Donc quand xtend vers 0par valeurs supérieures, le rapport x−0
x−0tend vers 1et quand xtend vers 0par valeurs
inférieures, le rapport x−0
x−0tend vers −1. Mais alors, le rapport x−0
x−0n’a pas de limite quand xtend vers 0.
Par contre, puisque lim
x→0
x>0x−0
x−0=1, on peut dire que le graphe de la fonction x↦xadmet en Oà droite une
demi-tangente de coefficient directeur 1et puisque lim
x→0
x<0x−0
x−0= −1, on peut dire que le graphe de la fonction
x↦xadmet en Oà gauche une demi-tangente de coefficient directeur −1.
1
2
3
123−1−2−3
Si on veut un exemple avec une courbe « qui soit courbe », on peut considérer la fonction x↦x2−4x+3dont
voici le graphe.
1
2
3
−1
1 2 3 4−1
En son point d’abscisse 1, la courbe représentative de fadmet deux demi-tangentes de directions différentes et
donc la fonction fn’est pas dérivable en 1. Le point de la courbe d’abscisse 1est un point anguleux de cette
courbe.
II. Fonction dérivée
1) Fonction dérivable sur un intervalle et fonction dérivée
Définition 2. Soit fune fonction définie sur un intervalle Ide R.
La fonction fest dérivable sur Isi et seulement si la fonction fest dérivable en chaque réel xde I.
La fonction, notée f′, qui à chaque réel xassocie f′(x), le nombre dérivé de fen x, s’appelle la fonction
dérivée de la fonction fsur l’intervalle I.
En première S, on a donné un certain nombre de formules donnant directement la dérivée d’une fonction sans avoir
à revenir à la limite en adu rapport f(x)−f(a)
x−a. On rappellera ces formules au paragraphe 3) après en avoir établi
de nouvelles au paragraphe 2).
2) De nouvelles formules de dérivation (dérivée d’une composée)
a) Dérivée de la fonction xf(ax +b)
Théorème 3.Soit fune fonction dérivable sur un intervalle I. Soient aet bdeux réels. Soit Jun intervalle
tel que pour tout réel xde J,ax +bappartient à I. Soit gla fonction définie sur Jpar :
pour tout réel xde J,g(x)=f(ax +b).
La fonction gest dérivable sur Jet
pour tout réel xde J,g′(x)=a×f′(ax +b).
Le résultat précédent s’écrit en abrégé
© Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 5 http ://www.maths-france.fr