Espaces préhilbertiens - PC2-PT2
Espaces euclidiens (2)
Exercice 1 (PC-PT 2018)
1
0
0
Pour θ ∈ R, on pose R(θ) = 0 cos θ − sin θ .
0 sin θ cos θ
1. Montrer que, ∀(θ, θ0 ) ∈ R2 , R(θ)R(θ0 ) = R(θ + θ0 ).
2. Calculer R(θ)n , pour tout n ∈ N.
3. Montrer que R(θ) est inversible et calculer son inverse.
4. Montrer que R(θ) est une matrice orthogonale positive.
5. La matrice R(θ) est-elle diagonalisable dans M3 (R)? dans M3 (C)?
Exercice 2 (PC-PT 2013)
Soit A et B deux matrices de Mn (R), on pose hA, Bi = tr(t AB).
1. Montrer que l’on définit un produit scalaire sur Mn (R).
La norme asociée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée kAk =
√
t AA.
Si F est une partie non vide de Mn (R), on pose
d(A, F ) = inf{kA − M k; M ∈ F }.
2. Montrer que Mn (R) = Sn (R) ⊕ An (R), et que cette somme directe est orthogonale.
A − tA
3. Soit A une matrice de Mn (R). Montrer que d(A, Sn (R)) =
. Déterminer de
2
même d(A, An (R)).
4. Soit A une matrice de Mn (R) et U une matrice orthogonale.
Montrer que kAU k = kU Ak = kAk.
Exercice 3 (PC-PT 2013)
On munit R3 de sa structure euclidienne usuelle. On considère les matrices suivantes de
M3 (R) :
1
2
1
1 1 1
A = −2 −1 −1 , J = 1 1 1 et M = t AA.
−1 −1 −2
1 1 1
1. Justifier que J et M sont diagonalisables dans une base orthonormée.
2. Justifier que J admet deux sous-espaces propres orthogonaux.
3. Déterminer une base (v1 , v2 , v3 ) de vecteurs propres de J.
4. Déduire une base orthonormée (u1 , u2 , u3 ) formée par des vecteurs propres de J.
5. Trouver une matrice orthogonale P et une matrice diagonale ∆ telles que
J = P ∆ t P.
6. Exprimer M en fonction de J.
7. Trouver une matrice diagonale D termes positifs telle que
M = P D2 t P.
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Problème 1 (PC-PT 2017)
Pour tout entier n ≥ 2, on munit Mn,1 (R) de la norme euclidienne k.k associée au produit
scalaire usuel h., .i.
Par ailleurs, on identifie entre Rn et Mn,1 (R).
Partie I :
Dans cette partie, on prend n = 3.
On considère le sous-espace H = {X = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 / x1 + x2 + x3 = 0} et les vecteurs
u = (1, −1, 0), v = (1, 0, −1) et w = (1, 1, 1).
1. (a) Montrer que (Rw)⊥ = H. En déduire que R3 = H ⊕ Rw.
(b) Vérifier que {u, v} est une base de H. En déduire que {u, v, w} est une base de R3 .
2. Soit A et D deux matrices carrées d’ordre 3 définies par :
0 1 1
A = 1 0 1 et D = diag(−1, −1, 2).
1 1 0
(a) Vérifier que {u, v, w} est une base de vecteurs propres de A.
(b) Déterminer une matrice orthogonale P telle que A = P D t P.
3. On note p la projection orthogonale sur H. Soit X ∈ R3 .
(a) Déterminer l’unique vecteur Y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ H et l’unique réel λ tels que
X = Y + λw.
(b) En déduire l’expression de p(X) dans la base canonique B = {e1 , e2 , e3 }.
(c) Déterminer le rang et la trace de la projection orthogonale p.
(d) On pose b = (4, 1, 1). Déterminer alors
inf
(x1 ,x2 )∈R2
kb − x1 u − x2 vk2 .
Partie II :
Soit A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) une matrice symétrique non nulle vérifiant :
aij ∈ {0, 1}, ∀(i, j) ∈ {1, . . . n}2 et aii = 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}.
On pose, ∀i ∈ {1, . . . , n}, di =
n
X
j=1
aij , et α = max (di ).
1≤i≤n
x1
Pour tout X = ... ∈ Mn,1 (R), on définit Q(X) = t XAX = hX, AXi.
xn
1. Montrer que A admet une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1 (R).
On désigne par λ1 , . . . , λn les valeurs propres de A rangées par ordre croissant
λ1 ≤ . . . ≤ λn .
On note C = {v1 , . . . vn } une base orthonormée formée par des vecteurs propres de A, où
pour tout i ∈ {1, . . . , n}, vi est le vecteur propre unitaire associé à la valeur propre λi .
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2. Montrer qu’il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que λk 6= 0. Calculer
n
X
λi et en déduire que
i=1
λ1 < 0 < λn .
3. Montrer que, ∀X ∈ Mn,1 (R), on a λ1 kXk2 ≤ Q(X) ≤ λn kXk2 .
4. On note S = {X ∈ Mn,1 (R)/kXk = 1} la sphère unité de Mn,1 (R).
(a) Montrer que S est un fermé borné de Mn,1 (R).
(b) Montrer que Q est continue sur Mn,1 (R). En déduire que Q est bornée et atteint ses
bornes sur S.
(c) Calculer Q(v1 ) et Q(vn ). En déduire que λ1 = min Q(X) et λn = max Q(X).
X∈S
X∈S
Problème 2 (PC-PT 2018)
Pour tout entier n ≥ 2, on munit Rn de la norme euclidienne associée au produit scalaire
usuel h., .i.
Partie I :
Soit f ∈ O(Rn ).
1. Montrer que, pour toute valeur propre réelle λ de f, on a : λ ∈ {−1, 1}.
2. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par f.
(a) Montrer que f (F ) = F puis que f −1 (F ) = F.
(b) Montrer que F ⊥ est stable par f.
Partie II :
Pour tout vecteur unitaire a de R3 , on désigne par σa l’endomorphisme de R3 défini par :
σa (x) = 2hx, aia − x.
1. (a) Montrer que σa est une symétrie vectorielle différente de idR3 .
(b) Déterminer ker(σa − idR3 ) et ker(σa + idR3 ).
(c) En déduire que σa est la symétrie orthogonale par rapport à la droite Ra.
(d) Montrer que R3 = Vect(a) ⊕ Vect(a)⊥ . Déterminer la matrice de σa , dans une base
orthonormée de R3 , adaptée à cette décomposition. En déduire que σa ∈ SO(R3 ).
2. Soit r ∈ SO(R3 ) et a un vecteur unitaire de R3 . Montrer que
r ◦ σa ◦ r−1 = σr(a) .
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