Leçon 1 : Activités numériques I Cour
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7. PGCD
Le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b est le plus grand diviseur commun
à a et à b, c'est à dire le plus grand entier naturel qui divise à la fois a et b.
C’est égal au produit de tous les facteurs premiers communs à ces nombres a et b,
chacun d’eux n’est pris qu’une seule fois, avec son exposant le plus petit.
Exemples :
45 = 3 × 3 × 5 = 32 × 51
150 = 2 × 3 × 5 × 5 = 21 × 31 × 52
PGCD (45 ; 150) = 31 × 51 = 15
8. PPCM
Le PPCM de deux entiers naturels non nuls a et b est leur plus petit multiple commun
non nul.
C’est égal au produit de tous les facteurs premiers communs et non communs,
avec son exposant le plus petit
Exemple :
72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 23 × 32
132 = 2 × 2 × 3 × 11 = 22 × 31 × 111
PPCM (72 ; 132) = 23 × 32 × 111
9. Nombres premiers entre eux
Deux nombres entiers a et b sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun
est 1.
Autrement dit, a et b sont premiers entre eux si et seulement si PGCD (a ; b) = 1.
Exemple :
Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
Les diviseurs de 14 sont : 1 ; 2 ; 7 ; 14.
1 est l'unique diviseur commun à 14 et 15 donc 14 et 15 sont premiers entre eux.
10. Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur sont premiers
entre eux. Elle est alors simplifiée au maximum.