Cours Maths Stats(L1)

Mathématiques et statistiques
L1 réussir, deuxième année (2020-2021)
Antoine Pietri∗
22 septembre 2020
Cette brochure a été réalisée en utilisant les manuels suivants :
— Hayek, N. et J.-P. Leca, (2015), Mathématiques pour l’économie, Analyse-Algèbre, Dunod, Eco Sup,
5ème édition.
— Lethielleux, M.(2006), Probabilités, estimation statistique, Dunod, Express, 3ème édition.
— Speller M.-V., (2019), Mathématiques, tout pour bien démarrer ses études d’économie-gestion, Dunod.
1 Rappels sur les sommes, moyennes et pourcentages
1.1 Les sommes simples
Soit une suite de nombres rééls : b0, b1, ..., bn, avec n∈N. On peut écrire la somme de ces nombres de la
manière suivante : n
X
i=0
bi=b0+b1+... +bn
Le signe Preprésente donc une somme, dont l’indice de sommation est i. On dit que l’indice iest muet car
le choix de la lettre n’a aucune importance (on aurait pu choisir une autre lettre). L’expression Pn
i=0 bise lit
“la somme de tous les nombres allant de b0àbn”.
Le nombre de termes d’une somme se calcule en faisant : valeur de l’indice de sommation du dernier
terme - valeur de l’indice de sommation du prmeier terme +1. Dans le cas ci-dessus, la somme a n−0+1 = n+1
termes.
∗CEE-M, Univ Montpellier, CNRS, INRAE, Institut Agro, Montpellier, France.
E-mail : [e-mail].
1

Principales propriétés de l’opérateur P
1. Soit une constante 1k∈R, alors Pn
i=0 = (n+ 1)
| {z }
nb de termes
×k.
2. Soit une constante k∈R, alors
n
X
i=0
kbi=k
n
X
i=0
bi.
3.
n
X
i=0
(ai+bi) =
n
X
i=0
ai+
n
X
i=0
bi
4. Soit une constante k∈R, alors
n
X
i=0
(k+bi)=(n+ 1)k+
n
X
i=0
bi.
Sommes de références (à connaitre par coeur) :
n
X
i=0
i=n(n+ 1)
2
n
X
i=0
i2=n(n+ 1)(2n+ 1)
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Remarque importante : Attention, la somme des inverses n’est pas égale à l’inverse des sommes d’une
variable : n
X
i=1
1
xi6=1
Pn
i=1 xi
Si par exemple on a x1= 2 et x2= 3, alors P3
i=1 1
xi=1 2+1 3=5 6et 1
P3
i=1 xi=1
2+3 =1 5.
Exercices associés : 1 et 2.
1.2 Les sommes doubles
Une somme double est une succession de deux sommes, chacune portant sur un indice de sommation
particulier.
1. Ici, une contante est un nombre réél ne dépendant pas de l’indice de sommation, i.
2

Exemple : soit une suite de nombres réels b0, b1, ..., bn, avec n∈N, on a :
n
X
i=0
n
X
j=0
bibj=
n
X
i=0
bi
n
X
j=0
bj(car bine dépend pas de j)
=
n
X
i=0
bi(b0+b1+... +bn)=(b0+b1+... +bn)
n
X
i=0
bi
= (b0+b1+... +bn)(b0+b1+... +bn)=(b0+b1+... +bn)2
Lors de la manipulation d’une somme double, il est important de garder à l’esprit qu’il s’agit avant tout de
deux sommes simples. Par conséquent, les propriétés 1, 2, 3 et 4 de l’opérateur Xdoivent être utilisées.
Principales propriétés de XX:
Soit deux suites de nombres réels, b0, b1, ..., bnet c0, c1, ...cmavec (n, m)∈N2:
1.
n
X
i=0
m
X
j=0
bicj=
m
X
j=0
n
X
i=0
bicj
2.
n
X
i=0
m
X
j=0
bicj=
n
X
j=0
m
X
i=0
bjci(car les indices sont muets)
Exercices associés : 3 et 4.
1.3 La moyenne arithmétique
Soit xiun caractère et nison effectif associé, la moyenne arithmétique – souvent notée ¯x– est égale à :
¯x=1
n
n
X
i=1
xini,avec i= 0,1, ...n
Remarque : niest aussi appelé ‘poids’, et on parle alors de moyenne pondérée.
Exemple : vous cherchez à calculer votre moyenne à la fin du 1er semestre. Le caractère correspond aux
notes obtenues dans les différentes matières, et nicorrespond aux ECTS associés à chaque matière.
Matières (i) Microéconomie (i= 1) Macroéconomie (i= 2) Mathématiques (i= 3)
Notes /20 (xi) 13 6,5 11
ECTS (ni) 5 3 2
3

La moyenne au premier semestre, ¯x, est :
¯x=1
5+3+2
3
X
i=1
xini=13 ×5+6,5×3 + 11 ×2
10 = 10,65
Exercices associés : 5, 8.
1.4 Les pourcentages, et variations en pourcentage
1.4.1 Définition de base
Un pourcentage – noté % – est une partie d’un ensemble. Considérons une population totale composée
de n. Il existe une sous-population Mcomposée de mindividus, avec m≤n.
Plusieurs éléments à bien maîtriser :
— Le signe % est équivalent à diviser par 100 : 10% = 10
100 = 0,1.
— Si on sait qu’il y a k%d’individus Mdans la population totale, alors le nombre d’individus appartenant
à la sous-population Mest : m=n×k
100 .
— La part des individus Mdans la population totale est de k=m
n.
Exemple : Selon le Bureau International du Travail, le taux de chômage au premier trimestre 2020 en France
est de 7,8% pour une population active 29,5 millions de personnes. Combien y a-t-il de chômeurs ?
Il y a 29,5×0,078 ≈2,3millions de chômeurs.
Quel est le % de chômeurs ? (en imaginant que ce n’est pas donné dans l’énoncé ! !)
Il y a 2,3
29,5≈0,078 ≈7,8% de chomeurs.
1.4.2 Variations en pourcentage
Les pourcentages sont aussi très utilisés pour décrire des évolutions que l’on appelle variations en pour-
centage ou encore taux de croissance.
Soit xtla valeur prise par une variable quantitative 2à une date t,t= 0, ..., T . On appelle rx
T/0la variation
en pourcentage de la grandeur xentre les dates 0et T:
rx
T/0=xT−x0
x0
=xt
x0−1
2. Une variable quantitative correspond à une mesure numérique d’une caractéristique, par exemple : la taille, le poids, la
distance, le produit intérieur brut, le nombre de chômeurs etc.
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Interprétation : Si rx
T/0est positif , alors il s’agit la grandeur xa diminué entre 0et T, si rx T/0est négatif
alors xa diminué.
On appelle coefficient multiplicateur,mt/0, le nombre par lequel a été multiplié la grandeur étudiée
(x) entre une situation de départ et une situation d’arrivée.
Mode de calcul :
mx
t/0=xt
x0
Exemple : Au premier tour des élections municipales de Montpellier, Michaël Delafosse (PS) a obtenu 8 636
voix au premier tour et 24 046 au second. Le coefficient multiplicateur du nombre de voix entre les deux tours
est : m2/1=24046
8636 ≈2,78.
Interprétation : Entre les deux tours, le nombre de voix obtenues par Michaël Delafosse a été multiplié par 2,78.
Par ailleurs, il existe un lien direct entre le taux de variation et le coefficient multiplicateur
tel que :
rx
T/0=mx T/0−1
Dans notre, cas, on peut donc en déduire que : r2/1=m2/1−1=1,78.
Interprétations : entre les deux tours, le taux de croissance des voix obtenues par le candidat PS a été de 178%.
Exemple : Voici la population mondiale entre 2015 et 2018 (données issues de la Banque Mondiale).
Années 2015 2016 2017 2018
Milliars d’habitants 7,339 7,424 7,509 7,592
Variations en % - 1,16% 1,14% 1,11%
Les variations en % ont été obtenues avec la formule du cours. Par exemple, entre 2015 et 2016, rpop
2016/2015 =
x2016
x2015 −1 = 7,424 7,339 −1≈0,0116.
Interprétation : Entre 2015 et 2016, la population mondiale a augmenté de 1,16%.
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