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Thèse (1)

No attribué par la bibliothèque
Année : 2005
THÈSE
présentée à l’
UNIVERSITÉ PARIS-DAUPHINE
pour obtenir le titre de
DOCTEUR EN SCIENCES
Discipline : Mathématiques
soutenue par
Gaël Benabou
le 7 décembre 2005
Titre
Homogénéisation de
Processus de Diffusion
en Milieu Aléatoire
Directeur de thèse : Stefano Olla
Rapporteurs
M.
M.
S. R. Srinivasa Varadhan
Étienne Pardoux
Jury
M.
M.
M.
M.
M.
M.
Thierry Bodineau
Pierre-Louis Lions
Stéphane Mischler
Stefano Olla
Étienne Pardoux
Cédric Villani
Examinateur
Examinateur
Examinateur
Directeur de thèse
Rapporteur
Examinateur
Table des matières
Remerciements
5
Table des matières
9
Introduction
I.1 Brève présentation de l’homogénéisation . . . . . . . . . . . .
I.2 Objet de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3 Plan de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4 Présentation des résultats contenus dans cette thèse . . . . . .
I.4.1 Processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un potentiel
non-borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.4.2 Comparaison de la vitesse de diffusion du mouvement
Brownien et de l’Ornstein-Uhlenbeck . . . . . . . . . .
I.4.3 Comportements diffusif et superdiffusif dans un champ
de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifié
I.5 Résultats antérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.1 Description des processus . . . . . . . . . . . . . . . .
I.5.2 Modèles de milieux aléatoires . . . . . . . . . . . . . .
I.5.3 Quelques exemples d’homogénéisations de processus . .
1 Homogénéisation d’un mouvement Brownien dans un milieu
aléatoire
1.1 Objets et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition du processus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 L’environnement vu depuis la particule . . . . . . . . .
1.2 Le théorème central limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Étude des solutions de l’équation résolvante . . . . . .
1.2.2 Le théorème d’homogénéisation . . . . . . . . . . . . .
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2 Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in random environments
Homogénéisation d’un Ornstein-Uhlenbeck dans un milieu aléatoire
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Homogeneization in a frozen environment . . . . . . . . . . . .
2.2.1 The Ornstein-Uhlenbeck process . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 The resolvent equation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Central limit theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Random viscosity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 System of interacting particles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Comparison between the diffusion coefficients . . . . . . . . .
2.4.1 Quantitative comparison . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Asymptotic comparison . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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76
3 Superdiffusive behaviour of Ornstein-Uhlenbeck processes
in a turbulent Shearflow
81
Comportement superdiffusif d’un processus d’Ornstein-Uhlenbeck dans
un fluide incompressible stratifié turbulent . . . . . . . . . . . 81
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.1.1 Random flows and energy spectrum . . . . . . . . . . . 81
3.1.2 Kolmogorov statistics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.1.3 Objects and notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.2 Main Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.1 Results in the steady case . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2.2 The time dependant case . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.2.3 Dependance on the various parameters . . . . . . . . . 89
3.3 Preliminary calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 The diffusive case : ε < 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.1 The trivial terms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.4.2 Introduction of a useful martingale . . . . . . . . . . . 93
3.4.3 Asymptotic behaviour of ut . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.4.4 Asymptotic behaviour of Mδ (t) . . . . . . . . . . . . . 97
3.4.5 Computation of D(ε) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.5 The superconvective ε > 2 case . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
3.6 The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case . . . . . . . . . . 100
3.6.1 The scale factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.6.2 Introduction of a suitable measure . . . . . . . . . . . . 101
3.6.3 The diffusion equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.6.4 Computation of the effective variance . . . . . . . . . . 104
Annexe : outils
A.1 Rappels de notions de base . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Martingales, processus de Markov . . . .
A.1.2 Mesures invariantes pour un processus de
A.2 Quelques résultats et théorèmes importants . . .
A.2.1 Formule d’Ito . . . . . . . . . . . . . . .
A.2.2 Formule de Feynman-Kac . . . . . . . .
A.2.3 Inégalité de Poincaré . . . . . . . . . . .
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Markov
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Articles de l’auteur
115
Références
116
Introduction
I.1
Brève présentation de l’homogénéisation
En physique, nos sens ou nos appareils de mesure simples nous permettent
d’évaluer un certain nombre de grandeurs macroscopiques des matériaux :
leur volume, leur masse, leur température, leur viscosité... Toutes ces grandeurs perceptibles à notre échelle proviennent des propriétés microscopiques
du matériau : pour les calculer, il est donc nécessaire de les relier à des
grandeurs microscopiques. Ce lien se fait en pratique par l’intermédiaire de
méthodes statistiques en utilisant des modèles probabilistes.
Imaginons le cas d’un gaz. Chaque molécule du gaz possède à chaque
instant une position et une vitesse. Vu à l’échelle d’une molécule, le gaz
est donc un matériau totalement inhomogène. Pourtant, s’il se trouve à
l’équilibre, nous le percevrons à notre échelle comme un ensemble parfaitement homogène. L’agitation moyenne des molécules se traduira pour nous
par la mesure de la température du gaz. Il en va de même de la plupart des
phénomènes observés dans la nature. À chaque échelle spatiale ou temporelle, pour un système donné à l’équilibre, sont associées un certain nombre
de grandeurs physiques globales, provenant de propriétés de ce système perceptibles uniquement à une échelle inférieure.
Ce constat est à l’origine de la théorie physique de l’homogénéisation,
qui porte sur l’étude des structures composites afin d’en appréhender certaines propriétés globales à plus grande échelle. Plus le nombre d’échelles
à considérer est grand, et plus la complexité des modèles mathématiques à
développer pour décrire ces phénomènes sera importante. Le problème physique de l’homogénéisation a ainsi donné naissance à un domaine, appelé
théorie de l’homogénéisation, qui s’avère intéressant d’un point de vue purement mathématique.
14
Objet de la thèse
Cette théorie ne prétend aucunement donner des modèles parfaits. Elle
suppose en effet une bonne séparation des échelles spatio-temporelles, c’està-dire en termes plus mathématiques un rapport de taille infini de l’une à
l’autre. Les résultats et modèles obtenus par homogénéisation ne seront donc
que des approximations asymptotiques de la réalité, mais des approximations très correctes et qui auront de plus le mérite de correspondre à notre
perception directe des choses.
Pour une description plus poussée de la théorie de l’homogénéisation, se
reporter à [5].
I.2
Objet de la thèse
L’objet de cette thèse est l’étude de certaines propriétés d’un mouvement aléatoire, appelé processus d’Ornstein-Uhlenbeck, qui nous permettra
de modéliser la trajectoire d’une particule de masse non nulle dans un fluide,
en introduisant, par rapport au classique mouvement Brownien, un terme de
frottement visqueux dans les équations de mouvement.
Plus précisément, nous nous intéressons ici au comportement de ce mouvement vis-à-vis des changements d’échelle décrits ci-dessus. Dans toute cette
thèse, on observera une particule marquée, que l’on suivra dans son mouvement microscopique, les interactions entre la particule marquée et son environnement étant décrites à l’échelle de la particule elle-même. La question
est de déterminer quelle trace est laissée à l’échelle macroscopique par cette
trajectoire microscopique, autrement dit quel type de mouvement est suivi
par la particule marquée si on la laisse évoluer suffisamment longtemps et en
prenant du recul par rapport à l’environnement.
Ce type de problème a déjà été beaucoup étudié dans le cas d’une particule
marquée de masse nulle, dont la trajectoire est décrite par un mouvement
Brownien. Nous ferons très souvent des comparaisons entre les deux cas (processus d’Ornstein-Uhlenbeck et mouvement Brownien) afin de détacher des
différences et des similitudes.
I.3
Plan de la thèse
Nous commençons par la présente partie introductive, où nous ferons
état des résultats antérieurs en vue de présenter au mieux les nouveautés
Présentation des résultats contenus dans cette thèse
15
apportées par ce travail de thèse.
La première partie ne contient aucun résultat nouveau mais permettra de
situer le problème posé dans la partie 2 dans son contexte. Certaines preuves
données dans cette partie seront utiles pour la suite.
La seconde partie se penchera sur le problème de l’homogénéisation du
processus d’Ornstein-Uhlenbeck dans un milieu aléatoire stationnaire dont
l’interaction avec la particule est représentée par un potentiel. Le résultat
d’homogénéisation sera prouvé sous des hypothèses très générales (théorème
2.1.1). La méthode utilisée sera ensuite appliquée au cas d’une particule
marquée évoluant dans un système infini de particules massives (théorème
2.3.1). Nous montrerons ensuite que la particule massive a une diffusion
inférieure à celle de la particule non massive (théorème 2.4.1), et que cette
différence disparaı̂t lorsque la viscosité du fluide tend vers l’infini (théorème
2.4.2).
La troisième partie de cette thèse décrira le résultat de ce changement
d’échelle dans le cas d’une particule marquée évoluant dans un liquide incompressible turbulent et stratifié. Nous prouverons en particulier que la
particule massive a cette fois une diffusion plus rapide que la particule de
masse nulle lorsque la turbulence du fluide reste modérée (théorème 3.2.1
et équation 3.9). Nous prouverons également que dans le cas de fortes turbulences, la particule marquée a un comportement superdiffusif (théorèmes
3.2.2 et 3.2.3).
En annexe, les objets, notations et concepts mathématiques les plus utilisés dans cette thèse sont définis de façon précise.
I.4
I.4.1
Présentation des résultats contenus dans
cette thèse
Processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un potentiel non-borné
La méthode d’obtention de l’homogénéisation du mouvement Brownien
en milieu aléatoire exposée dans la partie 1 de cette thèse est inspirée de
celle utilisée par Kipnis et Varadhan ([12]) pour le problème de la particule
marquée dans le modèle d’exclusion simple symétrique. Elle s’appuie de façon
cruciale sur la réversibilité temporelle du modèle et peut être étendue à des
16
Présentation des résultats contenus dans cette thèse
systèmes très généraux vérifiant cette propriété. Une méthode proche est
également utilisée par Papanicolau et Varadhan ([22]) afin de prouver un
théorème central limit pour le processus d’Ornstein-Uhlenbeck, qui n’est pas
réversible, et qui est de plus dégénéré. L’homogénéisation est prouvée dans ce
dernier article sous l’hypothèse que la force exercée par le milieu doit rester
bornée.
Cette hypothèse est de fait trop lourde. Prenons l’exemple d’une particule
marquée évoluant dans un système infini de particules distribuées dans l’espace selon une mesure diffuse (par exemple une mesure de Poisson). On fige
ce système de particules, et on suppose que l’action du milieu est représentée
par un potentiel à deux corps lisse et à support compact. Le nombre de particules du milieu présentes dans un volume fini n’étant pas borné, il est clair
que la particule marquée peut “voir” à un instant donné de son évolution un
nombre très grand de particules. La force exercée sur la particule marquée
par le milieu ne peut donc en aucun cas être bornée.
Ce simple constat montre qu’il est nécessaire de s’affranchir de l’hypothèse
de bornitude sus-mentionnée afin de décrire les systèmes physiques de façon
réaliste. Le principal résultat de cette thèse est précisément de proposer
une méthode –plus exactement une adaptation de la métode de Kipnis et
Varadhan– qui permette de le faire. La simplicité de la preuve de ce résultat
sautera aux yeux du lecteur. Celle-ci s’appuie sur une autre forme de symétrie
du problème. On peut en effet constater que le processus à temps inversé a
la même loi que le processus original dont on aurait renversé la vitesse.
De cette méthode découle également la solution du problème de l’homogénéisation de la particule marquée dans un système infini de particules.
Dans ce modèle, toutes les particules sont en mouvement et interagissent par
l’intermédiaire d’un potentiel à deux corps. Le mouvement de chaque particule est donc décrit par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à une
force extérieure exercée par l’ensemble des autres particules du système. Dans
leur article [18], Stefano Olla et Christel Trémoulet prouvent un résultat d’homogénéisation pour la diffusion globale de ce système. On s’intéresse dans
cette thèse au mouvement propre d’une des particules qui est marquée et
suivie dans sa trajectoire, et on prouve un théorème “central limit” pour ce
processus.
Présentation des résultats contenus dans cette thèse
I.4.2
17
Comparaison de la vitesse de diffusion du mouvement Brownien et de l’Ornstein-Uhlenbeck
Le mouvement Brownien et le processus d’Ornstein-Uhlenbeck décrivent
tous les deux la trajectoire d’une particule. Dans le cas du mouvement Brownien, la particule considérée est de masse nulle, contrairement au cas de
l’Ornstein-Uhlenbeck. Il peut donc sembler logique que la particule massive
ait une diffusion plus lente que la particule non-massive. Ce résultat intuitif
est vrai et cela sera prouvé dans cette thèse. Cependant, lorsque la viscosité
du milieu tend vers l’infini, cette différence s’annule.
I.4.3
Comportements diffusif et superdiffusif dans un
champ de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifié
La dernière partie de cette thèse se penchera sur le comportement d’un
processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un champ de vitesses gaussien incompressible. Le cas considéré ici est très particulier puisqu’il s’agit d’un
champ de vitesses stratifié. Il s’agit d’un modèle bidimensionnel dans lequel
le champ des vitesses externe ne dépend que d’une direction, cependant qu’il
n’agit que sur l’autre.
Ce travail a été inspiré par les résultats antérieurs d’Avellaneda et Majda ([1]) qui ont étudié le cas d’un mouvement Brownien évoluant dans ce
même type de champ gaussien incompressible. La difficulté de l’étude de ces
phénomènes vient du fait que l’on ne connaı̂t pas la “mesure invariante” du
système, la force exercée par le milieu ne dérivant pas d’un potentiel. Dans
ces conditions, Avellaneda et Majda sont tout de même parvenus à obtenir
des limites hydrodynamiques exactes pour les différents degrés de turbulence
du système. Des résultats analogues sont obtenus ici dans le cas du processus
d’Ornstein-Uhlenbeck avec des méthodes similaires.
Il sera notamment prouvé que le résultat intuitif cité plus haut (une particule massive diffuse plus lentement qu’une particule non-massive) est ici
mis en défaut de façon surprenante. En effet, dans le cas de faible turbulence
du milieu, c’est l’inverse qui est démontré, à savoir que la particule massive
possède une diffusion supérieure. Ce résultat s’explique par un phénomène
d’inertie qui rend la particule massive moins sensible aux turbulences du
milieu.
18
Résultats antérieurs
I.5
Résultats antérieurs
Dans toute cette section, w désignera un mouvement Brownien standard
sur Rd défini sur un espace de probabilité filtré. On utilisera la lettre d (pour
dimension) pour désigner un entier supérieur ou égal à 1. |.| désignera la
norme euclidienne sur Rd et · le produit scalaire associé.
I.5.1
Description des processus
Soit F(x, t) une application de Rd × R dans Rd .
Définition I.1 Une solution x(t) de l’équation différentielle stochastique

 dx(t) = F(x(t), t)dt + dwt

(I.1)
x(0) = 0
sera appelée mouvement brownien évoluant dans le milieu décrit par F.
On définira de même le processus d’Ornstein-Uhlenbeck évoluant dans le
milieu F
Définition I.2 Une solution (y(t), v(t)) du système

dym (t) = v(t)dt








 mdv(t) = −v(t)dt + F(ym (t), t)dt + dwt
(I.2)


ym (0) = 0







v(0) = v0
m > 0, sera appelée processus d’Ornstein-Uhlenbeck évoluant dans le milieu
décrit par F.
À noter que dans chacun de ces deux cas, des hypothèses de régularité
devront être faites sur F pour assurer l’existence de solutions. Se reporter
aux parties 2 et 3 de cette thèse pour des exemples d’hypothèses dans des
cas pratiques.
Résultats antérieurs
19
Un lien entre ces deux types de mouvements peut être fait de façon heuristique. L’équation (I.2) peut, en effet, être considérée comme l’écriture du
principe fondamental de la dynamique pour une particule de masse m soumise à une force extérieure F + ẇ ainsi qu’à un frottement de type fluide. On
constate que prendre m = 0 nous donne l’équation (I.1). On a d’ailleurs un
résultat de convergence en probabilité, pour tout T ≥ 0
lim sup |x(t) − ym (t)| = 0.
m→0 [0,T ]
Il est donc parfaitement naturel de s’interroger sur les liens qui peuvent
exister entre ces deux types de mouvements. Un article récent de M. Freidlin
([9]) tend à rapprocher ces deux modèles. Dans cette thèse, nous mettrons en
évidence des différences importantes. Nous prouverons essentiellement que
l’homogénéisation de ces deux modèles conduit à des vitesses de diffusion
différentes. Dans le cas où la force exercée par le milieu aléatoire dérive d’un
potentiel, il sera prouvé que la particule massive se diffuse plus lentement
que la particule de masse nulle, tandis que dans un fluide turbulent, elle sera
plus rapide.
I.5.2
Modèles de milieux aléatoires
Stationnarité
Soit un espace probabilisé (X, F, µ). On suppose qu’il existe un groupe
de transformations agissant sur X
G = {τx,t , (x, t) ∈ Rd × R}
préservant la mesure
∀(x, t) ∈ Rd × R, ∀A ∈ G, µ(τx,t A) = µ(A)
et ergodique
∀A ∈ G, si A = τx,t A ∀(x, t) ∈ Rd × R, alors µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.
On définit également un groupe d’opérateurs Tx,t agissant sur l’espace des
fonctions f mesurables sur X
Tx,t f (η) = f (τ−x,−t η).
20
Résultats antérieurs
Pour décrire l’action d’un milieu aléatoire inhomogène de dimension d sur
une particule y évoluant, on introduit une application aléatoire
F : Rd × R × X → Rd
(x, t, η)
7→ F(x, t, η)
où x désigne la position de la particule, t le temps et η est la variable décrivant
le caractère aléatoire de l’environnement. Une telle application F sera appelée
champ stationnaire en espace et en temps si elle est telle que
∀(x, t, η), F(x, t, η) = Tx,t F(0, 0, η) = F̃(τ−x,−t η)
(I.3)
où on a défini
F̃(η) = F(0, 0, η).
F est appelée représentation de F̃. A noter que dans ce cas, quels que soient
x et t, la loi de F(x + h, t + s, .) est indépendante de (h, s). Inversement, si
F vérifie cette propriété et est de plus ergodique, alors il existe un espace
de probabilité et un groupe de transformations permettant la représentation
(I.3), voir [7].
Si l’on souhaite décrire un environnement statique, on définira de même le
groupe τx et l’opérateur Tx correspondants, et la stationnarité de F(x, η) par
rapport à l’espace.
On imposera dans toute la suite la continuité stochastique du groupe Tx,t
(respectivement Tx ) sur l’espace L2 (µ), ∀f ∈ L2 (µ), ∀δ > 0
lim µ({η, |Th f (η) − f (η)| > δ}) = 0.
h→0
Un résultat classique de Von Neumann (cf. [23]) montre que cette condition
entraı̂ne en fait que Tx,t (respectivement Tx ) est fortement continu sur L2 (µ).
L’opérateur Tx,t permet en outre de définir des dérivations D0 et D comme
étant des opérateurs fermés non-bornés sur L2 (µ) par l’intermédiaire de ses
générateurs infinitésimaux définis par
T0,h f (η) − f (η)
.
h→0
h
D0 f (η) = lim
et pour tout l ∈ Rd
Thl,0 f (η) − f (η)
.
h→0
h
l · Df (η) = lim
Résultats antérieurs
21
On notera D(D0 ) et D(D) leurs domaines respectifs, qui sont des sous-espaces
denses de L2 (µ). Ces dérivations vérifient la formule d’intégration par parties
suivante
Proposition I.1 Soient (φ, ψ) deux éléments de D(D). Alors on a
Z
Dφdµ = 0
X
et
Z
Z
ψDφdµ = −
φDψdµ.
X
X
♦ Du fait que G préserve µ, on a
Z
Z
Dφ(η)µ(dη) =
Dφ(τ−x η)µ(dη)
X
X
Z
∇x φ(τ−x η)|x=0 µ(dη)
=
X
Z
= ∇x
φ(τ−x η)µ(dη)
X
Z
= ∇x
x=0
φ(η)µ(dη)
X
x=0
= 0.
L’intégration par parties se prouve classiquement en remarquant que
D(φψ) = φDψ + ψDφ. ♦
L’opérateur D0 vérifie des propriétés analogues.
Diffusions dans un milieu aléatoire
Muni de ces notations, on peut désormais considérer l’évolution des deux
mouvements (Brownien et Ornstein-Uhlenbeck) décrits ci-dessus dans un
milieu aléatoire. Ces mouvements seront donc régis respectivement par les
équations suivantes

 dxη (t) = F(xη (t), t, η)dt + dwt

xη (0) = 0
22
et
Résultats antérieurs
 η
dym (t) = v(t)dt







η

(t), t, η)dt + dwt
 mdv(t) = −v(t)dt + F(ym

η

(0) = 0
ym







v(0) = v0 ∈ Rd
où l’environnement η sera fixé au départ.
Dans ces modèles, le caractère aléatoire provient donc de deux sources
différentes et indépendantes : le milieu F, et le bruit Brownien w. On peut
noter immédiatement que ces modèles sont déjà le fruit d’une première homogénéisation : le frottement fluide, comme le bruit w, ne sont que la version
mésoscopique de propriétés du milieu à une échelle plus petite.
Un calcul immédiat, fondé sur la formule d’Ito, montre que les générateurs
infinitésimaux des processus markoviens définis par ces équations sont donnés
respectivement par
LηM B = ∂t + ∆x − F(x, t, η) · ∇x
et
LηOU = ∂t + m−1 m−1 ∆v − v · ∇v + v · ∇x + m−1 F(x, t, η) · ∇v .
Il est impossible en l’état de déterminer des mesures invariantes pour ces
processus, ni même de montrer leur existence.
Le point de vue de la particule
L’idée première des méthodes utilisées dans toute cette thèse est la suivante : on effectue en quelque sorte un changement de repère en prenant le
point de vue de la particule. Nous allons donc créer à partir de nos diffusions
sur Rd un processus de Markov sur l’espace des environnements X.
Considérons tout d’abord le cas du mouvement brownien. On définit le
processus (η(t)) sur X par
η(t) = τ−xη (t),t η.
(I.4)
Ce processus est markovien sur X. Son générateur peut être aisément calculé
LM B = D0 + D2 − F̃(η) · D.
Résultats antérieurs
23
De la même façon, on définit dans le cas du processus d’Ornstein-Uhlenbeck
η
η 0 (t) = τ−ym
(t),t η.
Le processus (η 0 (t), v(t)) est lui aussi markovien sur X × Rd . Son générateur
est
LOU = D0 + m−1 m−1 ∆v − v · ∇v + v · D + m−1 F̃(η 0 ) · ∇v .
Nous allons maintenant nous concentrer sur des cas particuliers de forces
F.
Potentiels et Flots incompressibles
On distingue en général deux types de forces dans les milieux aléatoires :
celles dérivant d’un potentiel, et celles dues à un flot incompressible dans le
milieu.
Potentiels stationnaires. Soit V (x, η) une application aléatoire de Rd ×
X dans R, stationnaire en espace. On supposera que V est continûment
différentiable en x. Dans ce cas, sa dérivée ∇x V est elle-même un champ
stationnaire. On dira que la force F introduite ci-dessus dérive du potentiel
V si
F(x, η) = −∇x V (x, η).
A noter que l’hypothèse de stationnarité donne
∇x V (x, η) = DṼ (τ−x η)
où Ṽ (η) = V (0, η).
Considéraons tout d’abord le cas du mouvement Brownien. Le processus
de Markov η(t) représentant l’environnement vu depuis la particule a alors
pour générateur
LM B = D2 − DṼ (η) · D.
Il est aisé dans ce cas de voir que la mesure de probabilité
e−Ṽ (η)
dπ(η) = Z
e
−Ṽ (η)
dµ(η)
dµ(η)
X
est invariante pour η(t). Elle est de plus ergodique.
24
Résultats antérieurs
Dans le cas de l’Ornstein-Uhlenbeck, il est tout aussi aisé de voir que le
générateur de (η(t), v(t)) est
LOU = m−1 m−1 ∆v − v · ∇v + v · D + m−1 DṼ (η) · ∇v .
Dans ce cas, la mesure de probabilité
2
e−Ṽ (η) e−|v| /2m
dv
dπ(η) = Z
dµ(η)
(2πm)d/2
e−Ṽ (η) dµ(η)
X
est invariante et ergodique.
Flots incompressibles. Dans le cas où la particule dont nous cherchons
à décrire le mouvement évolue dans un liquide, nous allons être amenés à
considérer que la force F est proportionnelle à un flot de vitesses incompressible. On supposera alors que F vérifie µ-presque sûrement
∇x · F(x, t, η) = 0.
Nous ne nous attarderons pas ici sur ce point, voir la partie 3 pour un exemple
concret d’étude dans ce cas.
I.5.3
Quelques exemples d’homogénéisations de processus
Nous allons dans toute la suite considérer les solutions x(t) d’équations
différentielles stochastiques à coefficients aléatoires, du type de celles décrites
ci-dessus. Le but est à chaque fois de prouver que le processus renormalisé
xε (t) = εx(ε−2 t)
converge en probabilité vers un mouvement Brownien de matrice de diffusion
déterministe. La méthode générale sera la même à chaque fois, mais il sera
plus ou moins aisé de l’appliquer. Nous pointerons à chaque fois les raisons
essentielles qui permettent d’obtenir l’homogénéisation.
Cas périodique
Considérons tout d’abord le cas périodique très simple. Soit V une fonction C ∞ sur Rd de période 1. On notera ẋ la projection canonique de x ∈ Rd
sur le tore Td = Rd /Zd . Par abus de notations, on considérera V comme
Résultats antérieurs
25
étant également une application sur Td . On considère dans Rd la solution
x(t) de l’équation différentielle stochastique suivante

√
 dx(t) = ∇V (x(t)) + 2dw(t)

x(0) = x
où w est un mouvement Brownien standard. Le générateur de ce processus
est donc donné par
L = ∆ + ∇V (x) · ∇.
Il est aisé de montrer que ẋ(t) possède pour mesure invariante
π(dẋ) = Z −1 eV (ẋ) dẋ
où Z est une constante de normalisation et où l’on a abusivement identifié la
mesure de Lebesgue sur Rd à sa trace sur Td . De même, on notera toujours
L l’opérateur L dont le domaine est réduit aux applications de période 1. Il
est facile de prouver que L est symétrique négatif pour π.
Pour des raisons de compacité, il s’avr̀e que L possède un trou spectral λ0
strictement positif, c’est-à-dire que si l’on définit Sp∗ (L) ⊂] − ∞, 0] comme
étant le spectre de L privé de 0, on a
sup Sp∗ (L) = −λ0 < 0.
Dans cette situation, l’homogénéisation est simple à démontrer car l’équation
Lχl = l · ∇V
admet une solution dans L2 (π) pour tout l ∈ Rd . Par conséquent, on peut
écrire
Z t
l · x(t) =
l · ∇V (x(s))ds + l · w(t)
0
t
Z
Lχl (x(s))ds + l · w(t)
=
(I.5)
0
= χl (x(t)) − χl (x) + M (t)
où M (t) est la martingale
Z
t
[1 + l · ∇χl (x(s))]dw(s).
M (t) =
0
Il reste à montrer un théorème central limit pour cette martingale pour obtenir la convergence de ẋε (t) vers un mouvement Brownien projet sur Td .
26
Résultats antérieurs
Cas réversible
La présentation ci-dessous est inspirée de [17].
Soit η(t) un processus de Markov défini sur un espace de probabilité
(X, F, µ). Ce processus est voué à être l’environnement vu depuis la particule
décrit par (I.4). On suppose qu’il existe sur X une probabilité π invariante
et ergodique pour η(t). On notera P t le semi-groupe associé à η(t) que l’on
supposera fortement continu, et L son générateur infinitésimal, dont le domaine D(L) est dense dans L2 (π). L sera supposé symétrique par rapport à
π. P t étant contractant, on sait également que L est nécessairement négatif.
On notera h.i l’espérance par rapport à π et h., .i le produit scalaire associé.
Eπ sera l’espérance sur la trajectoire de η(t) avec η(0) distribué selon π.
On introduit la forme de Dirichlet associée à L, que l’on notera
kφk21 = − hφ, Lφi .
Quitte à quotienter, on pourra supposer que k.k définit une norme et on
notera H1 la complétion de
{φ ∈ L2 (π), kφk1 < ∞}
par rapport à cette norme. On définira aussi le dual H−1 de H1 comme étant
le complété de
{ψ ∈ L2 (π), ∃C > 0, ∀φ ∈ L2 (π), hψ, φi ≤ Ckφk1 }
pour la norme
kψk−1 = inf{C, ∀φ ∈ L2 (π), hψ, φi ≤ Ckφk1 }.
On notera que ψ ∈ H−1 ∩ L2 (π) ⇒ hψi = 0.
On cherche de façon très générale à démontrer un théorème central limit
pour des quantités du type
Z
ε
ε−2 t
ψ(η(s))ds
0
Résultats antérieurs
27
pour ψ ∈ H−1 ∩ L2 (π). On constate déjà que pour qu’un tel résultat soit vrai,
il faut que le coefficient de diffusion résultant

!2 
Z ε−2 t
1
σ 2 (ψ) = lim Eπ  ε
ψ(η(s))ds 
ε→0 t
0
soit fini. Or, en utilisant la réversibilité, on montre aisément
Z ∞
2
σ (ψ) = 2
Eπ [ψ(η(s))ψ(η(0))]ds.
0
Toute la question réside donc dans la finitude de cette intégrale. Or, il est
immédiat que cette finitude est équivalente à l’existence de la limite
Z ∞
e−λs Eπ [ψ(η(s))ψ(η(0))]ds.
(I.6)
lim
λ→0
0
On est donc amené à considérer la solution uλ de l’équation résolvante
(λ − L)uλ = ψ.
Si (I.6) existe, alors grâce au théorème de Hille-Yosida (cf. [8] p.10)
σ 2 (ψ) = 2 lim ψ(λ − L)−1 ψ = 2 lim λ u2λ + kuλ k21 ≤ 2kψk−1 .
λ→0
λ→0
Comme L est symétrique, il est clair que
kLuλ k−1 ≤ kuλ k1 ≤ kψk−1
(I.7)
et par conséquent
kλuλ k−1 ≤ 2kψk−1 .
Comme λuλ tend vers 0 fortement dans L2 , on en déduit qu’il tend faiblement
vers 0 dans H−1 . Un argument du type de celui utilisé dans la partie 2 de
cette thèse pour montrer la proposition (2.2.6) est alors utilisable. On procède
ensuite comme dans le cas périodique en écrivant l’équivalent de (I.5)
Z
ε
ε−2 t
ε−2 t
Z
(ε2 − L)uε2 (η(s))ds
ψ(η(s))ds = ε
0
0
=ε
3
Z
ε−2 t
uε2 (η(s))ds + εuε2 (η(ε−2 t)) − εuε2 (η(0))
0
+εM (ε−2 t)
28
Résultats antérieurs
A noter que l’objectif essentiel est donc d’obtenir une convergence du type
λ u2λ → 0
afin de faire disparaı̂tre les termes de bord, pour n’avoir plus qu’à utiliser un
théorème central limit sur les martingales. C’est là le principe de l’approche
initiale de Kipnis et Varadhan ([12]). La méthode proposée ci-dessus, qui s’en
inspire, permet d’y parvenir pour des modèles réversibles.
Enfin, pour montrer la convergence des processus considérés vers des mouvements Browniens, il est indispensable d’avoir un résultat de tension permettant d’affirmer que la limite est presque sûrement continue. Le résultat
suivant, prouvé dans [17] page 12 pour tout T > 0 suffit dans la plupart des
cas (réversibles ou non)
"
Eπ
Z
2
t
ψ(η(s))ds
sup
0≤t≤T
#
≤ 8T kψk−1 .
(I.8)
0
Condition de secteur
La réversibilité n’est pas nécessaire pour utiliser l’argument ci-dessus. En
effet, il suffit de prouver (I.7). La condition suivante sur L, appelée condition
de secteur forte, est alors suffisante. Elle est vérifiée s’il existe K > 0 tel que
hu, Lvi ≤ Kkuk1 kvk1 .
Cette condition peut être affaiblie. Voir [17] pour plus de détails. Cette approche avec condition de secteur faible est celle qui a été utilisée dans [15].
On pourra aussi se réferer à l’approche entreprise dans [13], où malgré
l’absence de condition de secteur, un résultat très général est prouvé.
Cas d’un système de particules browniennes en interaction
Comme application des résultats précédents, on peut également étudier
le cas de la particule marquée dans un système infini de particules nonmassives en interaction. On considère l’espace de configurations Ω comme le
sous-ensemble suivant de (Rd )N
Ω = {ω = {yi }i∈N , ∀A ⊂ Rd borné, Card(ω ∩ A) < ∞}.
Résultats antérieurs
29
On munit Ω de la topologie la plus faible telle que
X
φ : η 7→
h(xi )
i∈N
soit continue pour toute h continue à support compact de Rd dans R. F sera
la tribu borélienne associée.
Pour toute fonction f F-mesurable pour laquelle cela a un sens, on définit
le gradient par rapport à y ∈ ω
f ([ω \ {y}] ∪ {y + δl}) − f (ω)
δ→0
δ
∇y f (ω) · l = lim
pour tout l ∈ Rd .
Soit U un potentiel sur Rd pair
∀x ∈ Rd , U (x) = U (−x)
(I.9)
lisse (typiquement C 2 ), superstable, i.e. pour tout sous-ensemble borné Λ de
Rd , il existe C1 > 0 et C2 ≥ 0 tels que pour tout (x1 , ..., xn ) ∈ Λn
X
U (xi − xj ) ≥ −C2 n + C1 n2 |Λ|−1
(I.10)
i6=j
où |Λ| est le volume de Λ, et à support compact.
Pour tout Λ ⊂ Rd borné, on définit le hamiltonien HΛ sur Ω
1 X
HΛ (ω) =
U (y − y 0 )
2
0
2
(y,y )∈(ω)
{y,y 0 }∩Λ6=∅
et la mesure de Gibbs à volume fini correspondante sur la tribu F, de
température inverse β et d’activité z
Λ (ω)
µΛ (dω) = ZΛ−1 z NΛ (ω) e−βH
QΛ (dω)
(I.11)
où QΛ est la mesure de Poisson sur Λ, NΛ (ω) est le cardinal de ω ∩ Λ et ZΛ
la fonction de partition, dont la finitude est assurée par la superstabilité de
U (on ne notera pas sa dépendance en β et z). De fait, pour toute fonction
f µΛ -mesurable, on a
Z
∞
X
zn
Λ
−1
Λ
µ (f ) = ZΛ
f (y)e−βH (y) dy
n! (Λ×Rd )n
n=0
30
Résultats antérieurs
où y = (y1 , ..., yn ). Afin de simplifier les notations, on a identifié ici toute
∞
[
fonction µΛ -mesurable à une fonction symétrique sur
Λn . Sous des hyn=0
pothèses correctes en z, β et V , il existe une unique mesure de Gibbs µ sur
Ω de température inverse β et d’acitivité z compatible avec µΛ pour tout
Λ ⊂ Rd borné. Nous y ferons référence comme étant la mesure de Gibbs
grancanonique associée au hamiltonien formel
1 X
H(ω) =
U (y − y 0 ).
2 0
2
(y,y )∈(ω)
On considère un système infini de particules évoluant dans Rd et dont les
trajectoires sont décrites par le système suivant

∀i ∈ N




s
X
2σ 2
1


∇U
(x
−
x
)dt
+
dwi (t)
dx
(t)
=
−

i
j
i

γ
γ
j6=i
avec pour distribution initiale de (xi (0))i∈N la mesure de Gibbs définie cidessus. Si l’on marque une des particules du système, il a été prouvé ([6]) un
théorème central limit sur sa trajectoire.
On peut également montrer un résultat d’homogénéisation pour la densité
du système, voir [18]. Dans ce même article, il est prouvé un résultat analogue
pour un système d’Ornstein-Uhlenbeck en interaction (voir le chapitre 2 de
cette thèse pour une description complète de ce système). Il est également
prouvé que les diffusions volumiques macroscopiques des deux modèles sont
égales.
Cas présentés dans cette thèse
Nous nous intéressons dans cette thèse à deux situations non-réversibles.
La première est celle du processus d’Ornstein-Uhlenbeck soumis à un potentiel non-borné. Dans ce cas, aucune condition de secteur, même sous sa forme
affaiblie, n’est vérifiée. Cependant, la symétrie du problème par renversement
des vitesses signalée auparavant nous permet d’obtenir un résultat d’une
grande généralité de façon presque aussi simple que dans le cas réversible
en utilisant pour l’essentiel l’approche de Papanicolau et Varadhan (cf. [22]).
Nous traitons également du problème de la particule marquée dans un système
infini d’Ornstein-Uhlenbeck en interaction.
Résultats antérieurs
31
La seconde situation est donc celle d’un Ornstein-Uhlenbeck poussé par
un champ de vitesses gaussien incompressible turbulent et stratifié. Outre
l’irreversibilité, on se heurte ici à la méconnaissance de la mesure invariante
du processus. La grande particularité du modèle étudié permet cependant
de de s’en sortir par des calculs explicites, selon la méthode développée par
Avellaneda et Majda (cf. [1]).
Partie 1
Homogénéisation d’un
mouvement Brownien dans un
milieu aléatoire
Dans ce chapitre, nous allons rappeler la preuve d’un résultat démontré
dans [21] avec la méthode de Kipnis et Varadhan ([12]). Cependant, la
méthode utilisée ici est beaucoup moins axée sur la réversibilité du processus
et permettra la transition avec le modèle du processus d’Ornstein-Uhlenbeck
traité dans la partie suivante.
1.1
Objets et notations
Soit un espace probabilisé (X, F, µ). On suppose qu’il existe un groupe
de transformations agissant sur X
G = {τx , (x) ∈ Rd × R}
préservant la mesure et ergodique. On définit le groupe d’opérateurs Tx agissant sur l’espace des fonctions f mesurables sur X
Tx f (η) = f (τ−x η)
que l’on supposera fortement continu sur L2 (µ). D sera son générateur infinitésimal fermé non-borné, de domaine D(D) dense dans L2 (µ). Voir la partie
introductive de cette thèse pour de plus amples détails.
34
Objets et notations
1.1.1
Définition du processus
On s’intéresse au processus défini par l’équation différentielle stochastique
suivante

s

1
2σ 2



dytη = − ∇x V (ytη , η)dt +
dwt


γ
γ
(1.1)



y =0


 0
où (wt ) est un mouvement brownien standard sur Rd , γ et σ des paramèteres
strictement positifs, et V un potentiel stationnaire, donc vérifiant pour tout
x ∈ Rd et tout η ∈ X
V (x, η) = V (τ−x η)
où V (η) ≡ V (0, η). Nous supposerons que V ∈ D(D), de sorte que
Z
|DV (η)|2 µ(dη) < ∞
(1.2)
X
et qu’il existe σ0 > 0 tel que
Z
2
e−V (η)/σ0 µ(dη) < ∞.
(1.3)
X
σ sera donc pris plus petit que σ0 . Afin d’avoir une solution forte de (1.1),
nous ferons aussi l’hypothèse usuelle suivante : pour tout compact K ⊂ Rd
et tout η ∈ X, il existe une constante cK (η) vérifiant µ[c(η) < ∞] = 1 et
telle que pour tous x, y dans K
|∇x V (x, η) − ∇x V (y, η)| ≤ cK (η)|x − y|.
(1.4)
On a alors le résultat suivant
Proposition 1.1.1 Sous les hypothèses (1.2), (1.4), le processus (y η (t)) est
défini pour tout t ≥ 0 jusqu’à un éventuel temps d’explosion. Le générateur
de ce processus est donné par
Lη =
1
σ2
∆x − ∇x V (x, η) · ∇x .
γ
γ
♦ L’existence et l’unicité d’une solution forte sont des conséquences de (1.4)
et de théorèmes usuelles sur les solutions d’équations différentielles stochastiques, voir [11]. Le calcul du générateur découle de la formule d’Ito. ♦
Objets et notations
1.1.2
35
L’environnement vu depuis la particule
Nous allons associer à (ytη ) un processus de Markov (η(t)) défini sur X
comme étant l’environnement vu depuis la particule.
Proposition 1.1.2 Les assertions suivantes sont vérifiées
a. η(t) est un processus de Markov sur X dont le semigroupe est donné
par
Z
t
P η (t, 0, dy)f (τ−y η)
P f (η) = Eη [f (η(t))] =
Rd
où P t est défini sur L∞ (X) et P η est la fonction de transition de y η (t).
b. Le générateur de ce processus est donné par
L=
σ2 2 1
D − DV (η) · D
γ
γ
c. La mesure de probabilité
2
e−V (η)/σ µ(dη)
dπ = Z
2
e−V (η)/σ µ(dη)
X
est invariante et ergodique pour L, et L est autoadjoint négatif. Dans la
suite, h.i désignera l’espérance par rapport à dπ, et h., .i le produit scalaire
sur L2 (π) associé. La forme de Dirichlet associée à L est donnée pour une
fonction φ ∈ D(L) par
− hLφ, φi =
σ2
|Dφ|2 .
γ
De plus, P t s’étend en un semigroupe de contraction fortement continu et
positif sur Lp (π), p ≥ 1.
d. Pour π-presque tout η, le processus (y η (t)) est à valeur finie et de carré
intégrable pour tout t ≥ 0, et (η(t)) est donc bien défini pour tout t ≥ 0.
♦ Soit Γ un borélien de X, Ft la filtration engendrée par η(t), et κ l’application de Rd dans X associant τ−x η à x. D’après la définition de G, κ est
36
Objets et notations
mesurable. Ainsi, ∀(s, t) ∈ R2+ :
P[η(t + s) ∈ Γ|Ft ] = P[τ−yη (t+s) η ∈ Γ|Ft ]
= P[y η (t + s) ∈ κ−1 (Γ)|κ−1 (Ft )]
= P[y η (t + s) ∈ κ−1 (Γ)|y η (t)]
= P[η(t + s) ∈ Γ|η(t)]
et η(t) est markovien. Si P t désigne son semigroupe, on a pour toute fonction
bornée f de X dans R
P t f (η) = Eη [f (η(t))]
= E0 [f (τ−yη (t) η)]
Z
f (τ−y η)P η (t, 0, dy).
=
Rd
d
Pour toute f de X × R dans R bornée, si θf est l’application de Rd dans R
envoyant y sur f (τ−y η), on a
Eη [f (η(t))] = E0 [f (τ−yη (t) η)]
Z
t
Lη θf (y η (s))ds
= f (η) +
0
Z
= f (η) +
t
Lf (η(s))ds
0
ce qui prouve (a).
Pour les points (b) et (c), il est aisé de voir que L peut s’écrire pour tout
φ ∈ D(L)
2
2
Lφ = eV /σ D · (e−V /σ Dφ)
ce qui prouve l’invariance de π, la symétrie de L, et donne la forme de Dirichlet. Montrons maintenant l’ergodicité de π. Soit φ ∈ D(L) telle que
Lφ = 0.
En multipliant cette équation par φ et en intégrant par rapport à π, il vient
|Dφ|2 = 0.
Par ergodicité de G par rapport à µ, ceci prouve que φ est µ presque sûrement
constante, et donc π presque sûrement.
Le théorème central limit
37
De plus, pour tout p ≥ 1 et f ∈ L∞ (X), l’inégalité de Jensen donne
p
|P t f (η)|
= |Eη [f (η(t)]|p
≤ Eη [|f (η(t)|p ]
= P t |f |p (η).
En intégrant par rapport à π, on obtient
P tf
p
≤ P t |f |p = h|f |p i .
Le théorème de convergence monotone donne allors la définition de P t comme
semigroupe de contraction sur Lp (π). Sa positivité vient de sa définition, et
sa continuité forte de celle de Tx et de la continuité presque sûre de y η en t.
Penchons-nous sur le point (d). On peut voir que
Z t
p
η
2
γy (t) = −σ
DV (y η (s), η)ds + 2γσ 2 w(t).
0
Ainsi, pour tout T > 0, si E désigne l’espérance par rapport à la loi de w, on
a par invariance de π
* "
#+
Z T
2σ 2
8σ 2
η
2
E |DV (y η (s), η)|2 ds
T+ 2 T
E sup |y (t)|
≤
γ
γ
t∈[0,T ]
0
σ2
σ2
2
≤ 2 + 8 T + 2 T 2 |DV |2 < ∞
γ
γ
γ
et (d) est ainsi démontré. ♦
1.2
Le théorème central limit
On considère donc le processus renormalisé pour tout ε > 0
yεη (t) = εy η (ε−2 t).
L’objectif est de prouver le théorème suivant
Théorème 1.2.1 Le processus εy η (ε−2 t) converge faiblemmeent en π- probabilité vers un mouvement brownien de matrice de diffusion déterministe
ΣM B définie pour tout l ∈ Rd par la seule matrice symétrique vérifiant
l · ΣM B l =
σ2
|l − ζl |2
γ
38
Le théorème central limit
où ζl ∈ (L2 (π))d est défini par (1.8), ce qui signifie que pour toute fonction
F continue définie sur l’espace C([0, ∞[, Rd ) des applications continues de
[0, ∞[ dans R, on a pour tout δ > 0
lim π {η : |E [F (yεη )] − E [F (βΣM B )]| ≥ δ} = 0
ε→0
(1.5)
où βΣM B est un mouvement brownien de matrice de diffusion ΣM B . Si de
plus
Z
2
eV (η)/σ dµ(η) < ∞
X
alors ΣM B est définie positive.
1.2.1
Étude des solutions de l’équation résolvante
On considère, pour l ∈ Rd fixé, l’équation résolvante
(λ − L)hlλ =
1
l · DV.
γ
(1.6)
On définit l’ espace H1 comme étant le complété de
{Dφ, φ ∈ D(D) : kφk21 =
σ2
|Dφ|2
γ
< ∞}
pour la norme k.k1 ainsi définie, et H̃1 comme étant le complété de
{φ ∈ D(D), Dφ ∈ H1 }
pour la norme
kφkH̃1 = kφk21 + γ φ2
De la même façon, nous allons définir l’espace dual de H1 comme étant le
complété de :
2
2
Dψ ∈ H1 : kψk−1 = sup {2 <Dψ · Dφ> − <|Dφ| >} < ∞
Dφ∈H1
pour cette norme k.k−1 . Dans cet espace, les formes linéaires sont continues
pour la norme k.k1 , et leur norme d’opérateur est précisément la norme k.k−1 .
Proposition 1.2.1 ∀ψ ∈ H̃−1
kψkH̃−1 = sup
φ∈H̃1
|H̃−1 hψ, φiH̃1 |
kφkH̃1
.
Le théorème central limit
39
Ceci signifie que kψkH̃−1 est la meilleure constante C vérifiant
|H̃−1 hψ, φiH̃1 | ≤ CkφkH̃1
(1.7)
pour toute φ in H̃1 . La même propriété est évidemment vérifiée par k.kH−1 .
♦ Soit ψ ∈ H̃−1 . On a
kψk2H̃
−1
= sup (2H̃−1 hψ, φiH̃1 − kφk2H̃1 )
φ∈H̃1
= sup (2H̃−1 hψ, λφiH̃1 − λ2 kφk2H̃1 )
φ∈H̃1
∀λ ∈ R. En prenant le supremum en λ, on obtient
kψk2H̃−1
= sup
|H̃−1 hψ, φiH̃1 |2
φ∈H̃1
kφk2H̃
.
♦
1
On va tout d’abord montrer la proposition suivante
Proposition 1.2.2 H−1 est inclus dans l’image de (−L)1/2 et pour tout ψ
dans H−1
(−L)−1/2 ψ ≤ kψk−1 .
♦ Soit β > 0, on introduit
cβ = (β − L)−1/2 ψ.
Pour tout φ dans D(L), on a alors
| hφcβ i | = | φ(β − L)−1/2 ψ |
= | ψ(β − L)−1/2 φ |
≤ kψk2−1 (β − L)−1/2 φ, −L(β − L)−1/2 φ
= kψk2−1 hφ, −L(β − L)−1 φi
= kψk2−1 hφ2 i − βkψk2−1 hφ, (β − L)−1 φi
≤ kψk2−1 hφ2 i .
40
Le théorème central limit
Par densité de D(L), on a donc cβ bornée dans L2 (π). On peut donc en
extraire une sous-suite cβn faiblement convergente vers c ∈ L2 (π). Or pour
tout φ dans D(L)
cβn (βn − L)1/2 φ = cβn (−L)1/2 φ + cβn [(βn − L)1/2 − (−L)1/2 ]φ = hψφi .
Le second terme de droite tend vers 0 par convergence forte de [(βn − L)1/2 −
(−L)1/2 ]φ vers 0, et par conséquent
c(−L)1/2 φ = hψφi
ce qui achève la démonstration par densité de D(L). ♦
On peut maintenant prouver la
Proposition 1.2.3 L’équation (1.6) admet une solution unique hλ dans H̃1 .
De plus
λ h2lλ −→ 0
x→0
2
d
et il existe ζl ∈ (L (π)) tel que
lim |Dhlλ − ζl |2 = 0.
λ→0
(1.8)
♦ En multipliant (1.6) par hλ et en intégrant par rapport à π, on obtient
λ h2λ +
σ2
σ2
hl · Dhλ i
|Dhλ |2 =
γ
γ
(1.9)
et par conséquent
|Dhλ |2 ≤ |l|2
On peut donc considérer une suite λn telle que Dhλn converge faiblement
dans L2 (π) vers un certain ζl . Soient n et p deux entiers naturels. On a
σ2
σ2
Dhλn · Dhλp =
l · Dhλp .
λn hλn , hλp +
γ
γ
En faisant tendre n puis p vers l’infini, on obtient
|ζl |2 = hl · ζl i
et par conséquent, grâce à (1.9) et par convergence faible, on a quand n tend
vers l’infini
hl · ζl i = h|ζl |2 i
≤ lim inf h|Dhλn |2 i
≤ lim sup h|Dhλn |2 i
≤ hl · ζl i
Le théorème central limit
41
et donc
λn h2λn → 0.
On en déduit également la convergence forte de Dhλn vers ζl .
Il ne reste qu’à prouver l’unicité de cette limite. Supposons l’existence
d’une autre valeur d’adhérence faible ζl0 . C’est donc, par le même argument
que ci-dessus, une valeur d’adhérence forte. Soient Dhλn et Dhµn deux soussuites convergeant respectivement vers ζl et ζl0 . On peut choisir λn et µn
équivalentes et par conséquent
σ2
|D(hλn − hµn )|2
γ
= hhλn − hµn , L(hλn − hµn )i
= hhλn − hµn , λn hλn − µn hµn i
et donc ζl = ζl0 par passage à la limite. La famille faiblement compacte (Dhλ )
a donc une unique valeur d’adhérence faible, vers laquelle elle converge donc.
par un argument analogue, il s’agit en fait d’une limite forte, et la proposition
est ainsi prouvée. ♦
On notera que la méthode utilisée ici ne s’applique pas au cas du processus
d’Ornstein-Uhlenbeck du fait de la présence d’une partie antisymétrique dans
le générateur. Elle ne s’applique pas non plus au cas non-réversible avec
condition de secteur (voir chapitre introductif).
1.2.2
Le théorème d’homogénéisation
La preuve du théorème central limit est désormais un résultat classique
de théorème central limit pour les martingales. Nous ne l’exposerons pas
ici, mais elle est similaire à celle du théorème correspondant pour le processus d’Ornstein-Uhlenbeck exposée dans la partie 2. Nous allons donc nous
contenter d’en donner un schéma et de prouver la non-dégenerescence de la
diffusion en prouvant la formule variationnelle suivante.
La méthode consiste à écrire pour tout vecteur l ∈ Rd
s
Z ε−2 t
2σ 2
ε
l · wt
l · DV (ηs )ds + ε
l · yεη (t) = −
γ
γ 0
ε
=−
γ
Z
0
s
ε−2 t
(ε2 − L)hε2 (ηs )ds + ε
2σ 2
l · wt
γ
42
Le théorème central limit
puis à utiliser la formule d’Ito. Il vient
l·
yεη (t)
ε3
=−
γ
Z
ε−2 t
hε2 (ηs )ds − εhε2 (ηε−2 t ) + εhε2 (η) + εMε (t)
0
où Mε (t) est la martingale définie par
s
ε−2 t
2σ 2
γ
Z
2σ 2
hhMε iit =
γ
Z
Mε (t) =
[l − Dhε2 (ηs )] · dws
0
de variation quadratique
ε−2 t
|l − Dhε2 (ηs )|2 ds
0
Les termes de bord disparaissent grâce à (1.2.3). Il reste alors à prouver un
théorème “central limit” pour la martingale Mε (t), qui va de fait converger
en loi vers un mouvement brownien de diffusion
σ2
σ2
Eπ [|l − Dhε2 (ηs )|2 ] =
|l − ζl |2
ε→0 γ
γ
lim
On peut ensuite prouver la proposition suivante
Proposition 1.2.4 On a la formule variationnelle
l · ΣM B l =
σ2
γ
|l − Dφ|2
inf
(1.10)
φ∈D(D)
ainsi que la borne inférieure explicite
σ2
l·ΣM B l ≥
γ
Z
e
V (η)/σ 2
−1Z
−1
−V (η)/σ 2
µ(dη)
e
µ(dη) |l|2 .
X
X
L’inégalité (1.11) est une égalité en dimension 1.
♦ Notons
a=
σ2
γ
inf
|l − Dφ|2 .
φ∈D(D)
ζl étant limite de gradients, on a clairement
a ≤ l · ΣM B l.
(1.11)
Le théorème central limit
43
Pour tout φ ∈ D(D), on a
σ 2 hDφ · ζl i = σ 2 lim hDφ · Dhlλ i
λ→0
= γ lim hφ, (λ − L)hlλ i
λ→0
= hφ, DV · li = σ 2 hDφ · li .
En prenant φ = hlλ et en faisant tendre λ vers 0, on obtient pour tout φ
h(l − Dφ) · (l − ζl )i = |l − ζl |2
et en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient
a ≥ l · ΣM B l
et donc (1.10). Montrons maintenant (1.11). pour tout φ ∈ D(D) et l ∈ Rd
on a
Z
2
|l| =
(l − Dφ) · ldµ
X
D
= e
V /σ 2
(l − Dφ) · l
EZ
2
e−V /σ dµ
(1.12)
X
2 1/2
Z
≤ |l| |l − Dφ|
e
V /σ 2
Z
dµ
X
e
−V /σ 2
1/2
dµ
X
ce qui montre (1.11) en utilisant (1.10).
On peut noter de plus que
(DV − σ 2 D) · (ζl − l) = lim (DV − σ 2 D) · (Dhλ − l) = lim λhλ = 0.
λ→0
λ→0
En dimension 1, ceci implique
ζl − l = KeV /σ
2
avec K ∈ R et par conséquent, (1.12) tend vers une égalité pour φ = hlλ , et
donc (1.11) est une égalité dans ce cas. ♦
Partie 2
Homogeneization of
Ornstein-Uhlenbeck processes
in random environments
We consider in this chapter a passive tracer moving in a random environment. The movement of the tracer will be described by a so-called OrnsteinUhlenbeck process, which takes into account the effect of the inertia of the
particle and of fluid friction. The action of the environment is given by some
potential, which can be possibly taken unbounded. In a first time, we prove
an invariance principle for this kind of movement.
In a second time, we apply the same method to prove a central limit
theorem for the tagged particle in an infinite system of massive particles.
Then, we compare this model and the homogeneization of a brownian motion in a randomly inhomogeneous medium. We will here prove that there is
a quantitative difference between the two models, as the macroscopic effective diffusion is strictly greater in the Brownian case. We will also show that
this difference vanishes when letting the viscosity go to infinity.
2.1
Introduction
Let (X, F, µ) be a probability on which acts ergodically a measure preserving group of transformations
G = {τx , (x) ∈ Rd × R}
46
Introduction
We also define Tx as the group of operators and the measurable functions on
X
Tx f (η) = f (τ−x η)
and we will suppose that Tx is strongly continuous over L2 (µ). D will denote
its closed infinitesimal generator. See the introduction of this thesis for further
details.
We will first consider the following system of stochastic differential equation

η
 dx (t) = v(t)dt
(2.1)
p

η
2
dv(t) = −γv(t)dt − ∇x V (x (t), η)dt + 2γσ dw(t)
with initial conditions

η

 x (0) = 0
|v|2
e− 2σ2

dv
 v(0) ∼ G(dv) =
(2πσ 2 )d/2
where w is a standard Brownian motion on Rd , V is a stationary random
real-valued potential defined over Rd × X, i.e. V verifies
V (x, η) = V (τ−x η)
for all x ∈ Rd and η ∈ X where V (η) ≡ V (0, η). We suppose that γ and
σ are positive parameters. The process xη (t) can describe the movement of
a massive particle in an inhomogeneous random medium with fluid friction.
The purpose is here to prove a central limit theorem for this kind of process.
We consider now the corresponding diffusion (η(t), v(t)) on X × Rd given
by the environment as seen from the particle
η(t) = τ−xη (t) η.
This process possesses an invariant distribution given by
2
e−V (η)/σ µ(dη)G(dv)
.
dπ = Z
−V (η)/σ 2
e
µ(dη)
X
The system (2.1) has already been studied in [22]. In this article, the
potential V along with its derivatives were supposed bounded. The reader
can also refer to the review [16]. We propose here a very simple way to get
rid of this hypothesis.
Introduction
47
The main result of this chapter is the following
Theorem 2.1.1 Under the hypothesis
2
e−V /σ ∈ L1 (µ)
and
DV ∈ L2 (π)
the process εxη (ε−2 t) converges weakly in π-probability (see (1.5) for the definition) to a brownian motion whose diffusion matrix is the only symmetric
matrix ΣOU defined by
l · ΣOU l = γσ 2 |ξl |2
where ξl depends linearily on l and is defined in section 2, proposition 2.2.6.
If we suppose moreover
2
eV /σ ∈ L1 (µ)
then this diffusion is non-degenerate, i.e. there exists α > 0 such that
ΣOU ≥ αIdRd
The methods used here are inspired by [22]. The main difficulty here comes
from the non-reversibility of the studied process. This non-reversibility is
compensated here by the symmetry of the problem in terms of velocities.
We will also consider the case where the viscosity γ is a strictly positive
stationary random field γ(x, η). The proof given below needs only a very few
changes, see theorem 2.2.2 below.
In a second time, we apply the same method to prove the homogeneization
in the case of an active tracer in an infinite system of interacting particles.
Let U be a smooth superstable compactly supported two-body potential. We
consider the system

∀α ∈ I




 dxα (t) = vα (t)dt
X
p



dv
(t)
=
−γ
v
(t)dt
−
∇U
(x
−
x
)dt
+
2γα σ 2 dwα (t)
α α
α
β

 α
β6=α
where I is a countable set of indexes, with an initial Gibbsian distribution.
The existence of solutions of this system can be checked in [18].
48
Homogeneization in a frozen environment
Now, if we tag one of the particles of this system, we are able to prove a
similar central limit theorem. Notice that in this problem, the hamiltonian of
the system is not bounded, and this is the study of this model that motivated
the present work.
In a third time, we will prove that the macroscopic diffusion coefficients
ΣM B defined in the previous chapter, and ΣOU defined above are different in
the two models and verify
ΣM B > ΣOU .
At last, we will also show that
lim γ(ΣM B (γ) − ΣOU (γ)) = 0.
γ→∞
2.2
2.2.1
Homogeneization in a frozen environment
The Ornstein-Uhlenbeck process
Let us consider on (Rd )2 the diffusion (xη (t), v(t)) solution of the following
system of stochastic differential equations

η
 dx (t) = v(t)dt

dv(t) = −γv(t)dt − ∇x V (xη (t), η)dt +
with initial conditions

η

 x (0) = 0
p
2γσ 2 dw(t)
|v|2
e− 2σ2

dv
 v(0) ∼ G(dv) =
(2πσ 2 )d/2
where γ and σ are strictly positive.
We will suppose that V ∈ D(D), so that
Z
|DV (η)|2 µ(dη) < ∞
(2.2)
X
and that there is a positive σ0 such that
Z
2
e−V (η)/σ0 µ(dη) < ∞.
X
(2.3)
Homogeneization in a frozen environment
49
σ will be therefore taken less than σ0 . In order to have a solution for equation
(2.1), we will also need the following usual Lipschitz condition : for any
compact subset K ⊂ Rd , and for any η ∈ X, there exists a constant cK (η)
such that µ[c(η) < ∞] = 1 and for all x, y in K
|∇x V (x, η) − ∇x V (y, η)| ≤ cK (η)|x − y|.
(2.4)
The following proposition holds
Proposition 2.2.1 Under assumptions (2.2), (2.4), the process (xη (t), v(t))
is well defined for any t ≥ 0 up to a possible explosion time. The generator
of this process is given by
Lη = γ(σ 2 ∆v − v · ∇v ) + v · ∇x − ∇x V (x, η) · ∇v .
♦ The existence and unicity of a strong solution are direct consequences of
(2.4) and usual theorems about solutions of stochastic differential equations,
see for instance [11] for details. The computation of the generator is a direct
consequence of Ito’s formula. ♦
We associate to (xη , v) the Markov process (η(t), v(t)) defined on X × Rd ,
where η(t) will be the environment as seen by an observer “sitting on the
particle”. We define η(t) on X by

 η(t) = τ−xη (t) η

η(0) = η.
Proposition 2.2.2 The following assertions are true
a. η(t) is a Markov process on X whose semigroup is given by
Z
t
P f (η) = Eη [f (η(t))] =
P η (t, 0, dy)f (τ−y η)
Rd
where P t is defined on L∞ (X) and P η is the transition function of xη (t).
b. Therefore, we define on X × Rd the Markov process (η(t), v(t)) whose
generator is given by
L = γ(σ 2 ∆v − v · ∇v ) + v · D − DV (η) · ∇v
and we will denote
(2.5)
S = γ(σ 2 ∆v − v · ∇v )
(2.6)
A = v · D − DV (η) · ∇v .
50
Homogeneization in a frozen environment
c. The probability measure
2
e−V (η)/σ µ(dη)G(dv)
dπ = Z
2
e−V (η)/σ µ(dη)
X
is invariant and ergodic for L. Moreover S and A are respectively symmetric
and antisymmetric for π. In the following, h.i will denote the expectation with
respect to dπ, and h., .i the associated scalar product on L2 (π). Moreover, P t
extends to a strongly continuous positive contraction semigroup over Lp (π),
p ≥ 1.
d. For π-almost all η, the process (xη (t), v(t)) is finite and square integrable for all t ≥ 0, and therefore (η(t), v(t)) is well-defined for all t ≥ 0.
♦ The proof of (a) can be checked in the previous chapter, proposition 1.1.2.
The proof of (b), as long as the invariance of π are simple computations,
using the next lemma 2.2.3.
Let us prove now the ergodicity of π : we consider f (η, v) ∈ D(L) ∩ D(D)
such that
Lf = 0.
(2.7)
Multiplying (2.7) by f and intergrating it with respect to π, we obtain
hf, Lf i = − |∇v f |2 = 0
so that f must be almost surely independant on v. But this implies that for
almost all v ∈ Rd , we must have
v · Df = 0
and then Df = 0. As G is ergodic with respect to µ, this implies that f
does not depend on η either, and then that f is µ ⊗ G(dv)-almost surely
constant. As π is equivalent to µ ⊗ G(dv), f is π-almost surely constant, and
π is ergodic. The extension of P t is now the same a in the previous chapter,
proposition 1.1.2.
Let us prove now point (d). One can see that
d(eγt v(t)) = −eγt DV (xη (t), η)dt +
p
2γσ 2 eγt dw(t)
Homogeneization in a frozen environment
51
so that
v(t) = v(0)e
−γt
Z
t
eγ(s−t) DV (xη (s), η)ds
−
0
Z t
p
2
+ 2γσ
eγ(s−t) dw(s)
0
η
γx (t) = v(0) 1 − e
−γt
Z
−
t
1 − eγ(s−t) DV (xη (s), η)ds
0
t
Z
p
2
+ 2γσ
1 − eγ(s−t) dw(s).
0
Then, for all T > 0, if E denotes the expectation with respect to the joint
distribution of v(0) and w, we have, as π is invariant
* "
E
#+
2
2
sup |v(t)|
2
Z
T
≤ σ + 8γσ T + 2T
t∈[0,T ]
E
|DV (xη (s), η)|2
ds
0
≤ σ 2 + 8γσ 2 T + 2T 2 |DV |2 < ∞
* "
E
#+
η
2
sup |x (t)|
t∈[0,T ]
σ2
σ2
2
≤ 2 + 8 T + 2T
γ
γ
γ
≤
Z
T
E
|DV (xη (s), η)|2
ds
0
σ2
σ2
2
+
8
T + 2 T 2 |DV |2 < ∞
2
γ
γ
γ
and (d) is also proved. ♦
The next lemma, gives the key of all the calculus done in this chapter.
52
Homogeneization in a frozen environment
Lemma 2.2.3
∀φ, ψ ∈ D(D)
Z
a)
Dφ(η)µ(dη) = 0
X
Z
Z
Dφ(η)ψ(η)µ(dη) = −
b)
X
Dψ(η)φ(η)µ(dη)
X
c) hφ, DV i = σ 2 hDφi
d) hvφi = σ 2 h∇v φi .
♦ The first three points have already been proved in the introduction of this
thesis, see lemma (I.1). The last one is a simple integration by parts. ♦
At last we can notice that the Dirichlet form associated to L is given by
− hLφ, φi = − hSφ, φi = γσ 2 |∇v φ|2 .
2.2.2
The resolvent equation
Introduction of useful functional spaces
Let us introduce a few useful functional spaces.
We define H1 by the completion of
1
{∇v φ, φ ∈ D(L)/kφk21 = − 2 hSφ, φi = |∇v φ|2
γσ
< ∞}
for the norm k.k1 defined as above. We will also denote
H̃1 = {φ ∈ L2 , ∇v φ ∈ H1 }
endowed of the norm k.k2H̃ = k.k2L2 + σ 2 k.k21 . Notice that they are both
1
Hilbert spaces.
Let us now define the dual space of H̃1 . We will denote by C−1 the space
of all the functions ψ of H̃1 verifying
sup (2 hψ, φi − kφk2H̃1 ) < ∞
(2.8)
φ∈H̃1
and by kψk2H̃
−1
this finite supremum. H̃−1 will be the completion of C−1 for
the norm k.kH̃−1 . The action of H̃−1 will be denoted by H̃−1 h., .iH̃1 . This action
is continuous and the operator norm of ψ ∈ H̃−1 is kψkH̃−1 , see propostion
1.2.1 of the previous chapter. We define the same way H−1 and H−1 .
Homogeneization in a frozen environment
53
Existence and unicity of solutions for the resolvent equation
Let us consider the following resolvent equation for all λ > 0
λhλ − Lhλ = l · v
(2.9)
where l is fixed in Rd . We will first give the existence and the unicity, in some
sense, of the solution hλ of (2.9).
Proposition 2.2.4 The equation (2.9) is satisfied in H̃−1 and it has a
unique solution hλ in H̃1 . Moreover, Ahλ and Shλ are in H̃−1 . At last, the
following inequalities hold

2

2
2σ


λ
h
≤
|l|
λ


γ
(2.10)

2

|l|


 |∇v hλ |2 ≤ 2 .
γ
♦ We will define hλ as the limit in H̃1 of a family of functions of H1 . For
positive β, let us consider the equation
2
2
λhλ,β − βeV /σ D · (e−V /σ Dhλ,β ) − Shλ,β − Ahλ,β = l · v.
(2.11)
More precisely, ∀φ ∈ H1
λ hhλ,β , φi + β hDhλ,β · Dφi + γσ 2 h∇v hλ,β · ∇v φi
(2.12)
+ hhλ,β , Aφi = hl · v, φi .
Let us notice that ∀φ, ψ ∈ H1
| hψ, Aφi | = σ 2 | h∇v ψ · Dψi − hDφ · ∇v ψi |
≤ CkψkH1
then
φ ∈ H1 ⇒ Aφ ∈ H−1 .
∀β > 0, the bilinear form in the left term of (2.12) is continuous and
coercitive on H1 . Therefore, Lax-Milgram theorem gives the existence and
the unicity of hλ,β in H1 such that (2.12) is verified. Furthermore, while
substituting φ = hλ,β in (2.12), one obtains
hl · v, hλ,β i = σ 2 hl · ∇v hλ,β i
= λ h2λ,β + β h|Dhλ,β |2 i + γσ 2 h|∇v hλ,β |2 i .
54
Homogeneization in a frozen environment
1/2
Thus, as hl · ∇v hλ,β i ≤ |l| h|∇v hλ,β |2 i




|∇v hλ,β |2








λ h2λ,β ≤










 β |Dhλ,β |2
, we have the following inequalities
≤
|l|2
γ2
σ2 2
|l|
γ
(2.13)
σ2 2
|l| .
γ
≤
The family of functions hλ,β is uniformly bounded in H̃1 and then, one
can extract a subsequence, weakly convergent in β to hλ ∈ H̃1 . This limiting
point is unique, for it is solution of (2.9), and λ − L is injective for λ > 0
because of the nonpositivity of S.
From (2.12), we obtain
|H−1 hAhλ,β , φiH1 | ≤ λ h2λ,β
1/2
1/2
hφ2 i
1/2
+γσ 2 h|∇v hλ,β |2 i
1/2
h|∇v φ|2 i
1/2
+|l|σ 2 h|∇v φ|2 i
1/2
+β h|Dhλ,β |2 i
1/2
h|Dφ|2 i
(2.14)
1/2
λ
≤σ
|l| φ2
γ
1/2
1/2
+|l|σ 2 h|∇v φ|2 i
1/2
β
|l| |Dφ|2
+σ
γ
1/2
thanks to (2.13). Therefore, by taking the weak limit in β, we can consider
Ahλ as an element of H−1 . The inequality
1/2
λ
1/2
1/2
|H−1 hAhλ , φiH1 | ≤ σ
|l| φ2
+ |l|σ 2 |∇v φ|2
(2.15)
γ
allows us to extend the domain of Ahλ , which we can now consider as an
element of H̃−1 .
Homogeneization in a frozen environment
55
By taking the weak limit in (2.12) while using the inequalities (2.13) and
(2.15), we have ∀φ ∈ H̃1
λ hhλ , φi + γσ 2 h∇v hλ · ∇v φi +H̃−1 hAhλ , φiH̃1 = hl · v, φi .
(2.16)
In fact, Ahλ is now an element of H̃−1 defined by :
H̃−1 hAhλ , φiH̃1
= λ hhλ , φi + γσ 2 h∇v hλ · ∇v φi − hl · v, φi .
(2.17)
At last, it is clear that Shλ ∈ H̃−1 . We have also obtained by taking the limit
in β in (2.13) :

2

2σ
2


≤
|l|
λ
h
λ


γ
♦

2

|l|


 |∇v hλ |2 ≤ 2 .
γ
Asymptotic behaviour of the solution
From now on, fλ and gλ will denote respectively the even and the odd
part of hλ with respect to v, i.e. for all (η, v)
fλ (η, v) =
hλ (η, v) + hλ (η, −v)
2
(2.18)
hλ (η, v) − hλ (η, −v)
.
gλ (η, v) =
2
The following lemma holds.
Lemma 2.2.5 The family (gλ ) is uniformly bounded in L2 (π)
gλ2 ≤ |l|2
σ2
.
γ2
(2.19)
♦ The family of Hermite’s polynomials form an orthonormalized basis for
the operator S, which has a spectral gap equal to γ. As
Z
gλ (η, v)G(dv) = 0
Rd
we may apply Poincaré’s inequality, which gives
Z
Z
1
2
gλ (η, v) G(dv) ≤ −
gλ (η, v)Sgλ (η, v)G(dv)
γ Rd
Rd
Z
2
|∇v gλ (η, v)|2 G(dv)
=σ
Rd
56
Homogeneization in a frozen environment
and then thanks to (2.10)
gλ2
≤σ
2
2
|∇v gλ |
2σ
≤ |l|
2
γ2
.♦
We are now able to show the following proposition
Proposition 2.2.6 We have
lim λ h2λ = 0
λ→0
(2.20)
Furthermore, there exists ξ in H1 such that
lim |∇v hλ − ξ|2 = 0.
λ→0
(2.21)
♦ Using the regularisation used in the proof of proposition 2.2.4, let us introduce the respective even and odd parts in v of hλβ
fλβ (η, v) =
hλβ (η, v) + hλβ (η, −v)
2
gλβ (η, v) =
hλβ (η, v) − hλβ (η, −v)
.
2
Homogeneization in a frozen environment
57
Using (2.13), it is obvious that fλβ and gλβ are in H1 . Then, thanks to (2.14),
we see that for all φ(η, v) in H1
| hAfλβ , φi | = | Afλβ , φ̌ |
= | Ahλβ , φ̌ |
1/2
λ
≤σ
|l| φ̌2
γ
1/2
1/2
+|l|σ 2 |∇v φ̌|2
1/2
β
+σ
|l| |Dφ̌|2
γ
1/2
λ
≤σ
|l| φ2
γ
1/2
1/2
1/2
+|l|σ 2 h|∇v φ|2 i
1/2
β
|l| |Dφ|2
+σ
γ
1/2
and the same kind of inequality for Agλβ , where φ = φ̂ + φ̌ is the decomposition of φ in its even and odd parts with respect to v. Then, taking the limit
in β, we can consider Afλ and Agλ as elements of H̃−1 . Moreover, as for all
positive λ, µ, β and β 0 , we have
hAfλβ , gµβ 0 i = − hfλβ , Agµβ 0 i
we obtain by taking the weak limits in β and β 0
H̃−1 hAfλ , gµ iH̃1
= −H̃−1 hAgµ , fλ iH̃1 .
Using (2.18), (2.9) gives
λfλ − Sfλ − Agλ = 0
(2.22)
λgλ − Sgλ − Afλ = l · v.
(2.23)
and
Let µ be any positive real number. Multiplying (2.23) by gµ and integrating
it with respect to π, we obtain
λ hgλ , gµ i + γσ 2 h∇v gλ · ∇v gµ i −H̃−1 hAfλ , gµ iH̃1 = σ 2 hl · ∇v gµ i .
58
Homogeneization in a frozen environment
Then, using (2.22), we have
λ hgλ , gµ i + µ hfλ , fµ i + γσ 2 h∇v gλ · ∇v gµ i
+γσ 2 h∇v fλ · ∇v fµ i
(2.24)
2
= λ hgλ , gµ i + µ hfλ , fµ i + γσ h∇v hλ · ∇v hµ i
= σ 2 hl · ∇v gµ i = σ 2 hl · ∇v hµ i .
Thanks to (2.10), the family (∇v hλ ) is weakly compact in H1 when λ goes
to 0. Let ξ be a weak limiting point of this family. We will also denote by
g0 an L2 -weak limiting point of the family (gλ ). We consider a subsequence
λn such that ∇v hλn converges weakly to ξ and (gλn ) converges weakly to g0 .
Then (2.24) gives
λn gλn , gλp + λp fλn , fλp + γσ 2 ∇v hλn · ∇v hλp
= σ 2 l · ∇v hλp .
Letting p and then n go to infinity, we obtain
γ |ξ|2 = hl · ξi .
(2.25)
λ h2λ + γσ 2 |∇v hλ |2 = σ 2 hl · ∇v hλ i
(2.26)
(2.9) gives for all λ > 0
and then
lim sup γ |∇v hλn |2 ≤ hl · ξi .
Then, thanks to the weak convergence of (∇v hλn ) to ξ, we have
hl · ξi = γ h|ξ|2 i
≤ lim inf γ h|∇v hλn |2 i
(2.27)
≤ lim sup γ h|∇v hλn |2 i
≤ hl · ξi
and (∇v hλn ) converges strongly to ξ. Now (2.25) and (2.26) imply (2.20) for
the subsequence λn .
Homogeneization in a frozen environment
59
The last thing that needs to be proved now is the uniqueness of this limit.
Let us suppose that there exists another weak limiting point ξ 0 . Then, it must
be a strong limiting point. Let ∇v hλn and ∇v hµn be two subsequences which
converge respectively to ξ and ξ 0 . It is obviously possible to choose λn and
µn so that they are equivalent as n goes to infinity. Then
γσ 2 h|∇v (hλn − hµn )|2 i = hhλn − hµn , L(hλn − hµn )i
(2.28)
= hhλn − hµn , λn hλn − µn hµn i
by letting n go to infinity, we obtain that ξ = ξ 0 and the limit is unique.
The weakly compact sequence (∇v hλ ) has a unique possible weak limiting
point ξ, then it converges weakly to this point. But the same argument as
previously proves that this limit must be strong. The proof of the proposition
is therefore complete. ♦
2.2.3
Central limit theorem
Now, the homogeneization theorem 2.1.1 can be proved. The first part of
the proof will be the convergence of the finite-dimensional distributions of xηε
to those of a Brownian motion. The second part will show the non-degeneracy
of the diffusion matrix. The last part will be the proof of the continuity of
the limit process.
Convergence of the finite-dimensional distribution
Let us consider the local martingale
Z
λ
M (t) = hλ (η(t), v(t)) − hλ (η, v(0)) −
t
Lhλ (η(s), v(s))ds
0
=
p
Z
2γσ 2
t
∇v hλ (η(s), v(s)) · dws .
0
and its quadratic variation
M
λ
t
= 2γσ
2
Z
t
|∇v hλ (η(s), v(s))|2 ds.
0
This quadratic variation has finite expectation for all t, so that M λ is a
martingale of integrable square.
60
Homogeneization in a frozen environment
Then, one can write
η
Z
−2
ε−2 t
l · v(s)ds
l · εx (ε t)) = ε
Z0
ε−2
[λhλ (η(s), v(s)) − Lλ hλ (η(s), v(s)]ds
=ε
0
Z
ε−2 t
hλ (η(s), v(s))ds + εM λ (ε−2 t)
= λε
0
−εhλ (η(ε−2 t), v(ε−2 t)) + εhλ (η, v).
Choosing λ = ε2 ,
η
−2
l · εx (ε t) = ε
3
Z
ε−2 t
2
hε2 (η(s), v(s))ds + εMεε−2 t
0
−εhε2 (η(ε−2 t), v(ε−2 t)) + εhε2 (η, v).
We introduce the notations
2
M̃tε = εMεε−2 t
and
ε
M̃s,t
= M̃tε − M̃sε .
Let us consider the differences
∆s,t xηε = l · εxη (ε−2 t) − l · εxη (ε−2 s)
ε
and compare them to M̃s,t
. The following asymptotic result is true
Lemma 2.2.7
ε 2
lim Eπ [(∆s,t xηε − M̃s,t
) ] = 0.
ε→0
Homogeneization in a frozen environment
61
♦ We have (up to a constant)
ε 2
Eπ [(∆s,t xηε − M̃s,t
) ] ≤ Eπ [ε2 (hε2 (η(ε−2 t), v(ε−2 t)))2 ]
+Eπ [ε2 (hε2 (η(ε−2 s), v(ε−2 s)))2 ]

+Eπ ε6
!2 
ε−2 t
Z
hε2 (η(r), v(r))dr
ε−2 s

≤ 2ε2 h2ε2
Z
2
ε−2 t
+ε (t − s)
ε−2 s
Eπ [(εhε2 (η(r), v(r)))2 ]dr)
= (2 + (t − s)2 )ε2 h2ε2
which goes to 0 thanks to (2.20). ♦
It is possible to simplify the estimation of ∆s,t xηε . Let us introduce
ε
M̂ (t) = ε
p
Z
2γσ 2
ε−2 t
ξ(η(s), v(s)) · dws
0
where ξ is defined in (2.21) and
ε
M̂s,t
= M̂ ε (t) − M̂ ε (s).
Then
Lemma 2.2.8
ε 2
lim Eπ [(∆s,t xηε − M̂s,t
) ] = 0.
ε→0
62
Homogeneization in a frozen environment
♦ This result is mainly due to Doob inequality and to the invariance of π.
Up to a constant, we have
ε
ε
Pπ [ sup |M̃s,r
− M̂s,r
| > δ]
s≤r≤t
≤
1
ε
ε 2
Eπ [(M̃s,t
− M̂s,t
)]
δ2
γσ 2 2
= 2 ε
δ
Z
ε−2 t
ε−2 s
Eπ [|∇v hε2 (η(r), v(r)) − ξ(η(r), v(r))|2 ]dr
=
γσ 2 2
ε |∇v hε2 − ξ|2 ε−2 (t − s)
δ2
=
γσ 2
(t − s) |∇v hε2 − ξ|2 .
δ2
Then
ε
ε
lim Pπ [ sup |M̃s,r
− M̂s,r
| > δ] = 0
ε→0
s≤r≤t
and the lemma is proved. ♦
Now, there only remains to prove
Theorem 2.2.1 The finite dimensional distributions of ∆s,t xηε converge in
µ- probability to those of a Brownian motion.
♦ For that, let us consider a time interval [0, T ], and subdivise it by
0 ≤ t0 < t1 < t2 ... < tm ≤ T . Let us define
~
M̂ ε = (M̂tε0 t1 , ..., M̂tεm−1 tm )
~ η = (∆t0 t1 xη , ..., ∆tm−1 tm xη ).
∆x
ε
ε
ε
Thanks to the previous results
∀n ∈ N,
~ε 2
~ η − M̂
lim Eπ [k∆x
k ] = 0.
ε
ε→0
We introduce the family of stopping times
EE
o
n
DD
ε
−1
τε = inf r > 0, M̂s,r
>1+ε
with inf(∅) = ∞.
Homogeneization in a frozen environment
63
We have τε → ∞ µ-almost surely as ε → 0. So, we can use the martingales
which have bounded quadratic variations, and we can apply to them
the ergodic theorem, which gives
DD
EE
ε
lim
M̂s,t∧τε = 2γσ 2 (t − s) |ξ|2 = 2(t − s)a.
ε
M̂s,r∧τ
,
ε
ε→0
Using this and the usual properties of exponential martingales, we have :
ε
2
−θ (t−s)a
∀θ ∈ R, E[eiθhM̂s,t∧τε |Fε−2
s] − e
i
θ2
ε
ε
= E eiθM̂s,t∧τε 1 − e 2 (hhM̂s,t∧τε ii−2(t−s)a) Fε−2 s
which proves
h
lim E e
ε
iθM̂s,t∧τ
ε
ε→0
i
F
ε−2 s
= e−θ
2 (t−s)a
.
Iterating this procedure, we eventually obtain
h
i
ε
ε
2
2
lim E eiθ1 M̂t0 ∧τε ,t1 ∧τε +iθ2 M̂t1 ∧τε ,t2 ∧τε +... Fε−2 t0 = e−θ1 (t1 −t0 )a−θ2 (t2 −t1 )a−...
ε→0
which proves the convergence of finite dimensional distributions to those of
a brownian motion with diffusion h|ξ|2 i and consequently the convergence
of εxη (ε−2 t) to a d-dimensional brownian motion with diffusion matrix Σou
defined by
l · ΣOU l = γσ 2 |ξl |2 .
Non-degeneracy of ΣOU
We make here the assumptions
 V
 e ∈ L1 (µ)

(2.29)
2
DV ∈ L (µ)
Let us consider equation (2.11), multiply it by v and integrate it with respect
to G(dv) ⊗ µ(dη). Let us consider each term separetely.
Z
Z
2
λvhλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) −→ λσ
∇v hλ (η, v)G(dv)µ(dη)
X×Rd
β→0
≤ λσ
X×Rd
2
2 1/2
Z
|∇v hλ |
e dµ
X
−→ 0.
λ→0
V
1/2
64
Homogeneization in a frozen environment
Z
2
2
βveV (η)/σ D · (e−V (η)/σ Dhλ,β (η, v)) G(dv)µ(dη)
X×Rd
≤ βσ
−2
Z
|v||DV (η)||Dhλ,β (η, v)|G(dv)µ(dη)
X×Rd
β 1/2
≤
σ
Z
Z
1/2
1/2
1/2
V
|DV | µ(dη)
β
e dµ
|Dhλ,β |2
2
X
X
−→ 0
β→0
thanks to (2.13) and (2.29).
Z
vShλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) = −γσ
2
Z
∇v hλ,β (η, v)G(dv)µ(dη)
X×Rd
X×Rd
−→ −γσ
2
λ,β→0
ξ(η, v))G(dv)µ(dη).
X×Rd
Z
Z
Z
vAhλ,β (η, v)G(dv)µ(dη) =
|v|2 · Dhλ,β (η, v)
X×Rd
X×Rd
−vDV (η) · ∇v hλ,β (η, v) G(dv)µ(dη)
Z
=−
vDV (η) · ∇v hλ,β (η, v)G(dv)µ(dη)
X×Rd
Z
−→ −
vDV (η) · ξ(η, v)G(dv)µ(dη).
λ,β→0
X×Rd
We finally obtain
Z
Z
2
l = γσ
ξ(η, v)G(dv)µ(dη) +
X×Rd
vDV (η) · ξ(η, v)G(dv)µ(dη).
X×Rd
Thanks to Schwarz inequality, to (2.29) and to (2.2), there exist positive
constants C1 and C2 such that the right two terms of the previous equality
1/2
1/2
are respectively less than C1 h|ξ|2 i and C2 h|ξ|2 i . Therefore, we obtain
the following inequality
2|l|2
|ξ|2 ≥
C1 + C2
for all l. ♦
Homogeneization in a frozen environment
65
Tightness
It is obvious that
kvkH̃−1 = σ 2 .
Then applying inequality (I.8) presented in introduction, we have for all
T > 0 the following compacity result




Eπ  sup |εxη (ε−2 t) − εxη (ε−2 s)|2  ≤ 8σ 2 δ
|t−s|≤δ
0≤s≤t≤T
which proves the tightness of εxη (ε−2 t) and therefore the continuity of the
limit process.
Notice that a much stronger result can also be proved using Garsia-RodemichRumsey’s inequality (see [25]). See for instance chapter 3 of [16].
2.2.4
Random viscosity
We consider here the similar problem where the viscosity is given by a
stationary random field. Let γ(η) be a bounded random real-valued variable
defined on X. We consider the associated stationary field
γ(x, η) = γ(τ−x η).
Let us suppose that this field verifies
inf γ(η) = γ∗ > 0
η∈X
(2.30)
and the following regularity condition : for any compact subset K ∈ Rd , and
for any η ∈ X, there exists a constant CK (η) such that µ[CK (η) < ∞] = 1
and for all x, y in K
|γ(x, η) − γ(y, η)| ≤ CK (η)|x − y|.
(2.31)
0
Notice that hypothesis (2.30) and (2.31) together give the existence of CK
0
such that µ[CK
(η) < ∞] = 1 and for all x, y in K
p
p
0
(η)|x − y|
| γ(x, η) − γ(y, η)| ≤ CK
which ensures the existence of the stochastic process considered below. Notice
that the boundedness of γ is not really needed. The interested reader could
replace it by a lighter assumption.
66
Homogeneization in a frozen environment
We consider the following system of stochastic differential equations

 dxη (t) = v(t)dt

dv(t) = −γ(xη (t), η)v(t)dt − ∇x V (xη (t), η)dt +
with initial conditions

η

 x (0) = 0
p
2γ(xη (t), η)σ 2 dw(t)
|v|2
e− 2σ2

dv.
 v(0) ∼ G(dv) =
(2πσ 2 )d/2
(xη , v) is a Markov process over (Rd )2 , and if we introduce the environment
η(t) as seen from the particle, then (η(t), v(t)) is also a Markov process on
X × Rd whose generator is given by
L = γ(η)(σ 2 ∆v − v · ∇v ) + v · D − DV (η) · ∇v .
The measure π is still invariant and ergodic for this process. The symmetric
part S still has a positive spectral gap γ∗ . Now, introducing as precedently
the solution hλ of the resolvent equation (λ − L)hλ = l · v, one can prove the
following inequalities

2

2
2σ


λ
h
≤
|l|
λ


γ∗






|l|2
|∇v hλ |2 ≤ 2

γ∗







|l|2


.
 γ|∇v hλ |2 ≤
γ∗
Then, using the same arguments, it is easy to prove the proposition
Proposition 2.2.9
lim λ h2λ = 0
λ→0
and there exists Ξ in H1 such that
√
lim k γ∇v hλ − ΞkL2 (π) = 0
λ→0
and the following central limit theorem
Theorem 2.2.2 The process εxη (ε−2 t) converges weakly in π -probability to
a brownian motion whose diffusion matrix is the only symmetric matrix ΣOU
defined by
l · ΣOU l = σ 2 |Ξl |2 .
System of interacting particles
2.3
67
System of interacting particles
Let us now consider an infinite system of particles, each of them moving
according to an Ornstein-Uhlenbeck process. They will interact through a
two-body potential. We want to follow the movement of a special particle,
which we will tag. The tagged particle will evolve in a time dependant random environment whose evolution depends on the movement of the tagged
particle. A result of this kind has already been proved for the tagged particle
in a system of interacting Brownian motions. (cf. [10],[6]).
The probability space X is now the space of locally finite configurations
of particles in Rd with velocities in Rd , i.e.
X = {η = {xα , vα }α∈I0 ⊂ Rd , ∀B ∈ B(Rd ), η x ∩ B is finite}
where I0 is a countable set of indexes, B(Rd ) is the set of bounded subsets
of Rd and
η x = {xα }α∈I0
for all η = {xα , vα }α∈I0 ⊂ Rd . We endow X of the weakest topology such
that the map
X
φ : η 7→
h(xα , vα )
α∈I0
is continuous for any continuous compactly supported h mapping (Rd )2 to
R. F will be the corresponding Borel σ-algebra. The transformation group
G = {τx , x ∈ Rd } will be the group of space shifts
τx η = {xα + x, vα }.
We define the gradient of a suitable f with respect to xα ∈ η x
∇xα f (η) · l = lim δ −1 (f ([η \ {xα }] ∪ {(xα + δl}) − f (η))
δ→0
for all l ∈ Rd , and we similarly define its gradient ∇vα f with respect to a
velocity vα ∈ η. At last, we define the formal operator D
X
D=
∇ xα .
α
Let U be a twice continuously differentiable, compactly supported map on
R . We suppose that U is even and superstable as defined in (I.9) and (I.10).
d
68
System of interacting particles
The ergodic measure µ on F will be the grancanonical Gibbs measure
associated to the formal Hamiltonian
1X
1X
H0 (η) =
|vα |2
U (xα − xβ ) +
2 α6=β
2 α
with temperature σ 2 and fugacity z, see (I.11) and the following in the introduction of this thesis for some details. The existence of this measure is
ensured by the stability of U .
We study now the following system

∀α ∈ I0







dxα (t) = vα (t)dt


X
p



dv
(t)
=
−γ
v
(t)dt
−
∇U
(x
−
x
)dt
+
2γα σ 2 dwα (t)
α α
α
β

 α
β6=α
with initial condition distributed according to the Gibbs measure. The γα ’s
are positive constants verifying
inf γα = γ∗ > 0.
α∈I0
(2.32)
We consider now one of these particles, of index α0 , whose position and
velocity will be denoted respectively by x and v, and we tag it. As in
the previous section, we consider now the environment ω(t) = τ−x(t) η(t) =
{yα (t), vα (t)}. The system becomes

dx(t) = v(t)dt





!



X
p



2γσ 2 dw0 (t)
dv(t)
=
−γv(t)dt
+
∇U
(y
)
dt
+
β




β∈I





∀α ∈ I
(2.33)

dy
(t)
=
(v
(t)
−
v(t))
dt

α
α





X



dv
(t)
=
−γ
v
(t)dt−
∇U (yα − yβ )dt −∇U (yα )dt

α
α
α



β6
=
α





p

+ 2γα σ 2 dwα (t)
where I = I0 \ α0 .
System of interacting particles
69
We introduce the Palm measure π, whose density with respect to µ is
P
|v|2
U (xα )
dπ
= Z −1 e− α ( σ2 )− 2σ2
dµ
Z being a normalizing constant.
Introducing the new formal hamiltonian
H(η, v) = H0 +
X
U (xα ) +
α∈I
|v|2
2
the generator of (ω(t), v(t)) is given by
LIOU = SIOU + AIOU
(2.34)
with
SIOU = γ (σ 2 ∆v − v · ∇v ) +
X
γα σ 2 ∆vα − vα · ∇vα
α∈I
AIOU = −v · D + DH · ∇v +
X
(vα · ∇yα − ∇yα H · ∇vα )
α∈I
where SIOU and AIOU are respectively symmetric and antisymmetric with
respect to the invariant meausre π defined above. The Dirichlet form associated to this generator is given for any φ ∈ D(L) by
− hLφ, φi = γσ 2 |∇v φ|2 + σ 2
X
γα |∇vα φ|2 .
α
As in the first part, we define H1 as being the completion of the quotient
{φ ∈ D(L)/kφk21 = − hSIOU φ, φi < ∞}/Cst
where Cst is the space
Cst = {φ(η) ∈ D(D)}
p
and H̃1 the completion of L2 (π) ∩ H1 for the norm k.k2L2 + k.k21 . We also
define the dual spaces of these ones alla lo,ng with their norms, the same way
as done in (2.8).
70
System of interacting particles
Similarly to the previous section, one can prove the following propositions
Proposition 2.3.1 The resolvent equation
λuλ − LIOU uλ = l · v
(2.35)
is satisfied in H̃−1 and has a unique solution uλ in H̃1 for every vector l ∈ Rd
and all λ > 0. Moreover, AIOU uλ and SIOU uλ are in H̃−1 . The following
inequalities hold

2
λ hu2λ i ≤ |l|2 σγ






 2
γ h|∇v uλ |2 i ≤ |l|2
(2.36)


X



γα2 |∇vα uλ |2 ≤ |l|2 .


α∈I
Proposition 2.3.2 We have
lim λ u2λ = 0
λ→0
(2.37)
Furthermore, there exists (ξα )α∈I0 in (L2 (π))d such that for all α ∈ I0
lim |∇vα uλ − ξα |2 = 0
λ→0
and
X
|ξα |2 < ∞
α∈I0
♦ Let us extract a subsequence λn such that ∇v uλn and all the ∇vα uλn
converge weakly in L2 respectively to ξ and ξα (such a subsequence exists
because I is countable). Let us decompose uλ in its even and odd parts in all
the velocities, i.e.
ûλ (yα , vα , v) =
uλ (yα , vα , v) + uλ (yα , −vα , −v)
2
ǔλ (yα , vα , v) =
uλ (yα , vα , v) − uλ (yα , −vα , −v)
.
2
Using the fact that SIOU has a positive spectral gap γ∗ thanks to (2.32), we
have
1
|l|2 σ 2
ǔ2λ ≤ − hSIOU ǔλ , ǔλ i ≤
γ∗
γ∗
Comparison between the diffusion coefficients
71
Where γ∗ has been defined in (2.32). Then, using the same argument as in
the previous section, we have
X
γα |ξα |2 = hl · ξi .
γ |ξ|2 +
α∈I
We can complete the proof of the strong convergence of the subsequences as
in (2.27), and then the unicity of the limits as in (2.28). ♦
Then, the following theorem follows as in the previous section
Theorem 2.3.1 The process εx(ε−2 t) converges weakly in π -probability to a
Brownian motion whose diffusion matrix is the only symmetric matrix ΣIOU
defined by
X
l · ΣIOU l =
γα σ 2 |ξα,l |2 = σ 2 hl · ξl i .
α∈I0
2.4
Comparison between the diffusion coefficients
In this section, we will show a quantitative difference between the two
limit models obtained in the two studied cases : the Brownian case and the
Ornstein-Uhlenbeck case. We will also show that these two models go to the
same limit as γ goes to infinity.
2.4.1
Quantitative comparison
Let us remind that the diffusion matrix in the Brownian case is defined
for all l ∈ Rd by the following variational formula
l · ΣM B l =
σ2
σ2
|l − ζl |2 =
γ
γ
inf
|l − Dφ|2 .
(2.38)
φ∈D(D)
where ζl is defined by (1.8). One can prove the following
Theorem 2.4.1
ΣOU < ΣM B .
(2.39)
♦ Let us introduce SCI(D), the closure of the range of D, precisely the
closure in L2 (π) for the strong topology of
I(D) = {Dφ, φ(η) ∈ D(D)}.
72
Comparison between the diffusion coefficients
Thanks to the variational formula (1.10), we are trying to compare the distance between l and SCI(D), and γ 2 h|ξl |2 i, where ξl is defined by (2.21).
Using (2.25), we know that
γ |ξl |2 = hl · ξl i
and then
2
γ |ξl |
(2.40)
Z
= l · ξl G(dv)
R
Let us go back to (2.11) and integrate it with respect to G(dv)
Z
Z
−2
λ hλβ G(dv) +β(σ DV − D) · D hλβ G(dv)
R
R
+(DV − σ 2 D) ·
Z
∇v (hλβ )G(dv) = 0
R
which implies, taking the limit in β and then in λ
Z
2
(DV − σ D) · ξl G(dv) = 0
R
or equivalently, for all φ ∈ D(D)
Z
ξl G(dv) · Dφ = 0.
(2.41)
R
Moreover we have
Z l · γ ξl = γ 2 |ξl |2
R
hl · ζl i = |ζl |2
Z
ξl G(dv)⊥ζl
γ
R
The last one is a consequence of (2.41) as ζl ∈ SCI(D). Then, Pythagoras’
theorem shows
|ζl |2 + γ 2 |ξl |2 ≤ |l|2
As it it obvious that
|ζl |2 + |l − ζl |2 = |l|2
we obtain
γ 2 |ξl |2 ≤ |l − ζl |2 .
(2.42)
Comparison between the diffusion coefficients
73
Let us suppose we have an equality in (2.42). This means that
Z
ξl G(dv) = l − ζl
γ
R
and then
|l − ζl |2 = γ 2
*Z
2
+
= γ 2 |ξl |2
ξl G(dv)
(2.43)
R
But Jensen’s inequality gives
*Z
2
ξl G(dv)
+
≤ |ξl |2
R
and this inequality can be an equality if and only if ξl is independant on v.
From now on, we suppose that (2.43) is verified. Let us write
X
hλβ (η, v) =
cn1 ...nd λβ (η)Hn1 ...nd (v/σ)
(n1 ,...nd )∈Nd
the expansion of hλ,β with respect to the Hilbert’s basis of Hermite’s polynomials defined by

H0 (x) = 1








H1 (x) = x



x


Hn+1 (x) = √
Hn (x) −



n
+
1





√
 0
Hn (x) = nHn−1 (x)
r
n
Hn−1 (x)
n+1
(2.44)
in dimension 1 and
Hn1 n2 ..nd (x) =
d
Y
i=1
Hni (xi )
(2.45)
74
Comparison between the diffusion coefficients
in dimension d. We will also use the following notations :

c0λβ = c0...0λβ







(k)

c1λβ = c0...010...0λβ where the “one” is in k-th position






(1)
(d)
C1λβ = (c1λβ , ..., c1λβ ) ∈ Rd





(k)


c2λβ = c0...020...0λβ where the “two” is in k-th position






 (ij)
c2 = c0.1.0.1.0λβ where the “ones” are in i-th and j-th positions
The other notations used after can be easily deduced from these ones. Using
these notations, by (2.11) and (2.44), we obtain the following system

λc0λβ −(σD · C1λβ − σ −1 DV · C1λβ )







2
2


−βeV /σ D · (e−V /σ Dc0λβ ) = 0
(a)








and ∀k ∈ {1, ..., d}



√
(k)
(k)
(k)
(λ + γ)c1λβ −σDk c0λβ − 2(σDk c2λβ − σ −1 Dk V c2λβ )






X


−1
ik

−
(σDi cik
(bk )

2λβ − σ Di V c2λβ )



i6
=
k






2
2

(k)
−βeV /σ D · (e−V /σ Dc1λβ ) = σlk
There are infinitely many other equations which we will not use, so we do
not write them. The following results come straight from previous ones :
– From (2.13), we deduce
β |Dhλβ |2 ≤
σ2
σ2 2
|l| ⇒ ∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd , β |Dcn1 ...nd λβ |2 ≤ |l|2
γ
γ
– as hλβ converges weakly when β goes to 0
∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd , ∃cn1 ...nd λ ∈ L2 (π) cn1 ...nd λβ * cn1 ...nd λ
β→0
weakly in L2 (π)
Comparison between the diffusion coefficients
75
– thanks to strong convergence of ∇v hλ , ∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd such that
n1 + ... + nd ≥ 1
∃cn1 ...nd ∈ L2 (π)
lim (cn1 ...nd λ − cn1 ...nd )2 = 0
λ→0
– and thanks to λ hh2λ i → 0
∀(n1 , ..., nd ) ∈ Nd , λ c2n1 ...nd λ → 0
One can see that (2.25) is equivalent to
X
(n1 + ... + nd )γ c2n1 ...nd = σ hl · C1 i
(n1 ,...,nd )∈Nd
and implies
γ |C1 |2 ≤ σ hl · C1 i .
and then that (2.43) implies
c2n1 ...nd λ → 0 ∀(n1 , ..., nd ) such that n1 + ... + nd ≥ 2
(2.46)
Let us consider a function φ(η, v) in D(D). Then (2.11) implies
λ hhλβ , φi +γσ 2 h∇v hλβ · ∇v φi
+ hhλβ − c0λβ , v · Dφ − DV ∇v φi
(2.47)
+β hDhλβ · Dφi
= hl · v, φi + σ 2 hDc0λβ · ∇v φi
Thanks to (2.46), one can assert that
hλ − c0λ →
C1 · v
σ
and
∇v hλ =→
C1
σ
strongly in L2 . But the equations (bk ) alltogether with (2.46) imply
λ→0,β→0
hDc0λβ · ∇v φi −→
γ
hC1 · ∇v φi − hl · ∇v φi
σ
76
Comparison between the diffusion coefficients
Taking the limit twice in (2.47), we have
hv · C1 , v · Dφ − DV · ∇v φi = 0
⇔ hv · D(v · C1 ) − DV · ∇v (v · C1 ), φi = 0
for all φ, and this implies
v · D(v · C1 ) − DV · ∇v (v · C1 ) = 0.
As C1 = ξl is independant on v, this is equivalent to
v · D(v · ξl ) − DV · ξl = 0.
which is impossible as ξl does not depend on v. Therefore, (2.42) is a strict
inequality and the proof of theorem 2 is done. ♦
2.4.2
Asymptotic comparison
The purpose of this section is to prove the following asymptotic result
Theorem 2.4.2
lim γ(ΣM B − ΣOU ) = 0
γ→∞
(2.48)
In all the following, we will explicitly denote the dependance in γ of all
the variables considered in this chapter (for instance, L(γ), hλ (γ), etc...). The
following lemma holds
Lemma 2.4.1 There exists a vector-valued function a with |a| ∈ L2 (π) such
that
lim |γξ(γ) − a|2 = 0
(2.49)
γ→∞
♦ Let γ > γ 0 be two positive real numbers, and let us consider the
resolvent equations (2.9) associated to the operators L(γ) and L(γ 0 ). We
obtain the following equation
(λ − L(γ))hλ (γ) = (λ − L(γ 0 ))hλ (γ 0 ).
(2.50)
Multiplying (2.50) by hλ (γ) and hλ (γ 0 ), and adding these two equations, we
obtain
λ hhλ (γ)2 + hλ (γ 0 )2 i + σ 2 (γ h|∇v hλ (γ)|2 i + γ 0 h|∇v hλ (γ 0 )|2 i
= 2λ hhλ (γ), hλ (γ 0 )i + (γ + γ 0 )σ 2 h∇v hλ (γ) · ∇v hλ (γ 0 )i
Comparison between the diffusion coefficients
77
Letting λ go to 0, we find
γ |ξ(γ)|2 + γ 0 |ξ(γ 0 )|2 = (γ + γ 0 ) hξ(γ) · ξ(γ 0 )i
(2.51)
Then, applying Cauchy-Schwarz inequality in (2.51)
γ |ξ(γ)|2 + γ 0 |ξ(γ 0 )|2 ≤ (γ + γ 0 ) |ξ(γ)|2
Or equivalently
γ |ξ(γ)|2
1
2
− γ 0 |ξ(γ 0 )|2
1
2
1
2
1
2
|ξ(γ)|2
≤
|γ 0 ξ(γ 0 )|2 .
|ξ(γ 0 )|2
− |ξ(γ 0 )|2
1
2
1
2
(2.52)
≤ 0.
As γ 0 > γ, we obtain
|γξ(γ)|2
Therefore h|γξ(γ)|2 i is increasing in γ. But (2.10) implies
|γξ(γ)|2
≤ |l|2
And then h|γξ(γ)|2 i converges to some real u2 ≤ |l|2 as γ goes to infinity.
Let us now consider the following quantity
h|γξ(γ) − γ 0 ξ(γ 0 )|2 i = h|γξ(γ)|2 i + h|γ 0 ξ(γ 0 )|2 i
−2 hγξ(γ) · γ 0 ξ(γ 0 )i
= |γξ(γ)|2 + |γ 0 ξ(γ 0 )|2
−
(2.53)
2γ 0 h|γξ(γ)|2 i − 2γ h|γ 0 ξ(γ 0 )|2 i
γ + γ0
We used here the equation (2.51). (2.53) implies
lim
γ,γ 0 →∞
|γξ(γ) − γ 0 ξ(γ 0 )|2 = 0
and the Cauchy criterium proves the existence of a. ♦
Let us introduce the range I(D) of D, more precisely
I(D) = {Dφ, φ(η) ∈ D(D)}
We will denote by SCI(D) (respectively WCI(D)) the closure of I(D)
with respect to the strong (respectively weak) topology. A usual result is
SCI(D) ⊂ WCI(D). But as I(D) is a subspace of L2 (π), we have in fact
SCI(D) = WCI(D).
78
Comparison between the diffusion coefficients
The following important proposition holds
Proposition 2.4.2
l − a ∈ SCI(D).
(2.54)
♦ Let us go back to equation (2.11) and integrate it with respect to vG(dv).
We obtain
Z
Z
(λ + γ)
∇v hλβ (γ)G(dv) − D
hλβ (γ)G(dv)
Rd
+D
∗
Rd
Z
v · ∇v hλβ (γ)G(dv)
(2.55)
Rd
Z
∗
+β(D · D)
∇v hλβ (γ)G(dv) = l
Rd
where
D∗ = σ −2 DV − D
is the adjoint of D with respect to π. Then for all bounded vector valued
φ(η) in D(D∗ · D)
Z
l−a+D
hλβ (γ)G(dv) · φ
Rd
=
Z
(λ + γ)
∇v hλβ (γ)G(dv) − a · φ
Rd
v · ∇v hλβ (γ)G(dv), D · φ
Z
+
Rd
Z
+β
∇v hλβ (γ)G(dv) · (D · D)φ .
∗
Rd
Making first β go to 0, then λ, and then γ to ∞, one can see that
Z
l−a+D
hλβ (γ)G(dv)
−→
0
Rd
β→0, λ→0, γ→∞
weakly in L2 (π). Then, as
Z
hλβ (γ)G(dv) ∈ I(D)
D
Rd
we have
l − a ∈ WCI(D) = SCI(D). ♦
Comparison between the diffusion coefficients
79
It is now very easy to prove (2.48). Indeed, (2.39) proves that
|γξ(γ)|2
<
|l − Dφ|2
inf
φ∈D(D)
and then
|a|2
≤
inf
|l − Dφ|2 = δ 2
φ∈D(D)
Notice that δ 2 is the square of the distance between l and I(D). But as
l − a ∈ SCI(D), we have necessarily
|a|2 = |l − (l − a)|2
≥ δ2
And then
|a|2 =
inf
φ∈D(D)
which is exactly (2.48).
|l − Dφ|2
Partie 3
Superdiffusive behaviour of
Ornstein-Uhlenbeck processes
in a turbulent Shearflow
In this chapter, we are interested in the study of the diffusion of a passive
particle with positive mass by a divergence free velocity field. We consider
here the very simple turbulent shear flow case, in which we will prove the
superdiffusive behaviour of the motion for large enough values of the energy
spectrum of the velocity field. For small values, the proof of the diffusive behaviour of the model is also new, and it is shown that this diffusion is strictly
greater than the one obtained with a non-massive particle. One interesting
point to insist on is that we are able to obtain explicit macroscopic equations
even without having the stationary measure of the studied processes.
The superdiffusive behaviour of a non-massive tracer in a turbulent divergence free flow has been studied many times, see for instance [2], [3], [4], or
[20] in the case of a discrete energy spectrum. For a study in a non-stratified
case, see [14]. In the diffusive cases, one can prove a very general result, see
[13] or [15].
3.1
3.1.1
Introduction
Random flows and energy spectrum
Let (Ω, F, P ) be a probability space and γ(t, x, ω) a random vector field
over Ω. We suppose that γ is stationary (in space and time) and ergodic (in
the sense defined in the introduction of this thesis) and describes a random
82
Introduction
flow in a specified environment. We can suppose the existence of an ergodic,
measure preserving, stochastically continuous group (τx,t )(x,t)∈Rd ×R acting on
Ω such that for almost all ω and every (x, t)
γ(t, x, ω) = γ(τx,t ω)
where γ(ω) = γ(0, 0, ω).
The stochastic continuity of (τx,t ) implies that the group of unitary operators defined on L2 (P ) by
U t,x f (ω) = f (τx,t ω)
is strongly continuous over L2 (P ). Then, thanks to the spectral theorem,
there exists an orthogonal projection valued measure E(dh, dk) (see for instance [23]) such that for any f ∈ L2 (P )
Z
t,x
U f=
ei(ht+kx) E(dh, dk)f.
R×Rd
For any f ∈ L2 (P ), we can define its spectral measure fˆ as the random
measure over R × Rd defined for any measurable A ⊂ R × Rd by
fˆ(A) = E(A)f.
The energy spectrum ef of f will be defined by
ef (A) = kfˆ(A)k2L2 .
In all the following, we will consider the flow γ in terms of its energy
spectrum.
3.1.2
Kolmogorov statistics
A steady velocity field γδ (x) is said to follow Kolmogorov statistics if
its energy spectrum is absolutely continuous with respect to the Lebesgue
measure and if its density is given up to a constant by
Fδ (k) = |k|1−d−5/3 1[δ,1] (k).
δ is a positive real number, related to the Reynolds number Re, introduced
by Osborne Reynolds ([24]) to characterize the turbulence of a fluid (the
greater the Reynolds number is, the more turbulent the fluid is). In fact, we
have δ = Re−3/4 , so that δ goes to 0 when Re goes to infinity, i.e. when the
fluid becomes fully turbulent.
Introduction
83
In the unsteady case, the Kolmogorov statistics have the following energy
spectrum density up to a constant
ω
1−d−5/3
−2/3
Fδ (k, ω) = |k|
|k|
φ
1[δ,1] (k)
|k|2/3
where φ is a probabilty density over R.
We will here suppose that our velocity field statistics are a generalization
of Kolmogorov statistics.
3.1.3
Objects and notations
Let us consider the following simple two-dimensional model : the so-called
Ornstein-Uhlenbeck process in a random velocity field depending only on the
X direction and acting only on the Y direction. This process is solution of
the following system of stochastic differential equations


 dXt = ut dt




√


 σdut = −ut dt + µ dβt
(3.1)


dYt = vt dt






√

τ dvt = −vt dt − γδ (Xt , t)dt + ν dβt0
with initial conditions
X0 = Y0 = 0.
u0 and v0 are fixed and deterministic, β and β 0 are standard independant
brownian motions and µ and ν are positive real numbers representing the
bare diffusivity, also called molecular diffusivity. The parameters σ, τ, µ, ν,
are strictly positive but in a small discussion at the begining of this chapter,
we consider briefly the other cases. Note that it is interesting here to consider
the µ 6= ν case, which allows us to make some qualitative remarks. In the
steady case, γδ is the gaussian centered field
Z
1−ε
1
1/2
1/2
γδ (x) = √
eikx |k| 2 ψ0 (δ −1 |k|)ψ∞
(|k|)dwk
(3.2)
2π R
with covariance
1
hγδ (x)γδ (x )i =
2π
0
Z
e
R
ik(x−x0 )
1−ε
|k|
ψ0
|k|
δ
ψ∞ (|k|)dk
(3.3)
84
Introduction
where wk denotes a gaussian complex white noise verifying
hdwk dw̄k0 i = δ(k + k 0 )dk.
h.i denotes the expectation with respect to the distribution of γδ , Eu0 ,v0 denotes the expectation with respect to the joint distribution of β and β 0 with
ut and vt starting at u0 and v0 . All of the previous random objects are chosen
independent.
ψ0 and ψ∞ are respectively infrared and ultraviolet cut-offs, defined above
[0, ∞). They verify 0 ≤ ψi ≤ 1, and there exists k0 , k1 real numbers such
that 0 < k0 < k1 and ψ0 (k) = 0 if k < k0 , ψ1 (k) = 0 if k > k1 . At last,
ψ0 goes to 1 at ∞, and ψ∞ is continuous at 0 and ψ∞ (0) = 1. Notice that
Kolmogorov statistics correspond to ε = 8/3.
In the unsteady case, γδ is the gaussian centered field
Z
1−ε
(a|k|z )1/2
1
ei(kx+ωt) |k| 2 √
γδ (x, t) = √
π(iω + a|k|z )
2π R2
(3.4)
1/2
1/2
ψ0 (δ −1 |k|)ψ∞
(|k|)dwk dwω0
with the same notations, z and a being positive parameters, and wk and wω0
verifying
hdwk dw̄k0 dwω0 dw̄ω0 0 i = δ(k + k 0 )δ(ω + ω 0 )dkdω.
The covariance in this case is given by
Z
1
0
0
0 0
ei[k(x−x )+ω(t−t )] |k|1−ε
hγδ (x, t)γδ (x , t )i =
2π R2
(πa|k|z )−1
|k|
ψ∞ (|k|)dkdω
2 ψ0
δ
ω
1 + a|k|z
(3.5)
Kolmogorov statistics are obtained for ε = 8/3, z = 2/3 and
φ(s) =
1
.
π(1 + s2 )
In the rest of the chapter, we will use the following notation
|k|
1−ε
F̂δ,ε (k) = |k| ψ0
ψ∞ (|k|)
δ
for the energy spectrum density of the field in the steady case.
(3.6)
Main Results
85
Let us notice that the definitions (3.2) and (3.4) give a global Lipschitz
condition in x for γδ (x) (respectively γδ (x, t)) so that we are ensured of the
existence of a unique strong solution of equation (3.1) for all t ≥ 0 without
explosion.
Let us also introduce the infinitesimal generator Lδ of the Markov process
(X, Y, u, v)
Lδ =
1µ 2
v γδ (x)
ν 2 u
∂
+
∂v + u∂x + v∂y −
∂v .
∂
+
∂
−
u
u
v
2
2
2 σ
τ
σ
τ
τ
The main problem that arises when studying this process in that the invariant measure in not explicitly known. Though, the following results can be
obtained.
3.2
3.2.1
Main Results
Results in the steady case
Let ρ be a positive real number and let Tδ be the solution of
∂t Tδ (x, y, u, v, t) = Lδ Tδ (x, y, u, v, t)
with initial condition
Tδ (x, y, u, v, 0) = T0 (δx, δy)
For any fixed ε in R, we are looking for the existence of a suitable scaling
factor ρ(δ, ε) so that the following limit exists
x y ρ2 u ρ2 v t
, ,
,
,
T̄ (x, y, u, v, t) = lim Tδ
δ→0
δ δ δ
δ ρ2
(3.7)
and we also want to compute the equation verified by T̄ (in fact we will need
to restrain ourselves to ε ≤ 4).
We will show the three following theorems
Theorem 3.2.1 When ε < 0, under a diffusive space-time scaling
ρ=δ
86
Main Results
the function T̄ defined by (3.7) does not depend on u and v, and verifies the
following simple diffusion equation
µ 2 ν + D(ε) 2
∂t T̄ =
∂ +
∂y T̄
2 x
2
with
1
D(ε) =
π
Z
1−ε
dk|k|
Z
ψ∞ (|k|)
+∞
e−
k2 µσ
(s/σ−1+e−s/σ )
2
ds.
(3.8)
0
R
Theorem 3.2.2 When 2 < ε < 4, the suitable value for ρ is
ρ = δ 1−ε/4
and T̄ does not depend on u and v and verifies the equation
1
∂t T̄ = tD(ε)∂y2 T̄
2
with
1
D(ε) =
π
Z
|k|1−ε ψ0 (|k|)dk.
R
Theorem 3.2.3 When 0 < ε < 2, the suitable value for ρ is
1
ρ = δ 1+ε/2 .
For fixed α > 0, we introduce the solution Tα of
ε tε/2 µε/2−1 2
√
∂t Tα = 1 +
α∂y Tα .
2
8π
Then, one can show that T̄ does not depend on u and v and verifies the
equation
Z ∞
T̄ (x, y, t) =
Tα (x, y, t)νε (dα)
0
for a suitable measure νε which will be defined in the proof.
Comparison with the brownian motion case
Let us recall the following results, which are all contained in the article
[1] by M. Avellaneda and A. Majda, and which inspired this chapter.
Main Results
87
Proposition 3.2.1 Using the same notations as previously, let us consider
the following system
√
X̃t = µβt
√
dỸt = −γδ (X̃t )dt + νdβt0
and let us introduce L̃δ the generator of (X̃, Ỹ )
1
L̃δ = (µ∂x2 + ν∂y2 ) − γδ (x)∂y
2
and T̃δ the solution of
∂t T̃δ (x, y, t) = L̃δ T̃δ (x, y, t)
with initial condition
T̃δ (x, y, 0) = T̃0 (δx, δy).
We are also looking for a suitable scaling factor ρ(δ, ε) such that
x y t
¯
, ,
T̃ (x, y, t) = lim T̃δ
δ→0
δ δ ρ2
exists. Then
- For ε < 0, ρ = δ, the limit exists and verifies
"
#
µ
ν
+
D̃(ε)
∂t T̃¯ =
∂2 +
∂y2 T̃¯
2 x
2
with
Z
2
dk|k|−1−ε ψ∞ (|k|).
D̃(ε) =
µπ R
- In all the other cases, i.e. 0 ≤ ε < 4, the suitable values for ρ are the same
in the two models, and the limit T̃¯ verfies exactly
T̃¯ = T̄ .
It is interesting to notice that the two models have the same behaviour
under space-time rescaling, with the same scaling factors. In the diffusive
case, we have a quantitative difference between the two limits, as it is easy
to show that for all σ > 0
D̃(ε) < D(ε),
(3.9)
while this difference vanishes in the superdiffusive cases. It is a quite surprising fact that this inequality shows up to be exactly the opposite as the
one obtained in the stationary potential case, see the previous chapter theorem (2.4.1). One can still explain (3.9) because of the superior inertia of
the Ornstein-Uhlenbeck process which makes it less sensitive to a turbulent
environment.
88
Main Results
The reader will also notice that simply making σ = 0 in the superdiffusive
cases do not change the proof, and the results for the massless particle are
included in those for a massive particle in these cases.
Case of the other values of ε.
The interested reader will show the following assertions
Proposition 3.2.2 For ε = 0, the suitable scaling factor is
p
ρ = δ log(−δ)
and the effective diffusion equation for T̄ is
µ
∂t T̄ = ∂y2 T̄ .
π
For ε = 2, the suitable scaling factor is
ρ = δ 1/2 log(−δ)1/4
and the effective diffusion equation for T̄ is
t 2
∂ T̄ .
∂t T̄ =
4π y
These results are the same for the Brownian motion case ([1]).
3.2.2
The time dependant case
The interested reader will easily treat the case where γδ is not stationnary,
referring to this chapter and the article by M. Avellaneda and A. Majda ([1]).
Let us give here the result formally in the diffusive case.
Theorem 3.2.4 When ε < 0 for z ≥ 2, or ε ≤ 2 − z for 0 < z < 2, under
a diffusive space-time scaling
ρ=δ
the function T̄ defined by (3.7) does not depend on u and v, and verifies the
following simple diffusion equation
µ 2 ν + D(ε, z) 2
∂t T̄ =
∂ +
∂y T̄
2 x
2
with
2
D(ε, z) =
π
Z
0
Z
+∞
e−
1−ε
dk|k|
ψ∞ (|k|)
R
k2 µσ
2
µ|k|2
+ a|k|z
2
−1
(3.10)
(s/σ−1+e−s/σ )
ds.
Preliminary calculus
89
Inequality (3.9) stands also in this case when comparing the Brownian and
the Ornstein-Uhlenbeck models.
Let us sum up in the next table the results obtained in all the cases. The
regions are those showed in figure 1. Please refer to [1] for further details.
Region
1
2
3
4
5
3.2.3
Scaling Factor
ρ=δ
4−ε−z
ρ=δ 2
ε
ρ = δ 1− 4
z
1
ρ = δ 2 ( (z−1)+ε/2 )
1
ρ = δ 1+ε/2
Variance
X2 ∼ T
2
X 2 ∼ T 4−ε−z
1
X 2 ∼ T 1−ε/4
ε−2
X2 ∼ T z
ε
X 2 ∼ T 1+ 2
Dependance on the various parameters
The parameter τ . As one can notice, none of the diffusion equations
depend on the parameter τ . Referring to the previous remark, this means that
an intermediate model, where X would be an Ornstein-Uhlenbeck process
and Y a simple brownian motion in a random velocity field γδ would not
be treated differently as the model proposed in this chapter. Making τ = 0
would only imply obvious changes.
The parameters µ and ν. In the superdiffusive cases ε ≥ 0, there is no
explicit dependance on the parameter ν, while in the diffusive case, this dependance is not significant, while making ν = 0 does not change the model.
In fact, it is not necessary to introduce a pertubation term for the Y coordinate to obtain a valid model. On the contrary, making µ = 0 would force the
X coordinate to stay in a bounded layer and then, one would not observe
any diffusion under space-time rescaling.
3.3
Preliminary calculus
Before we begin to prove the theorems, let us make some easy calculus
which will be useful in all of the cases.
We have thanks to Feynman-Kac formula
x y ρ2 u ρ2 v t
, ,
,
,
= hEρ2 δ−1 u,ρ2 δ−1 v [T0 (δXρ−2 t + x, δYρ−2 t + y)]i .
Tδ
δ δ δ
δ ρ2
90
Preliminary calculus
Fig. 3.1 – The five regions with different behaviour for the rescaled process.
In order to simplify the notations, we will write in all the following calculus
Eρ2 δ−1 u,ρ2 δ−1 v = E.
Introducing the Fourier transform T̂0 of T0 , we obtain
hE [T0 (δXρ−2 t + x, δYρ−2 t + y)]i =
1
2π
ZZ
(3.11)
iηx+iξy
T̂0 (η, ξ)e
E eiηδXρ−2 t +iξδYρ−2 t dηdξ.
R2
On the other hand, one can verify that
√
t/σ
d(e
ut ) = e
t/σ
µ
dβt
σ
Preliminary calculus
91
so that
ut = δue
−t/σ
√ Z t
µ
+
e(s−t)/σ dβs .
σ 0
(3.12)
The same calculus shows that we have
vt = δve
−t/τ
t
Z
1
−
τ
e
(s−t)/τ
0
√ Z t
ν
γδ (Xs + x/δ)ds +
e(s−t)/τ dβs0
τ 0
and (3.1) implies
√
dYt = −τ dvt − γδ (Xt )dt +
νdβt0
so that
Z
Yt = δτ v − τ vt −
t
γδ (Xs + x/δ)ds +
√
νβt0
0
= (1 − e
−t/τ
Z
)δτ v −
t
(1 − e(s−t)/τ )γδ (Xs + x/δ)ds
(3.13)
0
√
+ ν
t
Z
(1 − e(s−t)/τ )dβs0
0
Now, going back to (3.11), we obtain finally the following formula
hE [T0 (δXρ−2 t + x, δYρ−2 t + y)]i
1
=
2π
ZZ
* "
dηdξ T̂0 (η, ξ)eiηx+iξy
E e
iηδX
ρ−2 t
R2
√
iξδ ν
0
×e
×e
s−ρ−2 t)/τ
1−e(
R ρ−2 t
iξτ ρ2 1−e−ρ
−iξδ
×e
R ρ−2 t
0
−2 t/τ
dβs0
(3.14)
v
s−ρ−2 t /τ
1−e(
!
)
!
γδ (Xs +δ −1 x)ds
+
 .
92
The diffusive case : ε < 0
3.4
The diffusive case : ε < 0
In this section, we will suppose that ε is a fixed negative real number. In
this case, one can see that the integral
Z
dk 1−ε
|k| ψ∞ (|k|)
2
R k
is convergent. Then, reffering to [1] or [13], we expect that a simple diffusive
scaling ρ = δ will be suitable and that T̄ will verify a simple diffusion equation
of the form
µ 2 ν + D(ε) 2
∂ +
∂y T̄
∂t T̄ =
2 x
2
where D(ε) depends only on µ, σ, ε and ψ∞ . We will prove this result and
then try to compute the value of D(ε) using an other means. It will then be
quite easy to show that this diffusion coefficient is strictly greater than its
equivalent in [1].
3.4.1
The trivial terms
From now on, let us consider that ρ = δ. Going back to (3.14), we see
that we have several terms to study, but it is quite easy to show that
Z δ−2 t (s−δ −2 t)/τ
δ
1−e
dβs0 → βt0
0
in distribution when δ goes to 0. It is also clear that
δ 2 (1 − e−δ
−2 t/τ
)v → 0
pointwise in v when δ goes to 0. It is not more difficult to show that
Z δ−2 t
−δ −2 t/τ
δe
es/τ γδ (Xs + δ −1 x)ds → 0
0
2
in L when δ goes to 0, using the following calculus

* 
2 +
Z δ−2 t
−2
E  δe−δ t/τ
es/τ γδ (Xs + δ −1 x)ds 
0
−2 t/τ
δ 2 e−2δ
=
2π
Z
δ 2 −2δ−2 t/τ
≤
e
2π
δ −2Z
t δ −2 t
0
dsds e
0
0
Z
e
0
!2 Z
δ −2 t
s/τ
ik(Xs −X 0 ) 1−ε
|k|
s
E e
|k| ψ0
ψ∞ (|k|)dk
δ
R
Z
s+s0
τ
ds
R
|k|1−ε ψ∞ (|k|)dk
The diffusive case : ε < 0
93
Eventually, using Lebesgue’s dominated convergence theorem and the independance of the various random objects, we only have to show that the
following quantity
R −2
iδ(ηXδ−2 t −ξ 0δ t γδ (Xs +x/δ)ds
E e
has a limit when δ goes to 0, and we must compute this limit.
3.4.2
Introduction of a useful martingale
Let us introduce the solution Uδ (x, u) of the following partial differential
equation
µ 2 1
∂ − u∂u + u∂x Uδ (x, u) = γδ (x)
(3.15)
2σ 2 u σ
Considering the definition (3.2) of γδ , we define fk as
Z
1−ε
1
1/2
1/2
(|k|)dwk .
eikx fk (u)|k| 2 ψ0 (|k|/δ)ψ∞
Uδ (x, u) = √
2π R
(3.16)
Then fk verifies
µfk00 − 2σufk0 + 2ikσ 2 ufk = 2σ 2 .
(3.17)
We choose for fk the solution of (3.17) with initial conditions
fk (0) = 0
fk0 (0) = 0
We have the following lemma
Lemma 3.4.1
 Z ∞
2σ 3
8σ 2
du
0
2 −σu2 /µ


p
≤
+
|f
(u)|
e

k

µ
µ2 k 2
 −∞
πµσ −1
Z





∞
−∞
|fk (u)|2 e−σu
2 /µ
(3.18)
du
12σ
16
p
≤ 2σ 2 + 2 + 2 4
−1
µk
µk
πµσ
for all k > 0.
♦ Let us introduce the following scalar product for all suitable functions φ,
ψ
Z ∞
du
2
[[φ, ψ]] =
φ(u)ψ(u)e−σu /µ p
.
πµσ −1
−∞
94
The diffusive case : ε < 0
One can see that the differential operator
Sφ(u) = µφ00 (u) − 2σuφ0 (u)
(3.19)
is symmetric for [[.]] and that
[[Sφ, ψ]] = −µ [[φ0 , ψ 0 ]] .
Let us also notice that for any φ
[[uφ]] =
µ
[[φ0 ]] .
2σ
At last, it is easy to show that the real part of fk , R(fk ), is even, and that
its imaginary part I(fk ) is odd.
Then we have, applying [[.]] to (3.17)
[[fk0 ]] = −
2σi
µk
(3.20)
and multiplying (3.17) by f¯k and applying [[.]]
−µ |fk0 |2 = 2σ 2 f¯k = 2σ 2 [[fk ]] .
Now, let us multiply (3.17) by u and apply once again [[.]]
− [[fk0 ]] + ikσ [[ufk0 ]] + ikσ [[fk ]] = 0
so that
[[fk ]] = −
2
− [[ufk0 ]]
µk 2
and then, using Shwarz inequality
2σ 2
µ 0 2 2σ 2
2
0
+
σ
[[uf
]]
≤
+
|fk |
=
k
2
µk 2
µk 2
r
µσ 3 0 2 1/2
|fk |
2
which gives easily
0 2 2σ 3
8σ 2
|fk |
≤
+ 2 2.
µ
µk
Now, using Poincaré’s inequality, considering that the spectral gap of the
operator S defined by (3.19) is equal to 2σ, we have
µ 0 2 2
µ 0 2 fk + 2 |fk |
≤
|fk |
2σ
2σ
The diffusive case : ε < 0
95
so
2 2
µ
µ2 µ 0 2 |fk | + 2 [[R(fk )]] |fk0 |2 + 4 |fk0 |2
|fk |
≤
σ
4σ
2σ
and then
2
2 µ2 12σ
µ 0 2 16
≤ 2 + 2 + 2 4. ♦
≤
|fk |
|fk | + 4 |fk0 |2
2σ
4σ
µk
µk
This lemma will allow us to write all the following integrals and expectations.
Let us remark that (3.20) also shows that
0 2 4σ 2
|fk |
≥ 2 2
µk
and consequently, one will easily verify that the following results cannot be
extended to the ε ≥ 0 cases.
Using Ito’s formula, we obtain
Z
δ ηXδ−2 t − ξ
!
δ −2 t
γδ (Xs + x/δ)ds = −ξδUδ (Xδ−2 t + x/δ, uδ−2 t )
0
(3.21)
+ξδUδ (x/δ, δu)
+M̃δ (t) + ηδXδ−2 t
where M̃δ is the martingale
σ
M̃δ (t) = δ √
µ
δ −2 t
Z
ξ∂u Uδ (Xs + x/δ, us )dβs
0
As we have
Xt =
√
µβt − σut + δσu
We introduce the martingale
δ −2 t
Z
Mδ (t) = δ
√
0
σ
µη + ξ √ ∂u Uδ (Xs + x/δ, us ) dβs
µ
with quadratic variation
Qδ (t) = δ
2
Z
0
δ −2 t
√
2
σ
µη + ξ √ ∂u Uδ (Xs + x/δ, us ) ds
µ
96
The diffusive case : ε < 0
and (3.21) becomes
!
δ −2 t
Z
δ ηXδ−2 t − ξ
γδ (Xs + x/δ)ds = −ξδUδ (Xδ−2 t + x/δ, uδ−2 t )
0
+ξδUδ (x/δ, δu) + Mδ (t)
(3.22)
+ησδuδ−2 t + δ 2 σu
Qδ verifies
E[hQδ (t)i]
δ −2 t
Z
=δ
2
0
Z
ξ 2σ2
1−ε
0
2
2
dk|k| ψ0 (|k|/δ)ψ∞ (|k|)E[|fk (us )| ]
ds µη +
2πµ R
ξ 2σ2
= η µt +
2πµ
2
Z
1−ε
dk|k|
Z
ψ0 (|k|/δ)ψ∞ (|k|)
(3.23)
t
E[|fk0 (uδ−2 s )|2 ]ds.
0
R
Notice that, as ut is a gaussian process with variance
µ
(1 − e−2t/σ )
2σ
(see (3.12)), the existence of all those integrals are ensured by (3.18).
3.4.3
Asymptotic behaviour of ut
The following lemma holds
Lemma 3.4.2 When t goes to infinity, ut converges almost surely to a
gaussian centered random variable u∞ with variance µ/2σ. Moreover, for
all t ≥ 0, the variance of ut is less than µ/2σ.
♦ Referring to (3.12), we have
ut = δue
−t/σ
√ Z t
µ
e(s−t)/σ dβs .
+
σ 0
Let Ft be the filtration generated by ut . We have for all 0 ≤ t ≤ t0
√ Z t
−t0 /σ
−t0 /σ µ
E[ut0 |Ft ] = δue
+e
es/σ dβs ≤ ut
σ 0
The diffusive case : ε < 0
97
so that ut is a supermartingale. Moreover, one can show that
E[(ut − δu)− ] =
Z
0
e
−
σx2
µ(1−e−2t/σ )
r
−x p
dx ≤
πµ(1 − e−2t/σ )σ −1
−∞
µ
< ∞.
πσ
Then usual theorems about martingale asymptotics prove that ut converges
almost surely to a random variable u∞ , and it is obvious that u∞ must be a
gaussian centered random variable with variance µ/2σ. ♦
3.4.4
Asymptotic behaviour of Mδ (t)
We are now able to prove the following assertion
Proposition 3.4.3
1
hE [T0 (δXρ−2 t , δYρ−2 t )]i → ei 2 (η
2 µ+ξ 2 (ν+D(ε)))t
where D(ε) is a positive real number depending on ε, ψ∞ , µ and σ.
♦ As (3.23) shows, E[hQδ (t)i] has an upper bound independent on δ. then,
we can assert that Mδ (t) converges in law to a martingale with quadratic
variation Q0 (t) = lim Qδ (t). To compute this last limit, we use the ergodic
theorem, noticing that ut and eikXt are ergodic. As
Z
ξ 2σ2
1−ε
0
2
2
dk|k| ψ∞ (|k|)E[|fk (u∞ )| ]
E[hQδ (t)i] → t µη +
2πµ R
Mδ (t) converges to a brownian motion with diffusion coefficient
η 2 µ + ξ 2 D(ε)
where
σ2
D(ε) =
2πµ
Z
dk|k|1−ε ψ∞ (|k|)E[|fk0 (u∞ )|2 ].
R
Using (3.18), it is easy to show that
 2 →0
 E |ξδUδ (Xδ−2 t + x/δ, uδ−2 t )|

E
|ξδUδ (x/δ, δu)|2
→0
when δ goes to 0, so that the limit of (3.22) is now known and the proposition
is proved. ♦
98
The diffusive case : ε < 0
3.4.5
Computation of D(ε)
Let us compute D(ε) by evaluating the limit of the variance of δYδ−2 t .
Proposition 3.4.4
Z
1
D(ε) =
π
1−ε
dk|k|
Z
ψ∞ (|k|)
+∞
e−
k2 µσ
(s/σ−1+e−s/σ )
2
ds.
0
R
♦ Using (3.13), we manage to compute the variance of δYδ−2 t
hV [δYδ−2 t ]i = νt − 2ντ δ 2 (1 − e−δ
−2 t/τ
)
δ 2 ντ
−2
(1 − e−2δ t/τ ) + Iδ (ε, t)
+
2
(3.24)
where
Z tZ
Z
2 t2 −s
s0 +s
s0 −s
δ2
δ
δ2
− t2 /σ
− t2 /σ
2
2
δ
δ
Iδ (ε, t) =
F̂δ,ε (k)dk
1− e
1− e
2π R
0
s
×e
−k
2 µσ s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ
u2 )e−s
µ
2
0 /σ
s
sh2 2σ
ds0 ds.
Making an obvious change of variables, one obtains
Iδ (ε, t) =
Z
Z tZ
2t−δ 2 s
δ −2 s0 +s
t
δ2
1
−
/σ
2
δ2
F̂δ,ε (k)dk
1− e
2π R
0
δ2 s
× 1− e
×e
−k
As
e
−k
δ −2 s0 −s
− t2
2
δ
/σ
2 µσ s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ
u2 )e−δ
µ
2
2 µσ 2
≤e
s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ
u2 )e−δ
µ
−k
≤ e−
2 µσ 2
s/σ−1+e−s/σ −2e−δ
k2 µσ
(s/σ−3/2+e−s/σ )
2
−2 s0 /σ
−2 s0 /σ
−2 s0 /σ
s
sh2 2σ
s
sh2 2σ
s
sh2 2σ
ds0 ds.
The superconvective ε > 2 case
99
for δ small enough, and for all k 6= 0
Z +∞
Z +∞
2
k2 µσ
3σ
− k 2µσ (s/σ−3/2+e−s/σ )
e
ds ≤
e− 2 (s/σ−3/2) ds
+
2
0
3σ/2
=
3σ
2
+
2
µk2
the Lebesgue’s dominated convergence theorem applies and we have
Z +∞
Z
k2 µσ
t
−s/σ )
1−ε
e− 2 (s/σ−1+e
dk|k| ψ∞ (|k|)
lim Iδ (ε, t) =
ds. ♦
δ→0
π R
0
The proof of theorem 3.2.1 is now complete.
3.5
The superconvective ε > 2 case
Let us go back to (3.14). Again, previous works by M. Avellaneda and A.
Majda ([1]) let us suppose that the behaviour of the rescaled process will be
superconvective. Let us make the hypothesis
δ
→ 0.
ρ
Under this hypothesis, easy calculus show that


δXρ−2 t → 0





 2
−2


ρ (1 − e−ρ t/τ )v → 0





Z ρ−2 t
−2

δ
(1 − e(s−ρ t)/τ )dβs0 → 0



0





Z ρ−2 t


−2


e(s−ρ t)/τ γδ (Xs + δ −1 x)ds → 0
 δ
(3.25)
(3.26)
0
all of these convergences holding in L2 and pointwise in x, y, u, v. Considering
this, the only remaining term we have to deal with is
R −2
iξδ 0ρ t γδ (Xs +δ −1 x)ds
E e
.
Using Fubini’s theorem and the fact that γδ is gaussian, we obtain
*
+

2
R ρ−2 t
R −2
1 2 2
−1 x)ds
−
ξ
δ
γ
(X
+δ
s
δ
ρ
t
0
2
−1
.
E eiξδ 0 γδ (Xs +δ x)ds
= E e
(3.27)
100
The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case
As (3.3) gives the statistics of γδ , we obtain the following equation
* Z −2
2+
Z
Z −2Z −2
ρ t
δ2 ρ t ρ t 0
2
−1
δ
=
γδ (Xs + δ x)ds
dsds
eik(Xs −Xs0 ) F̂δ,ε (k)dk
2π
0
0
0
R
where F̂δ,ε (k) is defined by (3.6). Let us make the change of variables s := ρ2 s
and s0 := ρ2 s0 in the double integral, and then k := k/δ in the other one. We
obtain the following equality
Z
Z −2Z −2
δ2 ρ t ρ t 0
0
eik(Xs −Xs ) F̂δ,ε (k)dk
dsds
2π 0
R
0
δ 4−ε
=
2πρ4
Z
1−ε
|k|
Z Z
t
ψ0 (|k|)ψ∞ (δ|k|)
t
dsds0 eikδ(Xs/ρ2 −Xs0 /ρ2 ) dk.
0 0
R
Using the fact that δXρ−2 t → 0 almost surely, the right scaling factor is
ρ = δ 1−ε/4 .
(3.28)
To ensure that ρ → 0, we see that we need to restrain our study to the case
2 < ε < 4.
Then the dominated convergence theorem applies and we obtain
R −2
R
1 2 2
1−ε
iξδ 0ρ t γδ (Xs +δ −1 x)ds
E e
→ e− 4π ξ t R |k| ψ0 (|k|)dk .
Notice that (3.28) is coherent with the hypothesis (3.25). The proof of theorem 3.2.2 is done.
3.6
3.6.1
The anomalous regime in the 0 < ε < 2
case
The scale factor
For the same reason as in the previous case, we suppose that
δ
→ 0.
ρ
and then, (3.26) shows again that we only have to study the term
R −2
iξδ 0ρ t γδ (Xs +δ −1 x)ds
E e
(3.29)
The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case
101
which, using (3.27), is still equal to
R
R ρ−2R
t ρ−2 t
δ2
dsds0 R eik(Xs −Xs0 ) F̂δ,ε (k)dk
− 21 ξ 2 2π
0
0
E e
.
(3.30)
√
Let us make the change of variables s := ρ2 s/t, s0 := ρ2 s0 /t, k := k t/ρ. We
obtain
Z
Z −2Z −2
|k|
δ2 ρ t ρ t 0
ik(Xs −Xs0 )
1−ε
e
|k| ψ0
dsds
ψ∞ (|k|)dk =
2π 0
δ
R
0
ZZ
Z
ε
kρ
t1+ 2 δ 2 1 1
ρ|k|
ρ|k|
(Xst/ρ2 −Xs0 t/ρ2 )
i√
1−ε
0
t
|k| ψ0 √ ψ∞ √
dk
dsds e
2πρ2+ε 0 0
δ t
t
R
This incites us to choose the following scaling ρ
1
ρ = δ 1+ε/2
which is coherent with (3.29). As Xt =
√
again the change of variable k := k µ
ε
ξ 2 t1+ 2
−
4π
Z Z1
0
√
µβt − σut + δσu, we have, making
1
Z
kρ
ρ|k|
ρ|k|
i√
(Xst/ρ2 −Xs0 t/ρ2 )
0
1−ε
dsds e t
|k| ψ0 √ ψ∞ √ dk
δ t
t
0
R
ε
ε
ξ 2 µ 2 −1 t1+ 2
=−
4π
Z
1
Z
1
dsds
0
0
Z
e
0
kρ
i√
(βst/ρ2 −βs0 t/ρ2 )
t
0
F̂δ,ε
(k)dk
R
where
0
F̂δ,ε
(k)
3.6.2
=e
kρσ
i√
(ust/ρ2 −us0 t/ρ2 )
µt
1−ε
|k|
ψ0
ρ|k|
√
δ µt
ψ∞
ρ|k|
√
µt
.
Introduction of a suitable measure
Let Bs be the standard Wiener process equal to the almost sure limit of
when δ goes to 0. Let us define on R the Borel measure µB via the
formula
Z
Z Z
ρ
√
β 2
t st/ρ
1
1
g(Bs − Bs0 )dsds0 .
g(x)dµB (x) =
0
R
0
One can see that the function
Ĝδ (k) = |k|1−ε 1lδ<|k|<δ−1
102
The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case
belongs to every Lp for 1 ≤ p ≤ ∞, so it has an inverse Fourier transform
Gδ (x) which verifies, in the sense of tempered distributions, when δ → 0

 C(ε)|x|ε−2 for ε 6= 1
Gδ (x) → G(x) =

C(1)δ(x) for ε = 1
where C(ε) is defined by

(1−ε)
−1/2

C(ε)
=
2(2π)
sin
Γ(2 − ε) for ε 6= 1

2


(3.31)
−1/2
C(1) = (2π)
In order to achieve the proof of 3.2.3, we will need the two following results
Lemma 3.6.1 Let φ be in the Sobolev space H 3/2−λ (R) for all λ > 0, with
its Fourier transform continuous and bounded. Then
Z
lim φ(x)Gδ (x)dx = [G, φ]
(3.32)
δ→0
R
where [., .] denotes the action of a tempered distribution and H s (R) consists
in functions φ so that |φ̂|(1 + |k|2 )s/2 ∈ L2 (R). Furthermore, there exist λ
and K depending only on ε so that
|[Gδ , φ]| ≤ K(kφkH 3/2−λ + kφ̂k∞ ).
Proposition 3.6.2 The following assertions hold
-The measure µB is absolutely continuous with respect to Lebesgue measure
with density φB
-This density is in the Sobolev space H 3/2−λ (R) for all λ > 0 (in particular,
it is α-Hölder for any α < 1) and its Fourier transform is continuous and
bounded.
♦ The proofs of these technical results are contained in [1], pp. 400– 404. ♦
Then, using these facts and dominated convergence theorem, we have when
δ goes to 0
Z
Z
Z Z1 1
kρ
(βst/ρ2 −βs0 t/ρ2 ) 0
i√
0
F̂δ,ε (k)1lδ<|k|<δ−1 dk → µ̂B (k)Ĝ(k)dk (3.33)
dsds e t
0 0
R
R
The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case
103
Using these properties and Plancherel’s theorem on (3.33), one can easily
show that the exponential inside the expactation in (3.30) converges to the
following quantities
-For 0 < ε < 1
ξ2
− √ t1+ε/2 µε/2−1 C(ε)
8π
e
Z
1
1
Z
0
|Bs − Bs0 |ε−2 dsds0
0
-For 1 < ε < 2
ξ2
− √ t1+ε/2 µε/2−1 C(ε)
8π
e
Z
R
φB (x) − φB (0)
dx
|x|2−ε
The convergence of this integral being ensured by the fact that φB is
α−Hölder for α < 1.
-For ε = 1
3.6.3
ξ2
− √ t3/2 µ−1/2 φB (0)
8π
e
The diffusion equation
Going back to (3.14), we have proved the following formula
ZZ
2
1
− √ξ t1+ε/2 µε/2−1 [G,φB ]
i(ηx+ξy)
T̄ (x, y, t) = √
e
T̂0 (η, ξ)E e 8π
dηdξ
2π R2
We introduce the measure dνε (α), which we can call the random diffusivity,
as the distribution of the random variable [G, φB ]
νε (α) = E [G, φB ] ≤ α
Still refering to [1], it is easy to show that νε (α) vanishes for α ≤ 0, and then
T̄ verifies
Z ∞
T̄ (x, y, t) =
Tα (x, y, t)νε (dα)
0
where, for fixed α > 0, Tα is the solution of
ε tε/2 µε/2−1 2
√
∂t Tα = 1 +
α∂y2 Tα .
2
8π
Proof of theorem 3.2.3 is therefore complete.
104
3.6.4
The anomalous regime in the 0 < ε < 2 case
Computation of the effective variance
In order to have an idea of the speed of the diffusion in this case, let us
compute
lim hV [δYρ−2 t ]i .
δ→0
Refering to (3.24), we obtain
hV [δYρ−2 t ]i =
δ2ν
ντ δ 2
−2
2
−ρ−2 t/τ
(1 − e−2ρ t/τ ) + Iδ (ε, t)
t
−
2ντ
δ
(1
−
e
)
+
2
ρ
2
where
Z
Z tZ
2 t2 −s
s0 +s
s0 −s
ρ2
ρ
δ2
− t2 /σ
− t2 /σ
2
2
ρ
ρ
1− e
Iδ (ε, t) =
1− e
F̂δ,ε (k)dk
2π R
0
s
×e
−k
2 µσ 2
s/σ−1+e−s/σ −(2−4δ 2 σ
u2 )e−s
µ
0 /σ
s
sh2 2σ
ds0 ds.
√
Now, simply by making k := k tµ/ρ, s := ρ2 s, s0 := ρ2 s0 , and applying the
dominated convergence theorem, one obtains
ε/2−1 Z
2
2µ
1
1−ε
−k2 /2
1+ 2ε
|k|
−
(1
−
e
)
dk
t
lim hV [δYρ−2 t ]i =
.
δ→0
π
k2 k4
R
Annexe
Cette annexe va nous permettre d’introduire brièvement les quelques notions et notations qui sont le plus couramment utilisées tout au long de cette
thèse.
Dans toute la thèse, R désigne le corps des nombres réels, N l’ensemble
des entiers naturels. On utilise la lettre d (pour dimension) pour désigner un
entier supérieur ou égal à 1. |.| désigne la norme euclidienne sur Rd et · le
produit scalaire associé.
On supposera connues les notions d’espace probabilisé, de tribu (ou σalgèbre), de filtration, de temps d’arrêt, de processus stochastique adapté
à une filtration, d’espérance conditionnelle, de processus gaussien, de mouvement Brownien, d’intégrale stochastique, et d’équation différentielle stochastique. Toutes les filtrations considérées dans cette thèse, même de façon
implicite, sont supposées complètes et continues à droite. Pour des références
précises sur ces points, voir par exemple [11] ou [8].
Étant donné un espace probabilisé muni de deux tribus F et G vérifiant
G ⊂ F, on notera classiquement E[X|G] l’espérance conditionnelle d’une variable aléatoire X F-mesurable par rapport à G.
A.1
A.1.1
Rappels de notions de base
Martingales, processus de Markov
Donnons tout d’abord les définitions de base de ces deux types de processus stochastiques que nous aurons à considérer dans cette thèse. Des preuves
de tous les résultats présentés ici peuvent être consultées dans [11] ou [8].
Définition A.1 Un processus stochastique (Xt ) adapté défini sur un espace
probabilisé filtré (Ω, F, (Ft ), P ) à valeurs réelles, et tel que pour tout t ≥ 0,
Xt ∈ L1 est appelé :
108
Rappels de notions de base
-martingale si pour s < t, E[Xt |Fs ] = Xs ;
-surmartingale si pour s < t, E[Xt |Fs ] ≤ Xs ;
-sous-martingale si pour s < t, E[Xt |Fs ] ≥ Xs .
On a pour les surmartingales l’inégalité importante suivante, dite inégalité
de Doob
Proposition A.1 Soit (Xt ) une surmartingale telle que Xt ∈ Lp pour tout
t, et à trajectoires continues à droite. Alors, si p1 + 1q = 1, on a
k sup |Xs |kp ≤ qkXt kp .
s≤t
On a également le théorème d’arrêt suivant
Proposition A.2 Soit X une martingale continue à droite et T un temps
d’arrêt. Alors le processus (Xt∧T ) est aussi une martingale.
Enfin, notons ce résultat de convergence classique que nous utiliserons aussi
Proposition A.3 Soit Xt une surmartingale. Si il existe une constante C
indépendante de t ≥ 0 telle que
E[(Xt )− ] ≤ C < ∞
alors Xt converge presque sûrement vers une variable X∞ ∈ L1 .
Passons maintenant à la définition des processus de Markov.
Définition A.2 Soit (Xt ) un processus stochastique adapté défini sur un
espace probabilisé filtré (Ω, F, (Ft ), P ) à valeurs dans un espace métrique E.
X est un processus de Markov si et seulement si pour tous s et t positifs, et
Γ dans l’ensemble B(E) des boréliens de E
P[X(t + s) ∈ Γ|Ft ] = P [X(t + s) ∈ Γ|Xt ].
On définit maintenant la fonction de transition d’un processus de Markov
Xt .
Définition A.3 Une fonction Q : [0, ∞[×E × B(E) → [0, 1] est appelée
fonction de transition homogène si elle vérifie les propiriétés suivantes pour
tous t, x, Γ :
Q(t, x, .) est une probabilité sur B(E) ;
Rappels de notions de base
109
Q(0, x, .) = δx (mesure de Dirac en x) ;
Q(., ., Γ) est mesurable en t et x ;
et de plus :
Z
Q(t + s, x, Γ) =
Q(s, y, Γ)Q(t, x, dy).
E
Une telle fonction est la fonction de transition d’un processus de Markov
homogène (Xt ) si et seulement si :
P[Xt+s ∈ Γ|Ft ] = Q(s, X(t), Γ)
On définit les notations Px et Ex comme étant respectivement la probabilité
et l’espérance sur la trajectoire de (Xt ) avec X0 = x.
On utilisera beaucoup la notion de semigroupe associé à un processus de
Markov.
Définition A.4 Le semigroupe associé à un processus de Markov (Xt ) est
l’opérateur défini pour f dans L∞ (E), p ≥ 1 par :
P t f (x) = Ex [f (Xt )].
Enfin, on définit comme suit le générateur infinitésimal de Xt
Définition A.5
P t f (x) − f (x)
t→0
t
Af (x) = lim
le domaine de définition de A étant simplement le sous-espce de L∞ constitué
des fonctions pour lesquelles cette limite existe.
La propriété fondamentale de l’opérateur infinitésimal d’un processus de
Markov est la suivante.
Théorème A.1 Pour toute fonction f de D(A) :
Z
f (Xt ) −
Af (Xs )ds
0
est une Ft -martingale locale.
t
110
A.1.2
Quelques résultats et théorèmes importants
Mesures invariantes pour un processus de Markov
Soit (Xt ) un processus de Markov défini sur (Ω, F, (Ft ), P ) à valeurs dans
E métrique.
Définition A.6 Soit π une probabilité sur E. On suppose que la loi de X0
est π. Alors π est dite invariante pour (Xt ) si sous ces conditions, la loi de
Xt est π pour tout t.
On donne des mesures invariantes les cractérisations suivantes
Proposition A.4 La probabilité
π est invariante si et seulement si :
Z
- pour toute f dans L1 ,
P t f (x)π(dx) = f (x)
E
Z
- pour toute f dans D(A), on a : Af (x)π(dx) = 0.
E
Une mesure de probabilité π invariante pour un processus de Markov Xt
de générateur A sera dite ergodique si elle vérifie l’une des trois propriétés
équivalentes suivantes
(a) Pour tout S ⊂ X, si pour tout t ≥ 0, Px (Xt ∈ S) = 1, alors π(S) = 0
ou 1.
(b) Pour toute f ∈ L1 (π), Af = 0 entraı̂ne f constante π-presque
sûrement.
(c) Pour toute f ∈ L1 (π), f (Xt ) vérifie la loi des grands nombres, c’està-dire
Z
1 T
f (Xt )dt = π(f ).
lim
T →∞ T 0
Le point (c) permet également de définir la propriété d’ergodicité pour n’importe quel processus stochastique (Xt )t∈R voire (Xt )t∈Rd .
A.2
A.2.1
Quelques résultats et théorèmes importants
Formule d’Ito
Nous aurons besoin à plusieurs reprises de la formule d’Ito. Une preuve
de cette formule est donnée dans [11], pages 149–153.
Quelques résultats et théorèmes importants
111
Théorème A.2 Soit f (t, x) une application de [0, ∞[×Rd dans R de classe
C 1 en t et C 2 en x. Soit Mt = (Mt1 , ..., Mtd ) une martingale continue de carré
intégrable dans Rd et Bt un processus à variation bornée dans Rd , tous deux
définis sur le même espace de probabilité et adaptés à la même filtration. On
suppose que M0 = B0 = 0. Soit Xt = x0 + Mt + Bt , x0 fixé dans Rd . Alors
on a
Z t
∂
f (t, Xt ) = f (0, x0 ) +
f (s, Xs )ds
0 ∂t
Z
t
∇x f (s, Xs ) · dXs
+
0
Z t
∂2
1 X
+
f (s, Xs )d <<M i , M j>>s
2 1≤i,j≤d 0 ∂xi ∂xj
où <<M i , M j>>t désigne le crochet quadratique de M i et M j .
A.2.2
Formule de Feynman-Kac
La formule suivante nous sera utile dans la partie 3. On se contentera ici
d’une version très simplifiée. Elle est démontrée dans un cas bien plus général
dans [11] page 366.
Théorème A.3 Soit X(t) un processus de Markov sur Rd , L son générateur
et π sa mesure invariante. Soit f une application à croissance polynômiale
de Rd dans R. Alors
u(t, x) = Ex [f (X(t))]
est l’unique solution de l’équation aux dérivées partielles
∂t u = Lu
avec condition initiale
u(0, x) = f (x).
A.2.3
Inégalité de Poincaré
Ce théorème s’avérera l’argument central de nombreux raisonnements
dans cette thèse
Théorème A.4 Soit h un espace de Hilbert et L un opérateur autoadjoint
non-borné positif de H. On notera k.k la norme hilbertienne de H et h., .i
112
Quelques résultats et théorèmes importants
son produit scalaire. On a équivalence entre les deux propriétés suivantes :
pour toute f ∈ D(L) orthogonale au noyau KerL de L
sup
kf k2
= λ−1
0 > 0
hf, Lf i
et
λ0 = inf Sp∗ (L) > 0
ou Sp∗ désigne le spectre de L privé de 0. Si de plus µ(X) = 1, et L est le
générateur infinitésimal du semigroupe fortement continu P t d’un processus
de Markov x(t) à espace d’états X et de mesure invariante µ, alors les deux
propriétés ci-dessus entraı̂ınent l’existence d’une constante positive C telle
que pour toute fonction f ∈ L2 (µ)
kP t f (x) − hf i k∞ ≤ Ce−λ0 t kf k2 .
Articles de l’auteur
La partie 1 de cette thèse est un rappel de résultats antérieurs. Elle est
entièrement contenue dans [16].
La partie 2 est une compilation de deux articles de l’auteur de la thèse,
“Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck process in random environment”
et “Homogeneization of Ornstein-Uhlenbeck processes in random fields and
comparison with the Brownian model” soumis pour publication respectivement aux journaux Communications in Mathematical Physics et Stochastic
Processes and their Applications.
La partie 3 est une version légèrement améliorée d’un autre article de
l’auteur, “Superdiffusive Behaviour of a Passive Ornstein-Uhlenbeck Tracer
in a Turbulent Shear Flow”, à paraı̂tre dans le Journal of Statistical Physics.
115
Références
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