Tous les exercices d'Analyse PC-PSI

TOUS LES EXERCICES
D’ANALYSE PC-PSI
Pour assimiler le programme, s’entraîner
et réussir son concours

TOUS LES EXERCICES
D’ANALYSE PC-PSI
Pour assimiler le programme, s’entraîner
et réussir son concours
El-Haj Laamri
Agrégé en mathématiques et maître de conférences à Nancy-Université
Philippe Chateaux
Agrégé en mathématiques et professeur en MP au Lycée Henri Poincaré à Nancy
Gérard Eguether
Maître de conférences à Nancy-Université
Alain Mansoux
Agrégé en mathématiques et professeur en PC au Lycée Henri Poincaré à Nancy
David Rupprecht
Agrégé de Mathématiques et professeur en PSI au Lycée Henri Loritz à Nancy
Laurent Schwald
Agrégé en mathématiques et professeur en CPGE au lycée Henri Poincaré à Nancy

Couverture : Claude Lieber
© Dunod, Paris, 2008
ISBN 978-2-10-053963-5

Présentation de la série
« Tous les exercices
de mathématiques »
L’évolution récente de l’enseignement des disciplines scientifiques dans les C.P.G.E
s’est concrétisée par la définition d’un nouveau programme de première année en
2003 et de deuxième année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de com-
bler le fossé grandissant entre la classe de terminale et les classes préparatoires. La
progression est explicitement imposée par le nouveau programme qui prévoit notam-
ment « un programme de début de l’année », qui exclut la présentation abstraite des
concepts au profit d’une démarche fondée sur l’exemple comme point de départ de
la conceptualisation, qui préconise l’approche algorithmique en complément de l’ap-
proche démonstrative et qui légitime la démarche expérimentale en mathématiques
par l’utilisation des logiciels Maple ou Mathematica, logiciels systématiquement uti-
lisés dans de nombreux concours, notamment dans le concours commun « Centrale
- Supelec ». Mais les programmes des classes préparatoires ne sont pas les seuls à
avoir évolué, les programmes de l’enseignement secondaire ont fait l’objet d’une
évolution préalable. Enfin, l’attitude nouvelle des élèves face aux disciplines scien-
tifiques rend inefficace l’approche axiomatique et leur appropriation grandissante de
l’outil informatique nécessite d’intégrer cet outil à la pédagogie. L’ensemble de ces
changements rend impérative la rédaction de nouveaux ouvrages.
On constate que c’est davantage la structure, l’ordre des thèmes abordés, l’esprit du
programme qui ont évolué, le fond étant resté relativement stable. Sur ce fond, que
nous n’avons pas la prétention de renouveler, il existe déjà une abondante et excel-
lente littérature ; nous revendiquons une continuité par rapport à nos illustres prédé-
cesseurs et nous nous sommes largement inspirés de leurs écrits pour y puiser exer-
cices et sujets en nous efforçant de les présenter en parfaite cohérence avec l’esprit
du programme actuel. Car cette nouvelle collection répond à une nécessité : entière-
ment rédigée après la parution des nouveaux programmes et le début de leur mise en
oeuvre, elle garantit une parfaite compatibilité entre la rédaction des ouvrages et les
préconisations du programme. .. ce que n’aurait pu assurer sans risque d’anomalies
une simple remise en forme d’une rédaction antérieure. Tous les ouvrages de cette
collection sont écrits trois ans après l’apparition des nouveaux programmes et en
respectent scrupuleusement l’esprit.
Les rédacteurs, ont enseigné et interrogé dans le cadre de l’ancien et du nouveau pro-
gramme. Ils perçoivent donc parfaitement l’importance de l’évolution. Leur expé-
rience de l’enseignement en classes préparatoires et à l’Université, leur interven-
tion régulière en « colles », leur participation aux concours comme interrogateurs
à l’oral et/ou correcteurs à l’écrit permettent d’affirmer qu’il s’agit d’équipes très

vi Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques »
« professionnelles ». L’équilibre entre la pluralité des approches qui enrichit le fond
et la cohérence de la forme qui renforce l’efficacité est le résultat d’un véritable
travail collaboratif, d’une maîtrise d’oeuvre rigoureuse et de sources d’inspiration
précieuses. . . citons particulièrement pour les exercices d’oral la Revue de Mathé-
matiques Spéciales, l’Officiel de la Taupe et les Archives des Professeurs de Spé du
Lycée Henri Poincaré de Nancy en particulier celles constituées par Walter APPEL.
Cette collection a l’ambition de faire bénéficier le lecteur de l’expertise profession-
nelle des rédacteurs, chaque ouvrage est donc rédigé avec un souci de rigueur et de
clarté au service de la pédagogie, souci qui s’exprime dans quelques principes :
– La qualité de rédaction aboutie exigée des élèves nécessite que les auteurs
soient eux-mêmes exemplaires dans leur rédaction, aussi bien celle des énon-
cés que celle des corrigés. Un soin tout particulier est apporté à l’écriture des
éléments « logiques » : précis et sans ambiguïté , le style traduit explicitement
les connexions logiques, implication, nécessité, suffisance, etc. dans un souci
permanent de rendre explicite ce qui, ailleurs, reste parfois implicite.
– Les corrigés proposés sont toujours complets et commentés quand il le faut,
en privilégiant les solutions méthodiques et raisonnables aux approches « astu-
cieuses » et « miraculeuses ». L’expérience prouve en effet qu’un corrigé trop
« brillant » inquiète l’élève qui se sent incapable de la même performance et
ne lui apprend rien de la démarche constructive qui peut amener à une solution
lorsqu’on possède une maîtrise suffisante des concepts. L’expérience montre aussi
la vertu du contre-exemple.. . il en est fait un usage courant.
– La présence de rappels de cours synthétiques est nécessaire pour replacer les
exercices dans leur contexte théorique sans avoir à quitter l’ouvrage en cours de
lecture, pour fixer aussi quelques notations choisies parmi les standards. Mais
ces éléments de cours ne se substituent en rien à l’enseignement magistral ou
aux ouvrages de référence, ils constituent seulement un « minimum concep-
tuel » immédiatement disponible pour aider la compréhension des exercices qui
restent la matière essentielle de l’ouvrage.
– La volonté de respecter l’esprit des nouveaux programmes privilégie la présen-
tation de sujets récents (de 2003 à 2006) en respectant scrupuleusement la forme
de leur rédaction : aucun toilettage rédactionnel ne doit en masquer l’origina-
lité, voire la difficulté. Le respect du lecteur exige sa mise en situation réelle de
concours. Toutefois ces énoncés sont commentés et expliqués pour rassurer le lec-
teur en lui montrant que sous des traits parfois déroutants on peut retrouver des
« visages connus ». Certains exercices proposés aux concours avant 2003 figurent
également dans cette collection en raison de leur intérêt ; ils sont alors rédigés
sous une forme compatible avec le programme actuel.
Si ces principes généraux sont respectés dans l’ensemble de la collection, la plus
grande maturité des élèves de deuxième année justifie quelques différences entre les
ouvrages de première et de deuxième année. L’élève de première année peut avoir des
difficultés à choisir seul, avec discernement, des sujets d’écrits dans les annales. Les