [F (yεη )] − E [F (βΣM B )]| ≥ δ} = 0 ε→0 (1.5) où βΣM B est un mouvement brownien de matrice de diffusion ΣM B . Si de plus Z 2 eV (η)/σ dµ(η) < ∞ X alors ΣM B est définie positive. 1.2.1 Étude des solutions de l’équation résolvante On considère, pour l ∈ Rd fixé, l’équation résolvante (λ − L)hlλ = 1 l · DV. γ (1.6) On définit l’ espace H1 comme étant le complété de {Dφ, φ ∈ D(D) : kφk21 = σ2 |Dφ|2 γ < ∞} pour la norme k.k1 ainsi définie, et H̃1 comme étant le complété de {φ ∈ D(D), Dφ ∈ H1 } pour la norme kφkH̃1 = kφk21 + γ φ2 De la même façon, nous allons définir l’espace dual de H1 comme étant le complété de : 2 2 Dψ ∈ H1 : kψk−1 = sup {2 <Dψ · Dφ> − <|Dφ| >} < ∞ Dφ∈H1 pour cette norme k.k−1 . Dans cet espace, les formes linéaires sont continues pour la norme k.k1 , et leur norme d’opérateur est précisément la norme k.k−1 . Proposition 1.2.1 ∀ψ ∈ H̃−1 kψkH̃−1 = sup φ∈H̃1 |H̃−1 hψ, φiH̃1 | kφkH̃1 . Le théorème central limit 39 Ceci signifie que kψkH̃−1 est la meilleure constante C vérifiant |H̃−1 hψ, φiH̃1 | ≤ CkφkH̃1 (1.7) pour toute φ in H̃1 . La même propriété est évidemment vérifiée par k.kH−1 . ♦ Soit ψ ∈ H̃−1 . On a kψk2H̃ −1 = sup (2H̃−1 hψ, φiH̃1 − kφk2H̃1 ) φ∈H̃1 = sup (2H̃−1 hψ, λφiH̃1 − λ2 kφk2H̃1 ) φ∈H̃1 ∀λ ∈ R. En prenant le supremum en λ, on obtient kψk2H̃−1 = sup |H̃−1 hψ, φiH̃1 |2 φ∈H̃1 kφk2H̃ . ♦ 1 On va tout d’abord montrer la proposition suivante Proposition 1.2.2 H−1 est inclus dans l’image de (−L)1/2 et pour tout ψ dans H−1 (−L)−1/2 ψ ≤ kψk−1 . ♦ Soit β > 0, on introduit cβ = (β − L)−1/2 ψ. Pour tout φ dans D(L), on a alors | hφcβ i | = | φ(β − L)−1/2 ψ | = | ψ(β − L)−1/2 φ | ≤ kψk2−1 (β − L)−1/2 φ, −L(β − L)−1/2 φ = kψk2−1 hφ, −L(β − L)−1 φi = kψk2−1 hφ2 i − βkψk2−1 hφ, (β − L)−1 φi ≤ kψk2−1 hφ2 i . 40 Le théorème central limit Par densité de D(L), on a donc cβ bornée dans L2 (π). On peut donc en extraire une sous-suite cβn faiblement convergente vers c ∈ L2 (π). Or pour tout φ dans D(L) cβn (βn − L)1/2 φ = cβn (−L)1/2 φ + cβn [(βn − L)1/2 − (−L)1/2 ]φ = hψφi . Le second terme de droite tend vers 0 par convergence forte de [(βn − L)1/2 − (−L)1/2 ]φ vers 0, et par conséquent c(−L)1/2 φ = hψφi ce qui achève la démonstration par densité de D(L). ♦ On peut maintenant prouver la Proposition 1.2.3 L’équation (1.6) admet une solution unique hλ dans H̃1 . De plus λ h2lλ −→ 0 x→0 2 d et il existe ζl ∈ (L (π)) tel que lim |Dhlλ − ζl |2 = 0. λ→0 (1.8) ♦ En multipliant (1.6) par hλ et en intégrant par rapport à π, on obtient λ h2λ + σ2 σ2 hl · Dhλ i |Dhλ |2 = γ γ (1.9) et par conséquent |Dhλ |2 ≤ |l|2 On peut donc considérer une suite λn telle que Dhλn converge faiblement dans L2 (π) vers un certain ζl . Soient n et p deux entiers naturels. On a σ2 σ2 Dhλn · Dhλp = l · Dhλp . λn hλn , hλp + γ γ En faisant tendre n puis p vers l’infini, on obtient |ζl |2 = hl · ζl i et par conséquent, grâce à (1.9) et par convergence faible, on a quand n tend vers l’infini hl · ζl i = h|ζl |2 i ≤ lim inf h|Dhλn |2 i ≤ lim sup h|Dhλn |2 i ≤ hl · ζl i Le théorème central limit 41 et donc λn h2λn → 0. On en déduit également la convergence forte de Dhλn vers ζl . Il ne reste qu’à prouver l’unicité de cette limite. Supposons l’existence d’une autre valeur d’adhérence faible ζl0 . C’est donc, par le même argument que ci-dessus, une valeur d’adhérence forte. Soient Dhλn et Dhµn deux soussuites convergeant respectivement vers ζl et ζl0 . On peut choisir λn et µn équivalentes et par conséquent σ2 |D(hλn − hµn )|2 γ = hhλn − hµn , L(hλn − hµn )i = hhλn − hµn , λn hλn − µn hµn i et donc ζl = ζl0 par passage à la limite. La famille faiblement compacte (Dhλ ) a donc une unique valeur d’adhérence faible, vers laquelle elle converge donc. par un argument analogue, il s’agit en fait d’une limite forte, et la proposition est ainsi prouvée. ♦ On notera que la méthode utilisée ici ne s’applique pas au cas du processus d’Ornstein-Uhlenbeck du fait de la présence d’une partie antisymétrique dans le générateur. Elle ne s’applique pas non plus au cas non-réversible avec condition de secteur (voir chapitre introductif). 1.2.2 Le théorème d’homogénéisation La preuve du théorème central limit est désormais un résultat classique de théorème central limit pour les martingales. Nous ne l’exposerons pas ici, mais elle est similaire à celle du théorème correspondant pour le processus d’Ornstein-Uhlenbeck exposée dans la partie 2. Nous allons donc nous contenter d’en donner un schéma et de prouver la non-dégenerescence de la diffusion en prouvant la formule variationnelle suivante. La méthode consiste à écrire pour tout vecteur l ∈ Rd s Z ε−2 t 2σ 2 ε l · wt l · DV (ηs )ds + ε l · yεη (t) = − γ γ 0 ε =− γ Z 0 s ε−2 t (ε2 − L)hε2 (ηs )ds + ε 2σ 2 l · wt γ 42 Le théorème central limit puis à utiliser la formule d’Ito. Il vient l· yεη (t) ε3 =− γ Z ε−2 t hε2 (ηs )ds − εhε2 (ηε−2 t ) + εhε2 (η) + εMε (t) 0 où Mε (t) est la martingale définie par s ε−2 t 2σ 2 γ Z 2σ 2 hhMε iit = γ Z Mε (t) = [l − Dhε2 (ηs )] · dws 0 de variation quadratique ε−2 t |l − Dhε2 (ηs )|2 ds 0 Les termes de bord disparaissent grâce à (1.2.3). Il reste alors à prouver un théorème “central limit” pour la martingale Mε (t), qui va de fait converger en loi vers un mouvement brownien de diffusion σ2 σ2 Eπ [|l − Dhε2 (ηs )|2 ] = |l − ζl |2 ε→0 γ γ lim On peut ensuite prouver la proposition suivante Proposition 1.2.4 On a la formule variationnelle l · ΣM B l = σ2 γ |l − Dφ|2 inf (1.10) φ∈D(D) ainsi que la borne inférieure explicite σ2 l·ΣM B l ≥ γ Z e V (η)/σ 2 −1Z −1 −V (η)/σ 2 µ(dη) e µ(dη) |l|2 . X X L’inégalité (1.11) est une égalité en dimension 1. ♦ Notons a= σ2 γ inf |l − Dφ|2 . φ∈D(D) ζl étant limite de gradients, on a clairement a ≤ l · ΣM B l. (1.11) Le théorème central limit 43 Pour tout φ ∈ D(D), on a σ 2 hDφ · ζl i = σ 2 lim hDφ · Dhlλ i λ→0 = γ lim hφ, (λ − L)hlλ i λ→0 = hφ, DV · li = σ 2 hDφ · li . En prenant φ = hlλ et en faisant tendre λ vers 0, on obtient pour tout φ h(l − Dφ) · (l − ζl )i = |l − ζl |2 et en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient a ≥ l · ΣM B l et donc (1.10). Montrons maintenant (1.11). pour tout φ ∈ D(D) et l ∈ Rd on a Z 2 |l| = (l − Dφ) · ldµ X D = e V /σ 2 (l − Dφ) · l EZ 2 e−V /σ dµ (1.12) X 2 1/2 Z ≤ |l| |l − Dφ| e V /σ 2 Z dµ X e −V /σ 2 1/2 dµ X ce qui montre (1.11) en utilisant (1.10). On peut noter de plus que (DV − σ 2 D) · (ζl − l) = lim (DV − σ 2 D) · (Dhλ − l) = lim λhλ = 0. λ→0 λ→0 En dimension 1, ceci implique ζl − l = KeV /σ 2 avec K ∈ R et par conséquent, (1.12) tend vers une égalité pour φ = hlλ , et donc (1.11) est une égalité dans ce cas. ♦ Partie 2 Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in random environments We consider in this chapter a passive tracer moving in a random environment. The movement of the tracer will be described by a so-called OrnsteinUhlenbeck process, which takes into account the effect of the inertia of the particle and of fluid friction. The action of the environment is given by some potential, which can be possibly taken unbounded. In a first time, we prove an invariance principle for this kind of movement. In a second time, we apply the same method to prove a central limit theorem for the tagged particle in an infinite system of massive particles. Then, we compare this model and the homogeneization of a brownian motion in a randomly inhomogeneous medium. We will here prove that there is a quantitative difference between the two models, as the macroscopic effective diffusion is strictly greater in the Brownian case. We will also show that this difference vanishes when letting the viscosity go to infinity. 2.1 Introduction Let (X, F, µ) be a probability on which acts ergodically a measure preserving group of transformations G = {τx , (x) ∈ Rd × R} 46 Introduction We also define Tx as the group of operators and the measurable functions on X Tx f (η) = f (τ−x η) and we will suppose that Tx is strongly continuous over L2 (µ). D will denote its closed infinitesimal generator. See the introduction of this thesis for further details. We will first consider the following system of stochastic differential equation η dx (t) = v(t)dt (2.1) p η 2 dv(t) = −γv(t)dt − ∇x V (x (t), η)dt + 2γσ dw(t) with initial conditions η x (0) = 0 |v|2 e− 2σ2 dv v(0) ∼ G(dv) = (2πσ 2 )d/2 where w is a standard Brownian motion on Rd , V is a stationary random real-valued potential defined over Rd × X, i.e. V verifies V (x, η) = V (τ−x η) for all x ∈ Rd and η ∈ X where V (η) ≡ V (0, η). We suppose that γ and σ are positive parameters. The process xη (t) can describe the movement of a massive particle in an inhomogeneous random medium with fluid friction. The purpose is here to prove a central limit theorem for this kind of process. We consider now the corresponding diffusion (η(t), v(t)) on X × Rd given by the environment as seen from the particle η(t) = τ−xη (t) η. This process possesses an invariant distribution given by 2 e−V (η)/σ µ(dη)G(dv) . dπ = Z −V (η)/σ 2 e µ(dη) X The system (2.1) has already been studied in [22]. In this article, the potential V along with its derivatives were supposed bounded. The reader can also refer to the review [16]. We propose here a very simple way to get rid of this hypothesis. Introduction 47 The main result of this chapter is the following Theorem 2.1.1 Under the hypothesis 2 e−V /σ ∈ L1 (µ) and DV ∈ L2 (π) the process εxη (ε−2 t) converges weakly in π-probability (see (1.5) for the definition) to a brownian motion whose diffusion matrix is the only symmetric matrix ΣOU defined by l · ΣOU l = γσ 2 |ξl |2 where ξl depends linearily on l and is defined in section 2, proposition 2.2.6. If we suppose moreover 2 eV /σ ∈ L1 (µ) then this diffusion is non-degenerate, i.e. there exists α > 0 such that ΣOU ≥ αIdRd The methods used here are inspired by [22]. The main difficulty here comes from the non-reversibility of the studied process. This non-reversibility is compensated here by the symmetry of the problem in terms of velocities. We will also consider the case where the viscosity γ is a strictly positive stationary random field γ(x, η). The proof given below needs only a very few changes, see theorem 2.2.2 below. In a second time, we apply the same method to prove the homogeneization in the case of an active tracer in an infinite system of interacting particles. Let U be a smooth superstable compactly supported two-body potential. We consider the system ∀α ∈ I dxα (t) = vα (t)dt X p dv (t) = −γ v (t)dt − ∇U (x − x )dt + 2γα σ 2 dwα (t) α α α β α β6=α where I is a countable set of indexes, with an initial Gibbsian distribution. The existence of solutions of this system can be checked in [18]. 48 Homogeneization in a frozen environment Now, if we tag one of the particles of this system, we are able to prove a similar central limit theorem. Notice that in this problem, the hamiltonian of the system is not bounded, and this is the study of this model that motivated the present work. In a third time, we will prove that the macroscopic diffusion coefficients ΣM B defined in the previous chapter, and ΣOU defined above are different in the two models and verify ΣM B > ΣOU . At last, we will also show that lim γ(ΣM B (γ) − ΣOU (γ)) = 0. γ→∞ 2.2 2.2.1 Homogeneization in a frozen environment The Ornstein-Uhlenbeck process Let us consider on (Rd )2 the diffusion (xη (t), v(t)) solution of the following system of stochastic differential equations η dx (t) = v(t)dt dv(t) = −γv(t)dt − ∇x V (xη (t), η)dt + with initial conditions η x (0) = 0 p 2γσ 2 dw(t) |v|2 e− 2σ2 dv v(0) ∼ G(dv) = (2πσ 2 )d/2 where γ and σ are strictly positive. We will suppose that V ∈ D(D), so that Z |DV (η)|2 µ(dη) < ∞ (2.2) X and that there is a positive σ0 such that Z 2 e−V (η)/σ0 µ(dη) < ∞. X (2.3) Homogeneization in a frozen environment 49 σ will be therefore taken less than σ0 . In order to have a solution for equation (2.1), we will also need the following usual Lipschitz condition : for any compact subset K ⊂ Rd , and for any η ∈ X, there exists a constant cK (η) such that µ[c(η) < ∞] = 1 and for all x, y in K |∇x V (x, η) − ∇x V (y, η)| ≤ cK (η)|x − y|. (2.4) The following proposition holds Proposition 2.2.1 Under assumptions (2.2), (2.4), the process (xη (t), v(t)) is well defined for any t ≥ 0 up to a possible explosion time. The generator of this process is given by Lη = γ(σ 2 ∆v − v · ∇v ) + v · ∇x − ∇x V (x, η) · ∇v . ♦ The existence and unicity of a strong solution are direct consequences of (2.4) and usual theorems about solutions of stochastic differential equations, see for instance [11] for details. The computation of the generator is a direct consequence of Ito’s formula. ♦ We associate to (xη , v) the Markov process (η(t), v(t)) defined on X × Rd , where η(t) will be the environment as seen by an observer “sitting on the particle”. We define η(t) on X by η(t) = τ−xη (t) η η(0) = η. Proposition 2.2.2 The following assertions are true a. η(t) is a Markov process on X whose semigroup is given by Z t P f (η) = Eη [f (η(t))] = P η (t, 0, dy)f (τ−y η) Rd where P t is defined on L∞ (X) and P η is the transition function of xη (t). b. Therefore, we define on X × Rd the Markov process (η(t), v(t)) whose generator is given by L = γ(σ 2 ∆v − v · ∇v ) + v · D − DV (η) · ∇v and we will denote (2.5) S = γ(σ 2 ∆v − v · ∇v ) (2.6) A = v · D − DV (η) · ∇v . 50 Homogeneization in a frozen environment c. The probability measure 2 e−V (η)/σ µ(dη)G(dv) dπ = Z 2 e−V (η)/σ µ(dη) X is invariant and ergodic for L. Moreover S and A are respectively symmetric and antisymmetric for π. In the following, h.i will denote the expectation with respect to dπ, and h., .i the associated scalar product on L2 (π). Moreover, P t extends to a strongly continuous positive contraction semigroup over Lp (π), p ≥ 1. d. For π-almost all η, the process (xη (t), v(t)) is finite and square integrable for all t ≥ 0, and therefore (η(t), v(t)) is well-defined for all t ≥ 0. ♦ The proof of (a) can be checked in the previous chapter, proposition 1.1.2. The proof of (b), as long as the invariance of π are simple computations, using the next lemma 2.2.3. Let us prove now the ergodicity of π : we consider f (η, v) ∈ D(L) ∩ D(D) such that Lf = 0. (2.7) Multiplying (2.7) by f and intergrating it with respect to π, we obtain hf, Lf i = − |∇v f |2 = 0 so that f must be almost surely independant on v. But this implies that for almost all v ∈ Rd , we must have v · Df = 0 and then Df = 0. As G is ergodic with respect to µ, this implies that f does not depend on η either, and then that f is µ ⊗ G(dv)-almost surely constant. As π is equivalent to µ ⊗ G(dv), f is π-almost surely constant, and π is ergodic. The extension of P t is now the same a in the previous chapter, proposition 1.1.2. Let us prove now point (d). One can see that d(eγt v(t)) = −eγt DV (xη (t), η)dt + p 2γσ 2 eγt dw(t) Homogeneization in a frozen environment 51 so that v(t) = v(0)e −γt Z t eγ(s−t) DV (xη (s), η)ds − 0 Z t p 2 + 2γσ eγ(s−t) dw(s) 0 η γx (t) = v(0) 1 − e −γt Z − t 1 − eγ(s−t) DV (xη (s), η)ds 0 t Z p 2 + 2γσ 1 − eγ(s−t) dw(s). 0 Then, for all T > 0, if E denotes the expectation with respect to the joint distribution of v(0) and w, we have, as π is invariant * " E #+ 2 2 sup |v(t)| 2 Z T ≤ σ + 8γσ T + 2T t∈[0,T ] E |DV (xη (s), η)|2 ds 0 ≤ σ 2 + 8γσ 2 T + 2T 2 |DV |2 < ∞ * " E #+ η 2 sup |x (t)| t∈[0,T ] σ2 σ2 2 ≤ 2 + 8 T + 2T γ γ γ ≤ Z T E |DV (xη (s), η)|2 ds 0 σ2 σ2 2 + 8 T + 2 T 2 |DV |2 < ∞ 2 γ γ γ and (d) is also proved. ♦ The next lemma, gives the key of all the calculus done in this chapter. 52 Homogeneization in a frozen environment Lemma 2.2.3 ∀φ, ψ ∈ D(D) Z a) Dφ(η)µ(dη) = 0 X Z Z Dφ(η)ψ(η)µ(dη) = − b) X Dψ(η)φ(η)µ(dη) X c) hφ, DV i = σ 2 hDφi d) hvφi = σ 2 h∇v φi . ♦ The first three points have already been proved in the introduction of this thesis, see lemma (I.1). The last one is a simple integration by parts. ♦ At last we can notice that the Dirichlet form associated to L is given by − hLφ, φi = − hSφ, φi = γσ 2 |∇v φ|2 . 2.2.2 The resolvent equation Introduction of useful functional spaces Let us introduce a few useful functional spaces. We define H1 by the completion of 1 {∇v φ, φ ∈ D(L)/kφk21 = − 2 hSφ, φi = |∇v φ|2 γσ < ∞} for the norm k.k1 defined as above. We will also denote H̃1 = {φ ∈ L2 , ∇v φ ∈ H1 } endowed of the norm k.k2H̃ = k.k2L2 + σ 2 k.k21 . Notice that they are both 1 Hilbert spaces. Let us now define the dual space of H̃1 . We will denote by C−1 the space of all the functions ψ of H̃1 verifying sup (2 hψ, φi − kφk2H̃1 ) < ∞ (2.8) φ∈H̃1 and by kψk2H̃ −1 this finite supremum. H̃−1 will be the completion of C−1 for the norm k.kH̃−1 . The action of H̃−1 will be denoted by H̃−1 h., .iH̃1 . This action is continuous and the operator norm of ψ ∈ H̃−1 is kψkH̃−1 , see propostion 1.2.1 of the previous chapter. We define the same way H−1 and H−1 . Homogeneization in a frozen environment 53 Existence and unicity of solutions for the resolvent equation Let us consider the following resolvent equation for all λ > 0 λhλ − Lhλ = l · v (2.9) where l is fixed in Rd . We will first give the existence and the unicity, in some sense, of the solution hλ of (2.9). Proposition 2.2.4 The equation (2.9) is satisfied in H̃−1 and it has a unique solution hλ in H̃1 . Moreover, Ahλ and Shλ are in H̃−1 . At last, the following inequalities hold 2 2 2σ λ h ≤ |l| λ γ (2.10) 2 |l| |∇v hλ |2 ≤ 2 . γ ♦ We will define hλ as the limit in H̃1 of a family of functions of H1 . For positive β, let us consider the equation 2 2 λhλ,β − βeV /σ D · (e−V /σ Dhλ,β ) − Shλ,β − Ahλ,β = l · v. (2.11) More precisely, ∀φ ∈ H1 λ hhλ,β , φi + β hDhλ,β · Dφi + γσ 2 h∇v hλ,β · ∇v φi (2.12) + hhλ,β , Aφi = hl · v, φi . Let us notice that ∀φ, ψ ∈ H1 | hψ, Aφi | = σ 2 | h∇v ψ · Dψi − hDφ · ∇v ψi | ≤ CkψkH1 then φ ∈ H1 ⇒ Aφ ∈ H−1 . ∀β > 0, the bilinear form in the left term of (2.12) is continuous and coercitive on H1 . Therefore, Lax-Milgram theorem gives the existence and the unicity of hλ,β in H1 such that (2.12) is verified. Furthermore, while substituting φ = hλ,β in (2.12), one obtains hl · v, hλ,β i = σ 2 hl · ∇v hλ,β i = λ h2λ,β + β h|Dhλ,β |2 i + γσ 2 h|∇v hλ,β |2 i . 54 Homogeneization in a frozen environment 1/2 Thus, as hl · ∇v hλ,β i ≤ |l| h|∇v hλ,β |2 i |∇v hλ,β |2 λ h2λ,β ≤ β |Dhλ,β |2 , we have the following inequalities ≤ |l|2 γ2 σ2 2 |l| γ (2.13) σ2 2 |l| . γ ≤ The family of functions hλ,β is uniformly bounded in H̃1 and then, one can extract a subsequence, weakly convergent in β to hλ ∈ H̃1 . This limiting point is unique, for it is solution of (2.9), and λ − L is injective for λ > 0 because of the nonpositivity of S. From (2.12), we obtain |H−1 hAhλ,β , φiH1 | ≤ λ h2λ,β 1/2 1/2 hφ2 i 1/2 +γσ 2 h|∇v hλ,β |2 i 1/2 h|∇v φ|2 i 1/2 +|l|σ 2 h|∇v φ|2 i 1/2 +β h|Dhλ,β |2 i 1/2 h|Dφ|2 i (2.14) 1/2 λ ≤σ |l| φ2 γ 1/2 1/2 +|l|σ 2 h|∇v φ|2 i 1/2 β |l| |Dφ|2 +σ γ 1/2 thanks to (2.13). Therefore, by taking the weak limit in β, we can consider Ahλ as an element of H−1 . The inequality 1/2 λ 1/2 1/2 |H−1 hAhλ , φiH1 | ≤ σ |l| φ2 + |l|σ 2 |∇v φ|2 (2.15) γ allows us to extend the domain of Ahλ , which we can now consider as an element of H̃−1 . Homogeneization in a frozen environment 55 By taking the weak limit in (2.12) while using the inequalities (2.13) and (2.15), we have ∀φ ∈ H̃1 λ hhλ , φi + γσ 2 h∇v hλ · ∇v φi +H̃−1 hAhλ , φiH̃1 = hl · v, φi . (2.16) In fact, Ahλ is now an element of H̃−1 defined by : H̃−1 hAhλ , φiH̃1 = λ hhλ , φi + γσ 2 h∇v hλ · ∇v φi − hl · v, φi . (2.17) At last, it is clear that Shλ ∈ H̃−1 . We have also obtained by taking the limit in β in (2.13) : 2 2σ 2 ≤ |l| λ h λ γ ♦ 2 |l| |∇v hλ |2 ≤ 2 . γ Asymptotic behaviour of the solution From now on, fλ and gλ will denote respectively the even and the odd part of hλ with respect to v, i.e. for all (η, v) fλ (η, v) = hλ (η, v) + hλ (η, −v) 2 (2.18) hλ (η, v) − hλ (η, −v) . gλ (η, v) = 2 The following lemma holds. Lemma 2.2.5 The family (gλ ) is uniformly bounded in L2 (π) gλ2 ≤ |l|2 σ2 . γ2 (2.19) ♦ The family of Hermite’s polynomials form an orthonormalized basis for the operator S, which has a spectral gap equal to γ. As Z gλ (η, v)G(dv) = 0 Rd we may apply Poincaré’s inequality, which gives Z Z 1 2 gλ (η, v) G(dv) ≤ − gλ (η, v)Sgλ (η, v)G(dv) γ Rd Rd Z 2 |∇v gλ (η, v)|2 G(dv) =σ Rd 56 Homogeneization in a frozen environment and then thanks to (2.10) gλ2 ≤σ 2 2 |∇v gλ | 2σ ≤ |l| 2 γ2 .♦ We are now able to show the following proposition Proposition 2.2.6 We have lim λ h2λ = 0 λ→0 (2.20) Furthermore, there exists ξ in H1 such that lim |∇v hλ − ξ|2 = 0. λ→0 (2.21) ♦ Using the regularisation used in the proof of proposition 2.2.4, let us introduce the respective even and odd parts in v of hλβ fλβ (η, v) = hλβ (η, v) + hλβ (η, −v) 2 gλβ (η, v) = hλβ (η, v) − hλβ (η, −v) . 2 Homogeneization in a frozen environment 57 Using (2.13), it is obvious that fλβ and gλβ are in H1 . Then, thanks to (2.14), we see that for all φ(η, v) in H1 | hAfλβ , φi | = | Afλβ , φ̌ | = | Ahλβ , φ̌ | 1/2 λ ≤σ |l| φ̌2 γ 1/2 1/2 +|l|σ 2 |∇v φ̌|2 1/2 β +σ |l| |Dφ̌|2 γ 1/2 λ ≤σ |l| φ2 γ 1/2 1/2 1/2 +|l|σ 2 h|∇v φ|2 i 1/2 β |l| |Dφ|2 +σ γ 1/2 and the same kind of inequality for Agλβ , where φ = φ̂ + φ̌ is the decomposition of φ in its even and odd parts with respect to v. Then, taking the limit in β, we can consider Afλ and Agλ as elements of H̃−1 . Moreover, as for all positive λ, µ, β and β 0 , we have hAfλβ , gµβ 0 i = − hfλβ , Agµβ 0 i we obtain by taking the weak limits in β and β 0 H̃−1 hAfλ , gµ iH̃1 = −H̃−1 hAgµ , fλ iH̃1 . Using (2.18), (2.9) gives λfλ − Sfλ − Agλ = 0 (2.22) λgλ − Sgλ − Afλ = l · v. (2.23) and Let µ be any positive real number. Multiplying (2.23) by gµ and integrating it with respect to π, we obtain λ hgλ , gµ i + γσ 2 h∇v gλ · ∇v gµ i −H̃−1 hAfλ , gµ iH̃1 = σ 2 hl · ∇v gµ i . 58 Homogeneization in a frozen environment Then, using (2.22), we have λ hgλ , gµ i + µ hfλ , fµ i + γσ 2 h∇v gλ · ∇v gµ i +γσ 2 h∇v fλ · ∇v fµ i (2.24) 2 = λ hgλ , gµ i + µ hfλ , fµ i + γσ h∇v hλ · ∇v hµ i = σ 2 hl · ∇v gµ i = σ 2 hl · ∇v hµ i . Thanks to (2.10), the family (∇v hλ ) is weakly compact in H1 when λ goes to 0. Let ξ be a weak limiting point of this family. We will also denote by g0 an L2 -weak limiting point of the family (gλ ). We consider a subsequence λn such that ∇v hλn converges weakly to ξ and (gλn ) converges weakly to g0 . Then (2.24) gives λn gλn , gλp + λp fλn , fλp + γσ 2 ∇v hλn · ∇v hλp = σ 2 l · ∇v hλp . Letting p and then n go to infinity, we obtain γ |ξ|2 = hl · ξi . (2.25) λ h2λ + γσ 2 |∇v hλ |2 = σ 2 hl · ∇v hλ i (2.26) (2.9) gives for all λ > 0 and then lim sup γ |∇v hλn |2 ≤ hl · ξi . Then, thanks to the weak convergence of (∇v hλn ) to ξ, we have hl · ξi = γ h|ξ|2 i ≤ lim inf γ h|∇v hλn |2 i (2.27) ≤ lim sup γ h|∇v hλn |2 i ≤ hl · ξi and (∇v hλn ) converges strongly to ξ. Now (2.25) and (2.26) imply (2.20) for the subsequence λn . Homogeneization in a frozen environment 59 The last thing that needs to be proved now is the uniqueness of this limit. Let us suppose that there exists another weak limiting point ξ 0 . Then, it must be a strong limiting point. Let ∇v hλn and ∇v hµn be two subsequences which converge respectively to ξ and ξ 0 . It is obviously possible to choose λn and µn so that they are equivalent as n goes to infinity. Then γσ 2 h|∇v (hλn − hµn )|2 i = hhλn − hµn , L(hλn − hµn )i (2.28) = hhλn − hµn , λn hλn − µn hµn i by letting n go to infinity, we obtain that ξ = ξ 0 and the limit is unique. The weakly compact sequence (∇v hλ ) has a unique possible weak limiting point ξ, then it converges weakly to this point. But the same argument as previously proves that this limit must be strong. The proof of the proposition is therefore complete. ♦ 2.2.3 Central limit theorem Now, the homogeneization theorem 2.1.1 can be proved. The first part of the proof will be the convergence of the finite-dimensional distributions of xηε to those of a Brownian motion. The second part will show the non-degeneracy of the diffusion matrix. The last part will be the proof of the continuity of the limit process. Convergence of the finite-dimensional distribution Let us consider the local martingale Z λ M (t) = hλ (η(t), v(t)) − hλ (η, v(0)) − t Lhλ (η(s), v(s))ds 0 = p Z 2γσ 2 t ∇v hλ (η(s), v(s)) · dws . 0 and its quadratic variation M λ t = 2γσ 2 Z t |∇v hλ (η(s), v(s))|2 ds. 0 This quadratic variation has finite expectation for all t, so that M λ is a martingale of integrable square. 60 Homogeneization in a frozen environment Then, one can write η Z −2 ε−2 t l · v(s)ds l · εx (ε t)) = ε Z0 ε−2 [λhλ (η(s), v(s)) − Lλ hλ (η(s), v(s)]ds =ε 0 Z ε−2 t hλ (η(s), v(s))ds + εM λ (ε−2 t) = λε 0 −εhλ (η(ε−2 t), v(ε−2 t)) + εhλ (η, v). Choosing λ = ε2 , η −2 l · εx (ε t) = ε 3 Z ε−2 t 2 hε2 (η(s), v(s))ds + εMεε−2 t 0 −εhε2 (η(ε−2 t), v(ε−2 t)) + εhε2 (η, v). We introduce the notations 2 M̃tε = εMεε−2 t and ε M̃s,t = M̃tε − M̃sε . Let us consider the differences ∆s,t xηε = l · εxη (ε−2 t) − l · εxη (ε−2 s) ε and compare them to M̃s,t . The following asymptotic result is true Lemma 2.2.7 ε 2 lim Eπ [(∆s,t xηε − M̃s,t ) ] = 0. ε→0 Homogeneization in a frozen environment 61 ♦ We have (up to a constant) ε 2 Eπ [(∆s,t xηε − M̃s,t ) ] ≤ Eπ [ε2 (hε2 (η(ε−2 t), v(ε−2 t)))2 ] +Eπ [ε2 (hε2 (η(ε−2 s), v(ε−2 s)))2 ] +Eπ ε6 !2 ε−2 t Z hε2 (η(r), v(r))dr ε−2 s ≤ 2ε2 h2ε2 Z 2 ε−2 t +ε (t − s) ε−2 s Eπ [(εhε2 (η(r), v(r)))2 ]dr) = (2 + (t − s)2 )ε2 h2ε2 which goes to 0 thanks to (2.20). ♦ It is possible to simplify the estimation of ∆s,t xηε . Let us introduce ε M̂ (t) = ε p Z 2γσ 2 ε−2 t ξ(η(s), v(s)) · dws 0 where ξ is defined in (2.21) and ε M̂s,t = M̂ ε (t) − M̂ ε (s). Then Lemma 2.2.8 ε 2 lim Eπ [(∆s,t xηε − M̂s,t ) ] = 0. ε→0 62 Homogeneization in a frozen environment ♦ This result is mainly due to Doob inequality and to the invariance of π. Up to a constant, we have ε ε Pπ [ sup |M̃s,r − M̂s,r | > δ] s≤r≤t ≤ 1 ε ε 2 Eπ [(M̃s,t − M̂s,t )] δ2 γσ 2 2 = 2 ε δ Z ε−2 t ε−2 s Eπ [|∇v hε2 (η(r), v(r)) − ξ(η(r), v(r))|2 ]dr = γσ 2 2 ε |∇v hε2 − ξ|2 ε−2 (t − s) δ2 = γσ 2 (t − s) |∇v hε2 − ξ|2 . δ2 Then ε ε lim Pπ [ sup |M̃s,r − M̂s,r | > δ] = 0 ε→0 s≤r≤t and the lemma is proved. ♦ Now, there only remains to prove Theorem 2.2.1 The finite dimensional distributions of ∆s,t xηε converge in µ- probability to those of a Brownian motion. ♦ For that, let us consider a time interval [0, T ], and subdivise it by 0 ≤ t0 < t1 < t2 ... < tm ≤ T . Let us define ~ M̂ ε = (M̂tε0 t1 , ..., M̂tεm−1 tm ) ~ η = (∆t0 t1 xη , ..., ∆tm−1 tm xη ). ∆x ε ε ε Thanks to the previous results ∀n ∈ N, ~ε 2 ~ η − M̂ lim Eπ [k∆x k ] = 0. ε ε→0 We introduce the family of stopping times EE o n DD ε −1 τε = inf r > 0, M̂s,r >1+ε with inf(∅) = ∞. Homogeneization in a frozen environment 63 We have τε → ∞ µ-almost surely as ε → 0. So, we can use the martingales which have bounded quadratic variations, and we can apply to them the ergodic theorem, which gives DD EE ε lim M̂s,t∧τε = 2γσ 2 (t − s) |ξ|2 = 2(t − s)a. ε M̂s,r∧τ , ε ε→0 Using this and the usual properties of exponential martingales, we have : ε 2 −θ (t−s)a ∀θ ∈ R, E[eiθhM̂s,t∧τε |Fε−2 s] − e i θ2 ε ε = E eiθM̂s,t∧τε 1 − e 2 (hhM̂s,t∧τε ii−2(t−s)a) Fε−2 s which proves h lim E e ε iθM̂s,t∧τ ε ε→0 i F ε−2 s = e−θ 2 (t−s)a . Iterating this procedure, we eventually obtain h i ε ε 2 2 lim E eiθ1 M̂t0 ∧τε ,t1 ∧τε +iθ2 M̂t1 ∧τε ,t2 ∧τε +... Fε−2 t0 = e−θ1 (t1 −t0 )a−θ2 (t2 −t1 )a−... ε→0 which proves the convergence of finite dimensional distributions to those of a brownian motion with diffusion h|ξ|2 i and consequently the convergence of εxη (ε−2 t) to a d-dimensional brownian motion with diffusion matrix Σou defined by l · ΣOU l = γσ 2 |ξl |2 . Non-degeneracy of ΣOU We make here the assumptions V e ∈ L1 (µ) (2.29) 2 DV ∈ L (µ) Let us consider equation (2.11), multiply it by v and integrate it with respect to G(dv) ⊗ µ(dη). Let us consider each term separetely. Z Z 2 λvhλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) −→ λσ ∇v hλ (η, v)G(dv)µ(dη) X×Rd β→0 ≤ λσ X×Rd 2 2 1/2 Z |∇v hλ | e dµ X −→ 0. λ→0 V 1/2 64 Homogeneization in a frozen environment Z 2 2 βveV (η)/σ D · (e−V (η)/σ Dhλ,β (η, v)) G(dv)µ(dη) X×Rd ≤ βσ −2 Z |v||DV (η)||Dhλ,β (η, v)|G(dv)µ(dη) X×Rd β 1/2 ≤ σ Z Z 1/2 1/2 1/2 V |DV | µ(dη) β e dµ |Dhλ,β |2 2 X X −→ 0 β→0 thanks to (2.13) and (2.29). Z vShλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) = −γσ 2 Z ∇v hλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) X×Rd X×Rd −→ −γσ 2 λ,β→0 ξ(η, v))G(dv)µ(dη). X×Rd Z Z Z vAhλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) = |v|2 · Dhλ,β (η, v) X×Rd X×Rd −vDV (η) · ∇v hλ,β (η, v) G(dv)µ(dη) Z =− vDV (η) · ∇v hλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) X×Rd Z −→ − vDV (η) · ξ(η, v)G(dv)µ(dη). λ,β→0 X×Rd We finally obtain Z Z 2 l = γσ ξ(η, v)G(dv)µ(dη) + X×Rd vDV (η) · ξ(η, v)G(dv)µ(dη). X×Rd Thanks to Schwarz inequality, to (2.29) and to (2.2), there exist positive constants C1 and C2 such that the right two terms of the previous equality 1/2 1/2 are respectively less than C1 h|ξ|2 i and C2 h|ξ|2 i . Therefore, we obtain the following inequality 2|l|2 |ξ|2 ≥ C1 + C2 for all l. ♦ Homogeneization in a frozen environment 65 Tightness It is obvious that kvkH̃−1 = σ 2 . Then applying inequality (I.8) presented in introduction, we have for all T > 0 the following compacity result Eπ sup |εxη (ε−2 t) − εxη (ε−2 s)|2 ≤ 8σ 2 δ |t−s|≤δ 0≤s≤t≤T which proves the tightness of εxη (ε−2 t) and therefore the continuity of the limit process. Notice that a much stronger result can also be proved using Garsia-RodemichRumsey’s inequality (see [25]). See for instance chapter 3 of [16]. 2.2.4 Random viscosity We consider here the similar problem where the viscosity is given by a stationary random field. Let γ(η) be a bounded random real-valued variable defined on X. We consider the associated stationary field γ(x, η) = γ(τ−x η). Let us suppose that this field verifies inf γ(η) = γ∗ > 0 η∈X (2.30) and the following regularity condition : for any compact subset K ∈ Rd , and for any η ∈ X, there exists a constant CK (η) such that µ[CK (η) < ∞] = 1 and for all x, y in K |γ(x, η) − γ(y, η)| ≤ CK (η)|x − y|. (2.31) 0 Notice that hypothesis (2.30) and (2.31) together give the existence of CK 0 such that µ[CK (η) < ∞] = 1 and for all x, y in K p p 0 (η)|x − y| | γ(x, η) − γ(y, η)| ≤ CK which ensures the existence of the stochastic process considered below. Notice that the boundedness of γ is not really needed. The interested reader could replace it by a lighter assumption. 66 Homogeneization in a frozen environment We consider the following system of stochastic differential equations dxη (t) = v(t)dt dv(t) = −γ(xη (t), η)v(t)dt − ∇x V (xη (t), η)dt + with initial conditions η x (0) = 0 p 2γ(xη (t), η)σ 2 dw(t) |v|2 e− 2σ2 dv. v(0) ∼ G(dv) = (2πσ 2 )d/2 (xη , v) is a Markov process over (Rd )2 , and if we introduce the environment η(t) as seen from the particle, then (η(t), v(t)) is also a Markov process on X × Rd whose generator is given by L = γ(η)(σ 2 ∆v − v · ∇v ) + v · D − DV (η) · ∇v . The measure π is still invariant and ergodic for this process. The symmetric part S still has a positive spectral gap γ∗ . Now, introducing as precedently the solution hλ of the resolvent equation (λ − L)hλ = l · v, one can prove the following inequalities 2 2 2σ λ h ≤ |l| λ γ∗ |l|2 |∇v hλ |2 ≤ 2 γ∗ |l|2 . γ|∇v hλ |2 ≤ γ∗ Then, using the same arguments, it is easy to prove the proposition Proposition 2.2.9 lim λ h2λ = 0 λ→0 and there exists Ξ in H1 such that √ lim k γ∇v hλ − ΞkL2 (π) = 0 λ→0 and the following central limit theorem Theorem 2.2.2 The process εxη (ε−2 t) converges weakly in π -probability to a brownian motion whose diffusion matrix is the only symmetric matrix ΣOU defined by l · ΣOU l = σ 2 |Ξl |2 . System of interacting particles 2.3 67 System of interacting particles Let us now consider an infinite system of particles, each of them moving according to an Ornstein-Uhlenbeck process. They will interact through a two-body potential. We want to follow the movement of a special particle, which we will tag. The tagged particle will evolve in a time dependant random environment whose evolution depends on the movement of the tagged particle. A result of this kind has already been proved for the tagged particle in a system of interacting Brownian motions. (cf. [10],[6]). The probability space X is now the space of locally finite configurations of particles in Rd with velocities in Rd , i.e. X = {η = {xα , vα }α∈I0 ⊂ Rd , ∀B ∈ B(Rd ), η x ∩ B is finite} where I0 is a countable set of indexes, B(Rd ) is the set of bounded subsets of Rd and η x = {xα }α∈I0 for all η = {xα , vα }α∈I0 ⊂ Rd . We endow X of the weakest topology such that the map X φ : η 7→ h(xα , vα ) α∈I0 is continuous for any continuous compactly supported h mapping (Rd )2 to R. F will be the corresponding Borel σ-algebra. The transformation group G = {τx , x ∈ Rd } will be the group of space shifts τx η = {xα + x, vα }. We define the gradient of a suitable f with respect to xα ∈ η x ∇xα f (η) · l = lim δ −1 (f ([η \ {xα }] ∪ {(xα + δl}) − f (η)) δ→0 for all l ∈ Rd , and we similarly define its gradient ∇vα f with respect to a velocity vα ∈ η. At last, we define the formal operator D X D= ∇ xα . α Let U be a twice continuously differentiable, compactly supported map on R . We suppose that U is even and superstable as defined in (I.9) and (I.10). d 68 System of interacting particles The ergodic measure µ on F will be the grancanonical Gibbs measure associated to the formal Hamiltonian 1X 1X H0 (η) = |vα |2 U (xα − xβ ) + 2 α6=β 2 α with temperature σ 2 and fugacity z, see (I.11) and the following in the introduction of this thesis for some details. The existence of this measure is ensured by the stability of U . We study now the following system ∀α ∈ I0 dxα (t) = vα (t)dt X p dv (t) = −γ v (t)dt − ∇U (x − x )dt + 2γα σ 2 dwα (t) α α α β α β6=α with initial condition distributed according to the Gibbs measure. The γα ’s are positive constants verifying inf γα = γ∗ > 0. α∈I0 (2.32) We consider now one of these particles, of index α0 , whose position and velocity will be denoted respectively by x and v, and we tag it. As in the previous section, we consider now the environment ω(t) = τ−x(t) η(t) = {yα (t), vα (t)}. The system becomes dx(t) = v(t)dt ! X p 2γσ 2 dw0 (t) dv(t) = −γv(t)dt + ∇U (y ) dt + β β∈I ∀α ∈ I (2.33) dy (t) = (v (t) − v(t)) dt α α X dv (t) = −γ v (t)dt− ∇U (yα − yβ )dt −∇U (yα )dt α α α β6 = α p + 2γα σ 2 dwα (t) where I = I0 \ α0 . System of interacting particles 69 We introduce the Palm measure π, whose density with respect to µ is P |v|2 U (xα ) dπ = Z −1 e− α ( σ2 )− 2σ2 dµ Z being a normalizing constant. Introducing the new formal hamiltonian H(η, v) = H0 + X U (xα ) + α∈I |v|2 2 the generator of (ω(t), v(t)) is given by LIOU = SIOU + AIOU (2.34) with SIOU = γ (σ 2 ∆v − v · ∇v ) + X γα σ 2 ∆vα − vα · ∇vα α∈I AIOU = −v · D + DH · ∇v + X (vα · ∇yα − ∇yα H · ∇vα ) α∈I where SIOU and AIOU are respectively symmetric and antisymmetric with respect to the invariant meausre π defined above. The Dirichlet form associated to this generator is given for any φ ∈ D(L) by − hLφ, φi = γσ 2 |∇v φ|2 + σ 2 X γα |∇vα φ|2 . α As in the first part, we define H1 as being the completion of the quotient {φ ∈ D(L)/kφk21 = − hSIOU φ, φi < ∞}/Cst where Cst is the space Cst = {φ(η) ∈ D(D)} p and H̃1 the completion of L2 (π) ∩ H1 for the norm k.k2L2 + k.k21 . We also define the dual spaces of these ones alla lo,ng with their norms, the same way as done in (2.8). 70 System of interacting particles Similarly to the previous section, one can prove the following propositions Proposition 2.3.1 The resolvent equation λuλ − LIOU uλ = l · v (2.35) is satisfied in H̃−1 and has a unique solution uλ in H̃1 for every vector l ∈ Rd and all λ > 0. Moreover, AIOU uλ and SIOU uλ are in H̃−1 . The following inequalities hold 2 λ hu2λ i ≤ |l|2 σγ 2 γ h|∇v uλ |2 i ≤ |l|2 (2.36) X γα2 |∇vα uλ |2 ≤ |l|2 . α∈I Proposition 2.3.2 We have lim λ u2λ = 0 λ→0 (2.37) Furthermore, there exists (ξα )α∈I0 in (L2 (π))d such that for all α ∈ I0 lim |∇vα uλ − ξα |2 = 0 λ→0 and X |ξα |2 < ∞ α∈I0 ♦ Let us extract a subsequence λn such that ∇v uλn and all the ∇vα uλn converge weakly in L2 respectively to ξ and ξα (such a subsequence exists because I is countable). Let us decompose uλ in its even and odd parts in all the velocities, i.e. ûλ (yα , vα , v) = uλ (yα , vα , v) + uλ (yα , −vα , −v) 2 ǔλ (yα , vα , v) = uλ (yα , vα , v) − uλ (yα , −vα , −v) . 2 Using the fact that SIOU has a positive spectral gap γ∗ thanks to (2.32), we have 1 |l|2 σ 2 ǔ2λ ≤ − hSIOU ǔλ , ǔλ i ≤ γ∗ γ∗ Comparison between the diffusion coefficients 71 Where γ∗ has been defined in (2.32). Then, using the same argument as in the previous section, we have X γα |ξα |2 = hl · ξi . γ |ξ|2 + α∈I We can complete the proof of the strong convergence of the subsequences as in (2.27), and then the unicity of the limits as in (2.28). ♦ Then, the following theorem follows as in the previous section Theorem 2.3.1 The process εx(ε−2 t) converges weakly in π -probability to a Brownian motion whose diffusion matrix is the only symmetric matrix ΣIOU defined by X l · ΣIOU l = γα σ 2 |ξα,l |2 = σ 2 hl · ξl i . α∈I0 2.4 Comparison between the diffusion coefficients In this section, we will show a quantitative difference between the two limit models obtained in the two studied cases : the Brownian case and the Ornstein-Uhlenbeck case. We will also show that these two models go to the same limit as γ goes to infinity. 2.4.1 Quantitative comparison Let us remind that the diffusion matrix in the Brownian case is defined for all l ∈ Rd by the following variational formula l · ΣM B l = σ2 σ2 |l − ζl |2 = γ γ inf |l − Dφ|2 . (2.38) φ∈D(D) where ζl is defined by (1.8). One can prove the following Theorem 2.4.1 ΣOU < ΣM B . (2.39) ♦ Let us introduce SCI(D), the closure of the range of D, precisely the closure in L2 (π) for the strong topology of I(D) = {Dφ, φ(η) ∈ D(D)}. 72 Comparison between the diffusion coefficients Thanks to the variational formula (1.10), we are trying to compare the distance between l and SCI(D), and γ 2 h|ξl |2 i, where ξl is defined by (2.21). Using (2.25), we know that γ |ξl |2 = hl · ξl i and then 2 γ |ξl | (2.40) Z = l · ξl G(dv) R Let us go back to (2.11) and integrate it with respect to G(dv) Z Z −2 λ hλβ G(dv) +β(σ DV − D) · D hλβ G(dv) R R +(DV − σ 2 D) · Z ∇v (hλβ )G(dv) = 0 R which implies, taking the limit in β and then in λ Z 2 (DV − σ D) · ξl G(dv) = 0 R or equivalently, for all φ ∈ D(D) Z ξl G(dv) · Dφ = 0. (2.41) R Moreover we have Z l · γ ξl = γ 2 |ξl |2 R hl · ζl i = |ζl |2 Z ξl G(dv)⊥ζl γ R The last one is a consequence of (2.41) as ζl ∈ SCI(D). Then, Pythagoras’ theorem shows |ζl |2 + γ 2 |ξl |2 ≤ |l|2 As it it obvious that |ζl |2 + |l − ζl |2 = |l|2 we obtain γ 2 |ξl |2 ≤ |l − ζl |2 . (2.42) Comparison between the diffusion coefficients 73 Let us suppose we have an equality in (2.42). This means that Z ξl G(dv) = l − ζl γ R and then |l − ζl |2 = γ 2 *Z 2 + = γ 2 |ξl |2 ξl G(dv) (2.43) R But Jensen’s inequality gives *Z 2 ξl G(dv) + ≤ |ξl |2 R and this inequality can be an equality if and only if ξl is independant on v. From now on, we suppose that (2.43) is verified. Let us write X hλβ (η, v) = cn1 ...nd λβ (η)Hn1 ...nd (v/σ) (n1 ,...nd )∈Nd the expansion of hλ,β with respect to the Hilbert’s basis of Hermite’s polynomials defined by H0 (x) = 1 H1 (x) = x x Hn+1 (x) = √ Hn (x) − n + 1 √ 0 Hn (x) = nHn−1 (x) r n Hn−1 (x) n+1 (2.44) in dimension 1 and Hn1 n2 ..nd (x) = d Y i=1 Hni (xi ) (2.45) 74 Comparison between the diffusion coefficients in dimension d. We will also use the following notations : c0λβ = c0...0λβ (k) c1λβ = c0...010...0λβ where the “one” is in k-th position (1) (d) C1λβ = (c1λβ , ..., c1λβ ) ∈ Rd (k) c2λβ = c0...020...0λβ where the “two” is in k-th position (ij) c2 = c0.1.0.1.0λβ where the “ones” are in i-th and j-th positions The other notations used after can be easily deduced from these ones. Using these notations, by (2.11) and (2.44), we obtain the following system λc0λβ −(σD · C1λβ − σ −1 DV · C1λβ ) 2 2 −βeV /σ D · (e−V /σ Dc0λβ ) = 0 (a) and ∀k ∈ {1, ..., d} √ (k) (k) (k) (λ + γ)c1λβ −σDk c0λβ − 2(σDk c2λβ − σ −1 Dk V c2λβ ) X −1 ik − (σDi cik (bk ) 2λβ − σ Di V c2λβ ) i6 = k 2 2 (k) −βeV /σ D · (e−V /σ Dc1λβ ) = σlk There are infinitely many other equations which we will not use, so we do not write them. The following results come straight from previous ones : – From (2.13), we deduce β |Dhλβ |2 ≤ σ2 σ2 2 |l| ⇒ ∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd , β |Dcn1 ...nd λβ |2 ≤ |l|2 γ γ – as hλβ converges weakly when β goes to 0 ∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd , ∃cn1 ...nd λ ∈ L2 (π) cn1 ...nd λβ * cn1 ...nd λ β→0 weakly in L2 (π) Comparison between the diffusion coefficients 75 – thanks to strong convergence of ∇v hλ , ∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd such that n1 + ... + nd ≥ 1 ∃cn1 ...nd ∈ L2 (π) lim (cn1 ...nd λ − cn1 ...nd )2 = 0 λ→0 – and thanks to λ hh2λ i → 0 ∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd , λ c2n1 ...nd λ → 0 One can see that (2.25) is equivalent to X (n1 + ... + nd )γ c2n1 ...nd = σ hl · C1 i (n1 ,...,nd )∈Nd and implies γ |C1 |2 ≤ σ hl · C1 i . and then that (2.43) implies c2n1 ...nd λ → 0 ∀(n1 , ..., nd ) such that n1 + ... + nd ≥ 2 (2.46) Let us consider a function φ(η, v) in D(D). Then (2.11) implies λ hhλβ , φi +γσ 2 h∇v hλβ · ∇v φi + hhλβ − c0λβ , v · Dφ − DV ∇v φi (2.47) +β hDhλβ · Dφi = hl · v, φi + σ 2 hDc0λβ · ∇v φi Thanks to (2.46), one can assert that hλ − c0λ → C1 · v σ and ∇v hλ =→ C1 σ strongly in L2 . But the equations (bk ) alltogether with (2.46) imply λ→0,β→0 hDc0λβ · ∇v φi −→ γ hC1 · ∇v φi − hl · ∇v φi σ 76 Comparison between the diffusion coefficients Taking the limit twice in (2.47), we have hv · C1 , v · Dφ − DV · ∇v φi = 0 ⇔ hv · D(v · C1 ) − DV · ∇v (v · C1 ), φi = 0 for all φ, and this implies v · D(v · C1 ) − DV · ∇v (v · C1 ) = 0. As C1 = ξl is independant on v, this is equivalent to v · D(v · ξl ) − DV · ξl = 0. which is impossible as ξl does not depend on v. Therefore, (2.42) is a strict inequality and the proof of theorem 2 is done. ♦ 2.4.2 Asymptotic comparison The purpose of this section is to prove the following asymptotic result Theorem 2.4.2 lim γ(ΣM B − ΣOU ) = 0 γ→∞ (2.48) In all the following, we will explicitly denote the dependance in γ of all the variables considered in this chapter (for instance, L(γ), hλ (γ), etc...). The following lemma holds Lemma 2.4.1 There exists a vector-valued function a with |a| ∈ L2 (π) such that lim |γξ(γ) − a|2 = 0 (2.49) γ→∞ ♦ Let γ > γ 0 be two positive real numbers, and let us consider the resolvent equations (2.9) associated to the operators L(γ) and L(γ 0 ). We obtain the following equation (λ − L(γ))hλ (γ) = (λ − L(γ 0 ))hλ (γ 0 ). (2.50) Multiplying (2.50) by hλ (γ) and hλ (γ 0 ), and adding these two equations, we obtain λ hhλ (γ)2 + hλ (γ 0 )2 i + σ 2 (γ h|∇v hλ (γ)|2 i + γ 0 h|∇v hλ (γ 0 )|2 i = 2λ hhλ (γ), hλ (γ 0 )i + (γ + γ 0 )σ 2 h∇v hλ (γ) · ∇v hλ (γ 0 )i Comparison between the diffusion coefficients 77 Letting λ go to 0, we find γ |ξ(γ)|2 + γ 0 |ξ(γ 0 )|2 = (γ + γ 0 ) hξ(γ) · ξ(γ 0 )i (2.51) Then, applying Cauchy-Schwarz inequality in (2.51) γ |ξ(γ)|2 + γ 0 |ξ(γ 0 )|2 ≤ (γ + γ 0 ) |ξ(γ)|2 Or equivalently γ |ξ(γ)|2 1 2 − γ 0 |ξ(γ 0 )|2 1 2 1 2 1 2 |ξ(γ)|2 ≤ |γ 0 ξ(γ 0 )|2 . |ξ(γ 0 )|2 − |ξ(γ 0 )|2 1 2 1 2 (2.52) ≤ 0. As γ 0 > γ, we obtain |γξ(γ)|2 Therefore h|γξ(γ)|2 i is increasing in γ. But (2.10) implies |γξ(γ)|2 ≤ |l|2 And then h|γξ(γ)|2 i converges to some real u2 ≤ |l|2 as γ goes to infinity. Let us now consider the following quantity h|γξ(γ) − γ 0 ξ(γ 0 )|2 i = h|γξ(γ)|2 i + h|γ 0 ξ(γ 0 )|2 i −2 hγξ(γ) · γ 0 ξ(γ 0 )i = |γξ(γ)|2 + |γ 0 ξ(γ 0 )|2 − (2.53) 2γ 0 h|γξ(γ)|2 i − 2γ h|γ 0 ξ(γ 0 )|2 i γ + γ0 We used here the equation (2.51). (2.53) implies lim γ,γ 0 →∞ |γξ(γ) − γ 0 ξ(γ 0 )|2 = 0 and the Cauchy criterium proves the existence of a. ♦ Let us introduce the range I(D) of D, more precisely I(D) = {Dφ, φ(η) ∈ D(D)} We will denote by SCI(D) (respectively WCI(D)) the closure of I(D) with respect to the strong (respectively weak) topology. A usual result is SCI(D) ⊂ WCI(D). But as I(D) is a subspace of L2 (π), we have in fact SCI(D) = WCI(D). 78 Comparison between the diffusion coefficients The following important proposition holds Proposition 2.4.2 l − a ∈ SCI(D). (2.54) ♦ Let us go back to equation (2.11) and integrate it with respect to vG(dv). We obtain Z Z (λ + γ) ∇v hλβ (γ)G(dv) − D hλβ (γ)G(dv) Rd +D ∗ Rd Z v · ∇v hλβ (γ)G(dv) (2.55) Rd Z ∗ +β(D · D) ∇v hλβ (γ)G(dv) = l Rd where D∗ = σ −2 DV − D is the adjoint of D with respect to π. Then for all bounded vector valued φ(η) in D(D∗ · D) Z l−a+D hλβ (γ)G(dv) · φ Rd = Z (λ + γ) ∇v hλβ (γ)G(dv) − a · φ Rd v · ∇v hλβ (γ)G(dv), D · φ Z + Rd Z +β ∇v hλβ (γ)G(dv) · (D · D)φ . ∗ Rd Making first β go to 0, then λ, and then γ to ∞, one can see that Z l−a+D hλβ (γ)G(dv) −→ 0 Rd β→0, λ→0, γ→∞ weakly in L2 (π). Then, as Z hλβ (γ)G(dv) ∈ I(D) D Rd we have l − a ∈ WCI(D) = SCI(D). ♦ Comparison between the diffusion coefficients 79 It is now very easy to prove (2.48). Indeed, (2.39) proves that |γξ(γ)|2 < |l − Dφ|2 inf φ∈D(D) and then |a|2 ≤ inf |l − Dφ|2 = δ 2 φ∈D(D) Notice that δ 2 is the square of the distance between l and I(D). But as l − a ∈ SCI(D), we have necessarily |a|2 = |l − (l − a)|2 ≥ δ2 And then |a|2 = inf φ∈D(D) which is exactly (2.48). |l − Dφ|2 Partie 3 Superdiffusive behaviour of Ornstein-Uhlenbeck processes in a turbulent Shearflow In this chapter, we are interested in the study of the diffusion of a passive particle with positive mass by a divergence free velocity field. We consider here the very simple turbulent shear flow case, in which we will prove the superdiffusive behaviour of the motion for large enough values of the energy spectrum of the velocity field. For small values, the proof of the diffusive behaviour of the model is also new, and it is shown that this diffusion is strictly greater than the one obtained with a non-massive particle. One interesting point to insist on is that we are able to obtain explicit macroscopic equations even without having the stationary measure of the studied processes. The superdiffusive behaviour of a non-massive tracer in a turbulent divergence free flow has been studied many times, see for instance [2], [3], [4], or [20] in the case of a discrete energy spectrum. For a study in a non-stratified case, see [14]. In the diffusive cases, one can prove a very general result, see [13] or [15]. 3.1 3.1.1 Introduction Random flows and energy spectrum Let (Ω, F, P ) be a probability space and γ(t, x, ω) a random vector field over Ω. We suppose that γ is stationary (in space and time) and ergodic (in the sense defined in the introduction of this thesis) and describes a random 82 Introduction flow in a specified environment. We can suppose the existence of an ergodic, measure preserving, stochastically continuous group (τx,t )(x,t)∈Rd ×R acting on Ω such that for almost all ω and every (x, t) γ(t, x, ω) = γ(τx,t ω) where γ(ω) = γ(0, 0, ω). The stochastic continuity of (τx,t ) implies that the group of unitary operators defined on L2 (P ) by U t,x f (ω) = f (τx,t ω) is strongly continuous over L2 (P ). Then, thanks to the spectral theorem, there exists an orthogonal projection valued measure E(dh, dk) (see for instance [23]) such that for any f ∈ L2 (P ) Z t,x U f= ei(ht+kx) E(dh, dk)f. R×Rd For any f ∈ L2 (P ), we can define its spectral measure fˆ as the random measure over R × Rd defined for any measurable A ⊂ R × Rd by fˆ(A) = E(A)f. The energy spectrum ef of f will be defined by ef (A) = kfˆ(A)k2L2 . In all the following, we will consider the flow γ in terms of its energy spectrum. 3.1.2 Kolmogorov statistics A steady velocity field γδ (x) is said to follow Kolmogorov statistics if its energy spectrum is absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure and if its density is given up to a constant by Fδ (k) = |k|1−d−5/3 1[δ,1] (k). δ is a positive real number, related to the Reynolds number Re, introduced by Osborne Reynolds ([24]) to characterize the turbulence of a fluid (the greater the Reynolds number is, the more turbulent the fluid is). In fact, we have δ = Re−3/4 , so that δ goes to 0 when Re goes to infinity, i.e. when the fluid becomes fully turbulent. Introduction 83 In the unsteady case, the Kolmogorov statistics have the following energy spectrum density up to a constant ω 1−d−5/3 −2/3 Fδ (k, ω) = |k| |k| φ 1[δ,1] (k) |k|2/3 where φ is a probabilty density over R. We will here suppose that our velocity field statistics are a generalization of Kolmogorov statistics. 3.1.3 Objects and notations Let us consider the following simple two-dimensional model : the so-called Ornstein-Uhlenbeck process in a random velocity field depending only on the X direction and acting only on the Y direction. This process is solution of the following system of stochastic differential equations dXt = ut dt √ σdut = −ut dt + µ dβt (3.1) dYt = vt dt √ τ dvt = −vt dt − γδ (Xt , t)dt + ν dβt0 with initial conditions X0 = Y0 = 0. u0 and v0 are fixed and deterministic, β and β 0 are standard independant brownian motions and µ and ν are positive real numbers representing the bare diffusivity, also called molecular diffusivity. The parameters σ, τ, µ, ν, are strictly positive but in a small discussion at the begining of this chapter, we consider briefly the other cases. Note that it is interesting here to consider the µ 6= ν case, which allows us to make some qualitative remarks. In the steady case, γδ is the gaussian centered field Z 1−ε 1 1/2 1/2 γδ (x) = √ eikx |k| 2 ψ0 (δ −1 |k|)ψ∞ (|k|)dwk (3.2) 2π R with covariance 1 hγδ (x)γδ (x )i = 2π 0 Z e R ik(x−x0 ) 1−ε |k| ψ0 |k| δ ψ∞ (|k|)dk (3.3) 84 Introduction where wk denotes a gaussian complex white noise verifying hdwk dw̄k0 i = δ(k + k 0 )dk. h.i denotes the expectation with respect to the distribution of γδ , Eu0 ,v0 denotes the expectation with respect to the joint distribution of β and β 0 with ut and vt starting at u0 and v0 . All of the previous random objects are chosen independent. ψ0 and ψ∞ are respectively infrared and ultraviolet cut-offs, defined above [0, ∞). They verify 0 ≤ ψi ≤ 1, and there exists k0 , k1 real numbers such that 0 < k0 < k1 and ψ0 (k) = 0 if k < k0 , ψ1 (k) = 0 if k > k1 . At last, ψ0 goes to 1 at ∞, and ψ∞ is continuous at 0 and ψ∞ (0) = 1. Notice that Kolmogorov statistics correspond to ε = 8/3. In the unsteady case, γδ is the gaussian centered field Z 1−ε (a|k|z )1/2 1 ei(kx+ωt) |k| 2 √ γδ (x, t) = √ π(iω + a|k|z ) 2π R2 (3.4) 1/2 1/2 ψ0 (δ −1 |k|)ψ∞ (|k|)dwk dwω0 with the same notations, z and a being positive parameters, and wk and wω0 verifying hdwk dw̄k0 dwω0 dw̄ω0 0 i = δ(k + k 0 )δ(ω + ω 0 )dkdω. The covariance in this case is given by Z 1 0 0 0 0 ei[k(x−x )+ω(t−t )] |k|1−ε hγδ (x, t)γδ (x , t )i = 2π R2 (πa|k|z )−1 |k| ψ∞ (|k|)dkdω 2 ψ0 δ ω 1 + a|k|z (3.5) Kolmogorov statistics are obtained for ε = 8/3, z = 2/3 and φ(s) = 1 . π(1 + s2 ) In the rest of the chapter, we will use the following notation |k| 1−ε F̂δ,ε (k) = |k| ψ0 ψ∞ (|k|) δ for the energy spectrum density of the field in the steady case. (3.6) Main Results 85 Let us notice that the definitions (3.2) and (3.4) give a global Lipschitz condition in x for γδ (x) (respectively γδ (x, t)) so that we are ensured of the existence of a unique strong solution of equation (3.1) for all t ≥ 0 without explosion. Let us also introduce the infinitesimal generator Lδ of the Markov process (X, Y, u, v) Lδ = 1µ 2 v γδ (x) ν 2 u ∂ + ∂v + u∂x + v∂y − ∂v . ∂ + ∂ − u u v 2 2 2 σ τ σ τ τ The main problem that arises when studying this process in that the invariant measure in not explicitly known. Though, the following results can be obtained. 3.2 3.2.1 Main Results Results in the steady case Let ρ be a positive real number and let Tδ be the solution of ∂t Tδ (x, y, u, v, t) = Lδ Tδ (x, y, u, v, t) with initial condition Tδ (x, y, u, v, 0) = T0 (δx, δy) For any fixed ε in R, we are looking for the existence of a suitable scaling factor ρ(δ, ε) so that the following limit exists x y ρ2 u ρ2 v t , , , , T̄ (x, y, u, v, t) = lim Tδ δ→0 δ δ δ δ ρ2 (3.7) and we also want to compute the equation verified by T̄ (in fact we will need to restrain ourselves to ε ≤ 4). We will show the three following theorems Theorem 3.2.1 When ε < 0, under a diffusive space-time scaling ρ=δ 86 Main Results the function T̄ defined by (3.7) does not depend on u and v, and verifies the following simple diffusion equation µ 2 ν + D(ε) 2 ∂t T̄ = ∂ + ∂y T̄ 2 x 2 with 1 D(ε) = π Z 1−ε dk|k| Z ψ∞ (|k|) +∞ e− k2 µσ (s/σ−1+e−s/σ ) 2 ds. (3.8) 0 R Theorem 3.2.2 When 2 < ε < 4, the suitable value for ρ is ρ = δ 1−ε/4 and T̄ does not depend on u and v and verifies the equation 1 ∂t T̄ = tD(ε)∂y2 T̄ 2 with 1 D(ε) = π Z |k|1−ε ψ0 (|k|)dk. R Theorem 3.2.3 When 0 < ε < 2, the suitable value for ρ is 1 ρ = δ 1+ε/2 . For fixed α > 0, we introduce the solution Tα of ε tε/2 µε/2−1 2 √ ∂t Tα = 1 + α∂y Tα . 2 8π Then, one can show that T̄ does not depend on u and v and verifies the equation Z ∞ T̄ (x, y, t) = Tα (x, y, t)νε (dα) 0 for a suitable measure νε which will be defined in the proof. Comparison with the brownian motion case Let us recall the following results, which are all contained in the article [1] by M. Avellaneda and A. Majda, and which inspired this chapter. Main Results 87 Proposition 3.2.1 Using the same notations as previously, let us consider the following system √ X̃t = µβt √ dỸt = −γδ (X̃t )dt + νdβt0 and let us introduce L̃δ the generator of (X̃, Ỹ ) 1 L̃δ = (µ∂x2 + ν∂y2 ) − γδ (x)∂y 2 and T̃δ the solution of ∂t T̃δ (x, y, t) = L̃δ T̃δ (x, y, t) with initial condition T̃δ (x, y, 0) = T̃0 (δx, δy). We are also looking for a suitable scaling factor ρ(δ, ε) such that x y t ¯ , , T̃ (x, y, t) = lim T̃δ δ→0 δ δ ρ2 exists. Then - For ε < 0, ρ = δ, the limit exists and verifies " # µ ν + D̃(ε) ∂t T̃¯ = ∂2 + ∂y2 T̃¯ 2 x 2 with Z 2 dk|k|−1−ε ψ∞ (|k|). D̃(ε) = µπ R - In all the other cases, i.e. 0 ≤ ε < 4, the suitable values for ρ are the same in the two models, and the limit T̃¯ verfies exactly T̃¯ = T̄ . It is interesting to notice that the two models have the same behaviour under space-time rescaling, with the same scaling factors. In the diffusive case, we have a quantitative difference between the two limits, as it is easy to show that for all σ > 0 D̃(ε) < D(ε), (3.9) while this difference vanishes in the superdiffusive cases. It is a quite surprising fact that this inequality shows up to be exactly the opposite as the one obtained in the stationary potential case, see the previous chapter theorem (2.4.1). One can still explain (3.9) because of the superior inertia of the Ornstein-Uhlenbeck process which makes it less sensitive to a turbulent environment. 88 Main Results The reader will also notice that simply making σ = 0 in the superdiffusive cases do not change the proof, and the results for the massless particle are included in those for a massive particle in these cases. Case of the other values of ε. The interested reader will show the following assertions Proposition 3.2.2 For ε = 0, the suitable scaling factor is p ρ = δ log(−δ) and the effective diffusion equation for T̄ is µ ∂t T̄ = ∂y2 T̄ . π For ε = 2, the suitable scaling factor is ρ = δ 1/2 log(−δ)1/4 and the effective diffusion equation for T̄ is t 2 ∂ T̄ . ∂t T̄ = 4π y These results are the same for the Brownian motion case ([1]). 3.2.2 The time dependant case The interested reader will easily treat the case where γδ is not stationnary, referring to this chapter and the article by M. Avellaneda and A. Majda ([1]). Let us give here the result formally in the diffusive case. Theorem 3.2.4 When ε < 0 for z ≥ 2, or ε ≤ 2 − z for 0 < z < 2, under a diffusive space-time scaling ρ=δ the function T̄ defined by (3.7) does not depend on u and v, and verifies the following simple diffusion equation µ 2 ν + D(ε, z) 2 ∂t T̄ = ∂ + ∂y T̄ 2 x 2 with 2 D(ε, z) = π Z 0 Z +∞ e− 1−ε dk|k| ψ∞ (|k|) R k2 µσ 2 µ|k|2 + a|k|z 2 −1 (3.10) (s/σ−1+e−s/σ ) ds. Preliminary calculus 89 Inequality (3.9) stands also in this case when comparing the Brownian and the Ornstein-Uhlenbeck models. Let us sum up in the next table the results obtained in all the cases. The regions are those showed in figure 1. Please refer to [1] for further details. Region 1 2 3 4 5 3.2.3 Scaling Factor ρ=δ 4−ε−z ρ=δ 2 ε ρ = δ 1− 4 z 1 ρ = δ 2 ( (z−1)+ε/2 ) 1 ρ = δ 1+ε/2 Variance X2 ∼ T 2 X 2 ∼ T 4−ε−z 1 X 2 ∼ T 1−ε/4 ε−2 X2 ∼ T z ε X 2 ∼ T 1+ 2 Dependance on the various parameters The parameter τ . As one can notice, none of the diffusion equations depend on the parameter τ . Referring to the previous remark, this means that an intermediate model, where X would be an Ornstein-Uhlenbeck process and Y a simple brownian motion in a random velocity field γδ would not be treated differently as the model proposed in this chapter. Making τ = 0 would only imply obvious changes. The parameters µ and ν. In the superdiffusive cases ε ≥ 0, there is no explicit dependance on the parameter ν, while in the diffusive case, this dependance is not significant, while making ν = 0 does not change the model. In fact, it is not necessary to introduce a pertubation term for the Y coordinate to obtain a valid model. On the contrary, making µ = 0 would force the X coordinate to stay in a bounded layer and then, one would not observe any diffusion under space-time rescaling. 3.3 Preliminary calculus Before we begin to prove the theorems, let us make some easy calculus which will be useful in all of the cases. We have thanks to Feynman-Kac formula x y ρ2 u ρ2 v t , , , , = hEρ2 δ−1 u,ρ2 δ−1 v [T0 (δXρ−2 t + x, δYρ−2 t + y)]i . Tδ δ δ δ δ ρ2 90 Preliminary calculus Fig. 3.1 – The five regions with different behaviour for the rescaled process. In order to simplify the notations, we will write in all the following calculus Eρ2 δ−1 u,ρ2 δ−1 v = E. Introducing the Fourier transform T̂0 of T0 , we obtain hE [T0 (δXρ−2 t + x, δYρ−2 t + y)]i = 1 2π ZZ (3.11) iηx+iξy T̂0 (η, ξ)e E eiηδXρ−2 t +iξδYρ−2 t dηdξ. R2 On the other hand, one can verify that √ t/σ d(e ut ) = e t/σ µ dβt σ Preliminary calculus 91 so that ut = δue −t/σ √ Z t µ + e(s−t)/σ dβs . σ 0 (3.12) The same calculus shows that we have vt = δve −t/τ t Z 1 − τ e (s−t)/τ 0 √ Z t ν γδ (Xs + x/δ)ds + e(s−t)/τ dβs0 τ 0 and (3.1) implies √ dYt = −τ dvt − γδ (Xt )dt + νdβt0 so that Z Yt = δτ v − τ vt − t γδ (Xs + x/δ)ds + √ νβt0 0 = (1 − e −t/τ Z )δτ v − t (1 − e(s−t)/τ )γδ (Xs + x/δ)ds (3.13) 0 √ + ν t Z (1 − e(s−t)/τ )dβs0 0 Now, going back to (3.11), we obtain finally the following formula hE [T0 (δXρ−2 t + x, δYρ−2 t + y)]i 1 = 2π ZZ * " dηdξ T̂0 (η, ξ)eiηx+iξy E e iηδX ρ−2 t R2 √ iξδ ν 0 ×e ×e s−ρ−2 t)/τ 1−e( R ρ−2 t iξτ ρ2 1−e−ρ −iξδ ×e R ρ−2 t 0 −2 t/τ dβs0 (3.14) v s−ρ−2 t /τ 1−e( ! ) ! γδ (Xs +δ −1 x)ds + . 92 The diffusive case : ε < 0 3.4 The diffusive case : ε < 0 In this section, we will suppose that ε is a fixed negative real number. In this case, one can see that the integral Z dk 1−ε |k| ψ∞ (|k|) 2 R k is convergent. Then, reffering to [1] or [13], we expect that a simple diffusive scaling ρ = δ will be suitable and that T̄ will verify a simple diffusion equation of the form µ 2 ν + D(ε) 2 ∂ + ∂y T̄ ∂t T̄ = 2 x 2 where D(ε) depends only on µ, σ, ε and ψ∞ . We will prove this result and then try to compute the value of D(ε) using an other means. It will then be quite easy to show that this diffusion coefficient is strictly greater than its equivalent in [1]. 3.4.1 The trivial terms From now on, let us consider that ρ = δ. Going back to (3.14), we see that we have several terms to study, but it is quite easy to show that Z δ−2 t (s−δ −2 t)/τ δ 1−e dβs0 → βt0 0 in distribution when δ goes to 0. It is also clear that δ 2 (1 − e−δ −2 t/τ )v → 0 pointwise in v when δ goes to 0. It is not more difficult to show that Z δ−2 t −δ −2 t/τ δe es/τ γδ (Xs + δ −1 x)ds → 0 0 2 in L when δ goes to 0, using the following calculus * 2 + Z δ−2 t −2 E δe−δ t/τ es/τ γδ (Xs + δ −1 x)ds 0 −2 t/τ δ 2 e−2δ = 2π Z δ 2 −2δ−2 t/τ ≤ e 2π δ −2Z t δ −2 t 0 dsds e 0 0 Z e 0 !2 Z δ −2 t s/τ ik(Xs −X 0 ) 1−ε |k| s E e |k| ψ0 ψ∞ (|k|)dk δ R Z s+s0 τ ds R |k|1−ε ψ∞ (|k|)dk The diffusive case : ε < 0 93 Eventually, using Lebesgue’s dominated convergence theorem and the independance of the various random objects, we only have to show that the following quantity R −2 iδ(ηXδ−2 t −ξ 0δ t γδ (Xs +x/δ)ds E e has a limit when δ goes to 0, and we must compute this limit. 3.4.2 Introduction of a useful martingale Let us introduce the solution Uδ (x, u) of the following partial differential equation µ 2 1 ∂ − u∂u + u∂x Uδ (x, u) = γδ (x) (3.15) 2σ 2 u σ Considering the definition (3.2) of γδ , we define fk as Z 1−ε 1 1/2 1/2 (|k|)dwk . eikx fk (u)|k| 2 ψ0 (|k|/δ)ψ∞ Uδ (x, u) = √ 2π R (3.16) Then fk verifies µfk00 − 2σufk0 + 2ikσ 2 ufk = 2σ 2 . (3.17) We choose for fk the solution of (3.17) with initial conditions fk (0) = 0 fk0 (0) = 0 We have the following lemma Lemma 3.4.1 Z ∞ 2σ 3 8σ 2 du 0 2 −σu2 /µ p ≤ + |f (u)| e k µ µ2 k 2 −∞ πµσ −1 Z ∞ −∞ |fk (u)|2 e−σu 2 /µ (3.18) du 12σ 16 p ≤ 2σ 2 + 2 + 2 4 −1 µk µk πµσ for all k > 0. ♦ Let us introduce the following scalar product for all suitable functions φ, ψ Z ∞ du 2 [[φ, ψ]] = φ(u)ψ(u)e−σu /µ p . πµσ −1 −∞ 94 The diffusive case : ε < 0 One can see that the differential operator Sφ(u) = µφ00 (u) − 2σuφ0 (u) (3.19) is symmetric for [[.]] and that [[Sφ, ψ]] = −µ [[φ0 , ψ 0 ]] . Let us also notice that for any φ [[uφ]] = µ [[φ0 ]] . 2σ At last, it is easy to show that the real part of fk , R(fk ), is even, and that its imaginary part I(fk ) is odd. Then we have, applying [[.]] to (3.17) [[fk0 ]] = − 2σi µk (3.20) and multiplying (3.17) by f¯k and applying [[.]] −µ |fk0 |2 = 2σ 2 f¯k = 2σ 2 [[fk ]] . Now, let us multiply (3.17) by u and apply once again [[.]] − [[fk0 ]] + ikσ [[ufk0 ]] + ikσ [[fk ]] = 0 so that [[fk ]] = − 2 − [[ufk0 ]] µk 2 and then, using Shwarz inequality 2σ 2 µ 0 2 2σ 2 2 0 + σ [[uf ]] ≤ + |fk | = k 2 µk 2 µk 2 r µσ 3 0 2 1/2 |fk | 2 which gives easily 0 2 2σ 3 8σ 2 |fk | ≤ + 2 2. µ µk Now, using Poincaré’s inequality, considering that the spectral gap of the operator S defined by (3.19) is equal to 2σ, we have µ 0 2 2 µ 0 2 fk + 2 |fk | ≤ |fk | 2σ 2σ The diffusive case : ε < 0 95 so 2 2 µ µ2 µ 0 2 |fk | + 2 [[R(fk )]] |fk0 |2 + 4 |fk0 |2 |fk | ≤ σ 4σ 2σ and then 2 2 µ2 12σ µ 0 2 16 ≤ 2 + 2 + 2 4. ♦ ≤ |fk | |fk | + 4 |fk0 |2 2σ 4σ µk µk This lemma will allow us to write all the following integrals and expectations. Let us remark that (3.20) also shows that 0 2 4σ 2 |fk | ≥ 2 2 µk and consequently, one will easily verify that the following results cannot be extended to the ε ≥ 0 cases. Using Ito’s formula, we obtain Z δ ηXδ−2 t − ξ ! δ −2 t γδ (Xs + x/δ)ds = −ξδUδ (Xδ−2 t + x/δ, uδ−2 t ) 0 (3.21) +ξδUδ (x/δ, δu) +M̃δ (t) + ηδXδ−2 t where M̃δ is the martingale σ M̃δ (t) = δ √ µ δ −2 t Z ξ∂u Uδ (Xs + x/δ, us )dβs 0 As we have Xt = √ µβt − σut + δσu We introduce the martingale δ −2 t Z Mδ (t) = δ √ 0 σ µη + ξ √ ∂u Uδ (Xs + x/δ, us ) dβs µ with quadratic variation Qδ (t) = δ 2 Z 0 δ −2 t √ 2 σ µη + ξ √ ∂u Uδ (Xs + x/δ, us ) ds µ 96 The diffusive case : ε < 0 and (3.21) becomes ! δ −2 t Z δ ηXδ−2 t − ξ γδ (Xs + x/δ)ds = −ξδUδ (Xδ−2 t + x/δ, uδ−2 t ) 0 +ξδUδ (x/δ, δu) + Mδ (t) (3.22) +ησδuδ−2 t + δ 2 σu Qδ verifies E[hQδ (t)i] δ −2 t Z =δ 2 0 Z ξ 2σ2 1−ε 0 2 2 dk|k| ψ0 (|k|/δ)ψ∞ (|k|)E[|fk (us )| ] ds µη + 2πµ R ξ 2σ2 = η µt + 2πµ 2 Z 1−ε dk|k| Z ψ0 (|k|/δ)ψ∞ (|k|) (3.23) t E[|fk0 (uδ−2 s )|2 ]ds. 0 R Notice that, as ut is a gaussian process with variance µ (1 − e−2t/σ ) 2σ (see (3.12)), the existence of all those integrals are ensured by (3.18). 3.4.3 Asymptotic behaviour of ut The following lemma holds Lemma 3.4.2 When t goes to infinity, ut converges almost surely to a gaussian centered random variable u∞ with variance µ/2σ. Moreover, for all t ≥ 0, the variance of ut is less than µ/2σ. ♦ Referring to (3.12), we have ut = δue −t/σ √ Z t µ e(s−t)/σ dβs . + σ 0 Let Ft be the filtration generated by ut . We have for all 0 ≤ t ≤ t0 √ Z t −t0 /σ −t0 /σ µ E[ut0 |Ft ] = δue +e es/σ dβs ≤ ut σ 0 The diffusive case : ε < 0 97 so that ut is a supermartingale. Moreover, one can show that E[(ut − δu)− ] = Z 0 e − σx2 µ(1−e−2t/σ ) r −x p dx ≤ πµ(1 − e−2t/σ )σ −1 −∞ µ < ∞. πσ Then usual theorems about martingale asymptotics prove that ut converges almost surely to a random variable u∞ , and it is obvious that u∞ must be a gaussian centered random variable with variance µ/2σ. ♦ 3.4.4 Asymptotic behaviour of Mδ (t) We are now able to prove the following assertion Proposition 3.4.3 1 hE [T0 (δXρ−2 t , δYρ−2 t )]i → ei 2 (η 2 µ+ξ 2 (ν+D(ε)))t where D(ε) is a positive real number depending on ε, ψ∞ , µ and σ. ♦ As (3.23) shows, E[hQδ (t)i] has an upper bound independent on δ. then, we can assert that Mδ (t) converges in law to a martingale with quadratic variation Q0 (t) = lim Qδ (t). To compute this last limit, we use the ergodic theorem, noticing that ut and eikXt are ergodic. As Z ξ 2σ2 1−ε 0 2 2 dk|k| ψ∞ (|k|)E[|fk (u∞ )| ] E[hQδ (t)i] → t µη + 2πµ R Mδ (t) converges to a brownian motion with diffusion coefficient η 2 µ + ξ 2 D(ε) where σ2 D(ε) = 2πµ Z dk|k|1−ε ψ∞ (|k|)E[|fk0 (u∞ )|2 ]. R Using (3.18), it is easy to show that 2 →0 E |ξδUδ (Xδ−2 t + x/δ, uδ−2 t )| E |ξδUδ (x/δ, δu)|2 →0 when δ goes to 0, so that the limit of (3.22) is now known and the proposition is proved. ♦ 98 The diffusive case : ε < 0 3.4.5 Computation of D(ε) Let us compute D(ε) by evaluating the limit of the variance of δYδ−2 t . Proposition 3.4.4 Z 1 D(ε) = π 1−ε dk|k| Z ψ∞ (|k|) +∞ e− k2 µσ (s/σ−1+e−s/σ ) 2 ds. 0 R ♦ Using (3.13), we manage to compute the variance of δYδ−2 t hV [δYδ−2 t ]i = νt − 2ντ δ 2 (1 − e−δ −2 t/τ ) δ 2 ντ −2 (1 − e−2δ t/τ ) + Iδ (ε, t) + 2 (3.24) where Z tZ Z 2 t2 −s s0 +s s0 −s δ2 δ δ2 − t2 /σ − t2 /σ 2 2 δ δ Iδ (ε, t) = F̂δ,ε (k)dk 1− e 1− e 2π R 0 s ×e −k 2 µσ s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ u2 )e−s µ 2 0 /σ s sh2 2σ ds0 ds. Making an obvious change of variables, one obtains Iδ (ε, t) = Z Z tZ 2t−δ 2 s δ −2 s0 +s t δ2 1 − /σ 2 δ2 F̂δ,ε (k)dk 1− e 2π R 0 δ2 s × 1− e ×e −k As e −k δ −2 s0 −s − t2 2 δ /σ 2 µσ s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ u2 )e−δ µ 2 2 µσ 2 ≤e s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ u2 )e−δ µ −k ≤ e− 2 µσ 2 s/σ−1+e−s/σ −2e−δ k2 µσ (s/σ−3/2+e−s/σ ) 2 −2 s0 /σ −2 s0 /σ −2 s0 /σ s sh2 2σ s sh2 2σ s sh2 2σ ds0 ds. The superconvective ε > 2 case 99 for δ small enough, and for all k 6= 0 Z +∞ Z +∞ 2 k2 µσ 3σ − k 2µσ (s/σ−3/2+e−s/σ ) e ds ≤ e− 2 (s/σ−3/2) ds + 2 0 3σ/2 = 3σ 2 + 2 µk2 the Lebesgue’s dominated convergence theorem applies and we have Z +∞ Z k2 µσ t −s/σ ) 1−ε e− 2 (s/σ−1+e dk|k| ψ∞ (|k|) lim Iδ (ε, t) = ds. ♦ δ→0 π R 0 The proof of theorem 3.2.1 is now complete. 3.5 The superconvective ε > 2 case Let us go back to (3.14). Again, previous works by M. Avellaneda and A. Majda ([1]) let us suppose that the behaviour of the rescaled process will be superconvective. Let us make the hypothesis δ → 0. ρ Under this hypothesis, easy calculus show that δXρ−2 t → 0 2 −2 ρ (1 − e−ρ t/τ )v → 0 Z ρ−2 t −2 δ (1 − e(s−ρ t)/τ )dβs0 → 0 0 Z ρ−2 t −2 e(s−ρ t)/τ γδ (Xs + δ −1 x)ds → 0 δ (3.25) (3.26) 0 all of these convergences holding in L2 and pointwise in x, y, u, v. Considering this, the only remaining term we have to deal with is R −2 iξδ 0ρ t γδ (Xs +δ −1 x)ds E e . Using Fubini’s theorem and the fact that γδ is gaussian, we obtain * + 2 R ρ−2 t R −2 1 2 2 −1 x)ds − ξ δ γ (X +δ s δ ρ t 0 2 −1 . E eiξδ 0 γδ (Xs +δ x)ds = E e (3.27) 100 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case As (3.3) gives the statistics of γδ , we obtain the following equation * Z −2 2+ Z Z −2Z −2 ρ t δ2 ρ t ρ t 0 2 −1 δ = γδ (Xs + δ x)ds dsds eik(Xs −Xs0 ) F̂δ,ε (k)dk 2π 0 0 0 R where F̂δ,ε (k) is defined by (3.6). Let us make the change of variables s := ρ2 s and s0 := ρ2 s0 in the double integral, and then k := k/δ in the other one. We obtain the following equality Z Z −2Z −2 δ2 ρ t ρ t 0 0 eik(Xs −Xs ) F̂δ,ε (k)dk dsds 2π 0 R 0 δ 4−ε = 2πρ4 Z 1−ε |k| Z Z t ψ0 (|k|)ψ∞ (δ|k|) t dsds0 eikδ(Xs/ρ2 −Xs0 /ρ2 ) dk. 0 0 R Using the fact that δXρ−2 t → 0 almost surely, the right scaling factor is ρ = δ 1−ε/4 . (3.28) To ensure that ρ → 0, we see that we need to restrain our study to the case 2 < ε < 4. Then the dominated convergence theorem applies and we obtain R −2 R 1 2 2 1−ε iξδ 0ρ t γδ (Xs +δ −1 x)ds E e → e− 4π ξ t R |k| ψ0 (|k|)dk . Notice that (3.28) is coherent with the hypothesis (3.25). The proof of theorem 3.2.2 is done. 3.6 3.6.1 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case The scale factor For the same reason as in the previous case, we suppose that δ → 0. ρ and then, (3.26) shows again that we only have to study the term R −2 iξδ 0ρ t γδ (Xs +δ −1 x)ds E e (3.29) The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case 101 which, using (3.27), is still equal to R R ρ−2R t ρ−2 t δ2 dsds0 R eik(Xs −Xs0 ) F̂δ,ε (k)dk − 21 ξ 2 2π 0 0 E e . (3.30) √ Let us make the change of variables s := ρ2 s/t, s0 := ρ2 s0 /t, k := k t/ρ. We obtain Z Z −2Z −2 |k| δ2 ρ t ρ t 0 ik(Xs −Xs0 ) 1−ε e |k| ψ0 dsds ψ∞ (|k|)dk = 2π 0 δ R 0 ZZ Z ε kρ t1+ 2 δ 2 1 1 ρ|k| ρ|k| (Xst/ρ2 −Xs0 t/ρ2 ) i√ 1−ε 0 t |k| ψ0 √ ψ∞ √ dk dsds e 2πρ2+ε 0 0 δ t t R This incites us to choose the following scaling ρ 1 ρ = δ 1+ε/2 which is coherent with (3.29). As Xt = √ again the change of variable k := k µ ε ξ 2 t1+ 2 − 4π Z Z1 0 √ µβt − σut + δσu, we have, making 1 Z kρ ρ|k| ρ|k| i√ (Xst/ρ2 −Xs0 t/ρ2 ) 0 1−ε dsds e t |k| ψ0 √ ψ∞ √ dk δ t t 0 R ε ε ξ 2 µ 2 −1 t1+ 2 =− 4π Z 1 Z 1 dsds 0 0 Z e 0 kρ i√ (βst/ρ2 −βs0 t/ρ2 ) t 0 F̂δ,ε (k)dk R where 0 F̂δ,ε (k) 3.6.2 =e kρσ i√ (ust/ρ2 −us0 t/ρ2 ) µt 1−ε |k| ψ0 ρ|k| √ δ µt ψ∞ ρ|k| √ µt . Introduction of a suitable measure Let Bs be the standard Wiener process equal to the almost sure limit of when δ goes to 0. Let us define on R the Borel measure µB via the formula Z Z Z ρ √ β 2 t st/ρ 1 1 g(Bs − Bs0 )dsds0 . g(x)dµB (x) = 0 R 0 One can see that the function Ĝδ (k) = |k|1−ε 1lδ<|k|<δ−1 102 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case belongs to every Lp for 1 ≤ p ≤ ∞, so it has an inverse Fourier transform Gδ (x) which verifies, in the sense of tempered distributions, when δ → 0 C(ε)|x|ε−2 for ε 6= 1 Gδ (x) → G(x) = C(1)δ(x) for ε = 1 where C(ε) is defined by (1−ε) −1/2 C(ε) = 2(2π) sin Γ(2 − ε) for ε 6= 1 2 (3.31) −1/2 C(1) = (2π) In order to achieve the proof of 3.2.3, we will need the two following results Lemma 3.6.1 Let φ be in the Sobolev space H 3/2−λ (R) for all λ > 0, with its Fourier transform continuous and bounded. Then Z lim φ(x)Gδ (x)dx = [G, φ] (3.32) δ→0 R where [., .] denotes the action of a tempered distribution and H s (R) consists in functions φ so that |φ̂|(1 + |k|2 )s/2 ∈ L2 (R). Furthermore, there exist λ and K depending only on ε so that |[Gδ , φ]| ≤ K(kφkH 3/2−λ + kφ̂k∞ ). Proposition 3.6.2 The following assertions hold -The measure µB is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure with density φB -This density is in the Sobolev space H 3/2−λ (R) for all λ > 0 (in particular, it is α-Hölder for any α < 1) and its Fourier transform is continuous and bounded. ♦ The proofs of these technical results are contained in [1], pp. 400– 404. ♦ Then, using these facts and dominated convergence theorem, we have when δ goes to 0 Z Z Z Z1 1 kρ (βst/ρ2 −βs0 t/ρ2 ) 0 i√ 0 F̂δ,ε (k)1lδ<|k|<δ−1 dk → µ̂B (k)Ĝ(k)dk (3.33) dsds e t 0 0 R R The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case 103 Using these properties and Plancherel’s theorem on (3.33), one can easily show that the exponential inside the expactation in (3.30) converges to the following quantities -For 0 < ε < 1 ξ2 − √ t1+ε/2 µε/2−1 C(ε) 8π e Z 1 1 Z 0 |Bs − Bs0 |ε−2 dsds0 0 -For 1 < ε < 2 ξ2 − √ t1+ε/2 µε/2−1 C(ε) 8π e Z R φB (x) − φB (0) dx |x|2−ε The convergence of this integral being ensured by the fact that φB is α−Hölder for α < 1. -For ε = 1 3.6.3 ξ2 − √ t3/2 µ−1/2 φB (0) 8π e The diffusion equation Going back to (3.14), we have proved the following formula ZZ 2 1 − √ξ t1+ε/2 µε/2−1 [G,φB ] i(ηx+ξy) T̄ (x, y, t) = √ e T̂0 (η, ξ)E e 8π dηdξ 2π R2 We introduce the measure dνε (α), which we can call the random diffusivity, as the distribution of the random variable [G, φB ] νε (α) = E [G, φB ] ≤ α Still refering to [1], it is easy to show that νε (α) vanishes for α ≤ 0, and then T̄ verifies Z ∞ T̄ (x, y, t) = Tα (x, y, t)νε (dα) 0 where, for fixed α > 0, Tα is the solution of ε tε/2 µε/2−1 2 √ ∂t Tα = 1 + α∂y2 Tα . 2 8π Proof of theorem 3.2.3 is therefore complete. 104 3.6.4 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case Computation of the effective variance In order to have an idea of the speed of the diffusion in this case, let us compute lim hV [δYρ−2 t ]i . δ→0 Refering to (3.24), we obtain hV [δYρ−2 t ]i = δ2ν ντ δ 2 −2 2 −ρ−2 t/τ (1 − e−2ρ t/τ ) + Iδ (ε, t) t − 2ντ δ (1 − e ) + 2 ρ 2 where Z Z tZ 2 t2 −s s0 +s s0 −s ρ2 ρ δ2 − t2 /σ − t2 /σ 2 2 ρ ρ 1− e Iδ (ε, t) = 1− e F̂δ,ε (k)dk 2π R 0 s ×e −k 2 µσ 2 s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ u2 )e−s µ 0 /σ s sh2 2σ ds0 ds. √ Now, simply by making k := k tµ/ρ, s := ρ2 s, s0 := ρ2 s0 , and applying the dominated convergence theorem, one obtains ε/2−1 Z 2 2µ 1 1−ε −k2 /2 1+ 2ε |k| − (1 − e ) dk t lim hV [δYρ−2 t ]i = . δ→0 π k2 k4 R Annexe Cette annexe va nous permettre d’introduire brièvement les quelques notions et notations qui sont le plus couramment utilisées tout au long de cette thèse. Dans toute la thèse, R désigne le corps des nombres réels, N l’ensemble des entiers naturels. On utilise la lettre d (pour dimension) pour désigner un entier supérieur ou égal à 1. |.| désigne la norme euclidienne sur Rd et · le produit scalaire associé. On supposera connues les notions d’espace probabilisé, de tribu (ou σalgèbre), de filtration, de temps d’arrêt, de processus stochastique adapté à une filtration, d’espérance conditionnelle, de processus gaussien, de mouvement Brownien, d’intégrale stochastique, et d’équation différentielle stochastique. Toutes les filtrations considérées dans cette thèse, même de façon implicite, sont supposées complètes et continues à droite. Pour des références précises sur ces points, voir par exemple [11] ou [8]. Étant donné un espace probabilisé muni de deux tribus F et G vérifiant G ⊂ F, on notera classiquement E[X|G] l’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire X F-mesurable par rapport à G. A.1 A.1.1 Rappels de notions de base Martingales, processus de Markov Donnons tout d’abord les définitions de base de ces deux types de processus stochastiques que nous aurons à considérer dans cette thèse. Des preuves de tous les résultats présentés ici peuvent être consultées dans [11] ou [8]. Définition A.1 Un processus stochastique (Xt ) adapté défini sur un espace probabilisé filtré (Ω, F, (Ft ), P ) à valeurs réelles, et tel que pour tout t ≥ 0, Xt ∈ L1 est appelé : 108 Rappels de notions de base -martingale si pour s < t, E[Xt |Fs ] = Xs ; -surmartingale si pour s < t, E[Xt |Fs ] ≤ Xs ; -sous-martingale si pour s < t, E[Xt |Fs ] ≥ Xs . On a pour les surmartingales l’inégalité importante suivante, dite inégalité de Doob Proposition A.1 Soit (Xt ) une surmartingale telle que Xt ∈ Lp pour tout t, et à trajectoires continues à droite. Alors, si p1 + 1q = 1, on a k sup |Xs |kp ≤ qkXt kp . s≤t On a également le théorème d’arrêt suivant Proposition A.2 Soit X une martingale continue à droite et T un temps d’arrêt. Alors le processus (Xt∧T ) est aussi une martingale. Enfin, notons ce résultat de convergence classique que nous utiliserons aussi Proposition A.3 Soit Xt une surmartingale. Si il existe une constante C indépendante de t ≥ 0 telle que E[(Xt )− ] ≤ C < ∞ alors Xt converge presque sûrement vers une variable X∞ ∈ L1 . Passons maintenant à la définition des processus de Markov. Définition A.2 Soit (Xt ) un processus stochastique adapté défini sur un espace probabilisé filtré (Ω, F, (Ft ), P ) à valeurs dans un espace métrique E. X est un processus de Markov si et seulement si pour tous s et t positifs, et Γ dans l’ensemble B(E) des boréliens de E P[X(t + s) ∈ Γ|Ft ] = P [X(t + s) ∈ Γ|Xt ]. On définit maintenant la fonction de transition d’un processus de Markov Xt . Définition A.3 Une fonction Q : [0, ∞[×E × B(E) → [0, 1] est appelée fonction de transition homogène si elle vérifie les propiriétés suivantes pour tous t, x, Γ : Q(t, x, .) est une probabilité sur B(E) ; Rappels de notions de base 109 Q(0, x, .) = δx (mesure de Dirac en x) ; Q(., ., Γ) est mesurable en t et x ; et de plus : Z Q(t + s, x, Γ) = Q(s, y, Γ)Q(t, x, dy). E Une telle fonction est la fonction de transition d’un processus de Markov homogène (Xt ) si et seulement si : P[Xt+s ∈ Γ|Ft ] = Q(s, X(t), Γ) On définit les notations Px et Ex comme étant respectivement la probabilité et l’espérance sur la trajectoire de (Xt ) avec X0 = x. On utilisera beaucoup la notion de semigroupe associé à un processus de Markov. Définition A.4 Le semigroupe associé à un processus de Markov (Xt ) est l’opérateur défini pour f dans L∞ (E), p ≥ 1 par : P t f (x) = Ex [f (Xt )]. Enfin, on définit comme suit le générateur infinitésimal de Xt Définition A.5 P t f (x) − f (x) t→0 t Af (x) = lim le domaine de définition de A étant simplement le sous-espce de L∞ constitué des fonctions pour lesquelles cette limite existe. La propriété fondamentale de l’opérateur infinitésimal d’un processus de Markov est la suivante. Théorème A.1 Pour toute fonction f de D(A) : Z f (Xt ) − Af (Xs )ds 0 est une Ft -martingale locale. t 110 A.1.2 Quelques résultats et théorèmes importants Mesures invariantes pour un processus de Markov Soit (Xt ) un processus de Markov défini sur (Ω, F, (Ft ), P ) à valeurs dans E métrique. Définition A.6 Soit π une probabilité sur E. On suppose que la loi de X0 est π. Alors π est dite invariante pour (Xt ) si sous ces conditions, la loi de Xt est π pour tout t. On donne des mesures invariantes les cractérisations suivantes Proposition A.4 La probabilité π est invariante si et seulement si : Z - pour toute f dans L1 , P t f (x)π(dx) = f (x) E Z - pour toute f dans D(A), on a : Af (x)π(dx) = 0. E Une mesure de probabilité π invariante pour un processus de Markov Xt de générateur A sera dite ergodique si elle vérifie l’une des trois propriétés équivalentes suivantes (a) Pour tout S ⊂ X, si pour tout t ≥ 0, Px (Xt ∈ S) = 1, alors π(S) = 0 ou 1. (b) Pour toute f ∈ L1 (π), Af = 0 entraı̂ne f constante π-presque sûrement. (c) Pour toute f ∈ L1 (π), f (Xt ) vérifie la loi des grands nombres, c’està-dire Z 1 T f (Xt )dt = π(f ). lim T →∞ T 0 Le point (c) permet également de définir la propriété d’ergodicité pour n’importe quel processus stochastique (Xt )t∈R voire (Xt )t∈Rd . A.2 A.2.1 Quelques résultats et théorèmes importants Formule d’Ito Nous aurons besoin à plusieurs reprises de la formule d’Ito. Une preuve de cette formule est donnée dans [11], pages 149–153. Quelques résultats et théorèmes importants 111 Théorème A.2 Soit f (t, x) une application de [0, ∞[×Rd dans R de classe C 1 en t et C 2 en x. Soit Mt = (Mt1 , ..., Mtd ) une martingale continue de carré intégrable dans Rd et Bt un processus à variation bornée dans Rd , tous deux définis sur le même espace de probabilité et adaptés à la même filtration. On suppose que M0 = B0 = 0. Soit Xt = x0 + Mt + Bt , x0 fixé dans Rd . Alors on a Z t ∂ f (t, Xt ) = f (0, x0 ) + f (s, Xs )ds 0 ∂t Z t ∇x f (s, Xs ) · dXs + 0 Z t ∂2 1 X + f (s, Xs )d <<M i , M j>>s 2 1≤i,j≤d 0 ∂xi ∂xj où <<M i , M j>>t désigne le crochet quadratique de M i et M j . A.2.2 Formule de Feynman-Kac La formule suivante nous sera utile dans la partie 3. On se contentera ici d’une version très simplifiée. Elle est démontrée dans un cas bien plus général dans [11] page 366. Théorème A.3 Soit X(t) un processus de Markov sur Rd , L son générateur et π sa mesure invariante. Soit f une application à croissance polynômiale de Rd dans R. Alors u(t, x) = Ex [f (X(t))] est l’unique solution de l’équation aux dérivées partielles ∂t u = Lu avec condition initiale u(0, x) = f (x). A.2.3 Inégalité de Poincaré Ce théorème s’avérera l’argument central de nombreux raisonnements dans cette thèse Théorème A.4 Soit h un espace de Hilbert et L un opérateur autoadjoint non-borné positif de H. On notera k.k la norme hilbertienne de H et h., .i 112 Quelques résultats et théorèmes importants son produit scalaire. On a équivalence entre les deux propriétés suivantes : pour toute f ∈ D(L) orthogonale au noyau KerL de L sup kf k2 = λ−1 0 > 0 hf, Lf i et λ0 = inf Sp∗ (L) > 0 ou Sp∗ désigne le spectre de L privé de 0. Si de plus µ(X) = 1, et L est le générateur infinitésimal du semigroupe fortement continu P t d’un processus de Markov x(t) à espace d’états X et de mesure invariante µ, alors les deux propriétés ci-dessus entraı̂ınent l’existence d’une constante positive C telle que pour toute fonction f ∈ L2 (µ) kP t f (x) − hf i k∞ ≤ Ce−λ0 t kf k2 . Articles de l’auteur La partie 1 de cette thèse est un rappel de résultats antérieurs. Elle est entièrement contenue dans [16]. La partie 2 est une compilation de deux articles de l’auteur de la thèse, “Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck process in random environment” et “Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in random fields and comparison with the Brownian model” soumis pour publication respectivement aux journaux Communications in Mathematical Physics et Stochastic Processes and their Applications. La partie 3 est une version légèrement améliorée d’un autre article de l’auteur, “Superdiffusive Behaviour of a Passive Ornstein-Uhlenbeck Tracer in a Turbulent Shear Flow”, à paraı̂tre dans le Journal of Statistical Physics. 115 Références [1] Avellaneda M., Majda A. J., Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport, Communications in mathematical Physics, 131, 381–429, Éd. Springer-Verlag (1990). [2] Avellaneda M., Majda A. J., An integral representation and bounds on the effective diffusivity in passive advection by laminar and turbulent flows, Communications in mathematical Physics, 138, 339–391, Éd. Springer-Verlag (1991). [3] Avellaneda M., Majda A. J., Mathematical models with exact renormalization for turbulent transport II, Communications in mathematical Physics, 146, 139–204, Éd. Springer-Verlag (1992). [4] Avellaneda M., Majda A. J., Superdiffusion in nearly stratified flows, Journal of Statistical Physics, 69, 689–729 (1992). 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