TFE AGGEE NGEZ

REPUBLIQUE DEMOCRATIQUE DU CONGO
FACULTE POLYTECHNIQUE
Département Electromécanique
ETUDE ET SIMULATION DES
COMPORTEMENTS DYNAMIQUES
D’UNE TRANSMISSION PAR
ENGRENAGE
(CAS DES ENRENAGES A DENTURE DROITE)
Travail de fin de cycle présenté et défendu en vue de l’obtention du
grade de Bachelier Ingénieur civil en électromécanique.
Présenté par : NGEZ END MWANGAL Aggée
Dirigé par : Prof. NTAMBWE François
Ass. KANYIKI Trésor
ANNEE ACADEMIQUE 2019-2020
RESUME
RESUME
Lors d’une transmission par engrenage, il est toujours évident de bien comprendre son
comportement dynamique vu que les engrenages travaillent souvent dans les conditions très
sévères.
De nos jours, dans le cadre de la mise en place d’une maintenance conditionnelle, ce comportement
dynamique est suivi par une analyse vibratoire, vu son efficacité. Cette analyse permet de suivre
l'état de santé de la machine tournante en fonctionnement afin d'éviter les arrêts intempestifs et/ou
indésirables.
Ce travail traite la modélisation et la simulation du comportement dynamique d’un engrenage à
denture droite. Il a pour objectif de développer un modèle mathématique qui après avoir simulé,
nous serons en mesure de prédire les défauts que cette transmission par engrenage peut représenter.
Lors de la simulation d’un modèle à six degrés de libertés, nous avons constaté des variations
angulaires sur la roue et au niveau du pignon.
En considérant les résultats obtenus, les paramètres du système simulé présentent qu’il y aura des
défauts plus importants au niveau de l’arbre d’entrée portant le pignon qu’a l’arbre de sortie qui
porte la roue. D’où nous pouvons prédire que ces arbres atteindront la rupture et les paliers serons
endommagés, au fur et à mesure le système fonctionne dans ces conditions.
EPIGRAPHE
EPIGRAPHE
" Il ne vous est jamais donné d’épreuves que vous ne puissiez surmonter,
Mettez-vous en tête que la peur est un mensonge "
Rabbi Nahman Hagaüs
I
REMERCIERMENT
REMERCIEMENT
A toi magnifique en sainteté, Dieu Grand et Fort, que j’exprime ma reconnaissance en disant Merci
du fond de mon cœur, pour ton soutien, ta protection ainsi ta bonté dans ma vie ; oh ! Roi des rois.
Je ne cesserais de te faire l’acte de ma gratitude, car je suis un résultat de l’amour immensément
colossal de Dieu.
Mes remerciements s’adressent au Professeur François NTAMBWE, Directeur de ce mémoire et
à l’Assistant Trésor KANYIKI, le co-directeur ; pour m’avoir dirigé. Malgré la diversité de vos
tâches privées, vous étiez toujours hospitaliers pour bichonner mes lacunes.
Je tiens à remercier mes très précieux parents ; Rhemo NGEZ END MWANGAL et Claudine
N’KULU BULAYA pour les sacrifices qu’ils ont consentis pour me faire arriver jusqu’à ce statut
actuel de notre formation. Que toute la famille trouve un sentiment de profonde reconnaissance à
travers ce travail.
Mes remerciements s’adressent à tout le corps académique et scientifique de la faculté
polytechnique pour leur formation durant tout notre cursus universitaire.
.
NGEZ END MWANGAL Aggée
II
DEDICACE
DEDICACE
A l’Eternel, mon Dieu, le Tout-Puissant de m’avoir aidé à arriver jusqu’à ce niveau. Lui qui m’a
accompagné dès le début jusqu’à la fin, il est mon ombre à ma main droite ;
A ma très chère maman Claudine N’KULU BULAYA et mon très cher papa Rhemo NGEZ END
MWANGAL de m’avoir soutenu malgré les vicissitudes et de m’avoir surtout aidé dans mon
orientation des études d’ingénieur civil ;
A mes frères et sœurs de la famille Rhemo NGEZ : Nathan MWANGAL, Deborah MWANGAL,
Jérémie NGEZ, Shekinah NGEZ, Jenny NGEZ, Daniella NGEZ ainsi qu’a Dan MWEPU avec
qui nous avons partagé même sang jusqu’à ce qu’il nous quitte trop tôt.
A mon Pasteur Daniel NGEBE, pour ses encouragements voire l’encadrement spirituel et moral.
A mes Frères, Sœurs, amis et connaissances : Jires ALBATI, Ruffint KITENGE, Joël BAKAMBE,
Emmanuel KASHAMA, cieldoux LUKA, Patient TWITE, Isaac KATENDE, Peter MUKENDI,
Jospin NSIMBI, Gloire NUMBI, Ernest, Ezecchris MUKANYA, Carole Allianna MWANGE,
Gloire SUNGU, yunis MULUMBA, Nathan MWABEYA, Nabil MALOBA, Trésor TANGA,
Hans MPOYO, fabien MATABISHI, John KABULO ;
A mes frères et sœurs de l’Eglise cite universelle des vainqueurs : papa John KABONGO, papa
Bienvenu, maman Rebecca, sœur Ruth, Sœur Joëlle, maman Falone, Sœur Ginette,
Je dédie ce travail.
NGEZ END MWANGAL Aggée
III
LISTE DES TABLEAUX
LISTE DES FIGURESLISTE DES TABLEAUX
Tableau I.1 : Eléments géométriques des roues dentées........................................................................................ 6
Tableau : Les facteurs des coefficients des frottements ....................................................................................... 37
Tableau : Les paramètres du système d’engrenages ............................................................................................ 44
IV
LISTE DES ABREVIATIONS
LISTE DES ABREVIATIONS
y (t) : désigne la fonction harmonique simple ;
Y : représente l'amplitude. C’est la valeur maximale de la fonction harmonique ;
t : est la variable temporelle (en secondes);
θ : l’angle de phase à l'origine de la fonction (rad);
ω : la pulsation (en rad/s);
T : la période (en secondes);
f: désigne la fréquence qui représente le nombre de périodes par unités de temps (en Hertz (Hz) ou
en tours/sec ou en cycles/s) ;
N : représente le nombre de tours/minutes;
Mg : Masse de la roue [kg];
MP : Masse du pignon [Kg];
iG : Moment d’inertie de la roue [kg];
iP : Moment d’inertie du pignon [kg];
CXg : Coefficient d’amortissement de la roue [N.s / m];
CXP : Coefficient d’amortissement du pignon [N.s/ m];
ct : Coefficient d’amortissement de torsion [N.s / m];
cm : Amortissement du contact [N.s / m];
k xg : Coefficient de rigidité de la roue [N / m];
k xp : Coefficient de rigidité du pignon [N / m];
k t : Rigidité de torsion [N/ m];
V
LISTE DES ABREVIATIONS
k m : Rigidité du contact [N / m];
vp et dp représentent respectivement la vitesse et le déplacement du pignon ;
vg et dg représentent respectivement la vitesse et le déplacement de la roue.
VI
TABLE DES MATIERES
TABLE DES MATIERES
RESUME ........................................................................................................................................ 0
EPIGRAPHE.................................................................................................................................... I
REMERCIEMENT ......................................................................................................................... II
DEDICACE .................................................................................................................................. III
LISTE DES FIGURESLISTE DES TABLEAUX ....................................................................... IV
LISTE DES ABREVIATIONS...................................................................................................... V
INTRODUCTION GENERALE .................................................................................................... 1
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES .. 2
I.1 Définition des engrenages ..................................................................................................... 2
I.1.1 les profils de dentures .................................................................................................... 3
I.1.2 Matériaux pour Engrenages ............................................................................................ 4
I.2 ELEMENTS GEOMETRIQUES DES ROUES DENTEES ................................................ 5
I.3 SOLLICITATION SUR LA DENTURE ............................................................................. 7
I.3.1 Force de contact F2/1 ....................................................................................................... 8
I.3.2 Effort tangentiel FT ......................................................................................................... 8
I.3.3 Effort radial Fr ................................................................................................................ 8
I.4 LES DEFAUTS ..................................................................................................................... 9
I.4.1 Défauts de lubrification .................................................................................................. 9
I.4.2 L’usure ............................................................................................................................ 9
I.4.3 Les piqûres ...................................................................................................................... 9
I.4.4 Corrosion ...................................................................................................................... 10
VII
TABLE DES MATIERES
I.4.5 Surchauffe ..................................................................................................................... 10
I.4.6 Erosion par cavitation ................................................................................................... 11
I.4.7 Etincelage ..................................................................................................................... 11
I.4.8 Défauts localisés sur certaines dents ............................................................................ 11
I.5 LES VIBRATIONS ............................................................................................................. 13
I.5.1 Mouvement harmonique ............................................................................................... 14
I.5.1.1 Définitions de la vibration (norme AFNOR 90.001) ................................................. 14
I.5.2 Définitions de déplacement, vitesse et accélération ..................................................... 17
I.5.2.1 Déplacement .............................................................................................................. 17
l.6 LES SOURCES DES VIBRATIONS ................................................................................ 19
I.6.1 La raideur d’engrènement ............................................................................................. 20
I.6.2 Ecarts géométriques ...................................................................................................... 21
I.6.3 Erreur de transmission .................................................................................................. 23
I.6.4 Matériaux d’isolation vibratoire ................................................................................... 25
I.7 AVANTAGES ..................................................................................................................... 26
I.8 INCONVENIENTS ............................................................................................................. 26
I.9 CONCLUSION PARTIELLE ............................................................................................. 27
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURE DROITE .................................................................................................................... 28
II.1 MODELISATION DES ENGRENAGES ......................................................................... 28
II.1.1 Point de départ du modèle ........................................................................................... 28
II.2 LA RIGIDITE .................................................................................................................... 35
II.2.1 Rigidité d’engrènement ............................................................................................... 35
VIII
TABLE DES MATIERES
II.3 INFLUENCE DES FISSURES SUR LA RIGIDITE ........................................................ 36
II.4.1 Amortissement visqueux dû à la résistance fluide ...................................................... 38
II.4.2 Amortissement non visqueux dû à la résistance fluide ............................................... 38
II.4.3 Amortissement par frottement sec ou frottement de COULOMB .............................. 38
II.5 CONCLUSION PARTIELLE ............................................................................................ 38
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA ...... 39
III.1 RÉSUMÉ .......................................................................................................................... 39
III.2 METHODE NUMERIQUE DE RUNGE KUTTA D’ORDRE ....................................... 39
III .2.1 Résolution ................................................................................................................. 40
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE ...................................................................................... 45
IV.1 SIMULATION NUMERIQUE ........................................................................................ 45
IV.2 INTERPRETATION DES RESULTATS ........................................................................ 46
IV.2.1 Première simulation numérique ................................................................................. 46
IV.2.2 Deuxième simulation numérique ............................................................................... 47
IV.2.3 Troisième simulation numérique ............................................................................... 48
IV.2.4 Quatrième simulation numérique .............................................................................. 49
IV.2.5 Cinquième simulation numérique .............................................................................. 50
CONCLUSION GENERALE ....................................................................................................... 52
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES .................................................................................. 53
ANNEXE ...................................................................................................................................... 56
IX
INTRODUCTION GENERALE
INTRODUCTION GENERALE
Aujourd’hui, les engrenages occupent une place spéciale dans les systèmes mécaniques, c’est la façon la
plus économique pour transmettre de la puissance en un mouvement de rotation dans des conditions
uniformes, ils sont l’objet de nombreux travaux de recherche. Parmi l’ensemble des architectures
possibles, les engrenages cylindriques en développante de cercle sont, sans conteste, les plus utilisés pour
le transfert de rotation entre des axes parallèles car ils possèdent des géométries mathématiquement
simples dont le contrôle dimensionnel est relativement aisé.
Le développement des nouvelles technologies, comme l’électronique a remplacé quelque application de
l’engrenage mais il reste toujours un élément mécanique dont l’utilisation croit continuellement. Suites
aux contraintes environnementales (masses embarquées et performances acoustiques en particulier), les
engrenages modernes sont de plus en plus soumis à des exigences strictes en termes de capacité de charge,
de rendement, de bruit et des vibrations développées, etc...
Cette étude sera répartie en quatre chapitres, le premier sera consacré à la présentation des généralités sur
la transmission par engrenage, leurs sources des vibrations, les matériaux des fabrications des engrenages
et leurs défauts aussi.
Dans le deuxième chapitre, on présente le modèle dynamique, le calcul de l’équation du mouvement,…
Le troisième chapitre, parle de la méthode de résolution (Runge kutta) des équations du comportement
vibratoire.
Le quatrième chapitre, montre la simulation numérique ainsi que l’interprétation des résultats.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
1
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION
PAR ENGRENAGES
I.1 Définition des engrenages
Un engrenage est un mécanisme composé de deux roues dentées mobiles autour d'axes et dont l'une
entraîne l'autre par l'action de dents successivement en contact et on dit que les deux roues sont
conjuguées.
On appelle roues dentées des corps de révolution pourvus de dents par le contact duquel un mouvement
de rotation peut être transmis d'un arbre moteur vers un arbre récepteur.
Quand deux roues dentées sont en prise, la petite s’appelle le pignon et la grande conserve le nom de roue
(Figure I.1) :
Figure I.1: Engrenage a denture droite.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
2
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
I.1.1 les profils de dentures [𝟏]
Selon les profils de dents on distingue plusieurs types d’engrenages ; entre autres :
- Les engrenages à denture droite ;
- Les engrenages à chevrons ;
- Les engrenages à denture hélicoïdale ;
- Les engrenages à denture conique ;
-Les engrenages spiraux-coniques ;
- Les engrenages gauches ;
- Les engrenages à roue et vis sans fin.
Selon la position relative de deux arbres, on distingue principalement trois classes des engrenages :
Les engrenages à axes parallèles : ce type est nommé aussi engrenage cylindrique (Figure I.2) ; dont les
deux arbres sont parallèles. Diverses catégories sont distinguées selon la géométrie des dents suivant la
génératrice. On trouve les dentures droites, les dentures hélicoïdales, etc.
Figure I.2 Engrenages à axes parallèle.
Les engrenages à axes concourants : Ce type est nommé aussi engrenage conique (Figure I.3); dont les
arbres sont tels que leurs axes de rotation se coupent. Selon la géométrie des dents, on distingue les sous
catégories : dentures droites, hélicoïdales, spirales :
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
3
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Figure I.3 Engrenages à axes concourant.
Les engrenages à axes quelconques : Ces engrenages sont nommés aussi engrenages gauches ; dont les
axes des arbres n’ont pas un point commun et occupe une position relative quelconque (Figure I.4) :
Figure I.4 Engrenages à axes quelconque.
Les transmissions par engrenages sont des organes mécaniques couramment utilisés pour transformer et
transmettre à un organe récepteur le couple et le mouvement de rotation générés par un moteur. En
fonctionnement, ces systèmes se déforment, vibrent et génèrent des bruits et des vibrations. Les dents
doivent permettre de toujours maintenir les deux roues en contact, d’assurer une rotation continue d’une
roue par rapport à l’autre et de ne pas bloquer le fonctionnement de l’engrenage.
I.1.2 Matériaux pour Engrenages
Le choix de la matière d’œuvre d’une roue dentée doit être fait de manière à rendre possible le taillage et
l’achèvement de ses dents avec la précision et l’état de surface imposés, et à assurer une résistance à la
flexion suffisante pour tenir aux charges dynamiques alternatives, une résistance suffisante de la couche
superficielle des dents et une tenue à l’usure élevée. Les matériaux usuels dans la fabrication des
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
4
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
engrenages sont l’acier, la fonte et les matières plastiques. La grande variété des nuances des aciers et la
possibilité d’obtenir par traitement thermique et thermochimique des propriétés variées permettent de
réaliser la combinaison la plus favorable des propriétés imposées. L’acier au carbone est le plus courant
pour les charges moyennes ;
I.2 ELEMENTS GEOMETRIQUES DES ROUES DENTEES [𝟏]
La denture d'une roue cylindrique est limitée par deux cylindres (Figure I.5) ; le cylindre de tête placé à
l'extrémité de la denture, le cylindre de pied tangent au pied de la dent :
1. Le cercle de tête : c'est la ligne circulaire qui limite les flancs de tête de la dent ; symbole du diamètre
de tête (Da).
2. Le cercle de pied : c'est la ligne circulaire qui limite les flancs de pied en direction du corps de roue ou
de couronne ; symbole du diamètre de pied (Df).
3. La saillie : c'est la distance radiale entre le cercle primitif et le cercle de tête ou entre la ligne primitive
et la ligne de tête d'une crémaillère ; symbole de la saillie (ha).
4. Le creux : c'est la distance radiale entre le cercle de pied et le cercle primitif ou entre la ligne de pied
et la ligne primitive d'une crémaillère ; symbole du creux (Hf).
5. La hauteur de dent : c'est la distance radiale entre le cercle de pied et le cercle de tête ou entre la ligne
de pied et la ligne de tête d'une crémaillère ; symbole de la hauteur de dent (H).
6. L’entraxe : c’est la plus courte distance entre les axes parallèles de deux roues cylindriques ; symbole
de l’entraxe (a).
7. surface de tête : surface de révolution, coaxiale à la roue, limitant les extrémités extérieures
(intérieures) des dents d’une roue extérieure (intérieure).
8. Flanc : portion de la surface d’une dent comprise entre la surface de tête et la surface de pied.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
5
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Figure I.5 Eléments géométriques des roues dentées
Les expressions des principales caractéristiques géométriques de la roue dentée sont dans le tableau I .1
ci-dessous :
Tableau I.1 : Eléments géométriques des roues dentées
Les éléments
Symboles
Expressions
Entraxe
A
A = (d1+d2) /2
Pas primitif
P
P=Mπ
Largeur de la denture
B
B=Km (avec 7 ≤ K ≤ 12)
Rayon primitif
R
R=mz/2
Diamètre primitif
D
D=Mz
Diamètre de la tête
Da
da= d+2m=2+2ha
Rayon de la tête
Ra
Ra=r+m=r+ha
Diamètre de pied
Df
Df= d-2.5m
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
6
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Rayon de pied
Rf
Rf=r-1.25m
Saille
Ha
Ha=m
Creux
Hf
Hf=1.25m
Hauteur de dent
H
H=2.25m=Ha+HF
Epaisseur de dent
S
S=mπ/2
Intervalle
E
e=πm=p
Angel de pression
ɑ
ɑ= 20° (valeur usuelle)
Rayon de base
Rb
𝑹𝒃 =r.cosɑ
Diamètre de base
𝑫𝒃
𝑫𝒃 = 𝑫 𝐜𝐨𝐬 𝜶
Nombre de dents
z
Module
m
I.3 SOLLICITATION SUR LA DENTURE [𝟐]
Les caractéristiques géométriques r1 et r2 désignent les rayons primitifs respectivement de la roue 1
menante (motrice) et la roue 2 menée (réceptrice). C1 est le couple moteur sur la roue 1 et C2 le couple
récepteur sur la roue 2 (Figure I.6).
P1 est la puissance motrice de la roue 1 et P2 la puissance réceptrice de la roue 2. Si le rendement est égal
à 1, la puissance motrice est égale à la puissance réceptrice et leur valeur est obtenue en multipliant le
couple moteur C par la pulsation 𝜔 du moteur électrique d’entrainement :
𝑃1 = 𝑃2 = 𝐶. 𝜔
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
(𝐼. 1)
7
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Figure I.6 Les efforts sur les engrenages.
I.3.1 Force de contact F2/1
Elle schématise l'action exercée par la roue 2 sur la roue 1. Elle est toujours portée par la ligne de pression
(inclinée de l'angle de pression α et passant par I, point de contact entre cercles primitifs).
I.3.2 Effort tangentiel FT
II est obtenu en projetant F2/1 sur la tangente au point I aux cercles primitifs. FT est à l'origine du couple
transmis :
𝐹𝑇 = 𝐹1/2 .cos 𝛼
(𝐼. 2)
I.3.3 Effort radial Fr
Perpendiculaire à FT (Figure I.3), il est obtenu en projetant F2/1 sur l’axe O1O2. Parfois appelé effort de
séparation, il ne participe pas à la transmission du couple son action a tendance à séparer les deux roues
et se traduit par un fléchissement des arbres :
𝐹𝑟 = 𝐹1/2 .sin 𝛼
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
(𝐼. 3)
8
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
I.4 LES DEFAUTS
I.4.1 Défauts de lubrification
La lubrification est l’un des problèmes le plus important et le plus délicats qui puissent se poser pour le
bon fonctionnement des engrenages.
I.4.1.1 La lubrification à un triple but
Eviter le contact métal sur métal qui pourrait provoquer, au bout d’un temps très court, une sorte de
soudage des dentures conjuguées. Nous savons en effet que les conditions de glissement et de pression
superficielle sont souvent très sévères dans les engrenages. Il est donc nécessaire d’interposer un film
d’huile résistant entre les dentures conjuguées. Il ne faut pas perdre de vue que le soudage peut se produire
à des températures bien au-dessous du point de fusion du métal si la pression de contact est élevée.
La lubrification s’impose également pour la question du rendement de l’engrenage. Un frottement métal
sur métal entraînerait un coefficient de frottement beaucoup plus élevé.
Une autre fonction importante du lubrifiant consiste à absorbée la chaleur dégagée durant l’engrènement
(la perte de rendement est en effet matérialisée par un dégagement de chaleur). Un volume d’huile souvent
important est nécessaire pour éviter un échauffement anormal de l’engrenage. La lubrification est une
source des différentes détériorations superficielles des dentures :
I.4.2 L’usure
L’usure est un ensemble complexe de phénomènes difficiles à interpréter, amenant une émission de débris
avec perte de masse, de cote, de forme, et s’accompagnant de transformations physiques et chimiques des
surfaces. C’est un phénomène local caractérisé par un enlèvement de matière dû au glissement de deux
surfaces l’une sur l’autre.
I.4.3 Les piqûres
Ce phénomène est caractérisé par l’apparition sur toute la surface active des dents de petits trous peu
profonds en forme d’éventail dont la pointe est tournée vers le pied des dents motrices ou vers le sommet
des dents menées. La taille de ces trous est de 0.3 à 2 mm tandis que la profondeur est de 0.1 mm. C’est
une avarie qui se produit surtout dans les engrenages en acier de construction relativement peu dur. On
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
9
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
peut y remédier en utilisant un lubrifiant à viscosité élevée. Le profil de la dent se perturbe, la surface
active devient irrégulière, les charges dynamiques augmentent, la transmission s’échauffe et le bruit
s’amplifie.
I.4.4 Corrosion
I.4.4.1 Corrosion chimique
Elles provoquent des taches de couleur brune rouge, des irrégularités de surface, des piqûres souvent
foisonnantes, plus ou moins bien réparties sur tout ou partie des zones exposées. Il s'agit évidemment
d'attaques chimiques ou électrochimiques. Souvent, cette attaque résulte de produits contaminants
introduits dans le carter, mais très fréquemment elle est due à la présence d'eau amenée par des fuites ou
par la condensation.
Le lubrifiant peut lui aussi être incriminé, pour diverses raisons : acidification due au vieillissement,
présence d’additive extrême pression trop agressive, activation de ces additives par la présence d'eau ou
par une température excessive. Parfois les engrenages sont corrodés avant même leur introduction dans le
carter, à cause d'un nettoyage avec des substances agressives, d'un mauvais stockage ou encore du simple
contact avec des mains en sueur. Les dentures corrodées ont un aspect peu engageant mais leur
fonctionnement n'est que rarement altéré. Toutefois, il faut se méfier des résidus d'oxydation qui peuvent
être très durs et engendrer une usure abrasive.
I.4.4.2 Corrosion de contact
Elle concerne : d'une part les dentures ordinaires soumises, pendant le transport ou l'arrêt, à des vibrations
d'origine extérieure, d'autre part les accouplements à denture soumis, avec une protection insuffisante, à
des vibrations de torsion ou à de petits mouvements dus au désalignement. La corrosion de contact produit
des quantités importantes d'oxydes abrasifs qui vont polluer les lubrifiants et provoquer, dans les cas
graves, une usure destructrice.
I.4.5 Surchauffe
Elles résultent d'un échauffement anormal consécutif à une surcharge, une survitesse, un défaut de
lubrification. Les plages colorées que l'on constate ne doivent pas être confondues avec le résultat d'une
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
10
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
oxydation ou d'une corrosion. La chute des caractéristiques mécaniques favorise l'apparition du grippage
et dans les cas les plus graves, elle peut conduire à un écrasement de la denture par fluage à chaud.
I.4.6 Erosion par cavitation
L'érosion par cavitation peut se manifester au niveau des dentures lorsque celles-ci se meuvent
perpendiculairement à leur surface. Un tel mouvement se produit lors de l'engrènement sous l'effet de
vibrations. Il en résulte une alternance de surpressions et de dépressions au sein du lubrifiant. Si ce dernier
contient un produit susceptible de se vaporiser (eau, essence ...) et si les conditions s'y prêtent, alors des
bulles se forment, puis implosent en provoquant des ondes d’Echoc. On constate alors l'apparition des
micro-critères caractéristiques de la cavitation.
I.4.7 Etincelage
Il est caractérisé par la formation d'une multitude de petits cratères résultant du passage intempestif d'un
courant électrique, cratères qu'il ne faut pas confondre avec des piqûres provoquées par la fatigue des
couches superficielles. Les traces sont ici en forme de cupules présentant, juste après leur formation, un
rebord provenant de l'éjection du métal fondu. L'examen métallographique montre fréquemment des
structures de trempe et de revenu. Si ces cratères sont provoqués par des courants vagabonds, ils sont
généralement répartis sur l'ensemble de la denture. Comme dans le cas des roulements, les cratères peuvent
aussi avoir pour origine des travaux de soudage à l'arc au cours desquels le retour du courant s'est effectué
à travers les roues dentées mise à la masse mal choisie ! Dans ce cas, les dégâts sont bien sûr localisés.
I.4.8 Défauts localisés sur certaines dents
Les défauts localisés sur des dents particulières conduisent rapidement à la rupture de celles-ci.
I.4.8.1 L’Écaillage
Il se manifeste aussi sous forme de trous, mais ceux-ci sont beaucoup moins nombreux, plus profonds et
plus étendus que ceux des piqûres. L’écaillage se trouve dans les engrenages cémentés, qui sont les plus
répandus à l’heure actuelle car ils permettent de passer des couples importants avec des dimensions faibles
(Figure I.7) :
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
11
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Figure I.7 L’écaillage sur les engrenages.
I.4.8.2 Le grippage
Le grippage est la conséquence directe de la destruction brutale du film d’huile sous l’effet de la
température résultant d’un frottement sous charge (Figure I.8). Le grippage est favorisé essentiellement
par des vitesses élevées, de gros modules, un faible nombre de dents en contact. La probabilité de grippage
est influencée par l’état physico-chimique du lubrifiant et par les conditions de mise en service :
Figure I.8 Le grippage sur les engrenages.
I.4.8.3 La fissuration
Elle progresse à chaque mise en charge à partir d’un point initial situé presque toujours au pied de la dent.
Elle apparaît surtout sur des aciers fins durcis par traitement thermique. Ces aciers fins sont très sensibles
aux concentrations de contraintes. La fissure modifie la rigidité de contact et, du même coup, la force de
contact. L’apparition de ces fissures est la conséquence d’une contrainte au pied de la dent qui dépasse la
limite de fatigue du matériau. Ces fissures sont en général situées du côté de la dent sollicitée en traction.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
12
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
I.5 LES VIBRATIONS
Tout un chacun a déjà sa petite idée préconçue au sujet des vibrations puisqu’elles font partie de notre vie
quotidienne.
Ces vibrations peuvent être de plusieurs ordres :
 Utiles (la montre, le rasoir électrique, haut-parleur, détection de fissures par mesures vibratoires,
relâchement des contraintes résiduelles de soudure par martelage, détection de défauts de
roulements, etc.) ;
 Agréables (berceau, balançoire, instrument de musique, etc.) ;
 Désagréables voire bruyantes (marteau-piqueur, etc.) ;
 Fatigantes ou nuisibles tant pour les êtres humains que pour les machines ou les édifices (santé et
sécurité, mal de mer, etc.)
L'étude des vibrations porte sur les mouvements oscillatoires des corps suite à l'action des forces qui leur
sont imposées. L’on peut dire, hors de tout doute, que tout corps doté d’une masse et d’une élasticité est
susceptible d’être soumis à des vibrations.
La quasi-totalité des nouveaux concepts de la technologie moderne ont apporté leur lot de vibrations aussi
imprévues qu’imprévisibles. Ces dernières ont, dans certains cas, été à l’origine de défaillances
techniques.
Aussi, de nos jours, et pour y pallier, presque toute nouvelle construction mécanique est soumise à une
étude intense de sa susceptibilité à la vibration, lors de ses deux phases principales, soit : pendant sa
conception et, tout au long de son développement.
De la sorte, et en ce qui a trait aux vibrations, le rôle de l’ingénieur consistera à :
Prévoir les résonances dangereuses ; s’assurer qu’elles se trouvent hors du régime d’opération ; réduire
les sources d’excitation ; introduire un amortisseur ; avoir parfois recours à la vibration à des fins pratiques
voire utiles tout comme dans le cas de l’entretien et de la maintenance des machines.
Les champs d’application des vibrations sont les suivants :
 Réduction et contrôle (conception)
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
13
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
-Isolation
- Amortissement
 Stabilité
 Entretien de machines
- Indication de l'état de santé
-Entretien prédictif conditionnel
-Diagnostic des défauts (déséquilibre, mauvais lignage, etc.)
 Bruit
 Essais dynamiques
- Contrôle de qualité
- Études environnementales (ESS)
 Santé et sécurité
-Transmission des vibrations au corps de l’être humain
I.5.1 Mouvement harmonique
I.5.1.1 Définitions de la vibration (norme AFNOR 90.001) [𝟐]
Par définition, la vibration est une variation dans le temps de la valeur d’une grandeur donnée, propre au
mouvement, voire de la position d’un système mécanique, lorsque la grandeur dont il est question est soit
plus grande soit plus petite que la valeur moyenne connue comme valeur de référence. Un corps vibre
lorsqu'il est animé par un mouvement oscillatoire alors qu’il se trouve en position d’équilibre. La forme
la plus simple de mouvement oscillatoire est la forme sinusoïdale caractérisée par une amplitude, une
fréquence et une phase (Figure I.9) :
Figure I.9 Fonction harmonique.
Un mouvement harmonique est défini par une fonction sinusoïdale du type :
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
14
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
y (t) = Y sin (ω t + θ)
(𝐼. 4)
Où :
y (t) désigne la fonction harmonique simple ;
Y représente l'amplitude. C’est la valeur maximale de la fonction harmonique ;
t est la variable temporelle (en secondes);
θ l’angle de phase à l'origine de la fonction (rad);
ω la pulsation (en rad/s).
La relation qui prévaut entre pulsation, fréquence et période est définie comme suite :
𝑇=
2𝜋
𝜔
1
=𝑓=
60
(𝐼. 5)
𝑁
Où :
T la période (en secondes) ;
𝑓 désigne la fréquence qui représente le nombre de périodes par unité de temps (en Hertz (Hz) ou en
tours/sec ou en cycles/s) ;
N : représente le nombre de tours/minutes.
 Phase
Soient deux vibrations sinusoïdales représentées par les équations suivantes :
𝑥1 (t) = 𝑎1 sin (ωt + θ)
(𝐼. 6)
𝑥2 (t) = 𝑎2 sin(ωt + θ)
(𝐼. 7)
On constate que si leur période est la même, il n’en va pas de même pour leurs déplacements maximaux
qui ne sont pas atteints au même moment. En effet, l'un est décalé d'un angle θ par rapport à l’autre. L'angle
θ est appelé angle de phase.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
15
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
La phase représente le laps de temps au cours de laquelle cette grandeur a avancé ou retardé, par rapport
à l'origine de la variable temporelle.
Le déphasage est la différence des phases respectives de deux mouvements périodiques de même
fréquence, ce qui, dans le cas de mouvements harmoniques, se traduit par la différence des angles de phase
calculée à partir de la même origine.
On entend par vibration périodique une grandeur qui se reproduit de manière identique et à intervalles
réguliers en regard d’une variable dont elle dépend (temps, espace, etc.)
Le mouvement harmonique peut être généralisé par un mouvement périodique s’il y a répétition du
mouvement après une période de temps donnée T. Ainsi nous pouvons écrire :
(𝐼. 8)
y (t) = y (t + T)
Où :
T désigne la période (temps qu'il faut pour faire un tour), et est définie comme étant l’inverse de la
fréquence.
Un tel mouvement peut :
 Soit être provoqué par une excitation : on parle alors de vibrations forcées,
 Soit être le résultat d'une action imposée à un instant donné. On parle alors d'oscillations Libres.
En général, les systèmes mécaniques présentent de l’amortissement et les vibrations libres décroissent au
cours du temps pour devenir plus ou moins insignifiantes. Au contraire, les vibrations forcées subsistent
tant qu’il y a excitation.
Un système mécanique non amorti possède des vibrations libres particulières qui ont la particularité d'être
périodiques par rapport au temps : c'est ce que l’on appelle les vibrations propres. Les fréquences
correspondantes sont les fréquences propres du système. Le mouvement libre le plus général pour un
système est une combinaison de ces vibrations propres : ce n'est pas en général un mouvement périodique.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
16
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
I.5.2 Définitions de déplacement, vitesse et accélération
I.5.2.1 Déplacement
Tout déplacement est une grandeur vectorielle qui définit le changement de position d'un corps ou d'un
point donné par rapport à un système de référence.
Ce dernier se compose d’un système d'axes se rapportant à la position de repos ou une position d’équilibre.
En règle générale, tout déplacement peut être représenté par un vecteur-rotation ou un vecteur-translation.
Un déplacement est qualifié de « déplacement relatif » s'il est calculé par rapport à un système de référence
autre que le système de référence de base. Pour calculer le déplacement relatif entre deux points, il suffit
de faire la différence vectorielle entre les déplacements de ces deux points.
Considérons une fonction de déplacement de type harmonique :
y (t) = Y sin (ω t + θ)
(𝐼. 9)
L’amplitude du signal est Y et sa fréquence est f = ω/2π. La forme temporelle de cette fonction est illustrée
à la figure I.10.
Figure I.10 Représentation fréquentielle d’un signal harmonique.
I.5.2.2 Vitesse
La vitesse représente la dérivée du déplacement par rapport au temps et est définie comme étant comme
la limite de dx/dt quand Δt tend vers 0. Une vitesse est qualifiée de « vitesse relative », si elle est calculée
dans un système de référence autre que le système de référence de base.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
17
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
La vitesse relative entre deux points est obtenue en calculant la différence vectorielle entre les vitesses de
deux points donnés. La vitesse est la dérivée de la fonction de déplacement [3] (Figure I.11) :
𝜋
𝑦̇ (𝑡) = 𝜔𝑌 cos(𝜔𝑡 + 𝜃) = 𝜔𝑌 sin (𝜔𝑡 + 𝜃 + )
2
(𝐼. 10)
Par conséquent, nous pouvons dire que la vitesse vibratoire est un signal harmonique déphasé de 90 degrés
par rapport au déplacement avec la même fréquence, mais dont l’amplitude V est égale à 𝜔y (Figure I.12).
Figure I.11 Représentation temporelle de la vitesse vibratoire.
Figure I.12 Représentation fréquentielle de la vitesse vibratoire.
1.5.2.3 Accélération
L’accélération est un vecteur qui représente la dérivée de la vitesse par rapport au temps. L’accélération
est pour un signal harmonique (Figure I.13) :
𝑦̈ (𝑡) = 𝜔2 𝑌 sin(𝜔𝑡 + 𝜃)
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
(𝐼. 11)
18
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
L’accélération est donc un signal harmonique, déphasé de 90 degrés par rapport à la vitesse et de 180
degrés par rapport au déplacement, dont l’amplitude A est égale à 𝜔2 Y et dont la pulsation est 𝜔y (Figure
I.14).
Figure I.13 Représentation temporelle de l’accélération.
Figure I.14 Représentation fréquentielle de l’accélération.
l.6 LES SOURCES DES VIBRATIONS [𝟕]
Il est bien connu qu'une transmission par engrenages participe de manière notoire à la production de
vibration et de bruit par des excitations associées aux conditions de contact entre dentures.
Suivant leurs objectifs, elles peuvent être classées en :
a) des analyses globales : la représentation de l’environnement mécanique des engrenages est précise,
tandis que la modélisation du contact entre dentures reste généralement succincte.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
19
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
b) des analyses locales : la modélisation du contact entre dentures est plus fine mais la représentation de
l’environnement mécanique est simplifiée
Pour des raisons de simplicité, la plupart des travaux de modélisation du comportement dynamique
d'engrenages se sont orientés vers des modélisations masses ressorts. Les engrenages sont assimilés à des
cylindres rigides liés par une raideur qui représente la liaison élastique entre dentures (raideur
d'engrènement)
Les premiers travaux de modélisation du comportement dynamique d'engrenages considèrent une raideur
d'engrènement constante. Les sources d'excitations internes les plus importantes sont celles:
 Associées aux fluctuations de raideur d'engrènement due à la variation de la longueur de contact
au cours du temps,
 Celles générées produites par les écarts de forme sur les dentures. Ces deux phénomènes de base
en dynamique de l’engrenage sont explicités ci-dessous.
I.6.1 La raideur d’engrènement
La raideur globale d'engrènement caractérise les déformations élastiques qui gèrent les positions relatives
des deux roues d'un engrenage, sous l'action des efforts transmis. Cette liaison élastique, sur laquelle
repose largement la problématique de la dynamique de l'engrenage, est assurée par les contacts entre
dentures conjuguées des deux roues au cours de l'engrènement. Elle témoigne donc des conditions
d'engrènement et met en évidence les fonctionnements non-linéaires, synonymes de pertes de contact
partielles, voire totales, entre des dents théoriquement en prises. Par hypothèse, la majorité des études
considère que cette liaison agit sur le plan d'action théorique. Pour déterminer la raideur globale
d'engrènement, il est nécessaire de connaître à priori les propriétés de rigidité (ou de complaisance)
caractérisant un couple de dents en prise.
L6.1.1 Raideur d'un couple de dents
La raideur d'un couple dents ; décomposent les déformations élastiques d'un couple de dents en prise en
des contributions :
 Locales avec les déflexions de type hertziennes localisées au niveau des contacts.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
20
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
 Globales avec les déformées structurelles de dentures comme la flexion et le pivotement par
rapport à la jante.
En ce qui concerne les déformations de structure d’une dent, il est important, d’un point de vue
fonctionnel, de déterminer la répartition des efforts entre les dents au cours de l’engrènement ce qui
nécessite de connaître la relation entre la charge appliquée à la surface d’une dent d'engrenage et la
distribution des déplacements en tout point de contact potentiel.
La raideur d’un couple de dents est alors recomposée à partir des déplacements issus des déformations de
contact et de structure de la dent. On constate généralement que la raideur d’engrènement varie
sensiblement avec la position du point d’application de la charge sur les profils de denture
I.6.1.2 Raideur globale d’engrènement
A partir de la connaissance de la raideur d’un couple de dents en tout point du profil actif, la raideur
globale d’engrènement peut être calculée par addition de l’ensemble des contributions individuelles par
paire de dents.
Même pour des géométries parfaites, un engrenage est donc générateur de vibrations puisque la rigidité
d’engrènement varie au cours du temps et génère par conséquent des excitations paramétriques.
I.6.2 Ecarts géométriques
La fabrication et le montage des engrenages ne sont généralement pas sans défaut l'excitation par la raideur
d'engrènement n'est pas capable, à elle seule, d'expliquer le comportement vibratoire des engrenages et
que les écarts géométriques représentent une source excitatrice interne importante du système
d'engrenages. Les principaux écarts géométriques considérés pour les transmissions par engrenages sont:
• les écarts de formes :
- erreurs de profil,
- erreurs de distorsion,
- erreurs de division.
• les défauts de montage :
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
21
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
- défauts d’alignement ou de parallélisme,
- excentricités.
En ce qui concerne les écarts de formes sur les dentures, ils proviennent essentiellement du processus de
fabrication. On note qu’ils se divisent en trois types :
Erreurs de profil, erreurs de distorsion et erreurs de division. Les erreurs de profil (écart entre le profil réel
et théorique) et de distorsion (écart entre la trace de l’hélice réelle et idéale) sont généralement
consécutives à des défauts de taillage et/ou de rectification.
Les écarts de forme peuvent également provenir de modifications volontaires de géométrie. Il s’agit alors
de corrections de forme dont le but est d’améliorer les conditions de chargement sur les flancs de denture
et éventuellement le comportement vibratoire de la transmission. On distingue habituellement :
 Les corrections de profils (dépouille de tête, de pied),
 Les corrections longitudinales selon l’hélice (bombé, correction linéaire, etc…) :
L’erreur individuelle de pas ou erreur de division est définie comme l’écart entre la valeur réelle du pas
considéré (pas circulaire, apparent ou réel, pas de base réelle) et sa valeur théorique. On donne
généralement pour chaque classe d’engrenage l’erreur totale de division admissible. Les écarts de montage
sont liés à l’assemblage des divers composants du réducteur. Ils regroupent essentiellement les deux types
de défauts suivants :
• le défaut d’alignement caractérisant le non parallélisme des axes supportant les engrenages. Il peut être
défini par deux angles : l’angle d’inclinaison θi, qui correspond à un écart angulaire dans le plan des deux
axes de rotation des engrenages et l’angle de déviation θd dans le plan normal au précédant et parallèle
aux axes (Figure I.15).
• le défaut d’excentricité représentant l’écart théorique entre l’axe de rotation et l’axe principal d’inertie
polaire de l’engrenage (Figure I.15).
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
22
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Figure I.15 Défaut d'Allemagne et d'excentricité.
I.6.3 Erreur de transmission
La notion d’erreur de transmission est définie comme l’écart de position de la roue menée, pour une
position donnée du pignon par rapport à la position qu’elle devrait occuper si les engrenages étaient rigides
et géométriquement parfaits
On distingue habituellement :
- l’erreur de transmission quasi-statique sans charge (ou erreur cinématique),
- l’erreur de transmission quasi-statique et dynamique sous charge selon les vitesses de rotation
considérées.
I.6.3.1 Erreur cinématique
Lorsque la charge transmise est nulle, les déformations sont négligeables. L'erreur de transmission
correspond alors aux déviations de position causées uniquement par des écarts de géométrie ou de
montage. Cette erreur cinématique relève de la métrologie des engrenages et permet de caractériser des
défauts globaux tels que les excentricités, les faux ronds ou les erreurs de pas, mais aussi des défauts
locaux tels que les modifications ou erreur de profil ou d’hélice. L'erreur cinématique constitue donc un
bon indicateur de la géométrie et de la métrologie d'un engrenage.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
23
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
I.6.3.2 Erreur de transmission sous charge
La littérature distingue deux sortes d'erreurs de transmission sous charge :
- l'erreur quasi-statique sous charge, qui caractérise le comportement d'un engrenage à des vitesses de
rotation suffisamment faibles pour que les effets d'inertie puissent être négligés ; ce paramètre est
fréquemment considéré comme une donnée du problème dynamique.
- l'erreur dynamique qui correspond au fonctionnement sous charge à des vitesses de rotation plus élevées.
L’erreur de transmission quasi-statique sous charge est un paramètre très couramment rencontré dans la
littérature et, suivant l'objectif de l'étude, son utilisation peut être de deux natures différentes. Le premier
type d'utilisation consiste à caractériser le comportement dynamique d'un engrenage et/ou l'influence des
écarts de géométrie, par le biais des fluctuations de l'erreur de transmission quasi-statique sous charge.
Le second type d'analyse consiste à considérer l'erreur de transmission quasi-statique sous charge comme
source d'excitation potentielle du système mécanique, et à l'introduire comme terme d'excitation forcée
dans le second membre des équations du mouvement.
I.6.3.3 Erreur de transmission dynamique
L'erreur de transmission dynamique constitue le résultat du problème dynamique et sert généralement à
caractériser le comportement vibratoire (et acoustique) d'un réducteur à engrenage.
Pour conclure, il est généralement admis que l'erreur de transmission donne une image intéressante du
comportement dynamique et acoustique d'un engrenage. Cependant les mesures d'erreurs de transmission
dans les conditions réelles de fonctionnement sont souvent délicates compte tenu des limites mécaniques
et électroniques imposées par les divers composants du système de mesure même si elles peuvent s'insérer
dans un contexte industriel. Le concept d'erreur de transmission masque un certain nombre de
caractéristiques propres à l'engrènement mais aussi propre à l'environnement mécanique des toutes les
roues dentées ; en particulier, les flexibilités des arbres, paliers et carters qui peuvent contrôler assez
largement les conditions d'engrènement et modifier ainsi les caractéristiques de l'engrènement déterminées
en isolant les roues d'engrenages du reste du mécanisme.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
24
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
Les sources d’excitation externe :
Les principales sources d’excitation externe sont engendrées par les fluctuations du couple moteur, les
fluctuations du couple de charge, les variations de l’inertie de charge, et enfin par les vibrations transmises
via les points de fixation sur la structure externe.
Toutes ces sources d’excitation mentionnées auparavant n’ont pas autant d’importance : à titre d’exemple,
en régime de lubrification élastodynamique, les composantes des forces tangentielles sont très faibles
devant les composantes des forces normales et les effets excitateurs des frottements sont limités par la
présence du lubrifiant. Aussi, il est bien connu que la source d’excitation vibratoire interne dominante est
constituée par l’erreur statique de transmission sous charge.
I.6.4 Matériaux d’isolation vibratoire
Les matériaux les plus couramment utilisés pour l’isolation des vibrations mécaniques sont le caoutchouc,
le liège et le feutre. Les ressorts métalliques sont également employés. L'efficacité de chaque type dépend
toujours des conditions particulières d’emploi.
- Les ressorts métalliques hélicoïdaux
Ont l’avantage d’être peu sensible aux états ambiants (température, graisse). Les inconvénients viennent
de leur faible capacité d’amortissement et de leur facilité à transmettre les bruits. On peut remédier à cela
en les posant sur du caoutchouc ou du feutre.
- Les supports caoutchouc
Sont utilisé généralement pour l’isolation des machines légères. Le caoutchouc a de bonnes propriétés
d’amortissement mais elles varient en fonction de la charge, de la température et des conditions ambiantes.
- Le liège
Est surtout employé pour l’isolation acoustique mais donne également de bons résultats pour l’isolation
mécanique de machines légères. Ses caractéristiques élevées d’amortissement ne sont pas affectées par
des contacts d’huiles ou d’eaux et les variations faibles de températures. Par contre, il n’est pas
parfaitement élastique.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
25
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
- Le feutre
Permet d’éviter la transmission des vibrations hautes fréquences.
I.7 AVANTAGES
Les principaux avantages des mécanismes à roues dentées et des engrenages sont :
La possibilité de transmettre entre deux arbres des mouvements de rotation et des couples, donc des
puissances des plus faibles aux plus élevées ;
D’assurer un rapport de transmission constant entre les deux arbres indépendamment de la charge
appliquée. Exception : les mécanismes à roues elliptiques dont le but est justement d'obtenir un rapport de
transmission variable ;
De pouvoir disposer les axes des roues d'une manière quelconque dans l'espace. Toutefois, la transmission
par engrenages à axes parallèles est la meilleure des solutions possibles ;
D’obtenir une grande sécurité en service et une durée de vie élevée même en présence d'efforts très
variables ;
Un entretien relativement restreint, un encombrement modeste et un prix de revient acceptable surtout par
l'utilisation de réducteurs de catalogue.
I.8 INCONVENIENTS
Il ne faut pas perdre de vue certains inconvénients à prendre en considération dans les transmissions par
roues dentées. Parmi ceux-ci, nous pouvons citer :
Un niveau sonore parfois gênant ; une transmission presque rigide entre l'arbre d'entrée et l'arbre de sortie,
l'amortissement des à-coups restant peu efficace lors de variations brusques de couple ou de vitesse ; un
prix de revient relativement élevé pour toute transmission en exécution particulière ou à très hautes
performances techniques, une interchangeabilité entre roues ou engrenages le plus souvent limitée.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
26
CHAPITRE PREMIER : GENERALITES SUR LA TRANSMISSION PAR ENGRENAGES
I.9 CONCLUSION PARTIELLE
Ce chapitre a montré une généralité sur les engrenages, le même chapitre a été dédié à la description des
sources d’excitations vibratoires des transmissions par engrenages, qui sont associées au processus
d’engrènement. On a distingué deux sources d’excitations vibratoires : sources d’excitations externes sont
engendrées aux fluctuations du couple moteur, les fluctuations du couple de charge, les variations de
l’inertie de charge. Les sources d’excitations internes sont associées aux fluctuations des forces de
frottement au niveau des dentures, aux forces de contact engendrées par des chocs autorisés par la présence
des jeux fonctionnels, à la rigidité d’engrènement et à l’erreur de transmission dynamique. Généralement,
l’erreur de transmission donne une image intéressante du comportement dynamique des engrenages.
Plusieurs outils de traitement du signal existent et sont largement utilisés dans le cas de la détection de
défauts d’engrenages. Parmi les défauts générés pendant le travail, il y a l'écaillage et les piqûres. Les
fissures peuvent survenir et provoquer une rupture de la dent par propagation qui est particulièrement
préoccupante. Le phénomène de propagation des fissures au pied des dents d'engrenage a été le centre
d'intérêt de nombreuses recherches concernant le comportement mécanique et dynamique des engrenages.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
27
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE
DES ENGRENAGES A DENTURE DROITE
II.1 MODELISATION DES ENGRENAGES
Les engrenages sont modélisés par des cylindres rigides connectés par une raideur
d’engrènement. Cette grandeur traduit la contribution des déformations des dentures et des
couplages élastiques introduits aux travers des déformations de la jante.
Plusieurs types de défauts peuvent apparaître dans les dents de l'engrenage au fil du temps, tels
que : les fissures, l'écaillage, les piqûres, l'usure, etc. Ces défauts ont pour effet de réduire la
rigidité. Autrement dit, la réduction de la rigidité de l'engrenage affecte le comportement
dynamique de l'engrenage, puis une vibration est générée.
II.1.1 Point de départ du modèle
Le modèle choisi sera donc basé sur un système à six degrés de liberté. Les modèles comprenant
un nombre de degrés de liberté supérieur à huit nécessitent quant à eux de connaitre plus de
détails sur le bâtit, le moteur et la charge (Figure II.1). Ces données sont parfois difficiles à
connaitre et à modéliser efficacement. Ainsi pour ne pas surcharger inutilement le modèle, mon
modèle utilisé comportera six degrés de liberté. Les six degrés de liberté sont les deux rotations
du pignon et de la roue et les quatre translations (Figure II.2). Les arbres et les roulements sont
considérés comme étant en série et ayant les mêmes propriétés dans les deux directions.
Figure II.1 Transmission par engrenage 1 étage.
Le modèle de la figure II.1, peut donc être mis sous la forme de six équations correspondant
chacune à un degré de liberté, le couplage provenant des forces d’excitation (F, T, Ft). En
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
28
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
effet, la force de contact N dépend des positions et des vitesses des différents degrés de
liberté. On retrouve N la force de contact qui est perpendiculaire à la surface de contact, Ft
qui est la force de frottement perpendiculaire à N. et W le couple généré par la force de
frottement.
Figure II.2 Figure système à 6 DDL.

Méthode de Lagrange
Il n’existe pas dans la nature les éléments sans masses ni rigidité. Donc chaque particule d’un
élément a un mouvement indépendant. Ceci implique que pour décrire la position de tous les
points par rapport à un référentiel inertiel, il faut une infinité de degré de liberté. Cependant, en
vibration, on peut formuler les hypothèses permettant de réduire le nombre de degré de liberté
avec une certaine précision. Cela se fait en décrivant le système par un nombre limité de corps
rigides reliés par des amortissements sans masse et des raideurs. Cette procédure est appelée
discrétisation, elle conduit à un système à plusieurs degré liberté Pour décrire
mathématiquement le système, on écrit le principe fondamental de la dynamique pour chaque
degré de liberté ce qui aboutit à un système matriciel où x représente les déplacements en
translation et 𝜃 en rotations [4]:
{
⃗
[𝑀𝑥 ]. {𝑥
⃗⃗⃗̈ } + [𝐶𝑥 ]. {𝑥̇ } + [𝐾𝑥 ]. {𝑥} = 𝑁
⃗⃗⃗
[ 𝑖𝜃 ]. {𝜃̈ } + [𝐶𝜃 ]. {𝜃̇ } + [𝐾𝜃 ]. {𝜃} = 𝑊
(𝐼𝐼. 1)
Où :
{𝑥
⃗⃗⃗̈ }, {𝑥̇ },{𝑥} sont respectivement les déplacements, les vitesses et les accélérations en
translation ;
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
29
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
̈
̇
{𝜃 }, {𝜃 } {𝜃} sont respectivement les déplacements, les vitesses et les accélérations en
rotation ;
[𝑀𝑋 ] est la matrice de masse ;
[𝑖𝜃 ] est la matrice d’inertie ;
[𝐶𝑋 ] et [C𝜃] sont les matrices d’amortissement en translation et en rotation ;
[𝐾𝑋 ] et [ K𝜃] sont les matrices de rigidité en translation et en rotation ;
⃗ est l’ensemble des forces ;
𝑁
𝑤
⃗⃗ est l’ensemble des couples.
⃗⃗⃗ p ), et chargé par un couple
Le système est entrainé par un moteur électrique d’un couple (W
⃗⃗⃗ p ). Les arbres, sur lesquels le pignon et la roue sont montés, sont supportés par des
résistant (W
paliers (Figure II.1).
 Etablissement des équations du mouvement
Plusieurs méthodes sont définies afin d’établir les équations du mouvement d’un système, en
ce qui nous concerne, nous utiliserons le deuxième prince de Newton ou le principe
fondamental de la dynamique pour parvenir à l’établissement de nos équations du mouvement
que ça soit en rotation ou en translation.
Le modèle de la figure II.1 peut donc être mis sous la forme de six équations correspondant
chacune à un degré de liberté, le couplage provenant des forces d’excitation (N,T). En effet, la
force de contact (N) dépend des positions et des vitesses des différents degrés de liberté. On
retrouve la force de contact (N) qui est perpendiculaire à la surface de contact, T qui est la force
de frottement perpendiculaire à la force de contact (N).
La force de frottement est égale par définition au produit de l’effort normal (qui est dans notre
cas l’effort de contact( N)) par le coefficient de frottement (µ) :
⃗ =μ𝑁
⃗
𝑇
(II. 2)
1. Translation du pignon et de la roue suivant l’axe des x
Selon le deuxième principe de Newton, la masse ponctuelle mp (Figure II.2), supposée isolée
du système mécanique initial, et en équilibre dynamique de translation parallèle à l’axe des
abscisses si et seulement si, la somme algébrique de toutes les réactions aux actions mécaniques
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
30
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
des forces extérieures élastiques (c’est-à-dire les forces proportionnelles à la vitesse et au
déplacement) est égale à l’opposé de la résultante des réactions aux actions mécaniques
d’inertie de translation parallèle à l’axe des x égale par définition au produit de la masse par
son accélération linéaire parallèle à cet axe. En appliquant le deuxième principe de Newton en
translation suivant l’axe des x,
Cela s’écrit :
𝑚𝑝 𝑥̈ 𝑝 + 𝑘𝑥𝑝 𝑥𝑝 + 𝑐𝑥𝑝 𝑥̇ 𝑝 = T𝑝
𝑚𝑝 𝑥̈ 𝑝 = −𝑘𝑥𝑝 𝑥𝑝 − 𝑐𝑥𝑝 𝑥̇ 𝑝 + T𝑝
𝑥
𝑚𝑔 𝑥̈𝑔 + 𝑘𝑥𝑔 𝑥𝑔 + 𝑐𝑥𝑔 𝑥̇𝑔 = −T𝑔
𝑔{
{ 𝑚𝑔 𝑥̈𝑔 = −𝑘𝑥𝑔 𝑥𝑔 − 𝑐𝑥𝑔 𝑥̇𝑔 − T𝑔
𝑝{
(𝐼𝐼. 3)
Où :
𝐶𝑋𝑔 Coefficient d’amortissement de la roue [N.s / m] ;
𝐶𝑋𝑃 Coefficient d’amortissement du pignon [N.s/ m] ;
𝑐𝑡 Coefficient d’amortissement de torsion [N.s / m] ;
𝑐𝑚 Amortissement du contact [N.s / m] ;
𝑘𝑥𝑔 Coefficient de rigidité de la roue [N / m] ;
𝑘𝑥𝑝 Coefficient de rigidité du pignon [N / m] ;
𝑘𝑡 Rigidité de torsion [N/ m] ;
𝑘𝑚 Rigidité du contact [N / m] ;
𝑚𝑔 Masse de la roue [kg] ;
𝑚𝑃 Masse du pignon [Kg].
2. Translation du pignon et de la roue suivant l’axe des y
En appliquant le même principe sur la roue suivant l’axe des y en translation nous écrivons :
𝑚𝑝 𝑦̈𝑝 + N + 𝑘𝑦𝑝 𝑦𝑝 + 𝑐𝑦𝑝 𝑥̇ 𝑝 = 0
𝑚𝑝 𝑦̈𝑝 = −N − 𝑘𝑦𝑝 𝑦𝑝 − 𝑐𝑦𝑝 𝑦̇𝑝
𝑦
𝑚𝑔 𝑦̈𝑔 − N + 𝑘𝑌𝑔 𝑦𝑔 + 𝑐𝑦𝑔 𝑦̇𝑔 = 0
𝑔{
𝑚𝑝 𝑦̈𝑝 = +N − 𝑘𝑦𝑔 𝑦𝑔 − 𝑐𝑦𝑔 𝑦̇𝑔
{
𝑝{
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
(𝐼𝐼. 4)
31
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
3. Rotation du pignon et de la roue
Selon le deuxième principe de Newton en rotation appliqué à la roue et au pignon suivant l’axe
des z (Figure II.2), nous pouvons écrire :
𝑖𝑝 𝜃𝑝̈ = 𝑟𝑝 𝑁 + 𝑇𝑃 + 𝑚𝑝
(𝐼𝐼. 5)
𝑖𝑔 𝜃𝑔̈ = −𝑟𝑔 𝑁 − 𝑇𝑔 + 𝑚𝑔
(𝐼𝐼. 6)
Où :
𝑖𝑔 Moment d’inertie de la roue [kg] ;
𝑖𝑃 Moment d’inertie du pignon [kg].
La force d’excitation au niveau des dents est perpendiculaire au contact. Le contact peut alors
être modélisé par une rigidité et un amortissement et la force résultante N est suivant la ligne
d’action (Figure II.2).
N=𝑁1 + 𝑁2 + 𝑁3 … … … … 𝑁𝑛
(𝐼𝐼. 7)
N=𝑐𝑚 (𝑣𝑝 − 𝑣𝑔 ) + 𝑘𝑚 (𝑑𝑝 − 𝑑𝑔 )
(𝐼𝐼. 8)
Où : vp et dp représentent respectivement la vitesse et le déplacement du pignon ;
vg et dg représentent respectivement la vitesse et le déplacement de la roue.
vp = rbp . θ̇p + ẏ p
(II. 9)
vg = rb𝑔 . θ̇g + ẏ g
(II. 10)
dp = rbp . θp + yp
(II. 11)
dg = rbg . θg + yg
(II. 12)
Où : b est la largeur de l’engrenage
N = Cm [(rbp . θ̇p + ẏ p ) − (rbg . θ̇g + ẏ g )] +
K m [(rbp . θp + yp ) − (rbg . θg + yg )]
On peut encore écrire autrement :
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
32
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
N=𝑐𝑚 [(𝑦̇𝑝 − 𝑦̇𝑔 ) − (𝑟𝑝 𝜃̇𝑝 − 𝑟𝑔 𝜃𝑔̇ )] + 𝑘𝑚 [(𝑦𝑝 − 𝑦𝑔 ) − (𝑟𝑝 𝜃𝑝 − 𝑟𝑔 𝜃𝑔 )]
(𝐼𝐼. 13)
De ces équations nous obtenons un système de six équations en raison de six degrés de liberté :
𝑚𝑝 𝑥̈ 𝑝 = −𝑘𝑥𝑝 𝑥𝑝 − 𝑐𝑥𝑝 𝑥̇ 𝑝 + 𝑇𝑝
𝑚𝑔 𝑥̈𝑔 = −𝑘𝑥𝑔 𝑥𝑔 − 𝑐𝑥𝑔 𝑥̇𝑔 − 𝑇𝑔
𝑚𝑝 𝑦̈𝑝 = −𝑁 − 𝑘𝑦𝑝 𝑦𝑝 − 𝑐𝑦𝑝 𝑦̇𝑝
𝑚𝑝 𝑦̈𝑝 = 𝑁 − 𝑘𝑦𝑔 𝑦𝑔 − 𝑐𝑦𝑔 𝑦̇𝑔
𝑖𝑝 𝜃𝑝̈ = 𝑟𝑝 𝑁 + 𝑇𝑃 + 𝑚𝑝
{
(𝐼𝐼. 14)
𝑖𝑔 𝜃𝑔̈ = −𝑟𝑔 𝑁 − 𝑇𝑔 + 𝑚𝑔
A partir du système d'équations précédant, nous extrayons les matrices de masse [𝐴], de rigidité
[𝐾] et amortissement [𝐶] :
⃗ ̈ + [𝐶] 𝑌
⃗ ̇ + [𝐾] 𝑌
⃗ =𝐹
[𝐴]𝑌
(𝐼𝐼. 14)
D’où :
La matrice de la masse [𝐴] :
𝑚𝑝
0
0
[𝐴] =
0
0
[0
0
𝑚𝑔
0
0
0
0
0
0
𝑚𝑝
0
0
0
0
0
0
𝑚𝑔
0
0
0
0
0
0
𝑖𝑝
0
0
0
0
0
0
𝑖𝑔 ]
⃗ ̈ }:
Le vecteur accélération {𝑌
⃗̈ } =
{𝑌
𝑥̈ 𝑝
𝑥̈𝑔
𝑦̈𝑝
𝑦̈𝑔
𝜃̈𝑝
(𝜃𝑔̈ )
La matrice de l’amortissement [𝐶]:
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
33
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
𝑐𝑥𝑝
0
0
[𝐶] = 0
0
[ 0
0
𝑐𝑥𝑔
0
0
0
0
−𝑢𝑐𝑚
𝑢𝑐𝑚
𝑐𝑦𝑝 + 𝑐𝑚
−𝑢𝑐𝑚
−𝑐𝑚 𝑟𝑝
𝑐𝑚 𝑟𝑔
𝑢𝑐𝑚
−𝑢𝑐𝑚
−𝑐𝑚
𝑐𝑦𝑔 + 𝑐𝑚
𝑐𝑚 𝑟𝑝
−𝑐𝑚 𝑟𝑔
𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝
−𝑢𝑚 𝑟𝑝
−𝑐𝑚 𝑟𝑝
𝑐𝑚 𝑟𝑝
𝑐𝑚 𝑟 2 𝑝
−𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝
−𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑔
𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑔
𝑐𝑚 𝑟𝑔
−𝑐𝑚 𝑟𝑔
−𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝
𝑐𝑚 𝑟 2𝑔 ]
𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝
−𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝
−𝑘𝑚 𝑟𝑝
𝑘𝑚 𝑟𝑝
𝑘𝑚 𝑟 2 𝑝
−𝑘𝑚 𝑟𝑔
−𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔
𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔
𝑘𝑚 𝑟𝑝
−𝑘𝑚 𝑟𝑔
−𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝
𝑘𝑚 𝑟 2 𝑃 ]
⃗̇ } :
Le vecteur vitesse { 𝑌
⃗̇ } =
{𝑌
𝑥̇ 𝑝
𝑥̇𝑔
𝑦̇𝑝
𝑦̇𝑔
𝜃̇𝑝
(𝜃𝑔̇ )
La matrice de la rigidité [𝐾] :
𝑘𝑥𝑝
0
0
[𝐾] = 0
0
[ 0
0
𝑘𝑥𝑔
0
0
0
0
−𝑢𝑐𝑚
𝑢𝑐𝑚
𝑐𝑦𝑝 + 𝑐𝑚
−𝑐𝑚
−𝑐𝑚 𝑟𝑝
𝑐𝑚 𝑟𝑔
𝑢𝑐𝑚
−𝑢𝑐𝑚
−𝑐𝑚
𝑐𝑦𝑝 + 𝑐𝑚
𝑘𝑚
−𝑘𝑚
⃗}:
Le vecteur du de placement {𝑌
𝑥𝑝
𝑥𝑔
𝑦𝑝
⃗}= 𝑦
{𝑌
𝑔
𝜃𝑝
(𝜃𝑔 )
Le vecteur de la force {𝐹 } :
𝑓1
𝑓2
𝑓3
{𝐹 } = 𝑓
4
𝑓5
(𝑓6 )
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
34
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
II.2 LA RIGIDITE
II.2.1 Rigidité d’engrènement
Pour calculer la force de contact, il est nécessaire de connaitre la rigidité totale du contact Cette
rigidité totale se décompose en trois rigidités : les deux rigidités de flexion des dents (Figure
II .3) et la rigidité de contact obtenue par la théorie d’Hertz.
- Rigidité de flexion
Il faut établir une équation qui détermine la rigidité de la dent en fonction du point de contact.
La rigidité de la dent peut être calculée à partir de la théorie des poutres en considérant un côté
libre et un côté encastré[12].
𝐾𝑑 =
𝐸𝐵𝑇 3 𝑎
4𝑋 3 𝑡
(𝐼𝐼. 15)
Où :
B est la largeur de l’engrenage ;
Ta est l’épaisseur de la dent au niveau du cercle primitif ;
Xt est la distance entre le pied de la dent et le point d’application de la force ;
E est le module de Young du matériau ;
Figure II.3 Paramétrage d'une dent.
-Rigidité de contact
La rigidité de contact est calculée à partir de la théorie d’Hertz. Cette théorie permet de
calculer le déplacement des surfaces en fonction de la charge. Il faut par la suite diviser la
charge par ce déplacement pour avoir la rigidité.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
35
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
1 − 𝑦 2 𝑝 1 − 𝑦 2𝑔
𝛿 = 𝑃0 𝑎𝑐 (
+
)
𝐸𝑝
𝐸𝑔
(𝐼𝐼. 16)
où :
𝛿 est le déplacement des surfaces ;
P0 est la pression au point de contact ;
𝑎 est la demi-largeur de contact ;
c est une constant proche de 2 ;
Ep et Eg sont respectivement les modules de Young des matériaux du pignon et de la roue ;
Yp et Yg sont respectivement les coefficients de Poisson du pignon et de la roue.
𝑃0 =
2𝑊
𝐵𝑎𝜋
(𝐼𝐼. 17)
Où :
P0 est la pression au point de contact ;
W est la charge normale ;
B est la largeur de l’engrenage ;
𝑎 est la demi-largeur de contact.
La rigidité de contact kf choisie est constante sur la longueur du profil
𝐾𝑓 =
𝑊
=
𝛿
𝐵×𝜋
1 − 𝑝 1 − 𝑦 2𝑔
4( 𝐸
+ 𝐸
)
𝑝
𝑔
𝑦2
(𝐼𝐼. 18)
Où :
B est la largeur de l’engrenage ;
Ep et Eg sont respectivement les modules de Young des matériaux du pignon et de la roue ;
Yp et Yg sont respectivement les coefficients de Poisson du pignon et de la roue.
II.3 INFLUENCE DES FISSURES SUR LA RIGIDITE
La présence d’une fissure ne modifie pas la rigidité de contact, mais uniquement la rigidité de
flexion des dents. Dans cette étude, les paramètres qui définissent la fissure sont sa
profondeur et sa largeur. La position axiale de la fissure n’est pas utilisée, car il est en effet
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
36
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
considéré que la fissure s’étend jusqu'à un des bouts de la dent. Il est intéressant de définir
ces paramètres en fonction des dimensions de la dent qui sont elles-mêmes liées au module.
Ainsi la largeur de la fissure est un pourcentage de celle de la dent. Cette dénomination permet
ainsi de se rapprocher de celle choisie pour le plan expérimental. Une étude par éléments finis
montre qu’il est possible d’obtenir une équation de la rigidité d’une dent donnée en fonction
des paramètres de définition de la fissure. Cependant, il faut vérifier la linéarité de cette équation
pour pouvoir l’étendre à toutes les dents quelqu’un soit le module. L’étude présente reprend le
principe de calcul de la rigidité d’une dent en y incluant à la base, une fissure définie par sa
profondeur et sa largeur, telle que décrite à la figure II.4.
Figure II.4 Modélisation d'une fissure.

Coefficient de frottement
Il n’y a roulement d’une dent sur l’autre qu’au point primitif. Ainsi pour le reste du contact, on
a un glissement d’une dent sur l’autre, qui génère une force de frottement. Le coefficient µ
dépend de différents facteurs tels que la pression de contact, la vitesse de glissement, la viscosité
du lubrifiant. Mais connaissant le matériau utilisé et la nature du contact entre les dents
(frottement à sec), le coefficient de frottement dépend du matériau de construction des systèmes
d’engrènement. Voici Les facteurs des coefficients des frottements pour quelques matières
(Tableau II.1) :
Tableau II.1: Les facteurs des coefficients des frottements
Nature du
Adhérence
Frottement (glissement)
matériau
à sec
Lubrifié
à sec
Lubrifié
Acier sur acier
0.18
0.12
0.15
0.09
Acier sur fonte
0.19
0.1
0.06
0.08 à 0.04
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
37
DEUXIEME CHAPITRE : LA MODELISATION DYNAMIQUE DES ENGRENAGES A
DENTURES DROITES
Téflon en acier
0.04
0.04
Pneu sur route
0.8
0.6
0.3 à 0.1
(sur sol mouillé)
III.4 L’AMORTISSEMENT
Dans la réalité, les vibrations libres étudiées n’existent pas car il y a toujours amortissement au
cours du temps et l’amplitude des oscillations diminue avec le temps. Ces forces
d’amortissement s’opposent au mouvement et sont donc de signes opposées aux vitesses.
II.4.1 Amortissement visqueux dû à la résistance fluide
Ce type d’amortissement se produit à des vitesses faibles pour des surfaces glissantes lubrifiées
(amortisseur hydraulique)
II.4.2 Amortissement non visqueux dû à la résistance fluide
Pour des vitesses de déplacements comprises entre 2 et 200 m/s, la force d’amortissement est
proportionnelle au carré de la vitesse.
II.4.3 Amortissement par frottement sec ou frottement de COULOMB
Ce type d’amortissement se produit lors d’un glissement sur des surfaces non lubrifiées. Durant
le mouvement la force d’amortissement 𝐹𝑓 est donnée par la loi de COULOMB[15]:
𝐹𝑓 = ±𝑓𝑁
(𝐼𝐼. 19)
Où : N est la composante normale de l’action de contact et f le coefficient de frottement sec
II.5 CONCLUSION PARTIELLE
Dans ce chapitre, on a réalisé à la modélisation d’un système d’engrenage à un étage, la
modélisation utilisée dans ce travail est du type discrète (masse, ressort et amortissement), ce
chapitre a permis de montrer les hypothèses prises en compte pour la création du modèle et le
modèle étant donc le contexte dans lequel les hypothèses du modèle dynamique ont été prises
en compte ; le modèle utilisé est celui à 6 DDL ; les équations du mouvement du système sont
du type linéaire qui découle du principe de Lagrange qui expriment le comportement
dynamique du système.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
38
39
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA
METHODE DE RANGE KUTTA
III.1 RÉSUMÉ
Le but en soit, de ce chapitre est de résoudre les équations différentielles de Lagrange d’un
système à six DDL. En effet, la modélisation et la simulation sont les étapes importantes dans
l’analyse d’un système mécanique. La modélisation permet d’écrire les équations différentielles
qui décrivent le comportement dynamique et la simulation permet d’en produire la résolution.
Nous allons présenter la méthode de Runge Kutta d’ordre 4 programmé sous Matlab pour
résoudre les équations différentielles d’un système discret.
Comme nous savons que la dynamique établit une relation mathématique entre les forces
appliquées sur un corps et le mouvement qui en résulte. Pour cela, plusieurs formalismes sont
développés ; la méthode de Lagrange est une méthode énergétique qui permet d’obtenir les
équations différentielles qui décrivent le comportement dynamique d’un modèle physique. On
a établi les expressions des équations de Lagrange à partir du principe des travaux virtuels de
d’Alembert, de la dynamique newtonienne et des principes du calcul variationnel (théorie
d’Euler Lagrange). La solution des équations de Lagrange d’un système discret, donne la loi
des mouvements du système. La résolution manuelle par les méthodes classiques de ces
équations différentielles s’avère très ardue.
Les méthodes numériques se sont développées ces dernières années avec le développement de
l’informatique, qui permet de calculer les itérations pour des systèmes d’équations complexes.
Nous allons programmer la méthode de Runge Kutta d’ordre 4 sur Matlab pour résoudre les
équations différentielles des systèmes discrets.
III.2 METHODE NUMERIQUE DE RUNGE KUTTA D’ORDRE 4
Les méthodes de Runge-Kutta sont des méthodes d'analyse numérique d'approximation de
solutions d'équations différentielles. Elles ont été nommées ainsi en l'honneur des
mathématiciens Carl Runge et Martin Wilhelm Kutta, lesquels élaborèrent la méthode en 1901.
Ces méthodes reposent sur le principe de l'itération, c'est-à-dire qu'une première estimation de
la solution est utilisée pour calculer une seconde estimation, plus précise, et ainsi de suite.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
39
40
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA
L'intérêt d'une méthode de résolution numérique d'équations différentielles se mesure
principalement suivant deux critères [20]:
• son coût pour obtenir une précision donnée (c'est à dire le nombre d'évaluations de fonctions
par étapes).
• sa stabilité.
La caractéristique des méthodes de Runge-Kutta est que le pas est assez facile à adapter, la mise
en œuvre informatique plus aisée. Mais pour des méthodes du même ordre de consistance, les
méthodes de Runge-Kutta exigent plus d'évaluations de fonctions. Quand on sait que la solution
de l'équation n'est pas sujette à de brusques variations de la dérivée, on prendra une méthode de
type prédicteur correcteur mais, si le pas doit être adapté plus précisément, on préfèrera une
méthode de Runge-Kutta.
III .2.1 Résolution
Voyons maintenant comment résoudre les problèmes discrétisés de la dynamique de Lagrange
à l’aide de la méthode de Runge Kutta d’ordre 4.
En posant que :
𝑥̈ 𝑝 = 𝑞1̈
𝑥̇ 𝑝 = 𝑞̇ 1
𝑥𝑝 = 𝑞1
𝑥̈𝑔 = 𝑞2̈
𝑥̇𝑔 = 𝑞̇ 2
𝑥𝑔 = 𝑞2
𝑦𝑝 = 𝑞3
𝑦̈𝑝 = 𝑞3̈
𝑦̇𝑝 = 𝑞̇ 3
,
,
𝑦
𝑦̈𝑔 = 𝑞4̈
𝑦̇𝑔 = 𝑞̇ 4
𝑔 = 𝑞4
𝜃𝑝 = 𝑞5
𝜃̈𝑝 = 𝑞1̈
𝜃̇𝑝 = 𝑞̇ 5
(𝜃𝑔 = 𝑞6 )
( 𝜃𝑔̈ = 𝑞6̈ ) (𝜃𝑔̇ = 𝑞̇ 6 )
Pour simplifier la résolution, la matrice sera reparti en deux parties ; alors on pose concernant
la première partie que :
𝑞1̇ = 𝑞7
𝑞2̇ = 𝑞8
𝑞3̇ = 𝑞9
𝑞4̇ = 𝑞10
𝑞5̇ = 𝑞11
𝑞6̇ = 𝑞12
Et on pose encore que :
𝑚1 = 𝑚𝑝
𝑚2 = 𝑚𝑔
𝑚3 = 𝑚 𝑝
𝑚4 = 𝑚𝑔
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
40
41
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA
𝑚5 = 𝑖 𝑝
𝑚6 = 𝑖𝑔
Pour la deuxième partie de la matrice, comme nous savons que, la résolution de ce système
d’équations, donne les lois des mouvements de masse. Pour utiliser la méthode de Runge Kutta
d’ordre 4, nous procédons de la manière suivante :
Pour la première ligne on aura :
𝑚1 𝑞̇ 7 = 𝑓1 − 𝐶𝑥𝑝 𝑞7 + 0 + 𝑢𝑐𝑚 𝑞9 − 𝑢𝑐𝑚 𝑞10 − 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞11 + 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞12 + 0 + 𝑢𝑘𝑚 𝑞3 − 𝑢𝑘𝑚 𝑞4
− 𝑢𝑘𝑚 𝑞5 − 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 + 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
Pour la deuxième ligne on aura :
𝑚2 𝑞̇ 8 = 𝑓2 + 0 − 𝑐𝑥𝑔 𝑞9 + 𝑢𝑐𝑚 𝑞10 + 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞11 − 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑞 𝑞12 + 0 − 𝑘𝑥𝑔 𝑞2 − 𝑢𝑘𝑚 𝑞3 + 𝑢𝑘𝑚 𝑞4
+ 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 − 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
Pour la troisième ligne on aura :
𝑚3 𝑞̇ 9 = 𝑓3 + 0 + 0 − (𝑐𝑦𝑝 + 𝑐𝑚 )𝑞9 + 𝑐𝑚 𝑞10 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞11 − 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞12 + 0 + 0
− (𝑘𝑦𝑔 + 𝑘𝑚 )𝑞3 + 𝑘𝑚 𝑞4 + 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 − 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
Pour la quatrième ligne on aura :
𝑚4 𝑞̇ 10 = 𝑓4 + 0 + 0 + 𝑐𝑚 𝑞9 − (𝑐𝑦𝑔 + 𝑐𝑚 )𝑞10 − 𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞11 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞12 + 0 + 0 + 𝑘𝑚 𝑞3
− (𝑘𝑦𝑔 + 𝑘𝑚 )𝑞4 − 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
Pour la cinquième ligne on aura :
𝑚5 𝑞̇ 11 = 𝑓5 + 0 + 0 + 𝑐𝑚 𝑞9 − 𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞10 − 𝑐𝑚 𝑟 211 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝 𝑞12 + 0 + 0 + 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞3 − 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞4
− 𝑘𝑚 𝑟 2 5 𝑞5 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝 𝑞6
Pour la sixième ligne on aura :
𝑚6 𝑞̇ 12 =𝑓6 + 0 + 0 − 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞9 + 𝑐𝑚 𝑟𝑞 𝑞10 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝 𝑞11 − 𝑐𝑚 𝑟 2𝑔 𝑞12 0 + 0 − 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞3 +
𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞4 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞5 − 𝑘𝑚 𝑟 2𝑔 𝑞6
Ces équations précédentes, nous a permis d’établir la matrice [𝐶] ; alors on écrira que
[𝐶] vaut :
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
41
42
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA
𝑞1̇ = 𝑞7
𝑞2̇ = 𝑞8
𝑞3̇ = 𝑞9
𝑞4̇ = 𝑞10
𝑞5̇ = 𝑞11
𝑞6̇ = 𝑞12
𝑚1 𝑞̇ 7 = 𝑓1 − 𝐶𝑥𝑝 𝑞7 + 0 + 𝑢𝑐𝑚 𝑞9 − 𝑢𝑐𝑚 𝑞10 − 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞11 + 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞12 −𝑘𝑥𝑝 + 0 + 𝑢𝑘𝑚 𝑞3 − 𝑢𝑘𝑚 𝑞4 − 𝑢𝑘𝑚 𝑞5 − 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 + 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
𝑚2 𝑞̇ 8 = 𝑓2 + 0 − 𝑐𝑥𝑔 𝑞9 + 𝑢𝑐𝑚 𝑞10 + 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞11 − 𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑞 𝑞12 + 0 − 𝑘𝑥𝑔 𝑞2 − 𝑢𝑘𝑚 𝑞3 + 𝑢𝑘𝑚 𝑞4 + 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 − 𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
𝑚3 𝑞̇ 9 = 𝑓3 + 0 + 0 − (𝑐𝑦𝑝 + 𝑐𝑚 )𝑞9 + 𝑐𝑚 𝑞10 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞11 − 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞12 + 0 + 0 − (𝑘𝑦𝑔 + 𝑘𝑚 )𝑞3 + 𝑘𝑚 𝑞4 + 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 − 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
𝑚4 𝑞̇ 10 = 𝑓4 + 0 + 0 + 𝑐𝑚 𝑞9 − (𝑐𝑦𝑔 + 𝑐𝑚 )𝑞10 − 𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞11 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞12 + 0 + 0 + 𝑘𝑚 𝑞3 − (𝑘𝑦𝑔 + 𝑘𝑚 )𝑞4 − 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞5 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞6
𝑚5 𝑞̇ 11 = 𝑓5 + 0 + 0 + 𝑐𝑚 𝑞9 − 𝑐𝑚 𝑟𝑝 𝑞10 − 𝑐𝑚 𝑟 211 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝 𝑞12 + 0 + 0 + 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞3 − 𝑘𝑚 𝑟𝑝 𝑞4 − 𝑘𝑚 𝑟 2 5 𝑞5 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝 𝑞6
𝑚6 𝑞̇ 12=𝑓6 + 0 + 0 − 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑞9 + 𝑐𝑚 𝑟𝑞 𝑞10 + 𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝 𝑞11 − 𝑐𝑚 𝑟 2𝑔 𝑞12 + 0 + 0 − 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞3 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞4 + 𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑞5 − 𝑘𝑚 𝑟 2𝑔 𝑞5
𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓3 = 𝑓4 = 𝑓5 = 𝑓6 = 𝑓
Cela nous conduit à dire que :
𝑞̇ 1
𝑞1
𝑞̇ 2
𝑞2
𝑞̇ 3
𝑞3
𝑞4
𝑞̇ 4
𝑞5
𝑞̇ 5
𝑞6
𝑞̇ 6
= [𝐶] 𝑞
+
𝑞̇ 7
7
𝑞8
𝑞̇ 8
𝑞9
𝑞̇ 9
𝑞10
𝑞̇ 10
𝑞11
𝑞̇ 11
(
𝑞12 )
(𝑞̇ 12 )
0
0
0
0
0
0
𝑓⁄
𝑚1
𝑓⁄
𝑚2
𝑓⁄
𝑚3
𝑓⁄
𝑚4
𝑓⁄
𝑚5
𝑓
( ⁄𝑚6 )
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
42
43
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−𝑘𝑥𝑝
⁄𝑚
1
0
0
−𝑘𝑥𝑔
⁄𝑚
2
0
0
0
0
0
0
0
0
[
0
0
0
0
0
0
𝑢𝑘𝑚⁄
𝑚1
−𝑢𝑘𝑚⁄
𝑚2
−(𝑘𝑦𝑝 + 𝑘𝑚 )
⁄𝑚
3
𝑘𝑚⁄
𝑚4
𝑘𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚
5
−𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
6
0
0
0
0
0
0
−𝑢𝑘𝑚⁄
𝑚1
𝑢𝑘𝑚⁄
𝑚2
𝑘𝑚⁄
𝑚3
−(𝑘𝑦𝑔 + 𝑘𝑚 )
⁄𝑚
4
−𝑘𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚
5
𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
6
0
0
0
0
0
0
−𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚
1
𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚
2
𝑘𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚
3
−𝑘𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚
4
2
−𝑘𝑚 𝑟 𝑝⁄
𝑚5
𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
6
0
0
0
0
0
0
𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
1
𝑢𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
2
−𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
3
𝑘𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚
4
𝑘𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑔
⁄𝑚
5
2
−𝑘𝑚 𝑟 𝑔⁄
𝑚6
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
−𝑐𝑥𝑝
⁄𝑚1
0
0
𝑐𝑥𝑔
⁄𝑚2
0
00
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
𝑢𝑐𝑚
⁄𝑚1
−𝑢𝑐𝑚
⁄𝑚2
−(𝑐𝑦𝑔 + 𝑐𝑚 )
⁄𝑚
3
𝑐𝑚
⁄𝑚4
𝑐𝑚
⁄𝑚5
−𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚6
−𝑢𝑐𝑚
⁄𝑚1
𝑢𝑐𝑚
⁄𝑚2
𝑐𝑚
⁄𝑚3
−(𝑐𝑦𝑔 + 𝑐𝑚 )
⁄𝑚
4
−𝑐𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚5
𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚6
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
43
0
0
0
0
1
0
−𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚1
𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚2
𝑐𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚3
−(𝑐𝑦𝑔 + 𝑐𝑚 )
⁄𝑚
4
𝑐𝑚 𝑟𝑝
⁄𝑚5
𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚6
0
0
0
0
0
1
−𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚1
𝑢𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚2
𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚3
𝑐𝑚 𝑟𝑔
⁄𝑚4
𝑐𝑚 𝑟𝑔 𝑟𝑝
⁄𝑚5
2
−𝑐𝑚 𝑟 𝑔
⁄
𝑚6 ]
44
TROISIEME CHAPITRE : RESOLUTION AVEC LA METHODE DE RANGE KUTTA
Le cas étudié dans notre travail est un système d’engrenage à denture droite à 6 degrés de liberté
dont les paramètres sont repris dans le tablea u IV.1.
Tableau IV.1 : Les paramètres du système d’engrenages.
LES PARAMETRES DU SYSTEME D’ENGRENAGES
Type d’engrenage
standard droit
Matériau
Acier
Module de Young
E=2.068X1011P𝒂
Coefficient de Poisson
𝒗 = 𝟎. 𝟑
Nombre de dents
N1=15 et N2=150
Angle de pression
𝜶 = 𝟐𝟎°
Pas diamétral
0.008m
Rayon du cercle de base du pignon
Rbp = 0,08629m
Rayon du cercle de base de la roue
Rbg = 0,12053m
Largeur de la dent
L = 0,016m
Masse du pignon
mp = 0,3083kg
Masse de la roue
mg = 0,4439kg
Rapport de contact
Cr = 0,6326
Moment d’inertie du pignon
Ip = mpRp21 /2= 0,0002428kgm2
Moment d’inertie de la roue
Ig = mgR2p2/2 = 0,0005034kgm2
Couple du moteur
T1 =1 ,72Nm
Couple de la charge
T2 = 1.205Nm
Rigidité radiale des roulements
km = 6.56 × 108N/m
Coefficient d’amortissement des roulements
cm = 1 .8 × 105Ns/m
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
44
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES
EQUATIONS DU COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
IV.1 SIMULATION NUMERIQUE
La simulation informatique ou numérique désigne l'exécution d'un programme informatique sur
un ordinateur ou réseau en vue de simuler un phénomène physique réel et complexe (par
exemple : chute d’un corps sur un support mou, résistance d’une plateforme pétrolière à la
houle, fatigue d’un matériau sous sollicitation vibratoire, usure d’un roulement à billes…). Les
simulations numériques scientifiques reposent sur la mise en œuvre de modèles théoriques
(Méthodes de Runge-Kutta pour le traitement numérique des équations différentielles). Elles
sont donc une adaptation aux moyens numériques de la modélisation mathématique, et servent
à étudier le fonctionnement et les propriétés d’un système modélisé ainsi qu’à en prédire son
évolution. On parle également de calcul numérique. Les interfaces graphiques permettent la
visualisation des résultats des calculs par des images de synthèse.
A l’aide des relations développées dans le chapitre précèdent, nous avons écrit un algorithme
de calcul sous Matlab, ce dernier a permis de tracer les graphiques descriptifs. Pour ce qui
concerne les paramètres de simulation, nous avions utilisé le tableau des paramètres du système
d’engrenages.
𝑥𝑝 = 𝑦1
𝑥𝑔 = 𝑦2
𝑦𝑝 = 𝑦3
En posant que : 𝑦𝑔 = 𝑦4
𝜃𝑝 = 𝑦5
{𝜃𝑔 = 𝑦6
(𝐼𝐼𝐼. 1)
Apres avoir poser l’équation(𝐼𝐼𝐼. 1), cela nous a permis de bien interpréter les résultats obtenus.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
45
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
IV.2 INTERPRETATION DES RESULTATS
IV.2.1 Première simulation numérique
En appliquant une force d'excitation d’une unité de force (newton) ; on a c'est allure :
Figure IV.1 Première simulation numérique.
Constat
La variation angulaire de la roue (y6) est en train croître progressivement dans l'intervalle de
temps de 0 à 90 secs.
La variation angulaire du pignon (y5) est en train aussi de croître jusqu'à avoir une valeur de
0.0065 Rad.
Y1, Y2, Y3 et Y4 sont invariables jusque là.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
46
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
IV.2.2 Deuxième simulation numérique
En appliquant une force d’excitation de 50 newtons ; on a cette allure :
Figure IV.2 Deuxième simulation numérique.
Constat
La variation angulaire de la roue (y6) est en train croître progressivement dans l'intervalle de
temps de 0 à 90sec, jusqu'à avoir une valeur de 0.65 Rad.
La variation angulaire du pignon (y5) est en train aussi de croître jusqu'à avoir une valeur de
0.32 Rad.
Y1, Y2, Y3 et Y4 sont invariables jusque là.
Comparativement à la figure précédente, on a constaté qu’ici les variations sont importantes à
cause de la force d'excitation.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
47
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
IV.2.3 Troisième simulation numérique
Alors si on laisse la force à 50 newtons et Km 2.262e 8 N /m ; on aura :
Figure IV.3 Troisième simulation numérique.
Constat
La variation angulaire de la roue (y6) est en train croître progressivement dans l'intervalle de
temps de 0 à 90 sec, jusqu'à avoir une valeur de 0.65 Rad.
La variation angulaire du pignon (y5) est en train aussi de croître jusqu'à avoir une valeur de
0.32 Rad.
Y1, Y2, Y3 et Y4 sont invariables.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
48
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
IV.2.4 Quatrième simulation numérique
En ajoutant encore une fois de plus la valeur de Cm 10.262e 8 avec une force d'excitation de
1N et puis j'ai cette allure :
Figure IV.4 Quatrième simulation numérique.
Constat
La variation angulaire du roue (y6) est en train croître progressivement dans l'intervalle de
temps de 0 à 90 sec.
La variation angulaire du pignon (y5) est en train aussi de croître jusqu'à avoir une valeur de
0.0065 Rad.
Y1, Y2, Y3 et Y4 sont invariables jusque là.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
49
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
IV.2.5 Cinquième simulation numérique
En gardant les mêmes valeurs, mais je varie juste encore la force d'excitation pour aller à 10
kN. Alors j'aurais :
Figure IV.5 Cinquième simulation numérique.
Constat
La variation angulaire de la roue (y6) est en train croître progressivement dans l'intervalle de
temps de 0 à 90sec, jusqu'à avoir une valeur de 130 Rad.
La variation angulaire du pignon (y5) est en train aussi de croître jusqu'à avoir une valeur de
62.5Rad.
Y1, Y2, Y3 et Y4 sont invariables jusque là.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
50
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
Comparativement à la figure précédente, on a constaté qu’ici les variations sont importantes à
cause de la force d'excitation.
Constant générale
Nous avons remarqué, dans notre étude que la variation angulaire est plus importante. Cette
dernière causerait des dégâts sur le système de transmission par engrenage. La variation
angulaire est due à l’augmentation de la force d’excitation. Cette majoration de la force
d’excitation, peut causer des défauts ; entre autre : la fissuration de la dent, le grippage,
l’échauffement anormal.
Les facteurs principaux qui peuvent causer l’accentuation de la force d’excitation, sont bien
évidement : la lubrification et le vieillissement.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
51
QUATRIEME CHAPITRE : SIMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DU
COMPORTEMLENT DYNAMIQUE
CONCLUSION GENERALE
L’étude et l’analyse du comportement dynamique des systèmes mécaniques constituent un
intérêt majeur dans le domaine industriel. Elle permet de dépasser les domaines d’instabilité
ainsi que la réduction des niveaux vibratoires. En effet, les conséquences néfastes que
pourraient engendrer l’instabilité de tels systèmes imposent aux concepteurs d’établir, d’une
façon rigoureuse prudente, une étude et une analyse détaillées de leurs comportements
dynamiques avant d’envisager leurs implémentations réelles.
La quantité de publications dans le domaine montre l’importance de la compréhension des
phénomènes vibratoires dans le fonctionnement des transmissions par engrenage, cela dans le
but de mieux diagnostiquer les problèmes pouvant survenus durant la vie du produit. Il faut
donc arriver à prévoir l’influence des différents facteurs afin d’établir des gabarits de référence
propres à chaque système. Cette étape nécessite d’établir un modèle capable de simuler les
vibrations de l’engrenage. Le présent mémoire a eu pour but, dans un premier temps, de
sélectionner un type de modèle. C’est un modèle à six degrés de liberté permettant de simuler
les vibrations d’engrenage droit, en tenant compte du support, mais pas des autres éléments
extérieurs tels que le moteur ou la charge. En diminuant la rigidité d’une dent, la fissure modifie
la rigidité de contact et, du même coup, la force de contact. La présence des piqûres brise le
film d’huile et crée une zone de contact solide. Ce phénomène a pour effet d’augmenter la force
de frottement de la dent.
Pour l’entretien conditionnel préventif, l’analyse vibratoire s’avère un formidable outil pour
l’industrie. Ce travail m’a permis de développer un modèle analytique qui simule le
comportement dynamique d’un engrenage à denture droite. Nous pourrons dire qu’en présence
des défauts au niveau des dentures du système d’engrenages, l’arbre de sortie et de l’entrée qui
est connecté respectivement à la roue et au pignon effectuent une torsion autour de l’axe Z, ce
qui est fort probable que ce système mécanique atteindra le mode de la rupture et les paliers
serons endommagés, au fur et à mesure le système fonctionne dans ces conditions.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
52
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
1. Kadar T, 2015. « Diagnostic des défauts de fissures d’engrenages par l’analyse cyclostationnaire ». Thèse doctorat. Ecole de technologie supérieure - université du Québec
En cotutelle avec l’Université jean Monnet de Saint-Etienne, France, 17p.
2. Guillaume S, 2008. « Dynamique des transmissions en régime transitoire », thèse
doctorat, L’institut National des Sciences Appliquées de Lyon. 32p.
3. Bard C, 1995. « Modélisation du comportement dynamique des transmissions par
engrenages ». Thèse doctorat, l’institut national des sciences appliquées de Lyon, 142p.
4. Jerrar H, Boudi M, 2011. « Modélisation du comportement dynamique des engrenages:
Évaluation et prise en compte des flexibilités dans les modèles à paramètres
concentrés ». 20ème Congrès Français de Mécanique.
5. Guerine A, 2016. « Contribution à l'étude du comportement dynamique d'un système
d'engrenage en présence d'incertitudes ». Thèse doctorat. Génie mécanique. INSA de
Rouen, 30p.
6. Chiementin Xavier, « Localisation et quantification des sources vibratoires dans le cadre
d’une maintenance préventive conditionnelle en vue de abiliser le diagnostic et le suivi
de l’endommagement des composants me cantiques tournants : application aux
roulements à bille ». Thèse de doctorat, 2007. Université de Reims, France.
7. Mohamed El Badaoui, « Contribution au Diagnostic Vibratoire des Réducteurs
Complexes à Engrenages par l’Analyse Castrale ». Thèse de doctorat à l’université de
Saint-Etienne, France. Juillet 1999. 141 p.
8. Feki N. « Modélisation électromécanique de transmissions par engrenages :
Applications a la détection et au suivi des avaries ». Thèse de doctorat, L’institut
national des sciences appliquées de Lyon, 2012, 61p.
9. Bartelmus W. « Mathematical modeling and computer simulations as an aid to gearbox
diagnostics ». Mechanical Systems and Signal Processing, 2001, Vol.15, N° 5, 855871p.
10. Lida H, Tamura A, Yamada Y. « Vibrational characteristics of friction between gear
teeth ». Bulletin of the Japanese Society of Mechanical Engineers, 1985, Vol. 28, N°.
241, 1512-1519p.
11. Omar D. Mohammed, Rantatalo M, Adana J. O, Kumar U. « Vibration signal analysis
for gear fault diagnosis with various crack progression scenarios ». Mechanical Systems
and Signal Processing, 2013, Vol. 41°, N. 1-2, pp. 176–195.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
53
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
12. Yang D. C. H, Lin J. Y. « Hertzian damping, tooth friction and bending elasticity in
gear impact dynamics ». Journal of Mechanisms, Transmissions, and Automation in
Design, 1987, Vol. 109, N°.2, 189-196p.
13. Lalonde S, Guilbault R. « Dynamic analysis of spur gears by nonlinear modelisation ».
Proceedings of the 24nd Seminar on machinery vibration, Canadian Machinery
Vibration Association, 2006, 15-35p.
14. Omar D. M, Matti R, Jan-Olov A. « Dynamic modelling of a one-stage spur gear system
and vibration-based tooth crack detection analysis » . Mechanical Systems and Signal
Processing, 2015, Vol.54-55. 293–305p.
15. Singh R, Xie H, Comparin R. « Analysis of automotive neutral grear rattle ». Journal of
Sound and Vibration, 1989, Vol. 131, N°.2, 177-196p.
16. Bonori G, Pellicano F. « Non-smooth dynamics of spur gears with manufacturing
errors ». Journal of Sound and Vibration, 2007, Vol. 306, N°.1, 271-283p.
17. Gill-Jeong C. « Analysis of the nonlinear behavior of gear pairs
consideringhydrodynamic lubrication and sliding friction », J. Mech. Sci. Tech, 2009,
Vol. 23, N°.8, 2125-2137p.
18. El badaoui M. « Contribution au Diagnostic Vibratoire des Réducteurs Complexes à
Engrenages par l’Analyse Cepstrale ». Thèse doctorat à L’Université Jean-Monnet.
1999.
19. Palaisi D, Guilbault R, Marc T, Lakis A, Mureithi N. « Numerical simulations of
damaged gear vibrations ». Proceedings of the 27th seminar on machinery vibration.
CMVA, 2009.
20. Ville F, Velex P. « Introduction du frottement sur les dentures dans la simulation du
comportement dynamique de transmissions par engrenages ». Mécanique & Industries,
2007, Vol. 8, N°. 3, 299 – 303p.
21. Chaari F, Fakhfakh T, Haddar M. « Simulation numérique du comportement
dynamique d'une transmission par engrenages en présence de défauts de dentures ».
Mécanique & Industries, 2005, Vol. 6, N°.6, 625-633p.
22. Parey A, El Badaoui M, Guillet F, Tandon N. « Dynamic modelling of spur gear pair
and application of empirical mode decomposition-based statistical analysis forearly
detection of localized tooth defect ». Journal of Sound and Vibrations, 2006, Vol. 294,
N°. 3, 547-561p.
23. Divandari M, Aghdam B. H, Barzamini R. « Tooth profile modification and its effect
on spur gear Pair vibration in presence of localized tooth defect ». Journal of Mechanics,
2012, Vol. 28, N°. 2, 373 – 381p.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
54
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES
24. Rigaud E, « interactions dynamiques entre denture, lignes d'arbres, roulements et carter
dans les transmissions par engrenages ». thèse de doctorat, INSA de Lyon en Génie
Mécanique et Développement, 1998, N°.18, 29p.
25. Reboul E. « Vibroacoustique des mécanismes à hautes fréquences : application aux
transmissions par engrenages ». Thèse de doctorat à l’Ecole centrale de LYON, 2005,
10p.
26. Harris S. « Dynamic loads on the teeth of spur gears ». Proceedings of Institution of
Mechanical Engineering, 1958. Vol.172, N°.1, 87–112p.
27. Pfeiffer F, Prestl W. « Hammering in gears ».3ème congrès mondial des engrenages et
des transmissions ». Paris, 1992, 93 p.
28. Kahraman A, Singh R. « Non-linear dynamics of a spur gear pair ». Journal of Sound
and Vibration, 1990, Vol. 146, N°.1, 49-75p.
29. Houser D. R. « Gear Noise- State of the Art ». Proceedings of the 17th International
Conference on Noise Control Engineering, 1988, Vol.88, 601-606p.
30. Guerine H. « Contribution à l'étude du comportement dynamique d'un système
d'engrenage en présence d'incertitudes ». Génie mécanique, INSA de Rouen, 2016. .32
– 36p.
31. Breneur C. « Eléments de maintenance préventive de machines tournantes dans le cas
de défauts combines d'engrenages et de roulements ». Thèse de doctorat, INSA de Lyon,
2003
32. Wojnarowski J, Onishchenko V. « Tooth wear effects on spur gear dynamics ».
Mechanism and Machine Theory, 2003, Vol. 38, N°. 2, 161–178p.
33. Walha L, Fakhfakh T, Haddar M. « Nonlinear dynamics of a two-stage gear system with
mesh stiffness fluctuation, bearing flexibility and backlash ». Mechanism and Machine
Theory, 2009, Vol. 44, N° 5, 1058-1069p.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
55
ANNEXE
ANNEXE
%*************************************
% Méthode de Runge-Kutta à l'ordre 4 *
%*************************************
clear;
clc;
clf;
M1=0.4439; M2=0.3083;M3=0.3083;M4=0.4439; M5=0.0002428;
M6=0.0005034;
Kxg=6.56; Km=1.2620; Kyp=6.56; Kxp=6.56;Kyg=6.56;
Rg= 0.044753; Rp= 0.03729; U=0.3; F1=1;
F=[0 0 0 0 0 0 F1/M1 F1/M2 F1/M3 F1/M4 F1/M5 F1/M6]';
Cxg=1.8; Cm=0.670; Cyp=1.8;Cyg=1.8; Cxp=1.8;
h=0.01;
Fr=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 125/1.664e-4 50/1.030e-3]';
h=0.1;
y(:,1)=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]';t(1)=0; i=1;
C=[0 0 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0;
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1;
-Kxp/M1 0 U*Km/M1 -U*Km/M1 -U*Km*Rp/M1 U*Km*Rg/M1 -Cxp/M1
0 U*Cm/M1 -U*Cm/M1 -U*Cm*Rp/M1 -U*Cm*Rg/M1;
0 -Kxg/M2 -U*Km/M2 U*Km/M2 U*Km*Rp/M2 U*Km*Rg/M2 0 Cxg/M2
-U*Cm/M2 U*Cm/M2 U*Cm*Rg/M2 U*Cm*Rg/M2;
0 0 -(Kyp+Km)/M3 Km/M3 Km*Rp/M3 -Km*Rg/M3 0 0 -(Cyp+Cm)/M3
Cm/M3 Cm*Rp/M3 -Cm*Rg/M3;
0 0 Km/M4 -(Kyg+Km)/M4 -Km*Rp/M4 Km*Rg/M4 0 0 Cm/M4 (Cyg+Cm)/M4 -Cm*Rp/M4 Cm*Rg/M4;
0 0 Km*Rp/M5 -Km*Rp/M5 -Km*Rp^2/M5 Km*Rg*Rp/M5 0 0 Cm/M5 Cm*Rp/M5 -Cm*Rp^2/M5 Cm*Rg*Rp/M5;
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
56
ANNEXE
0 0 -Km*Rg/M6 Km*Rp/M6 Km*Rg/M6 -Km*Rg^2/M6 0 0 -Cm*Rg/M6
Cm*Rg/M6 Cm*Rg*Rp/M6 -Cm*Rg^2/M6];
F=Fr*10^(-3.8);
A=C*0.000005;
flm=C*y+F1;
while t<=90
k1=h*f1m(y(:,i),C,F);
k2=h*f1m(y(:,i)+k1/2,C,F);
k3=h*f1m(y(:,i)+k2/2,C,F);
k4=h*f1m(y(:,i)+k3,C,F);
y(:,i+1)=y(:,i)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
t(i+1)=i*h;
i=i+1;
end
plot(t,y(1:8,:));
grid on;
%text(t(800),y(1,800),'y1');
%text(t(900),y(2,900),'y2');
%text(t(800),y(3,800),'y3');
%text(t(900),y(4,900),'y4');
%text(t(800),y(5,800),'y5');
%text(t(700),y(6,700),'y6');
xlabel('Temps(Sec)');
ylabel('solutions,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8');
title('SIGNAUX RECUIELLIS AVEC Km=2.262e8(N/m)');
legend('signal1 (y1)','signal2 (y2)','signal3 (y3)','singal4
(y4)','singal4(y5)','singal4 (y6)','NorthEastOutside');
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
57
ANNEXE
LES DONNEES
Mes données ont étaient prisent sur une bobineuse de de l’atelier central électrique de la
Gécamines, précisément aux ACP (atelier central de panda).
Figure annexe : Bobineuse de la marque MAXEI.
une bobineuse comprenant : un plateau horizontal animé en rotation sur lui-même par un
moteur (P=500kw et une vitesse de 1800tr/min) à vitesse variable, et destiné à supporter le
support d'enroulement et le fourreau coaxial ; on trouve aussi une unité qui amène le fil
placé au-dessus du plateau et constituant un équipage mobile en translation verticale
monté sur des colonnes de guidage, ladite unité comprenant, d'une part, un système à
galets d'entraînement du fil et, d'autre part, un tube guide monté à la sortie du système
à galets et délivrant le fil dans l'espace annulaire ménagé entre le support d'enroulement
et le fourreau à une hauteur réglable à l'aide d'un moteur de réglage en hauteur de
l'équipage mobile.
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
58
ANNEXE
LISTE DES FIGURES
Figure I.1: Engrenage a denture droite. .............................................................................................................. 2
Figure I.2: Engrenages à axes parallèle............................................................................................................... 3
Figure I.4 Engrenages à axes quelconque. ......................................................................................................... 4
Figure I.5 Eléments géométriques des roues dentées ......................................................................................... 6
Figure I.6 Les efforts sur les engrenages. ............................................................................................................ 8
Figure I.7 L’écaillage sur les engrenages .......................................................................................................... 12
Figure I.9 Fonction harmonique ........................................................................................................................ 14
Figure I.10 Représentation fréquentielle d’un signal harmonique. ................................................................ 17
Figure I.11 Représentation temporelle de la vitesse vibratoire. ..................................................................... 18
Figure I.12 Représentation fréquentielle de la vitesse vibratoire.................................................................... 18
Figure I.13 Représentation temporelle de l’accélération. ................................................................................ 19
Figure I.14 Représentation fréquentielle de l’accélération. ............................................................................ 19
Figure I.15 Défaut d'Allemagne et d'excentricité ............................................................................................ 23
TRAVAIL DE FIN DE CYCLE DE BACHELIER INGENIEUR CIVIL EN ELECTROMECANIQUE NGEZ END MWANGAL AGGEE
59