Chapitre3: Les Amplificateurs opérationnels I. Presentation: Un amplificateur opérationnel (AOP) est un amplificateur différentiel: c'est un amplificateur électronique qui amplifie une différence de potentiel électrique présente à ses entrées. les AOP ont été conçus pour effectuer des opérations mathématiques dans les calculateurs analogiques : ils permettaient d'implémenter facilement les opérations mathématiques de base comme l'addition, la soustraction, l'intégration, la dérivation et d'autres. L’AOP est un circuit intégré qui comprend: * 2 entrées : 𝒗+ appelée entrée non inverseuse 𝒗− appelée entrée inverseuse * Une sortie 𝒗𝒔 * L’AOP nécessite une alimentation continue symétrique +𝑽𝒄𝒄 , −𝑽𝒄𝒄 Exemple d’AOP : LM741 II. Caractéristiques d’un AOP: 1) Impédance d’entrée: Les impédances des deux entrées sont très élevées (qq MW): les courants d’entrée sont nuls: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 2) Impédance de sortie: L’impédance de sortie de l’AOP est nulle : la tension vs est indépendante du courant extrait is. 3) Caractéristique de transfert: C’est la caractéristique 𝒗𝒔 = 𝒇(𝜺) avec: 𝜺 = 𝒗+ − 𝒗− • Zone linéaire: 𝒗𝒔 = 𝑨𝒅 𝜺 𝑨𝒅 est le gain différentiel ( > 𝟏𝟎𝟓 ) Valable pour des valeurs très faible de 𝜺 𝜺 𝜺 < 𝟎, 𝟏𝟓𝒎𝑽 • Zone de saturation: 𝒗𝒔 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 pour 𝜺 > 𝟎 𝒗𝒔 = −𝑽𝒔𝒂𝒕 pour 𝜺 < 𝟎 4) AOP idéal: Un AOP idéal est caractérisé par: * Une impédance d’entrée infini, donc: 𝒊+ * Un gain différentiel infini (𝑨𝒅 → ∞ ) donc: = 𝒊− = 𝟎 en régime linéaire: 𝜺 = 𝟎 d’où: 𝒗+ = 𝒗− 5) Notion de contre–réaction: il est difficile de contrôler la tension de sortie 𝒗𝒔 car l’amplification Ad est très importante et une très faible valeur de la tension d’entrée 𝜺 suffit à saturer l’AOP. Remède: prélever une fraction de la tension de sortie et l’ôter de la tension d’entrée dans le but d’obtenir une différence proche de 0. 𝒗+ = 𝒗𝒆 𝑹𝟏 Exemple: 𝒗 = 𝒗 =𝒌𝒗 − + ve − R2 R1 vs 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔 𝒔 donc: 𝜺 = 𝒗𝒆 − 𝒌𝒗𝒔 𝑨𝒅 𝒗𝒔 = 𝒗𝒆 𝟏+𝒌 𝑨𝒅 si 𝑨 → ∞alors 𝒗 → 𝒗𝒆 (zone linéaire) Le bouclage de la sortie sur une entrée est un principe appelé contre– réaction. On distingue deux types de contre-réaction: • La contre-réaction négative: bouclage de la sortie sur l’entrée négative, le montage fonctionne alors en régime linéaire. Etude de stabilité: supposons 𝒗𝒆 constant, si 𝒗𝒔 ↑ alors 𝒗− ↑ donc 𝜺 ↓ par conséquent 𝒗𝒔 ↓ il y’a donc compensation. si 𝒗𝒔 ↓ alors 𝒗− ↓ donc 𝜺 ↑ par conséquent 𝒗𝒔 ↑ il y’a donc compensation. • La contre-réaction positive: bouclage de la sortie sur l’entrée positive, le montage fonctionne alors en régime de saturation. Etude de stabilité: supposons 𝒗𝒆 constant, si 𝒗𝒔 ↑ alors 𝒗+ ↑ donc 𝜺 ↑ par conséquent 𝒗𝒔 ↑ il y’a instabilité le montage est en saturation si 𝒗𝒔 ↓ alors 𝒗+ ↓ donc 𝜺 ↓ par conséquent 𝒗𝒔 ↓ il y’a instabilité le montage est en saturation III. Applications linéaires de l’AOP: 1) Montage amplificateur inverseur: Contre réaction négative: régime linéaire AOP idéal donc: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 et 𝜺 = 𝟎 , l’entrée + est à la masse donc: 𝒗+ = 𝒗− = 𝟎 𝒊 R2 R1 𝒊 𝒗− 𝒗𝒆 Donc: 𝒗𝒔 𝒗𝒆 =− + 𝒗𝒔 Maille d’entrée: 𝒗𝒆 = 𝑹𝟏 𝒊 + 𝒗− = 𝑹𝟏 𝒊 Maille de sortie: 𝒗𝒔 = −𝑹𝟐 𝒊 + 𝒗− = −𝑹𝟐 𝒊 𝑹𝟐 𝑹𝟏 il s’agit donc d’un montage amplificateur inverseur. 2) Montage amplificateur non inverseur: Contre réaction négative: régime linéaire AOP idéal donc: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 et 𝜺 = 𝟎 donc 𝒗+ = 𝒗− 𝒗𝒆 𝒗𝒔 𝒊 R1 𝒗− 𝒊 R2 Donc: 𝒗𝒔 𝒗𝒆 = 𝒗𝒔 𝒗− = 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒊 𝑹𝟐 𝒊 = 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟐 coté d’entrée: 𝒗𝒆 = 𝒗+ = 𝒗− coté sortie: 𝒗𝒔 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝒊 or: 𝒗− = 𝑹𝟐 𝒊 =𝟏+ 𝑹𝟏 𝑹𝟐 il s’agit donc d’un montage amplificateur non inverseur. 3) Montage sommateur inverseur: Contre réaction négative: régime linéaire AOP idéal donc: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 et 𝜺 = 𝟎 , l’entrée + est à la masse donc: 𝒗+ = 𝒗− = 𝟎 𝒗𝒆𝟏 = 𝑹𝟏 𝒊𝟏 + 𝒗− = 𝑹𝟏 𝒊𝟏 𝒊𝟑 𝒗𝒆𝟐 = 𝑹𝟐 𝒊𝟐 + 𝒗− = 𝑹𝟐 𝒊𝟐 𝒗𝒔 = −𝑹𝟑 𝒊𝟑 + 𝒗− = −𝑹𝟑 𝒊𝟑 R3 R1 Loi des nœuds: 𝒗𝒆𝟏 𝒊𝟏 𝒊𝟑 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 𝒊𝟐 𝒗− + Donc: R2 𝒗𝒔 𝒗𝒆𝟐 𝒗 𝒗 𝒗 − 𝒔 = 𝒆𝟏 + 𝒆𝟐 𝑹𝟑 Donc: 𝒗𝒔 = −𝑹𝟑 𝒗𝒆𝟏 𝑹𝟏 + 𝒗𝒆𝟐 𝑹𝟐 Dans le cas où 𝑹𝟏 = 𝑹𝟐 = 𝑹𝟑 = 𝑹 : 𝒗𝒔 = − 𝒗𝒆𝟏 + 𝒗𝒆𝟐 il s’agit donc d’un montage sommateur inverseur. 𝑹𝟏 𝑹𝟐 4) Montage soustracteur: Contre réaction négative: régime linéaire AOP idéal donc: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 et 𝜺 = 𝟎 , donc: 𝒗+ = 𝒗− 𝒗𝒆𝟐 = 𝑹𝟐 + 𝑹𝟒 𝒊𝟐 𝒊𝟏 𝒗+ = 𝑹𝟒 𝒊𝟐 R3 𝑹𝟒 R1 donc: 𝒗 = 𝒗𝒆𝟐 + 𝒗𝒆𝟏 𝒊𝟏 𝑹𝟐 +𝑹𝟒 𝒊𝟐 𝒗𝒆𝟐 R2 + 𝒊𝟐 𝑹𝟒 Donc: 𝒗− = 𝑹𝟑 𝒗 𝑹𝟏 +𝑹𝟑 𝒆𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟏 +𝑹𝟑 d’autre part: 𝒗𝒔 𝒗𝒆𝟏 = 𝑹𝟏 𝒊𝟏 + 𝒗− et 𝒗𝒔 = −𝑹𝟑 𝒊𝟏 + 𝒗− d’où: 𝑹𝟑 𝒗𝒆𝟏 + 𝑹𝟏 𝒗𝒔 = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝒗− 𝒗𝒔 , en utilisant 𝒗+ = 𝒗− : 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝑹𝟒 𝑹𝟑 𝒗𝒔 = 𝒗𝒆𝟐 − 𝒗𝒆𝟏 𝑹𝟏 𝑹𝟐 + 𝑹𝟒 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 Pour avoir un soustracteur, il faut : 𝑹𝟒 𝑹𝟐 +𝑹𝟒 = 𝑹𝟑 𝑹𝟏 +𝑹𝟑 c-a-d: 𝑹𝟏 𝑹𝟒 = 𝑹𝟐 𝑹𝟑 5) Montage intégrateur: Contre réaction négative: régime linéaire AOP idéal donc: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 et 𝜺 = 𝟎 , donc: 𝒗+ = 𝒗− + à la masse 𝒊 donc: 𝒗+ = 𝒗− = 𝟎 C 𝒊 𝒗𝒆 R 𝒗− + 𝒗𝒔 coté entrée: 𝒗𝒆 = 𝑹𝒊 + 𝒗− = 𝑹𝒊 sortie: 𝟏 𝒗𝒔 = − 𝒊 𝒅𝒕 + 𝒗− 𝑪 𝟏 − 𝑹𝑪 Donc: 𝒗𝒔 = 𝒗𝒆 𝒅𝒕 Il s’agit d’un montage intégrateur inverseur. 6) Montage dérivateur: Contre réaction négative: régime linéaire AOP idéal donc: 𝒊+ = 𝒊− = 𝟎 et 𝜺 = 𝟎 , donc: 𝒗+ = 𝒗− + à la masse donc: 𝒗+ = 𝒗− = 𝟎 i C coté entrée: i R 𝟏 − 𝒗𝒆 = 𝒗𝒄 + 𝒗− = 𝒊 𝒅𝒕 + 𝑪 v ve s sortie: 𝒗𝒔 = −𝑹𝒊 + 𝒗− = −𝑹 𝒊 𝒅𝒗𝒆 𝒅𝒕 Donc: 𝒗𝒔 = −𝑹𝑪 Il s’agit d’un montage dérivateur inverseur. IV. Applications non linéaires de l’AOP: 1) Comparateur à hystérésis ou trigger de Shmitt: Contre réaction positive: régime saturé supposons au départ: 𝒊 𝒗𝒔 = +𝑽𝒔𝒂𝒕 𝑹𝟏 R2 donc: 𝒗+ = 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝒊 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 R1 + 𝒗𝒆 C-a-d 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 < 𝒗𝒆 𝒗− = 𝒗𝒆 il y’a basculement de 𝒗𝒔 +𝑽𝒔𝒂𝒕 à −𝑽𝒔𝒂𝒕 lorsque 𝜺 = 𝒗+ − 𝒗− devient <0 𝑹𝟏 on pose 𝑽𝑯𝑩 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 (seuil de 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 basculement de +𝑽𝒔𝒂𝒕 à −𝑽𝒔𝒂𝒕 ) supposons maintenant que 𝒗𝒔 = −𝑽𝒔𝒂𝒕 et que 𝒗𝒆 ↓, alors: 𝑹𝟏 𝒗+ = − 𝑽𝒔𝒂𝒕 , il y’a basculement de −𝑽𝒔𝒂𝒕 à +𝑽𝒔𝒂𝒕 lorsque 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝜺 = 𝒗+ − 𝒗− devient >0 c-a-d: 𝒗𝒆 < 𝑹𝟏 − 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 𝑹𝟏 − 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 , on pose 𝑽𝑩𝑯 = (seuil de basculement de −𝑽𝒔𝒂𝒕 à +𝑽𝒔𝒂𝒕 ) Les deux tensions de basculement étant différentes, on dit que le système présente un hystérésis. 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝒗𝒔 𝑽𝑯𝑩 𝑽𝑩𝑯 −𝑽𝒔𝒂𝒕 𝒗𝒆 2) Multivibrateur astable: Contre réaction positive: régime saturé supposons au départ: 𝒗𝒔 = +𝑽𝒔𝒂𝒕 et 𝒗𝒄 = 𝟎 (C initialement déchargé) 𝑹𝟏 on a : 𝒗+ = 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒗− = 𝒗𝒄 et 𝒗𝒔 = 𝑹 𝒊𝒄 + 𝒗𝒄 𝒊𝒄 = 𝑪 𝑹𝑪 D’où l’équation différentielle: 𝒗𝒄 = 𝑨 𝒆 Solution: − 𝒕 𝑹𝑪 𝒅𝒗𝒄 𝒅𝒕 𝒅𝒗𝒄 𝒅𝒕 + 𝒗𝒄 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 + 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝒕 − 𝑹𝑪 Comme 𝒗𝒄 (𝟎) = 𝟎 , 𝑨 = −𝑽𝒔𝒂𝒕 donc: 𝒗𝒄 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝟏 − 𝒆 C se charge, il y’a basculement lorsque 𝒗− atteint 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝟏 − 𝒆 − 𝒕 𝑹𝑪 = 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 , on pose 𝑽𝑯𝑩 = basculement de +𝑽𝒔𝒂𝒕 à −𝑽𝒔𝒂𝒕 ) 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 𝒗+ c-a-d: (seuil de 𝒕 c-a-d: 𝟏 − 𝒆 − 𝑹𝑪 = d’où: 𝒕𝟏 = 𝑹𝑪 𝒍𝒏 𝟏 𝑹𝟏 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝒕 , donc 𝒆 − 𝑹𝑪 = A partir de 𝒕𝟏 : 𝒗𝒔 = −𝑽𝒔𝒂𝒕 donc: 𝒗+ = 𝒅𝒗𝒄 𝒅𝒕 𝑹𝑪 l’équation différentielle: 𝒕 Solution:𝒗𝒄 = 𝑨 𝒆 donc: 𝑨 = 𝒆 𝒕𝟏 𝑹𝑪 − 𝑹𝑪 𝑹𝟏 − 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 + 𝒗𝒄 = −𝑽𝒔𝒂𝒕 − 𝑽𝒔𝒂𝒕 , Condition initiale: 𝒗𝒄 𝒕𝟏 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝟏 + D’où: 𝒗𝒄 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒕𝟏 𝑹𝑪 𝑹𝟏 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 =𝒆 − 𝑹𝑪𝟏 𝒆 − 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝒕−𝒕 C se décharge, il y’a basculement lorsque 𝒗− = 𝒗+ c-a-d: 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒕−𝒕 − 𝑹𝑪𝟏 𝒆 on pose 𝑽𝑩𝑯 = c-a-d: 𝒆 𝒕−𝒕 − 𝑹𝑪𝟏 = − 𝑽𝒔𝒂𝒕 = − 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 𝑹𝟏 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝟏− = 𝑹𝟏 − 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 , (seuil de basculement de −𝑽𝒔𝒂𝒕 à +𝑽𝒔𝒂𝒕 ) 𝑹𝟐 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 , D’où: 𝒕𝟐 − 𝒕𝟏 = 𝑹𝑪𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 A partir de 𝒕𝟐 : 𝒗𝒔 = +𝑽𝒔𝒂𝒕 donc: 𝒗+ = 𝑹𝑪 l’équation différentielle: 𝒕 Solution:𝒗𝒄 = 𝑨 𝒆 donc: 𝑨 = −𝒆 𝒕𝟐 𝑹𝑪 − 𝑹𝑪 + 𝒗𝒄 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 + 𝑽𝒔𝒂𝒕 , Condition initiale: 𝒗𝒄 𝒕𝟐 = 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝟏 + D’où: 𝒗𝒄 = −𝑽𝒔𝒂𝒕 𝒅𝒗𝒄 𝒅𝒕 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒆 − =−𝒆 𝒕−𝒕𝟐 𝑹𝑪 𝒕𝟐 𝑹𝑪 𝑽𝒔𝒂𝒕 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 + 𝑽𝒔𝒂𝒕 C se charge, il y’a basculement lorsque 𝒗− = 𝒗+ c-a-d: −𝑽𝒔𝒂𝒕 c-a-d: 𝒆 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒕−𝒕𝟐 − 𝑹𝑪 = 𝒕−𝒕 − 𝑹𝑪𝟐 𝒆 𝑹𝟏 𝟏−𝑹 +𝑹 𝟏 𝟐 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 + 𝑽𝒔𝒂𝒕 = = 𝑹𝟐 𝟐 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 D’où: 𝒕𝟑 − 𝒕𝟐 = 𝑹𝑪 𝒍𝒏 𝟏 + 𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 − 𝑹𝟏 𝑽 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒔𝒂𝒕 On pose: 𝒂 = 𝑹𝟏 𝑹𝟏 +𝑹𝟐 𝒕𝟏 𝑻 = 𝟐 𝑹𝑪 𝒍𝒏 𝟏 + 𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝒕𝟐 𝒕𝟑
