Fonction de transfert
Dr. K. LABADI
Cours d’Automatique 2008/2009 (1ère année Ingénieur)
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Plan
Fonction de transfert d’un système
Définition
Exemples
Connexions de fonctions de transfert
Fonctions de transfert en série
Fonctions de transfert en parallèle
Fonction de transfert d’un système bouclée
Propriétés de la fonction de transfert
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Fonction de transfert
Soit un système tel que:
e(t)
s(t)
SYSTEME
On appelle la fonction de transfert d'un système, le rapport
de la transformée de Laplace du signal de sortie à celui de
l'entrée.
S(p)
F(p) =
E(p)
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Fonction de transfert
e(t)
s(t)
SYSTEME
Écrire l’équation différentielle qui lie l’entrée e(t) et la sortie
s(t) du système
Appliquer la Transformée de Laplace à l’équation
différentielle
Exprimer la fonction de transfert F(p) du système
F(p) =
S(p)
E(p)
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Exemple 1
Circuit RC
R
e(t) = Ve(t)
C
s(t) = Vc(t)
Loi des mailles :
Ve (t ) − R ⋅ i (t ) − Vc (t ) = 0
dVC (t )
i (t ) = C ⋅
dt
Transformée de Laplace :
Fonction de transfert
dVc (t)
Ve (t) = RC
+ Vc (t)
dt
Ve (p) = RCpVc ( p ) + Vc (p)
S(p)
1
F(p) =
=
E(p) 1 + RC ⋅ p
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Exemple 2
K
Système mécanique
y(t)
fr(t)= K x(t)
B
fv(t)= Bv(t)
M
d 2 y(t)
2
=f(t) - Ky(t) - Bv(t)
dt
dy(t)
v(t) =
dt
M
dy 2 (t)
dt 2
M
f(t)
dy(t)
+B
+ Ky(t) = f(t)
dt
Mp 2 Y(p) + BpY(p) + KY(p) = F(p)
(Mp 2 +Bp+K)Y(p) = F(p)
Fonction de transfert du système :
- Sortie y(t)
- Entrée f(t)
Y(p)
1
=
F(p) Mp 2 + Bp + K
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Forme générale
e(t)
s(t)
SYSTEME
de(t)
d n e(t)
ds(t)
d m s(t)
a 0 e(t)+a1
+...+a n
= b0 s(t)+b1
+...+b m
n
dt
dt
dt
dt m
E(p) a 0 + a1p +...+ a n p n = S(p) b0 + b1p +...+ b m p m
a 0 + a1p + a 2 p 2 ...+ a n p n
S(p)
F(p) =
=
E(p)
b0 + b1p + b 2 p 2 ...+ b m p m
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Pôles et zéros
a 0 + a1p + a 2 p 2 ...+ a n p n
S(p)
N ( p)
F(p) =
=
=
2
m
E(p) b0 + b1p + b 2 p ...+ b m p
D( p)
Pôles et Zéros
Les zéros de la fonction de transfert:
N(p) = 0
Les pôles de la fonction de transfert:
D(p) = 0
Les zéros: zi et les pôles pj peuvent être réels ou complexes.
La puissance la plus élevée du dénominateur donne l’ordre du système.
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Réponse temporelle
Pour un système donné :
S(p)
F(p) =
E(p)
⇔
E(p)
S(p)
F(p)
S(p) = F(p) × E(p)
La réponse du système peut être déterminée par :
s(t) = TL-1 {F(p)×E(p)}
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Propriétés
La fonction de transfert d’un système est la transformée de Laplace de sa
réponse impulsionnelle.
e(t) = Impulsion
s(t)
système
S(P) = E(p) × F(p)
S(P) = F(p)
E(p) = 1
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Propriétés
On peut déterminer la fonction de transfert d’un système à partir de son
équation différentielle.
Exemple: Considérons le système dont l’équation différentielle est:
dy(t)
du(t)
+ 2y(t) =
+ u(t)
d(t)
dt
La transformée de Laplace de cette équation avec les valeurs initiales nulles
est:
La fonction de transfert:
(p + 2)Y(p) = (p + 1)U(p)
Y(p)
p+1
F(p) =
=
U(p)
p+2
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Propriétés
On peut obtenir l’équation différentielle d’un système à partir de la
fonction de transfert en remplaçant la variable p par l’opérateur différentiel
D défini par:
Exemple: Étant donné
D
F(p) =
≡
º
d
dt
2p + 1
p2 + p + 1
L’équation différentielle du système est:
s
2D + 1
= 2
e
D +D+1
D 2 s + Ds + s = 2Ds + e
d 2 s(t)
dt 2
ds(t)
de(t)
+
+ s(t) = 2
+ e(t)
dt
dt
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Propriétés
Stabilité
On peut déterminer la stabilité d’un système linéaire à partir de son
équation caractéristique: Elle s’obtient en égalant à zéro le dénominateur:
D(p) = 0
Le système est stable si toutes les racines du dénominateur ont leur partie
réelle négative.
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Connexions
Fonctions de transfert en série:
E(p)
F1(p)
F2(p)
Fn(p)
S(p)
- La fonction de Transfert équivalente est:
S(p)
Feq (p) =
E(p)
n
= F1 (p) × F2 (p) × ... × Fn (p) = ∏ Fi ( p )
i=1
E(p)
Feq(p)
S(p)
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Connexions
Fonctions de transfert en parallèle:
F1(p)
E(p)
F2(p)
Fn(p)
S(p)
Feq (p) =
E(p)
S1(p)
S2(p)
+
S(p) = ∑Si(p)
Sn(p)
n
= F1 (p) + F2 (p) + ... + Fn (p) = ∑ Fi ( p )
i=1
E(p)
Feq(p)
S(p)
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Systèmes bouclés
En contre réaction (positive)
ε(p)
E(p) +
S(p)
G(p)
+
R(p)
H(p)
S(p) = G(p) × ε(p)
S(p) = G(p)× ( E(p) + R(p) )
S(p) = G(p)× E(p) + ( H(p)×S(p) )
S(p)
Feq (p) =
E(p)
⇒ S(p) =
G(p)
1
1 - G(p)H(p)
× E(p)
G(p)
=
1 - G(p) ⋅ H(p)
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Système bouclé
En contre réaction (négative)
ε(p)
E(p) +
S(p)
G(p)
R(p)
H(p)
S(p) = G(p) × ε(p)
S(p) = G(p)× ( E(p) - R(p) )
S(p) = G(p)× E(p) - ( H(p)×S(p) )
⇒ S(p) =
G(p)
1
1 + G(p)H(p)
× E(p)
S(p)
G(p)
Feq (p) =
=
E(p)
1 + G(p) ⋅ H(p)
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