Analyse Spectrale par FFT : Cours Complet

FFT page 1 Claude Lahache
A NALYSE S PECTRALE PAR FFT
1. L'analyseur de spectre.
La représentation graphique du spectre d'un signal est réalisée
par un analyseur de spectre.
• L'analyseur de spectre peut être à balayage (analogique):
Il fonctionne comme un récepteur à changement de
fréquence en balayant la gamme de fréquences à analyser.
Il est possible d'utiliser un filtre passe bande "glissant"
devant le spectre à afficher. (Tuned-filter spectrum analyzer)
Il est possible de faire "glisser" le spectre devant un filtre
passe-bande fixe. (Hétérodyne spectrum analyzer)
L'analyseur de spectre à balayage est idéal pour afficher les spectres de signaux stables ou répétitifs; il n'est par
contre pas adapté pour l'étude de signaux brefs .
• L’analyseur de spectre peut être numérique : Il échantillonne le signal à analyser et calcule des points du spectre à
l’aide d’un algorithme de calcul qui est en général une FFT ( Fast Fourier Transformation).
Il peut traiter notamment les signaux non répétitifs; il est souvent réalisé autour d'un PC muni d'une carte
d'acquisition ad-hoc.
• Principaux réglages : Gamme de fréquences explorées (fréquence centrale et excursion de fréquence)
Niveau de référence et sensibilité verticale.
Sélectivité du filtre passe bande d'analyse (RBW : resolution bandwidth)
Fenêtrage (analyseur à FFT uniquement)
Influence de la sélectivité du filtre
d'analyse sur l'aspect du spectre
fréquence centrale
(650MHz ici )
excursion ou span
(320MHz ici)
sensibilité verticale
(5dBm/div ici)
sélectivité du filtre passe bande
(50kHz ici)
Les réglages de l'analyseur de
spectre
niveau de référence
(-55dBm ici)

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2. La Transformée de Fourier.
En fonction du type de signal, on dispose de 3 outils mathématiques pour calculer le spectre d’un signal x(t) :
• Si le signal x(t) est périodique, la décomposition en série de Fourier permet de calculer l’amplitude des raies de
son spectre.
Soit x(t) un signal de période
ω
π
2
f
1
T==
Le mathématicien Fourier a démontré que la fonction x(t) peut s’écrire sous la forme suivante :
x(t) = X
0
+ C
1
.sin(ωt + ϕ
1
) + C
2
.sin(2ωt +ϕ
2
) + C
3
.sin(3ωt + ϕ
3
) + ... + C
N
.sin(Nωt + ϕ
N
) + ...
X
0
est la valeur moyenne de x(t):
∫
>==<
T
0
0
dt).t(x
T
1
xX
C
1
sin(ωt + ϕ
1
) est le fondamental de x(t) ; sa pulsation est ω = 2πf ;. son amplitude est C
1
.
C
2
sin(2ωt +ϕ
2
) est l’harmonique de rang 2; sa pulsation est 2ω ; son amplitude est C
2
.
C
N
sin(Nωt + ϕ
N
) est l’harmonique de rang N; sa pulsation est Nω ; son amplitude est C
N
.
Cette décomposition peut aussi s’écrire de la façon suivante :
x(t) = X
0
+ A
1
.cos(ωt) + B
1
.sin(ωt) + A
2
.cos(2ωt) +B
2
.sin(2ωt) + ... + A
N
.cos(Nωt) +B
N
.sin(Nωt)
avec
∫
ω= dt).tNcos().t(x
T
2
A
N
et
∫
ω= dt).tNsin().t(x.
T
2
B
N
Les 2 écritures de la décomposition en série de Fourier d'une fonction périodique du temps sont équivalentes, et
on a les correspondances :
2
N
2
N
N
BAC += et =ϕ
N
N
N
A
B
arctan
• Si la fonction du temps x(t) qui décrit le signal est connue, la transformée de Fourier permet de calculer
l’équation S(f) de la courbe du spectre.
C'est une intégration qui permet de passer de l'espace du temps à celui des fréquences :
∫
+∞
∞−
π−
=dt.e).t(x)jf(S
ft2j
C'est un nombre complexe dont le module donnera S(f)
C
I
C
1
C
2
C
3
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• Si on dispose de N échantillons (numérisés) du signal x(t), la transformée de Fourier discrète permet de calculer
N points de la courbe du spectre.
L’échantillonnage est cadencé à la fréquence fe et la prise de N échantillons dure un temps T
0
= N.T
e
= N/f
e
(T
0
est appelée fenêtre temporelle d'analyse)
A la fin de cette opération d’acquisition, nous disposons en mémoire d'une série de N valeurs numériques
x
0
= x(0), x
1
= x(Te) ... , x
n
= x(nTe) .
A partir de ces N échantillons, la TFD (transformée de Fourier discrète) permet de calculer N points du spectre,
définis par leur abscisse f(k)
N
f
.k)k(f
e
= (k variant de 0 à N - 1)
et leur ordonnée S(k) :
Nkn
j2
1Nn
0n
e.)n(x.
N
1
)k(S
π
−
−=
=
∑
=
(Remarquer que la TFD est bien cohérente avec la Transformée de Fourier analogique, à ceci près que
l'intégration est ramenée à une somme discrète, et que le calcul ne se fait que sur la fenêtre temporelle d'analyse)
3. La Transformée de Fourier Rapide (TFR) ou Fast Fourier Transformation (FFT)
La transformée de Fourier discrète (TFD) exige un nombre impressionnant de calculs:
Avec
Nkn
j2
1Nn
0n
e.)n(x.
N
1
)k(S
π
−
−=
=
∑
= et k variant de 0 à N - 1, il faut effectuer N×N opérations (additions et
multiplications) . Une TFD sur N = 1000 points nécessite 10
6
opérations; avec un DSP (digital signal processor)
cadencé à 50ns, cela donne un temps d'exécution de 50ms.
Si on sépare les échantillons x(n) en pairs p(n) = p(2r) et impairs i(n) = i(2r + 1), on aura alors 2 sommes portant
sur N/2 termes :
∑∑
−=
=
π+
−
−=
=
π
−
++=
1
2
N
n
0n
Nk)1r2(
j2
1
2
N
n
0n
Nkr2
j2
e).1r2(i
N
1
e).r2(p
N
1
)k(S , soit maintenant 2
N
2
N
2
2
2
= ×
opérations au total, c'est à dire 2 fois moins qu'au départ !
En continuant de séparer chaque TFD en 2 TFD de longueur moitié, on réduit ainsi de 50% le nombre d'opérations
à chaque étape.
Echantillonnage Numérisation Traitement numérique
x(t)
N échantillons du signal
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Cette observation a conduit au développement d'algorithmes de calcul de transformées de Fourier rapides, dont le
plus célèbre est celui de James Cooley (IBM) et John Tukey (Bell Labs), publié en 1965.
L'algorithme de Cooley-Tukey nécessite que le nombre N d'échantillons soit une puissance de 2 : N = 2
p
.
Dans ces conditions, il est possible de scinder p fois la TFD initiale en 2 transformées de longueur moitié, ce qui
aboutit à une réduction fantastique d'opérations élémentaires pour le calcul du spectre !!
Au final, on peut montrer que la FFT sur N points ne nécessite plus que N×log
2
(N) calculs
(Par ex, pour N = 2048 points (2
11
), une TFD classique nécessite ≈ 4000000 opérations, alors que la FFT
correspondante n'en comprendra plus que ≈ 22500 !!)
Si le nombre N d'échantillons n'est pas égal à une puissance de 2, on le complète à 2
p
par des zéros (zero padding)
afin de pouvoir appliquer l'algorithme de FFT.
4. Effet du fenêtrage temporel sur le spectre.
Un analyseur numérique calcule un spectre à partir de N échantillons acquis pendant une durée T
0
. Le fait de
travailler sur un signal de durée limitée amène des "déformations" de l'affichage du spectre.
Exemple : Soit un signal x(t) sinusoïdal,
de fréquence f = 9 kHz, d'amplitude 1V,
échantillonné durant T
0
= 1 ms, pour
obtenir son spectre par FFT.
On a :
x(t) = 1×sin(18000πt)
La fenêtre d'acquisition est :
fn(t) = 1 durant 1 ms
fn(t) = 0 autrement
Le signal résultant est :
x
01
(t) = x(t)×fn(t)
On s'attend à l'affichage d'une fine raie à 9 kHz
pour le spectre de x(t);
en réalité, on obtient un lobe principal, centré sur
9 kHz, entouré de lobes secondaires de plus faibles
niveaux.
Cette déformation du spectre est appelée
"effet de fenêtre".
Le lobe central a une largeur de 2/T
0
, soit 2 kHz
avec notre exemple, alors que les lobes secondaires
ont une largeur moitié (1/T
0
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Qu'en est - il si on modifie la durée T
0
de la fenêtre d'acquisition ?
L'augmentation de la durée de la fenêtre d'acquisition permet d'améliorer la finesse des raies, mais ne réduit pas la
hauteur des lobes secondaires.
Le problème se complique si le signal à analyser
comporte plusieurs composantes :
Soit par exemple ,
x
1
(t) = 1.sin(18000πt)+0,5.sin(24000πt)+0,2.sin(30000πt)
On échantillonne sur T
0
= 2 ms afin d'obtenir des raies
assez fines.
Nous observons bien les 3 composantes aux bonnes
fréquences, avec la bonne amplitude, ...
mais les lobes secondaires de la composante à 9 kHz
ont une hauteur supérieure à celle de la raie à 15 kHz !!
La solution pour diminuer l'importance des lobes secondaires est d'affaiblir le poids des échantillons du début et de
la fin de l'acquisition : On choisira d'autres types de fenêtre d'acquisition.
La fenêtre la plus largement utilisée est la fenêtre de Hann (nom donné par Blackmann et Tukey en 1958, en
hommage à Julius von Hann, météorologiste autrichien, 1839-1921)
Pour une durée T
0
, elle s'exprime par fhn(t) = 0,5 - 0,5cos(2πt/T
0
)
Ci-contre la comparaison entre une fenêtre
rectangulaire et de Hann de durée T
0
= 2 ms
(Par abus de langage, le fenêtrage par une
fonction de Hann est nommé le "hanning")
Acquisition
pendant T
0
= 0,5 ms.
Lobe central à 9 kHz, de largeur 2/T
0
= 4 kHz
Acquisition
pendant T
0
=2 ms.
Lobe central à 9 kHz, de largeur 2/T
0
= 1 kHz
1
0.5