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Automatisation
in d u s t r i e l l e
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Traitement de signal
(TS)
(Signaux et Systèmes (M200))
Prof. Michel ETIQUE
[email protected]
Haute Ecole d’Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd)
Département d’électricité et d’informatique
institut d’Automatisation industrielle (iAi)
21 mars 2006
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 1 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Organisation du
cours
Fiche d’unité
d’enseignement
Programme
Forme
informatique
Applications du
traitement de
signal
Applications du
traitement de
signal
Traitement en
temps réel de la
parole
Traitement par lot
Traitement comme
système
échantillonné
Traitement comme
système
échantillonné
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Prof.M.Etique
Reconstruction
des
signaux
Quelques
Traitement de Signal – 2 / 42
Introduction
Organisation du
cours
Fiche d’unité
d’enseignement
Programme
Forme
informatique
Applications du
traitement de
signal
Applications du
traitement de
signal
Traitement en
temps réel de la
parole
Traitement par lot
Traitement comme
système
échantillonné
Traitement comme
système
échantillonné
Traitement de signal
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Organisation du cours
4 périodes par semaine, 8
séances, semestre no 5 ?
Théorie (≈50%), exercices (≈50%)
2 TEs
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Prof.M.Etique
Reconstruction
des
signaux
Quelques
Traitement de Signal – 3 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Fiche d’unité d’enseignement
1. http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/fiche_SES.pdf
2.
http://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ses/admin/fiches/m_200_signaux_et_systemes.pdf
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 4 / 42
Introduction
Organisation du
cours
Fiche d’unité
d’enseignement
Programme
Forme
informatique
Applications du
traitement de
signal
Applications du
traitement de
signal
Traitement en
temps réel de la
parole
Traitement par lot
Traitement comme
système
échantillonné
Traitement comme
système
échantillonné
Traitement de Signal
4 périodes hebdo. = 32 périodes
Étude des signaux périodiques
Analyse des signaux non périodiques
Éléments d’analyse spectrale numérique
1-2 TE + correction
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Programme
Périodes
Total
12
8
8
4
12
20
28
32
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Prof.M.Etique
Reconstruction
des
signaux
Quelques
Traitement de Signal – 5 / 42
■
Cours, slides et exercices en formats pdf, source LATEX 2ε :
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Forme informatique
http://iai.eivd.ch/users/mee/
■
Fiche d’unité d’enseignement
http ://iai.eivd.ch/users/mee/cours/cours_TS/admin/fiche/ficheTS_1_v1.pdf
■
Cours polycopié inspiré à 100% de celui du Prof.F.Mudry de la HEIG-Vd
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 6 / 42
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
Traitement de Signal – 7 / 42
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
Traitement de Signal – 7 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
(applications réalisées grâce au Processeurs de Signaux (DSP))
■
■
Le traitement de signal, dans sa variante numérique, constitue de nos jour la
valeur ajoutée principale d’un grand nombre de produits
Exemples : les équipements médicaux (aides auditives, mesures de paramètres
vitaux, etc)
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 8 / 42
■
■
■
■
■
■
■
Filtrage numérique classique (filtres FIR et IIR)
Traitement d’image
Traitement et le codage de la parole
Transformée de Fourier rapide (FFT)
Techniques d’audio digitale (lecteur CD)
Compression de données (modulations numériques, codage d’image JPEG)
Applications d’automatisation (régulateur, algorithme de commande de
servo-moteurs)
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
=⇒ traitement numérique de signal
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 8 / 42
Automotive
Adaptive ride control
Antiskid brakes
Cellular telephones
Digital radios
Engine control
Global positioning
Navigation
Vibration analysis
Voice commands
Prof.M.Etique
Consumer
Digital radios/TVs
Educational toys
Music synthesizers
Power tools
Radar detectors
Solid-state answering
machines
Control
General-Purpose
Disk drive control
Engine control
Laser printer control
Motor control
Robotics control
Servo control
Adaptive filtering
Convolution
Correlation
Digital filtering
Fast Fourier transforms
Hilbert transforms
Waveform generation
Windowing
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
Traitement de Signal – 8 / 42
Graphics/Imaging
Industrial
Instrumentation
3-D rotation
Animation/digital
map
Homomorphic processing
Pattern recognition
Image enhancement
Image compression/transmission
Robot vision
Workstations
Numeric control
Power-line monitoring
Robotics
Security access
Digital filtering
Function generation
Pattern matching
Phase-locked loops
Seismic processing
Spectrum analysis
Transient analysis
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in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
Medical
Diagnostic equipment
Fetal monitoring
Hearing aids
Patient monitoring
Prosthetics
Ultrasound
equipment
Traitement de Signal – 8 / 42
Military
Image processing
Missile guidance
Navigation
Radar processing
Radio frequency modems
Secure
communications
Sonar processing
Prof.M.Etique
Telecommunications
1200- to 19200-bps
DTMF encoding/demodems
coding
Adaptive equalizers
Echo cancellation
ADPCM transcoders
Fax
Line repeaters
Cellular telephones
Speaker phones
Channel multiplexing
Spread
spectrum
Data encryption
communications
Digital PBXs
Video conferencing
Digital speech interX.25 Packet Switpolation (DSI)
ching
Personal digital assisPersonal communicatants (PDA)
tions systems (PCS)
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Applications du traitement de signal
Voice/Speech
Speech enhancement
Speech recognition
Speech synthesis
Speaker verification
Speech vocoding
Voice mail
Text-to-speech
Traitement de Signal – 8 / 42
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Traitement en temps réel de la parole
Traitement de Signal – 9 / 42
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Traitement par lot
Traitement de Signal – 10 / 42
Signaux :
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Traitement comme système échantillonné
Temps
Amplitude
0
t
0
t
0
t
0
t
Continu
Discret
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 11 / 42
Application
Régulation
Télécommunications
Traitement de la parole
Traitement audio
Mise à jour d’écran video
Mise à jour des pixels
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Traitement comme système échantillonné
Fréquence
d’échantillonnage fe = h1 typique
1 [kHz]
8 [kHz]
8 . . . 10 [kHz]
40 . . . 48 [kHz]
50 . . . 100 [Hz]
14 [MHz]
Traitement de Signal – 12 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Analyse de Fourier
Deux
représentations
pour un seul signal
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Analyse des signaux périodiques
Reconstruction des
signaux
Quelques
théorèmes
importants
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 13 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Analyse de Fourier
Analyse harmonique (ou fréquentielle) = instrument majeur de la théorie des signaux
et des systèmes
■
Le développement en séries de Fourier (puis la transformation de Fourier)
permettent d’obtenir une représentation spectrale des signaux déterministes,
i.e. la répartition de
1.
2.
3.
4.
l’amplitude
la phase
l’énergie
la puissance
des signaux considérés en fonction de la fréquence.
=⇒ 2 chapitres consacrés à Fourier
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 14 / 42
x(t) = A · cos (2 · π · f0 · t + α)
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Deux représentations pour un seul signal
Traitement de Signal – 15 / 42
x(t) = A · cos (2 · π · f0 · t + α)
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Deux représentations pour un seul signal
+A
0
−A
t
T
Espace temporel
T
t
0
1/T
Espace fréquentiel
f
Amplitude
Phase
+π
A
1/T
f
0
1/T
f
0
−π
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 15 / 42
π
π 1
+ · A · cos 4 · π · f0 · t −
x(t) = A · cos 2 · π · f0 · t −
2
2
4
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Deux représentations pour un seul signal
Traitement de Signal – 15 / 42
π
π 1
+ · A · cos 4 · π · f0 · t −
x(t) = A · cos 2 · π · f0 · t −
2
2
4
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Deux représentations pour un seul signal
Sinusoides de fréquences f et 2f
0
0
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
3.5
4
4.5
5
Somme de 2 sinusoides
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
Prof.M.Etique
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Traitement de Signal – 15 / 42
f_sfour_2.eps
π
π 1
+ · A · cos 4 · π · f0 · t −
x(t) = A · cos 2 · π · f0 · t −
2
2
4
A
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Deux représentations pour un seul signal
A
900
A/2
900
A/2
450
f0
f
450
f
2 f0
f
f
2 f0
f0
-450
-450
-900
-900
Cosinusoïde d'amplitude A et de phase -900
Cosinusoïde d'amplitude A/2 et de phase -450
A
900
450
f0
f
f0
2 f0
f
2 f0
-450
-900
Signal périodique non-sinusoïdal
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 15 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Séries de Fourier
Définition de la
série de Fourier
Série de Fourier en
cosinus
Série de Fourier
complexe
Relations entre les
3 représentations
Spectres
d’amplitudes et de
phases
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction des
signaux
Quelques
théorèmes
importants
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 16 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Séries de Fourier
L’élément fondamental de l’analyse de Fourier est constitué par le fait
qu’un signal périodique peut être décomposé en une somme d’ondes
sinusoïdales
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 17 / 42
6
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Séries de Fourier
6
x (t)
1+x (t)
1
1
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−1
0
6
1
2
−2
4
2
2
0
0
−2
−1
0
6
−1
0
6
x2(t)
4
−2
−2
1
2
−2
−2
−1
0
1
4
2
2
0
0
−2
−2
−1
0
1
1
2
−2
2
1+x (t)+x (t)+x (t)
3
4
2
1+x1(t)+x2(t)
6
x (t)
1
−2
−1
0
2
1
3
2
f_sfour_3.eps
Le signal résultant est la somme de trois sinusoïdes dont la fréquence est chaque fois
un multiple de la fondamentale f0
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 17 / 42
Considérons un signal périodique x (t) de période T =
série de Fourier est :
∞
∞
k=1
k=1
1
f0 .
Son développement en
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Définition de la série de Fourier
X
a0 X
x (t) =
+
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
2
où
■
■
■
f0 = T1 est la fréquence fondamentale du signal
a0
2 est la valeur moyenne ou composante continue
ak , bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et sinus :
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 18 / 42
Considérons un signal périodique x (t) de période T =
série de Fourier est :
∞
∞
k=1
k=1
1
f0 .
Son développement en
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Définition de la série de Fourier
X
a0 X
x (t) =
+
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
2
où
■
■
■
f0 = T1 est la fréquence fondamentale du signal
a0
2 est la valeur moyenne ou composante continue
ak , bk sont les coefficients de Fourier du développement en cosinus et sinus :
ak
bk
Prof.M.Etique
=
=
2
·
T
2
·
T
Z
+ T2
− T2
Z
x (t) · cos (2 · π · k · f0 · t) · dt
k≥0
x (t) · sin (2 · π · k · f0 · t) · dt
k≥1
+ T2
− T2
Traitement de Signal – 18 / 42
6
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Définition de la série de Fourier
6
x (t)
1+x (t)
1
1
4
4
2
2
0
0
−2
−2
−1
0
6
1
2
−2
4
2
2
0
0
−2
−1
0
6
−1
0
6
x2(t)
4
−2
−2
1
2
−2
−2
−1
0
1
4
2
2
0
0
−2
−2
−1
0
1
1
2
−2
2
1+x (t)+x (t)+x (t)
3
4
2
1+x1(t)+x2(t)
6
x (t)
1
−2
−1
0
2
1
3
2
f_sfour_3.eps
∞
∞
k=1
k=1
X
a0 X
+
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
x (t) =
2
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 18 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier en cosinus
Partant la relation trigonométrique :
p
−B
A · cos (x) + B · sin (x) = A2 + B 2 · cos x + arctan
A
le développement en série de Fourier
∞
∞
k=1
k=1
X
a0 X
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
+
x (t) =
2
peut également s’écrire :
x (t) = A0 +
∞
X
k=1
Prof.M.Etique
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
Traitement de Signal – 19 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier en cosinus
Partant la relation trigonométrique :
p
−B
A · cos (x) + B · sin (x) = A2 + B 2 · cos x + arctan
A
le développement en série de Fourier
∞
∞
k=1
k=1
X
a0 X
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
+
x (t) =
2
peut également s’écrire :
x (t) = A0 +
∞
X
k=1
avec :
A0 =
Prof.M.Etique
a0
2
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
q
Ak = a2k + b2k
αk = arctan
−bk
ak
Traitement de Signal – 19 / 42
x (t) = A0 +
∞
X
k=1
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier en cosinus
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
Remarques :
■
■
Le développement en série en cosinus revient à considérer que le signal x (t) est
créé de manière équivalente par une infinité de générateurs sinusoïdaux
La représentation spectrale correspondante est le spectre unilatéral
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 19 / 42
x (t) = A0 +
∞
X
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
1
1
0.5
0.5
xk(t)
c
x(t) et x (t)
k=1
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier en cosinus
0
−0.5
0
−0.5
−1
−0.5
0
0.5
temps
1
−1
−0.5
1.5
0.7
0
0.5
temps
1
1.5
2
0.6
1
αk
0.4
A
k
0.5
0
0.3
0.2
−1
0.1
0
Prof.M.Etique
0
2
4
6
frequence [k x f0]
8
10
−2
0
2
4
6
frequence [k x f0]
8
10
f_sfour1_4.eps
Traitement de Signal – 19 / 42
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier complexe
Série de Fourier :
∞
∞
k=1
k=1
X
a0 X
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
+
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
x (t) =
2
■
Relations d’Euler :
cos (x) =
sin (x) =
Prof.M.Etique
e+j·x + e−j·x
2
e+j·x − e−j·x
2·j
...
Traitement de Signal – 20 / 42
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier complexe
Série de Fourier :
∞
∞
k=1
k=1
X
a0 X
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
+
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
x (t) =
2
■
Relations d’Euler :
cos (x) =
sin (x) =
e+j·x + e−j·x
2
e+j·x − e−j·x
2·j
...
. . . on montre aisément que la série de Fourier peut être transformée en une série de
Fourier complexe :
∞
X
x (t) =
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
k=−∞
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 20 / 42
x (t) =
∞
X
k=−∞
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier complexe
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
Les coefficients X (j · k) sont alors complexes et valent :
1
X (j · k) = ·
T
Prof.M.Etique
Z
+ T2
− T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
− ∞ < k < +∞
Traitement de Signal – 20 / 42
x (t) =
∞
X
k=−∞
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier complexe
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
Remarques :
■
■
La représentation spectrale graphique correspondante est le spectre bilatéral
Pour la suite du cours, on retiendra essentiellement cette description car elle est
analytiquement plus intéressante que la forme en cosinus
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 20 / 42
x (t) =
∞
X
k=−∞
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Série de Fourier complexe
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
Signal temporel
8
x(t)
6
4
2
0
0.5
1
Spectre unilatéral
1.5
2
temps
4
4
3
3
2
1
0
0
1000
2000
3000
4000
k f0
1
/X(jk) / π
k
α /π
4
−3
x 10
2
0
−5000
5000
0.5
0
−0.5
−1
3
3.5
Spectre bilatéral
1
1
0
k f0
5000
0
k f0
5000
0.5
0
−0.5
0
1000
2000
3000
k f0
Prof.M.Etique
2.5
|X(jk)|
A
k
0
4000
5000
−1
−5000
f_ex_SF_1_2_1.eps
Traitement de Signal – 20 / 42
Im
Ak ∈R
-bk
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Relations entre les 3 représentations de Fourier
-bk/2
X(+jk) ∈C
+αk
−αk
Re
+ak/2
+ak
X(-jk)
+bk/2
∞
∞
X
a0 X
bk · sin (2 · π · k · f0 · t)
+
ak · cos (2 · π · k · f0 · t) +
x (t) =
2
x (t) = A0 +
k=1
∞
X
k=1
x (t) =
∞
X
k=−∞
Prof.M.Etique
(1)
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
(2)
(3)
Traitement de Signal – 21 / 42
k=0
k>0
ak
bk
Ak
αk
X (+j · k)
X (−j · k)
Prof.M.Etique
a0
2
{ak , bk }
ak
p bk
a2k+ b2k −bk
arctan
ak
1
2 · (ak − j · bk )
1
2 · (ak + j · bk )
A0
{Ak , αk }
+Ak · cos (αk )
−Ak · sin (αk )
Ak
αk
1
2
1
2
· Ak · e+j·αk
· Ak · e−j·αk
X (0)
X (±j · k)
+2 · <{X (j · k)}
−2 · ={X (j · k)}
2· |X (j · k) |
={X (+j · k)}
arctan
<{X (+j · k)}
X (+j · k)
X (−j · k)
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Relations entre les 3 représentations de Fourier
Traitement de Signal – 21 / 42
k=0
k>0
ak
bk
Ak
αk
X (+j · k)
X (−j · k)
■
a0
2
{ak , bk }
ak
p bk
a2k+ b2k −bk
arctan
ak
1
2 · (ak − j · bk )
1
2 · (ak + j · bk )
A0
{Ak , αk }
+Ak · cos (αk )
−Ak · sin (αk )
Ak
αk
1
2
1
2
· Ak · e+j·αk
· Ak · e−j·αk
X (0)
X (±j · k)
+2 · <{X (j · k)}
−2 · ={X (j · k)}
2· |X (j · k) |
={X (+j · k)}
arctan
<{X (+j · k)}
X (+j · k)
X (−j · k)
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Relations entre les 3 représentations de Fourier
Relation existant entre les coefficients spectraux et la valeur efficace d’une
composante spectrale :
Ak,eff
Prof.M.Etique
√
Ak
= √ = 2 · |X (j · k) |
2
Traitement de Signal – 21 / 42
Spectres unilatéraux
x (t) = A0 +
∞
X
k=1
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
−→ fréquences positives ou nulles
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Spectres unilatéraux
x (t) = A0 +
∞
X
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
Signaux
Spectres unilatéraux
0.8
1
0.6
0.5
0.4
0
0.2
−0.5
−1
0
0
1
2
3
0
2
4
6
0
2
4
6
0
2
4
6
0.8
1
0.6
0.5
0.4
0
−0.5
0.2
−1
0
0
1
2
3
0.8
1
0.6
0.4
0.5
0.2
0
0
0
1
2
temps
Prof.M.Etique
3
fréquence
f_sfour_5.eps
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Spectres bilatéraux
∞
X
x (t) =
k=−∞
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
Signal temporel
8
x(t)
6
4
2
0
0.5
1
Spectre unilatéral
1.5
2
temps
4
4
3
3
2
1
0
0
1000
2000
3000
4000
k f0
1
/X(jk) / π
αk / π
4
−3
x 10
2
0
−5000
5000
0.5
0
−0.5
−1
3
3.5
Spectre bilatéral
1
1
0
k f0
5000
0
kf
5000
0.5
0
−0.5
0
1000
2000
3000
kf
0
Prof.M.Etique
2.5
|X(jk)|
Ak
0
4000
5000
−1
−5000
0
f_ex_SF_1_2_1.eps
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Spectres bilatéraux
x (t) =
∞
X
k=−∞
■
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
Les spectres d’amplitudes sont toujours des fonctions paires car :
Ak
|X (+j · k) | = |X (−j · k) | =
2
■
Les spectres de phases sont toujours des fonctions impaires :
6
■
k 6= 0
X (+j · k) = −6 X (−j · k) = αk
k 6= 0
Pour le cas particulier de la composante continue du signal, on a :
Prof.M.Etique
|X (0) | = A0
6
X (0) = {0, π}
Traitement de Signal – 22 / 42
Coefficients spectraux et symétries des signaux
Si l’on tient compte des symétries du signal, le calcul des séries de Fourier est
simplifié :
■
une fonction paire est représentée par des cosinus seulement ; on a alors :
αk = {0, ±π}
■
={X (j · k)} = 0
une fonction impaire est représentée par des sinus seulement ; on a alors :
π
αk = ±
2
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
<{X (j · k)} = 0
une fonction à symétrie demi-onde ne possède pas d’harmoniques paires :
X (j · k) = 0
Prof.M.Etique
si k est pair
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Coefficients spectraux et symétries des signaux
1.5
1
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
f_sfour_6.eps
Les fonctions à symétrie demi-onde sont telles qu’une rotation autour de
l’abscisse de l’alternance positive ou négative permet de reproduire l’autre
alternance.
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Exemple de représentations spectrales d’un signal
π
x (t) = 3+2·cos (2 · π · f0 · t)−3.464·sin (2 · π · f0 · t)+2·sin 4 · π · f0 · t +
4
Forme en cosinus
x (t) = 3 + 2 · cos (2 · π · f0 · t) − 3.464 · sin (2 · π · f0 · t) + 2 · sin
=3+
p
22
+
= 3 + 4 · cos
3.4642
· cos
2 · π · f0 · t + arctan
2 · π · 1 · f0 · t +
π
3
+ 2 · cos
4 · π · f0 · t +
− (−3.464) 2
2 · π · 2 · f0 · t −
+ 2 · cos
π
π
4
4 · π · f0 · t +
π
4
π
−
4
= A0 + A1 · cos (2 · π · f0 · t + α1 ) + A2 · cos (4 · π · f0 · t + α2 )
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 22 / 42
2
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Exemple de représentations spectrales d’un signal
π
x (t) = 3+2·cos (2 · π · f0 · t)−3.464·sin (2 · π · f0 · t)+2·sin 4 · π · f0 · t +
4
Forme complexe
x (t) =
= 3+2·e
+j· 2·π·f0 ·t+ π
3
3+2·e
+j· π
3
·e
+j·2·π·f0 ·t
= X (0)+X (+j · 1)·e
Prof.M.Etique
+2·e
−j· π
3
+j·2·π·f0 ·t
−j· 2·π·f0 ·t+ π
3
+2·e
·e
−j·2·π·f0 ·t
+X (−j · 1)·e
+j· 4·π·f0 ·t− π
4
+1·e
+1·e
−j·2·πf0
−j· π
4
·e
+j·4·π·f0 ·t
+X (+j · 2)·e
−j· 4·π·f0 ·t− π
4
+1·e
+1·e
+j· π
4
+j·4·π·f0 ·t
·e
−j·4·π·f0 ·t
+X (−j · 2)·e
−j·4·π·f0
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Spectres d’amplitudes et de phases
Signal temporel
10
x(t)
5
0
0
0.5
1
Spectres unilatéraux
1.5
2
temps
5
5
4
4
3
3
2
1
4
2
0
0
1
2
kf
3
4
−2
0
1
−1
/X(jk) / π
0
−0.5
0
kf
1
2
0
k f0
1
2
0
1
0.5
−1
3
3.5
Spectres bilatéraux
1
0
αk / π
2.5
|X(jk)|
Ak
−5
0.5
0
−0.5
0
1
2
k f0
3
4
−1
−2
−1
f_spectres_1c.eps
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 22 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Suite d’impulsions
rectangulaires
(SIR)
Suite d’impulsions
rectangulaires
(SIR)
Signal carré
Suite d’impulsions
triangulaires
Suite
d’exponentielles
décroissantes
Suite d’impulsions
Reconstruction des
signaux
Quelques
théorèmes
importants
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 23 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
x(t)
A
∆t
t
-T
Prof.M.Etique
0
+T
Traitement de Signal – 24 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
x(t)
A
∆t
t
-T
0
+T
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =
Prof.M.Etique
1
·
T
Z
+ T2
− T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
avec
f0 =
1
T
Traitement de Signal – 24 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
x(t)
A
∆t
t
-T
0
+T
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =
1
·
T
Z
+ T2
− T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
avec
f0 =
1
T
Selon la définition de la SIR, il vient :
X (j · k)
=
=
Prof.M.Etique
A
·
T
Z
+ ∆t
2
− ∆t
2
1 · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
−1
∆t
A
−j·2·π·k·f0 · ∆t
+j·2·π·k·f
·
0 2
2 − e
·
· e
T j · 2 · π · k · f0
Traitement de Signal – 24 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
x(t)
A
∆t
t
-T
0
+T
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =
1
·
T
Z
+ T2
− T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
avec
f0 =
1
T
Selon la définition de la SIR, il vient :
X (j · k)
=
=
A
·
T
Z
+ ∆t
2
− ∆t
2
1 · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
−1
∆t
A
−j·2·π·k·f0 · ∆t
+j·2·π·k·f
·
0 2
2 − e
·
· e
T j · 2 · π · k · f0
Les relations d’Euler permettent de passer de la différence des exponentielles à un
sinus et d’écrire ces coefficients sous la forme d’un sinus cardinal :
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 24 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
x(t)
A
∆t
t
-T
0
+T
Série de Fourier complexe de la SIR x (t). On a :
X (j · k) =
1
·
T
Z
+ T2
− T2
x (t) · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
avec
f0 =
1
T
Selon la définition de la SIR, il vient :
X (j · k)
=
=
A
·
T
Z
+ ∆t
2
− ∆t
2
1 · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
−1
∆t
A
−j·2·π·k·f0 · ∆t
+j·2·π·k·f
·
0 2
2 − e
·
· e
T j · 2 · π · k · f0
∆t sin (k · π · f0 · ∆t)
∆t
X (j · k) = A ·
·
· sinc (k · π · f0 · ∆t)
=A·
T
k · π · f0 · ∆t
T
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A ·
X(j · k)
Prof.M.Etique
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
∆t
∆t sin (k · π · f0 · ∆t)
·
=A·
· sinc (k · π · f0 · ∆t)
T
k · π · f0 · ∆t
T
A·
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
∆t
T
1
∆t
1
f0 = T
−15
−10
−5
0
5
10
15
f [Hz]
Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A ·
X(j · k)
■
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
∆t
∆t sin (k · π · f0 · ∆t)
·
=A·
· sinc (k · π · f0 · ∆t)
T
k · π · f0 · ∆t
T
A·
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
∆t
T
1
∆t
1
f0 = T
−15
−10
−5
0
5
10
15
f [Hz]
L’amplitude
du spectre
X (j · k) est égale à la valeur moyenne de la SIR
limx→0 sin(x)
=1
x
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A ·
X(j · k)
■
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
∆t
∆t sin (k · π · f0 · ∆t)
·
=A·
· sinc (k · π · f0 · ∆t)
T
k · π · f0 · ∆t
T
A·
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
∆t
T
1
∆t
1
f0 = T
−15
−10
−5
0
5
10
15
f [Hz]
Les coefficients de Fourier sont purement réels puisque le signal est pair
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 24 / 42
X (j · k) = A ·
X(j · k)
■
0.3
0.2
0.1
0
−0.1
−0.2
∆t
∆t sin (k · π · f0 · ∆t)
·
=A·
· sinc (k · π · f0 · ∆t)
T
k · π · f0 · ∆t
T
A·
∆t
T
1
∆t
1
f0 = T
−15
−10
−5
0
5
10
15
f [Hz]
Plus les impulsions sont étroites par rapport à la période T , plus le spectre
s’étale :
1
◆ le premier passage par zéro se fait à la fréquence ∆t
◆ la distance entre raies spectrales ne change pas puisqu’elle est égale à l’inverse de la période de la SIR f0 =
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
1
T
Traitement de Signal – 24 / 42
0.2
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
0.15
|X(j · k)| 0.1
0.05
0
−15
−10
−5
−15
−10
−5
0
5
10
15
5
10
15
f [Hz]
1
0.5
arg{X(j·k)}
π
0
−0.5
−1
■
0
f [Hz]
Il est fréquent que le spectre d’un signal soit complexe. Dans ce cas, sa
représentation dans un plan ne peut se faire qu’au travers du traçage distinct des
spectres d’amplitudes et de phases
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 24 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
http ://iai.eivd.ch/users/mee//cours/cours_ts/chap_01/sysquake/SI.exe
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 24 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions rectangulaires (SIR)
k = [−N : N ] ;
A = 1;
T = 1;
f 0 = 1/T ;
Delta_t = 0 . 2 ;
X = A∗ D e l t a _ t /T∗ s i n c ( p i ∗k ∗ f 0 ∗ D e l t a _ t ) ;
t = −2∗T: 1 ∗ T/ 3 0 0 : 2 ∗T ;
x = zeros ( size ( t ) ) ;
f o r l =1: l e n g t h ( k )
x = x + X( l ) . ∗ e x p ( j ∗2∗ p i ∗ f 0 ∗ k ( l )∗ t ) ;
end
clf
su bplot (211)
p l o t ( k∗ f 0 , X , ’ o r ’ )
p l o t ( k∗ f 0 , X , ’ r : ’ )
l a b e l ( ’ f ␣ [ Hz ] ’ , ’X( j k ) ’ )
su bplot (212)
plot (t , x , ’ sr ’ )
l a b e l ( ’ t ’ , ’ xN ( t ) ’ )
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 25 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Signal carré
1
0.5
x(t)
A
0
−0.5
−1
Prof.M.Etique
−0.5
T
2
T
2
0
0.5
1
t [s]
Traitement de Signal – 26 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Signal carré
1
A
0.5
0
x(t)
−0.5
−1
−0.5
T
2
T
2
0
0.5
1
t [s]
0.6
0.4
X(j · k)
0.2
0
−0.2
Prof.M.Etique
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
f [Hz]
Traitement de Signal – 26 / 42
4
π
1
0.5
0
x(t)
−0.5
−1
−2
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Signal carré
·A
A
−1
0
1
2
3
t [s]
0.6
0.4
X(j · k)
0.2
0
−0.2
Prof.M.Etique
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
f [Hz]
Traitement de Signal – 26 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions triangulaires
x(t)
Α
t
−∆t
-T
0
+∆t
+T
X(jk)
A ∆t/T
f = k f0
-1/ ∆t
Prof.M.Etique
0
+1/ ∆t
Traitement de Signal – 27 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions triangulaires
x(t)
Α
t
−∆t
-T
0
+∆t
+T
X(jk)
A ∆t/T
f = k f0
-1/ ∆t
■
0
+1/ ∆t
Afin que les surfaces de la SIR et de la SIT soient égales, la largeur à la base du
triangle est égale à 2 · ∆t
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 27 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’impulsions triangulaires
x(t)
Α
t
−∆t
-T
0
+∆t
+T
X(jk)
A ∆t/T
f = k f0
-1/ ∆t
■
Spectre :
Prof.M.Etique
X (j · k) = A ·
+1/ ∆t
0
∆t
·
T
sin (k · π · f0 · ∆t)
k · π · f0 · ∆t
2
Traitement de Signal – 27 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’exponentielles décroissantes
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
f_sfour3_3.eps
− τt
x (t) = A · e
Prof.M.Etique
si
0≤t<T
Traitement de Signal – 28 / 42
1
0.9
0.8
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’exponentielles décroissantes
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
f_sfour3_3.eps
■
Calcul du spectre :
1
X (j · k) = ·
T
A
= ·
T
A
= ·
T
=
Prof.M.Etique
Z
T
x (t) · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
0
Z
Z
T
t
e− τ · e−j·2·π·k·f0 ·t · dt
0
T
−t·( τ1 +j·2·πk·f0 )
e
0
−t·( τ1 +j·2·π·k·f0 )
· dt
A
e
·
1
T − τ + j · 2 · π · k · f0
T
0
i
h
A
−τ
+j·2·π·k·f
·T
−( T
)−1
0
= ·
· e τ
T (1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )
Traitement de Signal – 28 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’exponentielles décroissantes
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
f_sfour3_3.eps
■
i
h
T
−τ
A
· e−( τ +j·2·π·k·f0 ·T ) − 1
X (j · k) = ·
T (1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )
En admettant que la constante de temps τ soit beaucoup plus petite que la
période T , l’exponentielle revient "quasiment" à zéro à la fin de chaque période
−→ le premier terme entre crochets 1 :
1
τ
X (j · k) = A · ·
T (1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )
Prof.M.Etique
si
τ T
Traitement de Signal – 28 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’exponentielles décroissantes
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
f_sfour3_3.eps
■
τ
1
X (j · k) = A · ·
T (1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )
si
τ T
0.1
abs(X(jf))
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
6
fréquence [kHz]
7
8
9
10
0
angle(X(jf))
−20
−40
−60
−80
−100
Prof.M.Etique
f_sfour3_4.eps
Traitement de Signal – 28 / 42
■
X (j · k) = A ·
1
τ
·
T (1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )
si
τ T
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’exponentielles décroissantes
0.1
abs(X(jf))
0.08
0.06
0.04
0.02
0
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5
6
fréquence [kHz]
7
8
9
10
0
angle(X(jf))
−20
−40
−60
−80
−100
f_sfour3_4.eps
■
On trouve dans ce résultat la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1
A · Tτ
Y (j · ω)
=
H(j · ω) =
X(j · ω)
1+j·ω·τ
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 28 / 42
■
X (j · k) = A ·
1
τ
·
T (1 + j · 2 · π · k · f0 · τ )
si
τ T
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Suite d’exponentielles décroissantes
0
−10
A(f)
−20
−30
−40
−50
−60
−2
10
−1
10
0
1
10
10
2
3
10
10
f [Hz]
0
−20
φ(f)
−40
−60
−80
−100
−2
10
−1
10
0
1
10
10
2
3
10
10
f [Hz]
f_sfour3_8.eps
■
On trouve dans ce résultat la fonction de transfert d’un filtre passe-bas d’ordre 1
A · Tτ
Y (j · ω)
=
H(j · ω) =
X(j · ω)
1+j·ω·τ
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 28 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction des
signaux
Synthèse d’un
signal carré
Phénomène de
Gibbs
Importance de la
phase
Reconstruction des signaux
Quelques
théorèmes
importants
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 29 / 42
x (t) =
∞
X
k=−∞
Prof.M.Etique
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Synthèse d’un signal carré
Traitement de Signal – 30 / 42
x (t) =
∞
X
k=−∞
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Synthèse d’un signal carré
X (j · k) · e+j·2·π·k·f0 ·t
+N
∆t X sin (k · π · f0 · ∆t) +j·2·π·k·f0 ·t
·
·e
xN (t) = A ·
T
k · π · f0 · ∆t
k=−N
∆t
·
=A·
T
−1
X
sin (k · π · f0 · ∆t) +j·2·π·k·f0 ·t
·e
k · π · f0 · ∆t
k=−N
sin (0 · π · f0 · ∆t) +j·2·π·0·f0 ·t
·e
0 · π · f0 · ∆t
!
+N
X sin (k · π · f0 · ∆t)
· e+j·2·π·k·f0 ·t
+
k · π · f0 · ∆t
+
k=1
∆t
=A·
·
T
Prof.M.Etique
N
X
sin (k · π · f0 · ∆t)
k=1
k · π · f0 · ∆t
+1+
+N
X
k=1
· e−j·2·π·k·f0 ·t
!
sin (k · π · f0 · ∆t) +j·2·π·k·f0 ·t
·e
de Signal – 30 / 42
k · π · f0 ·Traitement
∆t
xN (t) = A ·
Prof.M.Etique
∆t
·
T
1+2·
+N
X
k=1
!
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Synthèse d’un signal carré
sin (k · π · f0 · ∆t)
· cos (2 · π · k · f0 · t)
k · π · f0 · ∆t
Traitement de Signal – 30 / 42
xN (t) = A ·
∆t
·
T
1+2·
+N
X
k=1
sin (k · π · f0 · ∆t)
· cos (2 · π · k · f0 · t)
k · π · f0 · ∆t
Dans le cas d’un signal carré, le rapport cyclique
s’annule pour k pair. Avec A = 1, il vient alors :
xN (t) =
!
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Synthèse d’un signal carré
∆t
T
vaut 0.5 et le sinus cardinal
1 2
2
2
+ ·cos (2 · π · f0 · t)−
·cos (6 · π · f0 · t)+
·cos (10 · π · f0 · t)+. . .
2 π
3·π
5·π
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 30 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Synthèse d’un signal carré
2
2
1 2
·cos (6 · π · f0 · t)+
·cos (10 · π · f0 · t)+. . .
xN (t) = + ·cos (2 · π · f0 · t)−
2 π
3·π
5·π
1.2
1.2
N=0
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
−0.2
−5
0
5
1.2
Prof.M.Etique
−0.2
−5
0
5
1.2
N=3
1
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
N=5
1
0.8
−0.2
−5
N=1
1
5
−0.2
−5
0
5
Traitement de Signal – 30 / 42
f_sfour2_4.eps
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Phénomène de Gibbs
Reconstruction d’un signal :
x(N ) (t) =
N
X
k=−N
= A0 +
X (j · k) · ej·2·π·k·f0 ·t
N
X
k=1
Prof.M.Etique
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
Traitement de Signal – 31 / 42
■
Reconstruction d’un signal :
x(N ) (t) =
N
X
k=−N
= A0 +
X (j · k) · ej·2·π·k·f0 ·t
N
X
k=1
■
■
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Phénomène de Gibbs
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
On remarque en général une convergence rapide vers le signal original au fur et à
mesure que N augmente
Cela n’est plus vrai lorsque le signal possède des discontinuités d’ordre 0 :
il apparaît alors, à l’endroit de la discontinuité, des oscillations que l’on désigne
sous le nom de phénomène de Gibbs
L’amplitude du dépassement dû à ces oscillations est égale au 9% de l’amplitude
de la discontinuité
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 31 / 42
x(N ) (t) =
N
X
k=−N
= A0 +
X (j · k) · ej·2·π·k·f0 ·t
N
X
k=1
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
1.2
1.2
x (t) avec
1
N=3
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
2
4
1.2
xN(t) avec
−2
0
2
4
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
2
N = 79
0.8
0.6
−2
xN(t) avec
1
N = 19
0.8
Prof.M.Etique
−0.2
−4
1.2
1
−0.2
−4
N
N=7
0.8
0.6
−2
x (t) avec
1
N
0.8
−0.2
−4
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Phénomène de Gibbs
4
−0.2
−4
−2
0
2
4
Traitement de Signal – 31 / 42
f_sfour2_5.eps
x(N ) (t) =
N
X
k=−N
= A0 +
X (j · k) · ej·2·π·k·f0 ·t
N
X
k=1
■
■
■
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Importance de la phase
Ak · cos (2 · π · k · f0 · t + αk )
Il est fréquent en traitement du signal de ne parler que des spectres d’amplitudes
et de délaisser quelque peu les spectres de phases
Cette attitude est due au fait que lors du filtrage de signaux audio, on se
contente de modifier le spectre d’amplitudes car l’oreille est peu sensible aux
distorsions de phase
Cependant, lorsque l’on désire conserver la forme d’un signal, en particulier dans
le cas du filtrage d’images, il est très important de ne pas négliger le spectre de
phases.
La phase contient une part importante de l’information concernant la forme d’un
signal
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 32 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Importance de la phase
original
Prof.M.Etique
module
phase
TF inverse du module
TF inverse de la phase
Traitement de Signal – 32 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction des
signaux
Quelques
théorèmes
importants
Théorème de la
puissance (dit de
Parseval)
Décalage temporel
Modulation
d’amplitude
Rotation d’un
signal autour de
son ordonnée
Quelques théorèmes importants
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 33 / 42
Définition de la puissance moyenne normalisée :
P =
Prof.M.Etique
1
·
T
Z
+ T2
− T2
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
2
x2 (t) · dt = Xeff
Traitement de Signal – 34 / 42
Définition de la puissance moyenne normalisée :
P =
■
■
1
·
T
Z
+ T2
− T2
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
2
x2 (t) · dt = Xeff
Cette définition coïncide avec celle du carré de la valeur efficace du signal x (t)
Les unités de la puissance normalisée ne s’expriment donc pas en [W], mais en
[V2 ] ou [A2 ] selon que le signal est une tension ou un courant électrique
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 34 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
Définition de la puissance moyenne normalisée :
P =
■
■
1
·
T
Z
+ T2
− T2
2
x2 (t) · dt = Xeff
Le théorème de Parseval affirme que la puissance normalisée d’un signal peut se
calculer aussi bien dans le domaine temporel que dans le domaine fréquentiel
Dans l’espace des fréquences, le signal x (t) est représenté par des générateurs
d’amplitude Ak −→ la puissance totale est égale à la somme des puissances
fournies par chaque générateur :
2
P = Xeff
∞
X
2
∞ ∞
X
X
A
1
√k
· A2k
=
Pk = A20 +
= A20 +
2
2
k=0
k=1
k=1
= Pdc + Pac
2
= X (0) +
∞
X
1
k=1
Prof.M.Etique
2
2
· (2 · |X (j · k)|) =
+∞
X
k=−∞
2
|X (j · k)|
Traitement de Signal – 34 / 42
On conclut que la puissance peut se calculer dans le domaine temporel ou dans le
domaine fréquentiel avec l’une ou l’autre des relations :
P =
1
·
T
Z
+ T2
− T2
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
x2 (t) · dt
∞
X
1
= A20 + ·
A2k
2
k=1
=
+∞
X
k=−∞
= X (0)2 + 2 ·
Prof.M.Etique
2
|X (j · k)|
+∞
X
k=1
|X (j · k)|2
Traitement de Signal – 34 / 42
De
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
∞
X
1
A2k
P = A20 + ·
2
k=1
découle le résultat important :
2
2
2
Xeff
= Xdc
+ Xac
Le carré de la valeur efficace d’un signal est égal à la somme des
carrés des valeurs efficaces de chacune de ses composantes.
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 34 / 42
X(jk)
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
A ∆t/T
1/T = f0
f = k f0
0
-1/∆t
■
+1/∆t
Le premier lobe du spectre d’une SIR contient environ le 90% de la puissance
totale du signal
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 34 / 42
■
Les puissances des trois signaux les plus usuels que sont le carré, le sinus et le
triangle d’amplitude A et à valeur moyenne nulle sont par exemple :
x (t) = A · sqr(2 · π · f · t)
x (t) = A · sin (2 · π · f · t)
x (t) = A · tri(2 · π · f · t)
Prof.M.Etique
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Théorème de la puissance (dit de Parseval)
A2
=⇒P =
1
A2
=⇒P =
2
A2
=⇒P =
3
Traitement de Signal – 34 / 42
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Décalage temporel
Il est fréquent en analyse des signaux de devoir décaler temporellement un signal
x (t)
On obtient alors
y (t) = x (t + td )
Ce décalage td peut être positif (signal avancé) ou négatif (signal retardé).
x(t)
x(t+t1)
x(t-t1)
td > 0
t
-t1
Prof.M.Etique
0
+t1
td < 0
t
t
-t1
0
0
+t1
Traitement de Signal – 35 / 42
■
On montre alors qu’entre les espaces temps et fréquences, il existe la relation
suivante :
y (t) = x (t + td )
■
⇐⇒
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Décalage temporel
Y (j · k) = e+j·2·π·k·f0 ·td · X (j · k)
Comme le module du phaseur e+j·2·π·k·f0 ·td vaut toujours un, il s’ensuit que seul
le spectre de phases est modifié par un décalage temporel. On a donc :
|Y (j · k)| = |X (j · k)|
βk = αk + 2 · π · k · f0 · td
À un décalage temporel correspond une phase variant linéairement
avec la fréquence.
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 35 / 42
■
En télécommunications, on émet souvent des signaux dont le spectre a été
déplacé dans un spectre de fréquences permettant la transmission par ondes
électromagnétiques
x (t) = m(t) · p(t)
| {z } |{z}
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Modulation d’amplitude
message porteuse
Si p(t) est de type sinus, on peut écrire :
e+j·2·πfp t + e−j·2·πfp t
cos (2 · π · fp · t) =
2
Généralisation : multiplication par un phaseur
x (t) = m (t) · p (t) = m (t) · e±j·2·πfp ·t
On peut alors montrer :
x (t) = e±j·2·π·fp ·t · m (t) ⇐⇒ X (j · k) = M (j · (k · f0 ∓ fp ))
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 36 / 42
Modulation d’amplitude
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Modulation d’amplitude
Spectres
1
|M(jf)|
m(t)
0.4
0.5
0
0
1
2
0.2
0
−20
3
−10
0
10
20
−10
0
10
20
−10
0
fréquence
10
20
1
0.4
|P(jf)|
p(t)
0.5
0
0.2
−0.5
−1
0
1
2
0
−20
3
1
0.4
|X(jf)|
x(t)
0.5
0
0.2
−0.5
−1
0
1
2
temps
3
0
−20
f_sfmodulat_2.eps
À une multiplication par un phaseur dans le domaine temporel
correspond un décalage dans l’espace des fréquences
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 36 / 42
■
La rotation d’un signal autour de son ordonnée est décrite par :
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Rotation d’un signal autour de son ordonnée
y (t) = x (−t)
■
On montre que
y (t) = x (−t) ⇐⇒ Y (j · k) = X (−j · k) = X ∗ (j · k)
À une rotation du signal temporel autour de l’ordonnée
correspond le conjugué complexe dans le domaine fréquentiel.
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 37 / 42
Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantes
décrite par
t
si
0≤t<T
x (t)|T = A · e+ τ
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Rotation d’un signal autour de son ordonnée
son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentielles
décroissantes
t
si
0≤t<T
xo (t)|T = A · e− τ
Prof.M.Etique
Traitement de Signal – 37 / 42
Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantes
décrite par
t
si
0≤t<T
x (t)|T = A · e+ τ
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Rotation d’un signal autour de son ordonnée
son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentielles
décroissantes
t
si
0≤t<T
xo (t)|T = A · e− τ
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
f_sfour3_3.eps
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Traitement de Signal – 37 / 42
Par exemple, si l’on s’intéresse à une suite périodique d’exponentielles croissantes
décrite par
t
si
0≤t<T
x (t)|T = A · e+ τ
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Rotation d’un signal autour de son ordonnée
son spectre se calcule aisément à partir de celui de la suite d’exponentielles
décroissantes
t
si
0≤t<T
xo (t)|T = A · e− τ
τ
1
Xo (j · k) = A · ·
T 1 + j · 2 · π · k · f0 · τ
si
τ T
On voit en effet que l’on a
x (t) = xo (−t)
donc
X (j · k) = Xo (−j · k) = A ·
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1
τ
·
T 1 − j · 2 · π · k · f0 τ
si
τ T
Traitement de Signal – 37 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction des
signaux
Quelques
théorèmes
importants
Réponse d’un système linéaire
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
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Traitement de Signal – 38 / 42
■
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Réponse d’un système linéaire
Filtre de fonction de réponse fréquentielle G (j · ω) soumis à une SIR
x(t) périodique =⇒ y(t) périodique
Y (j · k) = X (j · k) · G (j · ω)|ω=2·π·k·f0
x(t)
y(t)
x(t)
t
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G(jω)
y(t)
t
Traitement de Signal – 39 / 42
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Réponse d’un système linéaire
x(t) périodique =⇒ y(t) périodique
Y (j · k) = X (j · k) · G (j · ω)|ω=2·π·k·f0
■
Les systèmes linéaires conservent la fréquence des signaux appliqués
|X(jk)|
|G(jf)|
|Y(jk)|
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
2
4
6
8
10
12
fréquence [Hz]
14
16
18
20
f_sfour3_7.eps
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Traitement de Signal – 39 / 42
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Introduction
Analyse des
signaux
périodiques
Séries de Fourier
Suite d’impulsions
Reconstruction des
signaux
Quelques
théorèmes
importants
Réponse d’un système non-linéaire
Réponse d’un
système linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Réponse d’un
système
non-linéaire
Distorsion due à
une diode
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Traitement de Signal – 40 / 42
■
■
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Réponse d’un système non-linéaire
La caractéristique remarquable des systèmes non-linéaires est de déformer les
signaux sinusoïdaux
Le signal de sortie d’un système non-linéaire qui serait ainsi soumis à une entrée
sinusoïdale pure est donc, tout en restant périodique, non-sinusoïdal
Le spectre du signal de sortie est constitué d’un grand nombre de raies spectrales,
alors qu’à l’entrée il n’y avait qu’une seule raie
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Traitement de Signal – 41 / 42
■
■
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Réponse d’un système non-linéaire
La caractéristique remarquable des systèmes non-linéaires est de déformer les
signaux sinusoïdaux
Le signal de sortie d’un système non-linéaire qui serait ainsi soumis à une entrée
sinusoïdale pure est donc, tout en restant périodique, non-sinusoïdal
Le spectre du signal de sortie est constitué d’un grand nombre de raies spectrales,
alors qu’à l’entrée il n’y avait qu’une seule raie
■
On mesure cette déformation à l’aide du taux de distorsion harmonique (TDH).
s
Xeff (k > 1)
X(2)2 + X(3)2 + X(4)2 + . . .
T DH =
=
2
Xeff (k = 1)
X(1)
■
Le TDH est défini comme le rapport de la valeur efficace des harmoniques d’ordre
supérieur à 1 avec la valeur efficace du premier harmonique
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Traitement de Signal – 41 / 42
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Automatisation
in d u s t r i e l l e
Distorsion due à une diode
i(t)
∆(t)
uD(t)
U0
u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)
U
D
ID = IS · e n·VT − 1
(Loi exponentielle)
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Automatisation
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Distorsion due à une diode
i(t)
∆(t)
uD(t)
U0
u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)
U
D
ID = IS · e n·VT − 1
U0 = 0.5 [V] A = 0.05 [V] f0 = 100 [Hz]
IS = 10 [pA] n = 1
VT = 26 [mV]
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Distorsion due à une diode
i(t)
∆(t)
uD(t)
U0
u (t) = U0 + ∆u (t) = U0 + A · sin (2 · π · f0 · t)
U
D
ID = IS · e n·VT − 1
1.
2.
3.
4.
Calcul de I0 , Imax et Imin
Esquisse de u (t) et i (t)
Calcul de U (j · k) et I (j · k)
Calcul le TDH du courant
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Traitement de Signal – 42 / 42
■
Le calcul de I0 , Imax et Imin se fait
application numérique de
Upar simple
D
n·VT
−1 :
l’équation de la diode ID = IS · e
1. Courant au point de fonctionnement
2. Valeur maximum
3. Valeur minimum
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Automatisation
in d u s t r i e l l e
Distorsion due à une diode
I0 = 2.54 [mA]
Imax = 17.2 [mA]
Imin = 0.36 [mA]
Traitement de Signal – 42 / 42
■
in s t i t u t d '
Automatisation
in d u s t r i e l l e
Distorsion due à une diode
La simulation temporelle avec Spice donne :
On y voit que la variation sinusoïdale de la tension u(t) de la diode (50 [mV])
autour du point de fonctionnement (500 [mV]) entraîne une variation non
sinusoïdale du courant i(t) caractérisé par les valeurs calculées
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Traitement de Signal – 42 / 42
■
L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :
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Automatisation
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Distorsion due à une diode
1. La tension de la diode ne contient que 2 raies spectrales :
(a) La composante DC :
(b) La composante AC :
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Udc = 0.5 [V]
U1 = 50 [mV]
Traitement de Signal – 42 / 42
■
L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :
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Distorsion due à une diode
2. Le courant non sinusoïdal est composé d’un grand nombre de raies spectrales
dont les 10 premières sont les plus significatives. On y trouve en particulier
(a) La composante DC :
(b) La composante fondamentale :
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Idc = 5.41 [mA]
I1 = 7.43 [mA]
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■
L’analyse spectrale obtenue par FFT (Fast Fourier Transform) donne :
■
Calcul du taux de distorsion :
s
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Distorsion due à une diode
Xeff (k > 1)
X(2)2 + X(3)2 + X(4)2 + . . .
=
T DH =
2
Xeff (k = 1)
X(1)
r
3.142 + 0.942 + 0.222 + 0.0412 + 0.00652 + . . .
=
7.432
= 44%
= forte déformation !
Traitement de Signal – 42 / 42