Cours Maths Stats(L1)

Mathématiques et statistiques
L1 réussir, deuxième année (2020-2021)
Antoine Pietri∗
22 septembre 2020
Cette brochure a été réalisée en utilisant les manuels suivants :
— Hayek, N. et J.-P. Leca, (2015), Mathématiques pour l’économie, Analyse-Algèbre, Dunod, Eco Sup,
5ème édition.
— Lethielleux, M.(2006), Probabilités, estimation statistique, Dunod, Express, 3ème édition.
— Speller M.-V., (2019), Mathématiques, tout pour bien démarrer ses études d’économie-gestion, Dunod.
1
Rappels sur les sommes, moyennes et pourcentages
1.1
Les sommes simples
Soit une suite de nombres rééls : b0 , b1 , ..., bn , avec n ∈ N. On peut écrire la somme de ces nombres de la
manière suivante :
n
X
bi = b0 + b1 + ... + bn
i=0
Le signe
représente donc une somme, dont l’indice de sommation est i. On dit que l’indice i est muet car
Pn
le choix de la lettre n’a aucune importance (on aurait pu choisir une autre lettre). L’expression i=0 bi se lit
P
“la somme de tous les nombres allant de b0 à bn ”.
Le nombre de termes d’une somme se calcule en faisant : valeur de l’indice de sommation du dernier
terme - valeur de l’indice de sommation du prmeier terme +1. Dans le cas ci-dessus, la somme a n−0+1 = n+1
termes.
∗ CEE-M,
Univ Montpellier, CNRS, INRAE, Institut Agro, Montpellier, France.
E-mail : [email protected].
1
Principales propriétés de l’opérateur
1. Soit une constante 1 k ∈ R, alors
Pn
P
(n + 1) ×k.
| {z }
nb de termes
n
n
X
X
2. Soit une constante k ∈ R, alors
kbi = k
bi .
i=0
=
i=0
i=0
n
n
n
X
X
X
3.
(ai + bi ) =
ai +
bi
i=0
i=0
i=0
4. Soit une constante k ∈ R, alors
n
X
(k + bi ) = (n + 1)k +
i=0
n
X
bi .
i=0
Sommes de références (à connaitre par coeur) :
n
X
i=
i=0
n
X
i2 =
i=0
n(n + 1)
2
n(n + 1)(2n + 1)
6
Remarque importante : Attention, la somme des inverses n’est pas égale à l’inverse des sommes d’une
variable :
Si par exemple on a x1 = 2 et x2 = 3, alors
n
X
1
1
6= Pn
x
i=1 xi
i=1 i
P3
1
i=1 xi
=
1
2
+
1
3
=
5
6
et
P3 1
i=1
xi
=
1
2+3
= 15 .
Exercices associés : 1 et 2.
1.2
Les sommes doubles
Une somme double est une succession de deux sommes, chacune portant sur un indice de sommation
particulier.
1. Ici, une contante est un nombre réél ne dépendant pas de l’indice de sommation, i.
2
Exemple : soit une suite de nombres réels b0 , b1 , ..., bn , avec n ∈ N, on a :
n X
n
X
bi bj =
i=0 j=0
=
n
X
n
X
bi
i=0
n
X
bj
(car bi ne dépend pas de j)
j=0
bi (b0 + b1 + ... + bn ) = (b0 + b1 + ... + bn )
i=0
n
X
bi
i=0
= (b0 + b1 + ... + bn )(b0 + b1 + ... + bn ) = (b0 + b1 + ... + bn )2
Lors de la manipulation d’une somme double, il est important de garder à l’esprit qu’il s’agit avant tout de
X
deux sommes simples. Par conséquent, les propriétés 1, 2, 3 et 4 de l’opérateur
doivent être utilisées.
Principales propriétés de
XX
:
Soit deux suites de nombres réels, b0 , b1 , ..., bn et c0 , c1 , ...cm avec (n, m) ∈ N2 :
n
m X
m
n X
X
X
bi cj
bi cj =
1.
2.
i=0 j=0
j=0 i=0
n X
m
X
m
n X
X
bi cj =
i=0 j=0
bj ci
(car les indices sont muets)
j=0 i=0
Exercices associés : 3 et 4.
1.3
La moyenne arithmétique
Soit xi un caractère et ni son effectif associé, la moyenne arithmétique – souvent notée x̄ – est égale à :
n
x̄ =
1X
xi ni ,
n i=1
avec i = 0, 1, ...n
Remarque : ni est aussi appelé ‘poids’, et on parle alors de moyenne pondérée.
Exemple : vous cherchez à calculer votre moyenne à la fin du 1er semestre. Le caractère correspond aux
notes obtenues dans les différentes matières, et ni correspond aux ECTS associés à chaque matière.
Matières (i)
Notes /20 (xi )
ECTS (ni )
Microéconomie (i = 1)
13
5
Macroéconomie (i = 2)
6,5
3
3
Mathématiques (i = 3)
11
2
La moyenne au premier semestre, x̄, est :
3
x̄ =
X
1
13 × 5 + 6, 5 × 3 + 11 × 2
xi ni =
= 10, 65
5 + 3 + 2 i=1
10
Exercices associés : 5, 8.
1.4
1.4.1
Les pourcentages, et variations en pourcentage
Définition de base
Un pourcentage – noté % – est une partie d’un ensemble. Considérons une population totale composée
de n. Il existe une sous-population M composée de m individus, avec m ≤ n.
Plusieurs éléments à bien maîtriser :
— Le signe % est équivalent à diviser par 100 : 10% =
10
100
= 0, 1.
— Si on sait qu’il y a k% d’individus M dans la population totale, alors le nombre d’individus appartenant
à la sous-population M est : m = n ×
k
100 .
— La part des individus M dans la population totale est de k =
m
n.
Exemple : Selon le Bureau International du Travail, le taux de chômage au premier trimestre 2020 en France
est de 7,8% pour une population active 29,5 millions de personnes. Combien y a-t-il de chômeurs ?
Il y a 29, 5 × 0, 078 ≈ 2, 3 millions de chômeurs.
Quel est le % de chômeurs ? (en imaginant que ce n’est pas donné dans l’énoncé ! !)
2, 3
Il y a
≈ 0, 078 ≈ 7, 8% de chomeurs.
29, 5
1.4.2
Variations en pourcentage
Les pourcentages sont aussi très utilisés pour décrire des évolutions que l’on appelle variations en pourcentage ou encore taux de croissance.
Soit xt la valeur prise par une variable quantitative 2 à une date t, t = 0, ..., T . On appelle rTx /0 la variation
en pourcentage de la grandeur x entre les dates 0 et T :
rTx /0 =
xT − x0
xt
=
−1
x0
x0
2. Une variable quantitative correspond à une mesure numérique d’une caractéristique, par exemple : la taille, le poids, la
distance, le produit intérieur brut, le nombre de chômeurs etc.
4
Interprétation : Si rTx /0 est positif , alors il s’agit la grandeur x a diminué entre 0 et T , si rTx /0 est négatif
alors x a diminué.
On appelle coefficient multiplicateur, mt/0 , le nombre par lequel a été multiplié la grandeur étudiée
(x) entre une situation de départ et une situation d’arrivée.
Mode de calcul :
mxt/0 =
xt
x0
Exemple : Au premier tour des élections municipales de Montpellier, Michaël Delafosse (PS) a obtenu 8 636
voix au premier tour et 24 046 au second. Le coefficient multiplicateur du nombre de voix entre les deux tours
24046
est : m2/1 =
≈ 2, 78.
8636
Interprétation : Entre les deux tours, le nombre de voix obtenues par Michaël Delafosse a été multiplié par 2,78.
Par ailleurs, il existe un lien direct entre le taux de variation et le coefficient multiplicateur
tel que :
rTx /0 = mxT /0 − 1
Dans notre, cas, on peut donc en déduire que : r2/1 = m2/1 − 1 = 1, 78.
Interprétations : entre les deux tours, le taux de croissance des voix obtenues par le candidat PS a été de 178%.
Exemple : Voici la population mondiale entre 2015 et 2018 (données issues de la Banque Mondiale).
Années
Milliars d’habitants
Variations en %
2015
7,339
-
2016
7,424
1,16%
2017
7,509
1,14%
2018
7,592
1,11%
pop
Les variations en % ont été obtenues avec la formule du cours. Par exemple, entre 2015 et 2016, r2016/2015
=
x2016
7, 424
−1=
− 1 ≈ 0, 0116.
x2015
7, 339
Interprétation : Entre 2015 et 2016, la population mondiale a augmenté de 1,16%.
5
Attention, il ne faut pas confondre une variation en pourcentage et une variation en points de
pourcentage. En effet, une variation en points de pourcentage décrit la variation en niveau entre deux
pourcentages.
Dans l’exemple ci-dessus on peut dire qu’entre 2016 et 2017 :
— La population mondiale a augmenté de 1,14% (variation en pourcentage) ;
— La croissance de la population a varié de -0,02 points de pourcentage (diminution du rythme de la
croissance entre la période 2016/2017 et la période 2015/2016 ).
Conclusion : la population mondiale à augmenté entre 2016 et 2017, mais le rythme de cette augmentation
a diminué légérement.
1.4.3
Variations successices en %
On s’intéresse ici à un cas dans lequel on dispose d’informations sur la variation eb % entre plusieurs
dates (t = 0, 1, 2, ..., T ) d’une grandeur, xt . On a :
x
x
x
xT = x0 (1 + r1/0
)(1 + r2/1
)(1 + r3/2
)...(1 + rTx /T −1 )
La variation totale entre 0 et T est donc de :
x
x
x
rTx /0 = (1 + r1/0
)(1 + r2/1
)(1 + r3/2
)...(1 + rTx /T −1 ) − 1
Attention, une variation successive en % n’est pas équivalente à la somme des variations en %
sur la période considérée.
Exemple : Lors des soldes, un produit dont le prix est de 100€ est soldé une première fois à 10%, puis
de nouveau à 10%. La réduction totale est de (1 − 0, 1)(1 − 0, 1) − 1 = 0, 81 − 1 = −0, 19, soit une réduction
totale de 19% (et non 20% comme on aurait pu le croire en sommant les %).
Exercices associés : 5, 6, 7, 8, 10.
6
1.5
Taux de croissance annuel moyen (TCAM)
Le TCAM sert à déterminer le taux d’évolution moyen au cours de n périodes. C’est donc un taux de
croissance fictif, construit et non-observé.
Mode de calcul d’un TCAM d’une variable x sur n périodes
r
T CAMn/1 =
n
xn
√
− 1 = n mn/1 − 1
x1
Exemple : Nous cherchons le TCAM de la population mondiale entre 2015 et 2018 (données ci-dessus).
Procédons par étapes.
1. Détermination du n : n = 2018 − 2015 = 3 (trois périodes : de 2015 à 2016, de 2016 à 2017 et de 2017
à 2018).
2. Détermination de m2018/2015 =
7,592
7,339
≈ 1, 03
3. Calcul du TCAM :
T CAM2018/2015 ≈
p
3
1, 03 − 1 ≈ 0, 0113
4. Interprétation : entre 2015 et 2018, la population mondial a augmenté en moyenne de 1,13% par an.
Exercices associés : 5, 7, 8, 10.
2
Les indices
2.1
Les indices élémentaires
Un indice élémentaire permet de mesurer l’évolution d’une grandeur x par rapport à une période de
référence (appelée aussi période de base).
Mode de calcul d’un indice base 100 en période 0 :
Valeur actuelle t
xt
It/ 0 =
×
100
=
× 100 = mt/0 × 100
|{z}
Valeur de base 0
x0
|{z}
valeur de la base
base
La valeur de la base peut varier en fonction des grandeurs considérées, mais le plus souvent on utilise une
base 100.
Exemple de base différente de 100 : le CAC40 (Cotation Assistée en Continue des "40" plus grandes
entreprises française cotées en bourse) est un indice de base 1000 avec pour référence la valeur des cotations
7
boursières des 40 plus grandes entreprises au 31 décembre 1987. Au 1er septembre 2020, le cours de l’indice
CAC40 était de 4 963 points. Cette grandeur indique qu’à cette date, les valeurs des cotations boursières des
40 pus grandes entreprises françaises sont à peu près 4.96 fois plus élevées qu’au 31 décembre 1997.
Principales propriétés des indices élémentaires (base 100) :
1. Circularité (ou transitivité) : Soit trois dates t0 , t1 et t2 , alors :
It0 /t2 = 100 ×
It0 /t1
It /t
× 1 2
100
100
2. Reversibilité :
It0 /t2 = 1002 ×
1
It2 /t0
3. Changement de base. Si on dispose d’indices avec t1 comme période de référence, on peut souhaiter
changer de période de référence, en prenant t0 par exemple. Il suffit alors d’appliquer la formule du
changement de base :
It/t0 = 100 ×
It/t1
It0 /t1
Exemple : Voici les informations relatives à l’achat de tickets de spectacle par James au cours de trois périodes.
Nous calculons les indices élémentaires des quantités de chaque bien i avec comme période de référence
Cinéma
Théâtre
Musée
qi0
2
1
4
pi0
5
20
10
qi1
3
0
2
pi1
5,5
30
5
qi2
1
2
6
pi2
6
30
7
0:
Ciné (q) =
I0/0
Thé (q) =
I0/0
Mus (q) =
I0/0
2
Ciné (q) = 3 × 100 = 150 et I Ciné (q) = 1 × 100 = 50
× 100 = 100, I1/0
2/0
2
2
2
1
Thé (q) = 0 × 100 = 0 et I Thé (q) = 2 × 100 = 200
× 100 = 100, I1/0
2/0
1
1
1
4
Mus (q) = 2 × 100 = 50 et I Mus (q) = 6 × 100 = 150
× 100 = 100, I1/0
2/0
4
4
4
De manière analogue,on peut déterminer les indices élementaires des prix pour chaque bien i :
Ciné (p) =
I0/0
5
Ciné (p) = 5, 5 × 100 = 110 et I Ciné (p) = 6 × 100 = 120
× 100 = 100, I1/0
2/0
5
5
5
Thé (p) et I Mus (p), pour tout t = 0, 1, 2.
Le raisonnement est le même pour les It/0
t/0
8
Exercices associés : 5, 7, 10 et 11.
2.2
Les indices synthétiques
Un indice synthétique mesure la variation d’une grandeur complexe (i.e. composée de plusieurs grandeurs
élementaires). Par exemple, la quantité achetée d’un bien est une grandeur élémentaire, tout comme le prix
d’un bien. Cependant, la dépense est une mesure complexe car elle dépend de la quantité ET du prix (donc
de deux grandeurs élementaires).
2.2.1
Notions préliminaires
Tout d’abord, un coefficient budgétaire est le rapport entre la dépense consacrée à un bien ou service
particulier et la dépense totale (INSEE). Les coefficients budgétaires permettent d’évaluer les changements
dans la structure de la consommation des ménages.
Imaginons une situation dans laquelle un individu dépense son revenu dans k biens différents lors d’une année
t. En t, chaque bien i est caractérisé par sa quantité, notée qit , et son prix, pit . On désigne par αti le coefficient
budgétaire du bien i lors de l’année t :
αti =
pit qit
Dépenses en bien i en t
= k
Dépenses totales en t
X
pit qit
j=1
La somme des coefficients budgétaires est égale à 1, c’est-à-dire
Pk
i=1
αit = 1, ∀t = 0, 1, 2.
Exemple (James) : Pour calculer les coefficients bugétaires, il faut tout d’abord calculer les dépenses totales pour les trois années :
Dépenses totales en 0 = 5 × 2 + 20 × 1 + 10 × 4 = 70
Dépenses totales en 1 = 5, 5 × 3 + 30 × 0 + 5 × 2 = 26, 5
Dépenses totales en 2 = 6 × 1 + 30 × 2 + 7 × 6 = 108
Puis, on applique la formule pour obtenir les coefficients budgétaires associés à chaque bien i pour chaque
année t :
Cinéma
Théâtre
Musée
Total
0
0, 1429
0, 2857
0, 5714
1
9
1
0, 6226
0
0, 3774
1
2
0, 0556
0, 5556
0, 3889
1
Interprétation de αCiné,0 : Lors de l’année 0, les dépenses en cinéma ont représenté 14, 29% des dépenses
totales pour James.
Exercice associé : 11.
Pour étudier les variations de la dépense dans le temps, on calcule un indice de valeur. Ainsi, entre la
période 0 et la période t, on a :
k
X
IVt/0
Dépenses totales en t
j=1
= 100 ×
= 100 × k
Dépenses totales en 0
X
pit qit
pi0 qi0
j=1
Si IVt/0 < 100 alors il y a eu une diminution des dépenses totales entre 0 et t. Au contraire, si IVt/0 > 100
les dépenses totales entre 0 et t ont augmenté.
Exemple (James) : Nous reprennons les montants de dépenses totales déterminés précédemment, puis nous
calculons les indices de valeurs avec 0 comme période de référence :
IV0/0 =
70
26, 5
108
× 100 = 100, IV1/0 =
× 100 = 37, 85 et IV2/0 =
× 100 = 154, 29
70
70
70
Interprétation de IV1/0 : Entre la période 0 et la période 1, la dépense totale de James a diminué de 72,15%
(72, 15 = 100 − 37, 85).
Limite de l’indice de valeur. L’indice de valeur reflète à la fois les évolutions des prix et les évolutions
de quantités sans qu’il soit possible de savoir ce qui est dû aux changements de prix ou aux changements de
quantités consommées. Il s’agit donc d’un indice qui manque de finesse. Dans l’exemple de James, on sait
que sa dépense totale a diminué de 72,15%, mais on ne sait pas comment s’explique cette baisse.
Pour isoler l’impact de la variation des prix ou des quantités, nous allons recourir aux indices de Laspeyres et de Paasche.
Exercices associés : 9 et 11.
10
2.2.2
Les indices synthétiques des prix
Pour savoir si l’évolution des dépenses est tirée par les prix entre la période de référence 0 et la période
finale t, il faut neutraliser l’effet des variations des quantités. Nous avons deux choix possibles :
— Analyser la variation des prix en considérant que le consommateur consomme a chaque période les
quantités de la période de la période de référence (→ Indice de Laspeyres des prix noté L(p)t/0 ).
Formules :
k
X
i=1
k
X
L(p)t/0 =
pit qi0
× 100
(Méthode directe)
pi0 qi0
i=1
ou
L(p)t/0 =
k
X
i
α0i It/0
(p)
(Méthode indirecte)
i=1
— Analyser la variation des prix en considérant que le consommateur consomme à chaque période les
quantités de la période finale (→ Indice de Paasche des prix noté P (p)t/0 ).
Formules :
k
X
P (p)t/0 =
i=1
k
X
pit qit
× 100
(Méthode directe)
pi0 qit
i=1
ou
P (p)t/0 =
1
k
X
i=1
αti
i (p)
It/0
(Méthode indirecte)
Si les indices de Laspeyres ou de Paasche sont inférieurs à 100 alors les prix ont globalement eu un impact
négatif sur l’évolution de la dépense totale. Au contraire, si ces indices sont supérieurs à 100, alors la variation
des prix eu tendance à faire croître les dépenses totales sur la période considérée.
Exemple (James) : Nous savons qu’il y a eu une diminution de la dépense totale entre 0 et 1. Nous cherchons
maitenant à savoir le rôle de la variation des prix dans cette diminution en calculant les indices de Laspeyres
et de Paasches des prix.
Indices des prix de Laspeyres :
L(p)1/0 =
5, 5 × 2 + 30 × 1 + 5 × 4
× 100 ≈ 87, 14
70
11
ou
L(p)1/0 ≈ 0, 1429 × 110 + 0, 2857 × 150 + 0, 5714 × 50 ≈ 87, 14
Indices des prix de Paasche :
26, 5
× 100 ≈ 75, 71
5 × 3 + 20 × 0 + 10 × 2
P (p)1/0 =
ou
P (p)1/0 ≈
1
0,6226
110
+
0
150
+
0,3774
50
≈ 75, 71
Interprétation : Comme les valeurs des indices des prix de Laspeyres et de Paasches sont inférieures à 100,
on peut en déduire que la diminution des dépenses est en partie due à une diminution du prix du panier de
biens de James.
2.2.3
Les indices synthétiques des quantités
Il s’agit de la même distinction que pour les indices des prix : les indices de Laspeyres des quantités
considèrent que les prix restent fixes et égaux à ceux de la période de référence, tandis qu’ils sont égaux
à ceux de la période finale pour Paasche.
Formules :
k
X
i=1
k
X
L(q)t/0 =
pi0 qit
× 100
(Méthode directe)
pi0 qi0
i=1
ou
L(q)t/0 =
k
X
(Méthode indirecte)
i
α0i It/0
(q)
i=1
k
X
P (q)t/0 =
i=1
k
X
pit qit
× 100
(Méthode directe)
pit qi0
i=1
ou
P (q)t/0 =
1
k
X
i=1
(Méthode indirecte)
αti
i (q)
It/0
12
Exemple (James) :
Indices de Laspeyres des quantités :
L(q)1/0 =
5 × 3 + 20 × 0 + 10 × 2
× 100 = 50
70
ou
L(q)1/0 ≈ 0, 1429 × 150 + 0, 2857 × 0 + 0, 5714 × 50 ≈ 50
Indices de Paasche des quantités :
P (q)1/0 =
26, 5
× 100 = 43, 44
5, 5 × 2 + 30 × 1 + 5 × 4
(la méthode indirecte n’est pas possible à calculer ici car on a une division de 0/0).
Interprétation : Comme les valeurs des indices des quantités de Laspeyres et de Paasche sont inférieures
à 100, on peut en déduire que la diminution des dépenses est en partie due à une diminution du quantités de
biens.
Conclusion de l’exemple James : On constate que les valeurs de L(q)1/0 et P (q)1/0 sont inférieures
aux valeurs prises par L(p)1/0 et P (p)1/0 . On peut en conclure que la baisse des dépenses entre la période 0
et 1 mise en évidence par l’indice de valeur est principalement tirée par la diminution des quantités consommées sur la période.
Les propriétés des indices de Laspeyres et de Paasche :
— Contrairement aux indices élémentaires, les indices synthétiques ne sont pas réversibles. Cependant, on a :
Lt/0 =
1002
P0/t
et
Pt/0 =
1002
L0/t
— Contrairement aux indices élémentaires, les indices synthétiques ne sont pas ciculaires (ou
transitifs). Cependant, on peut calculer l’Indice de chaîne sur des périodes successives. Par exemple,
l’indice chaîne de Laspeyres entre la période 0 et la période 2 peut s’écrire en utilisant la période 1 :
LC(p)2/0 = 100 ×
L(p)2/1 L(p)1/0
100
100
(Le principe est le même pour les indices de Paasche)
13
— Il existe un lien entre l’indice de valeur entre deux dates, et les indices de Laspeyres et de Paasche :
IVt/0 =
L(p)t/0 P (q)t/0
L(q)t/0 P (p)t/0
=
100
100
Exercices associés : 9 et 11.
2.2.4
Laspeyres ou Paasche ?
La plupart des instituts de statistiques nationaux utilisent l’indice des prix de Laspeyres pour étudier
l’inflation. En particulier, l’INSEE rend compte de l’évolution des prix à la consommation (IPC) avec un
Indice chaîne de Laspeyres. En effet, il présente deux avantages :
1. Il requiert moins de données actuelles que l’indice de Paasche (moins coûteux à mettre en place) ;
2. Il est plus stable dans le temps que l’indice de Paasche.
3
Les dérivées
3.1
Rappels
Soit a ∈ R et f une fonction définie au voisinage de a. On dira que f est dérivable au point a si
f (x) − f (a)
lim
existe. Cette limite constitue le nombre dérivé et se note f 0 (a). Graphiquement, f 0 (a)
x→a
x−a
s’interprête comme la pente de la tangente de à la courbe représentative de f au point a.
Le calcul des dérivées permet d’étudier une fonction. Soit I un sous-ensemble de R tel que I ⊂ R, et
f une fonction deux fois dérivable sur I, alors si ∀x ∈ I :
Dérivée première
0
f (x) < 0
Dérivée seconde
f 00 (x) < 0
f 00 (x) = 0
f 00 (x) > 0
f est une fonction constante sur I (droite horizontale)
f 0 (x) = 0
0
f (x) > 0
f est une fonction décroissante et concave sur I
f est une droite décroissante sur I
f est une fonction décroissante et convexe sur I
f 00 (x) < 0
f 00 (x) = 0
f 00 (x) > 0
f est une fonction croissante et concave sur I
f est une droite croissante sur I
f est une fonction croissante et convexe sur I
Les calculs des dérivées permettent aussi de trouver analytiquement un extremum. Soit f une
fonction deux fois dérivable sur I, et a ∈ I tel que f 0 (a) = 0, alors :
14
Dérivée première
0
f (a) = 0
3.2
Dérivée seconde
f 00 (a) < 0
f 00 (a) = 0
f 00 (a) > 0
Dérivées des fonctions usuelles
Fonctions usuelles
Dérivées
Fonction constante
f (x) = a
f 0 (x) = 0
Fonction linéaire
f (x) = ax
f 0 (x) = a
Fonction affine
f (x) = ax + b
f 0 (x) = a
Fonction carrée
f (x) = x2
f 0 (x) = 2x
Fonction puissance
f (x) = axn
f 0 (x) = naxn−1
Fonction racine carrée
f (x) =
Fonction racine
f (x) =
Fonction logarithme
f (x) = ln x
Fonction exponentielle
3.3
f admet un maximum local au point a
f n’admet pas d’extremum au point a, il s’agit d’un point d’inflexion
f admet un minimum local au point a
√
x
√
n
x
f (x) = ex
Dérivées d’opérations sur les fonctions
15
f 0 (x) =
f 0 (x) =
n
1
√
2 x
1√
n−1
f 0 (x) =
1
x
f 0 (x) = ex
x
Fonctions
Dérivées
u(x) + v(x)
u0 (x) + v 0 (x)
u(x) × v(x)
u0 (x) × v(x) + u(x) × v 0 (x)
u(x)
v(x)
u0 (x) × v(x) − u(x) × v 0 (x)
2
[v(x)]
1
u(x)
−
u0 (x)
2
[u(x)]
ln(u(x))
u0 (x)
u(x)
eu(x)
u0 (x)eu(x)
n
[u(x)]
n × u0 (x) × u(x)n−1
p
u(x)
u0 (x)
p
2 u(x)
Exercices associés : 12, 13, 14, 15 16, 17, 18.
4
Quelques éléments sur les probabilités
4.1
Définitions
Un probabilité, notée P , correspond à la fréquence de survenance d’un événement donné. Une probabilité
est nécessairement comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement dont l’ocurrence est certaine).
Exemple : s’il pleut un jour par mois à Montpellier, alors la probabilité de pluie sur l’année est de P (pluie) =
12
365
≈ 0, 0329. On dit aussi qu’il pleut 3, 29% des jours de l’année.
Considérons un ensemble Ω représentant la totalité les événements possibles. En d’autres termes il
s’agit de l’événement certain tel que P (Ω) = 1. Au contraire, ∅ correspond à l’événement impossible (celui
qui n’arrive jamais), tel que P (∅) = 0.
Soit deux événements, A et B inclus dans Ω. Ces événements sont caractérisés par leur probabilité de survenance P (A) et P (B). Trois grandes notations sont à connaître :
1. Union. A union B, noté A ∪ B, correspond à la survenance d’au moins un des deux événements.
P (A ∪ B) est la probabilité que A OU B se réalisent.
16
Graphiquement A ∪ B correspond à la zone en rouge :
2. Intersection. A inter B, noté A ∩ B, correspond à la survenance simultanée des deux événements.
P (A ∩ B) est donc la probabilité que A ET B se réalisent.
Graphiquement A ∩ B correspond à la zone en rouge :
3. Evénement complémentaire de A. On appelle événement complémentaire de A l’événement Ā tel
que P (Ā) = 1−P (A). La probabimité de l’événement complémentaire de A correspond à la probabilité
que A ne se réalise pas.
Graphiquement Ā correspond à la zone en rouge :
Formule à retenir :
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
A partir de ces notations, il est possible caractériser un certain nombre de situations :
17
— Si A ∩ B = ∅, on dira que les événements A et B sont incompatibles. En d’autres termes, il n’est
pas possible d’avoir une situation dans laquelle les deux événements sont simultanément réalisés.
Exemple : soit A l’événement “un joueur de l’équipe de France marque un but” et B l’événement
“l’équipe de France perd 3-0”. Ces deux événements ne peuvent pas être réalisés simultanément.
— Si A ∩ B = ∅ et A ∪ B = Ω, on dira que A et B forment un système complet d’événements. Dans
ce cas, on a : P (A) + P (B) = 1, B = Ā et A = B̄. En d’autres termes, l’univers des possibles n’est
constitué que des deux événements A et B, dont l’intersection est nulle.
Exemple : Les événements A correspond à “travailler dur” et B correspond à “ne pas travailler dur”
constituent un système complet d’événements.
Exemple : A la suite d’un examen, plusieurs événements sont possibles pour un étudiant ayant composé :
— A : “l’étudiant va au rattrapage”
— B : “l’étudiant valide son examen”
— C : “l’étudiant obtient une mention”
— D : “l’étudiant a une note supérieure ou égale à 10/20 a l’examen”
— E : “l’étudiant valide son examen au rattrapage”
On peut se servir des définitions du cours pour caractériser les relations entre ces 4 événements.
Tout d’abord, on a A ∩ D = ∅, car l’étudiant ne peut pas simultanément aller au rattrapage et avoir la
moyenne. De plus, A ∪ D = Ω car soit un étudiant obtient la moyenne, soit il va au rattrapage (il n’y a pas de
troisième possibilité). On peut donc dire que A et D forment un système complet d’événements, que A = D̄
et que D = Ā.
De la même manière, on sait que : A ∩ C = ∅ : un étudiant ne peut pas simultanément avoir une mention et
aller au rattrapage.
On peut aussi dire que E = A ∩ B : valider son examen au rattrapage suppose la réalisation de deux événements : aller au rattrapage et valider son examen.
On a : B = D ∪ E car un étudiant valide son examen dès lors qu’il a la moyenne à l’examen en première
session (D) ou en deuxième session (E).
Enfin, il nous est aussi possible de dire que P (B) > P (E), car E ⊂ B. De la même manière, P (B) > P (D),
car D ⊂ B
Exercices associés : 19, 20.
18
4.2
4.2.1
Probabilités conditionnelles
Définition
Une probabilité conditionnelle décrit la probabilité d’occurence d’un événement A sachant que l’événement B a été réalisé. On notera cette probabilité P (A|B) ou PB (A) et elle se lit “probabilité de A sachant
B”.
Formules à retenir :
P (A|B) =
P (A ∩ B)
P (B)
et P (B|A) =
P (B ∩ A)
P (A)
Ou, de manière équivalente :
P (A ∩ B) = P (B) × P (A|B) = P (A) × P (B|A)
Exemple : reprenons l’exemple précédent en précisant la valeur des probabilités associées à chaque événement :
P (A) = 0.3, P (B) = 0.8, P (C) = 0.2, P (D) = 0.7 et P (E) = 0.2. Question : quelle est la probabilité que
l’étudiant réussisse son examen, sachant qu’il est au rattrapage ?
Cela revient à chercher P (B|A). On sait que :
P (B|A) =
P (A ∩ B)
0, 2
2
=
= ≈ 0.66
P (A)
0, 3
3
car on a montré que A ∩ B = E.
Interprétation : Un étudiant allant au rattrapage à deux chances sur trois de valider son examen.
Indépendance en probabilité. A et B sont indépendants en probabilité si : P (A ∩ B) = P (A) × P (B).
Exemple : Nous rajoutons à l’exemple précédent un événement F “il fait beau aujourd’hui”, tel que P (F ) = 0.6.
La survenance de cet événement météorologique est indépendant de la réussite d’un étudiant au examen. Par
conséquent, la probabilité qu’il fasse beau et qu’un étudiant obtienne une mention est :
P (F ∩ C) = P (F ) × P (C) = 0, 6 × 0, 2 = 0, 12
Interprétation : Il y a 12% de chance qu’il fasse à la fois beau et que l’étudiant obtienne une mention à son
examen.
19
4.2.2
Le théorème de Bayes
Le théorème de Bayes perment de calculer une probabilité conditionnelle. 3
Formule à retenir :
P (A|B) =
4.2.3
P (B|A) × P (A)
P (B)
Représentation par arbre de probabilités
Il est d’usage de représenter les probabilités conditionnelles à l’aide d’un arbre de probabilité. Si nous
reprennons notre exemple, nous pouvons établir l’arbre de probabilité suivant :
Chaque branche de l’arbre est un cheminement, une suite d’événements. Ainsi l’arbre ci-dessus correspond à
la question de l’obtention des mentions (C). Les points noirs sont appelés des noeuds et correspondent à la
réalisation d’un événement. La probabilité de survenance de l’événement correspond à la probabilité inscrite
à sa gauche.
Il est possible de remplacer dans l’arbre les probabilités par leurs valeurs. Par exemple, on sait que P (D) = 0.7,
et donc que P (D̄ = 1−0.7 = 0.3. Par ailleurs, il est impossible d’obtenir une mention si on a pas eu la moyenne
à l’examen, donc P (C|D̄) = 0 et son complémentaire P (C̄|D̄) = 1. Enfin on peut déduire P (C|D) = 0 avec
la formule des probabilités conditionnelles :
P (C|D) =
P (C ∩ D)
P (C ∩ D)
=
P (D)
0.7
Il nous manque donc la probabilité d’avoir simultanément la moyenne à l’examen (réalisation de D) et une
mention (réalisation de C). Or, pour avoir la mention, on a nécessairement eu la moyenne. En d’autres termes,
C ⊂ D. Par conséquent, P (C ∩ D) = P (C) : la probabilité d’avoir la moyenne ET la mention est égale à la
probabilité d’avoir la moyenne (car on ne peut pas avoir une mention sans avoir la moyenne). On peut donc
3. Vous verrez plus tard que ce théorème est fondamental. Il est à l’origine d’une école de pensée, les Bayesiens, qui s’oppose
aux fréquentistes.
20
réécrire P (C|D) de la manière suivante :
P (C|D) =
P (C)
0.2
=
≈ 0.29
0.7
0.7
Interprétation : La probabilité d’avoir une mention sachant qu’on a eu au moins 10 à son examen est de 29%,
environ.
On peut alors dessiner l’arbre contenant toutes ces informations :
Exercices associés : 19, 20.
Exercices
Exercice 1
Vous disposez des informations suivantes :
Valeurs prises par xi
1. Calculez
2. Calculez
4
X
i=2
3
X
x1
x2
x3
x4
0
-1
5
1
3
xi et précisez le nombre de termes de la somme.
xi et précisez le nombre de termes de la somme.
i=1
4
3. Calculez x̄ =
1X
xi . Comment appelle-t-on x̄ ?
4 i=1
4. Calculez V =
1X
2
(xi − x̄)
4 i=1
4
4
1X
2
5. Calculez
(xi ) − x̄2
4 i=1
21
4
6. Montrez que V =
4
1X
1X
2
2
(xi − x̄) =
(xi ) − x̄2
4 i=1
4 i=1
Exercice 2
Calculez les sommes suivantes :
5
X
1.
2t
t=0
3
X
1
2.
2
t
t=0
3.
4.
3
X
1
2
t
t=1
4
X
(t + 3)
t=0
5.
4
X
t+3
t=0
Exercice 3
Soit deux suites de nombres réels b0 , b1 , ..., bn et c0 , c1 , ..., cm avec (n, m) ∈ N2 .
1. Montrez que :
m
n X
X
(bi + cj ) = (m + 1)
i=0 j=0
n
X
bi + (n + 1)
i=0
2. Calculez (si cela est possible) :
S1 =
n X
n
X
i=1 j=1
S3 =
cj
j=0
n X
n
X
1
i=1 j=i
S2 =
m
X
j
i
i+j
n X
n
X
(i + j)
i=1 j=1
S4 =
n X
i
X
j
i=1 j=1
S5 =
n X
i
X
(i + j)
i=1 j=1
Exercice 4
Vous disposez des informations suivantes : Exemples de lecture du tableau : x2 = −1, y4 = 1.
22
i, j
1
2
3
4
5
6
Valeurs prises par xi
0
-1
5
1
3
1
-3
Valeurs prises par yj
3
2
0
1
Calculez, si possible, les sommes suivantes :
6 X
4
X
1.
xi yj
i=1 j=1
2.
6 X
4
X
(xi + yj )
i=3 j=1
3.
6 X
4
X
xi
i=1 j=1
yj
Exercice 5
Le tableau ci-dessous contient des valeurs du produit intérieur brut français et d’une voiture neuve en
France pour quatre années :
2009
2010
2015
2018
Prix moyen d’une voiture neuve
(en €)
19 153
19 767
25 108
26 035
Produit intérieur brut français
(en billions de dollars)
2,69
2,64
2,44
2,78
Pour le prix d’une voiture neuve et pour le PIB :
1. Calculez la valeur moyenne d’une voiture neuve et du PIB à partir des données disponibles dans le tableau ?
2. Calculez les taux de variation entre chaque année du tableau. Commentez.
3. Calculez le taux de croissance annuel moyen sur la période 2009-2018. Commentez.
4. Calculez les indices élémentaires base 100 en 2009. Commentez.
5. Même question en prenant 2018 comme année de référence (base). Commentez.
Exercice 6
Soit un bien coûtant initialement 39€. Avec les trois différentes démarques, sont prix à diminué de 15%,
20% puis 30%.
23
1. Quel est le prix du bien après la troisième démarque ?
2. Quel est le taux de variation du prix du bien entre son prix initial et son prix soldé après
la troisième démarque.
3. Si l’ordre des démarques avait été inversé, quel aurait été le prix du bien en fin des
soldes ? Commentez
4. Quel aurait été le prix de vente si la baisse avait été de 65% ?
Exercice 7
Une entreprise a demandé à son comptable d’exprimer son chiffre d’affaires en Indice base 100 en 2000,
qui a été une année particulièrement faste. On a :
I2010/2000 = 80,
I2015/2000 = 75 et I2020/2000 = 101
1. Que pensez-vous du choix de l’année de référence ? Globalement, que vous inspire les
valeurs des différents indices ?
2. Calculez l’ensemble de ces indices en prenant 2010 comme année de référence.
3. Quel est le taux de variation du chiffre d’affaires entre 2000 et 2020 ? entre 2010 et 2020 ?
4. En 2010, le chiffre d’affaires (CA) s’élevait à 203 000€. En déduire le CA en 2000, 2015
et 2020.
Exercice 8
Le tableau ci-dessous représente les salaires mensuels moyens et la répartition des effectifs dans une société
imaginaire.
1. Calculez le taux de variation des salaires de chacune des catégories, entre 2015 et 2020.
Commentez.
2. Calculez le salaire moyen en 2015 et 2020, ainsi que son taux de variation sur la période.
Commentez le résultat obtenu par rapport à la Question 1.
24
3. Calculez les TCAM des salaires mensuels moyens pour chacune des catégories (dont
l’ensemble de la population).
4. Qu’appelle-t-on le paradoxe de Simpson ? Est-on dans ce cas ici ? [Votre professeur vous
invite à rechercher sur Internet ce qu’est le paradoxe de Simpson]
Exercice 9
1. Calculez l’indice de valeur entre 2010 et 2015. Commentez.
2. Calculez l’indice de Laspeyres des prix entre 2010 et 2015. Commentez. Les résultats
étaient-ils prévisibles ?
3. Déduire des questions 1 et 2 l’indice de Paasche des quantités entre 2010 et 2015. Puis
retrouvez ce résultat en utilisant la méthode directe.
4. Sachant que L(p)10/05 = 110, pouvez-vous déduire L(p)15/05 ? Si non, que pouvez-vous
calculer avec cette information ? (le calcul est demandé)
Exercice 10
En 2000, le prix d’un bien était 20% supérieur à son prix en 2010 et 50% inférieur à son prix en 2020.
1. Calculez les indices élémentaires base 100 avec 2000 comme année de référence.
2. Convertir ces indices en prenant 2020 comme année de référence.
3. Calculez les taux de croissance entre 2000 et 2010, et entre 2010 et 2020.
4. Calculez le taux de croissance annuel moyen entre 2000 et 2020.
Exercice 11
Soit les données (fictives) concernant la consommation de fruits en France.
1. Calculez l’indice élémentaire des prix et l’indice élémentaire des quantités entre 2010 et
2019 (base 100 en 2019). Commentez.
2. Calculez les coefficients budgétaires des trois fruits.
25
Fruits
Pommes
Poires
Abricots
Prix
1
2
0,5
2010
Quantités
10
5
20
Prix
1,5
2
1,5
2019
Quantités
3
4
15
3. Calculez l’indice de valeur. Commentez.
4. Peut-on déduire de la question précédente que les individus consomment davantage de
fruits ?
5. Calculez l’indice de Laspeyres des prix et des quantités. Ces résultats sont-ils surprenants ? Pourquoi ?
6. Calculez l’indice de Paasche des prix et des quantités. Ces résultats sont-ils surprenants ?
Pourquoi ?
Exercice 12
Soit une fonction définie par f (x) =
2x2
.
2+x
1. Quel est l’ensemble de définition de f ?
2. Calculez f 0 (x).
3. Dressez le tableau de variations de f .
Exercice 13
Donnez l’ensemble de définition des fonctions ci-dessiys, puis calculez leur dérivée en précisant l’ensemble
de définition de la fonction dérivée.
• f (x) = ln(3x − 2)
• g(x) =
• h(x) =
2x2 −3
3x+1
√
8x + 1
• i(x) = (2x + 1)2
• j(x) = 3xe−x
• k(x) = ln(2x − 1) + x2
2x
• l(x) = e 3x+1
√
• m(x) = ln( 3 3x − 2)
26
Exercice 14
Pour les fonctions suivantes, déterminez s’il existe des extremums. Si oui, est-ce un minimum ou un
maximum local ? Quelle est sa valeur ?
1. f (x) = ln(x + 1)
2. g(x) = 3x2 − 4x + 2
3. h(x) =
2x
3x2 −2
Exercice 15
Une entreprise vend des clés usb. Si elle vend une quantité q, elle sait que son coût total de production sera
2
de CT (q) = − q4 +q +30. Le coût marginal – correspondant au coût de production d’une unité supplémentaire
– s’écrit Cm(q) = CT 0 (q).
1. Calculez le coût marginal, Cm(q).
2. Quelle est la quantité q ∗ permettant de minimiser les coûts de production de l’entrprise ?
Quelle est la valeur de CT (q ∗ ).
Exercice 16
Un individu à une fonction d’utilité ne dépendant que d’un seul bien, notée U (x) = xα , α ∈ N∗ .
1. Quelle est la quantité de bien x que l’individu va souhaiter consommer ? Comment s’appelle cette hypothèse en microéconomie ?
2. Calculez l’utilité procurée par la consommation d’une unité supplémentaire de bien x.
Commentez.
Exercice 17
1
Soit la fonction à plusieurs variables f (x1 , x2 ) = x21 x24 .
1. Calculez les dérivées premières de f .
2. Calculez les dérivées secondes et la dérivée croisée.
27
Exercice 18
Résoudre les programmes suivants :


 max f (x1 , x2 ) =
x1 ,x2

 s/c
et,
x1 x2
x1 + x2
x1 + x2 = 4


 min f (x1 , x2 ) = x12 + 2x2
x1 ,x2

 s/c
x12 x2 = 10
Exercice 19
Nous disposons des données suivantes concernant une maladie. Chaque année 10% de la population est
atteinte d’une angline blanche bactérienne. On réalise alors des tests (très désagréables), mais ceux-ci ont des
marges d’erreur :
— En cas d’angine blanche, le test réalisé est positif avec une probabilité de 95% (vrai positif ).
— Au contraire, si la personne n’a pas d’angine blanche, le test est tout de même positif dans 10% des
cas (faux positif ).
Dans l’exercice on dira que A correspond à l’événement “être atteint d’une angine blanche”, et P “avoir été
testé positif”.
1. A et P forment-ils un système complet d’événements ?
2. Déterminez la probabilité d’être malade sachant que le test était positif.
3. Quelle est la probabilité qu’une personne testée positive soit en fait saine ?
4. Calculez et interprétez P (A|P̄ ) et P (P̄ |A).
5. Quelle est la probabilité d’être saine si le test est négatif ?
6. Dessinez un arbre de probabilités représentant l’énoncé. A partir de cet arbre (et de
votre calculatrice) pouvez-vous retrouver la valeur de P (Ā) ?
Par ailleurs, les personnes réalisant un test doivent aussi remplir un questionnaire. On y apprend notamment
leur couleur préféré parmi trois choix : bleu (B), rouge (R) et vert (V ). On sait que : P (B) = 0.3 et P (R) = 0.5
7. B, R et V forment-ils un système complet d’événements ?
8. Calculez la probabilité qu’une personne testée positive soit en fait saine et préfère le
bleu ?
9. Déterminez, si possible, les probabilités suivantes : P (V ), P (R ∪ B), P (B̄), P (R̄∪B̄), P (R∪V )
et P (B ∩ (R ∪ V )).
28
Exercice 20
Extrait de Lethielleux (2006)
On considère un circuit électrique où X, Y, Z sont des interrupteurs pouvant avoir deux positions : la
position “ouvert” laisse passer le courant, l’autre position – “fermé” – ne laisse pas passer le courant. Chaque
interrupteur est positionné au hasard.
Quelle est la probabilité que le courant passe dans le circuit ?
29