académie militaire Fondouk Jdid 2015/2016 Electrotechnique Classe: EM11 Prof: Moez Youssef contenu du cours Généralités- puissances en monophasé Circuits triphasés Circuits magnétiques Transformateur monophasé Transformateur triphasé 2 Généralités- puissances en monophasé Introduction : • L'électrotechnique est la discipline qui étudie la production, le transport, le traitement, la transformation et l'utilisation de l'énergie électrique. • Traditionnellement on associe l'électrotechnique aux "courants forts" par opposition aux "courants faibles" qui seraient du domaine exclusif de l'électronique. • L'électrotechnique a un champ d'application extrêmement vaste, elle concerne de très nombreuses entreprises industrielles, dans les domaines de la production et du transport de l'énergie électrique (Alstom, Alcatel, General Electric, etc. ), dans les équipements électriques (Schneider Electric, Bosch, Valéo, etc. ), dans les transports utilisant des moteurs électriques ( SNCF, Alstom, etc. ), en électronique de puissance ( ST Microelectronics, etc.). 3 Lois de base : • Loi des mailles: la somme des tensions le long d’une maille de circuit électrique est nulle • Loi des nœuds: pour un nœud , la somme des courants rentrants est égale à la somme des courants sortants i1 + i2 + i3 = i4 4 Récepteurs électriques linéaires: 5 Régime continu et régimes variables: Régime continu: On parle de régime continu lorsque les grandeurs électriques (courants et tensions) d’un circuit sont indépendantes du temps. Dans ce régime, les inductances sont équivalentes des courtcircuits et les condensateurs sont équivalentes à des circuits ouverts. En continu les résistances sont donc les seuls récepteurs linéaires. Régimes variables: les grandeurs électriques dépendent du temps Les régimes périodiques: Ils se caractérisent par le fait que les grandeurs électriques sont périodiques. La durée de répétition s’appelle la période (T en s), son inverse est appelé la fréquence (f en Hz). 6 Valeurs caractéristiques des régimes périodiques quelconques: 7 régime sinusoïdal : • Une tension sinusoïdale s’écrit: 𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 sin(𝜔𝑡 + 𝜑) 2𝜋 avec 𝑉𝑚𝑎𝑥 : amplitude, 𝜔 = = 2𝜋𝑓: pulsation en rad/s, 𝜑 : phase 𝑇 initiale en rad, 𝜔𝑡 + 𝜑 : phase instantanée. • Valeur efficace d’une grandeur sinusoïdale: 𝑉 = 𝑉𝑚𝑎𝑥 2 La valeur efficace est celle indiquée par les voltmètres et les ampèremètres. En électrotechnique on donne toujours la valeur efficace des tensions et des courants. Ainsi quand on parle du réseau électrique domestique à 220 V il s'agit bel et bien de la valeur efficace de la tension. Notation complexe : i(t) On considère une source sinusoïdale v(t) v(t) qui alimente une charge quelconque: 8 𝑣 𝑡 = 𝑉 2sinω𝑡 𝑉 = 𝑉 2𝑒 𝑗ω𝑡 En régime permanent (établi) le courant est sinusoïdal de même pulsation: 𝐼 = 𝐼 2𝑒 𝑗 𝑖 𝑡 = 𝐼 2sin ω𝑡 + 𝜑 Impédance complexe : ω𝑡+𝜑 L’impédance complexe d’un récepteur est défini par: 𝑍 = 𝑉 𝐼 Dans le tableau suivant, on donne les impédances complexes associées aux trois éléments de base R, L et C ainsi que le déphasage de i(t) par rapport à v(t) correspondant: R L C 𝑍 R 𝜑 0 𝑗𝐿ω 1 𝑗𝐶ω −𝜋/2 𝜋/2 9 Exemple: On considère le circuit suivant: i(t) v(t) C L R 𝑣 𝑡 = 𝑉 2sinω𝑡 avec V=50V, ω = 103 𝑟𝑎𝑑/𝑠 En régime permanent, le courant est sinusoïdal de même pulsation: 𝑖 𝑡 = 𝐼 2sin ω𝑡 + 𝜑 Calculer 𝐼 et 𝜑. On donne R=100W, L=50mH et C=10µF. 10 Représentation vectorielle (vecteurs de Fresnel): On peut faire correspondre à toute fonction sinusoïdale un vecteur de Fresnel partant de l'origine du repère, de module l'amplitude de la fonction et faisant un angle égale à sa phase instantanée avec l'axe (Ox): Exemple: On considère le circuit suivant: i(t) L C A l’aide d’une construction v(t) R de Fresnel, exprimer la valeur efficace du courant 𝐼 ainsi que le déphasage 𝜑 de i(t) par rapport à v(t). Règle importante: Graphiquement, dériver revient à multiplier le module de la grandeur considérée par w et à la déphaser en avant de p/2 ; intégrer revient à diviser son module par w et à la déphaser en arrière de p/2. 11 On a: 𝑅𝑖 𝑡 + 𝑑𝑖 𝑡 𝐿 𝑑𝑡 + 1 𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 = 𝐼 2sin ω𝑡 + 𝜑 𝑅 𝑖 𝑡 = 𝑅 𝐼 2sin ω𝑡 + 𝜑 𝑉1 𝑅𝐼 2 𝜑 𝑑𝑖 𝑡 𝐿 𝑑𝑡 𝑉2 𝐿ω𝐼 2 𝜑 + 𝜋/2 1 𝐶 𝑣 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡 𝑉3 𝐼 2 𝐶𝜔 𝜑 − 𝜋/2 𝑉 𝑉 2 0 12 1er cas: 𝐿ω > 1 𝐶𝜔 2eme cas: 𝐿ω < 𝑰 𝟐 𝑪𝝎 𝑳𝝎𝑰 𝟐 𝑳𝝎𝑰 𝟐 𝑽 𝟐 1 𝐶𝜔 𝑰 𝟐 𝑪𝝎 𝑹𝑰 𝟐 𝑹𝑰 𝟐 𝑽 𝟐 𝑉 𝐼= 𝑅2+ 1 𝐿𝜔− 𝐶𝜔 2 , 𝑡𝑔𝜑 = 1 −𝐿𝜔 𝐶𝜔 𝑅 13 Puissances en régime monophasé: On considère une source sinusoïdale v(t) qui alimente une charge quelconque: i(t) Avec 𝑣 𝑡 = 𝑉 2sinω𝑡 v(t) Et 𝑖 𝑡 = 𝐼 2sin ω𝑡 + 𝜑 Puissance instantanée: 𝒑 𝒕 = 𝒗 𝒕 𝒊(𝒕) Puissance active ou moyenne: La puissance active est la valeur moyenne de la puissance instantanée, c'est l'énergie effectivement récupérable par la charge ( sous forme de travail mécanique, de chaleur, etc. ). 𝑷 = 𝟏 𝑻 𝒗 𝑻 𝟎 𝒕 𝒊(𝒕) 𝒅𝒕 En régime sinusoïdal: P s’exprime en W (Watt) 𝑷 = 𝑽𝑰𝒄𝒐𝒔𝝋 14 Puissance apparente: On définit la puissance apparente par : 𝑺 = 𝑽𝑰 (unité VA: Volt Ampère) Cette puissance est souvent appelée « puissance de dimensionnement », elle est la grandeur caractéristique de la section des câbles, de l’isolation… Facteur de puissance: il est défini par: 𝒌 = 𝑷 𝑺 En régime sinusoïdal: 𝒌 = 𝒄𝒐𝒔𝝋 Puissance réactive: elle n’est définie qu’en régime sinusoïdal, elle s’exprime par: 𝑸 = −𝑽𝑰𝒔𝒊𝒏𝝋 (unité VAR: Volt Ampère Réactif) 𝝋 est le déphasage de i(t) par rapport à v(t), Pour une charge inductive 𝝋 < 𝟎 donc 𝑸 > 𝟎, une bobine consomme de l’énergie réactive. Pour une charge capacitive 𝝋 > 𝟎 donc 𝑸 < 𝟎, un condensateur fournit de l’énergie réactive. On peut écrire: 𝑺𝟐 = 𝑷𝟐 + 𝑸𝟐 , 𝒕𝒈𝝋 = − 𝑸 𝑷 15 Interprétation physique: La puissance réactive traduit les échanges d'énergie, à valeur moyenne nulle entre une source et une inductance ou une capacité. Ainsi si on considère une source de tension sinusoïdale alimentant une charge purement inductive via une ligne, la puissance active consommée par la charge est nulle (𝝋 = −𝝅/𝟐). Périodiquement, l'inductance stocke une certaine énergie magnétique fournie par la source puis la restitue ; cet échange d'énergie se fait via la ligne électrique. Cette dernière est alors le siège de pertes par effet Joule. Les installations industrielles sont en général inductives (à cause des enroulements des moteurs), de plus les compteurs électriques mesurent et permettent de facturer la puissance active consommée par un abonné. Ainsi si le facteur de puissance d'un abonné est faible les pertes joule dans le réseau électrique sont élevées par rapport à la puissance active qui lui est facturée, une valeur minimale du facteur de puissance (cos𝝋 ) est imposée, sous peine de pénalités financières, aux utilisateurs. Pour relever le facteur de puissance d'une charge inductive il suffit de placer en parallèle de la charge des condensateurs. 16 Dans le tableau suivant, on donne les puissances actives et réactives consommées par les trois éléments de base R, L et C: 𝑃 R 𝑅𝐼𝑅 Ou L 𝑉𝑅 𝑅 𝑄 2 0 2 0 𝐿𝜔𝐼𝐿 2 2 Ou C 𝑉𝐿 𝐿𝜔 2 0 Ou 𝐼𝐶 𝐶𝜔 −C𝜔𝑉𝐶 2 17 Théorème de Boucherot: Dans un réseau, à fréquence constante, il y a conservation de la puissance active d'une part et de la puissance réactive d'autre part. Ainsi si on considère l'association de k dipôles, qu'ils soient placés en série, en parallèle ou en toute combinaison série-parallèle possible, on a 𝑷 = 𝒌 𝑷𝒌 𝑸 = 𝒌 𝑸𝒌 𝑺 ≠ 𝒌 𝑺𝒌 avec P, Q et S les puissances actives, réactives et apparentes de l'ensemble et Pk, Qk et Sk celles associées à chacun des dipôles. 18 Circuits triphasés Définitions: • On appelle système triphasé équilibré un système de trois grandeurs sinusoïdales de même fréquence de même valeur efficace et régulièrement déphasées de 120° . • La distribution d'énergie par le réseau électrique se fait sur trois phases et un neutre. • Les trois tensions ont pour expressions : 𝑣1 𝑡 = 𝑉 2sinω𝑡 𝑣2 𝑡 = 𝑉 2sin(ω𝑡 𝑣3 𝑡 = 𝑉 2sin(ω𝑡 2𝜋 − ) 3 4𝜋 − ) 3 19 • la représentation de Fresnel 3 associée aux trois tensions simples entre phase et neutre : • la représentation complexe associée aux trois tensions simples: 𝑉1 = 𝑉 2𝜋 𝑉2 = 𝑉 𝑒 −𝑗 3 4𝜋 𝑉3 = 𝑉 𝑒 −𝑗 3 2𝜋 =𝑉 𝑒 +𝑗 3 • On vérifie que: 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = 0 donc: 𝑣1 𝑡 + 𝑣2 𝑡 + 𝑣3 𝑡 = 0 20 Tensions simples-tensions composées: • Les tensions v1, v2 et v3 prises entre phase et neutre sont appelées tensions simples. • Les tensions 𝑢𝑖𝑗 = 𝑣𝑖 − 𝑣𝑗 sont appelées tensions composées ou tensions entre phase. • On note U la valeur efficace des tensions composées, on prouve que: 𝑼= 𝟑𝑽 𝑼𝟏𝟐 u12 u23 21 Intérêt du triphasé: • La production et le transport de l'énergie électrique se font sous forme triphasée, en régime sinusoïdal. Ce sont les contraintes liées au transport de l'énergie électrique qui expliquent ce choix ; l'exemple simplifié suivant en est l'illustration : Considérons le transport d'une puissance P à la distance d respectivement en monophasé et en triphasé. On fixe une même tension efficace U en monophasé et entre les lignes du triphasé. 22 Intérêt du triphasé: • En monophasé: la section du fil: 𝑆 = le courant: 𝐼 = 𝐼 𝛿 = 𝑃 𝛿𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑 • En triphasé: le courant: 𝐼 = la section du fil: 𝑆 = 𝐼 𝛿 = 𝑃 𝑈 𝑐𝑜𝑠𝜑 , vol Cu = 2dS = 2𝑑𝑃 𝛿𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑃 3𝑈 𝑐𝑜𝑠𝜑 𝑃 3𝛿𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑 , vol Cu = 4dS = 4𝑑𝑃 3𝛿𝑈𝑐𝑜𝑠𝜑 Conclusion: Pour transporter une même puissance, le réseau triphasé nécessite moins de cuivre que le réseau monophasé. D’autre part: *Pour fournir une même puissance P à un utilisateur une ligne triphasée subit moitié moins de pertes par effet Joule qu'une ligne monophasée. *Les machines triphasés ont des puissances 50% supérieures aux machines monophasés de même taille, donc leur coût est inférieur (le coût de la machine est directement proportionnel à sa taille). 23 Récepteurs triphasés équilibrés: • Couplage étoile: i1 1 v1 i2 2 v2 i3 3 v3 iN N Z Z N’ Z Les courants lignes forment un système de trois courants triphasés équilibrés, donc: 𝑖𝑁 = 𝑖1 𝑡 + 𝑖2 𝑡 + 𝑖3 𝑡 = 0 En régime équilibré le courant dans le neutre est nul, ce dernier peut donc être supprimé sans modifier le fonctionnement du montage. 24 • Couplage triangle: i1 1 u31 u12 J12 J31 i2 2 J23 u23 Z i3 3 Ce montage ne possède ni neutre ni tensions simples. Par contre, il présente deux types de courants: les courants i qu’on appelle courants de lignes et les courants J qu’on appelle courant de phase. On montre que : 𝑰= 𝟑𝑱 25 Puissances en triphasé équilibré: • La puissance active : 𝑷 = 𝟑𝑽𝑰𝒄𝒐𝒔𝝋 = 𝟑𝑼𝑰𝒄𝒐𝒔𝝋 • La puissance réactive : 𝑸 = −𝟑𝑽𝑰𝒔𝒊𝒏𝝋 = − 𝟑𝑼𝑰𝒔𝒊𝒏𝝋 • La puissance apparente : 𝑺 = 𝟑𝑽𝑰 = 𝟑𝑼𝑰 Mesure de la Puissance en triphasé équilibré: • En électrotechnique les mesures de puissance sont effectuées au moyen de wattmètres, dont le symbole est donné ci-après : Cet appareil permet de mesurer la puissance active correspondant au courant i traversant son circuit courant et à la tension v aux bornes de son circuit tension. L'indication donnée par le wattmètre est : 𝑷 = 𝑽 ∙ 𝑰 = 𝑽𝑰𝒄𝒐𝒔𝝋 26 • Pour un récepteur triphasé équilibré branché sur une ligne 4 fils, un seul wattmètre suffit. Montage: i1 1 3 Récepteur triphasé équilibré 2 W1 N Pour obtenir la puissance P absorbée par le récepteur, il suffit de multiplier par 3 la valeur indiquée par le wattmètre W1. 27 • Pour un récepteur triphasé équilibré branché sur une ligne sans neutre, on utilise la méthode des deux wattmètres Montage: WA WB 2 3 Récepteur triphasé équilibré 1 On montre que: La puissance active P absorbée par le récepteur est: 𝑷 = 𝑷𝑨 + 𝑷𝑩 La puissance réactive Q absorbée par le récepteur est: 𝑸 = 𝟑 𝑷𝑨 − 𝑷𝑩 28 Récepteurs triphasés deséquilibrés: i1 1 v1 2 Z1 i2 v2 3 Z2 i3 v3 N N’ Z3 iN K Pour K fermé: 𝑉1 = 𝑍1 ∙ 𝐼1 𝑉2 = 𝑍2 ∙ 𝐼2 𝑉3 = 𝑍3 ∙ 𝐼3 𝐼𝑁 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 29 Pour K ouvert: On pose ∆𝑉 = 𝑉𝑁′ − 𝑉𝑁 On a: 𝑉1 = 𝑍1 ∙ 𝐼1 + ∆𝑉 𝑉2 = 𝑍2 ∙ 𝐼2 + ∆𝑉 𝑉3 = 𝑍3 ∙ 𝐼3 + ∆𝑉 𝐼𝑁 = 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0 D’où: 𝑉1 𝑉2 𝑉3 + + 𝑍 𝑍2 𝑍3 ∆𝑉 = 1 1 1 1 + + 𝑍1 𝑍2 𝑍3 30 Circuits magnétiques Excitation magnétique – Champ magnétique: • On appelle excitation magnétique la grandeur vectorielle notée 𝐻 créée dans le vide par toute charge électrique en mouvement ou par un aimant permanent. L'excitation magnétique s'exprime en ampère par mètre ( A.m-1 ). • Dans un milieu magnétique soumis à une excitation magnétique on peut définir un vecteur induction magnétique 𝐵 (exprimé en tesla, T). • Excitation et induction magnétiques sont liées par la relation : 𝐵=𝜇𝐻 • μ étant la perméabilité magnétique du milieu (exprimée en H.m-1). • On définit la perméabilité relative comme suit: 𝜇𝑟 = 𝜇 𝜇0 avec: 𝜇0 = 4𝜋10−7 perméabilité du vide 31 • Pour des matériaux paramagnétique 𝜇𝑟 ≈ 1. • Pour des matériaux ferromagnétique 𝜇𝑟 ≫ 1 , un matériau ferromagnétique est un corps cristallin susceptible d'être aimanté en présence d'une excitation magnétique; il reste aimanté quand l'excitation magnétique disparaît. Le fer, le cobalt, le nickel et les ferrites sont des matériaux ferromagnétiques. • Les matériaux ferromagnétiques sont caractérisés par une perméabilité relative élevée, jusqu'à 106 pour certains alliages. • Le tableau suivant donne les perméabilités de quelques matériaux: matériau Fer Acier 𝜇𝑟 10000 40000 à 50000 Acier au Cobalt 3500 32 Théorème d’Ampère: • La circulation de l’excitation magnétique le long d’une courbe fermée est égale à la somme algébrique des courants traversant la surface s’appuyant sur le contour. Les courants dans le sens de la normale seront comptés positifs, les autres négatifs. 𝐻 𝑑𝑙 = 𝐼 𝒞 Exemple 𝐼1 𝐼2 𝐼3 𝒞 𝒞 𝐻 𝑑𝑙 = 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 𝐼4 33 Courbe d’aimantation B=f(H) – Cycle d’Hystérésis: • Un matériau ferromagnétique n'ayant jamais été aimanté est tel que B=0 et H=0. Si on le soumet à une excitation magnétique croissante on obtient la courbe B(H) de première aimantation portée sur la figure suivante : • Lorsque H devient très grand il apparaît un phénomène de saturation, B ne varie presque plus: le matériau est saturé. • Lorsque H (le courant) varie d’une façon alternative la courbe B=f(H) décrit un cycle d'hystérésis 34 Matériaux durs: • Ce sont des matériaux qui présentent un cycle d’hystérésis très large, Ils sont utilisés en général comme aimant permanent. Matériaux doux: • Ce sont des matériaux qui présentent un cycle d’hystérésis très étroit, Ils sont utilisés en général pour les machines électriques et les transformateurs. Pertes fer: • Les matériaux ferromagnétiques décrivant un cycle d'hystérésis sont le sièges de pertes énergétiques appelées pertes par hystérésis. • D’autre part, les variations du champ magnétique dans le matériau génèrent des courants induits appelés courant de Foucault , ce qui engendre un échauffement dans le corps ferromagnétique. On parle alors de pertes par courant de Foucault . Pertes fer= pertes par hystérésis+ pertes par courant de Foucault 35 • Ainsi afin de limiter les pertes on privilégie les matériaux ayant des cycles étroits. • De plus, les pertes fer étant proportionnelles à la fréquence on limite l'utilisation des dispositifs magnétiques aux faibles fréquences. • Enfin, on réduit les pertes liées aux courants de Foucault en utilisant des matériaux magnétiques feuilletés afin de limiter la taille des boucles de courant. . 36 Circuit magnétique – Loi d’Hopkinson: • Un circuit magnétique est dit parfait s'il canalise la totalité des lignes d'induction le parcourant sans qu'il y ait de fuites. • Comportement linéaire: 𝑩 = 𝝁 ∙ 𝑯 • Le flux est le même à travers le circuit magnétique: 𝝋 = 𝑩 ∙ 𝑺 • Par application du théorème d’Ampère le long d'une ligne de champ de longueur moyenne L, on obtient: 𝑯∙𝑳=𝑵∙𝒊 • On peut écrire: 𝑵∙𝒊= 𝑳 𝝋 𝝁𝑺 37 • On appelle force magnétomotrice (f.m.m) la grandeur: 𝓕 = 𝑵 ∙ 𝒊. • On définit la réluctance du circuit magnétique par: 𝓡= 𝑳 𝝁𝑺 (unité H-1) • On obtient alors la loi d’Hopkinson (loi d’ohm des circuits magnétiques: 𝓕=𝓡∙𝝋 • Analogie entre circuits électriques et magnétiques : Circuit magnétique Circuit électrique Champ H Champ E Force magnétomotrice 𝓕 Tension U Flux 𝝋 Courant i Réluctance 𝓡 Résistance R loi d’Hopkinson 𝓕 = 𝓡 ∙ 𝝋 loi d’Ohm 𝑼 = 𝑹 ∙ 𝒊 38 • Schéma électrique équivalent 𝝋 Ni 𝓡 • Exemple1: Soit le circuit magnétique suivant. Le courant I est 2A, la perméabilité relative du matériau est 𝜇𝑟 = 2500, le nombre de tours N est 250 et la profondeur est de 4cm. L'entrefer a une épaisseur e=0.5cm. Déterminer 𝝋 , B et H dans le fer et dans l’entrefer. 39 • Exemple2: Soit le circuit magnétique suivant. La perméabilité relative du matériau est 𝜇𝑟 = 30000, Calculer la f.m.m nécessaire pour produire un flux de 0.0014Wb dans la section droite du circuit. 40 Inductance propre: • On a: 𝒏𝒊 = 𝓡 ∙ 𝝋 • Donc : 𝝋= 𝒏𝒊 𝓡 . • Le flux total à travers la bobine est: 𝝋𝒕𝒐𝒕 = 𝒏 𝝋 = 𝒏𝟐 𝓡 𝒊 • L’inductance propre de la bobine est: Inductance mutuelle: On alimente la bobine 1 par un courant i1 On obtient un flux 𝝋𝟏 à travers le Circuit magnétique, le flux envoyé par La bobine 1 sur la bobine 2 est: 𝝋𝟏𝟐 = 𝒏𝟐 𝝋𝟏 = 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝓡 𝑳= 𝝋𝒕𝒐𝒕 𝒊 = 𝒏𝟐 𝓡 𝒊𝟏 𝒊𝟐 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝝋𝟏𝟐 𝒊𝟏 𝒏𝟏 𝒏𝟐 𝓡 𝒊𝟏 La mutuelle inductance entre 1 et 2 est: 𝑴𝟏𝟐 = = 41 Transformateur monophasé Rôle du transformateur. Un transformateur est un convertisseur statique (il ne comporte aucune partie mobile) permettant de transformer une tension sinusoïdale en une autre tension sinusoïdale de valeur efficace différente (et de même fréquence). Constitution du transformateur Le transformateur est constitué essentiellement de : * Un circuit magnétique: qui a pour rôle de canaliser le flux magnétique. * Deux Enroulements: - L’un de ces enroulements est relié à la source alternative : C’est le primaire, on lui adopte la convention récepteur. - L’autre bobine est le siège d’une f.e.m .induite .Elle peut débiter dans un récepteur : c’est le secondaire, on lui adopte la convention générateur 42 Principe de fonctionnement Cette machine est basée sur la loi d’induction électromagnétique.En effet, la tension alternative au primaire va créer un flux magnétique alternatif qui traversant l’enroulement secondaire produira une f.e.m induite 43 Transformateur parfait: Hypothèses : - Les pertes fer et les pertes joule sont nulles - Les fuites magnétiques sont négligeables - La reluctance du circuit magnétique est nulle On écrit les différentes équations vérifiées par le transformateur parfait: • La loi d'Hopkinson donne : 𝒏𝟏 𝒊𝟏 + 𝒏𝟐 𝒊𝟐 = 𝓡 ∙ 𝝋 = 𝟎 • Au primaire (convention récepteur) : 𝒖𝟏 + 𝒆𝟏 = 𝒓𝟏 𝒊𝟏 avec 𝒓𝟏 = 𝟎 donc: 𝒖𝟏 = −𝒆𝟏 = −𝒏𝟏 𝒅𝝋 𝒅𝒕 • Au secondaire (convention générateur) : −𝒖𝟐 + 𝒆𝟐 = 𝒓𝟐 𝒊𝟐 avec 𝒓𝟐 = 𝟎 donc: 𝒖𝟐 = 𝒆𝟐 = 𝒏𝟐 On obtient alors: 𝒖𝟐 𝒖𝟏 = 𝒅𝝋 𝒅𝒕 𝒊𝟏 𝒊𝟐 = 𝒏𝟐 − 𝒏𝟏 = −𝒎 avec m: le rapport de transformation. En considérant les valeurs efficaces on peut écrire : 𝑼𝟐 𝑼𝟏 = 𝑰𝟏 𝑰𝟐 = 𝒏𝟐 𝒏𝟏 =𝒎 44 Selon la valeur qui prend m, on peut distinguer : • Pour m >1: 𝑼𝟐 > 𝑼𝟏 : il s'agit d'un transformateur élévateur de tension. • Pour m <1: 𝑼𝟐 < 𝑼𝟏 : il s'agit d'un transformateur abaisseur de tension. • Pour m =1: 𝑼𝟐 = 𝑼𝟏 : le transformateur est un isolateur. La figure suivante présente deux symboles couramment rencontrés pour représenter un transformateur parfait : 45 Impédance ramenée au primaire: • Si on considère un transformateur parfait dont le secondaire est chargé par une impédance complexe 𝒁𝟐 , on peut écrire : 𝑼𝟐 = 𝒁𝟐 𝑰𝟐 • Or 𝑼𝟐 = −𝒎𝑼𝟏 et 𝑰𝟐 = − 𝑰𝟏 𝒎 • On obtient donc: 𝟏 𝟏 𝟏 𝑰𝟏 𝒁𝟐 𝑼𝟏 = − 𝑼𝟐 = − 𝒁𝟐 𝑰𝟐 = − 𝒁𝟐 × − = 𝟐 𝑰𝟏 𝒎 𝒎 𝒎 𝒎 𝒎 Tout se passe comme si le générateur alimentant le primaire du transformateur était directement relié à une charge d'impédance 𝒁𝟏 = 𝒁𝟐 𝒎𝟐 c'est l'impédance ramenée au primaire. 46 Transformateur réel: Pour l'étude du transformateur réel on ne peut plus considérer un circuit magnétique parfait sans fuites de flux, il va falloir prendre en compte les pertes fer et les flux de fuite au niveau des enroulements. De même, on ne peut plus négliger les résistances d'enroulement. Schéma équivalent du transformateur réel: 47 on désigne par : -𝒓𝟏 : résistance de l’enroulement primaire - 𝒓𝟐 : résistance de l’enroulement secondaire - 𝓵𝟏 : Inductance de fuite au niveau de l’enroulement primaire - 𝓵𝟐 : Inductance de fuite au niveau de l’enroulement secondaire - 𝑹𝟎 : résistance de circuit magnétique - 𝑿𝟎 : réactance de circuit magnétique 48 Schéma équivalent ramené au secondaire: L’hypothèse de Kapp consiste à négliger le courant I10 devant le courant I1 . On peut faire passer l’impédance 𝒁𝟏 = 𝒓𝟏 + 𝒋𝓵𝟏 𝝎 du primaire au secondaire, il suffît de la multiplier par m2, on obtient le schéma suivant: mu1 𝒓𝒔 = 𝒓𝟐 + 𝒎𝟐 𝒓𝟏 est la résistance ramenée au secondaire, 𝓵𝒔 = 𝓵𝟐 + 𝒎𝟐 𝓵𝟏 est l’inductance de fuite ramenée au secondaire, 49 Détermination des éléments du schéma électrique équivalent du transformateur réel: Essai à vide : Cet essai s'effectue sous tension nominale, le secondaire étant en circuit ouvert: Cet essai permet de déterminer le rapport de transformation du 𝑼 transformateur: m = 𝟐𝟎 𝑼𝟏𝟎 Il n'y a pas de puissance consommée au secondaire ( i2 = 0 ⇒ P2 = 0 ), la puissance mesurée par le wattmètre correspond aux pertes joules au primaire et aux pertes fer : 𝑷𝟏𝟎 = 𝑷𝒇𝒆𝒓 + 𝑷𝑱𝟏 50 Or à vide I10 est très faible (le courant magnétisant est de l'ordre du dixième du courant nominal), on peut donc négliger les pertes joule par rapport aux pertes fer : 𝑷𝟏𝟎 ≈ 𝑷𝒇𝒆𝒓 L'essai à vide permet de mesurer les pertes fer. 𝒀𝟎 = L’ admittance de la branche d’excitation est : Le module de l’admittance est: 𝒀𝟎 = 𝟏 𝑹𝟎 + 𝟏 𝒋𝑳𝟎 𝝎 𝑰𝟏𝟎 𝑼𝟏𝟎 Son argument se déduit du facteur de puissance à vide: 𝑷𝟏𝟎 𝒇𝒑𝟎 = 𝒄𝒐𝒔𝝋𝟎 = 𝑼𝟏𝟎 𝑰𝟏𝟎 Le courant étant en retard sur la tension (comportement inductive) alors: 𝝋𝟎 < 𝟎 Conclusion: 𝒀𝟎 = 𝑰𝟏𝟎 ∠ 𝑼𝟏𝟎 − 𝝋𝟎 Par identification, on obtient 𝑹𝟎 et 𝑳𝟎 51 Essai en court circuit: L'essai en court circuit est réalisé avec le secondaire branché en court circuit, avec un courant nominal et une tension primaire réduite. Dans cet essai également la puissance active fournie au secondaire est nulle (u2=0 ⇒ P2=0), la puissance active mesurée au primaire correspond donc aux pertes fer et aux pertes joules au primaire et au secondaire : P1cc = PJ cc + Pfer U1cc étant faible, on peut généralement négliger les pertes fer. Donc: 𝑷𝟏𝒄𝒄 = 𝑷𝑱𝒄𝒄 52 L’impédance complexe ramenée au primaire est: 𝒁𝟏𝒄𝒄 = 𝒓𝒑 + 𝒋𝓵𝒑 𝝎 = 𝑼𝟏𝒄𝒄 ∠𝟎 𝑰𝟏𝒄𝒄 ∠𝝋𝟏𝒄𝒄 = 𝑼𝟏𝒄𝒄 ∠ 𝑰𝟏𝒄𝒄 −𝝋𝟏𝒄𝒄 Le courant étant en retard sur la tension (comportement inductive) alors: 𝝋𝟏𝒄𝒄 < 𝟎 Le facteur de puissance en court circuit est: 𝑷𝟏𝒄𝒄 𝒇𝒑𝒄𝒄 = 𝒄𝒐𝒔𝝋𝟏𝒄𝒄 = 𝑼𝟏𝒄𝒄 𝑰𝟏𝒄𝒄 Par identification, on obtient 𝒓𝒑 et 𝓵𝒑 Pour les éléments ramenés au secondaire: 𝒓𝒔 = 𝒎𝟐 𝒓𝒑 𝓵𝒔 = 𝒎𝟐 𝓵𝒑 53 Essai en charge - Chute de tension en charge: En considérant le modèle du transformateur réel avec les impédances ramenées au secondaire on peut écrire : 𝒎𝑼𝟏 = 𝒓𝒔 𝑰𝟐 + 𝒋𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 + 𝑼𝟐 𝑰𝟐 𝑰𝟏 𝑼𝟏 R0 L0w 𝒎𝑼𝟏 𝒓𝒔 𝒋𝓵𝒔 𝝎 𝑼𝟐 On définit la chute de tension ∆𝑼𝟐 comme la différence des tensions secondaires à vide et en charge : ∆𝑼𝟐 = 𝒎𝑼𝟏 − 𝑼𝟐 = 𝑼𝟐𝟎 − 𝑼𝟐 ∆𝑼𝟐 peut être calculée soit: • par calcul exact avec les grandeurs complexes • Par un calcul approché avec une construction vectorielle 54 Diagramme de Kapp: Le diagramme vectoriel associé est appelé diagramme de Kapp 𝑪 𝑼𝟐 𝑩 m𝑼𝟏 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 𝑶 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝑨 En général: 𝒓𝒔 𝑰𝟐 et 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 sont très petits devant 𝑼𝟐 et m𝑼𝟏 , alors les vecteurs 𝑂𝐶 et 𝐵𝐶 sont pratiquement parallèles. 55 Cas d’une charge inductive: 𝑼𝟐 𝑩 m𝑼𝟏 𝑨’ 𝝋𝟐 𝑶 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝑩′ 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 𝑨 ∆𝑼𝟐 = 𝑶𝑨′ + 𝑨′ 𝑩′ = 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝒄𝒐𝒔𝝋𝟐 + 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 𝒔𝒊𝒏𝝋𝟐 56 Cas d’une charge capacitive: 𝑩 𝑼𝟐 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 𝑶 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝑨 𝝋𝟐 𝑩′ 𝑨’ m𝑼𝟏 ∆𝑼𝟐 = 𝑶𝑨′ − 𝑨′ 𝑩′ = 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝒄𝒐𝒔𝝋𝟐 − 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 𝒔𝒊𝒏𝝋𝟐 Conclusion: ∆𝑼𝟐 = 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝒄𝒐𝒔𝝋𝟐 − 𝓵𝒔 𝝎𝑰𝟐 𝒔𝒊𝒏𝝋𝟐 Avec: 𝝋𝟐 < 𝟎 pour une charge inductive (i2 en retard sur u2) 𝝋𝟐 > 𝟎 pour une charge capacitive (i2 en avance sur u2) 57 Bilan de puissance- rendement: La puissance utile est: La puissance absorbée est: 𝑷𝒖 = 𝑷𝟐 = 𝑼𝟐 𝑰𝟐 𝒄𝒐𝒔𝝋𝟐 𝑷𝒂𝒃𝒔 = 𝑷𝟏 = 𝑷𝟐 + 𝑷𝒇𝒆𝒓 + 𝑷𝑱 Les pertes Joule: 𝑷𝑱 = 𝒓𝒔 𝑰𝟐 𝟐 Les pertes fer: 𝑷𝒇𝒆𝒓 ≈ 𝑷𝟏𝟎 Le rendement est: 𝜼= 𝑷𝟏 Primaire 𝑷𝑱𝟏 𝑷𝟐 𝑷𝟐 +𝑷𝒇𝒆𝒓 +𝑷𝑱 Circuit magnétique 𝑷𝒇𝒆𝒓 secondaire 𝑷𝟐 𝑷𝑱𝟐 58
