Thème 3 : Nabla et Circulation I – Gradient en cylindriques et en sphériques 1- Rappeler la relation entre le gradient d’une fonction et sa différentielle totale. 2- Donner l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes. 3- Montrer que la direction du gradient est perpendiculaire aux surfaces f = constante. 4- En explicitant le vecteur déplacement élémentaire, montrer que : ∂U 1 ∂U ∂U uρ + uθ + uz en coordonnées cylindriques ; ∂ρ ρ ∂θ ∂z ∂U 1 ∂U 1 ∂U ur + uθ + uϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ a. gradU = b. gradU = II – Utilité du gradient en sphériques en coordonnées sphériques. Dans un repère orthonormé Oxyz, on pose r = OM , où M est un point de cordonnées x, y et z. On considère la fonction f (M)= rn (n entier). 1- Donner l'expression de f (M) en fonction de x, y et z, ainsi que les composantes de grad f ( M ) . 2- Retrouvez ce résultat à l’aide du gradient en coordonnées sphériques. 3- Quel est le sens du gradient en fonction de n ? Quelles sont les isosurfaces ? Que peut-on dire ? III – Gradient d’un champ On admet que le potentiel scalaire électrostatique créé par un moment dipolaire p = puz est donné, à grande p.ur ) 2 où ur désigne le vecteur unitaire radial des coordonnées distance du dipôle, par : V ( M ) = ( 4πε o r sphériques. Le champ électrostatique associé est donné par E ( M ) = − grad (V ) . 1 A l’aide de l’opérateur gradient en coordonnées sphériques en déduire le champ éléctrique créé par ce dipôle. IV - circulation du champ électrostatique Une charge ponctuelle q, placée en O, crée un champ électrostatique E ( r ) dans tout l’espace. On note rA = OA et rB = OB. 1- Calculer la circulation de E le long du trajet (1) : A B, puis le long du trajet (2) : B C. 2- E est un champ à circulation conservative. Que cela signifie-t-il ? En déduire la circulation de ce champ le long du trajet (3) : A C. Exercices supplémentaires V – Applications of the nabla operator Demonstrate, using the cartesian and spherical coordinates, the following equalities : 1 r r 2 1 , div r = 3 , ∇ r = , grad = − = ∆ r = et ∆ 3 r r r r r 0. help : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nabla VI – Cylindre chargé uniformément en surface On admet que le potentiel scalaire électrostatique créé par un cylindre infini, d’axe z et de rayon R, chargé uniformément en surface par une densité surfacique σ est donné par : V(r) = -(σR/ε0)Lnr + cte pour r ≥ R et V(r) = V0 si r ≤ R. r représente la distance à l’axe du cylindre. 1- En déduire l’expression vectorielle du champ électrostatique en tout point de l’espace. 2- Vérifier que son rotationnel est nul en tout point.
