Espaces préhilbertiens - PC2-PT2 Espaces euclidiens (2) Exercice 1 (PC-PT 2018) 1 0 0 Pour θ ∈ R, on pose R(θ) = 0 cos θ − sin θ . 0 sin θ cos θ 1. Montrer que, ∀(θ, θ0 ) ∈ R2 , R(θ)R(θ0 ) = R(θ + θ0 ). 2. Calculer R(θ)n , pour tout n ∈ N. 3. Montrer que R(θ) est inversible et calculer son inverse. 4. Montrer que R(θ) est une matrice orthogonale positive. 5. La matrice R(θ) est-elle diagonalisable dans M3 (R)? dans M3 (C)? Exercice 2 (PC-PT 2013) Soit A et B deux matrices de Mn (R), on pose hA, Bi = tr(t AB). 1. Montrer que l’on définit un produit scalaire sur Mn (R). La norme asociée à ce produit scalaire (norme de Schur) est notée kAk = √ t AA. Si F est une partie non vide de Mn (R), on pose d(A, F ) = inf{kA − M k; M ∈ F }. 2. Montrer que Mn (R) = Sn (R) ⊕ An (R), et que cette somme directe est orthogonale. A − tA 3. Soit A une matrice de Mn (R). Montrer que d(A, Sn (R)) = . Déterminer de 2 même d(A, An (R)). 4. Soit A une matrice de Mn (R) et U une matrice orthogonale. Montrer que kAU k = kU Ak = kAk. Exercice 3 (PC-PT 2013) On munit R3 de sa structure euclidienne usuelle. On considère les matrices suivantes de M3 (R) : 1 2 1 1 1 1 A = −2 −1 −1 , J = 1 1 1 et M = t AA. −1 −1 −2 1 1 1 1. Justifier que J et M sont diagonalisables dans une base orthonormée. 2. Justifier que J admet deux sous-espaces propres orthogonaux. 3. Déterminer une base (v1 , v2 , v3 ) de vecteurs propres de J. 4. Déduire une base orthonormée (u1 , u2 , u3 ) formée par des vecteurs propres de J. 5. Trouver une matrice orthogonale P et une matrice diagonale ∆ telles que J = P ∆ t P. 6. Exprimer M en fonction de J. 7. Trouver une matrice diagonale D termes positifs telle que M = P D2 t P. -1- Espaces préhilbertiens - PC2-PT2 Problème 1 (PC-PT 2017) Pour tout entier n ≥ 2, on munit Mn,1 (R) de la norme euclidienne k.k associée au produit scalaire usuel h., .i. Par ailleurs, on identifie entre Rn et Mn,1 (R). Partie I : Dans cette partie, on prend n = 3. On considère le sous-espace H = {X = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 / x1 + x2 + x3 = 0} et les vecteurs u = (1, −1, 0), v = (1, 0, −1) et w = (1, 1, 1). 1. (a) Montrer que (Rw)⊥ = H. En déduire que R3 = H ⊕ Rw. (b) Vérifier que {u, v} est une base de H. En déduire que {u, v, w} est une base de R3 . 2. Soit A et D deux matrices carrées d’ordre 3 définies par : 0 1 1 A = 1 0 1 et D = diag(−1, −1, 2). 1 1 0 (a) Vérifier que {u, v, w} est une base de vecteurs propres de A. (b) Déterminer une matrice orthogonale P telle que A = P D t P. 3. On note p la projection orthogonale sur H. Soit X ∈ R3 . (a) Déterminer l’unique vecteur Y = (y1 , y2 , y3 ) ∈ H et l’unique réel λ tels que X = Y + λw. (b) En déduire l’expression de p(X) dans la base canonique B = {e1 , e2 , e3 }. (c) Déterminer le rang et la trace de la projection orthogonale p. (d) On pose b = (4, 1, 1). Déterminer alors inf (x1 ,x2 )∈R2 kb − x1 u − x2 vk2 . Partie II : Soit A = (aij )1≤i,j≤n ∈ Mn (R) une matrice symétrique non nulle vérifiant : aij ∈ {0, 1}, ∀(i, j) ∈ {1, . . . n}2 et aii = 0, ∀i ∈ {1, . . . , n}. On pose, ∀i ∈ {1, . . . , n}, di = n X j=1 aij , et α = max (di ). 1≤i≤n x1 Pour tout X = ... ∈ Mn,1 (R), on définit Q(X) = t XAX = hX, AXi. xn 1. Montrer que A admet une base orthonormée de vecteurs propres de Mn,1 (R). On désigne par λ1 , . . . , λn les valeurs propres de A rangées par ordre croissant λ1 ≤ . . . ≤ λn . On note C = {v1 , . . . vn } une base orthonormée formée par des vecteurs propres de A, où pour tout i ∈ {1, . . . , n}, vi est le vecteur propre unitaire associé à la valeur propre λi . -2- Espaces préhilbertiens - PC2-PT2 2. Montrer qu’il existe k ∈ {1, . . . , n} tel que λk 6= 0. Calculer n X λi et en déduire que i=1 λ1 < 0 < λn . 3. Montrer que, ∀X ∈ Mn,1 (R), on a λ1 kXk2 ≤ Q(X) ≤ λn kXk2 . 4. On note S = {X ∈ Mn,1 (R)/kXk = 1} la sphère unité de Mn,1 (R). (a) Montrer que S est un fermé borné de Mn,1 (R). (b) Montrer que Q est continue sur Mn,1 (R). En déduire que Q est bornée et atteint ses bornes sur S. (c) Calculer Q(v1 ) et Q(vn ). En déduire que λ1 = min Q(X) et λn = max Q(X). X∈S X∈S Problème 2 (PC-PT 2018) Pour tout entier n ≥ 2, on munit Rn de la norme euclidienne associée au produit scalaire usuel h., .i. Partie I : Soit f ∈ O(Rn ). 1. Montrer que, pour toute valeur propre réelle λ de f, on a : λ ∈ {−1, 1}. 2. Soit F un sous-espace vectoriel de E stable par f. (a) Montrer que f (F ) = F puis que f −1 (F ) = F. (b) Montrer que F ⊥ est stable par f. Partie II : Pour tout vecteur unitaire a de R3 , on désigne par σa l’endomorphisme de R3 défini par : σa (x) = 2hx, aia − x. 1. (a) Montrer que σa est une symétrie vectorielle différente de idR3 . (b) Déterminer ker(σa − idR3 ) et ker(σa + idR3 ). (c) En déduire que σa est la symétrie orthogonale par rapport à la droite Ra. (d) Montrer que R3 = Vect(a) ⊕ Vect(a)⊥ . Déterminer la matrice de σa , dans une base orthonormée de R3 , adaptée à cette décomposition. En déduire que σa ∈ SO(R3 ). 2. Soit r ∈ SO(R3 ) et a un vecteur unitaire de R3 . Montrer que r ◦ σa ◦ r−1 = σr(a) . -3-