TD3-Nabla et circulation

Thème 3 : Nabla et Circulation
I – Gradient en cylindriques et en sphériques
1- Rappeler la relation entre le gradient d’une fonction et sa différentielle totale.
2- Donner l’expression du gradient en coordonnées cartésiennes.
3- Montrer que la direction du gradient est perpendiculaire aux surfaces f = constante.
4- En explicitant le vecteur déplacement élémentaire, montrer que :
a.
1z U UU
gradU u u u
z
ρθ
∂ ∂∂
=++
∂ρ ρ ∂θ ∂
en coordonnées cylindriques ;
b.
11
r
UU U
gradU u u u
r r r sin
θϕ
∂∂ ∂
=++
∂ ∂θ θ ∂ϕ
en coordonnées sphériques.
II – Utilité du gradient en sphériques
Dans un repère orthonormé Oxyz, on pose
MOr 
=
, où M est un point de cordonnées x, y et z.
On considère la fonction f (M)= rn (n entier).
1- Donner l'expression de f (M) en fonction de x, y et z, ainsi que les composantes de
grad f ( M )
.
2- Retrouvez ce résultat à l’aide du gradient en coordonnées sphériques.
3- Quel est le sens du gradient en fonction de n ? Quelles sont les isosurfaces ? Que peut-on dire ?
III – Gradient d’un champ
On admet que le potentiel scalaire électrostatique créé par un moment dipolaire
z
p pu=
est donné, à grande
distance du dipôle, par :
2
1.
()( )
4
r
o
pu
VM r
πε
=
où
r
u
désigne le vecteur unitaire radial des coordonnées
sphériques. Le champ électrostatique associé est donné par
( ) ()E M grad V
= −
.
A l’aide de l’opérateur gradient en coordonnées sphériques en déduire le champ éléctrique créé par ce dipôle.
IV - circulation du champ électrostatique
Une charge ponctuelle q, placée en O, crée un
champ électrostatique
()Er
dans tout l’espace.
On note rA = OA et rB = OB.
1- Calculer la circulation de
E
le long du trajet
(1) : A  B, puis le long du trajet (2) : B  C.
2-
E
est un champ à circulation conservative.
Que cela signifie-t-il ? En déduire la circulation de
ce champ le long du trajet (3) : A  C.

Exercices supplémentaires
V – Applications of the nabla operator
Demonstrate, using the cartesian and spherical coordinates, the following equalities :
3div r =
,
r
rr
∇=
,
3
1r
grad rr
= −
,
21
0r et
rr
∆= ∆ =
.
help : http://fr.wikipedia.org/wiki/Nabla
VI – Cylindre chargé uniformément en surface
On admet que le potentiel scalaire électrostatique créé par un cylindre infini, d’axe z et de rayon R, chargé
uniformément en surface par une densité surfacique
σ est donné par :
V(r) = -(
σ R/ ε
0)Lnr + cte pour r ≥ R et V(r) = V0 si r ≤ R.
r représente la distance à l’axe du cylindre.
1- En déduire l’expression vectorielle du champ électrostatique en tout point de l’espace.
2- Vérifier que son rotationnel est nul en tout point.