Mécanique CPGE devoir 2017-2018 corrigé

Université Ouaga 2, CPGE :
Mécanique du point matériel :
Enseignant :
Année scolaire : 2017-2018
Devoir
SOUGOTI Moussa
__________________________________________________________________________________
Documents et appareils (téléphones, tablettes, calculettes) : non autorisés
Durée : 3 heures
I.
Chute libre d’une bille (8 points)
Dans une expérience de chute libre d’une bille d’acier, un chercheur veut déterminer l’accélération de
la pesanteur terrestre au voisinage du sol, en effectuant plusieurs expériences avec des hauteurs
différentes de chute. Pour chaque hauteur de chute ℎ, il mesure l’intervalle de temps ∆
correspondant à la durée de la chute. Pour déterminer la relation théorique entre la hauteur de
chute ℎ et l’intervalle de temps ∆ , le chercheur assimile la bille d’acier à un point matériel et il
suppose qu’elle est soumise seulement à l’action de la pesanteur terrestre.
1) Pour cette étude, définir un référentiel ℛ =
,
,
,
lié à la surface de la terre.
2) Dans le référentiel ℛ, déterminer les coordonnées instantanées
3)
4)
5)
6)
7)
du vecteur-position
de la bille.
Quelle est la relation entre la hauteur de chute ℎ et l’intervalle de temps ∆ ?
Le chercheur trace la courbe représentative de la hauteur de chute ℎ en fonction du carré
de l’intervalle de temps ∆ ; quelle est la nature de cette courbe ?
Donner les caractéristiques de la courbe et montrer que ces caractéristiques permettent de
déterminer la valeur de la pesanteur terrestre.
Quel type de force le chercheur peut-il prendre en compte pour se rapprocher un peu plus de
la réalité de l’expérience ?
Quelles sont les précautions que le chercheur doit prendre pour que les conditions
expérimentales soient le plus proche possible de ses hypothèses théoriques ?
1) Choix du référentiel = , , ,
(1 point)
• Le point origine peut être choisi au sol et sur la trajectoire de la bille.
• L’axe
,
est la verticale du lieu orientée vers le haut et confondue avec la
trajectoire.
• Le plan , ,
est le plan horizontal tel que le trièdre
, ,
soit direct.
Bille
h
Sol
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2) Coordonnées instantanées de la bille : (3 points)
Soient et la position et la masse de la bille. En appliquant la relation fondamentale de la
dynamique, on obtient :
0
!"
= $ %& '
=
$ = ( 0 + (1,5 point)
#
−$
!"
#
Soit :
=$
- =0
D’où : , - = 0
- = −$
En intégrant les équations différentielles et en tenant compte des conditions initiales, on
=0
=0
obtient :
(1,5 point)
.
=ℎ− $
3) Relation entre hauteur de chute et intervalle de temps : (0,5 point)
On a = 0 lorsque la bille touche le sol ; d’où :
4) Nature de la courbe : (0,5 point)
En posant :
/=ℎ
;
1= ∆
On obtient l’équation d’une droite :
ℎ= $ ∆
% = $
/ = %1
5) Détermination de la pesanteur terrestre : (1 point)
C’est une droite qui passe par l’origine. Lorsque les incertitudes sur la hauteur et le temps
peuvent être évaluées, la pente % de la droite peut être déterminée avec une certaine
précision ; à cause des incertitudes de mesure, le calcul de la pente avec un seul point de
mesure n’est pas pertinent. D’après la relation entre la pente % et la pesanteur $, on a :
$ = 2 % ± ∆%
6) Autres forces à prendre en compte : (1 point)
Le chercheur peut prendre en compte les forces de frottement visqueux qui sont dues à
l’action de l’air sur la bille au cours de sa chute.
7) Précautions à prendre : (1 point)
Si le chercheur veut négliger les autres forces qui sont susceptibles de s’exercer sur la bille, il
faut que :
• Les conditions expérimentales minimisent l’action de ces forces (rayon et nature de la
bille, hauteurs de chute).
• Le poids de la bille doit être nettement supérieur à ces forces.
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II.
Problème : libellule en chasse (12 points)
Une libellule, prédatrice d’insectes, est en vol stationnaire à la position initiale 4 située sur la
trajectoire rectiligne d’une mouche, à l’altitude constante ℎ ; la mouche s’éloigne de la libellule et vole
avec une vitesse constante &4 = 367 ℎ8 = 10 : 8 . À l’instant initial où la libellule détecte la
mouche, la position ;4 de la mouche se trouve à une distance <4 = 10 de la position initiale 4 de
la libellule ; à cet instant, la libellule acquiert une accélération constante =, parallèle à la trajectoire et
orientée dans le même sens que &4 , qui lui permet d’atteindre au bout d’un intervalle de temps =
0,5: et sur une distance < , sa vitesse de croisière & = 727 ℎ8 = 20 : 8 .
4
<4
h
;4
Trajectoire
Sol
Scénario A
Avec la vitesse constante & , la libellule prend en chasse la mouche en restant sur la trajectoire de la
mouche qui garde aussi sa vitesse &4 .
1) Donner une raison physique qui permet d’assimiler la libellule et la mouche à des points
matériels. (0,5 point)
On peut supposer que les mouvements de la libellule et de la mouche sont des mouvements
de translation ; on peut donc considérer un point particulier de chaque système.
2) Définir un référentiel ℛ = , , ,
de la mouche sont étudiés. (1 point)
4
par rapport auquel les mouvements de la libellule et
;4
&4
Trajectoire
h
Sol
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•
•
•
Le point origine peut être choisi au sol.
est la droite verticale du lieu orientée vers le haut ; le plan
, ,
L’axe ,
contient la trajectoire commune de la libellule et de la mouche.
Le plan , ,
est le plan horizontal tel que le trièdre
soit direct.
, ,
3) Dans le référentiel ℛ, déterminer à chaque instant
libellule et le vecteur-position ; = (
@
@+
@
=(
le vecteur-position
"
"+
"
de la
de la mouche. (3 points)
Mouvement de la libellule :
•
La vitesse initiale est nulle
•
La position initiale :
•
Pour 0 ≤ ≤
D’où
•
Pour
!"
#
4
0
= (0 +
ℎ
!"
#
l’accélération est constante et non nulle :
==
& ==
< < +∞ l’accélération est nulle :
:BC = =
!"
#
DE
#E
====
; < = =
=0
D’où
!"
#
=&
En intégrant les équations du mouvement, dans chaque intervalle de temps, on
trouve :
" =0
Pour 0 ≤ ≤
Pour
,.
< < +∞, ,
"
"
= =
=ℎ
(1 point)
=0
" =< +&
" =ℎ
"
−
(1 point)
Mouvement de la mouche :
•
•
•
La vitesse initiale est constante et non nulle et vaut &4 .
0
La position initiale :
;4 = (<4 +
ℎ
Pour 0 < < +∞ l’accélération est nulle :
D’où
!@
#
= &4
!@
#
=0
En intégrant les équations du mouvement, dans chaque intervalle de temps, on
trouve :
@ =0
Pour 0 ≤ ≤ +∞, ,
@ = <4 + &4 (1 point)
@ =ℎ
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4) La libellule pourrait-elle rattraper la mouche ? Justifier votre réponse. (1,5 point)
Pour que la libellule rattrape la mouche, il faut qu’il existe un instant = , I JK "
=
:
(0,5
point)
@
"
⇔
P∶
=
=
MN
E
O#E
DE 8DM
MN
E
=
@
⇔< +&
⇔ & − &4
−
= <4 + &4
= <4 −< + &
1
= <4 − =
+=
2
1
= <4 + =
2
⇔ & − &4
⇔ & − &4
(0,5 point)
O#E
DE 8DM
=
E
4N ×S4× 4,T
48 4
= 1,5:(0,5 point)
La libellule rattrape la mouche à l’instant =
= 1,5:
Scénario B
La libellule maintient son accélération et prend en chasse la mouche en restant sur la trajectoire de la
mouche qui garde aussi sa vitesse &4 .
1) Quel sens physique donne-t-on aux instants négatifs lorsqu’on choisit l’instant initial nul ?
(0,5 point)
Les instants négatifs correspondent à des évènements du passé ; ce sont des évènements qui
se sont réalisés avant l’instant initial.
2) Définir un référentiel ℛ = , , ,
par rapport auquel les mouvements de la libellule et
de la mouche sont étudiés ; choisir le vecteur unitaire tel qu’il soit parallèle à la vitesse &4
et qu’il ait le même sens. (1 point)
4
;4
&4
Trajectoire
h
Sol
•
•
•
Le point origine peut être choisi au sol.
L’axe ,
est la droite verticale du lieu orientée vers le haut ; le plan
, ,
contient la trajectoire commune de la libellule et de la mouche.
Le plan , ,
est le plan horizontal tel que le trièdre
, ,
soit direct.
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3) Dans le référentiel ℛ, déterminer à chaque instant
libellule et le vecteur-position ; = (
@
@+
@
le vecteur-position
=(
"
"+
"
de la
de la mouche. (2 points)
Mouvement de la libellule :
•
La vitesse initiale est nulle
•
La position initiale :
•
0
=
(
0+
4
ℎ
Pour 0 ≤ < +∞ l’accélération est constante et non nulle :
<
====
<
D’où
!"
#
==
& ==
=&
:BC = =
DE
#E
; < = =
En intégrant les équations du mouvement, dans chaque intervalle de temps, on
trouve :
" =0
Pour 0 ≤ < +∞, .
"
"
= =
=ℎ
(1 point)
Mouvement de la mouche :
•
•
•
La vitesse initiale est constante et non nulle et vaut &4 .
0
La position initiale :
;4 = (<4 +
ℎ
Pour 0 < < +∞ l’accélération est nulle :
D’où
!@
#
= &4
!@
#
=0
En intégrant les équations du mouvement, dans chaque intervalle de temps, on
trouve :
@ =0
Pour 0 ≤ ≤ +∞, ,
@ = <4 + &4 (1 point)
@ =ℎ
4) Tracer sur la même figure, la courbe représentative de " = U
et la courbe représentative
de @ = $ ; en déduire que la libellule peut rattraper la mouche. (1 point)
La courbe représentative, de " = U , est une parabole dont le sommet est à l’origine avec
la concavité orientée vers le haut.
La courbe représentative, de @ = $ , est une droite de pente positive ; elle ne passe pas
par l’origine. L’intersection des deux courbes donne deux points :
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• le point correspondant à l’instant VV est associé à des déplacements de la libellule et
de la mouche dans le sens positif de la trajectoire ;
• le point correspondant à l’instant V est associé à des déplacements de la libellule et
de la mouche qui sont de sens opposés sur la trajectoire.
Y
/" = U
(0,5 point)
Y
/@ = $
(0,5 point)
t
V
VV
VV
5) Montrer qu’il existe deux instants V
pour lesquels la libellule rattrape la mouche et
déterminer l’instant approprié ; justifier votre réponse. (1,5 point)
Pour que la libellule rattrape la mouche, il faut qu’il existe un instant , I JK "
= @ .
"
=
@
1
⇔ =
2
1
⇔ =
2
V
VV
=
=
DM 8XDM N
O
DM NXDM N
O
MO
MO
=
=
V
VV
− &4 − <4 = 0
2&4
2<4
−
=0
=
=
&4 X&4 + 2<4 =
&4 X&4 + 2<4 =
⇔W − +
ZW − −
Z
=
γ
=
γ
⇔
Il existe deux instants
= <4 + &4
−
pour lesquels la libellule peut rattraper la mouche
48√ 4 N × 4×S4
S4
4N√ 4 N × 4×S4
S4
= −0,5:(0,5 point)
= 1:(0,5 point)
L’instant négatif correspond à des déplacements en sens contraire ; comme la libellule se
déplace dans le même sens que la mouche, on considère l’instant positif VV = 1: (0,5 point)
&&&&&
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