Espaces préhilbertiens - PC2-PT2
Problème 1 (PC-PT 2017)
Pour tout entier n≥2,on munit Mn,1(R)de la norme euclidienne k.kassociée au produit
scalaire usuel h., .i.
Par ailleurs, on identifie entre Rnet Mn,1(R).
Partie I :
Dans cette partie, on prend n= 3.
On considère le sous-espace H={X= (x1, x2, x3)∈R3/ x1+x2+x3= 0}et les vecteurs
u= (1,−1,0), v = (1,0,−1) et w= (1,1,1).
1. (a) Montrer que (Rw)⊥=H. En déduire que R3=H⊕Rw.
(b) Vérifier que {u, v}est une base de H. En déduire que {u, v, w}est une base de R3.
2. Soit Aet Ddeux matrices carrées d’ordre 3définies par :
A=
0 1 1
1 0 1
1 1 0
et D= diag(−1,−1,2).
(a) Vérifier que {u, v, w}est une base de vecteurs propres de A.
(b) Déterminer une matrice orthogonale Ptelle que A=P D tP.
3. On note pla projection orthogonale sur H. Soit X∈R3.
(a) Déterminer l’unique vecteur Y= (y1, y2, y3)∈Het l’unique réel λtels que
X=Y+λw.
(b) En déduire l’expression de p(X)dans la base canonique B={e1, e2, e3}.
(c) Déterminer le rang et la trace de la projection orthogonale p.
(d) On pose b= (4,1,1).Déterminer alors inf
(x1,x2)∈R2kb−x1u−x2vk2.
Partie II :
Soit A= (aij )1≤i,j≤n∈ Mn(R)une matrice symétrique non nulle vérifiant :
aij ∈ {0,1},∀(i, j)∈ {1,...n}2et aii = 0,∀i∈ {1, . . . , n}.
On pose, ∀i∈ {1, . . . , n}, di=
n
X
j=1
aij ,et α= max
1≤i≤n(di).
Pour tout X=
x1
.
.
.
xn
∈ Mn,1(R),on définit Q(X) = tXAX =hX, AXi.
1. Montrer que Aadmet une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1(R).
On désigne par λ1, . . . , λnles valeurs propres de Arangées par ordre croissant
λ1≤. . . ≤λn.
On note C={v1,...vn}une base orthonormée formée par des vecteurs propres de A, où
pour tout i∈ {1, . . . , n}, viest le vecteur propre unitaire associé à la valeur propre λi.
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