DST2 corrigé

Corrigé du devoir surveillé 2
Corrigé 1.
1. (a)
4(4 − 4x) − 2(7 − 6x) = 4 × 4 − 4 × 4x − (2 × 7 − 2 × 6x)
= 16 − 16x − (14 − 12x)
= 16 − 16x − 14 + 12x
= 2 − 4x
(b)
(3 − x)2 = 32 − 2 × 3 × x + x2
= 9 − 6x + x2
(c)
(6x − 5)2 = (6x)2 − 2 × 6x × 5 + 52
= 36x2 − 60x + 25
2. (a)
56x + 35x2 = 7 × 8 × x + 7 × 5 × x × x
= 7x(8+5x)
(b)
9x2 − 121 = (3x)2 − 112
= (3x + 11)(3x − 11)
Corrigé 2.
2. Les coordonnées de E sont données par :
xB + xD
2
2 + (−2)
=
2
=0
xE =
5
yB + yD
2
0+4
=
2
=2
E(0; 2).
yE =
D
3
donc les coordonnées de E sont
3. Les longueurs AB et BC se lisent immédiatement :
AB = 7 et BC = 4
On calcule AD par la formule de la distance :
p
AD = (xD − xA )2 + (yD − yA )2
p
= ((−2) − (−5))2 + (4 − 0)2
p
√
√
= (3)2 + (4)2 = 9 + 16 = 25 = 5 donc AD = 5.
F
donc E et F ont même ordonnée.
2
E
1
A
−5
B
−4
−3
−2
−1
4. Notons F le milieu de [AC]. L'ordonnée de F est la moyenne de l'ordonnée de A et de C :
yF =
C
4
yA + yC
0+4
=
= 2 = yE
2
2
1
−1
2
Corrigé 3.
Partie A :
2. Les coordonnées de E sont données par :
xA + xC
2
(−1) + 3
=
2
=1
de E sont E(1; 0, 75).
yA + yC
2
1, 5 + 0
=
2
= 0, 75
xE =
3.
donc les coordonnées
yE =
BC =
p
=
p
=
√
(3 − 2)2 + (0 − 3)2
(1)2 + (−3)2
√
1 + 9 = 10
√
donc BC = 10.
4. Calculons la longueur EB :
p
(2 − 1)2 + (3 − 0, 75)2
p
= (1)2 + (2, 25)2
p
p
= 1 + 5, 0625 = 6, 0625
EB =
•
d'après l'énoncé, EC
√
2
2
+ EB =
73
4
!2
√
+ ( 6, 0625)2 = 10, 625
√
• BC 2 = ( 10)2 = 10
10, 625 6= 10
donc le triangle CEB n'est pas rectangle d'après le théorème de Pythagore.
Partie B :
2. Notons F le milieu de [BD]. Calculons ses coordonnées :
xB + xD
2
2+0
=
2
=1
xF =
yB + yD
2
3 + (−1, 5)
=
2
= 0, 75
yF =
Les points F et E ont mêmes coordonnées : on en déduit que E = F . Donc les diagonales [AC] et [BD] se
coupent en leur milieu : le quadrilatère ABCD est donc un parallélogramme.
3. ABCD est un losange si et seulement si ses diagonales se croisent perpendiculairement en leur milieu.
Or d'après la question 4 de la partie A, le triangle CEB n'est pas rectangle en E : les diagonales du quadrilatère
ne se coupent donc pas perpendiculairement.
On en déduit que ABCD n'est pas un losange.
Figure de l’exercice 3
3.5
B
3
2.5
2
A
1.5
1
\ = 86.59
CEB
E
0.5
C
−1.5
−1
−0.5
0.5
−0.5
−1
D
−1.5
−2
1
1.5
2
2.5
3
3.5