I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
OPTIMISATION MULTI-OBJECTIFS
Ghislain PANDRY/Nouho OUATTARA
Chercheurs, Traitement du signal et des images
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OPTIMISATION MULTI-OBJECTIFS
I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
I-1 Présentation
I-2 Formalisation d'un problème d'optimisation multiobjectif
I-3 Multiplicité des solutions
Dénition
Un problème d'optimisation multiobjectif (Multiobjective
Optimizaion Problem (MOP)), ou multicritère, consiste à optimiser
plusieurs fonctions-objectif simultanément. Les objectifs de
l'optimisation sont, en général, partiellement antagonistes. Plus
précisément un (MOP) peut être déni comme un problème où le
but est d'optimiser k fonctions objectif simultanément (Maximiser
k fonctions, Minimiser k fonctions, Maximiser et Minimise k
fonctions ). La présence de multiples objectifs est en conit naturel
dans de nombreux problèmes et rend le problème d'optimisation
intéressant à résoudre, car aucune solution ne peut être qualiée
comme une solution optimale aux objectifs contradictoires
multiples, le problème d'optimisation multi-Objectif résultant
recourt à un certain nombre de solutions compromis optimal.
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I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
I-1 Présentation
I-2 Formalisation d'un problème d'optimisation multiobjectif
I-3 Multiplicité des solutions
Un (POM) est déni comme la maximisation (ou minimisation) de
plusieurs fonctions Z (x) = (z 1(x), ..., zk (x)) soumis à
gi (x) ≤ bi , i = 1, ..., p, et hj (x) = bj , j = p + 1, ..., m, x ∈ Rn . Une
solution du (POM) minimise (ou maximise) les composantes d'un
vecteur F (x) où x est un vecteur de n variables de décision
x = (x1 , ..., xn ). À noter que l'ensemble des solutions réalisables D
est formé par les contraintes gi (x) ≤ bi , et hj (x) = bj qui doivent
être satisfaites tout en minimisant ou en maximisant Z (x).
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II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
I-1 Présentation
I-2 Formalisation d'un problème d'optimisation multiobjectif
I-3 Multiplicité des solutions
Dénition (Problème d'optimisation multi-objectif)
Généralement, un problème d'optimisation multi-objectif (POM)
est formulé comme suit :
"Opt" Z (x) = (z1 (x), ..., zk (x))
s.c x = (x1 , ..., xn ) ∈ D
"Opt"=min ou max
Dénition 2 (Espace des critères)
L'espace des critères est l'image de l'espace réalisable notée
Z = (z(D)). Les éléments de Z sont appelés (fonctions) vecteurs
objectifs ou vecteurs de critère et désignés par Z (x) où
z = (z1 , z2 , ..., zk )T et zi = zi (x) pour tout i = 1, ..., k sont des
valeurs de vecteurs de critère.F est noté Z = z(x) : x ∈ D.
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II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
I-1 Présentation
I-2 Formalisation d'un problème d'optimisation multiobjectif
I-3 Multiplicité des solutions
Contrairement à l'optimisation mono-objectif, la solution d'un
problème multi-objectif n'est pas unique, en raison de la
contradiction et d'une éventuelle incompatibilité des fonctions
objectifs. De ce fait il est impossible de trouver une seule solution
qui serait optimale pour tous les objectifs simultanément, mais un
ensemble de solutions non dominées, connues comme l'ensemble
des solutions de meilleur compromis. Compromis signie que l'on ne
peut pas augmenter le niveau de satisfaction pour un objectif sans
réduire cela pour un autre objectif. Pour des problèmes de
programmation multi-objectifs le concept de solutions
non-dominées est utilisé. Une solution de compromis est choisie
parmi l'ensemble des solutions non-dominées.
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I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
II-1 Notation et Dénitions
Dans c cours, on se focalise sur La programmation linéaire
Multiobjective, qui est un cas particulier de l'optimisation
multiobjectif .
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I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
II-1 Notation et Dénitions
Dénition
Quand toutes les fonctions objectives et les contraintes sont
linéaires, le problème d'optimisation multiobjectif est appelé
linéaire. Noté MOLP (Multiobjective linear programming ).
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I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
II-1 Notation et Dénitions
Dénition
Un problème de programmation linéaire multi-objectifs (MOLP)
peut être dénit comme suit :
min z1 (x) = c 1 x, min z2 (x) = c 2 x, · · · , min zk (x) = c k x
s.c Ax ≤ b
x ≥0
A est une (m, n) matrice de coecients des contraintes,b est un
m-vecteur des restrictions de ressources connues (second
membre),x est un n-vecteur des variables de décision. L'ensemble
réalisable dans l'espace de décision est
D = {x ∈ Rn |Ax ≤ b et x ≥ 0}
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I- INTRODUCTION
II- Optimisation multiobjectif linéaire
III-Points spéciaux et Matrices des gains
Point idéal ou zénith
Le point idéal est le point de coordonnées ( z1∗ , z2∗ , zk∗ ) avec
zi∗ = maxx∈Ω zi .i = 1, · · · , k
On notera par Ω∗i l'ensemble des points xi∗ qui maximisent zi (.).
Les coordonnées de ce point sont obtenues en optimisant chaque
fonction objectif séparément.
Point anti-idéal
Le point anti-idéal est le point de coordonnées (z ∗1 , z2∗ , z ∗k ) avec
z ∗i = minx∈Ω zi .i = 1, · · · , k
Dénition (Point nadir )
Le point nadir est le point de coordonnées ( n1 , n2 , nk ) avec
ni = minx∈Ω zi∗ .i = 1, · · · , k . Les coordonnées de ce point
correspondent aux pires valeurs obtenues par chaque fonction
objectif lorsque l'on restreint l'espace des solutions à la surface de
compromis.
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III-Points spéciaux et Matrices des gains
Tableau des gains
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III-Points spéciaux et Matrices des gains
EXERCICE
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