ev-euclidiens

Espaces préhilbertiens - PC2-PT2
Espaces euclidiens (2)
Exercice 1 (PC-PT 2018)
Pour θ∈R,on pose R(θ) = 
1 0 0
0 cos θ−sin θ
0 sin θcos θ
.
1. Montrer que, ∀(θ, θ0)∈R2, R(θ)R(θ0) = R(θ+θ0).
2. Calculer R(θ)n,pour tout n∈N.
3. Montrer que R(θ)est inversible et calculer son inverse.
4. Montrer que R(θ)est une matrice orthogonale positive.
5. La matrice R(θ)est-elle diagonalisable dans M3(R)? dans M3(C)?
Exercice 2 (PC-PT 2013)
Soit Aet Bdeux matrices de Mn(R),on pose hA, Bi=tr(tAB).
1. Montrer que l’on définit un produit scalaire sur Mn(R).
La norme asociée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée kAk=√tAA.
Si Fest une partie non vide de Mn(R),on pose
d(A, F ) = inf{kA−Mk;M∈F}.
2. Montrer que Mn(R) = Sn(R)⊕ An(R),et que cette somme directe est orthogonale.
3. Soit Aune matrice de Mn(R).Montrer que d(A, Sn(R)) = 
A−tA
2
.Déterminer de
même d(A, An(R)).
4. Soit Aune matrice de Mn(R)et Uune matrice orthogonale.
Montrer que kAUk=kUAk=kAk.
Exercice 3 (PC-PT 2013)
On munit R3de sa structure euclidienne usuelle. On considère les matrices suivantes de
M3(R):
A=
121
−2−1−1
−1−1−2
,J=
1 1 1
1 1 1
1 1 1
et M=tAA.
1. Justifier que Jet Msont diagonalisables dans une base orthonormée.
2. Justifier que Jadmet deux sous-espaces propres orthogonaux.
3. Déterminer une base (v1, v2, v3)de vecteurs propres de J.
4. Déduire une base orthonormée (u1, u2, u3)formée par des vecteurs propres de J.
5. Trouver une matrice orthogonale Pet une matrice diagonale ∆telles que
J=P∆tP.
6. Exprimer Men fonction de J.
7. Trouver une matrice diagonale Dtermes positifs telle que
M=P D2tP.
-1-

Espaces préhilbertiens - PC2-PT2
Problème 1 (PC-PT 2017)
Pour tout entier n≥2,on munit Mn,1(R)de la norme euclidienne k.kassociée au produit
scalaire usuel h., .i.
Par ailleurs, on identifie entre Rnet Mn,1(R).
Partie I :
Dans cette partie, on prend n= 3.
On considère le sous-espace H={X= (x1, x2, x3)∈R3/ x1+x2+x3= 0}et les vecteurs
u= (1,−1,0), v = (1,0,−1) et w= (1,1,1).
1. (a) Montrer que (Rw)⊥=H. En déduire que R3=H⊕Rw.
(b) Vérifier que {u, v}est une base de H. En déduire que {u, v, w}est une base de R3.
2. Soit Aet Ddeux matrices carrées d’ordre 3définies par :
A=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
et D= diag(−1,−1,2).
(a) Vérifier que {u, v, w}est une base de vecteurs propres de A.
(b) Déterminer une matrice orthogonale Ptelle que A=P D tP.
3. On note pla projection orthogonale sur H. Soit X∈R3.
(a) Déterminer l’unique vecteur Y= (y1, y2, y3)∈Het l’unique réel λtels que
X=Y+λw.
(b) En déduire l’expression de p(X)dans la base canonique B={e1, e2, e3}.
(c) Déterminer le rang et la trace de la projection orthogonale p.
(d) On pose b= (4,1,1).Déterminer alors inf
(x1,x2)∈R2kb−x1u−x2vk2.
Partie II :
Soit A= (aij )1≤i,j≤n∈ Mn(R)une matrice symétrique non nulle vérifiant :
aij ∈ {0,1},∀(i, j)∈ {1,...n}2et aii = 0,∀i∈ {1, . . . , n}.
On pose, ∀i∈ {1, . . . , n}, di=
n
X
j=1
aij ,et α= max
1≤i≤n(di).
Pour tout X=
x1
.
.
.
xn
∈ Mn,1(R),on définit Q(X) = tXAX =hX, AXi.
1. Montrer que Aadmet une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1(R).
On désigne par λ1, . . . , λnles valeurs propres de Arangées par ordre croissant
λ1≤. . . ≤λn.
On note C={v1,...vn}une base orthonormée formée par des vecteurs propres de A, où
pour tout i∈ {1, . . . , n}, viest le vecteur propre unitaire associé à la valeur propre λi.
-2-

Espaces préhilbertiens - PC2-PT2
2. Montrer qu’il existe k∈ {1, . . . , n}tel que λk6= 0.Calculer
n
X
i=1
λiet en déduire que
λ1<0< λn.
3. Montrer que, ∀X∈ Mn,1(R),on a λ1kXk2≤Q(X)≤λnkXk2.
4. On note S={X∈ Mn,1(R)/kXk= 1}la sphère unité de Mn,1(R).
(a) Montrer que Sest un fermé borné de Mn,1(R).
(b) Montrer que Qest continue sur Mn,1(R).En déduire que Qest bornée et atteint ses
bornes sur S.
(c) Calculer Q(v1)et Q(vn).En déduire que λ1= min
X∈SQ(X)et λn= max X∈SQ(X).
Problème 2 (PC-PT 2018)
Pour tout entier n≥2,on munit Rnde la norme euclidienne associée au produit scalaire
usuel h., .i.
Partie I :
Soit f∈ O(Rn).
1. Montrer que, pour toute valeur propre réelle λde f, on a : λ∈ {−1,1}.
2. Soit Fun sous-espace vectoriel de Estable par f.
(a) Montrer que f(F) = Fpuis que f−1(F) = F.
(b) Montrer que F⊥est stable par f.
Partie II :
Pour tout vecteur unitaire ade R3,on désigne par σal’endomorphisme de R3défini par :
σa(x) = 2hx, aia−x.
1. (a) Montrer que σaest une symétrie vectorielle différente de idR3.
(b) Déterminer ker(σa−idR3)et ker(σa+idR3).
(c) En déduire que σaest la symétrie orthogonale par rapport à la droite Ra.
(d) Montrer que R3= Vect(a)⊕Vect(a)⊥.Déterminer la matrice de σa,dans une base
orthonormée de R3,adaptée à cette décomposition. En déduire que σa∈ SO(R3).
2. Soit r∈ SO(R3)et aun vecteur unitaire de R3.Montrer que
r◦σa◦r−1=σr(a).
-3-