Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique Chapitre n°2: Evolution des particules quantiques 1- Particule quantique libre 1-1-Définition On appelle une particule quantique libre, une particule qui évolue sans interaction avec l’extérieur. Il en résulte que son énergie potentielle est nulle( V ( x ) = 0 ). Dans cette condition, la particule quantique est décrite, dans le référentiel d’étude, par sa quantité de mouvement et son énergie mécanique qui se confond avec l’énergie cinétique. Son évolution est décrite par la fonction d’onde ψ ( x,t ) qui obéit à l’équation de Schrödinger : iℏ ∂ψ ( x,t ) ∂t 2 ℏ 2 ∂ ψ ( x,t ) =− ; V ( x) = 0 . 2m ∂ x2 Cette évolution est réalisée le long de l’axe ( Ox ) où x ∈ ]−∞ , +∞[ . 1-2-Etats stationnaires d’une particule quantique libre Un système quantique est décrit par des états stationnaires lorsque l’énergie associée est constante. A ces états stationnaires, on peut associer une fonction d’onde ψ ( x,t ) où les variables x et t sont découplées : ψ ( x,t ) = ϕ ( x ) β ( t ) = ψ ( x,t ) . Donc ∂ψ ( x,t ) d β ( t ) ∂ 2 ψ ( x,t ) d 2ϕ ( x ) = = ϕ ( x) et β (t ) . ∂ x2 ∂t dt d x2 2 d β (t ) ℏ2 d ϕ ( x ) En remplaçant dans l’équation de Schrödinger, on obtient : iℏ ϕ ( x ) =− β (t ) ⇔ dt 2 m d x2 2 d β (t ) ℏ2 1 d ϕ ( x ) iℏ =− . 2 m ϕ ( x ) d x2 β ( t ) dt 1 Les deux membres de l’égalité sont fonction des variables différenteset indépendantes. L’égalité n’est satisfaite pour toutes valeurs de x et t que si les deux termes s’identifient à une constante, homogène à une énergie, qu’on note E . 1 d β (t ) =E iℏ β t dt ( ) ⇒ 2 2 1 d ϕ ( x) − ℏ =E 2 m ϕ ( x ) d x2 (I ) ( II ) d β (t ) d β (t ) E E E β ( t ) ⇒ β ( t ) = A exp − i t . + i β (t ) = 0 ⇒ = −i ℏ dt ℏ dt ℏ E E est exprimé en s −1 , homogène à une pulsation. On pose ω = ⇒ E = ℏω . ℏ ℏ (I ) ⇒ E Enfin β ( t ) = A exp − i t = A exp ( − i ω t ) . ℏ 1 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique La particule libre, décrite par des états stationnaires, est caractérisée par la fonction d’onde ψ ( x,t ) = ϕ ( x ) β ( t ) = A.ϕ ( x ) exp − i E t . Cette fonction d’onde correspond à une évolution harmonique puisque ℏ E correspond à une pulsation. La relation d’Einstein E = ℏ ω = hν permet d’identifier l’énergie ℏ de la particule quantique avec celle de l’état stationnaire. La densité de probabilité des états stationnaires s’écrit : 2 ρ ( x,t ) = ψ ( x,t ) ( II ) ⇒ 2 2 E 2 = A.ϕ ( x ) exp − i t = A ϕ ( x ) = cte à x donné. ℏ d 2ϕ ( x ) 2 m E 2mE 2mE + 2 ϕ ( x ) = 0 ; polynôme caractéristique : r 2 + 2 = 0 ⇒ r 2 = − 2 2 dx ℏ ℏ ℏ * Si E < 0 ⇒ r 2 > 0 et les valeurs de r sont réelles. ϕ ( x ) = a1 exp ( r1 x ) + a2 exp ( r2 x ) puisque x ∈ ]−∞ , +∞[ ⇒ ψ ( x,t ) diverge. * Si E = 0 ⇒ r = 0 ⇒ ϕ ( x ) = a x + b , de même dans ce cas ψ ( x,t ) diverge. ⇒ La condition où E ≤ 0 est à éviter puisqu’elle amène à des solutions non réalistes puisque la densité de probabilité ρ ( x,t ) = ψ ( x,t ) peut diverger. 2 * Si E > 0 ⇒ r 2 < 0 ⇒ les valeurs de r sont imaginaires pures : r1,2 = ± i 2mE . ℏ2 2mE x + A2' exp + i x . 2 ℏ Enfin , la fonction d’onde décrivant les états stationnaires d’une particule quantique libre, s’écrit : ϕ ( x ) = A1' exp − i 2mE ℏ2 ψ ( x,t ) = A1 exp − i 2 m2 E x + A2 exp + i 2 m2 E ℏ E 2mE ⇒ ψ ( x,t ) = A1 exp − i t + ℏ2 ℏ ℏ E x exp − i t ; A1 = A A1' et A2 = A A2' ℏ E 2mE x + A2 exp − i t − ℏ2 ℏ x . Les constantes d’intégration A1 et A2 sont déterminées en imposant des conditions aux limites. Dans le cas où la particule quantique libre est caractérisée par des états stationnaires, la fonction d’onde associée est une superposition de deux ondes de De Broglie (O.D.B.) ; c’est l’équivalent d’une OPPH dans le cadre de la physique des ondes. Ces deux ondes se propagent respectivement suivant les x croissants et les x décroissants. On choisit des conditions aux limites de telle sorte que A1 = 0 . La fonction E 2mE d’onde associée à la particule quantique est : ψ ( x,t ) = A2 exp − i t − ℏ2 ℏ 2 ⇒ ρ ( x,t ) = ψ ( x,t ) = A2 = cte ⇒ P = ∫ 2 +∞ −∞ ρ ( x,t ) dx = ∫ +∞ −∞ x . 2 A2 dx → ∞ . Dans cette situation, la probabilité de présence de la particule quantique diverge, ce qui est contradiction avec la condition de normalisation. ⇒ Ce résultat met en cause l’aspect réaliste de l’onde De Broglie(O.D.B.). 2 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique 1-3-Superposition des états stationnaires Puisque l’équation de Schrödinger est linéaire, tout état d’un système quantique, décrit par une fonction d’onde ψ ( x,t ) peut être constitué d’une combinaison linéaire d’un ensemble des états stationnaires. E Pour l’état stationnaire n, ψn ( x,t ) = ϕn ( x ) exp −i n t . ℏ E ⇒ ψ ( x,t ) = ∑ α n ψn ( x,t ) = ∑ α n ϕn ( x ) exp − i n t ℏ n n Exemple : Cas de deux états stationnaires ψ1 ( x,t ) = ϕ1 ( x ) exp − i E1 t et ψ2 ( x,t ) = ϕ2 ( x ) exp − i E2 t . ℏ ℏ Le système quantique peut être décrit par un état quelconque : ψ ( x,t ) = α1 ψ1 ( x,t ) + α 2 ψ2 ( x,t ) E E ⇒ ψ ( x,t ) = α1 ϕ1 ( x ) exp − i 1 t + α 2 ϕ2 ( x ) exp − i 2 t ℏ ℏ La densité de probabilité associée à cet état quelconque, s’écrit : ψ ( x,t ) = ψ ( x,t ) = ψ ( x,t ) ψ * ( x,t ) 2 ⇒ ρ ( x,t ) = α1 2 E1 − E2 t ℏ ϕ1 ( x ) + α 2 2 ϕ2 ( x ) + α1 α 2* ϕ1 ( x ) ϕ*2 ( x ) exp − i 2 2 E − E1 + α 2 α1* ϕ2 ( x ) ϕ1* ( x ) exp − i 2 t ℏ E − E1 ⇒ ρ ( x,t ) = ρ1 ( x,t ) + ρ 2 ( x,t ) + 2 R e α1 α 2* ϕ1 ( x ) ϕ2* ( x ) exp i 2 t , ℏ On note : ρ1 ( x,t ) = α1 2 ϕ1 ( x ) et ρ 2 ( x,t ) = α 2 2 ϕ2 ( x ) . 2 2 En plus, pour deux nombres complexes Z1 et Z 2 , on a : Z1Z 2* + Z 2 Z 1* = 2 R e Z1Z 2* = 2 R e Z 2 Z 1* . La densité de probabilité comprend un terme dépendant du temps. Il en résulte que l’état quantique résultant est non stationnaire. On pose α1 α 2* ϕ1 ( x ) ϕ2* ( x ) = K ( x ) exp ( − i θ ) ; K ( x ) > 0 module de ce nombre complexe et θ son argument. E2 − E1 E2 − E1 t = K ( x ) exp i t −θ . ℏ ℏ α1 α *2 ϕ1 ( x ) ϕ2* ( x ) exp i E − E1 E2 − E1 R e α1 α 2* ϕ1 ( x ) ϕ2* ( x ) exp i 2 t = K ( x ) cos t − θ ℏ ℏ E − E1 Enfin ρ ( x,t ) = ρ1 ( x,t ) + ρ2 ( x,t ) + 2 K ( x ) cos 2 t −θ . ℏ Interprétation : L’état quantique résultant caractérisant un système, possède une densité de probabilité de présence qui évolue d’une manière harmonique au cours du temps. A une position donnée ( x = cte ), il y a une alternancedes instants où la particule quantique a une probabilité de présence maximale lorsque 3 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique E − E1 E2 − E1 cos 2 t − θ =1 ⇒ t − θ = 2 p π ; p ∈ ℤ et des instants où la probabilité de présence est ℏ ℏ E − E1 E2 − E1 minimale lorsque cos 2 t −θ = −1 ⇒ t − θ = ( 2 p + 1) π ; p ∈ ℤ . ℏ ℏ Ce résultat explique théoriquement le phénomène d’interférence électronique lorsqu’un faisceau d’électrons traverse un montage adapté. 1-4-Fonction d’onde « réaliste » d’une particule libre – Paquet d’ondes 1-4-1- Position du problème Dans le cadre de la physique des ondes, on a mis en évidence le caractère non réaliste des ondes P.P.H. pour décrire la propagation d’un phénomène ondulatoire. Ce fait est dû à la limitation spatiale et temporelle des phénomènes de propagation réels. Les O.P.P.H. ne possèdent pas cette propriété. La délocalisation des O.P.P.H. provoque la divergence de l’énergie associée. Les ondes de De Broglie associées à des particules quantiques, d’expressions des fonctions d’ondes analogues à celles des O.P.P.H., présentent-elles des défauts ? E L’onde de De Broglie est caractérisée par une fonction d’onde ψ ( x,t ) = Aexp − i (ω t − k x ) ; ω = . ℏ +∞ +∞ ρ ( x,t ) = ψ ( x,t ) = A = cte ⇒ d P = ρ ( x,t ) d x ⇒ P = ∫ ρ ( x,t ) dx = ∫ A d x → ∞ . −∞ −∞ 2 2 2 La normalisation de la probabilité de présence est donc impossible. Ce comportement met en cause le caractère réel de ce type d’ondes. 1-4-2- Fonction d’onde réelle d’une particule - Paquet d’ondes Pour aboutir à des cas concrets, permettant de décrire l’état physique d’une particule quantique réelle, on superpose plusieurs ondes de De Broglie. * Cas de deux ondes de De Broglie: ψ ( x,t ) ψ ( x,t ) 2δk 2δω A A k= 0 k1 k0 k2 p ℏ ω 0 ω1 ω0 ω2 ψ1 ( x,t ) = Aexp − i (ω1 t − k1 x ) etψ2 ( x,t ) = Aexp − i (ω2 t − k2 x ) ⇒ ψ ( x,t ) = ψ1 ( x,t ) + ψ2 ( x,t ) = A exp − i (ω1 t − k1 x ) + exp − i (ω2 t − k 2 x ) . Or k1 = k0 − δ k , k2 = k0 + δ k , ω1 = ω0 − δω et ω2 = ω0 + δω tel que ω0 >> δω et k0 >> δ k , ⇒ ψ ( x,t ) = Aexp − i (ω0 t − k0 x ) exp i ( δω t − δ k x ) + exp − i (δω t − δ k x ) = 2 Acos (δω t − δ k x ) exp − i (ω0 t − k0 x ) +∞ +∞ 2 2 2 ρ ( x,t ) = ψ ( x,t ) = 4 A cos 2 (δω t − δ k x ) ⇒ P = ∫ ρ ( x,t ) dx = 4 A ∫ cos 2 (δω t − δ k x ) d x → ∞ : −∞ −∞ La probabilité diverge (absence de normalisation). La particule quantique doit exister quelque part. Ce type de fonction d’onde ne permet de décrire réellement le comportement de la particule. 4 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique Pour s’assurer de la condition de normalisation, il est indispensable de superposer une infinité de fonction d’ondes de De Broglie c-à-d on construit un paquet d’ondes. * Cas d’un ensemble continu d’ondes de De Broglie : La fonction d’onde d’un système quantique réel est décrit par un paquet d’ondes à spectre continu dont la densité spectrale est : g ( k ) ou g (ω ) . La fonction d’onde associée est : ψ ( x,t ) = ∫ +∞ −∞ g ( k ) exp − i ( ω t − k x ) d k 1-5-Relation de dispersion d’une particule libre – Vitesse de groupe La relation de dispersion caractérisant une particule quantique est celle qui relie le nombre d’onde k à la pulsation ω . On part de l’équation de Schrödinger appliquée à la particule libre : i ℏ 2 ∂ψ ( x,t ) ℏ 2 ∂ ψ ( x,t ) =− (*). ∂t ∂ x2 2m Sa solution peut être de forme de De Broglie : ψ ( x,t ) = Aexp − i (ω t − k x ) . ∂ψ ( x,t ) ∂ 2 ψ ( x,t ) = − i ω ψ ( x,t ) ; = − k 2 ψ ( x,t ) . 2 ∂t ∂x ⇒ i ℏ ( − i ω ψ ( x,t ) ) = − (*) ℏ2 ℏ 2 − k 2 ψ ( x,t ) ) puisqueψ ( x,t ) ≠ 0 ⇒ ω = k ( 2m 2m c’est la relation de dispersion d’une particule quantique libre ( V = 0 ). La vitesse du paquet d’ondes représente la vitesse du groupe : vg = dω = dω ; d’après la relation de dispersion dk ℏ ℏk dω ℏ k . 2 k dk = dk ⇒ vg = = m dk m 2m D’après l’aspect corpusculaire, quantité de mouvement de la particule quantique, s’écrit : p = ℏ k ⇒ vg = ℏk p = = v ; v est la vitesse de la particule quantique. m m ⇒ Le paquet d’onde se déplace à la vitesse v de la particule quantique ( v = v g ). Remarque : Puisque la relation de dispersion est non linéaire, ce qui entraîne la dispersion ou l’étalement du paquet d’ondes associé à la particule quantique au cours du temps (ou pendant son mouvement). ⇒ La probabilité de présence de la particule quantique tend à s’homogénéiser (devenir la même) dans l’espace lors de l’évolution de la particule quantique. On perd alors la trace de la particule. 1-5-Vecteur densité de courant de probabilité La probabilité de présence, à l’instant t , d’une particule quantique entre les positions x et x + d x , s’écrit : d P ( x,t ) = ρ ( x,t ) d x = ψ ( x,t ) d x . 2 Pendant la durée dt , la particule quantique évolue de la quantité : d x = vg dt = d P ( x,t ) = ρ ( x,t ) d x = ρ ( x,t ) ℏk dt . m ℏk dt . m On définit le flux de probabilité par : Φ = d P ( x,t ) ℏk = ρ ( x,t ) . dt m 5 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique L’évolution de particule est suivant l’axe ( Ox ), le flux de probabilité esteffectué à travers un point, il possible d’identifier entre le flux Φ et la densité de flux JΦ de probabilité. JΦ est le vecteur densité de ℏk ex . JΦ est exprimé en s −1 . m Exemple : On considère un faisceau d’électrons libres me = 9 ,1 10 −31 kg , d’énergie courant de probabilité tel que : JΦ = Φ ex = ρ ( x,t ) Ee− = 3 eV correspondant à un courant I = 1 mA . On souhaite déterminer le vecteur densité de courant des particules et les caractéristiques de l’onde régissant ce faisceau d’électrons. Les particules libres (électrons) sont décrites par : ψ ( x,t ) = ψ ( x,t ) exp − i (ω t − k x ) = ρ ( x,t ) exp − i (ω t − k x ) ; 2 m Ee− pe− p pe2− 2m E E 1 − 2 Avec ω = = et k = = = = car Ee− = Ec ( e ) = me ve− = ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ ℏ 2 2 me Ee− E 2mE ⇒ ψ ( x,t ) = ρ ( x,t ) exp − i t − x. ℏ ℏ p = 2 m E = 2 .9 ,1 .10−31 .3 .1, 6 10−19 = 9 , 2510−25 kg m s −1 . Le flux d’électrons : Φ = JΦ = ρ ( x,t ) 10−3 I = = 6, 251015 électrons. s −1 = JΦ . −19 qe− 1, 6 10 m m 9,1 10−31 ℏk 6, 25 1015 = 6 ,05 109 m −1 . ⇒ ρ = e JΦ = e JΦ = 9, 25 10−25 ℏk p me 2- Evolution d’une particule dans une barrière de potentiel : Effet Tunnel 2-1-Présentation Dans le cas où la particule quantique est soumise à un potentiel constant V ( x ) , l’équation de Schrödinger associée, s’écrit : i ℏ 2 ∂ψ ( x,t ) ℏ 2 ∂ ψ ( x,t ) =− + V ( x ) ψ ( x,t ) ∂t 2m ∂ x2 (**). Dans ce cas, la particule quantique est décrite par des états stationnaires dont la solution générale de E l’équation de Schrödinger, s’écrit : ψ ( x,t ) = ϕ ( x ) exp − i t . ℏ Donc ∂ψ ( x,t ) ∂ 2 ψ ( x,t ) d 2ϕ ( x ) E E E = −i ϕ ( x ) exp − i t et = exp − i t . 2 2 ∂t ℏ ∂x dx ℏ ℏ 2 E ℏ2 d ϕ ( x ) E E E (**) ⇒ i ℏ −i ϕ ( x ) exp − i t = − exp − i t + V ( x ) ϕ ( x ) exp − i t . 2 2m d x ℏ ℏ ℏ ℏ Après simplification, on obtient l’équation de second ordre en ϕ ( x ) : E ϕ ( x) = − 2 ℏ2 d ϕ ( x ) + V ( x ) ϕ ( x ) : C’est l’équation de Schrödinger indépendante du temps décrivant 2 m d x2 les états stationnaires. Une particule quantique, soumise à une barrière de potentiel, peut être décrite de la façon suivante : Un faisceau de particules quantiques incident, d’énergie E et provenant de x → − ∞ , émerge dans un zone où s’impose un potentiel (Barrière de potentiel), modélisé par : 6 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique V(x) V ( x ) = 0 si x < 0 V ( x ) = V0 si x ∈ [ 0 ,L ] V ( x ) = 0 si x > L V0 E (I) (III) (II) 0 x L La région où x ∈ [ 0 ,L ] constitue la barrière de potentiel de longueur L et de hauteur V0 . De point de vue classique, si la particule incidente à une énergie totale E > V0 , elle peut franchir la barrière de potentiel et atteindre la région où x → + ∞ . Dans le cas contraire ( E < V0 ), la particule classique ne peut pas se situer au-delà de la position x = 0 et elle rebrousse chemin. De point de vue quantique, la probabilité de présence peut être non nulle dans la région classiquement interdite (dans le cas où E < V0 ). Une particule quantique peut donc traverser la barrière de potentiel ou subir une réflexion. On cherche à déterminer les probabilités de réflexion et de transmission à travers la barrière dans le cas où E < V0 . 2-2-Expression de la fonction d’onde de la particule quantique D’après ce qui précède, l’équation de Schrödinger indépendante du temps, s’écrit : 2 ℏ2 d ϕ ( x ) E ϕ ( x) = − + V ( x) ϕ ( x) 2 m d x2 (***). 1. Pour les régions ( I ) et ( III ), le potentiel est nul V ( x ) = 0 , L’équation (***) se réduit à : E ϕ ( x ) = − 2 d 2ϕ ( x ) 2 m E 2mE ℏ2 d ϕ ( x ) = k2 . ⇒ + ϕ ( x) = 0 ; 2 2 2 2m d x dx ℏ ℏ2 Sa solution est : * Pour la région ( I ) ϕ I ( x ) = A1 exp ( ik x ) + B1 exp ( − ik x ) . * Pour la région ( III ) ϕ III ( x ) = A3 exp ( ik x ) + B3 exp ( − ik x ) . 2. Pour la région ( II ), le potentiel est non nul V ( x ) = V0 > 0 et E < V0 , 2 d 2ϕ ( x ) 2 m (V0 − E ) ℏ2 d ϕ ( x ) L’équation (***) s’écrit : E ϕ ( x ) = − + V0 ϕ ( x ) ⇒ − ϕ ( x) = 0 ; 2 m d x2 d x2 ℏ2 La quantité 2 m (V0 − E ) 2 m (V0 − E ) est homogène à un nombre d’onde au carré. On pose = Κ 2 > 0 car 2 2 ℏ ℏ on a E < V0 . d 2ϕ ( x ) dx 2 − Κ 2 ϕ ( x ) = 0 ; polynôme caractéristique r 2 − Κ 2 = 0 ⇒ r1,2 = ± Κ = ± 2 m (V0 − E ) ℏ2 . * Pour la région ( II ) ϕ II ( x ) = A2 exp ( − Κ x ) + B2 exp ( Κ x ) . En conclusion, 2mE Région ( I ) : ϕ I ( x ) = A1 exp i ℏ2 x + B1 exp − i 2 m (V0 − E ) Région( II ) : ϕ II ( x ) = A2 exp − ℏ2 2mE ℏ2 x , 2 m (V0 − E ) x + B2 exp ℏ2 x 7 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique 2m E 2m E Région( III ) : ϕ III ( x ) = A3 exp i x + B exp − i x . 3 ℏ2 ℏ2 Commentaires : (i) Dans la région ( I ), La fonction d’onde décrivant la particule quantique résulte d’une superposition de deux contributions (incidente et réfléchie) se propageant suivants les x croissants et décroissants : ψI ( x,t ) = A1 exp − i E t − 2 m2 E x + B1 exp − i E t + 2 m2 E x ℏ ℏ ℏ ℏ (ii) Au-delà de x = L (région III ), la particule quantique n’est soumise à aucune contrainte. Il en résulte l’absence d’une onde De Broglie réfléchie dans la zone x > L ⇒ B3 = 0 E 2mE ⇒ ψ III ( x,t ) = A3 exp − i t − ℏ2 ℏ x . E (iii) Dans la région ( II ), la particule est décrite par la fonction d’onde ψII ( x,t ) = ϕ II ( x ) exp − i t ⇒ ℏ ψII ( x,t ) = A2 exp 2 m (V02 − E ) x exp − i E t + B2 exp − 2 m (V02 − E ) x exp − i E t . ℏ ℏ ℏ ℏ Elle est constituée d’une combinaison linéaire de deux ondes évanescentes se propageant dans des sens opposés. La détermination complète des fonctions ϕ I ( x ) , ϕ II ( x ) et ϕ III ( x ) nécessite l’exploitation des conditions aux limites ou de continuité aux positions x = 0 et x = L . A ces endroits, il y a continuité de la fonction dϕ ( x ) ϕ ( x ) ainsi que sa dérivée spatiale . dx * Continuité de ϕ ( x ) : ϕ I ( x = 0 ) = ϕ II ( x = 0 ) (1) * Continuité de D’autre part : et ϕ II ( x = L ) = ϕ III ( x = L ) d ϕ ( x ) d ϕ I ( x = 0 ) d ϕ II ( x = 0 ) : = (3) dx dx dx et ( 2 ). d ϕ II ( x = L ) d ϕ III ( x = L ) = dx dx ( 4 ). dϕI ( x ) = ik A1 exp ( ik x ) − ik B1 exp ( − ik x ) , dx d ϕ II ( x ) dϕ ( x ) = − Κ A2 exp ( −Κ x ) + Κ B2 exp ( Κ x ) et III = ik A3 exp ( ik x ) dx dx ( 1) ⇒ A1 + B1 = A2 + B2 ( 2 ) ⇒ A2 exp ( − Κ L ) + B2 exp ( Κ L ) = A3 exp ( ik L ) ( 3 ) ⇒ ik A1 + ik B1 = − Κ A2 + Κ B2 ⇒ ik ( A1 − B1 ) = Κ ( − A2 + B2 ) ( 4 ) ⇒ − Κ A2 exp ( − Κ L ) + Κ B2 exp ( Κ L ) = ik A3 exp ( ik L ) 2 m (V0 − E ) 2m E et Κ = . 2 ℏ ℏ2 On obtient un système de quatre équations à cinq inconnus. Avec k = 8 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique A1 + B1 = A2 + B2 ik A − B = Κ − A + B ( 2 2) ( 1 1) A2 exp ( − Κ L ) + B2 exp ( Κ L ) = A3 exp ( ik L ) Κ ( − A2 exp ( − Κ L ) + B2 exp ( Κ L ) ) = ik A3 exp ( ik L ) La résolution de ce système est impossible. Mais on pourra exprimer quatre constantes d’intégration en fonction de la cinquième. Par exemple, on exprime B1 , A2 , B2 et A3 en fonction de la constante A1 . 2-3-Probabilité de transmission et de réflexion- Effet Tunnel Les fonctions d’ondes de De Broglie incidente, réfléchie et transmise, s’écrivent : ψi ( x,t ) = A1 exp − i E t − 2 m2 E x O. Incidente ℏ ℏ ψr ( x,t ) = B1 exp − i E t + 2 m2 E x O. Réfléchie ℏ ℏ E 2m E t− x O. Transmise. 2 ℏ ℏ Les vecteurs densité de courant de probabilité associés sont : ψ t ( x,t ) = A3 exp − i 2 ℏ 2 ℏ 2 ki = A1 k ex = A1 (*) O. Incidente ⇒ JΦ i = ψi ( x,t ) m m 2m E 2 ℏ k. ex ⇒ Φ i = JΦ i = A1 m m 2 ℏ 2 ℏ 2 (**) O. réfléchie ⇒ JΦ r = ψ r ( x,t ) kr = B1 k ( − ex ) = − B1 m m 2m E 2 ℏ k ex ⇒ Φ r = JΦ r = B1 m m 2m E 2 ℏ 2 ℏ 2 ℏ 2 k. (***) O. transmise ⇒ JΦ t = ψt ( x,t ) kt = A3 k ex = A3 ex ⇒ Φ t = JΦ t = A3 m m m m - On définit le coefficient de réflexion en probabilité par : 2 ℏ B1 k B 2 Φr m R = = = 12 . Φ i A 2 ℏ k A1 1 m - On définit le coefficient de transmission en probabilité par : 2 ℏ A3 k A 2 Φt m T = = = 32 . Φ i A 2 ℏ k A1 1 m En connaissant les expressions B1 et A3 en fonction de A1 , on trouve : R = B1 A1 T = A3 A1 2 2 V02 sh 2 ( Κ L ) 4 E (V0 − E ) V02 sh 2 ( Κ L ) = = V02 4 E (V0 − E ) + V02 sh 2 ( Κ L ) 2 1+ sh ( Κ L ) 4 E (V0 − E ) 2 2 1 = 1+ 2 0 V sh 2 ( Κ L ) E V E 4 ( 0− ) = ;Κ = 2 m (V0 − E ) ℏ2 , 4 E (V0 − E ) . 4 E (V0 − E ) + V02 sh 2 ( Κ L ) Commentaire : 9 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique (i) La probabilité de transmission T n’est jamais nulle car V0 > E . Une particule quantique a toujours V ( x) la possibilité de traverser la barrière de potentiel. Ce comportement est purement quantique (inacceptable dans le cas des particules classiques). Il porte le nom de l’Effet Tunnel. (ii) On montre facilement que : R +T = 1 . Ce résultat traduit la conservation de la probabilité de présence ; La particule quantique est soit réfléchie soit transmise sans autres possibilités. Remarque : Dans le cas de la physique des ondes, la relation R +T = 1 traduit la conservation de l’énergie à une interface séparant deux milieux. 2-4-Cas limites- Application Dans le cas où la barrière est longue ou épaisse c à d L >> δ = 1 Κ = ℏ 2 m (V0 − E ) ⇒ L δ = Κ L >>1 ; exp ( Κ L ) − exp ( −Κ L ) 1 1 ≃ exp ( Κ L ) ⇒ sh2 ( Κ L ) ≃ exp ( 2 Κ L ) . 2 2 4 4 E (V0 − E ) 4 E (V0 − E ) 16 E (V0 − E ) D’où T = ≃ ≃ exp ( − 2 Κ L ) . 2 2 V02 4 E (V0 − E ) + V0 sh ( Κ L ) 4 E V − E + V 2 1 exp 2 Κ L ( 0 ) 0 ( ) 4 Si, en plus la barrière est très haute (élevée) V0 >> E , le coefficient de transmission en probabilité se réduit sh ( Κ L ) = à: 16 E (V0 − E ) 16 E 16 E −2 2 2 exp − Κ L ≃ exp − Κ L = exp ( ) ( ) V02 V0 V0 2 mV0 16 E ≃ exp − 2 L . 2 ℏ V0 T = 2 m (V0 − E ) L ℏ2 2 mV0 Conclusion : Compte tenu de sa dépendance du facteur exp − 2 L , le coefficient de transmission ℏ2 en probabilité de présence devient faible dans le cas d’une barrière épaisse (et/ou) haute. Application : Un canon de particules quantiques (électrons) comporte une pointe en platine iridiée dont le travail d’extraction électronique est We− = V0 = 2 eV constituant la barrière de potentiel. Si on cherche à décrire l’état de surface (disposition des atomes) d’un substrat, il faut se placer à l’échelle atomique c à d à l’ordre de 10 −10 m . La largeur L de la barrière doit être proche de cette valeur. On suppose que les électrons émis possèdent l’énergie E = 1 eV . Calculer le coefficient de transmission en probabilité T . • Si les particules émises sont des électrons : me = 9,1 10−31 kg • Si les particules émises sont des protons : m p = 6,67 10−27 kg . Cas des électrons : 10 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique δe = ℏ 2 m e(V0 − E ) = 1,9510−10 m ; ℏ = h 6,32 10−34 = = 1,00510−34 J s . 2π 2π Ainsi L ≈ δ e en plus E ≈ V0 , il en résulte qu’aucune des deux formes simplifiées de T n’est utilisables dans le cas des électrons. On doit utiliser l’expression générale de T . 4 E (V0 − E ) = 0 , 78 ; T = 4 E (V0 − E ) + V02 sh 2 ( Κ L ) 78 % des électrons ont la possibilité de franchir la barrière. L’effet Tunnel est réalisable. Cas des protons : ℏ δp = = 4 ,5510−12 m ; 2 m p (V0 − E ) On peut utiliser la première simplification de l’expression de T T = car la condition L >> δ e est vérifiée. 16 E (V0 − E ) exp ( − 2 Κ L ) ≃ 3,5 10−19 << 1 . 2 V0 Conclusion : Le franchissement de la barrière par les protons est pratiquement impossible pour les distances à l’échelle atomique contraire aux électrons. C’est la raison pour laquelle un Microscope à Effet Tunnel utilise un faisceau d’électrons. 3- Evolution d’une particule dans un puits de potentiel 3-1-Situation du problème Cas d’un particule classique : Une bille macroscopique, confinée dans une cuvette unidimensionnelle, peut être caractérisée par deux états mécaniques lorsqu’elle se trouve à la position minimale de la cuvette (fond de le cuvette) où x = xmin . • Si la bille possède une énergie mécanique minimale, uniquement de type potentielle ⇒ E = E p min = m g zmin ⇒ Ec = E − E p min = 0 . ⇒ la bille est au repos au fond de la cuvette au cours du temps. • Si la bille est caractérisée par une énergie tel que : 1 2 : ⇒ vmax = 2 g ( zmax − zmin ) . E = E p max = m g zmax > E p min ⇒ Ec = E − E p min = m vmax 2 ⇒ la bille est en état d’oscillations de façon continue dans la cuvette entre les positions extrêmes ( zmax ,zmin ) en absence de frottements. Conclusion : Une particule classique peut être au repos ou en oscillations dans la cuvette. Les parois du récipient constituent des barrières de potentiel car elles sont infranchissables. Cas d’un particule quantique : On considère une particule quantique confinée dans un puits de potentiel unidimensionnel (suivant Ox ). On note L la largeur caractéristique du puits. ℏ ℏ La relation de Heisenberg s’écrit : ∆ px ∆ x = ∆ px L ≥ ℏ ⇒ ∆ px ≥ > 0 ∆ px( min ) = . L L L’énergie cinétique associée : ∆ Ec ( min ) = ∆ px2( min ) 2m = ℏ2 ≠ 0. 2 m L2 Conclusion : Une particule quantique confinée possède toujours une énergie cinétique c à d elle ne peut être jamais au repos : C’est un effet purement quantique. 11 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique Plus la particule est confinée ( L plus petite), plus la particule quantique est plus active (d’énergie cinétique ∆ Ec( min ) plu grande). 3-2-Modélisation d’un puits de potentiel infini Il a plusieurs situations où les particules quantiques se trouvent confinées entre deux barrières de potentiel. Il s’agit donc d’un puits. Exemple : Un électron engagé dans En général, un puits de potentiel réel peut être représenté par des liaisons covalentes conjuguées l’allure suivante : V(x) (alternance entre des simples et des doubles liaisons dans les molécules organiques insaturées). L’électron peut se déplacer le long de chaine de la molécule organique mais incapable d’être libérer entièrement de la chaine. x L 0 On se propose de le modéliser par un puits par puits infini dont l’analyse est plus simple et on obtient des résultats proches de la situation réelle. Dans ce cas le puits infini est définit par : V ( x ) → + ∞ si x < 0 V ( x ) = 0 si x ∈ [ 0 ,L ] V ( x ) → + ∞ si x > L V(x) V0 → + ∞ E Si E << V0 , on peut considérer que : V0 → + ∞ Les conditions aux limites vérifiées par la fonction d’onde de la particule quantique associées aux états stationnaires sont : x 0 - ψ ( x ≤ 0 ,t ) = 0 ⇒ ϕ ( x ≤ 0 ) = 0 , L - ψ ( x ≥ L ,t ) = 0 ⇒ ϕ ( x ≥ L ) = 0 . 3-3-Etats stationnaires d’un puits infini 3-3-1- Equation de Schrödinger indépendante du temps On cherche à étudier les états stationnaires de la particule confinée dans le puits infini. La fonction d’onde E associée s’écrit : ψ ( x ,t ) = ϕ ( x ) exp − i t . ℏ L’équation de Schrödinger indépendante du temps, s’écrit dans l’intervalle x ∈ ]−∞ , +∞[ : − 2 ℏ2 d ϕ ( x ) + V ( x) ϕ ( x) = E ϕ ( x) . 2 m d x2 Puisque la fonction d’onde est non nulle uniquement dans l’intervalle x ∈ [ 0 ,L ] , l’équation de Schrödinger 2 d 2ϕ ( x ) 2mE ℏ2 d ϕ ( x ) se réduit à : + E ϕ ( x) = 0 ⇒ + k 2 ϕ ( x ) = 0 , avec k = . 2 2 2m d x dx ℏ 3-3-2- Résolution de l’équationSchrödinger - Quantification de l’énergie 3-3-2-a- Fonctions d’onde des états liés 12 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique −2mE 2mE −2m E < 0 ⇒ = + − ϕ x A exp x B exp x . ( ) ℏ2 ℏ2 ℏ2 En tenant compte des conditions aux limites : (i) Si E < 0 ⇒ k 2 = * ϕ ( x = 0) = A + B = 0 ⇒ A = − B . −2m E −2mE −2mE ⇒ ϕ ( x ) = A exp x − A exp − x = 2 A sh x . 2 2 2 ℏ ℏ ℏ −2m E * ϕ ( x = L ) = 2 A sh L = 0 ⇒ A = 0 . ℏ2 (ii) Si E = 0 ⇒ ϕ ( x ) = A x + B ϕ ( x = 0) = 0 = B ⇒ B = 0 ϕ ( x = L) = 0 = A L ⇒ A = 0 Les choix où E < 0 ou E < 0 ne sont pas utiles (à les rejeter). (iii) Si E > 0 ⇒ k 2 = 2mE > 0 ⇒ ϕ ( x ) = A exp i 2 ℏ 2mE x + B exp − i 2 ℏ 2m E x ℏ2 2mE 2mE ou ϕ ( x ) = a cos x + b sin x . 2 ℏ ℏ2 On applique les conditions aux limites : * ϕ ( x = 0 ) = 0 = a ⇒ a = 0 ⇒ ϕ ( x ) = b sin * ϕ ( x = L ) = b sin ⇒k= 2m E x . ℏ2 2mE L = 0 ⇒ sin 2 ℏ 2m E L = 0 ⇒ ℏ2 2mE L = n π tel que n ∈ ℕ* . ℏ2 2mE nπ = . 2 ℏ L A chaque valeur de l’entier non nul n , on associe un nombre d’onde kn = etune fonction d’onde ϕ ( x ) = ϕn ( x ) = b sin E ⇒ ψn ( x,t ) = ϕn ( x ) exp − i n ℏ t = b sin nπ = L 2 m En n2 π 2 , E = n ℏ2 2 m L ℏ2 2 m En nπ x = b sin x. 2 ℏ L 2 m En E x exp − i n 2 ℏ ℏ t. Pour chercher la constante b , on exploite les conditions de normalisation de ψn ( x,t ) : L d P = ψn ( x,t ) d x ⇒ P = ∫ ψn ( x,t ) dx = 1 = b 2 2 0 2 ∫ L 0 sin 2 2 m En L x dx = b 2 , 2 ℏ 2 2 m En L L 2 L nπ . car ∫ sin 2 x dx = ∫ sin 2 x dx = ⇒ b = 2 0 0 L ℏ L 2 Conclusion : (i) Le seul cas à retenir est celui où la particule quantique est d’énergie positive : E > 0 . 13 Thème n°5: Approche ondulatoire de la mécanique quantique 2 E nπ sin x exp − i n t . L ℏ L (iii) Du fait deconfinement de la particule, les fonctions d’ondes associées décrivent des états liés. (iv) Dans ce cadre, il y a des positions (points)où la densitéde probabilité est maximale. D’autres points où 2π 2 L la probabilité est nulle, qu’on appelle des nœuds. Deux consécutifs sont séparés de λBD = λn = . = kn n (ii) La fonction d’onde de la particule quantique est ψn ( x,t ) = 3-3-2-b- Quantification de l’énergie Les conditions aux limites imposent l’expression de la fonction d’onde ψn ( x,t ) et également laquantification de l’énergie correspondantepuisque 2 m En π 2 n2 ℏ2 n2 h2 L = n π ⇒ En = = . ℏ2 2 m L2 8 m L2 Comme le prévoit l’inégalité de Heisenberg, une particule décrite parle 1er niveau possède une énergie cinétique non nulle Ec = E1 = h2 c à d qu’elle n’est en état de repos : C’est l’énergie minimale de 8 m L2 confinement. 3-3-2-c- Analogie avec la corde vibrante Pour une corde, fixée à ses extrémités x = 0 et x = L , ses oscillations transversales sont décrites par une nπ n πv fonction d’onde associée à une onde stationnaire : yn ( x,t ) = y0 n sin x cos t pour le nième L L n πv mode d’oscillations. Les pulsation propres sont de la forme : ωn = ; v est la vitesse de propagation et L nπ 2π 2L est la longueur d’onde associée au n ∈ ℕ* . Les nombres d’onde propres sont : kn = ⇒ λn = = L kn n nième mode propre. Analogie puits infini – corde vibrante : L’énergie de la particule dans un puits infini est purement cinétique : En = Ecn = pn2 ℏ 2 kn2 h2 n2 h2 = = = . 2 m 2 m 2 m λn2 8 m L2 14
