Equations différentielles
1. Définition :
dérivées de différents ordres.
-
premier ordre.
Exemple 1 :
où f est une fonction continue.
- Si
second ordre.
Exemple 2 :
où f est une fonction continue.
avec
avec
Remarque :
On appelle équation différentielle du premier ordre avec second membre
toute équation de la forme :
,
Dans le cas où premier ordre sans
second membre.
On appelle équation différentielle du Second ordre avec second membre toute
équation de la forme :
.
Dans le cas où Second ordre sans second
membre.
.
-
dessus sont des équations différentielles du premier ordre et du second
ordre sans second membre.
2. Résolution des équations différentielles :
Résoudre ou intégrer une équation différentielle sur un intervalle I revient à trouver
toutes les fonctions continues et dérivables sur I vérifiant cette fonction.
a. Equation différentielle du premier ordre :
Type où f est une fonction continue sur I.
où f est continue sur I, revient à
Démonstration :
Exemple 3 :
Soit à résoudre différentielle : .
Solution
, avec
Exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles sur I :
a. .
b.
c.
d.
Type avec
( )
est :
Exemple 4 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
Solution
Solution générale :
Solution générale :
Solution générale :
Solution générale :
Exercice 2 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Propriété : (solution vérifiant une condition générale)
Pour tout couple avec
, admet une unique solution prenante .
Exemple 5 :
Dans chacun des cas suivants, résoudre sur
solution vérifiant la condition initiale donnée.
a.
b. et y(1)=1 Solution
a.
Recherche de la solution générale
Solution générale :
Recherche de la constante k à partir de la condition initiale
et
en remplaçant k par sa valeur
b. et y(1)=1
Recherche de la solution générale
Solution générale :
Recherche de la constante k à partir de la condition initiale
et
En remplaçant k par sa valeur
Exercice 3 :
Dans chacun des cas suivants, résoudre sur
déterminer une solution vérifiant la condition initiale donnée.
a.
b. et y(1)=1
c. et y(-4)=1
d. et y(1)=-2
e. et y(e)=e
b. Equation différentielle du second ordre :
Type où f est une fonction continue sur I.
où f est continue sur I, revient à
intégrer deux fois la fois f sur I.
Exemple 6 :
Résoudre sur I
a.
b.
Solution
a.
b.
Une première intégration donne
Une deuxième intégration donne y
Exercice 4 :
Résoudre sur I
a.
b.
c.
d.
Type
est
, .
Exemple 7 :
Résoudre les équations différentielles
a.
b. Solution
a.
Solution générale , .
b.
Solution générale
, .
Exercice 5 :
Résoudre les équations différentielles
a.
b.
c.
Type
est
ns , .
Exemple 8 :
Résoudre les équations différentielles
a.
b. Solution
a.
:
On prendra la solution dont la partie imaginaire est positive (
Solution générale ,
b.
:
On prendra la solution dont la partie imaginaire est positive
(
Solution générale
,
Remarque : on pouvait prendre la solution dont la partie imaginaire
est négative. Dans tout ce qui suit on va travailler avec la solution
dont la partie imaginaire est positive.
Exercice 6 :
Résoudre les équations différentielles
a.
b.
c.
d.
Type
Méthode pratique :
Pour résoudre
:
Ensuite on calcule le discriminant :
Si
La solution générale est de la forme :
Si
La solution générale est de la forme :
Si
En posant que :
Alors :
6
7
1
/
7
100%
