prog mathssecondcycle-3

PREFACE
Le SŽnŽgal a hŽritŽ de lÕŽpoque dÕavant indŽpendance une certaine forme
dÕŽcriture des programmes pŽdagogiques, forme qui a consistŽ ˆ lister les mati•res
(contenus) sans que lÕon sache, de mani•re explicite, les compŽtences ˆ installer
chez lÕapprenantÊ: enseigner Žtait alors essentiellement un art fondŽ sur la
divination des intentions.
CÕest ainsi que les mŽthodes expositives ont longtemps prŽvalu dans notre
syst•me Žducatif, en privilŽgiant lÕenseignement au dŽtriment de lÕapprentissage.
Se rŽfŽrant ˆ lÕŽvolution des sciences de lÕŽducation, la Commission Nationale de
RŽforme de lÕEducation et de la Formation ( CNREF) a recommandŽ une autre
forme dÕŽcriture du programme pŽdagogique, qui sÕappuie sur lÕexplicitation des
intentions pŽdagogiques. Cette nouvelle approche devrait permettre une
Žvaluation plus valide et plus transparente des apprentissages. CÕest dans cette
perspective que les programmes entrŽs en vigueur depuis octobre 2000 ont ŽtŽ
ŽlaborŽs.
Ce travail de rŽnovation a ŽtŽ entrepris avec dŽtermination et abnŽgation par les
diffŽrentes commissions spŽcialisŽes. Celles-ci viennent dÕachever un processus
de consolidation des programmes de 2000 sur la base des enseignements tirŽs des
sŽminaires et ateliers de mise en Ïuvre et dÕŽvaluation.
Je profite de lÕintroduction de ces programmes pŽdagogiques opŽrationnels
consolidŽs pour remercier tr•s sinc•rement les membres des commissions
nationales pour le travail remarquable qui a ŽtŽ accompli. Ils nous permettent de
mettre, aujourdÕhui , ˆ la disposition des enseignants, des outils indispensables ˆ
lÕamŽlioration qualitative de notre syst•me Žducatif, en visant deux objectifs
majeursÊ: la pertinence scientifique et lÕefficacitŽ pŽdagogique.
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
1
SOMMAIRE
Programme seconde S
ActivitŽs GŽomŽtriques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ.. P. 7
ActivitŽs NumŽriques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 16
Statistiques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ P. 21
Programme Premi•res S1 et S3
ActivitŽs GŽomŽtriques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ.. P. 25
DŽnombrement ÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 29
Statistiques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ.. P.30
TrigonomŽtrie ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 31
Alg•bre ÉÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 32
Analyse ÉÉ. ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 33
Programme Premi•res S2 et S4
Analyse ÉÉ. ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 41
DŽnombrement ÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 48
Statistiques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ P. 49
Alg•bre ÉÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 49
GŽomŽtrie.ÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 51
Programme Terminales S1 et S3
ProbabilitŽs ÉÉÉÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉ.ÉÉ.. P. 59
Alg•bre ÉÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 60
Analyse ÉÉ. ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 62
GŽomŽtrie.ÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 67
Programme Terminales S1 et S3
Analyse ÉÉ. ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 73
Statistiques ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ P. 78
Alg•bre et GŽomŽtrie ....ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ. P. 79
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
3
Programme Seconde L
Alg•bre ÉÉÉÉÉÉÉ...ÉÉÉÉÉÉÉÉ.ÉÉ P. 83
Programme Premi•re L
Alg•bre ÉÉÉÉÉÉÉ.ÉÉ.ÉÉÉÉÉÉÉ..É.. P. 89
Analyse ÉÉ. ÉÉÉÉÉÉÉ.ÉÉÉÉÉÉÉ..É. P. 89
Statistiques ÉÉÉÉÉÉÉ.ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ... P. 94
DŽnombrement ÉÉÉ..ÉÉ.ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ.... P. 94
Programme Terminale L
Alg•bre ÉÉÉÉÉ.É..ÉÉÉÉÉÉÉÉÉ...ÉÉ. P. 96
ProbabilitŽs ÉÉÉÉÉÉÉÉ..ÉÉÉÉÉ..É...É.. P. 96
Statistiques ÉÉÉÉÉÉÉ.ÉÉÉ...ÉÉÉÉÉÉ. P. 97
Analyse ÉÉ. ÉÉÉÉÉÉÉÉÉÉ.É..ÉÉÉ..É. P. 97
4
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
SCONDE S
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
5
INTRODUCTION GENERALE
1)Ê Ce programme est destinŽ aux classes de seconde de la sŽrie S. L'horaire
hebdomadaire est de 5 heures. Le professeur trouvera la meilleure rŽpartition horaire
pour mener ˆ bien les diffŽrentes parties du programme.
La classe de seconde est une classe de consolidation des acquis du premier cycle et
prŽpare ˆ l'enseignement plus structurŽ des classes ultŽrieures. Ë cet effet on
continuera ˆ former les Žl•ves au raisonnement, ˆ la ma”trise des outils et des
mŽthodes rencontrŽs, tout en leur permettant d'acquŽrir progressivement une certaine
autonomie.
La rŽsolution de probl•mes reste, comme au premier cycle, un objectif majeur de ce
programme. Ces probl•mes offriront l'occasion d'un travail interdisciplinaire
bŽnŽfique pour un dŽveloppement du savoir unitaire de l'Žl•ve. Tout en les menant de
front, le professeur s'efforcera de dŽcloisonner les activitŽs numŽriques et
gŽomŽtriques en proposant des th•mes adŽquats.
Les nouveaux concepts seront introduits autant que possible par des activitŽs
motivantes pour l'Žl•ve. La rigueur et la prŽcision nŽcessaires ˆ une notion
s'adapteront au niveau des connaissances des Žl•ves. On Žvitera d'introduire un
vocabulaire superflu. Un concept arrivŽ ˆ maturitŽ (la rotation par exemple) sera
dŽfini de mani•re prŽcise.
2)ÊLa pratique de la gŽomŽtrie doit contribuer ˆ dŽvelopper le sens de l'observation et
du raisonnement et ˆ donner une bonne vision des objets du plan et de l'espace.
En gŽomŽtrie plane, l'objectif essentiel du programme est l'utilisation des outils
vectoriel, analytique, mŽtrique et des transformations. Elle se fera dans des exercices
variŽs de calculs, de dŽmonstrations, de recherches de lieux gŽomŽtriques et de
constructions gŽomŽtriques. L'Žtude des configurations planes sera poursuivie.
Pour la gŽomŽtrie de l'espace, on passe ˆ un niveau modeste d'Žlaboration apr•s
l'approche expŽrimentale qui en a ŽtŽ faite au premier cycle. Ë ce propos, tout
dŽveloppement axiomatique est ˆ Žviter.
3)ÊConcernant les activitŽs numŽriques, on am•nera l'Žl•ve ˆ ma”triser les mŽthodes
de calcul et ˆ les rŽinvestir dans des situations variŽes.
La calculatrice scientifique y est fortement conseillŽe.
4)ÊOn entra”nera les Žl•ves, dans leur formation ˆ la dŽmarche mathŽmatique, ˆ
l'utilisation de quelques procŽdŽs de raisonnement logique (syllogisme, contraposŽe,
raisonnement par l'absurde) dans des exercices simples selon les besoins. Le
maniement correct des symboles de l'Žquivalence et de l'implication sera encouragŽ,
cependant on Žvitera l'utilisation abusive des quantificateurs.
5)ÊLes diffŽrentes parties du programme seront traitŽes en interrelation.
6
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
ACTIVITƒS GƒOMƒTRIQUES.
Les activités géométriques ont pour objet :
• de familiariser l'élève avec les outils géométriques par leur utilisation dans
la résolution de problèmes de géométrie plane
• d'entraîner l’élève à construire un raisonnement de géométrie dans l'espace
à partir de propriétés de base issues de l'observation initiée au premier
cycle.
Les notions d'espace vectoriel, d'applications linéaire et bilinéaire ne sont pas au
programme de seconde.
A) GƒOMƒTRIE PLANE.
Contenus
Commentaires
CompŽtences exigibles
I. CALCUL VECTORIEL.
Les élèves manipulent les vecteurs depuis la 4ème. Il n'est donc pas question dans ce
chapitre de faire des activités d'introduction du vecteur, encore moins d'en proposer
une définition.
Le professeur fera rapidement le point des connaissances de l'élève à partir
d'activités bien choisies. Il renforcera ces acquis avec la notion de combinaisons
linéaires.
Le professeur évitera tout abus de calcul analytique ou vectoriel formel. Il
s'efforcera plutôt à exercer les élèves à l'utilisation de l'outil vectoriel pour les
démonstrations et la résolution des problèmes de géométrie.
1) Consolidation
¥ On montrera l'utilitŽ de
¥Construire une combinaison
des connaissances
l'outil vectoriel dans d'autres linŽaire de vecteurs.
du 1er cycle sur les disciplines.
¥DŽcomposer un vecteur ˆ
vecteursÊ:
¥ On utilisera des
lÕaide de la relation de Chasles.
§ ŽgalitŽ
combinaisons linŽaires de
¥ Passer de la relation
§ addition
vecteurs sans en donner la
vectorielle AC = λ.AB ˆ la
§ multiplication dŽfinition. Elles permettront
relation algŽbrique
d'un vecteur
en particulier de faire des
par un rŽel
dŽcompositions de vecteurs. AC = λ .AB.
§ colinŽaritŽ
¥ Utiliser les relations
vectorielles pour dŽmontrer des
propriŽtŽs gŽomŽtriques
(distance, alignement, milieu,
parallŽlisme).
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
7
Contenus
2) Barycentre.
Barycentre de deux, trois
points pondŽrŽs.
¥ dŽfinition.
¥ propriŽtŽs
(commutativitŽ,
associativitŽ,
homogŽnŽitŽ)
II. REPéRAGE
CARTƒSIEN.
a) RepŽrage sur une
droiteÊ: abscisse
dÕun point, mesure
algŽbrique
b) Version algébrique
du théorème de
Thalès
c) RepŽrage cartŽsienÊ:
• rep•re quelconque
du plan.
• coordonnŽes du
barycentre.
• Changement de
repère par
translation.
d) ColinŽaritŽ de deux
vecteursÊ:
• condition de
colinŽaritŽ.
• dŽterminant de deux
vecteurs.
e) ƒquations de
droitesÊ:
• vecteur directeur.
• Žquation gŽnŽrale,
Žquation rŽduite.
• Žquations
paramŽtriques.
8
Commentaires
¥ LÕintroduction du
barycentre peut se faire en
relation avec la physique ou
des situations de la vie
courante.
¥ On fera la rŽduction du
vecteurÊ:
CompŽtences exigibles
¥ Connaître le barycentre
de 2 ou 3 points et savoir
utiliser les propriétés.
¥ Construire le barycentre
de 2 points ou 3 points.
V = α MA + β MB + γ MC
¥La mesure algŽbrique dÕun
bipoint (A,B) est Žgalement
appelŽe mesure algŽbrique
¥ Conna”tre la dŽfinition de
rep•re cartŽsien et de
mesure algŽbrique.
du vecteur AB .
¥On consolidera et on
Žlargira les connaissances
¥Retrouver et utiliser les
du 1er cycle.
formules de changement
¥ Le changement de rep•re
sera utilisŽ lors de lÕŽtude et dÕorigine
la repprŽsentation de
fonctions numŽriques.
¥Utiliser le dŽterminant
pour Žtudier la colinŽaritŽ.
¥ On dŽmontrera la
condition de colinŽaritŽ
¥ Le dŽterminant est utilisŽ
comme un outil de calcul.
¥Construire une droite
connaissant un point et un
vecteur directeur, un point
et un coefficient directeur
¥La dŽtermination dÕune
Žquation cartŽsienne ˆ partir
dÕun syst•me dÕŽquations
paramŽtriques, et
inversement, est exigible.
¥DŽterminer lÕŽquation
cartŽsienne dÕune droite
connaissant un vecteur
directeur et un point de
cette droite.
¥ Donner le syst•me
dÕŽquations paramŽtriques
dÕune droite.
¥ Reconna”tre quÕun
syst•me dÕŽquations
paramŽtriques est celui
dÕune droite.
¥DŽterminer une Žquation
cartŽsienne dÕune droite ˆ
partir dÕun syst•me
dÕŽquations paramŽtriques
et inversement.
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
Contenus
III. ANGLES
ET TRIGONOMƒTRIE.
1) Rappels et
complŽments sur les
angles gŽomŽtriques
a) Longueur d'un arc.
b) DŽfinition du radian.
Conversion de degrŽs
en radians et
inversement.
c) Angle inscrit, angle
au centre.
d) Quadrilat•res
inscriptibles.
2) Orientation du plan.
a) Orientation : sens
direct, sens rŽtrograde
(indirect).
b) Angle orientŽ de
deux demi-droites de
m•me origineÊ:
dŽfinition.
mesure principale.
c) Angle de deux
vecteurs :
dŽfinition, mesure
principale.
Commentaires
¥ On revoit et on compl•te les
notions d'angle gŽomŽtrique,
d'angle au centre et d'angle
inscrit par l'angle formŽ par
une tangente et une corde
passant par le point de
contact.
¥ Les angles inscrits et angles
au centre seront traitŽs sous
forme d'exercices.
¥ L'introduction de ce nouvel
outil doit se faire en évitant
toute approche théorique,
l'objectif sera de faire
découvrir les angles orientés
en montrant l'insuffisance des
angles géométriques pour
résoudre certains problèmes.
L'objectif sera également de
donner une bonne
comprŽhension de
l'orientation(cercle, plan,
angle ).
¥Pour la recherche de la
mesure principale, on se
limitera ˆ des cas simples
nÕutilisant que le rapporteur et
lÕorientation..
¥L'addition des mesures
pourra •tre abordŽe de fa•on
intuitive pour rŽsoudre des
probl•me d'angles
complŽmentaires et d'angles
supplŽmentaires.
¥ On gŽnŽralisera les
dŽfinitions et les relations
dans le cadre des angles
orientŽs ( en particulier les
notions d'angles
complŽmentaires et
supplŽmentaires ).
CompŽtences exigibles
¥Conna”tre la dŽfinition
du radian.
¥ Calculer la longueur
d'un arc.
¥ Convertir les degrŽs en
radians et inversement
¥ DŽmontrer qu'un
quadrilat•re est
inscriptible dans un
cercle.
¥Reconna”tre sur un
dessin codŽ un angle
orientŽ de demi-droites
ou de vecteurs.
¥Construire un angle de
demi-droites ou de
vecteurs connaissant sa
mesure principale.
¥DŽterminer la mesure
principale d'un angle
orientŽ
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
9
Contenus
3) Lignes
trigonomŽtriques
a) DŽfinition du cercle
trigonomŽtrique.
b) DŽfinitions du
sinus, du cosinus et de
la tangente d'un angle
orientŽ.
c) Relations
trigonomŽtriques :
• relation
fondamentale
cos2x + sin2x = 1
• relations entre les
lignes
trigonométriques des
angles
complémentaires,
opposés,
supplémentaires
d) étude du signe du
sinus et du cosinus
dans les quatre
quadrants.
10
Commentaires
¥ Le cosinus, le sinus et la
tangente ont ŽtŽ introduits
dans le triangle rectangle
pour des angles
gŽomŽtriques aigus; il
s'agira de prolonger ces
notions dans le cercle
trigonomŽtrique.
¥ On s'aidera des
configurations liŽes au
cercle trigonomŽtrique.
¥ L'usage de la
calculatrice est conseillŽ
pour dŽterminer les
valeurs approchŽes des
lignes trigonomŽtriques
d'un angle donnŽ.
CompŽtences exigibles
¥ Conna”tre la dŽfinition
du cercle
trigonomŽtrique.
¥ DŽterminer cosx , sinx,
tanx (x étant la mesure
principale d’un angle
orienté). En utilisant les
angles remarquables, les
angles associŽs, la
calculatrice.
¥ Utiliser les
configurations du cercle
trigonomŽtrique
¥ Conna”tre et utiliser la
relation fondamentale
cos2x + sin2x = 1.
¥ Conna”tre les relations
entre les lignes
trigonomŽtriques des
angles opposŽs, des
angles complŽmentaires,
des angles
supplŽmentaires.
¥ Etudier le signe du
cosinus et du sinus d’un
angle orienté connaissant
sa mesure principale.
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
Contenus
Commentaires
IV) PRODUIT SCALAIRE.
1) Définition
A, B et C sont trois points du plan,
le produit scalaire de AB et AC
est le réel noté AB. AC , tel que :
si A=B, AB. AC = 0
si A ≠ B, AB.AC = ABxAH où H
est le projeté orthogonal de C sur
(AB).
2) Propriétés
a) Carré scalaire
b) Autre expression :
AB.AC = AB × AC cos( AB, AC )
c) Règles de calcul
U .V =V . U
(
)
U.V + W = U . V + U . W
( )
(
U . λV = λ U . V
)
U . 0 = 0 , On établira les
identités remarquables
concernant :
(U + V ) 2 ; (U − V ) 2 et
(U + V ) (U − V )
¥ Le produit scalaire est
un outil pour dŽmontrer
des propriŽtŽs, calculer
des distances et des
mesures d'angles,
rŽsoudre des probl•mes
d'orthogonalitŽÉ
¥ Le produit scalaire sera
introduit sans faire
allusion aux propriŽtŽs
des formes bilinŽaires.
¥ On pourra, en exercice,
Žtablir l'inŽgalitŽ de
Schwarz :
U.V
≤ U . V
et l'utiliser pour
dŽmontrer l'inŽgalitŽ
triangulaire.
CompŽtences
exigibles
¥ Conna”tre les
dŽfinitions du
produit scalaire, de la
norme et de
l'orthogonalitŽ de
vecteurs.
Utiliser le produit
scalaire de vecteurs
pour
¥calculer des
distances et des
normes.
¥dŽvelopper des
expressions
vectorielles.
¥dŽterminer des
mesures d'angle
gŽomŽtrique.
¥Žtablir des relations
mŽtriques dans un
triangle rectangle.
¥dŽmontrer des
propriŽtŽs
gŽomŽtriques
(alignement,
parallŽlisme,
orthogonalitŽ ).
3) Norme.
a) DŽfinition.
b) PropriŽtŽs :
U =0
⇔U
= 0, λU = λ U
o• λ est un rŽel.
U
+ V
≤
U
+
V
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
11
Contenus
4) OrthogonalitŽ.
a) DŽfinition : vecteurs
orthogonaux, vecteur
normal ˆ une droite.
Commentaires
CompŽtences exigibles
¥On Žtudiera le cas
particulier de la
mŽdiatrice.
On Žtablira ces Žquations ˆ
partir des relations :
¥DŽterminer une
Žquation de droite
connaissant un point de
cette droite et un vecteur
normal ˆ cette droite.
b) ThŽor•me de Pythagore
et sa rŽciproque.
(U + V ) =
2
(U
U
2
+
V
2
⇔
⊥ V)
5) Expressions analytiques.
a) Produit scalaire.
b) Norme.
c) Distance de deux points.
d) ƒquation cartŽsienne
d'une droite dŽfinie par un
vecteur normal ˆ cette
droite et un point de cette
droite.
e) Equation cartŽsienne du
cercle.
f) Distance dÕun point ˆ une
droite.
6) Relations mŽtriques.
ABC Žtant un triangle
rectangle en A; H le pied de
la hauteur issue de A on a :
AB2 + AC2 =BC2 ;
AB2 = BC.BH ;
AC2 = CB.CH
MA . MB = 0 ou
OM2 =R2.
La distance du point A ˆ la
droite (D) est donnŽe par
la formule
d{A,(D)} =
¥DŽterminer une
Žquation de cercle.
aα+ bβ+c
,
a 2 + b2
A (α _β) ;
(D) : ax + by + c = 0
¥ Retrouver et utiliser
chacune de ces
formules.
AH2 = - HB.HC Ê;
AB.AC = BC.AH
12
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
Contenus
V)
TRANSFORMATIONS.
a) Rappels :
• translation.
• symŽtrie
centrale.
• symŽtrie
orthogonale.
b) HomothŽtie.
• dŽfinition.
• propriŽtŽs.
• Thal•s.
c) RotationÊ:
• dŽfinition.
• propriŽtŽs.
d) Composition
des
transformationsÊ:
• homothŽtie
de m•me
centre.
• homothŽtie
et
translation.
• symŽtries.
e) exemples
d'Žtude de lieux
gŽomŽtriques.
Commentaires
¥ On consolidera les acquis du
1er cycle; ce sera l'occasion:
- d'introduire la bijection et
la bijection rŽciproque
sans parler d'injection et
de surjection
- de justifier l'usage du
vocabulaireÊ:
transformation.. La
projection orthogonale
sera donnŽe comme
contre-exemple de
transformation.
¥ On entra”nera les Žl•ves ˆ
utiliser les transformations
dans des exercices de
constructions gŽomŽtriques et
de dŽmonstrations.
¥ On Žtudiera l'effet de chaque
transformation sur les angles
orientŽs.
¥ On fera de nombreuses
activitŽs de construction et on
verra le thŽor•me de Thal•s
sous sa forme vectorielle.
¥ En plus des propriŽtŽs vues
au 1er cycle, on mettra en
Žvidence l'ŽgalitŽ entre l'angle
de rotation et l'angle
dŽterminŽ par un vecteur et
"son image", sans le
dŽmontrer.
¥ On introduira le symbole
"o", le mot "composŽ" et la
notation
"(fog)(M)= f[g(M)]".
¥ On Žvitera les compositions
faisant intervenir des
rotations.
CompŽtences exigibles
¥ Conna”tre le vocabulaire suivant :
bijection, composition
transformation.
¥Construire par chacune des
transformations ŽtudiŽes l'image
d'un point, d'un segment, d'une
demi-droite, d'une droite, d'un
cercle et dÕune figure simple.
¥ Conna”tre et reconna”tre les
configurations liŽes aux propriŽtŽs
des transformations ŽtudiŽes
concerrnant :
les distances, l'alignement, le
milieu , le parallŽlisme ,
l'orthogonalitŽ, l'intersection.
¥ Reconna”tre et trouver les
ŽlŽments caractŽristiques des
transformations ŽtudiŽes.
¥DŽterminer une homothŽtie par :
− le centre, un point et son
image.
− deux points et leurs
images.
¥ DŽterminer analytiquement une
translation et une symŽtrie centrale
et une homhŽtie.
¥Conna”tre et utiliser les propriŽtŽs
des transformations ŽtudiŽes pourÊ:
− dŽmontrerÊ: l'ŽgalitŽ de
longueurs, l'égalité de
mesures d'angles,
l'alignement de points, le
parallélisme de droites et
l'orthogonalité de
droites.
− Justifier une construction
− Construire une figure
− Déterminer des lieux
géométriques
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
13
B) GƒOMƒTRIE DANS L'ESPACE.
Le programme de seconde reprend et complète les notions vues de la 6 ème à la 3ème ; ces
notions ont été introduites par des manipulations et des observations de solides simples.
Cet approfondissement sera construit de façon rigoureuse et dégagera les propriétés
essentielles pour la poursuite des études en 1er et en terminale.
Contenus
1. ReprŽsentation de
l'espace.
R•gles de perspective
cavali•re.
2. Positions relatives de
droites et de plans dans
l'espace.
a) Rappels et
approfondissement du
programme du 1er cycle :
• propriŽtŽs de base
• positions relatives de
plans.
• positions relatives de
droites et de plans.
• positions relatives de
droites.
b) Applications aux
intersections de prismes et
de pyramides avec des
plans.
Commentaires
Les propriŽtŽs de base
comprennent les axiomes vus
dans le 1) cycle et les
thŽor•mes admis suivants :
Un plan (P) et un point A Žtant
donnŽs :
− Il existe un plan unique
parall•le ˆ (P) et
passant par A.
− Il existe une droite
unique orthogonale ˆ
(P) et passant par A.
Une droite (D) et un point A
Žtant donnŽs :
Il existe un plan unique
perpendiculaire ˆ (D) et passant
par A.
CompŽtences exigibles
Conna”tre les r•gles de
perspective cavali•re.
ReprŽsenter en
perspective cavali•re
des solides de
l'espace.(cube,pyramide,
prisme,cylindre,c™ne)
Extraire une figure
plane d'une figure de
l'espace (faire une
coupe) pour utiliser un
raisonnement de
gŽomŽtrie plane dans
l'espace.
Conna”tre les propriŽtŽs
de base.
− DŽmontrer que :
deux plans sont
perpendiculaires ou
parall•les
− un plan et une
droite sont
parall•les ou
perpendiculaires
− deux droites
sont parall•les
ou
orthogonales.
¥ DŽterminer
l'intersection de certains
solides usuels avec un
plan.
14
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
Contenus
3) OrthogonalitŽ dans
l'espace.
a) Droite et plan
perpendiculaires.
b) Plans perpendiculaires.
c) Droites orthogonales.
Commentaires
CompŽtences exigibles
Cette partie donnera l'occasion ¥ Montrer que deux droites
sont non coplanaires
d'entra”ner les Žl•ves au
raisonnement sur les objets de
l'espace. Les ŽnoncŽs des
propriŽtŽs vues au 1er cycle
seront formalisŽs.
L'Žtude des vecteurs de
l'espace est hors programme.
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
15
ACTIVITƒS NUMƒRIQUES.
Ces activitŽs sont ˆ pratiquer en relation avec les autres parties du programme. On
tiendra compte de leur utilisation dans les autres disciplines
Il s'agit de consolider et de renforcer les acquis du coll•ge. L'interprŽtation
graphique et la valeur approchŽe constituent entre autres des notions importantes.
La calculatrice devient un instrument de travail indispensable.
Contenus
Commentaires
I) CALCUL DANS IR.. ¥ Le calcul numŽrique ne
a) Puissance d'un rŽel.
doit pas constituer un
objectif en soi .
¥ L'Žl•ve devra savoir
b) Calcul avec les
utiliser les radicaux dans des
radicaux.
situations diverses
(comparaison de rŽels,
rŽduction d'expressions,
substitution d'une valeur
numŽrique dans une
c) Valeur absolue.
expression...)
¥La valeur absolue non
introduite formellement au
d) Distance sur une
1er cycle sera ŽtudiŽe
comme un outil de
droite.
rŽsolution de probl•mes; les
Žl•ves doivent en particulier
savoir rŽsoudre :
ax+b = cx + d ; x−a ≤ b
II) INTERVALLES
ET CALCUL
APPROCHƒ.
a) Intervalles de IR
bornŽs ou non bornŽs ;
centre et rayon d'un
intervalle.
b) Approximation
dŽcimale d'un rŽel.
c) Encadrement et
opŽrations.
d) Ordre de grandeur,
partie enti•re, arrondi,
valeur approchŽe.
e) Notion d'incertitude.
16
¥ Les exercices seront
choisis avec un support
concret tirŽ des situations
de la vie courante.
¥ Les Žl•ves doivent savoir
encadrer un rŽel par deux
dŽcimaux et utiliser ˆ bon
escient la calculatrice.
¥ Les compŽtences relatives
ˆ l'incertitude absolue et ˆ
l'incertitude relative ne sont
pas exigibles.
CompŽtences exigibles
¥ Conna”tre la dŽfinition de
valeur absolue.
¥ Conna”tre et utiliser la
relation
a 2b = a
b avec
b³0
¥ Utiliser la valeur absolue
pour :
− calculer la distance sur
une droite
− rŽsoudre :
ax+b = cx + d ;
x−a ≤ b et x−a < b
•
InterprŽter les solutions des
Žquations et inŽquations ci
dessus.
¥ Conna”tre pour un intervalle
bornŽ :
− le centre et le rayon.
− l'inŽquation associŽe.
− le syst•me associŽ.
Trouver l'encadrement d'une
somme, d'une diffŽrence
et
d'un produit.
DŽterminer pour un rŽel :
− une valeur approchŽe .
− un arrondi.
− la partie enti•re.
− une approximation
dŽcimale.
¥ Utiliser une calculatrice.
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
Contenus
III. FONCTIONS
NUMƒRIQUES
D'UNE VARIABLE
RƒELLE.
Commentaires
¥ Les notions d'applications
affines et affines par intervalles
vues en 3•meseront revues et
consolidŽes par des exemples.
¥ Les gŽnŽralitŽs pourront •tre
1) GŽnŽralitŽs.
vues en utilisant l'Žtude de
a) DŽfinition d'une
certaines fonctions
fonction.
¥ On s'efforcera de lier l'Žtude des
fonctions ˆ des situations
b) Ensemble de
concr•tes.
dŽfinition d'une
¥ Un accent sera mis sur les
fonction.
activitŽs graphiques : tracŽ,
c) Restriction d'une
interprŽtation, exploitation de
fonction.
reprŽsentations(image directe et
d) DŽfinition de
image rŽciproque).
fonction croissante,
Les notions de limite ne sont pas
de fonction
au programme..
dŽcroissante, de
¥ L'Žtude du taux de variation se
fonction constante
fera dans le cas de fonctions
e) Sens de variation
simples .
d'une fonction.
¥ L'Žl•ve devra savoir reconna”tre
f) Taux de variation
la paritŽ et la relier ˆ l'existence
de fonctions usuelles. d'un centre ou d'un axe de
g) Extremum.
symŽtrie .
On introduira le mot composŽe, le
h) ParitŽ.
i) ComposŽe de deux symbole "o" et la notation
(f o g) (x) = f [g(x)]
fonctions;
¥ On fera l'Žtude des variations
j) ReprŽsentation
soit par le taux de variation, soit
graphique.
par l'Žtude de la fonction associŽe
par changement de rep•re pour la
reprŽsentation graphique.
2) Etude de
¥ Les notions d'asymptotes
fonctions.
parall•les aux axes de
a) Fonction partie
coordonnŽes seront vues sous une
enti•re
approche intuitive.
b) Fonction polyn™me ¥ On pourra constater la symŽtrie
du 2¡degrŽ :
par rapport ˆ la 1•re bissectrice
fonction de la forme :
entre la restriction ˆ IR+ de la
2
xax
courbe de la fonction "carrŽ" et la
fonction de la forme : courbe de la fonction "racine
carrŽe".
x a ax2
CompŽtences exigibles
¥ Conna”tre la dŽfinition
de fonction et
d'application.
¥ DŽterminer l'ensemble
de dŽfinition d'une
fonction.
¥ ReprŽsenter
graphiquement les
fonctions au programme.
¥ Reconna”tre qu'une une
courbe est la
reprŽsentation graphique
d'une fonction choisie
parmi plusieurs.
¥ Utiliser des
reprŽsentations
graphiques pour rŽsoudre
des Žquations et des
inŽquations.
¥ InterprŽter la
reprŽsentation graphique
(sens de variation,
ŽlŽments de symŽtrie,
extrema).
¥ DŽterminer la paritŽ
d'une fonction.
¥ Faire le lien entre paritŽ
de la fonction et symŽtrie
de la courbe
reprŽsentative d'une
fonction.
¥ Utiliser les formules de
changement d'origine
pour reprŽsenter des
fonctions.
¥ DŽterminer le sens de
variations des fonctions
au programme.
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
17
Contenus
Commentaires
CompŽtences exigibles
fonction de la forme :
x a ax2 + bx + c
c) Fonction "cube" : x a x3
d) Fonctions rationnelles :
fonction inverse x a 1
x
fonction de la forme : x a k
x
fonction de la forme : x a ax+ b
cx
e) Fonctions irrationnelles :
fonction racine carrée.
IV. ƒQUATIONS ET INƒQUATIONS.
L’objectif général de cette partie sera de maîtriser les trois phases de la résolution d’un
problème : la phase de formalisation du problème qui, après réflexion, aboutit aux
équations, inéquations ou systèmes.
la phase de résolution qui va utiliser des techniques de calculs pour résoudre le problème
formalisé. la phase de contrôle, d’interprétation des résultats et d'exploitation,
indispensable surtout si l’on est parti d’un problème concret.
Il importe de ne pas perdre de vue que la phase de calcul doit être parfaitement maîtrisée.
Contenu
1) Equations et
inŽquations du 2nd
degrŽ.
a) Probl•mes simples se
ramenant au second
degrŽ.
b) RŽsolution d'une
Žquation du 2nd degrŽ.
• techniques de
rŽsolution.
• probl•mes du second
degrŽ.
c) ƒquations se ramenant
ˆ des Žquations du
second degrŽ.
18
Commentaires
Les Žquations du second
degrŽ seront abordŽes
selon la progression
suivante :
• introduction ˆ partir de
situations concr•tes.
• techniques de
rŽsolution
(dŽterminant et
dŽterminant rŽduit).
• rŽinvestissement des
acquis dans la
rŽsolution de
probl•mes.
CompŽtences exigibles
¥ RŽsoudre une Žquation du
2nd degrŽ par la mŽthode du
discriminant.
¥ RŽsoudre des probl•mes se
ramenant ˆ une Žquation du
2nd degrŽ.
¥ RŽsoudre des Žquations se
ramenant au 2nd degrŽ.
¥ RŽsoudre une inŽquation
du 2nd degrŽ.
¥ Trouver deux nombres
connaissant leur somme et
leur produit.
¥ Trouver le signe d'un
trin™me du 2e degrŽ.
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
Contenu
d) InŽquations du 2nd
degrŽ.
• signe du trinôme du
2nd degré.
• résolution d'une
inéquation du 2nd
degré.
2) Syst•mes d'Žquations
et d'inŽquations du 1er
degrŽ ˆ deux inconnues.
a) Syst•mes d'Žquations
linŽaires ˆ deux
inconnues.
¥ Syst•mes de 2
Žquations ˆ 2 inconnues.
¥ Exemples de syst•mes
de n Žquations ˆ 2
inconnues ; 2 ² n ² 3.
InterprŽtation
gŽomŽtrique des
syst•mes ˆ n Žquations et
deux inconnues ;
2 ² n ² 3.
b) Syst•mes
dÕinŽquations dans IR2 :
Exemples de syst•mes de
n inŽquations ˆ deux
inconnues ; 2 ² n ² 3.
¥ InterprŽtation
graphique. RŽgionnement
du plan. RŽsolution
graphique.
¥ Application ˆ des
probl•mes concrets.
Commentaires
Les Žl•ves doivent savoir
mettre sous forme
canonique une expression
du 2nd degrŽ.
On parlera de la somme et
du produit des racines sans
en abuser.
Les param•tres ne doivent
faire intervenir que des
discriminants de
degrŽ ² 1.
La mŽthode de Cramer
sera utilisŽe dans le cas
des syst•mes d'ordre deux.
Exemples de
programmation linŽaire.
CompŽtences exigibles
¥ RŽsoudre un syst•me de 2
ou 3 Žquations ˆ 2
inconnues.
¥ InterprŽter
gŽomŽtriquement les
syst•mes ˆ 2 ou 3 Žquations
ˆ 2 inconnues.
¥ RŽsoudre graphiquement
un syst•me de 2 ou 3
inŽquations ˆ 2 inconnues.
¥ RŽsoudre des probl•mes
concrets se ramenant ˆ des
syst•mes d'Žquations o•
d'inŽquations.
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
19
Contenu
V) POLYNïMES ET
FRACTIONS
RATIONNELLLES.
1) Polyn™mes.
a) Exemples.
b) DiffŽrentes Žcritures d'un
polyn™me : forme rŽduite et
forme factorisŽe.
c) ƒgalitŽ de deux
polyn™mes.
d) Somme et Produit de
deux polyn™mes.
e) ZŽro d'un polyn™me.
f) Factorisation d'un
polyn™me.
g) ƒtude du signe d'un
polyn™me.
Commentaires
¥ Ce chapitre pourra se
faire en relation avec
l'Žtude des fonctions, des
Žquations, des
inŽquations et des
syst•mes.
¥ On Žvitera toute
gŽnŽralitŽ sur les
polyn™mes.
¥ On prŽcisera les notions
de coefficient et de degrŽ.
¥ On se limitera aux
polyn™mes de degrŽ
infŽrieur ou Žgal 4.
CompŽtences exigibles
¥ Conna”tre le vocabulaire :
polyn™me, coefficient, degrŽ.
¥ VŽrifier qu'un nombre rŽel est
zŽro d'un polyn™me.
¥ a Žtant une racine d'un
polyn™me de degrŽ infŽrieur ou
Žgal ˆ 2, factoriser ce polyn™me
par (x - a ) par la mŽthode
d'identification des coefficients,
par la mŽthode de Horner ou
par division euclidienne.
2. Fractions rationnelles
Exemples.
Condition d'existence d'une
fraction rationnelle.
Simplification d'une fraction
rationnelle.
ZŽro d'une fraction
rationnelle.
ƒtude du signe d'une
fraction rationnelle.
¥ On pourra Žtablir la
relation :
P(x) = (x - a)Q(x) sur des
exemples simples si a est
un zŽro de P(x).
¥ Reconna”tre une fraction
rationnelle.
¥ ƒtablir la condition
d'existence d'une fraction
rationnelle.
¥ Simplifier une fraction
rationnelle.
¥ Trouver les zŽros d'une
fraction rationnelle.
3. Division euclidienne de
deux polyn™mes.
Technique de calcul.
Applications:
• factorisation
• dŽcomposition d'une
fraction rationnelle
¥ Ces dŽcompositions se
feront uniquement sur des
exemples simples.
¥ ƒtudier le signe d'une fraction
rationnelle.
¥ Diviser un polyn™me par
(x- a), dŽcomposer par division
une fraction rationnelle donnŽe.
A(x)
R(x)
= Q(x) +
B(x)
B(x)
avec d¡R(x) < d¡B(x).
20
Programmes de mathématiques du second cycle- Seconde S - Année 2006
STATISTIQUE.
La statistique, essentiellement descriptive en seconde, a pour objectif le
dŽveloppement des capacitŽs d'organisation et de traitement des donnŽes. Elle
consolide et compl•te l'apprentissage commencŽ au premier cycle.
L'outil qu'en font les autres disciplines donne l'occasion d'initier un fructueux
travail d'interdisciplinaritŽ. Cela permettra d'utiliser des donnŽes rŽelles tirŽes des
disciplines scolaires ou de l'environnement socio-Žconomique de l'Žl•ve.
L'initiation ˆ la lecture et ˆ l'interprŽtation des tableaux et des graphiques devra
•tre poursuivi. Ë cet effet les param•tres de dispersion donneront un outil
supplŽmentaire dans l'analyse des donnŽes.
Contenu
Commentaires
¥ Cette partie ne fera pas l'objet
1) Consolidation
des notions vues au d'une le•on.
Son but est de s'assurer par des
1er cycle.
activitŽs que les notions du
premier cycle sont acquises
(Diagrammes des effectifs et des
frŽquences cumulŽs ; modes ;
classes modales ; moyenne ;
mŽdiane ; quartiles).
¥ On introduira la notation
2) Param•tres de indicielle et le symbole · .
dispersion.
¥ La notion de quartiles sera
prŽsentŽe en insistant sur son
Variance.
sens et son utilitŽ. On apprendra
aux Žl•ves ˆ les dŽterminer
Ecart-type.
graphiquement ou par le calcul et
ˆ les utiliser dans l'Žtude de la
rŽpartition des donnŽes.
¥ LÕutilisation de la calculatrice
est indispensable.
¥ Si x et σ sont respectivement
la moyenne et l'Žcart-type, on
pourra faire remarquer qu'en
gŽnŽral le pourcentage des
valeurs n'appartenant pas ˆ
[ x -2σ , x +2σ]
est petit.
CompŽtences exigibles
¥ ReprŽsenter un
diagramme cumulatif, un
histogramme.
¥ Utiliser un diagramme
cumulatif des effectifs et
des frŽquences.
¥ InterprŽter les caract•res
de position : mode,
moyenne, mŽdiane et
quartiles.
¥ DŽterminer
graphiquement les
quartiles.
¥ Conna”tre le vocabulaire
des param•tres de
dispersion :
− variance.
− Žcart-type.
¥ Calculer les param•tres
de dispersion.
¥ InterprŽter les param•tres
de dispersion pour
analyser une sŽrie
statistique.
Programmes de mathématiques du second cycle - Seconde S - Année 2006
21
PREMIERES S1 et S3
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
23
INTRODUCTION GENERALE
1) Ce programme est destiné aux classes de Premières des séries S1 et S3 .
L'horaire de la classe est de 7 heures. Le professeur suivra la progression de son
choix et trouvera la meilleure répartition horaire pour mener à bien les différentes
parties du programme.
Après la consolidation des acquis, le professeur encouragera l'autonomie des
élèves dans la résolution des problèmes qui reste comme en seconde l'objectif
essentiel de ce programme. Le décloisonnement des activités numériques et
géométriques initié en seconde sera poursuivi, de même que le travail
interdisciplinaire.
Les nouveaux concepts tels que les limites et le raisonnement par récurrence à
propos desquels les acquis des élèves sont insuffisants pour leur introduction
rigoureuse, seront approchés de manière intuitive. Cependant une fois les concepts
et les propriétés de base établis, la rigueur et la précision seront exigées dans leur
utilisation.
2) En géométrie les objectifs de seconde seront poursuivis:
• développer le sens de l'observation et du raisonnement
• donner une bonne vision des objets du plan et de l’espace.
On insistera particulièrement dans le plan comme dans l'espace, sur l'utilisation
des outils vectoriel, analytique et métrique dans des exercices variés de calculs, de
démonstrations, de recherches d'ensembles de points. La pratique des
configurations planes et spatiales sera poursuivie.
3) L'analyse occupe une place importante de ce programme. Les études locales de
fonctions portant sur les notions de limites et de dérivées devront être bien
comprises sur leur aspect graphique. La connaissance de leur aspect topologique
n'est pas exigible en Première S1-S3. L'introduction des primitives en première
permet d'aborder le calcul intégral très tôt en terminale et répond à une demande
des autres disciplines.
4) Le dénombrement doit être abordé très tôt dans l'année pour donner aux élèves
un temps d'assimilation suffisant. On amènera l'élève à en maîtriser les méthodes
et à les réinvestir dans des situations variées.
5) Les symboles de logique (quantificateurs, connecteurs) seront introduits
progressivement.
24
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
GÉOMÉTRIE PLANE.
Contenus
I) COMPLƒMENTS
SUR LE CALCUL
VECTORIEL.
1. Barycentre de plus de
trois points.
PropriŽtŽs (homogŽnŽitŽ,
barycentres partiels).
CoordonnŽes.
ƒquation paramŽtriques de
droites.
2. Application du
Produit scalaire.
a) Distance d'un point
A(α.β) ˆ une droite
(D) : ax +by +c = 0
b) Lignes de niveau : (a, b,
k sont des rŽels)
U .OM = k ; MA . MB = k
a.MA2 + b.MB2 = k.
MA
=k
MB
II)
TRANSFORMATIONS
PONCTUELLES ET
ISOMƒTRIES.
1. Rappels et
complŽments.
HomothŽtie - Translation.
PropriŽtŽ caractŽristique
d'une homothŽtietranslation.
Expression analytique
d'une transformation.
2. IsomŽtrie.
• dŽfinition. propriŽtŽs.
• ensemble de points
invariants.
• composition de deux
isomŽtries.
• triangles isomŽtriques.
Commentaires
• On rattachera l'aspect
gŽomŽtrique du
barycentre ˆ la notion
de moyenne en
statistique et de point
d'Žquilibre en physique.
• On traitera en
particulier des
exercices sur les
probl•mes d'alignement
de points et de points
de concours de droites.
La distance dÕun point
A ˆ 1 droite D est
donnŽe par la formule
d{A,(D)} =
aα+ bβ+c
,
a 2 + b2
A (α _β) ;
(D) : ax + by + c = 0
• On utilisera la notion
de barycentre pour la
rŽduction de certaines
expressions.
On Žtudiera sur des
activitŽs de
consolidation les
transformations
usuelles dŽjˆ
rencontrŽes :
translations, symŽtries
centrales, symŽtries
orthogonales, rotations.
• Ce sera l'occasion de
travailler sur les
propriŽtŽs et les
expressions analytiques
d'une translation, d'une
homothŽtie ou d'une
symŽtrie centrale,
symŽtrie orthogonale.
CompŽtences exigibles
• RŽduire un vecteur du type
a MA + β MB + γ MC +δ MD ,
α, β, γ, δ Žtant des rŽels.
• Conna”tre les relations
vectorielles caractŽrisant le
barycentre de quatre points
pondŽrŽs.
• Construire le barycentre de
quatre points pondŽrŽs.
• Calculer les coordonnŽes d'un
barycentre de quatre points
pondŽrŽs. DŽterminer les lignes
de niveau ŽtudiŽes
• Reconna”tre une homothŽtie,
une translation, une symŽtrie
centrale, symŽtrie orthogonale.
• Utiliser la propriŽtŽ
caractŽristique d'une homothŽtie translation.
• DŽterminer une expression
analytique d'une translation d'une
homothŽtie, d'une symŽtrie
centrale, d'une symŽtrie
orthogonale.
• Utiliser ces transformations
dans :
- des dŽmonstrations.
- des probl•mes de
constructions.
- la dŽtermination de lieux
gŽomŽtriques.
• DŽcomposer une translation et
une rotation en produit de
symŽtries orthogonales.
• Reconna”tre un
antidŽplacement, un
dŽplacement.
• Utiliser les crit•res dÕisomŽtrie
des triangles dans des rŽsolutions
de probl•mes.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
25
•
•
•
Contenus
DŽcomposition d'une
translation et d'une
rotation en produit de
symŽtries
orthogonales.
Composition de
transformations.
Transformations
rŽciproques.
Commentaires
Les isomŽtries pourront
•tre caractŽrisŽes entre
autre par le nombre de
leurs points invariants.
• Le professeur guidera
les Žl•ves pour les
compositions
conduisant ˆ des
transformations non
usuelles.
• Pour les rŽciproques,
on se limitera aux
transformations
usuelles. On Žtudiera la
partition en classesÊ:
dŽplacements
antidŽplacementsÊ.
CompŽtences exigibles
GƒOMƒTRIE DANS L'ESPACE.
Contenus
I) Vecteurs dans
l'Espace.
DŽfinition d'un vecteur.
ƒgalitŽ de deux vecteurs.
Somme vectorielle.
Multiplication d'un
vecteur par un nombre
rŽel.
Vecteurs colinŽaires.
Combinaisons linŽaires
de vecteurs.
Base et rep•re dans
l'espace.
CoordonnŽes d'un
vecteur.
Barycentre.
• DŽfinition.
• PropriŽtŽs.
26
Commentaires
• GŽnŽralisation de la relation de
Chasles :
AB + BC + CD = AD avec
A, B, C et D non coplanaires.
• GŽnŽralisation ˆ l'espace des
mŽthodes pour montrer que deux
vecteurs sont colinŽaires.
• Le dŽterminant d'ordre 3 n'est
pas au programme.r r
r
¥ CoordonnŽes de u + v , de a u
r r
et de a u +b v .
• On mettra en Žvidence que le
barycentre de trois points non
alignŽs appartient au plan dŽfini
par ces trois points
CompŽtences exigibles
• DŽmontrer l'ŽgalitŽ de
deux vecteurs
• Utiliser la relation de
Chasles dans le cas de
points A,B, C et D non
coplanaires :
AB + BC + CD = AD
• DŽmontrer que deux
vecteurs sont colinŽaires
(sans les dŽterminants).
• GŽnŽraliser le calcul
analytique sur les
combinaisons linŽaires
de vecteurs dans
lÕespace. • En particulier
dŽterminer
analytiquement le
barycentre de n points
pondŽrŽs, n ≤ 4.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
Contenus
II) PRODUIT
SCALAIRE.
DŽfinition.
PropriŽtŽs.
Produit scalaire et
orthogonalitŽ.
Base et rep•re
orthogonaux.
Base et rep•re
orthonormaux.
Expression analytique du
produit scalaire dans une
base orthonormale.
III) DROITES, PLANS,
SPHERE.
1) Droites.
CaractŽrisation vectorielle,
vecteur directeur.
DŽtermination
paramŽtrique.
Condition de parallŽlisme
de deux droites.
Condition d'orthogonalitŽ
de deux droites.
2) Plan.
CaractŽrisation vectorielle.
Vecteur normal ˆ un plan.
Condition pour que deux
plans soient :
• parall•les.
• orthogonaux.
Conditions pour qu'une
droite et un plan soient :
• parall•les.
• orthogonaux.
ƒquation cartŽsienne d'un
plan dans un rep•re
orthonormal.
Commentaires
• Toutes les
propriŽtŽs ne faisant
intervenir que deux
vecteurs sont celles
de la gŽomŽtrie plane
(y compris les
propriŽtŽs de la
norme).
• L'expression
analytique dans un
rep•re quelconque
n'est pas une
compŽtence exigible
mais peut •tre vue en
exercice.
• On donnera les
conditions
analytiques de
parall•lisme et
dÕorthogonalitŽ de
deux droites.
• La dŽtermination
paramŽtrique d'un
plan n'est pas une
compŽtence exigible.
• ƒtant donnŽ deux
vecteurs non
colinŽaires , on
dŽterminera un
vecteur qui leur est
normal en utilisant le
produit scalaire.
• On utilise les
vecteurs directeurs de
droites et les vecteurs
CompŽtences exigibles
• Calculer un produit scalaire, une
norme
• DŽmontrer l'orthogonalitŽ de
deux vecteurs.
• DŽterminer les coordonnŽes d'un
vecteur non nul .orthogonal ˆ deux
vecteurs non colinŽaires.
• DŽterminer une reprŽsentation
paramŽtrique d'une droite.
• DŽterminer les positions
relatives de deux droites gr‰ce ˆ
leurs dŽterminations
paramŽtriques et Žventuellement
leur point d'intersection.
• DŽmontrer que deux droites sont
parall•les, orthogonales en
utilisant :
- les thŽor•mes de 2nde.
- les dŽterminations
paramŽtriques.
- le calcul analytique.
• DŽmontrer vectoriellement qu'un
point M donnŽ appartient ˆ un plan
(ABC).
• Trouver un vecteur normal ˆ un
plan.
• Trouver une Žquation cartŽsienne
d'un plan.
• DŽterminer analytiquement
l'intersection de deux plans.
• DŽmontrer que deux plans sont
parall•les, perpendiculaires en
utilisant :
- les thŽor•mes de 2nde.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
27
Contenus
Condition analytique pour
que deux plans soient
orthogonaux.
DŽtermination de
l'intersection :
• de deux plans.
• d'une droite et d'un
plan.
ProjetŽ orthogonal d'un
point sur un plan.
Distance d'un point
A (α ,β, γ ) ˆ
un plan (P) d'Žquation :
ax + by + cz + d = 0.
Commentaires
normaux des plans
• La distance d'un
point ˆ un plan est
donnŽe par la formule
d(A,(P) ) =
3) Sph•re.
DŽfinition analytique dans
un rep•re orthonormŽ.
Positions relatives d'une
sph•re et d'un plan.
On pourra, en
exercice, dŽterminer
les positions relatives
dÕune sph•re et dÕune
droiteÊ; de deux
sph•res.
4) Lieux gŽomŽtriques.
Plan mŽdiateur d'un
segment : dŽfinition.
Ensemble de points
Žquidistants de trois points
non alignŽs.
Ensemble de points M tels
que : U et O donnŽsÊ:
aα + bβ + cγ + d
a 2 ·+ b 2 ·+ c 2 ·
A( α, β,γ) ;
(P) :
ax + by + cz + d = 0
GŽnŽralisation des
lignes de niveau vues
dans le plan.
CompŽtences exigibles
Les vecteurs normaux ˆ ces
plans
• DŽmontrer quÕune droite et un
plan sont parall•les ou
perpendiculaires en utilisantÊ:
nde
- Les thŽor•mes de 2
- Un vecteur normal du plan et
un vecteur directeur de la
droite.
• DŽterminer l'intersection d'une
droite et d'un plan.
• Calculer la distance d'un point ˆ
un plan dont on conna”t une
Žquation.
• DŽterminer l'Žquation
cartŽsienne d'une sph•re.
• DŽterminer les positions
relatives d'un plan et d'une sph•re
-
• DŽterminer l'Žquation
cartŽsienne du plan mŽdiateur d'un
segment d'extrŽmitŽs donnŽes.
• Utiliser les propriŽtŽs
caractŽristiques du plan mŽdiateur.
• DŽterminer les surfaces de
niveau au programme.
U.OM = k ;
MA . MB = k ; MA = k
MB
A et B donnŽs :
α MA2 + β MB2 = k,
α β, k des rŽels donnŽs.
28
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
DƒNOMBREMENT
Contenus
1. Notions ŽlŽmentaires de
la thŽorie des ensembles.
2. Premiers outils de
dŽnombrementÊ: Arbre de
choix, tableau ˆ double
entrŽe, partition,
comptage.
3. Outils de modŽlisations.
Ø P- listeÊ:
• DŽfinition
• DŽnombrement
• Nombre
dÕapplicationsÉ
Ø ArrangementÊ:
• DŽfinition
• DŽnombrement
• Nombre dÕinjections
• Permutation
• Nombre de bijections
Ø CombinaisonÊ:
• DŽfinition
• DŽnombremen
Commentaires
• On traitera ici des
notions de :
Appartenance, inclusion,
ensemble fini, cardinal
d'un ensemble fini,
rŽunion, intersection,
complŽmentaire, produit
cartŽsien d'un nombre
fini d'ensembles.
• Les Žl•ves doivent
savoir utiliser les
propriŽtŽs ŽlŽmentaires
des opŽrations sur les
parties d'un ensemble
fini mais aucune thŽorie
ne sera dŽveloppŽe.
• Notations :
C
p
n
,lire C,n,pÊ;Ê
n ! lire factorielle n.
On peut aussi rencontrer
la notation
( ) pour C
p
n
Relation
4. Formule du binôme
de Newton ; Triangle
de Pascal
n− p
n
p
n
p
n
,
n
A
p
C =C
C =C
p
p
n=
p!
C
p
n
;
C
n −1 +
p −1
n −1
fera l'interprétation
ensembliste de ces
résultats.
on
CompŽtences exigibles
• ƒtablir un arbre de choix
pour dŽnombrer.
• ƒtablir un tableau ˆ double
entrŽe pour dŽnombrer.
• DŽterminer le cardinal :
- de la rŽunion , de
l'intersection de deux
ensembles.
- du complŽmentaire d'un
ensemble.
• DŽterminer le nombre de
parties d'un ensemble.
• Reconna”tre dans une
situation concr•te si la
modŽlisation fait appel ˆ :
- un des types de
dŽnombrement ci-dessus.
- une application d'un
ensemble fini dans un
ensemble fini.
- un sous ensemble ˆ p
ŽlŽments d'un ensemble
fini.
• Reconna”tre le cas o• une
situation est modŽlisŽe par
une application injective ou
bijective.
• Calculer le nombre
d'applications d'un ensemble
fini dans un ensemble fini
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
29
STATISTIQUEÊ: SƒRIE Ë DEUX VARIABLES.
Le r™le actuel des statistiques montre qu'il faut leur accorder une place importante dans
l'enseignement des mathŽmatiques. Pour mettre en pratique les diffŽrentes notions du
cours, on pourra organiser des enqu•tes qui seraient effectuŽes et exploitŽes le long de
l'annŽe.
Contenus
Commentaires
1) ƒtude d'un exemple.
Nuage de points.
Points moyens.
Covariance.
2) Ajustement linŽaire
par la mŽthode des
moindres carrŽs :
Droite de rŽgression de y
en x.
Droite de rŽgression de x
en y.
Coefficient de
corrŽlation.
• Ces notions introduites ˆ
partir d'exemples simples
donneront l'occasion de
revoir celles ŽtudiŽes en
seconde.
• On introduira l'ajustement
linŽaire par la mŽthode de la
main levŽe puis par la
mŽthode de Mayer.
• On se limitera ˆ lÕŽtude
des sŽries injectives.
30
CompŽtences exigibles
• ReprŽsenter pour une sŽrie
ˆ deux variables : le nuage de
points.
• Calculer les coordonnŽes du
point moyen.
• DŽterminer une droite
d'ajustement par la mŽthode
des moindres carrŽs.
• Calculer et interprŽter le
coefficient de corrŽlation.
• Utiliser la droite de
rŽgression pour faire des
extrapolations ou des
interpolations linŽaires.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
TRIGONOMƒTRIE
Contenus
I) ANGLES
ORIENTES
1) Angles orientŽs
d'un couple de demi
droites, de vecteurs.
2) Mesures d'un angle
orientŽ, d'un arc
orientŽ.
3) Addition dÕangles
orientŽs
4) Angles inscrits,
angles au centre. Arc
capable.
II) FORMULES
TRIGONOMETRIQUES
1) Cosinus, sinus,
tangente d'un rŽel.
2) formule dÕaddition
et de duplication
3) InŽquations
trigonomŽtriques.
III) EQUATIONS
ET INEQUATIONS
TRIGONOMETRI
QUES
Commentaires
• DŽfinir les ŽgalitŽs
modulo a quelconque et
adopter la notation
[ x≡y (a)]
• Les formules de
transformation des
sommes en produit ou des
produits en somme seront
traitŽes en exercice. On
commencera par l'Žtude
des cas particuliers pour
lesquels il y a une seule
solution sur le cercle
trigonomŽtrique.
Ainsi des Žquations
simples comme
sin 3x = 1,
|cos 2x | = 1 ,
2
π
tan (3x - ) = 3
4
seront traitŽes.
• Les rŽsolutions se feront
sur des exemples et l'on
entra”nera les Žl•ves ˆ
noter correctement les
ensembles de solutions
• On admettra que, si x
est exprimŽ en radians,
sin x
= 1. Ce rŽsultat
x →0
x
lim
pourra •tre illustrŽ
gŽomŽtriquement en Žtude
de fonction.
•On pourra traiter les
Žquations
a cos x + b sin x = c
CompŽtences exigibles
• Conna”tre les notations
( u, v) = αö pour les angles ;
( u, v) , ( u, v) , α pour les
mesures,
x ≡ y (a).
• DŽterminer la mesure principale
dÕun angle orientŽ .
¥ Utiliser les angles orientŽs pour :
- calculer des mesures d' angles.
- dŽmontrer des propriŽtŽs.
- dŽterminer des lignes de
niveau de la forme
( MA, MB) = α (2π).
¥ Conna”tre la construction dÕun
arc capable.
Conna”tre et utiliser les formules
dÕaddition et de duplication
cos (a+b) = cos a cos b - sin a sin
b.
sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos
a.
tan (a + b) =
tan a + tan b
.
1− tan a. tan b
les formules correspondantes avec
(a-b).
les formules de duplication.
¥ rŽsoudre les Žquations et
inŽquations :
cos ax = b, sin ax = b, tan ax = b
cos ax ² b, sin a x ² b, tan ax ² b
• DŽterminer les solutions
appartenant ˆ un intervalle donnŽ.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
31
ALGEBRE
Contenus
I) Applications.
GŽnŽralitŽs.
Applications injectives,
surjectives, bijectives.
Applications rŽciproques.
Restriction - prolongement.
II) Polyn™mes.
MŽthode de Hšrner.
Racine d'un polyn™me.
Factorisation d'un
polyn™me.
Commentaires
• On se limitera aux
dŽfinitions et ˆ quelques
exemples simples de ces
notions qui seront
renforcŽes le long de
l'annŽe. Des exemples
intŽressants peuvent •tre
tirŽs de la gŽomŽtrie
• On fera fonctionner par
des activitŽs les acquis
de 2nde S sur les
polyn™mes.
III) ƒquations,
• On admettra que pour
InŽquations, Syst•mes
deux polyn™mes donnŽs
Somme et produit des
f et g avec g diffŽrent du
solutions d'une Žquation du polyn™me nul, il existe
second degrŽ.
un couple unique de
1) ƒquations et syst•mes
deux polyn™mes p et q
d'Žquations linŽaires dans
tel que pour tout rŽel x :
f(x) = g(x) q(x) + r(x)
IR2 et dans IR3
2)ƒquations irrationnelles.. avec
deg(r)< deg(g) ,q est le
f(x) = g(x)
quotient, r le reste de la
f(x) + g (x) = k (k
division de f par g.
• La mŽthode de Hšrner
Žtant un rŽel), f et g des
sera introduite.
polyn™mes.
• Cette partie donnera
3) InŽquations du second
l'occasion de consolider
degrŽ dans IR.
4) Probl•mes se ramenant ˆ les acquis de seconde sur
les Žquations du second
la rŽsolution de syst•mes
d'inŽquations linŽaires dan degrŽ.
• L'Žtude systŽmatique
IR2.
des Žquations avec
Exemples de
param•tres est hors
programmation linŽaire.
programme. Cependant
5) InŽquations
quelques exemples
irrationnelles.
simples d'Žquations avec
param•tres o• le degrŽ
du discriminant qui
s'exprime en fonction du
param•tre n'exc•de pas 2
pourront •tre donnŽs.
32
CompŽtences exigibles
• Justifier qu'une application est
injective, surjective, bijective.
• DŽterminer la restriction, ou
un prolongement d'une fonction
dans un intervalle donnŽ.
• DŽterminer l'expression d'un
polyn™me en utilisant la
mŽthode d'identification.
• DŽterminer les autres racines
d'un polyn™me connaissant une
(ou des) racine.
¥ Factoriser un polyn™me par :
- la mŽthode d'identification.
- la division euclidienne.
- la mŽthode de Hšrner.
Utiliser la somme et/ou le
produit des racines d'une
Žquation du second degrŽ pour
rŽsoudre des probl•mes.
• RŽsoudre des syst•mes de
deux , trois Žquations dans IR3
par la mŽthode des combinaison
et celle du pivot de Gauss.
• RŽsoudre une Žquation
irrationnelle de la forme
f(x) = g(x),
f(x) + g (x) = k
(k Žtant un rŽel), f et g des
polyn™mes de degrŽ infŽrieur
ou Žgal ˆ 2.
¥ RŽsoudre une inŽquation
irrationnelle de la forme
f(x) ³ g(x); f(x) ≤ g(x)
| f(x)|³ a , a ∈ IR.
| f(x)|³ g(x) , f et g Žtant deux
polyn™mes de degrŽ infŽrieur
ou Žgal ˆ 2.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
Contenu
Commentaires
• Dans IR3 , on utilisera la
f(x) ³ g(x) ;
f(x) ≤ g(x) ; | f(x)| ³ a ,
a ∈ IR ;| f(x)| ³ g(x), f et g
Žtant deux polyn™mes de
degrŽ infŽrieur ou Žgal ˆ 2.
CompŽtences exigibles
mŽthode des
combinaisons et celle du
pivot de Gauss.
ANALYSE
Contenus
I) SUITES
NUMERIQUES.
1) GŽnŽralitŽs sur
les suites.
a. DŽfinitions.
• Somme et
produit de deux
suites.
• Comparaison.
• Suites minorŽes,
majorŽes,
bornŽes
• Sens de
variation dÕune
suite
• Suites
monotones.
• Suites
rŽcurrentes.
• Suites
pŽriodiques.
Commentaires
• On donnera les divers procŽdŽs
dŽfinissant une suite numŽrique
• On fera reprŽsenter les termes
d'une suite sur l'un des axes de
coordonnŽes.
Une suite non convergente est
divergente.
• La limite d'une suite
convergeant vers zŽro sera
approchŽe de mani•re intuitive.
• On admettra :
les limites des suites de rŽfŽrence
1
1
;na
;
n
n
1
n a 1n ; n a
, α Žtant un
α
10
n
na
rŽel positif.
les limites de la somme, du
produit, du quotient de deux
suites.
b. PropriŽtŽ de
On admettra que :
rŽcurrence.
si une suite admet une limite
Raisonnement alors cette limite est unique.
par rŽcurrence. si Un ² Vn ˆ partir d'un certain
2) Convergence
rang et si (Un) et (Vn) admettent
d'une suite.
respectivement pour limites l et l'
DŽfinition.
alors l ² l' .
ThŽor•mes admis
sur les limites.
CompŽtences exigibles
• ReprŽsenter graphiquement
une suite.
Conjecturer ˆ partir de
graphiques, du calcul de
quelques termes ou de la
calculatrice, le comportement
d'une suite.
• Connaissant la formule de
rŽcurrence d'une suite
(Un), trouver la fonction f
telle que Un+1= f(Un).
• Connaissant la
reprŽsentation graphique
de f et un terme de la suite
trouver les termes
suivants.
• ƒtudier la monotonie
d'une suite.
• DŽmontrer par rŽcurrence
dans des cas simples
qu'une proposition est
vraie.
• Conna”tre et utiliser les
thŽor•mes admis pour
calculer la limite d'une
suite.
• DŽmontrer qu'une suite
donnŽe est une suite
arithmŽtique,
gŽomŽtrique.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
33
Contenu
3) Suites
arithmŽtiques et
suites gŽomŽtriques.
Formes gŽnŽrales.
Expression du terme
gŽnŽral en fonction de
n.
Convergence.
Somme de termes
consŽcutifs.
Commentaires
II) FONCTION
NUMERIQUE
D'UNE VARIABLE
REELLE.
1) GŽnŽralitŽs
(Rappels et
complŽments).
Image directe, image
rŽciproque d'un
ensemble par une
fonction.
Fonction majorŽe,
minorŽe, bornŽe sur un
intervalle.
Comparaison de deux
fonctions numŽriques.
OpŽrations sur les
fonctions numŽriques :
Il est important d'accorder une
place importante aux
reprŽsentations graphiques et
aux rŽsolutions graphiques de
probl•mes
On Žtudiera les diffŽrentes
notions au cours d'exercices qui
en justifient l'intŽr•t.
On pourra mener cette Žtude
conjointe des fonctions
associŽes avec celle des
transformations.
La notion de limite sera
approchŽe intuitivement :
" la fonction f admet pour
limite le nombre rŽel l au point
a signifie que les valeurs de
f(x) peuvent •tre aussi proches
de l que l'on veut ˆ condition
que les valeurs de x soient
suffisamment proches de a en
34
CompŽtences exigibles
• Conna”tre et utiliser les
formules
Un = Up + (n-p)r ;
Un = Up q (n-p) pour
calculer un terme ou la raison
d'une suite arithmŽtique ou
gŽomŽtrique.
• Donner le sens de
variation d'une suite
arithmŽtique ou
gŽomŽtrique.
• Calculer la somme de p
termes consŽcutifs d'une
suite arithmŽtique ou
gŽomŽtrique.
• Utiliser la notation ∑
• Utiliser la formule
(1 + x + ... + xn)(1 - x) =
1 - xn+1 pour dŽterminer la
somme des n+1 termes d'une
suite gŽomŽtrique.
¥ DŽterminer graphiquement :
- l'image directe par f d'un
ensemble I notŽe f(I).
- l'image rŽciproque d'un
ensemble I notŽe f −1 (Ι) .
• Reconna”tre et/ou dŽterminer
un majorant, un minorant
d'une fonction donnŽe.
• Comparer deux fonctions
numŽriques.
• Justifier la paritŽ et la
pŽriodicitŽ d'une fonction.
• Utiliser la paritŽ et/ou la
pŽriodicitŽ dans l'Žtude et la
reprŽsentation d'une fonction.
• ReprŽsenter les fonctions
associŽes ci dessous ˆ partir de
la reprŽsentation graphique de
f:
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
Contenu
dŽfinition.
Ensemble d'Žtude :
fonctions paires,
impaires et
pŽriodiques.
Fonctions associŽes ˆ
la fonction f.
x a f(x -a) ;
x a f(x) + b ;
x a | f(x) |;
x a f(|x|)
Fonctions composŽes.
2) Limite et
continuitŽ.
a) Limite d'une
fonction.
Limite d'une fonction
en xo.
Limite ˆ gauche, limite
ˆ droite.
Extension de la notion
de limite.
OpŽration sur les
limites
b) ContinuitŽ d'une
fonction.
ContinuitŽ d'une
fonction en xo.
ContinuitŽ ˆ droite ContinuitŽ ˆ gauche.
Prolongement par
continuitŽ d'une
fonction en xo.
ContinuitŽ sur un
intervalle.
Image dÕun intervalle
par une fonction
continue
ThŽor•me des valeurs
intermŽdiaires
Commentaires
restant diffŽrentes de a.
On notera
lim f ( x ) ou
X →a
lim f
a
On admettra les thŽor•mes sur
les limites
Si f admet en xo une limite ˆ
gauche et une limite ˆ droite
Žgales ˆ l alors f admet en xo
une limite Žgale ˆ l.
On admettra les thŽor•mes
gŽnŽraux sur la continuitŽ.
Il s'agit surtout de traiter sur
des exemples le prolongement
par continuitŽ et la continuitŽ
par intervalles.
On admettra que l'image d'un
intervalle par une fonction
continue est un intervalle.
CompŽtences exigibles
x a f(x -a)
x a f(x) + b
x a | f(x) |
x a f(|x|)
• Utiliser les fonctions
associŽes dans l'Žtude et la
reprŽsentation graphique d'une
fonction donnŽe.
• DŽterminer la composŽe de
deux fonctions.
• DŽcomposer une fonction
donnŽe en composŽe de deux
fonctions.
• Utiliser la composŽe pour
Žtudier les variations d'une
fonction.
• Calculer en un point xo
(pouvant être fini ou non) : la
limite d'une fonction.
lim
x →Ο
sin x
=1
x
• Etudier la continuitŽ ˆ droite,
la continuitŽ ˆ gauche en xo.
• DŽterminer le prolongement
par continuitŽ d'une fonction
en un point xo.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
35
Contenu
3) DŽrivation.
a) Fonction dŽrivable
en xo.
Nombre dŽrivŽ,
tangente ˆ une
courbe.
Nombre dŽrivŽ ˆ
gauche, nombre
dŽrivŽ ˆ droite,
demi-tangente ˆ une
courbe.
b) Fonction dŽrivable
sur un intervalle :
Fonction dŽrivŽe
DŽrivŽes de
fonctions usuelles
DŽrivabilitŽ d'une
fonction dŽfinie par
f(x) = |g(x)|
R•gles de dŽrivation
du produit, de la
somme, du quotient
de deux fonctions
dŽrivables
DŽrivŽe de
g: x a f (ax+ b) o• f
est une fonction
dŽrivable
c) DŽrivŽe et sens de
variation d'une
fonction.
36
Commentaires
CompŽtences exigibles
• Une fonction f dŽfinie sur un
intervalle ouvert contenant xo est
dŽrivable en xo et admet pour
nombre dŽrivŽ a(notŽ f'(xo)) si et
seulement si
• Justifier quÕune fonction est
continue sur un intervalle
• Justifier quÕun rŽel
appartenant ˆ un intervalle
[mÊ; M] admet un antŽcŽdent
par une fonction continue dans
un intervalle [a,b]
• Calculer, pour une fonction f
en un point xo (fini) donnŽÊ:
- le nombre dŽrivŽ
- le nombre dŽrivŽ ˆ gauche,
le nombre dŽrivŽ ˆ droite
• Déterminer une équation de
la tangente ou de la demitangente au point Mo(xo,f(xo))
lim
x →0
f ( x ) − f ( x0 )
existe et
x − x0
Žgal a f ' (x0).
• Toute fonction dŽrivable en xo
est continue en xo .
Fonctions usuelles:x a a ; x a
kx
x a x2 ; x a xn ; x a x ;
x a 1 ; x a cosx ; x a sin x
x
• On admettra les thŽor•mes
suivants :
Si f est dŽrivable sur un
intervalle I et si sa dŽrivŽe f' est
nulle sur I alors f est constante
sur I.
Si f est dŽrivable sur I et si f' est
positive (respectivement
nŽgative) sur I, alors f est
croissante (respectivement
dŽcroissante) sur I.
Si f est dŽrivable sur [a, b]et si f'
est strictement positive (resp.
strictement nŽgative) sur [a, b],
alors f est une bijection
strictement croissante (resp.
strictement dŽcroissante) de
[a, b] sur [f(a), f(b)] ( resp.[f(b),
f(a)] ).
à la courbe représentative de f.
• DŽterminer la fonction
dŽrivŽeÊ:
- dÕune somme, dÕun
produit, dÕun quotient de
fonctions usuelles.
- de la fonction gÊ:
x a f (ax+ b) o• f est une
fonction dŽrivable.
• ƒtudier la dŽrivabilitŽ de
gÊ: x a |f(x)|, f Žtant une
fonction dŽrivable.
• Utiliser la fonction dŽrivŽe
pourÊ:
- Žtudier les variations
dÕune fonction.
- dŽterminer des
extremums.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
Contenu
d) ƒtude locale d'une
fonction.
4) ƒtude de fonctions.
a) On utilisera les
thŽor•mes prŽcŽdents
pour Žtudier le sens de
variation d'une fonction
et dŽterminer les
extremums.
b) Exemples.
• fonctions
polyn™mes de degrŽ
2, 3.
• fonctions
homographiques.
Commentaires
• On se bornera ˆ
l'approximation d'une fonction
par une fonction affine dans
l'Žtude locale de cette fonction.
• On Žtudiera les sens de
variation des fonctions |f(x)|,
f(|x|) ˆ partir de la reprŽsentation
graphique de f.
• On recherchera les asymptotes
parall•les aux axes de
coordonnŽes et les asymptotes de
direction quelconque dans l'Žtude
des fonctions rationnelles.
• Pour dŽterminer l'asymptote, on
pourra effectuer la division de
• fonctions
p(x) par q(x).
rationnelles de la
• Une droite D d'Žquation
forme:
y = ax + b est asymptote ˆ la
p(x)
courbe reprŽsentative de la
f : x a f (x) =
q(x)
fonction f, si et seulement si f(x)
peut se mettre sous la forme
p et q Žtant des
fonctions polyn™mes de f(x) = ax +b + r(x) avec
lim r ( x ) = 0
degrŽs infŽrieurs ou
x →∞
Žgaux ˆ 2.
• On pourra montrer que :
droites asymptotes.
- le point I(a,b) est un centre de
• exemples simples
symétrie par un changement de
de fonctions
repère ou par l'une des formules
irrationnelles.
centre de symŽtrie, axes f(a+ x) + f(a - x) = 2b;
de symŽtrie.
f (2a - x) + f(x) = 2b
• Fonctions
- la droite d'équation x = a est
trigonomŽtriques
un axe de symétrie par un
usuelles
changement de repère ou par
c) ReprŽsentation
l'une des formules
graphique d'une
fonction numŽrique.
f(a + x) = f (a - x) ;
• ElŽments de
f (2a - x) = f(x)
symŽtrie
• Droites
asympt™tes.
CompŽtences exigibles
• DŽterminer pour la
courbe reprŽsentative d'une
fonction lorsqu'elles
existent :
- une asymptote parall•le
aux axes de
coordonnŽes.
- une asymptote
d'Žquation oblique.
• Montrer qu'un point I est
centre de symŽtrie.
Montrer qu'une droite (D)
est axe de symŽtrie.
ReprŽsenter graphiquement
une fonction numŽrique.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
37
Contenu
5) Primitives.
a) DŽfinition :
Si F est dŽrivable sur
un intervalle I et a pour
dŽrivŽe
F' = f alors F est une
primitive de f sur
l'intervalle I.
b) ThŽor•mes :
On admettra que toute
fonction continue sur
un intervalle, admet des
primitives sur cet
intervalle.
On dŽmontrera que
chacune de ses
primitives est
dŽterminŽe par sa
valeur en un point de
l'intervalle I.
c) Primitives des
fonctions usuelles.
38
Commentaires
• Les notations ∫ ne seront pas
utilisŽes en premi•re.
• On fera remarquer que la
diffŽrence de deux primitives
quelconques d'une m•me
fonction est une fonction
constante.
• En utilisant le tableau des
dŽrivŽes des fonctions usuelles
on pourra Žtablir les primitives de
certaines fonctions.
• Les fonctions usuelles sont les
fonctions mon™mes, sinus ,
CompŽtences exigibles
• DŽterminer une primitive
d'une fonction donnŽe dont
le calcul utilise les
primitives usuelles.
• DŽterminer la primitive
d'une fonction s'annulant
pour une valeur donnŽe.
cosinus, x a 1n
x
(n - -1) , x a cos(ax + b) ;
x a sin(ax+b) et leurs
combinaisons
linŽaires.
Programmes de mathématiques du second cycle - Premières S1 et S3 - Année 2006
PREMIERES S2 et S4
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
39
INTRODUCTION GENERALE
Le programme des premi•res S2 et S4 s'inscrit dans la continuitŽ de la rŽforme des
programmes de la 6•me ˆ la 2nde et tient compte de la nouvelle rŽforme du
baccalaurŽat. En consŽquence, il prend en compte les changements entrepris dans les
classes prŽcŽdentes et se situe dans l'Žtat d'esprit de l'harmonisation des programmes
de MathŽmatiques.
Ce programme est prŽvu pour six heures de cours par semaine. Le professeur choisira
la progression de son choix et trouvera la meilleure rŽpartition horaire pour mener ˆ
bien les diffŽrentes parties du programme. Cependant il lui est vivement conseillŽ de
commencer par le chapitre portant sur les applications. Le programme est formulŽ en
termes de contenus. Ces contenus sont assortis de commentaires. Les compŽtences
exigibles, capacitŽs sur lesquelles l'Žl•ve doit •tre interrogŽ, compl•tent ce
programme.
Les classes de premi•res S2 et S4 sont des classes de transition. A ce titre, elles
doivent consacrer l'ach•vement de la maturation de tous les concepts introduits en
seconde (angles orientŽs, lignes de niveau, barycentre, polyn™me...), et dans le m•me
temps prŽparer de solides fondements pour de nouveaux concepts qui seront
dŽveloppŽs et consolidŽs en Terminale (limite, continuitŽ, dŽrivŽe, suite,
rŽcurrence...)
Les classes de premi•re S2 et S4 sont des classes scientifiques qui doivent permettre
l'acquisition par les Žl•ves d'un raisonnement rigoureux et d'une bonne ma”trise
technique des outils mathŽmatiques sans exc•s de formalisme et d'abstraction.
L'activitŽ introductive pour une nouvelle notion sera toujours privilŽgiŽe sur une
approche thŽorique. On donnera du sens ˆ toute dŽmarche mathŽmatique afin de ne
pas la dŽconnecter de la rŽalitŽ.
Le raisonnement constituera un objectif majeur dans la formation : ainsi d'une part,
rŽsoudre des probl•mes constitue une activitŽ fondamentale, d'autre part, Žtudier les
diffŽrentes Žtapes et formes de raisonnement occuperont une place privilŽgiŽe tout au
long de la formation.
La formulation des dŽmonstrations et des ŽnoncŽs (particuli•rement en
dŽnombrement) fera l'objet d'une Žtude soignŽe. Un travail interdisciplinaire (maths fran•ais) est recommandŽ.
L'approche historique, quand elle est possible, sera encouragŽe pour donner ˆ l'Žl•ve
une ouverture sur la culture mathŽmatique.
De nombreux concepts (centre de gravitŽ, vecteurs...) seront utilisŽs particuli•rement
en Sciences Physiques. Ce sera l'occasion au travers d'une collaboration
interdisciplinaire de dŽcloisonner l'enseignement des mathŽmatiques.
Enfin, il est vivement recommandŽ de terminer le programme.
40
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
ANALYSE
LÕanalyse est fondamentale en 1•re S2 et S4. LÕobjectif est la ma”trise des concepts
nŽcessaires ˆ lÕŽtude et la reprŽsentation graphique des fonctions et des suites. On
veillera ˆ montrer leur utilisation et leur importance dans des situations concr•tes.
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
I. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS NUMÉRIQUES D'UNE VARIABLE
RÉELLE
Il est essentiel d'accorder une place importante aux reprŽsentations graphiques et aux
rŽsolutions graphiques de certains probl•mes. Dans cette partie, aucune thŽorie ne sera
faite : on traitera seulement des exemples simples.
1) Fonctions associées à
une fonction
•
•
Il s'agit d'utiliser des
transformations pour
construire les
•
représentations
graphiques des
fonctions associées à
f à partir de la
représentation de f.
•
•
Toute recherche
systématique est
exclue.
•
On pourra utiliser
un changement de
repère ou les
formules usuelles (à
•
établir) :
f (a+x)+f(a-x) = 2b
et f (a+x) = f (a-x)
ou f (2a - x) = f(x).
x a f ( x − a) ;
x a f ( x) + b ;
x a f (x ) ; x a f ( x ) ;
x a f ( x − a) + b
Application à la
représentation
graphique des fonctions
polynômes du second
degré et de quelques
fonctions
homographiques.
2) Eléments de symétrie
de la courbe représentative
d'une fonction
3) Représentation
graphique
de la réciproque d'une
bijection
•
Déterminer
graphiquement l'image
ou l'image réciproque
d'un intervalle.
Construire, à partir de la
représentation graphique
d'une fonction, celles des
fonctions qui lui sont
associées.
Démontrer qu'un point
est centre de symétrie de
la représentation
graphique d'une
fonction.
Démontrer qu'une droite
est axe de symétrie de la
représentation graphique
d'une fonction.
Construire la
représentation
graphique de la
réciproque d'une
fonction bijective.
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
41
Contenus
Commentaires
CompŽtences exigibles
II. LIMITES
On ne fera pas de théorie. Les explications resteront à un niveau intuitif.
L'introduction des limites et de la continuité se fera sur des exemples.
L'objectif est que les élèves sachent calculer des limites de fonctions usuelles.
1) Approche intuitive
• Connaître et
• On n'abordera que
" la fonction f admet pour
utiliser les
cette variante de la
limite un nombre réel l au
notations des
limite.
point a signifie que les
limites.
• Dans un premier
valeurs de f(x) peuvent être
temps, on se placera
aussi proches de l que l'on
dans le cas de limite
veut à condition que les
finie en un point réel.
valeurs de x soient
• On admettra que
suffisamment proches de a en
lorsqu'une fonction
restant différentes de a.
admet une limite,
2) Notation
cette limite est unique.
Notations :
On illustrera graphiquement
lim f ( x ) et lim f
a
xa a
3) Limite ˆ droite, ˆ gauche
Approche intuitive
Notations:lim f et lim f ou lim
f(x) =l , lim f(x) =l
a- a + x → a x → a
x<a
x>a
Théorème admis :
Si lim
f = lim
f
+
−
a
a
alors lim f = lim
f = lim f
+
a
a
a−
Illustration graphique
les notions introduites.
•
•
Connaître et
utiliser les
théorèmes sur les
limites pour :
• On étendra la notion de
- Calculer une
limite aux cas ci dessous
limite, une limite à
:
droite et une limite
- Limite finie à l'infini
à gauche
- Limite infinie en a fini
- Lever une forme
- Limite infinie à l'infini
indéterminée
• Définir les asymptotes
horizontales et verticales
L'introduction se fera
comme pour la limite
4) Extension de la notion de
limite
5) OpŽrations sur les limites
Théorèmes sur la somme, le
produit, le quotient, sur la
racine carrée d'une fonction
42
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
Contenus
Commentaires
III. CONTINUITÉ
La continuité est vue comme application directe des limites.
per•oive le lien avec le tracé de la courbe
1) ContinuitŽ en un point
• On admettra que les
Définition :
fonctions polynômes,
Illustration graphique
rationnelles, racines
Continuité à droite et à
carrées,
gauche
homographiques sont
2) ContinuitŽ sur un
continues dans leurs
intervalle
ensembles de définition
- Définition
• On dit que f est continue
Théorème admis : l'image
en a si :
d'un intervalle par une
- f (a) existe
fonction continue est un
- lim f existe
a
intervalle.
et
si lim f = f (a )
- Opérations sur les
a
fonctions continues sur un
• On fera le lien entre le
intervalle
tracé continu de la
-Théorème admis :
courbe représentative
Si f est continue et strictement
d'une fonction et sa
monotone sur un intervalle I
continuité.
alors f est une bijection de I
sur f(I).
Compétences exigibles
L'objectif est que l'Žl•ve
• Démontrer qu'une
fonction est :
continue en un point
continue à droite, à
gauche
continue sur un
intervalle.
• Reconnaître
graphiquement une
fonction continue en
un point ou sur un
intervalle
• Connaître les
fonctions continues
usuelles
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
43
Contenus
Commentaires
CompŽtences
exigibles
IV. DÉRIVATION
La dérivation est un outil de résolution de problèmes. Ainsi, l'objectif de cette partie est
que les élèves sachent calculer des dérivées et utiliser la dérivation à bon escient.
•
Il faudra montrer aux
élèves le lien entre les
deux expressions
• On fera des activités sur
l'approximation affine.
•
• On donnera une
continue en x0 .
interprétation cinématique
2) InterprŽtation
et économique.
gŽomŽtrique
•
· Tangente à une courbe en
•
Théorèmes
:
Soit
f
une
un point
fonction dérivable à
3) Nombre dŽrivŽ ˆ gauche ,
gauche et à droite en x0 :
nombre dŽrivŽ ˆ droite
•
1) Si les nombres dérivés à
· Définition, théorèmes,
gauche et à droite sont égaux
interprétation
au même nombre réel l alors f
géométrique
est dérivable en x0 et
4) Fonction dŽrivŽe
•
• Fonction dérivable sur un f '(x0) = l
intervalle
2) Si les nombres dérivés à
.Dérivée des fonctions
gauche et à droite sont
élémentaires
distincts, alors f n'est pas
• Règles de dérivation de la dérivable en x . La courbe
0
somme, du produit, du
de f admet deux demi
quotient de deux fonctions
tangentes au point A
dérivables
d'abscisses x0 ; le point A est
• Dérivée de
un point anguleux de la
•
g : x→ f (a x + b) où f est
courbe.
une fonction dérivable
1) Fonction dŽrivable en un
point
· Définition
· Théorème admis : si f est
dérivable en x0 , alors f est
•
•
44
Calculer le nombre
dérivé, le nombre
dérivé à gauche, le
nombre dérivé à
droite
Utiliser les règles
de dérivation au
programme
Utiliser le
théorème liant
dérivabilité et
continuité
· Déterminer une
équation de la
tangente à une
courbe
Représenter une
tangente ou une
demi tangente à
une courbe
Déterminer les
variations d'une
fonction
Construire un
tableau de
variations
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
Contenus
5) DŽrivŽe et sens de
variation
ThŽor•mes admis sur le
sens de variation :
1) Si f est dŽrivable sur
un intervalle I et si
dŽrivŽe est nulle sur I,
alors f est constante sur I
2) Si f est dŽrivable sur
un intervalle I et si sa
dŽrivŽe est positive (resp.
nŽgative) sur I, alors f
est croissante (resp.
dŽcroissante) sur I.
3) Si f est dŽrivable sur un
intervalle I et si sa dŽrivŽe est
strictement positive (resp.
strictement nŽgative) sur I,
alors f est strictement
croissante (resp. strictement
dŽcroissante sur I).
4) Si f est dérivable sur
un intervalle ouvert
contenant x0 , si f’
Commentaires
•
s’annule en changeant de
signe en x0
On utilisera la dérivée
dans des problèmes
d'optimisation et
d'approximation.
alors la fonction f admet
un extremum en x0 .
6) DŽrivŽe et bijection
Théorème admis : Si f est
dérivable sur un intervalle I et
si f est strictement monotone
sur I, alors f est une bijection
de I sur f (I).
•
Compétences
exigibles
•
•
Déterminer des
extrema
Résoudre des
problèmes à l'aide
de l'outil
dérivation
Ce théorème pourra être
utilisé dans la résolution
d'équations et
d'inéquations.
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
45
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
V. ÉTUDE ET REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DE FONCTIONS
•
On se limitera à des
fonctions rationnelles
dont le dénominateur et
le numérateur ont des
•
degrés inférieurs ou
égaux à 2.
• On ne fera pas une étude
systématique pour la
recherche des
•
asymptotes obliques.
Cependant, on utilisera
que si
f(x) = a x + b +r(x) avec
lim r = 0 ou lim r = 0
+∞
−∞
•
1) Fonctions polyn™mes
•
de degré inférieur ou égal à 3.
2) Fonctions rationnelles
Asymptotes obliques
3) Fonctions irrationnelles
4) Fonctions sinus, cosinus,
tangente
- Périodicité.
-Exemples de
représentation graphique de
fonctions composées d’une
fonction circulaire et d’une
fonction affine.
alors la droite d’équation
5) Exemple dÕutilisation de y = a x + b est une
la reprŽsentation graphique asymptote oblique à la
pour la résolution d’équations courbe représentative
ou d’inéquations de type :
de f.
f(x) = g(x), f(x) > g(x).
• On traitera quelques cas
de discussion d’une
équation paramétrique
du type f(x) = m.
• Le professeur utilisera
sans en abuser les
notions de demi
tangentes.
46
Étudier et
représenter les
fonctions au
programme
Déterminer et
représenter les
asymptotes
parallèles aux axes à
une courbe
Justifier qu’une
droite d’équation
donnée est une
asymptote oblique à
une courbe.
Utiliser la
représentation
graphique pour
résoudre des
équations et
inéquations
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
VI. SUITES NUMÉRIQUES
L’introduction des suites permet de familiariser l’élève à des situations
discrètes. Son étude peut être faite soit avant, soit après l’étude des fonctions. Dans les
deux cas, le lien devra être fait particulièrement sur l’étude des limites et la
représentation graphique.
De nombreux exemples pris dans la vie courante permettent d’illustrer cette notion.
1) GŽnŽralitŽs
• Ce sera l’occasion
- Définition, sens de variation,
d’introduire, sans faire
- suites périodiques, suites
de théorie, sur des
bornées
exemples significatifs
- Comparaison de suites
le raisonnement par
- Représentation graphique
récurrence. On
calculera les p termes
2) Suites arithmŽtiques,
consécutifs, la somme
suites gŽomŽtriques
de p termes
Définition, expression du
consécutifs d’une suite
terme général en fonction du
arithmétiques ou
premier terme, du rang et de
géométriques.
la raison ; calcul de la somme • On évoquera le cas des
de p termes consécutifs
réels formant une
progression
3) Convergence
arithmétique ou
dÕune suite
géométrique.
• On introduira les suites
convergentes par des
exemples simples. Une
suite non convergente
est divergente.
L’approche intuitive se
fera de manière
calculatoire et
graphique. On
admettra les théorèmes
généraux.
•
•
•
•
•
•
•
•
Déterminer les termes
d’une suite récurrente
Démontrer qu’une
suite est monotone ou
périodique.
Représenter
graphiquement une
suite
Connaître la définition
de suites arithmétiques
et géométriques.
Majorer ou minorer
une suite.
Calculer p termes
d’une suite.
Déterminer la somme
de p termes d’une
suite arithmétique ou
géométrique.
Utiliser la notation
indicielle et
la notation ∑
Déterminer des limites
de suites convergentes
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
47
DƒNOMBREMENT
Des situations nombreuses de dŽnombrement, rencontrŽes depuis lÕŽcole ŽlŽmentaire,
pourront servir dÕintroduction. Les exemples pourront •tre pris dans le contexte
socioculturel de lÕŽl•ve. Le choix des ŽnoncŽs sera fait mŽticuleusement pour Žviter des
probl•mes dÕinterprŽtation
Contenus
1) Notions ŽlŽmentaires de
la thŽorie des ensembles
(appartenance, réunion….)
Commentaires
•
2) Ensemble fini
Cardinal d’un ensemble
fini.
Opérations sur les
cardinaux
Produit cartésien, Cardinal
de AxB
Cardinal de Ap
3) P-listes
Définition
P-Arrangement
Permutation
4) Combinaisons
Définition – PropriétésBinôme de Newton
•
•
•
48
On ne fera aucun
développement théorique.
L’approche de la théorie
des ensembles se fera à
partir d’activités (jeux de
cartes, boules colorées et
numérotées..), il s’agit
d’entraîner les élèves à
organiser des données
issues de secteurs variés
et à traiter des problèmes
simples de
dénombrement.
Les justifications des
formules se feront à l’aide
de représentations :
arbres, tableaux…
Exemples de tirages
successifs ou simultanés
avec ou sans remise.
Triangle de Pascal
CompŽtences exigibles
•
Connaître le
vocabulaire suivant :
ensemble fini, cardinal
d’un ensemble, produit
cartésien,
p-liste, arrangement,
permutation,
combinaison
• Utiliser des
représentations pour
dénombrer.
• Connaître et utiliser
les formules des
p-listes, arrangements
et combinaisons.
• Connaître les
notations , n ! et·
• Modéliser des
situations concrètes
pour résoudre des
problèmes de
dénombrement.
• Utiliser la formule du
binôme de Newton.
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
STATISTIQUE
Le r™le actuel des statistiques, particuli•rement dans les sciences biologiques, montre
quÕil faut leur accorder une place importante dans lÕenseignement des mathŽmatiques, et
tout spŽcialement en sŽrie S2 et S4. Pour mettre en pratique les diffŽrentes notions du
cours de statistiques on pourra organiser une (des) enqu•te(s) qui, serai (en) t effectuŽe(s)
puis exploitŽe(s) au long de lÕannŽe.
Contenus
1) SŽrie ˆ une variable
- Exercices traitant de
situations ÇÊrŽellesÊÈ
empruntŽes ˆ dÕautres
disciplines.
- SŽries classŽes
dÕinŽgales amplitudes
2) SŽrie ˆ deux
variables
- Effectifs et frŽquences
marginaux
- Effectifs et frŽquences
conditionnels
- Nuage de points, point
moyen
- Ajustement affine Çʈ
main levŽeÊÈ
- Ajustement par la
mŽthode de Mayer
•
•
•
Commentaires
Il ne sÕagit pas de
reprendre le cours de
2¡ mais de faire des
exercices faisant
fonctionner les acquis
de 2¡.
Dans cette partie les
notions seront
introduites ˆ partir
dÕexemples simples.
La mŽthode des
moindres carrŽs nÕest
pas au programme de
1¡ S2 et S4.
•
•
•
•
•
CompŽtences exigibles
Conna”tre le vocabulaire
des sŽries ˆ deux
variablesÊ: effectifs et
frŽquences marginaux,
effectifs et frŽquences
conditionnels.
ReprŽsenter pour une
sŽrie ˆ deux variablesÊ:
le nuage de points.
Calculer les
coordonnŽes du point
moyen.
Tracer et dŽterminer une
droite dÕajustementÊ: ÇÊ ˆ
main levŽeÊÈ
DŽterminer la droite
dÕajustement par la
droite par la mŽthode de
Mayer
ALGéBRE
On compl•tera et on renforcera les notions vues en seconde. Il est conseillŽ de
commencer le cours de 1¡S2 et S4 par cette partie.
Contenus
I. APPLICATIONS
•
- Image directe, image
réciproque
(détermination
graphique).
- Applications injectives et
surjectives
Commentaires
Cette partie pourra
•tre traitŽe en rapport
avec le dŽnombrement
et la gŽomŽtrie.
CompŽtences exigibles
•
•
DŽterminer
graphiquement lÕimage
directe et lÕimage
rŽciproque dÕune partie
dÕun ensemble.
Reconna”tre
graphiquement une
application bijective.
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
49
-
-
Contenus
Exemples
d’applications
bijectives et
d’applications
réciproques
Restriction d’une
application
Commentaires
CompŽtences exigibles
DŽterminer lÕapplication
rŽciproque.
• DŽterminer et
reconna”tre la restriction
dÕune application
•
II. ƒQUATIONS Ð INƒQUATIONS Ð SYSTéMES.
•
1) Equations Ð InŽquations • La partie "ƒquations InŽquations" donnera
- Équations irrationnelles
l'occasion de rappeler
du type :
les acquis de 2nde S sur
les polyn™mes et les
•
f ( x) = g ( x) ;
Žquations du second
f ( x ) = ax + b
degrŽ.
• Les inŽquations
irrationnelles ne sont
- Inéquations
pas exigibles.
•
irrationnelles du type :
• Les Žquations et
f ( x ) ≤ ax + b ;
inŽquations pourront
faire intervenir des
f ( x ) ≥ ax + b ;
param•tres o• le degrŽ •
f ( x ) ≤ g ( x)
du discriminant qui
s'exprime en fonction
- Equations et inéquations
du param•tre n'exc•de
avec un paramètre réel.
pas deux.
•
On fera Žgalement
2) Syst•me dÕŽquations
remarquer que les
linŽaires dans IR3
Žquations et inŽquations
Méthode du pivot de Gauss
bicarrŽes pourront se
3) Syst•mes d ÔŽquations
ramener au 2e degrŽ par
ou d'inŽquations
des changements de
variables.
Programmation linéaire
• On se limitera ˆ des
exemples dont les
solutions seront
dŽterminŽes
graphiquement.
50
RŽsoudre des Žquations
ou des inŽquations se
ramenant ˆ des
Žquations du second
degrŽ.
RŽsoudre des
Žquations irrationnelles
du type : o• f et g sont
des polyn™mes de degrŽ
infŽrieur ou Žgal ˆ 2.
RŽsoudre un syst•me
d'Žquations en utilisant
la mŽthode du pivot de
Gauss.
RŽsoudre des syst•mes
se ramenant ˆ des
probl•mes de
programmation linŽaire
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
GÉOMÉTRIE
En premi•re 1•re S2 et S4, les notions ŽtudiŽes en gŽomŽtrie, aussi importantes soientelles, ne le sont pas pour elles-m•mes. Elles sont plut™t abordŽes en tant qu'outil puissant
pour rŽsoudre des probl•mes gŽomŽtriques ou des probl•mes issus d'autres disciplines,
tant dans le plan que dans l'espace. Tout point de vue axiomatique est exclu. La pratique
des figures devra tenir une place centrale car elle joue un r™le dŽcisif dans la ma”trise des
notions mathŽmatiques mises en jeu.
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
I. L'OUTIL VECTORIEL ET ANALYTIQUE
Dans le plan comme dans l'espace, on fera constater aux élèves la puissance de
l'outil vectoriel. Cependant le calcul vectoriel ne doit pas constituer un terrain
d'activités purement algébriques. Et l'on s'efforcera de rendre naturel le passage de
l'affine au vectoriel et réciproquement. Ainsi la performance de l'outil vectoriel
n'occultera-t-elle pas le côté affine très formateur; de nombreux exercices seront donc
traités de façon purement affine sur des exemples issus de la physique, on montrera que
l'intérêt du calcul vectoriel ne se limite pas à la géométrie. Le produit vectoriel sera
étudié pour les besoins des sciences physiques.
•
1) Rappels et
compléments
sur les vecteurs
du plan et de
l'espace.
•
2) Barycentre
de quatre
•
points
pondérés dans
le plan.
Extension de la
notion de
barycentre à
l'espace.
•
On étendra les
propriétés du plan
vectoriel aux
vecteurs de
l'espace.
L'extension du
calcul vectoriel à
l'espace sera brève.
On abordera des
problèmes
d'alignement de
points et de
concours de droites
dans quelques cas
simples.
On déterminera
dans le cas de
figures non
•
•
•
Connaître la définition du barycentre de
quatre points pondérés.
Connaître les relations vectorielles
caractérisant le barycentre de quatre
points pondérés.
Réduire un vecteur du type
a MA + b MB + c MC + d MD où a, b,
•
•
•
•
•
c, d sont des réels.
Construire, s'il existe, le barycentre de
quatre points.
Calculer les coordonnées du
barycentre de quatre points.
Déterminer le centre d'inertie d'une
plaque homogène simple, d'un disque
évidé d'un autre disque, d'un disque
évidé d'une figure simple.
Décomposer un vecteur de l'espace.
Connaître la propriété: Dans l’espace,
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
51
Contenus
Commentaires
complexes le centre d'inertie
d'une plaque homogène.
Compétences exigibles
trois points et leur barycentre
sont coplanaires.
II. L'OUTIL MÉTRIQUE
La notion d'angle orienté abordée en seconde sera approfondie ici, le cercle
trigonométrique jouera un rôle majeur.
-
Produit scalaire
Dans le plan
- distance dÕun point
ˆ une droite
- Lignes de
niveau (a, b, k sont
des réels)
•
•
-
U.OM = kÊ;
-
MA . MB = k
2
2
a.MA + b.MB = k.
Dans l’espace
- bases orthogonales,
bases
orthonormales
- repère
orthonormal.
- distance de deux
points
- norme d’un vecteur
- traduction analytique
de l’orthogonalité
de deux vecteurs
52
-
On rappellera par
quelques activités les
propriétés du produit
scalaire vues en 2°.
On traitera en travaux
dirigés :
la puissance d’un point
par rapport à un cercle
la cocyclicité de quatre
points
l’équation d’une tangente
à un cercle défini par une
équation cartésienne
•
•
•
•
Connaître le vocabulaire :
repère orthonormal, base
orthogonale et base
orthonormale.
Calculer
la distance de deux
points dans l’espace
la norme d’un vecteur
de l’espace.
Déterminer une équation
cartésienne de la sphère
Déterminer les lignes de
niveau : (a, b, k sont des
réels)
-
les équations cartésiennes U.OM = kÊ; MA . MB = kÊ;
d’un plan
a.MA2 + b.MB2 = k.
- les systèmes d’équations
• Justifier que deux
cartésiennes d’une
droite
vecteurs de l’espace sont
- la distance d’un point à un
orthogonaux
plan
- l’intersection de deux
cercles.
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
Contenus
2) Angles orientés
Rappels et
compléments
Propriétés
Mesures des angles
orientés
Relation de Chasles
•
•
•
3) Trigonométrie
Formules: d'addition,
de duplication
(multiplication par
2),de linéarisation.
Equations dans R:
équations
fondamentales
équations simples s'en
déduisant
Inéquations trigonométriques dans R
•
•
Commentaires
On introduira la notion
d'arc orienté, mais on ne
s'étendra pas sur des
considérations théoriques.
On s'assurera sur des
activités que les notions
de seconde sont bien
assimilées.
On introduira la notation
de congruence et les
règles d'utilisation
(addition, multiplication).
La transformation de
somme en produit et
inversement n'est pas
exigible.
Dans la linéarisation, on
se limitera à cos2x et
sin2x.
• On traitera en travaux
dirigés la résolution de
l'équation :
a cosx + b sinx + c = 0
•
•
•
•
Compétences exigibles
Connaître la relation de
Chasles pour les angles
orientés.
Connaître les relations
liant les différentes
mesures
Connaître le vocabulaire:
mesures et mesure
principale d'un angle
orienté.
Déterminer la mesure
principale d'un angle
orienté connaissant une
de ses mesures.
•
Connaître et utiliser les
formules d'addition, de
duplication et de
linéarisation
• Résoudre les équations cos
x = cos a, sin x = sin a,
tan x = tan a
• Résoudre des équations
se ramenant à
cos x = cos a, sin x = sin a,
tan x = tan a
• Résoudre sinx ≤ sina,
cosx ≤ cosa, tanx ≤ tana
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
53
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
III. L'OUTIL DES TRANSFORMATIONS
Les élèves doivent connaître les propriétés essentielles des transformations et
doivent savoir les mettre en oeuvre dans des configurations simples. L'accent sera mis
sur l'aspect méthodologique dans la résolution des problèmes. On rappellera que la
résolution d'un problème de géométrie relève surtout de méthode dans la démarche.
- Composée de deux
transformations
planes
- Expression
analytique d'une
translation, d'une
rotation, d'une
symétrie et d'une
homothétie
- Exemples
d'isométries
laissant au moins
un point invariant
54
•
•
•
On étudiera la
composition de deux
rotations de même centre,
de deux symétries
orthogonales, d'une
homothétie et d'une
rotation de même centre.
Travaux Dirigés:
problèmes d'incidence, de
lieux géométriques,
d'optimisation et de
construction.
Les élèves doivent
pouvoir, à travers des
exemples bien choisis,
trouver une méthode de
recherche de solutions.
•
•
•
•
Connaître les propriétés
liées à la composée de
deux transformations
planes.
Connaître et utiliser
l'expression analytique
d'une transformation.
Reconnaître une
transformation par son
expression analytique.
Utiliser des compositions
de transformations pour
résoudre des problèmes
d'incidence, de lieux
géométriques,
d'optimisation et de
constructions
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
IV. COMPLÉMENTS DE GÉOMÉTRIE DANS L'ESPACE
Bien que la géométrie dans l'espace soit explicitement abordée dans les parties
précédentes, son importance justifie un approfondissement du sujet principalement à
travers des travaux dirigés.
- Plan médiateur
- Section plane d'un
solide: sphère,
prisme, pyramide.
- Exemples de
calcul de distance,
d'angle, d'aire et de
volume, dans les
configurations
usuelles de l'espace.
- Produit vectoriel :
- DŽfinition (ˆ l'aide
des coordonnŽes)
- Propriétés
•
•
•
•
•
Le plan sera parallèle à
la base pour les
prismes. Pour les
surfaces de révolution
on parlera de méridien
et de parallèle.
On consolidera à
travers des exemples la
représentation en
perspective cavalière.
L'introduction de cette
notion trouve sa
justification dans ses
multiples applications
en sciences physiques.
On pourra calculer des
aires et des volumes.
•
•
•
•
•
Connaître et utiliser la notion
de plan médiateur
Déterminer et représenter la
section plane d'un solide
simple: cube, pavé droit,
prisme droit.
Calculer :
- le rayon du cercle
intersection de la sphère et
d'un plan sécant.
- des distances, des angles
- des aires et des volumes.
Utiliser les propriétés de base
de géométrie pour résoudre
des problèmes
DŽterminer les coordonnŽes
du produit vectoriel.
Connaître et utiliser les
propriétés du produit vectoriel
Programmes de mathématiques du second cycle- Premières S2 et S4 - Année 2006
55
TERMINALES S1 et S3
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
57
INTRODUCTION GENERALE
Ce programme est destinŽ aux classes de Terminales S1 et S3 L'horaire
hebdomadaire de ces classes est de 9 heures
Outre les nombres complexes, les syst•mes d'Žquations linŽaires, les suites
numŽriques, les fonctions numŽriques, le calcul intŽgral, les Žquations
diffŽrentielles, la gŽomŽtrie plane et la gŽomŽtrie dans l'espace, il comporte les
probabilitŽs, les courbes planes et l'arithmŽtique.
Tous ces th•mes, dont certains ont ŽtŽ dŽjˆ vus en Premi•re, seront introduits ˆ
partir de nombreuses activitŽs permettant d'investir des outils plus ou moins
ŽprouvŽs que l'on affinera au fur et ˆ mesure selon des mŽthodes spŽcifiques
indiquŽes dans le programme pour atteindre les objectifs assignŽs.
Le rŽsultat de l'enseignement de chaque chapitre s'Žvaluera selon des compŽtences
exigibles bien dŽfinies en rapport avec un contenu bien spŽcifiŽ. Les
commentaires appropriŽs permettront de cerner les dŽfinitions, les thŽor•mes dans
leurs ŽnoncŽs et dans leur admission ou leur dŽmonstration.
D'une mani•re gŽnŽrale, l'introduction d'une notion par la thŽorie est vivement
dŽconseillŽe. Il sera souvent fait appel ˆ l'expŽrience scientifique de l'Žl•ve et aux
probl•mes des autres disciplines pour dŽcloisonner l'enseignement des
mathŽmatiques.
Ë la fin de l'Žtude de chaque chapitre, il est recommandŽ de faire la synth•se en
revenant sur les outils, les mŽthodes et les compŽtences exigibles et d'Žtendre leur
champ d'application.
La nouveautŽ de ce programme de Terminale S1S3 rŽsulte dans la rŽintroduction
de l'ArithmŽtique. Elle concerne l'Žtude des entiers naturels et des entiers relatifs
dont une connaissance pratique a ŽtŽ faite dans les classes du premier cycle. Il
s'agira d'Žtendre et d'approfondir ces connaissances par l'introduction des
congruences et l'Žtude des syst•mes de numŽration dont les applications sont
nombreuses en informatique.
Ce programme ouvre des perspectives intŽressantes pour la prŽparation aux Žtudes
supŽrieures.
58
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
PROBABILITƒS.
Pour introduire la notion de probabilitŽ, on s'appuiera essentiellement sur
l'observation statistique dans des cas simples et les stabilitŽs de frŽquence qui s'en
dŽgagent. Ë travers quelques expŽriences alŽatoires simples, on introduira la
notion d'espace probabilisŽ en donnant la dŽfinition axiomatique de la probabilitŽ.
On s'attachera en introduction ˆ faire l'historique de la naissance des probabilitŽs
et ˆ montrer leur importance actuelle dans pratiquement tous les secteurs de la vie
moderne.
Contenus
ƒvŽnements,
ŽvŽnements
ŽlŽmentaires,
ŽvŽnements
incompatibles,
ŽvŽnements contraires.
RŽunion et intersection
de deux ŽvŽnements.
ProbabilitŽ d'un
ŽvŽnement.
Cas d'ŽquiprobabilitŽ.
ProbabilitŽ
conditionnelle d'un
ŽvŽnement par rapport
ˆ un ŽvŽnement de
probabilitŽ non nulle.
IndŽpendance de deux
ŽvŽnements.
Formule des
probabilitŽs totales.
ProbabilitŽ produit.
Variables alŽatoires :
loi de probabilitŽ,
espŽrance
mathŽmatique,
variance, Žcart-type,
fonction de rŽpartition.
ExpŽriences
successives : Žpreuve
de Bernouilli.
Distribution binomiale.
Commentaires
CompŽtences exigibles
Utiliser dans la rŽsolution
On dŽfinira la probabilitŽ d'un
des probl•mes :
ŽvŽnement comme Žtant un
− la probabilitŽ d'un
rŽel de l'intervalle [0, 1] tel
ŽvŽnement ou d'une
que :
rŽunion d'ŽvŽnements.
• la probabilitŽ de
− La probabilitŽ
l'ŽvŽnement certain ½ est
conditionnelle d'un
1, celle de l'ŽvŽnement
ŽvŽnement par rapport
impossible ¯ est 0.
ˆ un ŽvŽnement de
• Si A1, A2, ....., An sont des
ŽvŽnements deux ˆ deux
probabilitŽ non nulle.
disjoints, la probabilitŽ
− la formule des
de l'ŽvŽnement
probabilitŽs totales.
− l'indŽpendance de
A1∪A2∪A3∪ ... ∪An est la
deux ŽvŽnements.
somme des probabilitŽs
de chacun des ŽvŽnements _ DŽterminer la loi de
probabilitŽ d'une variable
A1, A2, A3, ... , An.
alŽatoire.
_ Calculer l'espŽrance, la
En particulier : la probabilitŽ
variance et l'Žcart type
d'un ŽvŽnement est la somme
d'une variable alŽatoire.
des probabilitŽs des
ŽvŽnements ŽlŽmentaires qui le _ DŽterminer et reprŽsenter
la fonction de rŽpartition
composent.
d'une variable alŽatoire.
Formule des probabilitŽs
_ Conna”tre et utiliser la loi
totales :
binomiale.
ƒtant donnŽs des ŽvŽnements
B1, B2, ...Bn constituant une
partition de ½, pour tout
ŽvŽnement A,
n
p(A) =. ∑
i=1
p(A∩Bi )
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
59
ALGƒBRE.
Contenus
Commentaires
CompŽtences exigibles
I) NOMBRES COMPLEXES
L'introduction des nombres complexes est l'occasion de donner un bref aper•u
historique de l'Žvolution du concept de nombre. En plus de leur intŽr•t
algŽbrique, les nombres complexes fournissent des outils pour la trigonomŽtrie et
l'Žtude des configurations gŽomŽtriques planes.
¥ DŽterminer les
PrŽsentation de lÕensemble C des
¥ On admettra
diffŽrentes Žcritures d'un
nombres complexes ;
lÕexistence de
nombre complexe :
• partie rŽelle, partie imaginaire
⊄ prŽsentŽ
algŽbrique,
• nombres complexes conjuguŽs
comme
trigonomŽtrique,
prolongement
• notations : Re(z), Im(z), .
exponentielle.
de
IR.
On
ReprŽsentation gŽomŽtrique ;
¥ InterprŽter le module et
dŽfinira
image d'un nombre complexe,
lÕaddition et la l'argument de zA - zB et
affixe d'un point, d'un vecteur.
multiplication
Module,
zA − zB
dans C et on
• module d'un produit,
z A − zC
mettra en
• inŽgalitŽ triangulaire.
dans des probl•mes de
Žvidence la
Argument d'un nombre complexe
distance (mŽthode
structure
de
non nul.
analytique et gŽomŽtrique)
corps de
• Notation rÊeÊiθ
et des probl•mes d'angles
( ⊄ , +, *) en
• Relation eix.eix' = e i (x + x')
(alignement, cocyclicitŽ).
Žtablissant
¥ application ˆ la trigonomŽtrie ;
directement les Conna”tre et utiliser les
¥ formule de Moivre.
formules d'Euler :
propriŽtŽs.
Racines carrŽes, racines n-i•mes
cos θ = 1 eiθ + e−iθ ;
d'un nombre complexeÊ;
2
interprŽtation gŽomŽtrique des
sin θ = 1 eiθ − e−iθ .
racines n-i•mes.
z
(
(
2i
)
)
¥ Conna”tre et utiliser les
formules de Moivre et du
bin™me de Newton.
¥ DŽterminer et interprŽter
gŽomŽtriquement les
racines ni•mes dÕun nombre
complexe non nul
Suite gŽomŽtrique (zn),
z∈C.
• Transformation de
1 + z + z2 + .......+ zn .
• Application ˆ la trigonomŽtrie.
Transformation de p cosx + q sinx
[(par p + iq = reix )].
60
¥ Cette partie
sur les suites se
traitera en
travaux dirigŽs.
¥ Transformer
p cos(x) + q sin(x) o• p et
q sont des rŽels.
¥ RŽsoudre
p cos(x) + q sin(x) = r o•
p, q et r sont des rŽels.
¥ RŽsoudre des Žquations
du 2nd degrŽ dans C.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
Contenus
RŽsolution des Žquations du
second degrŽ dans C et d'Žquations
s'y ramenant.
Conversion de produits
d'expressions trigonomŽtriques en
somme et inversement.
Exemples de linŽarisation de
polyn™mes trigonomŽtriques et de
mise en oeuvre de la formule de
Moivre.
Application de C dans C :
z a z + z0 ; z a az ;
z a eiθz ; z a az + z0 z0 ∈ C,
Commentaires
¥ On se
bornera, dans la
linŽarisation ˆ
des exposants
peu ŽlevŽs :
n ² 5.
CompŽtences exigibles
¥ LinŽariser un polyn™me
trigonomŽtrique
(degrŽ ² 5).
¥ RŽsoudre une Žquation
du 3•me degrŽ connaissant
une racine.
¥ Utiliser, dans la
rŽsolution de probl•mes de
gŽomŽtrie, les applications
de C dans C :
z a z + z0 ; z a az ;
z a eiθz ; z a az + z0
z0 ∈ C, a ∈ C, θ ∈ IR .
a ∈ C, θ ∈ IR .
II ARITHMƒTIQUE.
•
•
•
•
•
•
•
•
Diviseurs d'un entier Multiples d'un entier relatif.
Nombres premiers et
dŽcomposition d'un entier
naturel en produit de facteurs
premiers.
PGCD - PPCM.de plusieurs
entiers.
ThŽor•me de Gauss - IdentitŽ
de Bezout.
Division euclidienne dans IN
et dans ZZÊ.
Algorithme d'Euclide.
Syst•me de numŽration ˆ base
dix, ˆ base deux, ˆ base cinq, ˆ
base seize.
Congruence modulo n.
¥ La
dŽmonstration
de ces
thŽor•mes
pourra se faire
mais n'est pas
exigŽe.
¥ On pourra
utiliser le Petit
ThŽor•me de
Fermat : Soit p
un nombre
premier, pour
tout ŽlŽment
entier naturel
non nul x, on
a:
x p ≡ x [p].
¥ DŽcomposer un entier en
produit de facteurs
premiers.
¥ DŽterminer le PPCM de
plusieurs entiers.
¥ DŽterminer le PGCD de
plusieurs entiers.
¥ RŽsoudre dans Z des
Žquations du type
ax + by = c o• a, b et c
sont des entiers naturels.
¥ Utiliser les congruences
pour rŽsoudre des
probl•mes dÕarithmŽtique.
¥ On entrainera
les Žl•ves ˆ
Žcrire un
nombre dans
un syst•me de
numŽration ˆ
base donnŽe
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
61
ANALYSE.
I- SUITES NUMƒRIQUES.
Le programme se place dans le cadre des suites dŽfinies pour tout entier naturel. On
remarquera que les notions et rŽsultats s'Žtendent sans changement au cas des suites
dŽfinies ˆ partir d'un certain rang. Pour la convergence, il est demandŽ de ne pas insister
sur les dŽfinitions par (ε, N) et (A, N).
Contenus
Commentaires
CompŽtences
exigibles
1) Rappels et complŽments.
¥ Les premiers ŽlŽments ont
¥ Utiliser le
Suites croissantes,
ŽtŽ mis en place en premi•re
raisonnement par
dŽcroissantes, monotones,
(croissance, dŽcroissance,
rŽcurrence dans
pŽriodiques, suites bornŽes.
monotonie, pŽriodicitŽ,
l'Žtude des suites.
Limite d'une suite.
limites). Il s'agira de donner
¥ ƒtudier le sens de
ƒnoncŽs de comparaison :
aux Žl•ves des activitŽs o• ils variation d'une suite.
¥ Si, ˆ partir d'un certain rang,
feront fonctionner les acquis
¥ Majorer ou minorer
Xn ³ Un et si
de premi•re.
une suite.
¥
Pour
l'Žtude
de
la
monotonie
¥ DŽmontrer qu'une
limUn = +∞, alors nlim Xn = +∞
n→+∞
→+∞
et l'obtention de majoration
suite est convergente.
ou de minoration, on
¥ Etudier le cas
¥ Si, ˆ partir d'un certain rang,
entra”nera les Žl•ves ˆ
particulier o• la suite
x n −L ² Un et si
exploiter la variation des
est du type
fonctions, et sur des exemples Un+1 = f(Un) o• f est
limUn = 0, alors nlim Xn= L
n→+∞
simples, le raisonnement par
→+∞
une fonction continue
rŽcurrence.
¥ ReprŽsenter
¥ Si, ˆ partir d'un certain rang,
¥ L'objectif principal est
graphiquement une
Xn ² Yn et si
d'apprendre aux Žl•ves ˆ
suite.
mettre en oeuvre les rŽsultats ¥ Conjecturer le
X n = L et nlim Y n = L' ,
lim
→+∞
n→+∞
de ce paragraphe pour la
alors L ² L'.
comportement d'une
recherche de limites sur des
¥ Si, ˆ partir d'un certain rang,
suite ˆ partir de la
exemples
simples.
On
mettra
Un ² Xn ² Vn et si
calculatrice ou de la
en valeur la signification
reprŽsentation
limUn = nlim Vn= L,
intuitive de ces rŽsultats et on graphique..
n→+∞
→+∞
soulignera leur commoditŽ ˆ
alors lim Xn = L.
n→+∞
travers l'Žtude de quelques
2) OpŽrations sur les limitesÊ: exemples adŽquats.
¥ Les ŽnoncŽs relatifs aux
¥ Limite d'une somme, d'un
opŽrations couvrent ˆ la fois
produit, d'un quotient, d'une
le cas des limites finies et
racine carrŽe.
celui des limites infinies. Les
cas d'indŽtermination sans
indication de mŽthode sont en
dehors du programme.
62
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
Contenus
¥ Image d'une suite par une
fonction : Žtant donnŽ une
fonction f dŽfinie et continue
sur un intervalle I et une suite
(Un) de points de I,
si lim Un = L et
Commentaires
¥ Cet ŽnoncŽ, condensŽ pour
favoriser la mŽmorisation,
recouvre plusieurs cas qu'il
convient de distinguer
clairement et d'illustrer ˆ
l'aide d'exemplesÊ;
n→+∞
l'introduction de la droite
f(x) = a (L et a fini ou non) numŽrique achevŽe est hors
lim
x→ L
programme.
alors : nlim f(Un) =a.
CompŽtences exigibles
→+∞
¥Toute suite croissante (resp.
dŽcroissante) et majorŽe
(resp. minorŽe) converge.
¥ Suites de rŽfŽrence :
Limite et comparaison des
comportements des suites :
ln (n) ; ( an ) ; (n α ), a rŽel
strictement positif, α rŽel.
II- FONCTIONS
NUMƒRIQUES.
1) Limites et continuitŽ.
Courbes asymptotes.
Raccordement de fonctions.
Limite de fonctions
composŽes.
ContinuitŽ de la bijection et
sa rŽciproque.
Image d'un intervalle par une
fonction continue.
ThŽor•me des valeurs
intermŽdiaires.
¥ Les suites de rŽfŽrences
sont ˆ traiter en relation
avec l'Žtude correspondante
pour les fonctions. On
enrichit ici le tableau des
suites de rŽfŽrence introduit
en premi•re, afin d'Žlargir le
champ d'Žtude du
comportement asymptotique
des suites.
¥ On Žtudiera les thŽor•mes
de comparaison sur les
limites. On s'intŽressera
particuli•rement au
cas des fonctions monotones
bornŽes.
¥ On fera l'Žtude
systŽmatique de la
dŽtermination d'une droite
asymptote ˆ une courbe.
¥ ThŽor•me admis : Pour
tout triplet (a,b,l) de IR 3, si
lim f ( x )= b et lim g( y ) = l
¥ DŽterminer des
asymptotes ˆ une
courbe.
¥ DŽmontrer qu'une
fonction f est une
bijection d'un
intervalle I sur un
intervalle J.
¥ Construire la courbe
reprŽsentative d'une
fonction rŽciproque.
¥ Encadrer x0
solution de l'Žquation
y →b
x→a
f(x) = 0.
alors lim gof ( x ) = l
¥ DŽterminer la limite
x→a
¥ L'image f(I) d'un intervalle de la fonction
composŽe de deux
fermŽ bornŽ I (ou segment)
par une fonction continue sur fonctions.
¥ DŽmontrer la
I est un intervalle fermŽ
continuitŽ d'une
bornŽ.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
63
Contenus
2) DŽrivation.
ComplŽments sur les
fonctions dŽrivŽes.
ThŽor•me de la dŽrivŽe d'une
fonction composŽe de
fonctions dŽrivables.
ThŽor•me sur la fonction
dŽrivŽe de la rŽciproque d'une
fonction dŽrivable strictement
monotone de dŽrivŽe non
nulle.
ThŽor•me des accroissements
finis (admis) :
f Žtant une fonction dŽfinie et
continue sur [a,b] et dŽrivable
sur ]a, b[, il existe au moins
un rŽel c de ]a, b[ tel que
f ' (c) =
f(b) − f(a)
b−a
ThŽor•me du prolongement de
la dŽrivŽeÊ: Si f est continue
sur [a,b] et dŽrivable sur ]a, b[
et si
lim f
x→a
'
( x ) = l , alors f
est dŽrivable ˆ droite en a et a
pour dŽrivŽe le rŽel l
InŽgalitŽ des accroissements
finis.
DŽrivŽes successives.
DŽrivŽes successives de
quelques fonctions simples
x a sin x ; x a cos x ;
x a ex
Commentaires
¥ On Žtudiera des
fonctions dont
l'expression n'est pas
explicitŽe (Žquation
fonctionnelle)
¥ Il s'agit de dŽterminer et
de consolider la notion de
dŽrivŽe, de l'Žtendre ˆ la
composŽe de deux
fonctions dŽrivables et de
l'utiliser dans l'Žtude des
variations d'une fonction.
¥ S'assurer que l'Žl•ve
ma”trise toutes les
opŽrations de dŽrivation
vues en 1•re .
Insister sur la
signification des
notations
g[f(x)](gof)' (x) =
g' [f(x)] . f '(x)
PrŽciser les termes de la
relation
1
(f -1)' (x) =
f '[f −1(x)]
¥ S'assurer que l'Žl•ve
reconna”t les conditions
nŽcessaires d'application
de ces thŽor•mes de
l'inŽgalitŽ des
accroissements finis.
¥ Il s'agit de montrer que
l'opŽration de dŽrivation
d'une fonction peut se
poursuivre plusieurs fois.
¥ En relation avec les
autres disciplines montrer
l'intŽr•t de ces
CompŽtences exigibles
fonction en la
dŽcomposant en fonctions
continues.
¥ Calculer la dŽrivŽe de la
composŽe de deux
fonctions dŽrivables.
¥ Calculer la dŽrivŽe de la
fonction rŽciproque d'une
fonction bijective
dŽrivable.
¥ Utiliser la formule des
accroissements finis.
¥ Utiliser l'inŽgalitŽ des
accroissements finis.
¥ Calculer la dŽrivŽe
seconde, tierce d'une
fonction simple.
¥ Calculer la dŽrivŽe
n-i•me de sinx, cosx, ex
¥ ReprŽsenter
graphiquement les
fonctions citŽes dans le
programme.
¥ Conna”tre et utiliser les
limites suivantes :
ex
lim
α =+∞ÊÊ;ÊÊ
x →+∞ x
lim xα.e−x = 0
x →+∞
ln x
Si α > 0, lim α = 0 et
x →+∞ x
lim X α .ln X = 0
x →0 +
3) Application ˆ l'Žtude des
fonctions.
Fonctions rationnelles.
Fonctions irrationnelles.
Fonctions trigonomŽtriques.
64
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
Contenus
Fonction logarithme nŽpŽrien.
Fonction exponentielle
nŽpŽrienne.
Fonction puissance.
Fonctions composŽes des
fonctions ci-dessus.
Croissance comparŽe de
fonctions.
Commentaires
calculs sur des exemples
simples.
¥ La fonction
exponentielle de base a,
a ∈ IR*+ -{1} et la
fonction logarithme de
base a seront introduites
par
loga x =
CompŽtences exigibles
ln x
et
ln a
ax = e xln a .
III- CALCUL INTƒGRAL.
1. IntŽgrale d'une fonction sur
un segment.
DŽfinition.
InterprŽtation gŽomŽtrique de
l'intŽgrale.
2. PropriŽtŽs de l'intŽgrale.
LinŽaritŽ.
Relation de Chasles.
PositivitŽ.
IntŽgration et inŽgalitŽ.
InŽgalitŽ de la moyenne.
Valeur moyenne d'une
fonction.
3. Techniques de calcul de
l'intŽgrale.
IntŽgration par parties.
IntŽgration de produits et de
puissances de fonctions
trigonomŽtriques.
Changement de variables.
4. Application de l'intŽgration.
Obtention d'encadrement ˆ
l'aide d'intŽgrales.
MŽthode de calcul de valeurs
approchŽes d' intŽgrales.
Calcul d'ŽlŽments physiques ˆ
l'aide du calcul intŽgral.
f Žtant une fonction
continue sur un intervalle
I contenant un point a, la
fonction
x a
¥ Calculer l'aire d'un
domaine plan.
x
∫ f(t)dt est l'unique
a
primitive de f sur I
prenant la valeur 0 au
point a. Dans l'Žtude du
calcul intŽgral, on mettra
en valeur les
interprŽtations graphiques
(en termes d'aires) de
nombreux rŽsultats :
relation de Chasles,
intŽgration et inŽgalitŽs.
¥ Seuls les changements
de variables affines sont
exigibles ˆ l'examen.
¥ Utiliser les propriŽtŽs de
l'intŽgrale dans la
rŽsolution de probl•mes.
¥ Ma”triser les techniques
de calcul intŽgral au
programme.
¥Utilisation du calcul
intŽgral pour l'obtention
d'encadrements de
fonctions.
MŽthode des rectangles,
des trap•zes, des
tangentes. ¥ Calcul d'aires
planes, de volumes en
prŽcisant les unitŽs
utilisŽes.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
65
Contenus
IV- ƒQUATIONS
DIFFƒRENTIELLES.
RŽsolution de l'Žquation
homog•ne du premier ordre.
RŽsolution de l'Žquation
homog•ne du second ordre :
recherche de solutions ˆ
l'aide de l'Žquation
caractŽristique
Exemples de rŽsolution
d'une Žquation diffŽrentielle
linŽaire avec second membre
du premier ordre ˆ
coefficients constants.
Exemples de rŽsolution
d'une Žquation diffŽrentielle
du second ordre ˆ
coefficients constants avec
un second membre de la
forme
A cos αt + B sin αt.
66
Commentaires
¥ L'introduction pourra se
faire par l'Žquation
f ' = kf
¥ L' existence et l' unicitŽ
de la solution vŽrifiant
des conditions initiales
donnŽes seront admises.
¥ En relation avec
l'enseignement des
sciences
physiques(mŽcanique du
point, circuits
Žlectriques. on Žtudiera
quelques exemples
simples satisfaisant ˆ une
loi d'Žvolution et ˆ une
condition initiale, afin de
mettre en Žvidence
certains phŽnom•nes
physiques
(amortissement,
oscillation.)
CompŽtences exigibles
¥ RŽsoudre une Žquation
diffŽrentielle linŽaire
homog•ne du premier
ordre ˆ coefficients
constants.
¥ RŽsoudre une Žquation
diffŽrentielle linŽaire
homog•ne du second ordre
ˆ coefficients constants.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
GÉOMÉTRIE.
Contenus
GÉOMÉTRIE PLANE.
Commentaires
1) Calculs barycentriques.
Etude des fonctions :
1) M a
n
∑ αi MAi ; αi
rŽel.
i =1
n
2
2) M a ∑ αi MAi ; αi rŽel.
i =1
Applications affines :
conservation du barycentre.
Images d'ensembles de points.
2) GŽomŽtrie plane.
Points cocycliques.
Rappels et complŽments sur les
isomŽtries.
Similitudes directes planes
Triangles directement
semblables.
¥ Donner des
exemples
d'applications ne
conservant pas le
barycentre.
¥ On pourra parler
des applications
linŽaires associŽes
sans trop s'y
Žtendre.
On montrera que les
isomŽtries sont des
applications affines
conservant le
barycentre.
¥ Ces rappels se
feront au travers
d'exercices de
dŽmonstration, de
constructions
gŽomŽtriques et de
recherche de lieux
gŽomŽtriques.
¥ Les similitudes
pourront •tre
ŽtudiŽes en rapport
avec les nombres
complexes.
CompŽtences exigibles
¥ Etablir la formule rŽduite
des expressions
n
∑ αi MAi
i =1
2
n
et ∑ αi
i =1
MAi
et les utiliser dans la
rŽsolution de probl•mes.
¥ Utiliser les propriŽtŽs des
applications affines pour
faire des dŽmonstrations.
¥ DŽterminer et reprŽsenter
les lignes de niveau
( MA.MB) = α
(modulo 2Π) ou
(mod 2Π)
¥ DŽmontrer que quatre
points sont cocycliques.
¥ DŽterminer l'image d'une
figure simple par une
similitude.
¥ DŽterminer une
similitude et ses ŽlŽments
caractŽristiques.
¥ ƒtudier une similitude
donnŽe par son expression
complexe.
¥ DŽcomposer une
similitude.
¥ Utiliser les crit•res de
similitude de triangles
dans des rŽsolutions de
probl•mes.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
67
Contenus
GÉOMÉTRIE DANS
L'ESPACE.
I) PRODUIT VECTORIEL PRODUIT MIXTE.
1) Orientation de l'espace.
Rep•res orthonormaux directs,
indirects.
2) Produit vectoriel :
DŽfinition - Notation.
PropriŽtŽs.
Expression analytique dans un
rep•re orthonormŽ directe
3) Produit mixte de trois
vecteurs :
DŽfinition Notation
Expression analytique dans une
base orthonormale
II) TRANSFORMATIONS
ELEMENTAIRES DE
L'ESPACE.
Translations.
HomothŽties.
RŽflexions par rapport ˆ un plan.
Rotation autour d'un axe.Ê:
dŽfinitionÊ, rotation induite
Demi-tour autour d'un axe D ou
symŽtrie d'axe D.
Composition de deux rŽflexions
par rapport ˆ des plans sŽcants
ou parall•les.
DŽcompositions d'une rotation
en deux rŽflexions.
DŽcomposition d'une translation
en deux rŽflexions.
68
Commentaires
¥ Aucune thŽorie de
l'orientation n'est au
programme. On
s'appuiera sur des
exemples de la vie
courante pour montrer
l'insuffisance de
l'orientation du plan :
l'orientation d'un cercle
vu d'en haut ou d'en
bas, le champ
ŽlectromagnŽtique ...
¥ On Žtudiera des
exemples d'utilisation
de ces applications
pour la dŽtermination
d'ensemble de points.
CompŽtences exigibles
¥ Calculer l'aire d'un
triangle, d'un
parallŽlogramme.
¥ DŽterminer un vecteur
normal ˆ un plan.
¥ DŽterminer une
Žquation d'un plan.
¥ DŽmontrer que :
- des vecteurs sont
colinŽaires.
- des points sont alignŽs.
- des points sont
coplanaires.
¥ Calculer la distance :
- d'un point ˆ une droite.
- de deux droites.
¥ Calculer le produit
mixte de trois vecteurs.
¥ Calculer le volume d'un
tŽtra•dre d'un
parallŽlŽpip•de.
¥ Construire le
transformŽ d'un point par
l'une de ces applications.
¥ Conna”tre et utiliser
leurs propriŽtŽs pour
dŽmontrer l'alignement,
le parallŽlisme,
l'orthogonalitŽ et pour
calculer des longueurs.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
Contenus
COURBES PLANES.
Commentaires
¥ On introduira les courbes
paramŽtrŽes ˆ partir de
probl•mes de lieux
gŽomŽtriquesÊ; aucune Žtude
des fonctions vectorielles
n'est au programme. Le
t a OM (t) avec
vecteur dŽrivŽ est dŽfini par
r ses coordonnŽes x'(t), y'(t).
OM (t) = x(t). i + y(t). j
¥ Pour la notion de tangente,
Vecteur dŽrivŽÊ:
on se limitera au cas o• le
interprŽtation cinŽmatique, vecteur dŽrivŽ n'est pas nul.
vecteur vitesse, tangente.
L'Žtude des branches
Vecteur accŽlŽrationÊ;
infinies est hors programme.
Žtude de la trajectoireÊ;
Žtude du mouvement.
ExemplesÊ: cerclesÊ,
cyclo•desÊ:
I) NOTIONS DE
COURBES
PARAMETREES.
Courbes dŽfinies en rep•re
orthonormal par
CompŽtences exigibles
• Déterminer la tangente à
une courbe paramétrée.
Représenter une courbe
paramétrée.
 x(t) = a ( t- sin t)
Ê y(t) = a ( cos t)
tet astro•des :
x(t) =a cos3 t


y(t) =a sin3 t
II) CONIQUES.
DŽfinition par foyer et
directrice :
Sommet, centre, Žquation
cartŽsienne rŽduite.
GŽnŽration bifocale de
l'ellipse et de l'hyperbole.
ƒquation de l'hyperbole
rapportŽe ˆ ses
asymptotes.
ƒquations paramŽtriques.
Tangente en un point
d'une conique.
¥ Pour les coniques, on fera
l'Žtude de la ligne de niveau
MF = e.
MH
¥ On donnera des exemples
de transformations d'un
cercle en ellipse par affinitŽ
orthogonale, de tracŽ de
lieux gŽomŽtriques ˆ l'aide
d'une reprŽsentation
paramŽtrique.
• Déterminer une équation
cartésienne ou paramétrique
d'une conique.
• Déterminer la nature et les
éléments d'une conique
connaissant une équation
cartésienne ou
paramétrique.
• Tracer la tangente en un
point d'une conique.
• Représenter
graphiquement une conique.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S1 et S3 - Année 2006
69
TERMINALE S2 et S4
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
71
INTRODUCTION GENERALE
Le programme des classes de Terminales S2 et S4 s'inscrit dans la continuité de
la réforme des programmes entreprise depuis 1990 à partir de la 6ème. En
conséquence, il prend en compte les changements adoptés dans les classes
précédentes et se situe dans l'esprit de l'harmonisation des programmes de
Mathématiques.
Ce programme est prévu pour cinq heures de cours par semaine. Le programme
est formulé en termes de contenus. Ces contenus sont assortis de commentaires.
Les compétences exigibles, sur lesquelles l'élève doit être évalué, complètent ce
programme.
Les classes de Terminales S2 et S4 sont des classes à vocation scientifique
tournée vers les sciences expérimentales. En conséquence, l'analyse et la gestion
des données y prennent une place prépondérante.
L'acquisition par les élèves d'un raisonnement rigoureux et d'une bonne maîtrise
technique des outils mathématiques doit se faire sans excès de formalisme et
d'abstraction : les savoir faire sont privilégiés sur les savoirs théoriques.
L'introduction d'une nouvelle notion par des activités préparatoires sera toujours
privilégiée sur une approche théorique. On donnera du sens à toute démarche
mathématique afin de ne pas la déconnecter de la réalité.
Le raisonnement constitue un objectif majeur dans la formation. La formulation
des démonstrations et la compréhension des énoncés (particulièrement en
dénombrement) feront l'objet d'une étude soignée. Une liaison maths-français est
souhaitable.
L'approche historique, quand elle est possible, sera encouragée pour donner à
l'élève une ouverture sur la culture mathématique.
De nombreux concepts mathématiques seront utilisés dans les autres disciplines
particulièrement en Sciences Physiques. Ce sera l'occasion au travers d'une
collaboration interdisciplinaire de décloisonner l'enseignement.
Les exercices seront pris, autant que possible, dans le domaine socioculturel de
l'élève.
72
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
ANALYSE.
Le programme d'analyse porte essentiellement sur les fonctions numériques.
L'objectif principal est d'exploiter la dérivation et l'intégration pour l'étude globale
et locale des fonctions usuelles et des fonctions qui s'en déduisent de manière
simple. Quelques problèmes d'importance majeure fournissent un terrain pour
cette étude : étude de variations, recherche d'extrema, résolution d'équations et
d'inéquations, calcul de grandeurs géométriques.
Quelques notions sur les suites complètent le programme d'analyse dans le seul
but de permettre l'étude de situations discrètes sur des exemples simples.
Les activités sur les suites et les fonctions ne sauraient se borner à des exercices
portant sur des exemples donnés à priori, il convient aussi d'étudier des situations
issues de l'algèbre, de la géométrie, des sciences physiques, des sciences de la vie
et de la terre, des sciences économiques et des sciences humaines.
Contenus
I) FONCTIONS
NUMÉRIQUES.
1) Rappels et Compléments.
- Rappels sur la continuité .
- Théorème des valeurs
intermédiaires (admis).
- Fonction réciproque d'une
fonction continue et
strictement monotone sur un
intervalle : existence et continuité
(admises), monotonie,
représentation graphique.
-Etude des branches infinies
-Théorèmes de comparaison des
limites
-Limite d'une fonction composée :
a et l étant deux réels, si
lim f ( x ) = b et g est continue en
Commentaires
•
•
•
Compétences exigibles
Prolonge-ment
•
par continuité.
On recherchera
sur des exemples •
une valeur
approchée d'un
zéro d'une
fonction continue.
Sur des exemples,
déterminer, quand
cela est possible, •
l'expression de
f -1 (x).
•
x→a
b,alors lim gof ( x ) = g(b).
x→a
-Composée de deux fonctions
continues.
2) Dérivées et primitives.
- Dérivation d'une fonction
composée de deux fonctions
dérivables. Applications aux
• La dérivation de la
réciproque (lorsque
cela est possible)
pourra être traitée et
utilisée dans la suite
du cours.
•
Déterminer l'image
d'un intervalle par une
fonction continue.
Utiliser le théorème
des valeurs
intermédiaires pour
rechercher une valeur
approchée d'un zéro
d'une fonction
continue.
Justifier l'existence, la
continuité et la
monotonie d'une
fonction réciproque.
Représenter la
fonction réciproque
d'une fonction
bijective donnée à
partir de la
représentation de cette
dernière.
Calculer la limite d'une
fonction composée gof
en un point a lorsque f
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
73
Contenus
fonctions du type fa a ∈ Q
Commentaires
- Dérivation de la réciproque d'une
fonction dérivable monotone et de
dérivée non nulle.
- Dérivées successives.
- Points d‘inflexion :
Définition :On dit que la courbe
de f admet un point d‘inflexion
d‘abscisse x0 si la courbe y traverse
•
•
sa tangente .
Théorème :Si f est deux fois
dérivable sur un intervalle ouvert I
contenant x0 et si f ‘ s‘annule en
un point d‘inflexion.
-Théorème admis :
Si lim f '( x ) = l (l réel fini ou pas)
x→a
alors lim
x→a
f ( x ) − f (a )
=l
x−a
- Primitives d'une fonction
continue sur un intervalle :
- Définition, existence
(admise),ensemble des primitives
d'une fonction continue, propriété
des primitives, primitives de
fonctions usuelles, primitives des
fonctions du type (g'of).f'.
- Inégalité des accroissements finis
74
On utilisera les
notations f',
f",....et, en
liaison avec la
physique, on
introduira les
•
Connaître les
notations f ', f", ...,
f(n).
Calculer les dérivées
successives.
notations df et
dx
d 2f
.
dx 2
changeant de signe en x0 alors le
point de la courbe d‘abscisse x0 est
Compétences exigibles
• admet une limite b en
a et lorsque g est
continue en b.
• Justifier la continuité
de la composée de
deux fonctions
continues.
• Justifier la dérivabilité
et calculer la dérivée
d'une fonction
composée
•
On se limitera à
des calculs
simples, on
donnera les
indications
nécessaires
pour les
transformations
éventuelles.
•
Connaître les
primitives des
fonctions usuelles.
• Déterminer les
primitives des
fonctions usuelles et
du type
(g'of).f ' , f n .f' ,
•
n ∈ Q-{ -1}
Savoir utiliser
l’inégalité des
accroissements finis
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
Contenus
3) Fonctions usuelles
• Exemples d’étude de
fonctions polynômes,
rationnelles et
trigonométriques.
• Fonctions
puissances : x : x a ,
avec a entier ou
rationnel.
• Fonction logarithme
népérien : ensemble de
définition, propriétés
algébriques, continuité,
limites, dérivée,
représentation
graphique.
• Fonction
exponentielle :
ensemble de définition,
propriétés algébriques,
continuité, limites,
dérivée, primitive,
représentation
graphique.
Commentaires
•
Compétences exigibles
La fonction logarithme
népérien, noté ln, est la
primitive sur ]0, _∞[ de
•
Connaître et utiliser
les limites ( a est un
rationnel strictement
positif )
la fonction [x : 1 ] qui
x
•
•
•
s'annule en 1.
En liaison avec la
physique, on introduira le
logarithme décimal, noté
log.
La fonction exponentielle
est définie comme
fonction réciproque de la
fonction logarithme
népérien, et sera notée
[ x : exp(x) ]. On
démontrera aussi que
exp(x) = ex.
On s'intéressera aux
limites usuelles cidessous :
ln( x )
;
a
x →+∞ x
a
lim x ln( x ) ; lim
x →0 +
lim
ex
x →0
x
ln(1 + x )
;
x →0
x
; lim
x
ex − 1
x →+∞
lim
a
n x
. lim x e
x →−∞
n est un entier naturel non
nul.
• Déterminer les
primitives des
fonctions du type
(exp o f).f ' ,
f'
f
ln( x )
a
x →+∞ x
a
lim x ln( x ) ; lim
x →0 +
ln(1 + x )
;
x →0
x →+∞ x
x
ex − 1
a étant un
lim
x →0
x
lim
ex
a
; lim
rationnel strictement
positif
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
75
II) SUITES NUMERIQUES
Les suites numériques seront étudiées sur des exemples et leur introduction sera faite
sans théorie. On pourra y consolider le raisonnement par récurrence.
Contenus
Commentaires
Compétences
-Compléments • Des rappels sur les suites
• Connaître et utiliser les
sur les suites
seront faits sur des exemples.
théorèmes sur la
arithmétiques,
• Suites récurrentes:
convergence des suites
sur les suites
un+1= f(un), où f est continue.
monotones bornées.
géométriques
•
Déterminer le sens de
On représentera ces suites pour
et sur les suites
variation, la convergence,
faire apparaître la convergence
récurrentes.
et la limite d'une suite de
ou la divergence.
type Un+1= f (Un), avec f
-Théorèmes sur • On admettra les théorèmes
la convergence
suivants :
continue.
des suites
- Si (Un) converge vers L et si f
• Représenter graphiquement
monotones
une suite de type
est une fonction continue en L
bornées
Un+1= f (Un), avec f
alors (f(Un)) converge vers f(L).
(admis).
continue.
-Soit (Un) une suite définie par la
relation Un+1= f(Un). Si Un
-Limite d'une
suite du type
converge vers L et si f est continue
Un+1 = f(Un) en L alors L est solution de
l'équation x = f(x).
III) CALCUL INTÉGRAL
Le calcul intégral sera l'occasion d'effectuer des recherches de primitives, en particulier
dans le but de déterminer des aires de surfaces ou de volumes de solides. L'aspect
pratique sera toujours présent.
Contenus
Commentaires
Compétences
exigibles
• Si F est une primitive
-Intégrale d'une fonction
• Connaître et
de f sur [a,b], alors
continue sur un intervalle [a, b] :
utiliser les
b
• définition, notation.
propriétés de
∫a f ( x) d x = F(b) - F(a)
Linéarité.
l'intégrale.
Interprétation graphique.
• Relation de Chasles.
• Calculer une
• On pourra traiter des
-Intégrale et inégalités :
intégrale à l'aide
exemples de calcul
•
si f est positive sur [a, b],
d'une primitive
b
d'une valeur approchée
ou d'une
alors ∫a f ( x) d x est positive.
d'une intégrale, mais
intégration par
aucune connaissance
parties.
• si f ≤ g sur [a, b] ,
sur les méthodes
• Calculer des
b
b
usuelles de calcul de
aires planes et
alors ∫a f ( x ) dx ≤ ∫a g( x ) dx
valeur approchée d'une
des volumes du
• si pour tout x de
intégrale n'est exigible.
type b
[a, b], m ≤ f(x) ≤ M, alors
• On fera calculer des
V =. ∫a S( z) dz
volumes du type
76
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
Contenus
m(b-a) ≤
b
∫
b
a
∫ f(x)dx ≤
a
f ( x ) dx ≤ M(b- a).
∫a f(x) dx
b
- Intégration par parties.
- Calcul d'aires et de volumes.
Commentaires
b
Compétences
exigibles
V =∫ a S( z) dz où S(z) est
l'aire de la section plane du
solide considéré.
• On fera des calculs de
moment d‘inertie et de
centre d‘inertie.
• On donnera à l‘élève la
formule :
b
V = ∫a πf 2 ( x)dx pour les cas
où on fait tourner une portion
de la courbe de f autour de
l‘axe des abscisses.
IV) ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES.
Aucune théorie générale ne sera faite, l'objectif de cette partie est de savoir résoudre les
équations différentielles.
L'utilisation des équations différentielles en Sciences Physiques est un champ intéressant pour la recherche d'activités préparatoires ou d'exercices.
Contenus
Commentaires
Compétences
exigibles
• Équation différentielle
On donnera toujours une
• Résoudre les
linéaire homogène du premier
indication pour la
équations
ordre à coefficients constants:
détermination d‘une solution
différentielles
existence et unicité de la
particulière.
linéaires
solution vérifiant une condition En liaison avec
homogènes du
initiale donnée.
l'enseignement des sciences
premier et du
physiques (mécanique,
second ordre à
électricité...), on étudiera sur
coefficients
• Équation différentielle
des exemples simples des
constants.
linéaire homogène du second
phénomènes continus
• Résoudre les
ordre à coefficients constants : satisfaisant à une loi
équations
existence et unicité (admises)
d'évolution et à une condition
différentielles
de la solution vérifiant des
initiale, afin de mettre en
linéaires du
conditions initiales données.
évidence certains
premier et du
-Equation différentielle linéaire phénomènes (amortissement,
second ordre à
du premier et du second ordre à oscillation...) ; aucune
coefficients
coefficients constants avec
connaissance des lois
constants avec
second membre
physiques sur ces questions
second membre.
n'est exigible des élèves en
mathématique.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
77
ORGANISATION DE DONNEES
I) STATISTIQUES.
Les statistiques ont une place de plus en plus grande dans les sciences
expérimentales, l'économie et la vie courante. Ceci explique leur importance en série
S2. Leur introduction sera faite à partir d'exemples concrets. On pourra organiser une
enquête qui sera exploitée en cours.
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
• Séries à deux variables.
• Connaître et utiliser les
• La détermination
• Méthode des moindres
formules de la corrélation et
des équations des
carrés.
de la régression linéaire.
droites de
• Déterminer le coefficient
• Coefficient de
régression pourra
de corrélation linéaire et les
corrélation linéaire
être traitée en
équations des droites de
exercice.
régression.
• On utilisera des
• Interpréter le coefficient de
exemples
corrélation linéaire.
empruntés aux
• Utiliser les droites de
autres disciplines et
régression pour faire des
on évitera les
prévisions.
exemples n'ayant
aucun support réel.
II) PROBABILITÉS.
Les acquis de Première sur le dénombrement seront consolidés sous forme d'exercices
variés tirés de situations réelles.
Les probabilités constituent un chapitre important dont les applications pratiques sont
nombreuses (en médecine, économie, pharmacie). En conséquence, on veillera à
rendre ce cours attrayant par le choix judicieux d'activités préparatoires et d'exercices.
On veillera à faire ressortir le lien naturel entre les statistiques et les probabilités. Seul
figure au programme le cas où l'ensemble des événements élémentaires est fini.
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
• Notion de probabilité. • Le vocabulaire
• Connaître le vocabulaire
• Probabilité d'un
probabiliste
probabiliste.
événement.
(univers,
• Calculer la probabilité d'un
• Probabilité de
événement,
événement.
l'événement contraire.
événement
• Connaître et utiliser les
• Probabilité de la
élémentaire,...) sera
formules des probabilités au
réunion de deux
introduit à partir
programme.
événements
d'épreuves
• Calculer la probabilité
incompatibles ou non.
aléatoires simples.
conditionnelle d'un
• Cas de
• On pourra traiter
événement.
l'équiprobabilité.
des problèmes tirés
• Montrer que deux
• Probabilité
de la médecine
événements sont
conditionnelle :
(tests médicaux).
indépendants.
- Définition,
• Utiliser la formule des
78
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
Contenus
- Événements
indépendants.
- Formule des
probabilités totales.
• Notion de variable
aléatoire :
Définition,
Vocabulaire, Notation
P(X=x)
• Fonction de
répartition
F(x) = P(X ≤ x).
• Espérance, variance,
écart type d'une
variable aléatoire.
• Loi binomiale.
Commentaires
• Les variables
aléatoires seront
introduites à partir
d'exemples.
• Exemple de schéma
de Bernouilli.
• On introduira la loi
binomiale sur un
exemple d'épreuves
répétées
indépendantes.
Compétences exigibles
probabilités totales pour
résoudre des problèmes.
• Déterminer la loi de
probabilité d'une variable
aléatoire.
• Calculer l'espérance, la
variance et l'écart-type
d'une variable aléatoire.
• Déterminer et représenter la
fonction de répartition d'une
variable aléatoire.
• Connaître la formule de la
loi binomiale et l‘utiliser
pour résoudre des
problèmes.
ALGÈBRE ET GÉOMÉTRIE.
Les résultats d'algèbre et de géométrie vus dans les classes précédentes ne feront
pas l'objet de rappels. Cependant, ils seront utilisés dès que l'occasion se
présentera en particulier sur les nombres complexes qui constituent la seule
nouveauté de cette partie. Il est conseillé de faire un rappel historique sur
l‘évolution des nombres, des entiers naturels aux complexes.
Contenus
Commentaires
Compétences exigibles
Une construction de C est pas recommandée. L'introduction des nombres complexes
fournit des outils pour la trigonométrie et pour l'étude de configurations géométriques
planes.
• Définition ; forme
• Connaître les
• Un nombre complexe z est
algébrique.
différentes formes
un nombre qui peut s'écrire
• Somme, produit,
d'un nombre
sous la forme
quotient de deux nombres
complexe et leurs
z = a + i b où a et b sont des
complexes.
notations.
réels et i un nombre tel
• Conjugué d'un nombre
•
Connaître et utiliser
2
que i = -1
complexe : définition,
les propriétés du
• Notation eiθ = cosθ + i sinθ
propriétés.
conjugué.
•
Les
élèves
doivent
savoir
• Forme trigonométrique :
• Connaître et utiliser
- module et argument ;
les propriétés du
interpréter le module et
- définition et propriétés.
module et d' un
l'argument de zA - zB.
argument d'un
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
79
Contenus
• Interprétation
géométrique : affixe d'un
point, d'un vecteur.
• Applications à l'étude
des similitudes planes
directes ; éléments
caractéristiques.
• Formule de Moivre,
racines nièmes d‘un réel
positif, d‘un complexe.
• Résolution d'équations
du second degré à
coefficients complexes,
exemples de factorisation
de polynômes.
• Compléments de
trigonométrie : exemples
d'utilisation des nombres
complexes pour établir
des formules et pour
linéariser des expressions
trigonométriques.
• Utilisation des nombres
complexes pour :
- démontrer l'alignement
de 3 points.
- comparer des longueurs.
- déterminer la nature
d'une configuration
géométrique ou d'une
transformation
géométrique.
80
Commentaires
• Il s'agit d'étudier des
applications du type :
M(z) : M'(a z + b)
avec a ≠ 0
• On pourra donner des
exemples de résolution
d'équation du 2nd degré à
coefficients complexes.
• Les formules ainsi obtenues
n'ont pas à être
mémorisées.
• L’élève doit savoir
interpréter le module et
l’argument d’un quotient.
Compétences exigibles
nombre complexe.
• Utiliser les
nombres
complexes pour
résoudre des
problèmes de
géométrie.
• Déterminer les
éléments
caractéristiques
d'une similitude
plane directe.
• Connaître et utiliser
les formules
d'Euler et la
formule de Moivre.
• Linéariser des
expressions
trigonométriques.
• Déterminer les
racines nièmes de
l'unité.
• Résoudre dans C
les équations du
2nd degré à
coefficients
complexes.
Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006
PROGRAMME
DE MATHEMATIQUES
SERIES L
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
81
CLASSE DE SECONDE L
INTRODUCTION
Les mathŽmatiques sont essentiellement, pour lÕŽl•ve de la sŽrie L, un objet
dÕapprentissage au service dÕautres disciplines. Donner du sens aux concepts doit
•tre le dŽfi permanent ˆ relever dans lÕenseignement - apprentissage des
mathŽmatiques dans ces classes. Le sens se mesure, ˆ ce niveau, surtout par la
prise en charge de probl•mes courants du champ de leur centre dÕintŽr•t. Ce
terrain est propice ˆ faire participer efficacement lÕenseignement des
mathŽmatiques ˆ lÕinstallation de compŽtences citoyennes.
SÕapproprier une situation, traiter et argumenter, communiquer des rŽsultats,
structurer et gŽnŽraliser sont des compŽtences gŽnŽrales qui seront dŽveloppŽes.
A la fin de la classe de seconde L, lÕŽl•ve devrait avoir amŽliorŽ ses compŽtences
dans les domaines citŽs plus haut en convoquant ˆ bon escient les outils mis ˆ sa
dispositionÊ: lecture graphique, tracŽ de courbes reprŽsentatives des fonctions de
rŽfŽrence, calcul algŽbrique, Žquations et inŽquations dans IR, situation de
proportionnalitŽ et ses application, statistique(param•tres de position et de
dispersion) et droites dans le plan.
On introduira autant que possible une perspective historique, ce qui permettra de
mieux saisir le sens et la portŽe des probl•mes et des notions ŽtudiŽes, et de les
situer dans le dŽveloppement scientifique et culturel.
Il s'agira surtout de consolider, complŽter et mobiliser les connaissances
acquises au coll•ge
L'horaire hebdomadaire est de 3 heures.
82
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
I.CALCUL DANS R
1) Calculs ŽlŽmentaires
sur les fractions
2) Calculs ŽlŽmentaires
sur les radicaux
3) Ecritures littŽrales:
• utilisation des ŽgalitŽs
remarquables.
• dŽveloppement,
rŽduction d'une
expression.
• factorisation d'une
expression..
4) Valeur absolue
5) Intervalles de IR.
6) Equations et
inŽquations du premier
degrŽ
II. SITUATION DE
PROPORTIONNALITƒ
1) Pourcentage.
• Augmentation de t%
• diminution de t%
2) Echelles.
distance de la
reprographie = k x
distance rŽelle
(k Žtant l'Žchelle)
3) Mouvement uniforme.
distance = vitesse x durŽe
de parcours
4) Situation de
proportionnalitŽ et
fonction linŽaire
Commentaires
Cette partie du programme
(comme beaucoup d'autres ) a
ŽtŽ abordŽe au premier cycle. Il
est donc question ici de mettre
l'accent sur une meilleure
utilisation de ces notions dans
des situations variŽes et non
une rŽpŽtition de ce qui a ŽtŽ
fait.
(a + b)(a - b) = a2 - b2 ;
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2-2ab + b2 ;
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Ê;
a3-b3 =(a-b)( a2+ab+ b2 ) Ê;
a3+b3 =(a+b)( a2-ab+ b2 )
On s'assurera de la ma”trise du
calcul en vue de la rŽsolution
des Žquations et des
inŽquations. Le calcul sur les
fractions ne fera pas l'objet d'un
chapitre mais, ˆ chaque
occasion, les rappels
nŽcessaires seront faits.
On pourra utiliser les mŽthodes
graphiques.
On utilisera des situations
concr•tes pour :
1)Êles pourcentages :
• taux d'intŽr•ts.
• rŽduction.
• taxeÉ
2)Êles grandeurs
proportionnelles:
• mesures.
• Prix.
• Echelles.
• dŽplacement ˆ pied, en
voiture.
3) On mettra en Žvidence la
liaison entre proportionnalitŽ et
fonction linŽaire.
CompŽtences exigibles
Utiliser les ŽgalitŽs
remarquables pour
dŽvelopper, rŽduire, ou
factoriser une
expression.
RŽsoudre les Žquations
| ax + b | = | cx + d |
RŽsoudre les inŽquations
|x| ≤ a et | x | ≥ a
Simplifier une
expression contenant des
radicaux.
Traduire des probl•mes
de la vie courante en
Žquations et inŽquations
du premier degrŽ et les
rŽsoudre.
RŽsoudre une Žquation,
une inŽquation et un
syst•me dÕinŽquations ˆ
une inconnue.
Conna”tre et utiliser les
formules :
• distance de la
reprographie =
Žchelle x distance
rŽelle.
• distance parcourue =
vitesse x durŽe de
parcours
Reconna”tre des
grandeurs
proportionnelles
Calculer une
augmentation ou une
rŽduction de t%
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
83
Contenus
Commentaires
III. FONCTION
AFFINE ET DROITES
DU PLAN
A-FONCTION AFFINE
1) Fonction linŽaire et
fonction affine ;
ReprŽsentation
graphique.
2) Taux d'accroissement
d'une fonction affine.
ProportionnalitŽ des
accroissements.
3) DŽtermination d'une
application affine :
• par la donnŽe de
deux nombres et de
leurs images;
• par la donnŽe du
taux d'accroissement,
d'un nombre et de
son image.
On s'assurera, ˆ l'aide
d'exemples simples (longueur
d'un ressort, intŽr•t d'un capital
; augmentation de la population
d'un pays...) que les
connaissances de coll•ge sont
assimilŽes.
4) Fonction affine par
morceaux
84
CompŽtences exigibles
DŽterminer une
quatri•me
proportionnelle
Connaissant deux
grandeurs
proportionnelles et leur
coefficient de
proportionnalitŽ k,
calculer un des ŽlŽments
connaissant les deux
autres
ReprŽsenter
graphiquement une
situation de
proportionnalitŽ
InterprŽter
graphiquement une
situation de
proportionnalitŽ
Reconna”tre une fonction
linŽaire et une fonction
affine :
• par leurs expressions
• par leurs
reprŽsentations
graphiques
Calculer l'image ou
l'antŽcŽdent d'un rŽel
Calculer un taux
d'accroissement
ReprŽsenter
graphiquement une
fonction linŽaire, une
fonction affine
Reconna”tre et
reprŽsenter une fonction
affine par morceaux
DŽterminer une fonction
affine connaissant :
¥ deux nombres et leurs
images
¥ le taux d'accroissement,
un nombre et son image
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
B- DROITES DU PLAN
1) Rep•res orthogonaux
2) Coefficient directeur
d'une droite
3) Equations
cartŽsiennes de droites
4) Droites
perpendiculaires Droites parall•les
5) Distance de deux
points
IV. LECTURES
GRAPHIQUES
1) ReprŽsentation
graphique d'une
situation dŽcrite
ˆ l'aide d'un tableau
de donnŽes.
2) InterprŽtation d'une
reprŽsentation
graphique.
3) Exemples
d'interpolation linŽaire
V- STATISTIQUE
1)caractŽristiques de
position:
• le mode
• la mŽdiane
• les quartiles
• la moyenne
arithmétique
Commentaires
On travaillera dans un rep•re
orthonormal
CompŽtences exigibles
Placer un point dans un
rep•re; lire les
coordonnŽes d'un point
donnŽ.
Trouver une Žquation
d'une droite dont on
donne deux points ; un
point et le coefficient
directeur Montrer que
deux droites sont
parall•les,
perpendiculaires ˆ partir
de leurs coefficients
directeurs Application du
thŽor•me de Pythagore.
ReprŽsenter
On pourra choisir comme
graphiquement un
situation:
• l'Žvolution des tempŽratures tableau de donnŽes.
Retrouver des donnŽes
• l'Žvolution des
numŽriques ˆ partir d'un
prŽcipitations
graphique.
• l'Žvolution des prix
Utiliser des donnŽes
• l'Žvolution de la
graphiques pour Žmettre
consommation les
des conjectures sur
dŽplacements
l'Žvolution d'un
phŽnom•ne de la vie
courante.
Utiliser une
reprŽsentation graphique
ou un tableau de
proportionnalitŽ pour
faire des interpolations
linŽaires.
Il est important que les Žl•ves
InterprŽter une
sachent utiliser et organiser des reprŽsentation graphique
documents statistiques issus de pour dŽterminer:
domaines variŽs et
un mode ou une classe
comprennent leur importance
modale ;
dans la description de
une mŽdiane ;
phŽnom•nes sociaux et
un quartile.
Žconomiques.
Calculer et interprŽter
On se limitera ˆ des exemples
chaque caractŽristique de
simples
position et de dispersion.
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
85
Contenus
2) caractŽristiques de
dispersion:
• la variance
• l'Žcart-type
• l'Žtendue
• l'intervalle interquartile
Commentaires
CompŽtences exigibles
On pourra faire
remarquer qu'un secteur
angulaire ou un triangle
peut reprŽsenter la
solution d'un syst•me
d'inŽquations du premier
degrŽ ˆ deux inconnues.
RŽsoudre un syst•me
d'Žquations par la mŽthode de
substitution
RŽsoudre un syst•me
d'Žquations par la mŽthode
d'addition (ou par
Žlimination)
RŽsoudre un syst•me
A-Syst•me d'Žquations.
On se limitera ˆ des
d'Žquations par la mŽthode
• mŽthode de substitution. syst•mes de trois
graphique
• mŽthode d'addition.
Žquations ou inŽquations. Traduire des situations
• mŽthode graphique.
simples de la vie courante par
des syst•mes d'Žquations du
B- InŽquations et syst•me
premier degrŽ ˆ deux
d'inŽquations.
inconnues
RŽsoudre un syst•me
d'inŽquations par la mŽthode
graphique
Traduire des situations
simples de la vie courante par
des systèmes d'inéquations du
premier degré à deux
inconnues
VII. ƒQUATIONS et
Conna”tre le vocabulaire :
INƒQUATIONS DU
"Žquation du second degrŽ,
SECOND DEGRƒ
racines d'une Žquation, forme
canonique, discriminant,
polyn™me, degrŽ ( second
A-forme canonique du
degrŽ ), coefficient, racine
trin™me du second
d'un polyn™me".
degrŽ;discriminant.
Reconna”tre une Žquation du
second degrŽ.
Etablir la forme canonique
d'un trin™me du second degrŽ.
Traduire des situations
simples de la vie courante.
VI. MƒTHODES DE
RƒSOLUTION D'UN
SYSTéME
D'ƒQUATIONS OU
D'INƒQUATIONS DU
PREMIER DEGRƒ Ë
DEUX INCONNUES.
86
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenu
B- RŽsolution dÕune
Žquation du second degrŽ
par la mŽthode du
discriminant.
1-MŽthode de rŽsolution
2-Somme et produit des
racines
3-Factorisation dÕun
polyn™me du second degrŽ
C- RŽsolution dÕune
inŽquation du second
degrŽ.
Signe dÕun polyn™me
du second degrŽ
VIII. TRACƒ DE
COURBE
On apprendra ˆ tracer point
par point les courbes des
fonctions suivantes :
x a x2
x a x3
1
xa x
xa
x
x a ax2, a ∈ IR*
x a ax3, a ∈ IR*
Commentaires
Les Žquations et
inŽquations du second
degrŽ ˆ param•tre sont
hors programme
CompŽtences exigibles
par des Žquations du second
degrŽ.
Calculer le discriminant d'un
trin™me du 2¡degrŽ
Utiliser le discriminant pour
rŽsoudre une Žquation du
second degrŽ.
VŽrifier qu'un rŽel est zŽro
d'un polyn™me du second
degrŽ
Utiliser les racines d'un
polyn™me du second degrŽ
pour le factoriser .
Trouver deux nombres
connaissant leur somme et
leur produit.
Utiliser les ŽgalitŽs
remarquables pour rŽsoudre
sans le calcul du discriminant
une Žquation du second degrŽ.
DŽterminer le signe d'un
trin™me du second degrŽ.
Reconna”tre et rŽsoudre une
inŽquation du second degrŽ
Traduire des situations
simples de la vie courante par
des inŽquations du second
degrŽ et les rŽsoudre
On entra”nera les Žl•ves ˆ Tracer point par point les
utiliser les calculatrices
courbes citŽes au programme
On tracera dans un m•me
rep•re orthonormal, les
courbes reprŽsentatives
des fonctions
x a x2 et x a x
On comparera les
fonctions
x a ax2 et x aax3 ˆ
partir de leurs courbes
reprŽsentatives
dans un m•me rep•re
orthonormal
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
87
CLASSE DE PREMIERE L
INTRODUCTION
Les mathématiques sont essentiellement, pour l’élève de la série L, un objet
d’apprentissage au service d’autres disciplines. Donner du sens aux concepts doit
être le défi permanent à relever dans l’enseignement - apprentissage des
mathématiques dans ces classes. Le sens se mesure, à ce niveau, surtout par la
prise en charge de problèmes courants du champ de leur centre d’intérêt. Ce
terrain est propice à faire participer efficacement l’enseignement des
mathématiques à l’installation de compétences citoyennes.
S’approprier une situation, traiter et argumenter, communiquer des résultats,
structurer et généraliser sont des compétences générales qui seront développées.
On introduira autant que possible une perspective historique, ce qui permettra de
mieux saisir le sens et la portée des problèmes et des notions étudiées, et de les
situer dans le développement scientifique et culturel.
L’enseignement des mathématiques est à relier à celui des autres disciplines. On
insistera à la fois sur la phase de mathématisation et sur la phase d’interprétation
des résultats. Dans l'évaluation, on évitera des difficultés supplémentaires qui
risqueraient de masquer les objectifs initiaux.
A la fin de la classe de première L, l’élève devrait avoir amélioré ses compétences
dans les domaines cités plus haut en convoquant à bon escient les outils mis à sa
disposition tels que :
• Factorisation et étude le signe d’un polynôme de degré n ( n ≤ 4)
• Calcul, interprétation et utilisation des limites et des dérivées
• Calcul et utilisation de n!, Anp,Cnp
•
•
•
Etude et représentation graphique des fonctions polynômes et rationnelles
Reconnaissance et utilisation des suites arithmétiques et géométriques
Ajustement d’un nuage de points par la méthode de MAYER
LÕhoraire hebdomadaire est de 3 heures
88
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
ALGéBRE.
Contenus
I - SYSTéMES D'ƒQUATIONS
ET D'INƒQUATIONS.
1)ÊSyst•mes d'Žquations linŽaires ˆ 3
ou 4 inconnues (pivot de Gauss).
2)ÊSyst•mes d'inŽquations linŽaires ˆ
2 inconnues.
3)ÊProbl•mes d'optimisation.
Commentaires
CompŽtences exigibles
On pourra utiliser
les mŽthodes
graphiques.
On Žtudiera des
probl•mes
d'optimisation ˆ
partir de rŽsolution
des syst•mes
d'Žquations ou
d'inŽquations ˆ 2
inconnues.
RŽvision du
programme de
seconde
II) POLYNïMES.
Pour l'utilisation de
1) GŽnŽralitŽs : mon™mes,
ces deux mŽthodes
bin™mes, trin™mes,
on travaillera sur des
polyn™mes de degrŽ n (n ≤ 4). exemples simples
2) Trin™me du second degrŽ.
3) Factorisation dÕun polyn™me
de degrŽ n en utilisant :
• la division euclidienne
• l'identification des
coefficients.
4) RŽsolution dÕŽquations et
dÕinŽquations
Conna”tre la mŽthode
du pivot de Gauss pour
rŽsoudre un syst•me
simple de 3 Žquations ˆ
3 inconnues
Utiliser la mŽthode
graphique pour
rŽsoudre des probl•mes
simples d'optimisation.
Factoriser un polyn™me
en utilisant la division
euclidienne.
Factoriser un polyn™me
en utilisant
l'identification des
coefficients.
Utiliser le tableau des
signes pour rŽsoudre
une inŽquation de degrŽ
n ( n ≤ 4 ).
ANALYSE.
I) FONCTIONS NUMERIQUES
1) Notion de fonction
a)Définition
b)Image et antécédent
c)Ensemble de
définition
d) Parité
Déterminer l’ensemble de
définition d’une fonction
Reconnaître dans une
notation la fonction,
l’image et l’antécédent
On fera remaquer
lÕintŽr•t ˆ Žtudier la
paritŽ
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
89
Contenus
2) Limite - ContinuitŽ
a) Notion de limite et
opŽrations sur les limites.
Commentaires
En utilisant les tracŽs de
courbes effectuŽs en classe
de seconde, on prŽsentera
concr•tement les notions
de limite et de continuitŽ.
On fera remarquer que dire
que x tend vers +∞
(respectivement -∞)
signifie que x prend une
valeur supŽrieure (respectivement infŽrieure ) ˆ tout
nombre que l'on peut
b) ContinuitŽ en un point. imaginer.
c) continuitŽ sur un
intervalle :
Définition
CompŽtences exigibles
Calculer la limite en x0 d'une
fonction continue en x0.
Calculer la limite ˆ l'infini
lorsqu'elle existe d'une
fonction.
Calculer la limite en x0
lorsqu'elle existe d'une
fonction non dŽfinie en x0.
Reconnaître et lever une
indétermination
f dŽfinie en x0 et sur un
intervalle ouvert contenant
x0 est
continue en x0 si :
• lim f ( x ) existe et est
x ax0
finie.
lim f ( x ) = f ( x0 )
x ax0
On parlera de limite à
droite, limite ˆ gauche.
On fera remarquer que les
fonctions polyn™mes et les
fonctions rationnelles sont
continues sur leur
ensemble de dŽfinition.
On fera remarquer que la
limite d'une fonction en un
point lorsqu'elle existe est
unique.
90
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
3) DŽrivabilitŽ
a) Nombre dŽrivŽ.
b) InterprŽtation
gŽomŽtrique du nombre
dŽrivŽ; Žquation. de la
tangente en un point ˆ
une courbe
c) Fonction dŽrivŽe.
d) ThŽor•mes sur les
fonctions dŽrivŽes :
dŽrivŽe dÕune somme,
dÕun produit, dÕun
inverse, dÕun quotient.
e) dŽrivŽes de fonctions
usuelles :
x a k; x a axÊ;
x a ax+bÊ; x a xn
avec
n ∈ N* et a,b ∈ IR
Commentaires
CompŽtences exigibles
Avant de donner la
¥ Calculer la dŽrivŽe d'une
dŽfinition de nombre
fonction
dŽrivŽ, on dŽgagera la
¥ Calculer le nombre
notion de nombre dŽrivŽ ˆ
dŽrivŽ d'une fonction en un
partir d'exemples simples.
point.
Le nombre dŽrivŽ de f en
¥ DŽterminer une Žquation
x0 est le coefficient
de la tangente en un point.
directeur de la droite
tangente ˆ la courbe de f au
point d'abscisse x0.
Les Žl•ves doivent
conna”tre les r•gles de
dŽrivation et savoir les
appliquer ˆ des exemples
ne prŽsentant aucune
complication technique.
Les dŽmonstrations de ces
r•gles ne sont pas au
programme.
xa 1 ; xa x avec x>0
x
4) Variations dÕune
fonction
a) Sens de variation
dÕune fonction.
b) Exemples de
recherche dÕun extremum
On prŽcisera que si sur un
intervalle la dŽrivŽe d'une
fonction est :
• positive, alors la
fonction est croissante.
• nŽgative alors la
fonction est
dŽcroissante.
• nulle, alors la fonction
est constante.
Si en un point la dŽrivŽe
s'annule en changeant de
signe, on obtient un
extremum
•
•
•
•
•
Utiliser le signe de la
dŽrivŽe pour Žtudier les
variations d'une
fonction.
Reconna”tre un
extremum sur un tableau
de variation
Reconna”tre la paritŽ
d'une fonction ˆ partir
du tableau de variation.
Etudier une fonction.
Tracer une courbe
reprŽsentative d'une
fonction.
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
91
Contenus
5) Plan d'Žtude dÕune
fonction.
a) Ensemble de
dŽfinition- limites.
b) ParitŽ.
c) Sens de variation
- Tableau de variation.
d) Points particuliers
- TracŽ.
6) Fonctions polyn™mes
a) Fonction polyn™me du
second degrŽ.
b) Fonction polyn™me du
troisi•me degrŽ.
c) Fonction polyn™me
bicarrŽe
7) Fonctions
homographiques
a ) Etude deÊ: x a
b) Etude deÊ:
xa
avec k ∈ IR*
c) Etude de fonctions
homographiques.
Xa
92
1
x
k
x
Commentaires
On remarquera que dans
un rep•re orthogonal, la
courbe d'une fonction paire
admet l'axe des ordonnŽes
comme axe de symŽtrie,
que celle d'une fonction
impaire admet l'origine
comme centre de symŽtrie .
CompŽtences exigibles
On choisira bon nombre de
situations dans les sciences
Žconomiques et sociales
qui donneront des
exemples simples et
concrets.
On se limitera ˆ Žtudier des •
exemples dont la dŽrivŽe
admet une racine Žvidente.
.
•
.
On dŽterminera sur des
exemples les asymptotes
parall•les aux axes
On fera remarquer que le
point dÕintersection des
asymptotes est centre de
symŽtrie.
Etudier une fonction
polyn™me du second
degrŽ.
Etudier une fonction
polyn™me du troisi•me
degrŽ.
• Etudier une fonction
polyn™me bicarrŽe
Etudier une fonction
homographiqueÊ:
•
•
•
1
x
k
xa
x
ax + b
xa
, c ∈ IR,
cx + d
xa
ax + b
, c ∈ IR*
cx + d
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
8) Exemple de deux
fonctions rŽciproquesÊ:
x a x2 et x a x
II. SUITES
ARITHMETIQUES
SUITES
GEOMETRIQUES
1) Notion de suites
a) DŽfinition
b) Notations
2) Suites
arithmŽtiques
a) DŽfinition
b) Notation
c) Expression du
terme gŽnŽral
d) Somme des n
premiers termes
3) Suites gŽomŽtriques
a) DŽfinition
b) Notation
c) Expression du
terme gŽnŽral
d) Somme des n
premiers termes
Commentaires
On se limitera ˆ des cas
simples
Utiliser leurs restrictions
dans IR+pour parler de
deux fonctions réciproques
et faire remarquer la
symétrie de leurs courbes
représentatives par rapport
à la droite d’équation
y = x.
On partira d'exemples de la
vie courante pour dŽgager
la notion de suite
arithmŽtique, de suite
gŽomŽtrique.
On insistera sur les
significations et les
notations U, (Un ) n ∈ N et
Un.
La somme des n premiers
termes pourra •tre utilisŽe
dans lÕŽtude de probl•mes
concrets de progression,
dÕintŽr•t...
CompŽtences exigibles
Etudier les fonctionsÊ:
x a x2 et x a x
Reconna”tre une suite
arithmŽtique.
Reconna”tre une suite
gŽomŽtrique.
Calculer un terme de rang
donnŽ
Calculer la somme des n
premiers termes d'une suite
arithmŽtique.
Calculer la somme des n
premiers termes d'une suite
gŽomŽtrique.
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
93
STATISTIQUE
Contenus
SŽries ˆ 2 variables
1) Nuage de points.
2) Approximation ˆ main
levŽe.
3) Approximation par la
mŽthode de Mayer
Commentaires
CompŽtences exigibles
ReprŽsenter un nuage de points.
Tracer ˆ main levŽe la droite
d'ajustement.
DŽterminer une approximation
par la mŽthode de Mayer de la
droite d'ajustement.
On introduira le
probl•me du
dŽnombrement par la
construction de
diagrammes, de
tableaux ˆ double
entrŽe, d'arbres sur
des exemples
concrets avant de
dŽgager les formules
Reconna”tre et calculer le
nombre de suites ˆ p ŽlŽments
distincts ou non.
Reconna”tre et calculer le
nombre de parties ˆ p ŽlŽments.
DENOMBREMENT
I) Nombre de suites ˆ p
ŽlŽments dÕun ensemble ˆ n
Žlements (np)
II) Arrangement
III) Combinaison
Formule Du Bin™me De
Newton Et Triangle De
Pascal
A ce propos on
pourra faire un
commentaire
historique.
94
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
CLASSE DE TERMINALE L
INTRODUCTION
Les mathématiques sont essentiellement, pour l’élève de la série L, un objet
d’apprentissage au service d’autres disciplines. Donner du sens aux concepts doit
être le défi permanent à relever dans l’enseignement - apprentissage des
mathématiques dans ces classes. Le sens se mesure, à ce niveau, surtout par la
prise en charge de problèmes courants du champ de leur centre d’intérêt. Ce
terrain est propice à faire participer efficacement l’enseignement des
mathématiques à l’installation de compétences citoyennes.
S’approprier une situation, traiter et argumenter, communiquer des résultats,
structurer et généraliser sont des compétences générales qui seront développées.
A la fin de la classe de Terminale L, l’élève devrait avoir amélioré ses
compétences dans les domaines cités plus haut en convoquant à bon escient les
outils mis à sa disposition .
On fera appel autant que possible aux perspectives historiques des mathématiques,
ce qui permettra de mieux situer l'origine, l'utilisation et le développement de
certains concepts.
L'enseignement des mathématiques, tout en s'effectuant en rapport avec les
autres disciplines doit partir d'activités de la vie courante.
À partir d'exemples simples on fera appel à l'intuition, à l'imagination et au sens
du raisonnement des élèves pour mathématiser les situations, contrôler les
différentes étapes et exploiter judicieusement les résultats.
Ce programme vise d'abord à mobiliser, à consolider et à approfondir les capacités
et les outils acquis en classe de première.
On fera appel pour une meilleure compréhension de certaines notions, aux
schémas, diagrammes, tableaux et représentations graphiques.
Les exemples et contre-exemples seront des supports de premier choix pour
préciser et fixer les définitions, théorèmes et autres notions.
L'utilisation de la machine à calculer doit être maîtrisée par les élèves.
L'horaire hebdomadaire est de 3 heures.
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
95
Contenus
I - COMPOSITIONS
DES
APPLICATIONS.
Commentaires
ALGÈBRE.
On traitera la composition
des applications sur des
exemples simples.
I I
- Diviser un polynôme P(x)
FACTORISATION
par un polynôme Q(x) avec
DES POLYNïMES
d°P ≥ d°Q et d°P ≤ 4.
1¡- MŽthode de
Hšrner.
2°- Etude des signes.
IÐ
DENOMBREMENT
II - PROBABILITE.
Epreuve ou expŽrience
alŽatoire, univers,
ŽvŽnements.
DŽfinition d'une
probabilitŽ.
PropriŽtŽs.
Hypoth•se
d'ŽquiprobabilitŽ
96
CompŽtences exigibles
Reconna”tre et calculer
gof(x).
Diviser P(x) par (x - a)
lorsque P(a) = 0.
Diviser P(x) par (x - a) puis
le quotient q(x) par
(x - b) lorsque P(a) = 0 et
P(b) = 0.
Factoriser un polyn™me
Etudier le signe dÕun
polyn™me, dÕune fonction
rationnelle.
PROBABILITƒ
Consolider les notions vues
en Premi•re, faire beaucoup
de schŽmas que lÕon pourra
utiliser pour mettre en
Žvidence le cardinal de la
rŽunion, de lÕintersection et
du complŽmentaire
dÕensembles finis
Dans le cas
d’équiprobabilité, Si A est
un événement d'un univers
Ω
p(A) =
CardA
CardΩ
Le professeur traitera des
exemples de non
équiprobabilité dans des cas
simples où les probabilités
des évènements
élémentaires sont données
Calculer une probabilitŽ
d'ŽvŽnements sachant que les
ŽvŽnements ŽlŽmentaires
sont Žquiprobables
Calculer la probabilitŽ dÕun
Žv•nement dans le cas de
non ŽquiprobabilitŽ
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
Commentaires
STATISTIQUE
Diverses
reprŽsentations
Ajustement linéaire.
graphiques sont vivement
1) Coefficient de
recommandŽes.
corrélation.
Rappels sur les
2) Méthode des
reprŽsentations des points
moindres carrés :
M(x,y) tels que
droite de régression de ax + by + c = 0 (droite).
On ne fera aucune
Y en X.
démonstration de formule.
3) InterprŽtation et
utilisation.
On partira d'exemples (ou
d'exercices) pour
généraliser.
CompŽtences exigibles
Déterminer la droite de
régression de Y en X.
Calculer et interpréter le
coefficient de corrélation.
Faire une prŽvision ˆ partir
de l'Žquation de la droite de
rŽgression
ANALYSE
I - LIMITE CONTINUITÉ
1) Calcul sur
les limites.
2) Continuité.
a) Continuité en
un point.
b) Continuité
sur un intervalle
On consolidera les
notions
intuitives
acquises en classe de
premi•re. Aucune thŽorie
ne sera faite sur les
limites et la continuitŽ.
On parlera des cas
d'indŽtermination et l'on
montrera comment lever
une indŽtermination. Les
limites ˆ gauche ou ˆ
droite seront traitŽes dans
les cas suivants :
limd
x a−
c
Calculer les limites, trouver les
ensembles de définition et de continuité
de f dans les cas suivants
f(x) ∈
ax 2 + bx + c
; ax + b ; ax3 + bx 2 + cx + d
2
dx + ex + f
avec a, b, c, d, e, f des réels.
ax + b
Ê(c ≠ 0) ;
cx + d
ax 2 ·+ bx + c
lim 2
x a∞ dx ·+ ex + f
avec dx 2 + ex + f = 0;
.
limb ax + b
x a−
a
On rappellera que f est
continue en x0 si f(x0)
existe et lim f(x) = f(x0).
xa x 0
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
97
Contenus
Commentaires
On admettra que l'image
d'un intervalle I par une
fonction continue est un
intervalle f(I).
Dans le cas o•
f(x) = ax + b on montrera
que l'ensemble de
dŽfinition est diffŽrent de
l'ensemble de dŽrivabilitŽ
(a ≠0).
On admettra les
thŽor•mes : Si f est
dŽfinie continue,
strictement croissante
2) Théorèmes
(strictement dŽcroissante)
sur les
sur I alors f rŽalise une
bijection de I sur f(I)Ê;
fonctions
f dŽrivable telle que
dérivées.
f Ô(x) >0 (ou f Ô(x) < 0)
sur I alors f rŽalise une
bijection de I sur f(I).
3) ThŽor•mes ˆ On remarquera que pour
admettre
les fonctionsÊ:
a) (gof)'(x) =
ax + b ,
f(x) =
cx + d
f '(x) x g'[f(x)]
a b
b)f(x) = ax + b
c d
alors
on a fÊÕ(x) =
a
(cx+d)2
f '(x) = 2 ax + b
IIDÉRIVABILI
TÉ
1) Nombre
dérivé et
interprétation
géométrique.
CompŽtences exigibles
Trouver les ensembles de dérivabilité de
f telle que : f(x) ∈
ax 2 + bx + c
; ax + b ; ax3 + bx 2 + cx + d
2
dx + ex + f
Trouver une équation de la tangente en
un point M 0 à une courbe donnée par
son équation.
Montrer en se rŽfŽrant ˆ un tableau de
variation que f est une bijection.
-b
avec x> a
4) Utilisations
de la dérivée.
• Sens
de
variation
• Equation de
la tangente
• Notion de
bijection
98
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
III -ÉTUDE
DE
FONCTION.
1)Parité Eléments de
symétrie
2)Branches
Infinies :
Asymptotes Branches
paraboliques
Commentaires
Le professeur apprendra
aux Žl•ves ˆ utiliser les
ŽlŽments de symŽtrie s'il
y en a.
Il pourra donner les
propriŽtŽs : Ω (a,b) est
centre de symŽtrie de la
courbe Cf si : x∈Df,
2a - x ∈ Df, et
f(2a - x) +f(x) = 2b.
La droite x = a est axe de
symŽtrie si x ∈ Df,
2a - x ∈ Df, et
f(2a - x) - f(x) = 0.
La recherche de
l'asymptote oblique
pourra •tre faite en
passant par la division
euclidienne avec
d¡N(x) - d¡D(x) = 1.
Dans les autres cas, on
montrera que
lim [ f ( x ) − (ax + b )] = 0
CompŽtences exigibles
Montrer qu'un point est centre de
symŽtrie d'une courbe.
Montrer qu'une droite est axe de
symŽtrie d'une courbe.
Trouver l'Žquation d'une asymptote
oblique lorsqu'elle existe.
si l'Žquation de
l'asymptote est donnŽe
par
y = ax + b, on parlera de
branches infinies lorsque
f(x)∈
ax4+bx3+cx2+dx+e ;
avec a, b, c, d, e, f des rŽels.
Ecrire f(x) sans les symboles de la
x a±∞
3)Etude et
reprŽsentation
graphique.
•
Polyn™mes
de degrŽ n
avec n ≤ 4.
• Fonctions
rationnelles.
•Fonctions
irrationnelles.
Représentations
des fonctions
affines par
morceaux.
Etudier et reprŽsenter f telle que f(x)∈
ax 2 + bx + c
; ax + b ; ax3 + bx 2 + cx + d
2
dx + ex + f
valeur absolue.
2
ax +bx +c
dx2 +ex+f ; ax+b }.
On s'intŽressera aux
polyn™mes de degrŽ 2 ;
de degrŽ 3, de degrŽ 4
connaissant au moins une
racine de sa dŽrivŽe.
Se limiter aux fonctions
telles que 2
f(x) = ax 2+bx +c
dx +ex+f o• a,
b, c, d, e, f sont rŽels.
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
99
Contenus
Commentaires
•Fonction
valeur absolue
de f :| f | :
x a|f (x)|
On Žtudiera des fonctions
de la forme
CompŽtences exigibles
f(x) = ax+ b , a et b
Žtant des rŽels.
Faire la reprŽsentation
graphique des fonctions
affines par morceaux.
Ecrire f(x) sans les
symboles de la valeur
absolue.
On pourra ˆ partir du
tracŽ de f, tracer la
courbe reprŽsentative de
f .
4)RŽsolutions
algŽbriques et
graphiques
d'Žquations
ou
d'inŽquations.
f(x) * y
avec
* ∈{ = ; ≤ ; ≥ ;
< ; >}
Cette partie sera
l'occasion de consolider
les acquis sur la
rŽsolution des Žquations,
des inŽquations du
premier ou second degrŽ
et des syst•mes
d'Žquations ou
d'inŽquations
correspondants. Les
ensembles de validitŽ
seront scrupuleusement
respectŽs.
On insistera sur
l'interprŽtation graphique
des rŽsultats.
Pour les autres cas de
rŽsolution graphique, on
se limitera aux fonctions
f telles que :
f(x) ∈
{ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
2
αx + bx + c ;
RŽsoudre des Žquations, des
inŽquations, des syst•mes d'Žquations et
d'inŽquations du premier ou du second
degrŽ.
Résoudre graphiquement f(x) * y
avec * ∈{ = ; ≤ ; ≥ ; < ; >}
2
ax +bx +c
dx2 +ex+f ; ax+b }
a, b, c, d, e, f Žtant des
rŽels
100
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
Commentaires
VFONCTION
LOGARITHM On pourra admettre qu'il
E NƒPƒRIEN. existe une fonction f
appelŽe logarithme
1) Etude de nŽpŽrien et notŽe ln
la fonction ln. dŽrivable sur IR*+ qui a
pour fonction dŽrivŽe la
a) Définition.
b) Propriétés.
fonction x a 1 , et qui
x
c) représentas'annule en 1. En outre
tion graphique.
on admettra la propriŽtŽ
fondamentale ln(ab) =
2)
lna + lnb (a>0 et b>0)
Equations pour en dŽduire les autres
InŽquations propriŽtŽs.
Syst•mes
Attirer l'attention de
l'Žl•ve sur le domaine de
d'Žquations ou
validitŽ de
d'inŽquations
transformations qui n'est
sur ln.
pas forcŽment celui de
dŽfinition des
3) Etude
expressions initiales
des fonctions
On dŽfinira le logarithme
faisant
dŽcimal par
intervenir ln.
ln x
log x =
Ensemble de
ln10
définition,
limites,
continuité,
parité, dérivée,
tableau de
variations,
CompŽtences exigibles
Etudier et reprŽsenter graphiquement f
telle que :
1¡- f(x)∈ {ln x ;
x Ê; ln x ; x ln x ;
ln x
x
ln x2 ; (lnx)2 ; x2ÊlnÊx ; ln x ; ln x ;
ln(ax2 + bx + c) ; ln( ax + b )} o• a, b, c
cx + d
et d sont rŽels.
2¡- f soit une fonction simple faisant
intervenir ln (x)
RŽsoudre des Žquations et des
inŽquations sur ln
intersections
avec les axes de
coordonnées,
branches
infinies,
représentation
s graphiques
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
101
Contenus
VI - FONCTION
EXPONENTIELLE
1) Etude de la fonction
exponentielle.
a) Définition.
b) Propriétés.
c) Représentation
graphique.
2) Equations InŽquations - Syst•mes
d'Žquations ou
d'inŽquations faisant
intervenir la
fonction exponentielle
3)Etude des fonctions
faisant intervenir la
fonction exponentielle.
Ensemble de dŽfinition,
limites, continuitŽ,
paritŽ, dŽrivŽe, tableau de
variations,
intersections avec les axes
de coordonnŽes,
branches infinies,
reprŽsentations graphiques.
VII- SUITES
NUMÉRIQUES.
1)Suites arithmétiques.
Commentaires
IR*+ → IR est bijective, Etudier et reprŽsenter
graphiquement f telle
elle admet donc
que:
x a lnx
1¡- f(x) ∈
une bijection réciproque
{ ex ; x ; x ex }
ln :
exp : IR → IR*+
x a exp(x)
Rappels sur les puissances.
On montrera que exp(x) peut
se mettre sous la forme ex
DŽfinir et reconna”tre une
suite arithmŽtique ou une
suite gŽomŽtrique.
Calculer Un en fonction du
premier terme et de la raison
2)Suites géométriques.
avec n ³ 1.
Calculer la somme des n
3)Convergence d'une premiers termes d'une suite
arithmŽtique ou gŽomŽtrique.
suite géométrique.
Montrer qu'une suite
gŽomŽtrique est convergente
4)ComplŽments sur les
Calculer la somme des n
suites.
premiers termes d'une suite
102
CompŽtences exigibles
ex
2¡- f soit une
fonction simple faisant
intervenir la fonction
exponentielle.
Conna”tre et utiliser les
formules :
Pour tout rŽel X
strictement positif,
a) lnX = Y si et
seulement si X = eY.ÊÊ
b) X = elnX
c) Pour tout rŽel Y,
Y = ln eY
Résoudre des équations
et des inéquations sur
exponentielle.
DŽfinir et reconna”tre
une suite arithmŽtique
ou une suite
gŽomŽtrique.
Calculer Un en fonction
du premier terme et de
la raison avec n ³ 1.
Calculer la somme des
n premiers termes d'une
suite arithmŽtique ou
gŽomŽtrique.
Montrer qu'une suite
gŽomŽtrique est
Programmes de mathématiques du premier cycle – Séries L - Année 2006
Contenus
DŽtermination d'une suite
par le terme
gŽnŽral, un terme d'indice
donnŽ et une
formule de rŽcurrence.
Raisonnement par
rŽcurrence.
Sens de variation d'une
suite.
Convergence d'une suite.
VIII - CALCUL
INTÉGRAL
1. Primitives
2. Propriétés
3. Primitives de fonctions
usuelles
xa0;xaa;
Commentaires
arithmŽtique ou gŽomŽtrique.
Montrer qu'une suite
gŽomŽtrique est convergente
RŽsoudre des probl•mes
concrets.
On insistera sur l'importance
des suites arithmŽtique et
gŽomŽtrique dans certains
probl•mes de gŽographie de
mathŽmatique financi•re etc...
Ce sera l'occasion d'introduire
par des exemples simples la
notion de raisonnement par
rŽcurrence.
Ë partir d'exemples simples,
familiariser les Žl•ves avec
quelques probl•mes affŽrents
au calcul intŽgral.
CompŽtences exigibles
convergente.
DŽterminer une suite
par l'expression de son
terme gŽnŽral.
DŽterminer une suite
par un terme d'indice
donnŽ et une forme de
rŽcurrence.
Etudier le sens de
variation d'une suite.
Etudier la convergence
d'une suite
•
•
•
Calculer les
primitives des
fonctions
usuelles
Calculer
lÕintŽgrale
dÕune fonction
sur un segment
Calculer une
aire
x a ax ; x a axn ;
a
a
xa ; xa 2;
x
x
a
xa
; x aeax
x
4.Intégrales de fonctions :
Définition et propriétés
5. Calcul d'aires
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103