Chapitre n 02 Mécanique quantique 2019-2020 1

Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique
1
Chapitre n°2: Evolution des particules
quantiques
1- Particule quantique libre
1-1-Définition
On appelle une particule quantique libre, une particule qui évolue sans interaction avec l’extérieur. Il en
résulte que son énergie potentielle est nulle(
(
)
0
V x
=
). Dans cette condition, la particule quantique est
décrite, dans le référentiel d’étude, par sa quantité de mouvement et son énergie mécanique qui se
confond avec l’énergie cinétique. Son évolution est décrite par la fonction d’onde
(
)
x,t
ψ
qui obéit à
l’équation de Schrödinger :
(
)
(
)
2
2
2
2
x,t x,t
it m x
ψ ψ
∂ ∂
= −
∂ ∂
ℏ
ℏ ;
(
)
0
V x
=
.
Cette évolution est réalisée le long de l’axe
(
)
Ox
où
]
[
x ,
∈ −∞ +∞
.
1-2-Etats stationnaires d’une particule quantique libre
Un système quantique est décrit par des états stationnaires lorsque l’énergie associée est constante. A ces
états stationnaires, on peut associer une fonction d’onde
(
)
x,t
ψ
où les variables
x
et
t
sont découplées :
(
)
(
)
(
)
(
)
x,t x t x,t
ψ
ψϕ β
= = .
Donc
(
)
( )
(
)
x,t d t
x
t dt
ψ
β
ϕ
∂=
∂et
(
)
(
)
( )
2 2
2 2
x,t d x
t
x d x
ψ
ϕβ ∂=
∂.
En remplaçant dans l’équation de Schrödinger, on obtient :
( )
(
)
(
)
( )
2
2
2
2
d t d x
i x t
dt m d x
β ϕ
ϕ β
= − ℏ ℏ
⇔
( )
(
)
( )
(
)
2
2
2
1 1
2
d t d x
i
t dt m x d x
β ϕ
β ϕ
= − ℏ ℏ.
Les deux membres de l’égalité sont fonction des variables différenteset indépendantes. L’égalité n’est
satisfaite pour toutes valeurs de
x
et
t
que si les deux termes s’identifient à une constante, homogène à
une énergie, qu’on note
E
.
( )
(
)
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2
1
1
2
d t
i E I
t dt
d x
E II
m x d x
β
β
ϕ
ϕ
=
⇒
− =
ℏ
ℏ
(
)
I
⇒
(
)
( )
0
d t E
i t
dt
ββ
+ =
ℏ
⇒
(
)
( )
d t E
i t
dt
ββ
= −
ℏ
⇒
( )
E
t A exp i t
β = −
ℏ
.
E
ℏ
est exprimé en
1
s
−
, homogène à une pulsation. On pose
E
ω =
ℏ
⇒
E
ω
=
ℏ
.
Enfin
( ) ( )
E
t A exp i t A exp i t
β ω
= − = −
ℏ
.

Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique
2
La particule libre, décrite par des états stationnaires, est caractérisée par la fonction d’onde
( ) ( ) ( ) ( )
E
x,t x t A. x exp i t
ψϕ β ϕ
= = −
ℏ
. Cette fonction d’onde correspond à une évolution harmonique
puisque
E
ℏ
correspond à une pulsation. La relation d’Einstein
E h
ω ν
= =
ℏ
permet d’identifier l’énergie
de la particule quantique avec celle de l’état stationnaire.
La densité de probabilité des états stationnaires s’écrit :
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
2
E
x,t x,t A. x exp i t A x cte
ψ
ρ ϕ ϕ
= = − = =
ℏ
à
x
donné.
(
)
II
⇒
(
)
( )
2
2 2
2
0
d x m E x
d x
ϕϕ
+ =
ℏ
; polynôme caractéristique : 2
2
2
0
m E
r
+ =
ℏ
⇒
2
2
2
m E
r= −
ℏ
* Si
0
E
<
⇒
2
0
r
>
et les valeurs de
r
sont réelles.
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
x a exp r x a exp r x
ϕ = + puisque
]
[
x ,
∈ −∞ +∞
⇒
(
)
x,t
ψ
diverge.
* Si
0
E
=
⇒
0
r
=
⇒
(
)
x a x b
ϕ
= +
, de même dans ce cas
(
)
x,t
ψ
diverge.
⇒
La condition où
0
E
≤
est à éviter puisqu’elle amène à des solutions non réalistes puisque la densité de
probabilité
( ) ( )
2
x,t x,t
ψ
ρ = peut diverger.
* Si
0
E
>
⇒
2
0
r
<
⇒
les valeurs de
r
sont imaginaires pures : 1 2 2
2
,
m E
r i= ±
ℏ
.
( )
1 2
2 2
2 2
= − + +
ℏ ℏ
' '
m E m E
x A exp i x A exp i x
ϕ
.
Enfin , la fonction d’onde décrivant les états stationnaires d’une particule quantique libre, s’écrit :
( )
1 2
2 2
2 2m E m E E
x,t A exp i x A exp i x exp i t
ψ
= − + + −
ℏ ℏ ℏ
;
1 1
=
'
A A A
et
2 2
'
A A A
=
⇒
( )
1 2
2 2
2 2E m E E m E
x,t A exp i t x A exp i t x
ψ
= − + + − −
ℏ ℏ ℏ ℏ .
Les constantes d’intégration
1
A
et
2
A
sont déterminées en imposant des conditions aux limites.
Dans le cas où la particule quantique libre est caractérisée par des états stationnaires, la fonction
d’onde associée est une superposition de deux ondes de De Broglie (O.D.B.) ; c’est l’équivalent d’une OPPH
dans le cadre de la physique des ondes. Ces deux ondes se propagent respectivement suivant les
x
croissants et les
x
décroissants. On choisit des conditions aux limites de telle sorte que 1
0
A
=
. La fonction
d’onde associée à la particule quantique est :
( )
22
2E m E
x,t A exp i t x
ψ
= − −
ℏ ℏ .
⇒
( ) ( )
22
2
x,t x,t A cte
ψ
ρ = = =
⇒
( )
2
2
x,t dx A dx
ρ
+∞ +∞
−∞ −∞
= = → ∞
∫ ∫
P.
Dans cette situation, la probabilité de présence de la particule quantique diverge, ce qui est contradiction
avec la condition de normalisation.
⇒
Ce résultat met en cause l’aspect réaliste de l’onde De Broglie(O.D.B.).

Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique
3
1-3-Superposition des états stationnaires
Puisque l’équation de Schrödinger est linéaire, tout état d’un système quantique, décrit par une fonction
d’onde
(
)
x,t
ψ peut être constitué d’une combinaison linéaire d’un ensemble des états stationnaires.
Pour l’état stationnaire n,
( ) ( )
n
n n
E
x,t x exp i t
ψϕ
= −
ℏ
.
⇒
( ) ( ) ( )
n
n n n n
n n
E
x,t x,t x exp i t
ψϕ
ψ α α
= = −
∑ ∑
ℏ
Exemple : Cas de deux états stationnaires
( ) ( )
1
1 1
E
x,t x exp i t
ψϕ
= −
ℏ
et
( ) ( )
2
2 2
E
x,t x exp i t
ψϕ
= −
ℏ
.
Le système quantique peut être décrit par un état quelconque :
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2
x,t x,t x,t
ψ ψ
ψ α α = +
⇒
( ) ( ) ( )
1 2
1 1 2 2
E E
x,t x exp i t x exp i t
ϕ ϕ
ψ α α
= − + −
ℏ ℏ
La densité de probabilité associée à cet état quelconque, s’écrit :
( ) ( ) ( ) ( )
2*
x,t x,t x,t x,t
ψ ψ ψ ψ = =
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
2 1
2 1 2 1
* *
* *
E E
x,t x x x x exp i t
E E
x x exp i t
ϕ ϕ ϕ ϕ
ρ α α α α
ϕ ϕ
α α
 − 
⇒ = + + −
 − 
+ −  
ℏ
ℏ
⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 1
1 2 1 2 1 2
2* * E E
x,t x,t x,t x x exp i t
e
ϕ ϕ
ρ ρ ρ α α
 − 
=++
ℏ
R ,
On note :
( ) ( )
2
2
1 1 1
x,t x
ϕ
ρ α
=et
( ) ( )
2
2
2 2 2
x,t x
ϕ
ρ α
=.
En plus, pour deux nombres complexes
1
Z
et
2
Z
, on a : 1 1
1 2 2 1 2 2
2 2
* * * *
Z Z Z Z e Z Z e Z Z
+ = = R R .
La densité de probabilité comprend un terme dépendant du temps. Il en résulte que l’état quantique
résultant est non stationnaire.
On pose
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2
* *
x x K x exp i
ϕ ϕ
α α θ
= − ;
(
)
0
K x
>
module de ce nombre complexe et
θ
son argument.
( ) ( ) ( )
2 1 2 1
1 2 1 2
* * E E E E
x x exp i t K x exp i t
ϕ ϕ
α α θ
 −   − 
= −
ℏ ℏ
.
( ) ( ) ( )
2 1 2 1
1 2 1 2
* * E E E E
x x exp i t K x cos t
e
ϕ ϕ
α α θ
 −   − 
= −
ℏ ℏ
R
Enfin
( ) ( ) ( ) ( )
2 1
1 2 2E E
x,t x,t x,t K x cos t
ρ ρ ρ θ
 − 
= + + −
ℏ
.
Interprétation : L’état quantique résultant caractérisant un système, possède une densité de probabilité de
présence qui évolue d’une manière harmonique au cours du temps. A une position donnée (
x cte
=
), il y a
une alternancedes instants où la particule quantique a une probabilité de présence maximale lorsque

Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique
4
2 1
1
E E
cos t θ
 − 
− =
ℏ
⇒
2 1 2
E E
t p
θ π
−
  − =
ℏ
; p
∈
ℤ
et des instants où la probabilité de présence est
minimale lorsque 2 1
1
E E
cos t θ
 − 
− = −
ℏ
⇒
( )
2 1 2 1
E E t p
θ π
−
  − = +
ℏ
; p
∈
ℤ
.
Ce résultat explique théoriquement le phénomène d’interférence électronique lorsqu’un faisceau
d’électrons traverse un montage adapté.
1-4-Fonction d’onde « réaliste » d’une particule libre – Paquet d’ondes
1-4-1- Position du problème
Dans le cadre de la physique des ondes, on a mis en évidence le caractère non réaliste des ondes
P.P.H. pour décrire la propagation d’un phénomène ondulatoire. Ce fait est dû à la limitation spatiale et
temporelle des phénomènes de propagation réels. Les O.P.P.H. ne possèdent pas cette propriété. La
délocalisation des O.P.P.H. provoque la divergence de l’énergie associée.
Les ondes de De Broglie associées à des particules quantiques, d’expressions des fonctions d’ondes
analogues à celles des O.P.P.H., présentent-elles des défauts ?
L’onde de De Broglie est caractérisée par une fonction d’onde
(
)
(
)
x,t Aexp i t k x
ψ
ω = − − ;
E
ω
=
ℏ
.
( ) ( )
22
x,t x,t A cte
ψ
ρ
= = =
⇒
(
)
d x,t d x
ρ =P
⇒
( )
2
x,t dx A d x
ρ
+∞ +∞
−∞ −∞
= = → ∞
∫ ∫
P.
La normalisation de la probabilité de présence est donc impossible. Ce comportement met en cause le
caractère réel de ce type d’ondes.
1-4-2- Fonction d’onde réelle d’une particule - Paquet d’ondes
Pour aboutir à des cas concrets, permettant de décrire l’état physique d’une particule quantique réelle, on
superpose plusieurs ondes de De Broglie.
* Cas de deux ondes de De Broglie:
(
)
(
)
1 1 1
x,t A exp i t k x
ψ
ω = − − et
(
)
(
)
2 2 2
x,t Aexp i t k x
ψ
ω = − −
⇒
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2
x,t x,t x,t A exp i t k x exp i t k x
ψ ψ ψ ω ω
= + = − − + − −
.
Or 1 0
k k k
δ
= −
, 2 0
k k k
δ
= +
, 1 0
ω ω δω
= −
et 2 0
ω ω δω
= +
tel que 0
ω δω
>>
et 0
k k
δ
>>
,
(
)
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
0 0
0 0
2
x,t Aexp i t k x exp i t k x exp i t k x
Acos t k x exp i t k x
ψ
ω δω δ δω δ
δω δ ω
⇒ = − − − + − −
= − − −
( ) ( ) ( )
222
4
x,t x,t A cos t k x
ψ
ρ δω δ
= = −
⇒
( ) ( )
22
4
x,t dx A cos t k x d x
ρ δω δ
+∞ +∞
−∞ −∞
= = −
∫ ∫
P
→ ∞
:
La probabilité diverge (absence de normalisation). La particule quantique doit exister quelque part. Ce type
de fonction d’onde ne permet de décrire réellement le comportement de la particule.
0
k
(
)
x,t
ψ
=
ℏ
p
k
1
k
2
k
A
2
k
δ
0
0
ω
(
)
x,t
ψ
ω
1
ω
2
ω
A
2
δω
0

Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique
5
Pour s’assurer de la condition de normalisation, il est indispensable de superposer une infinité de fonction
d’ondes de De Broglie c-à-d on construit un paquet d’ondes.
* Cas d’un ensemble continu d’ondes de De Broglie :
La fonction d’onde d’un système quantique réel est décrit par un paquet d’ondes à spectre continu dont la
densité spectrale est :
(
)
g k
ou
(
)
g
ω
.
La fonction d’onde associée est :
( ) ( ) ( )
x,t g k exp i t k x d k
ψω
+∞
−∞
= − −
∫
1-5-Relation de dispersion d’une particule libre – Vitesse de groupe
La relation de dispersion caractérisant une particule quantique est celle qui relie le nombre d’onde
k
à la
pulsation
ω
.
On part de l’équation de Schrödinger appliquée à la particule libre :
(
)
(
)
2
2
2
2
x,t x,t
it m x
ψ ψ
∂ ∂
= −
∂ ∂
ℏ
ℏ (*).
Sa solution peut être de forme de De Broglie :
(
)
(
)
x,t Aexp i t k x
ψ
ω = − − .
(
)
( )
x,t
i x,t
t
ψ
ψ
ω
∂= −
∂ ;
(
)
( )
2
2
2
x,t
k x,t
x
ψ
ψ
∂= −
∂.
(*)
⇒
( )
( )
( )
( )
2
2
2
i i x,t k x,t
m
ψ ψ
ω
− = − −
ℏ
ℏpuisque
(
)
0
x,t
ψ
≠
⇒
2
2
k
m
ω =
ℏ
c’est la relation de
dispersion d’une particule quantique libre (
0
V
=
).
La vitesse du paquet d’ondes représente la vitesse du groupe : g
d
v
d k
ω
= ; d’après la relation de dispersion
2
2
k
d k dk dk
m m
ω = =
ℏ ℏ
⇒
g
d k
v
d k m
ω
= =
ℏ
.
D’après l’aspect corpusculaire, quantité de mouvement de la particule quantique, s’écrit :
p k
=
ℏ
⇒
g
k p
v v
m m
= = =
ℏ
;
v
est la vitesse de la particule quantique.
⇒
Le paquet d’onde se déplace à la vitesse
v
de la particule quantique (
g
v v
=
).
Remarque : Puisque la relation de dispersion est non linéaire, ce qui entraîne la dispersion ou l’étalement
du paquet d’ondes associé à la particule quantique au cours du temps (ou pendant son mouvement).
⇒
La probabilité de présence de la particule quantique tend à s’homogénéiser (devenir la même)
dans l’espace lors de l’évolution de la particule quantique. On perd alors la trace de la particule.
1-5-Vecteur densité de courant de probabilité
La probabilité de présence, à l’instant
t
, d’une particule quantique entre les positions
x
et
x d x
+
, s’écrit :
( ) ( ) ( )
2
d x,t x,t d x x,t d x
ψ
ρ
= =P.
Pendant la durée
dt
, la particule quantique évolue de la quantité : g
k
d x v dt dt
m
= =
ℏ
.
( ) ( ) ( )
k
d x,t x,t d x x,t dt
m
ρ ρ = =
ℏ
P.
On définit le flux de probabilité par :
(
)
( )
d x,t
k
x,t
dt m
Φ ρ = =
ℏ
P.