Introduction aux probabilité - cours

Sorbonne Université — Faculté des sciences
Année universitaire 2019–2020
Introduction aux probabilités (2MA241)
Quentin Berger et Shen Lin

Table des matières
Préambule 5
1 Préliminaires : ensembles, dénombrement et dénombrabilité 6
1.1 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Quelques notions importantes de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Dénombrabilité................................... 8
2 Espaces probabilisés (Ω,F,P)10
2.1 Axiomes des probabilités et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.1 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.2 Propriétés fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Espaces d’états dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Probabilité et densité discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Équiprobabilité : quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Probabilité conditionnelle et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.3.2 Indépendance d’événements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Variables aléatoires discrètes 25
3.1 Variables aléatoires discrètes : premières définitions et propriétés . . . . . . . 25
3.2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Loi jointe et lois marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Indépendance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 Exemples essentiels de variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Loi uniforme discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 LoideBernoulli .............................. 34
3.3.3 Loibinomiale................................ 34
3.3.4 LoidePoisson ............................... 34
3.3.5 Loigéométrique .............................. 35
3.4 Espérance, variance et moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.1 Définition de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2 Propriétés de l’espérance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.3 Moments, variance et covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.4 Espérance et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.5 Espérance et variance des lois classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Inégalités probabilistes et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6 Fonction génératrice et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3

4 Intermède : variables aléatoires réelles générales 55
4.1 Définitionetpropriétés............................... 55
4.2 Fonctionderépartition............................... 57
4.3 Fonction génératrice des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5 Variables aléatoires à densité 61
5.1 Variables aléatoires absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Calculerunedensité ............................ 62
5.1.3 Espérance et formule de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Exemples essentiels de variables aléatoires absolument continues . . . . . . . 66
5.2.1 Loi uniforme continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.2.2 Loiexponentielle.............................. 67
5.2.3 Loi normale (gaussienne) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.3 Vecteurs aléatoires absolument continus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.2 Densité jointe, densités marginales, indépendance . . . . . . . . . . . . 71
5.3.3 Formule de transfert et calculs avec les densités . . . . . . . . . . . . . 73
5.4 Quelques exemples supplémentaires... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Simulation informatique de variables aléatoires 78
6.1 Simulation de lois discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.2 Méthode d’inversion et simulation de lois absolument continues . . . . . . . . 81
6.3 Lecasdelaloinormale .............................. 83
6.4 Méthode de rejet : cas d’une densité bornée et à support borné . . . . . . . . 83
7 Loi des grands nombres et convergences de suites de variables aléatoires 88
7.1 La loi (faible) des grands nombres et applications . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2 Une application : la méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3 Convergence en probabilité pour une suite de variables aléatoires . . . . . . . 94
8 Introduction à la statistique 97
8.1 Modèles statistiques paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8.2 Inégalités de concentration et construction d’intervalles de confiance . . . . . 99
8.2.1 Inégalités de concentration et intervalles de confiance . . . . . . . . . . 99
8.2.2 Intervalles de confiance pour la méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . 101
Variables aléatoires importantes : lois, espérance, variance 103
Index 104
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Préambule
Une expérience est dite aléatoire si, “reproduite plusieurs fois dans des conditions iden-
tiques”, le résultat de l’expérience change d’une fois sur l’autre, de sorte qu’il ne peut être
prédit. Des exemples classiques que l’on souhaiterait étudier sont : le résultat du lancer
d’une pièce ou d’un dé, le tirage du loto, le fait de tirer un nombre au hasard. Mais on peut
aussi penser à des expériences plus complexes, comme un marcheur qui se déplacerait de
manière “aléatoire” dans Rd, comme dans la figure ci-dessous.
Figure 1 – Trajectoire d’un “marcheur aléatoire” dans R2, après n= 100,n= 1000 et n= 10000 pas.
Le but de ce cours est de donner une introduction à la notion mathématique d’expérience
aléatoire et de probabilité, et de présenter des concepts et outils mathématiques utilisés dans
la modélisation de phénomènes aléatoires, sans avoir recours à la théorie de la mesure. On
étudiera plus en détails certains modèles aléatoires, comme par exemple la marche aléatoire...
Les exemples précédés de ♠et les sections précédées de Fsont des exemples et problèmes
importants en théorie des probabilités : ils sont considérés comme optionnels et pourront
ne pas être étudiés, mais ils présentent un aperçu de certains modèles probabilistes, et
permettent d’illustrer la puissance des différents outils introduits dans ce cours.
Quelques références
Donnons ici quelques références de livres traitant la théorie des probabilités à un niveau
proche (mais souvent plus élevé) de ce cours :
•Sheldon M. Ross, Initiation aux probabilités, PPUR presses polytechniques.
•Pierre Brémaud, Initiation aux Probabilités – et aux chaînes de Markov, Springer.
•Walter Appel, Probabilités pour les non-probabilistes, H&K.
•Jean-Yves Ouvrard, Probabilités, Tome 1, Cassini.
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