methode numerique

Méthodes numériques et programmation - Copyright ©2016 Samir Kenouche
Université M. Khider de Biskra - Algérie
Faculté des Sciences Exactes, Sciences de la Nature et de la Vie
Département des sciences de la matière
Module : Méthodes numériques et programmation
Niveau 2ème année - 1er semestre
Samir KENOUCHE
polycopié de cours
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Méthodes numériques et programmation - Copyright ©2016 Samir Kenouche
Sommaire
Liste des Figures 3
1 Intégration numérique : intégrales simples 8
1.1 Méthode du point milieu ......................... 16
1.2 Méthode du trapèze ............................ 17
1.3 Méthode de Simpson ........................... 20
1.4 Au moyen de routines Matlab ...................... 28
2 Intégration numérique : intégrales double et triple 33
2.1 Intégrale double .............................. 33
2.2 Intégrale triple .............................. 40
3 Résolution d’équations non-linéaires 47
3.1 Méthode du point fixe .......................... 47
3.2 Méthode de dichotomie .......................... 54
3.3 Méthode de fausse position (ou de Lagrange) .............. 57
3.4 Méthode de Newton ........................... 59
3.5 Méthode de la sécante .......................... 63
3.6 Au moyen de routines Matlab ...................... 66
4 Résolution numérique des équations différentielles 71
4.1 Méthodes à un pas ............................ 72
4.1.1 Méthode d’Euler ......................... 72
4.1.2 Méthode de Heun ......................... 73
4.1.3 Méthode de Runge–Kutta, d’ordre 3 .............. 73
4.1.4 Méthode de Runge–Kutta, d’ordre 4 .............. 73
4.1.5 Équations différentielles d’ordre 𝑛................ 79
4.2 Au moyen de routines Matlab ...................... 83
5 Calcul formel 88
5.1 Dérivée d’une Fonction .......................... 88
5.2 Point d’inflexion d’une fonction ..................... 93
5.3 Extremums d’une fonction ........................ 96
5.4 Dérivées partielles ............................. 98
5.5 Résolution formelle des équations et système d’équations différentielles102
5.6 Résolution formelle d’équations et de système d’équations .......107
5.7 Résolution formelle des intégrales simples et multiples .........113
1

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6 Méthodes d’interpolation 117
6.1 Méthode de Lagrange ...........................117
6.2 Méthode de Hermite ...........................121
6.3 Interpolation aux nœuds de Tchebychev ................124
6.4 Interpolation par spline linéaire .....................129
6.5 Interpolation par spline cubique .....................131
6.6 Au moyen de routines Matlab ......................133
Bibliographie 137
Année universitaire 2016/2017 2

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Liste des Figures
1.1 Interface Matlab ............................. 9
1.2 Formule du point milieu composite représentée sur 4 sous-intervalles . 17
1.3 Formule du Trapèze composite représentée sur 4 sous-intervalles . . . 18
1.4 Formule de Simpson composite représentée sur 4 sous-intervalles . . . 21
1.5 Aire de l’intégrale ............................. 24
1.6 Influence du nombre de sous-intervalle sur l’erreur d’intégration . . . 28
1.7 Figure générée par le code Matlab ci-dessus .............. 31
2.1 Discrétisation du domaine Ω....................... 34
2.2 Figure générée par le code Matlab ci-dessus .............. 38
3.1 Racine de la fonction 𝑓obtenue par la méthode du point fixe ..... 51
3.2 Racine de la fonction 𝑓obtenue par la méthode de dichotomie . . . . 56
3.3 Principe de la méthode de Newton ................... 59
3.4 Racine de la fonction 𝑓obtenue par la méthode de Newton ...... 62
3.5 Racine de la fonction 𝑓obtenue par la méthode de la sécante ..... 65
4.1 Solutions numériques obtenues par les méthodes de Euler , de Heun et
de Runge-Kutta d’odre 4 ........................ 76
4.2 Évolution de l’erreur relative en fonction du pas de discrétisation . . . 79
4.3 Solution exacte et solution numérique obtenue par méthode Euler . . 81
4.4 Équation différentielle du troisième ordre résolue par la méthode de
Euler ................................... 83
4.5 Comparaison entre la solution analytique et la solution numérique
générée par le solveur ode23 ....................... 85
4.6 Solution numérique 𝑦(𝑡)pour différentes valeurs de 𝛼......... 87
4.7 Dérivée première de la solution numérique 𝑦 ( 𝑡 )pour différentes valeurs
de 𝛼.................................... 87
5.1 Figure générée par le code Matlab ci-dessus .............. 90
5.2 Figure générée par le code Matlab ci-dessus .............. 95
5.3 Figure générée par le code Matlab ci-dessus .............. 97
5.4 Figures générées par le code Matlab ci-dessus .............101
5.5 Graphe de la solution 𝑓(𝑡)........................105
5.6 Graphe des solutions 𝑥(𝑡)et 𝑦(𝑡)....................106
5.7 Figure générée par le code Matlab ci-dessus ..............111
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6.1 Interpolation de Lagrange ........................120
6.2 Interpolation de Hermite .........................122
6.3 Illustration du phénomène de Runge ...................125
6.4 Atténuation du phénomène de Runge en adoptant les nœuds de
Tchebychev ................................125
6.5 Effet du nombre de points d’interpolation selon Tchebychev . . . . . 126
6.6 Figures générées par le code Matlab ci-dessous pour 𝑛= 10 et 𝑛= 20 128
6.7 Interpolation par splines linéaires ....................130
6.8 Interpolation par spline cubique .....................133
Année universitaire 2016/2017 4