Equations différentielles 1. Définition : Une équation différentielle est une équation dépendante d’une fonction et de ses dérivées de différents ordres. - Si la seule dérivée de l’inconnu est la dérivée primaire alors l’équation est dite de premier ordre. Exemple 1 : y ′ = f(x) où f est une fonction continue. y ′ − 3y = 0 f ′ + 4f = 0 g ′ (x) + ag(x) = 0 avec a ∈ ℝ - Si les seules dérivées de l’inconnu apparaissant dans l’équation sont ses dérivées primaire et secondaire alors l’équation est dite du second ordre. Exemple 2 : y ′′ = f(x) où f est une fonction continue. y ′′ + ω2 y = 0 avec ω ∈ ℝ∗ y ′′ − ω2 y = 0 avec ω ∈ ℝ∗ y ′′ + 3y = 0 y ′′ + 4y ′ = 0 y ′′ + 4y ′ + 9y = 0 Remarque : On appelle équation différentielle du premier ordre avec second membre toute équation de la forme : 𝐚𝐲 ′ + 𝐛𝐲 = 𝐠(𝐱) , 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐚 ∈ ℝ∗ Dans le cas où g(x) = 0, alors l’équation est dite du premier ordre sans second membre. 𝐚𝐲 ′ + 𝐛𝐲 = 𝟎 , 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐚 ∈ ℝ∗ On appelle équation différentielle du Second ordre avec second membre toute équation de la forme : ′ 𝐚𝐲 ′ + 𝐛𝐲 ′ + 𝐜𝐲 = 𝐠(𝐱), 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐚 ∈ ℝ∗ . Dans le cas où g(x) = 0, alors l’équation est dite du Second ordre sans second membre. ′ 𝐚𝐲 ′ + 𝐛𝐲 ′ + 𝐜𝐲 = 𝟎, 𝐚𝐯𝐞𝐜 𝐚 ∈ ℝ∗. On peut remarquer aussi que les équations citées dans l’exemple 1 et 2 cidessus sont des équations différentielles du premier ordre et du second ordre sans second membre. 2. Résolution des équations différentielles : Résoudre ou intégrer une équation différentielle sur un intervalle I revient à trouver toutes les fonctions continues et dérivables sur I vérifiant cette fonction. a. Equation différentielle du premier ordre : Type 𝐲 ′ = 𝐟(𝐱) où f est une fonction continue sur I. Résoudre l’équation différentielle y ′ = f(x) où f est continue sur I, revient à trouver l’ensemble des primitives de f sur I. Youssouf OUEDRAOGO Cours [email protected] Démonstration : y ′ = f(x) et on sait que y ′ = dy dx dy = f(x) ⟹ dy = f(x)dx ⟹ y = ∫ f(x)dx dx Exemple 3 : Soit à résoudre l’équation différentielle : y ′ = 2x 2 − 3x + 1 avec I = ℝ. Solution 2 3 ′ 2 2 y = 2x − 3x + 1 ⟹ y = ∫(2x − 3x + 1)dx = x 3 − x 2 + x + C 𝟐 3 𝟑 2 ⟹ 𝐲 = 𝟑 𝐱 𝟑 − 𝟐 𝐱 𝟐 + 𝐱 + 𝐂 , avec (C ∈ ℝ) Exercice 1 : Résoudre les équations différentielles sur I : a. y ′ = 3x 2 + 4x + 7 avec I = ℝ. b. y ′ = xe−x + 3x + 1 avec I = ℝ. c. y ′ = xln(x − 2) avec I =]2; +∞[. d. y ′ = lnx x avec I =]0; +∞[ Type 𝐲 ′ − 𝐚𝐲 = 𝟎 avec 𝐚 ∈ ℝ∗ L’ensemble solution sur I de l’équation différentielle 𝐲 ′ − 𝐚𝐲 = 𝟎 (𝐚 ∈ ℝ∗ ) est l’ensemble des fonctions de la forme : 𝐱 ⟼ 𝐤𝐞𝐚𝐱 avec k ∈ ℝ. Exemple 4 : Résoudre les équations différentielles suivantes : y ′ − y = 0 ; y ′ + 4y = 0 ; ; y ′ + √5y = 0 ; 2y ′ + 6y = 0 Solution y ′ − y = 0 ⟹ y ′ = y où a = 1 ⟹ y = kex Solution générale : y = kex avec k ∈ ℝ. y ′ + 4y = 0 ⟹ y ′ = −4y où a = −4 ⟹ y = ke−4x Solution générale : y = ke−4x avec k ∈ ℝ. y ′ + √5y = 0 ⟹ y ′ = −√5y où a = −√5 ⟹ y = ke−√5x Solution générale : y = ke−√5x avec k ∈ ℝ. 2 1 1 6y ′ + 2y = 0 ⟹ 6y ′ = −2y ⟹ y ′ = − y ⟹ y ′ = − y où a = − 6 3 3 1 ⟹ y = ke−3x 1 Solution générale : y = ke−3x avec k ∈ ℝ. Exercice 2 : Résoudre les équations différentielles suivantes : a. y ′ − 7y = 0 b. √2y ′ − y = 0 1 c. y ′ + 6 y = 0 d. √2y ′ − √3y = 0 e. √2y ′ + √3y = 0 y f. y ′ = 4 Youssouf OUEDRAOGO Cours [email protected] Propriété : (solution vérifiant une condition générale) Pour tout couple (x0 , y0 ) ∈ ℝ2, l’équation différentielle 𝐲 ′ − 𝐚𝐲 = 𝟎 avec 𝐚 ∈ ℝ∗ , admet une unique solution prenante y0 en x0 . Exemple 5 : Dans chacun des cas suivants, résoudre sur ℝ l’équation et déterminer une solution vérifiant la condition initiale donnée. a. y ′ + 2y = 0 et y(0) = 1 b. y ′ − 3y = 0 et y(1)=1 Solution a. y ′ + 2y = 0 et y(0) = 1 Recherche de la solution générale y ′ + 2y = 0 ⟹ y ′ = −2y où a = −2 ⟹ y = ke−2x Solution générale : y = ke−2x avec k ∈ ℝ. Recherche de la constante k à partir de la condition initiale y(0) = 1 y = ke−2x et y(0) = 1 y(0) = ke−2(0) = ke0 = k ⟹ y(0) = k or y(0) = 1 donc 𝐤 = 𝟏 en remplaçant k par sa valeur y = (1)e−2x ⟹ 𝐲(𝐱) = 𝐞−𝟐𝐱 b. y ′ − 3y = 0 et y(1)=1 Recherche de la solution générale y ′ − 3y = 0 ⟹ y ′ = 3y où a = 3 ⟹ y = ke3x Solution générale : y = ke3x avec k ∈ ℝ. Recherche de la constante k à partir de la condition initiale y(1) = 1 y = ke3x et y(1) = 1 y(1) = ke3(1) = ke3 ⟹ y(1) = ke3 or y(1) = 1 donc ke3 = 1 1 ⟹ ke3 = 1 ⟹ k = 3 = e−3 ⟹ 𝐤 = 𝐞−𝟑 e En remplaçant k par sa valeur y = (e−3 )e3x = e3x . e−3 = e3x−3 (car ea . eb = ea+b ) 𝐲(𝐱) = 𝐞𝟑𝐱−𝟑 Exercice 3 : Dans chacun des cas suivants, résoudre sur ℝ l’équation et déterminer une solution vérifiant la condition initiale donnée. a. y ′ − 5y = 0 et y(0) = 1 b. y ′ + 4y = 0 et y(1)=1 c. 4y ′ − 3y = 0 et y(-4)=1 d. y ′ + yln2 = 0 et y(1)=-2 e. y ′ − ey = 0 et y(e)=e b. Equation différentielle du second ordre : Type 𝐲 ′′ = 𝐟(𝐱) où f est une fonction continue sur I. Résoudre l’équation différentielle y ′′ = f(x) où f est continue sur I, revient à intégrer deux fois la fois f sur I. Exemple 6 : Résoudre sur I a. y ′′ = 0 avec I = ℝ 1 b. y ′′ = − x2 + 2x + 1 avec I =]0; +∞[ Youssouf OUEDRAOGO Cours [email protected] Solution avec I = ℝ y ′′ = 0 ⟹ y ′ = a ⟹ y = ax + b avec (a, b) ∈ ℝ 1 b. y ′′ = − 2 + 2x + 1 avec I =]0; +∞[ a. y ′′ = 0 x Une première intégration donne y ′ 1 1 2x 2 1 y ′ = ∫ (− 2 + 2x + 1) dx = + + x + c ⟹ y ′ = + x 2 + x + c1 x x 2 x Une deuxième intégration donne y 1 x3 x2 y = ∫( + x 2 + x + c1 )dx = lnx + + + c1 x + c2 x 3 2 3 2 x x ⟹ y = lnx + + + c1 x + c2 avec (c1 , c2 ) ∈ ℝ2 3 2 Exercice 4 : Résoudre sur I a. y ′′ = 3x 2 + 7x − 2 avec I = ℝ b. y ′′ = √x avec I = [0; +∞[ c. y ′′ = cos(x) sin(x) avec I = ℝ 1 d. y ′′ = 2x − 3 avec I =]0; +∞[ Type y ′′ − ω2 y = 0 avec ω ∈ ℝ∗ L’ensemble solution de l’équation différentielle y ′′ − ω2 y = 0 ( ω ∈ ℝ∗ ) est l’ensemble des fonctions x ⟼ C1 eωx + C2 e−ωx , avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 . Exemple 7 : Résoudre les équations différentielles a. y ′′ − 3𝑦 = 0 b. 4y ′′ − 19𝑦 = 0 Solution a. y ′′ − 3𝑦 = 0 ω2 = 3 ⟹ ω = √3 ou ω = −√3 Solution générale y = C1 e√3x + C2 e−√3x, avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 . b. 4y ′′ − 19𝑦 = 0 19 4y ′′ − 19𝑦 = 0 ⟹ y ′′ − y = 0 4 19 √19 √19 où ω2 = ⟹ω= ou ω = − 4 2 2 Solution générale y = C1 e √19 x 2 + C2 e− √19 x 2 , avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 . Exercice 5 : Résoudre les équations différentielles a. y ′′ − 9y = 0 b. 2y ′′ − y = 0 c. y ′′ = √2y √3 2 Type y ′′ + ω y = 0 avec ω ∈ ℝ∗ L’ensemble solution de l’équation différentielle y ′′ + ω2 y = 0 ( ω ∈ ℝ∗ ) est l’ensemble des fonctions x ⟼ Acos(ωx) + Bsin(ωx) , avec (A, B) ∈ ℝ2 . Exemple 8 : Résoudre les équations différentielles a. y ′′ + 9y = 0 Youssouf OUEDRAOGO Cours [email protected] b. 2y ′′ + y = 0 Solution ′′ a. y + 9y = 0 L’équation caractéristique : r 2 + 9 = 0 ⟹ r 2 = −9 ⟹ r 2 = (3i)2 ⟹ r = 3i ou r = −3i On prendra la solution dont la partie imaginaire est positive (r = 3i) Solution générale y = Acos(3x) + Bsin(3x) , avec (A, B) ∈ ℝ2 b. 2y ′′ + y = 0 L’équation caractéristique : 1 1 √2 √2 2r 2 + 1 = 0 ⟹ r 2 = − ⟹ r 2 = i2 ⟹ r = i ou r = −i 2 2 2 2 On prendra la solution dont la partie imaginaire est positive (r = i √2 2 ) √2 x) 2 Solution générale y = Acos ( √2 x) , 2 + Bsin ( avec (A, B) ∈ ℝ2 Remarque : on pouvait prendre la solution dont la partie imaginaire est négative. Dans tout ce qui suit on va travailler avec la solution dont la partie imaginaire est positive. Exercice 6 : Résoudre les équations différentielles a. y ′′ + 36y = 0 b. y ′′ + 7y = 0 c. 2y ′′ + 50y = 0 d. y ′′ + √2y = 0 Type ay ′′ + by ′ + cy = 0 ; (a ≠ 0 et a, b, c des réels) Méthode pratique : Pour résoudre ay ′′ + by ′ + cy = 0 On pose l’équation caractéristique : ar 2 + br + c = 0 Ensuite on calcule le discriminant : ∆= b2 − 4ac Si ∆> 0 −b + √∆ −b − √∆ r1 = et r2 = 2a 2a La solution générale est de la forme : y = C1 er1 x + C2 e−r2 x avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 Si ∆= 0 b r1 = r2 = − 2a La solution générale est de la forme : b y = (C1 x + C2 )e−2ax avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 Si ∆< 0 −b + i√|∆| b √|∆| =− +i et 2a 2a 2a En posant que : b α=− et 2a Alors : r1 = α + iβ et r2 = α − iβ r1 = Youssouf OUEDRAOGO Cours r2 = −b − i√|∆| b √|∆| =− −i 2a 2a 2a β= √|∆| 2a [email protected] La solution générale est de la forme : y = eαx (Acos(βx) + Bsin(βx)) avec (A, B) ∈ ℝ2 On peut résumer le tout dans un tableau : Solutions de l’équation caractéristique Solutions générales ∆> 0 −b + √∆ 2a −b − √∆ r2 = 2a y = C1 er1 x + C2 e−r2 x ∆= 0 r1 = r2 = − ∆ r1 = ∆< 0 b 2a r1 = α + iβ et r2 = α − iβ b y = (C1 x + C2 )e−2ax y = eαx (Acos(βx) + Bsin(βx)) Exemple 9 : Résoudre les équations différentielles a. y ′′ − 4y ′ − 5y = 0 b. y ′′ + 4y ′ + 4y = 0 c. y ′′ − 2y ′ + 5y = 0 Solution a. y ′′ − 4y ′ − 5y = 0 L’équation caractéristique : r 2 − 4r − 5 = 0 ∆= (−4)2 − 4(1)(−5) = 16 + 20 = 1 ⟹ ∆= 36 4 + √36 4 + 6 10 r1 = = = =5 2(1) 2 2 4 − √36 4 − 6 2 r2 = = = − = −1 2(1) 2 2 Solution générale : y = C1 e5x + C2 e−x avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 b. y ′′ + 4y ′ + 4y = 0 L’équation caractéristique : r 2 + 4r + 4 = 0 ∆= (4)2 − 4(1)(4) = 16 − 16 = 0 ⟹ ∆= 0 r1 = r2 = − 4 = −2 2(1) Solution générale : y = (C1 x + C2 )e−2x Youssouf OUEDRAOGO Cours avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 [email protected] c. y ′′ − 2y ′ + 5y = 0 L’équation caractéristique : r 2 − 2r + 5 = 0 ∆= (−2)2 − 4(1)(5) = 4 − 20 = −16 ⟹ ∆= −16 ⟹ ∆= (4i)2 2 + 4i 2 − 4i r1 = = 1 + 2i 𝑒𝑡 r1 = = 1 − 2i 2(1) 2(1) D’où α = 1 et β = 2 Solution générale : y = ex (Acos(2x) + Bsin(2x)) avec (A, B) ∈ ℝ2 Propriété : (solution vérifiant des conditions initiales) Pour tout triplet (x0 ; y0 ; z0 ) des réels, l’équation différentielle ay ′′ + by ′ + cy = 0 (a ≠ 0 et a, b, c des réels) admet une unique solution vérifiant y(x0 ) = y0 et y ′ (x0 ) = z0 Exemple 10 : Résoudre l’équation différentielle y ′′ − 4y ′ − 5y = 0 sachant que y(0) = 1 et y ′ (0) = 3 Solution ′′ y − 4y ′ − 5y = 0 L’équation caractéristique : r 2 − 4r − 5 = 0 2 ∆= (−4) − 4(1)(−5) = 16 + 20 = 1 ⟹ ∆= 36 4 + √36 4 + 6 10 r1 = = = =5 2(1) 2 2 4 − √36 4 − 6 2 r2 = = =− =1 2(1) 2 2 Solution générale : y = C1 e5x + C2 e−x avec (C1 , C2 ) ∈ ℝ2 (0) y(0) = 1 ⟹ C1 e5(0) + C2 e = 1 ⟹ C1 + C2 = 1 (1) et y ′ (0) = 3 ′ Cherchons d’abord y (x) y(x) = C1 e5x + C2 e−x ⟹ y ′ (x) = 5C1 e5x − C2 ex ′ ′ (car (eu(x) ) = (u(x)) eu(x) ) y ′ (0) = 3 ⟹ 5C1 e5(0) − C2 e(0) = 3 ⟹ 5C1 − C2 = 3 Formons un système d’équation afin de déterminer C1 et C2 C + C2 = 1 { 1 5C1 − C2 = 3 2 1 Après résolution on trouve : C1 = 3 et C2 = 3 (2) Remplaçons C1 et C2 dans l’expression de y(x) 2 1 y(x) = e5x + e−x 3 3 Youssouf OUEDRAOGO Cours [email protected]
