Cours de convection

Convection
1
1. Définition
La convection caractérise la propagation de la chaleur dans un fluide, gaz ou liquide, dont les
molécules sont en mouvement. Imaginons un solide baignant dans un fluide en mouvement.
Si le solide et le fluide ne sont pas à la même température, de la chaleur est échangée entre le
solide et les particules fluides qui sont à son contact. Cet échange se fait par conduction.
Mais la particule de fluide, dès qu’elle a échangé de la chaleur, se déplace et est remplacée,
au contact du solide, par une autre particule. Par ailleurs, la particule fluide initiale rencontre,
au cours de son déplacement, d’autres particules fluides avec lesquelles elle échange de la
chaleur par conduction. Le mécanisme élémentaire de transfert de chaleur est la conduction
thermique mais le phénomène global, qui est la convection thermique, résulte de la
combinaison de cette conduction avec les mouvements du fluide qui obéissent à des lois
spécifiques. Deux types de convection sont généralement distingués :
— la convection naturelle dans laquelle le mouvement résulte de la variation de la
masse volumique du fluide avec la température ; cette variation crée un champ de
forces gravitationnelles qui conditionne les déplacements des particules du fluide ;
— la convection forcée dans laquelle le mouvement est provoqué par un procédé
mécanique indépendant des phénomènes thermiques ; c’est donc un gradient de
pression extérieur qui provoque les déplacements des particules du fluide. L’étude de
la transmission de chaleur par convection est donc étroitement liée à celle de
l’écoulement des fluides.
2. Loi de Newton
Lors de l’écoulement des fluides dans les conduites il existe, même en régime turbulent, une
couche laminaire au voisinage de la paroi. L’échange de chaleur entre le fluide et la paroi, à
travers cette couche, est régi par la loi de Newton.
𝑄 = ℎ𝐴(𝑇𝑝 − 𝑇)
Avec h coefficient local de transfert de chaleur par convection
A surface d’échange
Tp température de la paroi
T température du fluide
h coefficient local de transfert de chaleur
3. Applications
Les applications du transfert de chaleur par convection sont beaucoup trop nombreuses pour
que l’on puisse envisager de les citer toutes. Elles interviennent chaque fois que l’on chauffe
ou que l’on refroidit un liquide ou un gaz, qu’il s’agisse de faire bouillir de l’eau dans une
casserole, du radiateur de chauffage central, du radiateur associé au moteur d’une voiture ou
de l’échangeur dans un procédé, évaporateur ou condenseur. La convection s’applique même
si la surface d’échange n’est pas matérialisée par une paroi, ce qui est le cas des condenseurs
par mélange ou des réfrigérants atmosphériques, voire des sécheurs à air chaud.
4. Rappels sur les nombres sans dimension
L’étude des problèmes de transfert de chaleur par convection implique la résolution
d’équations différentielles qui décrivent la mécanique des fluides, les échanges d’énergie, les
transferts de masse. Ces équations sont généralement liées et difficiles à résoudre
théoriquement, ce qui conduit à associer à la théorie l’expérimentation permettant de trouver
les valeurs des grandeurs recherchées. L’expérimentation est souvent menée à une échelle
2
différente de la réalité industrielle. La nécessité de définir des corrélations qui soient
applicables à des appareils de tailles différentes opérant dans des situations différentes
conduit à l’utilisation de paramètres adimensionnels qui permettent de définir des similitudes.
C’est ainsi qu’ont été choisis les nombres sans dimension ci-après.
4.1 Nombre de Reynolds
uD
Forced ' inertie
=


Forcedeviscos ité
3
Avec ρ (kg/m ) masse volumique du fluide, u(m/s) sa vitesse moyenne, μ(Pa · s) sa viscosité
dynamique, G(kg · s–1· m–2) son débit-masse spécifique, D dimension caractéristique de la
conduite :diamètre s’il s’agit d’une conduite circulaire ou diamètre hydraulique dans les
autres cas :Dh= 4A/P, A étant la section de la conduite et P le périmètre mouillé. Le modèle
d’écoulement en circulation forcée est :
— laminaire si Re < 2 300 ;
— transitoire si 2 300 < Re<10 000 ;
— turbulent si Re> 10 000.
Re =
GD
=
4.2 Nombre de Prandtl
/
  / (c p )
C’est le rapport de la diffusivité de quantité de mouvement (viscosité cinématique) sur la
diffusivité thermique.
Avec cp capacité thermique massique du fluide. Ce nombre caractérise le fluide dans un état
donné :
— pour les métaux liquides .......................Pr= 10–2 à 10–3;
— pour l’eau et l’air ....................................Pr≈1 ;
— pour les huiles ........................................ Pr = 102 à 107.
Pr = 
cp
=
4.3 Nombre de Nusselt
D/

1/ h
C’est le rapport de la résistance de conduction sur la résistance de convection.
Avec h coefficient local de convection thermique. Il caractérise le transfert de chaleur par
convection.
Nu =
hD
=
4.4 Nombre de Péclet
Pe = Re Pr
Il caractérise la convection forcée.
4.5 Nombre de Grashof
Il caractérise le déplacement du fluide dans un phénomène de convection naturelle. Si la
température de paroi (Tp) est constante, le nombre de Grashof s’écrit :
Gr =  g (TP − Tsat )
2
D3
2
Avec β coefficient de dilatation thermique volumique :
3
  0 −  sat 
1


T p − Tsat   0

2
g accélération due à la pesanteur (g = 9,81 m/s ), Tsat température d’équilibre du fluide, ρ0 et
ρsat masses volumiques respectivement à Tp et Tsat.
À flux thermique constant, on utilise le nombre de Grashof modifié :
=
 D4
A  2
On considère que l’on a une paroi à température constante dans le cas, par exemple, du
changement de phase d’un produit pur ou d’un eutectique : cas des bouilleurs ou des
condenseurs.
Gr* =  2 g
On considère le flux thermique constant si la paroi est chauffée par une source nucléaire ou
une source radiative à haute température ou une résistance électrique. Le flux thermique
constant à travers la paroi est pratiquement toujours un apport d’énergie vers le fluide qui se
comporte en réfrigérant. Les conditions thermiques (Tp constante ou Φ constant) ont une
influence négligeable en écoulement turbulent.
4.6 Nombre de Rayleigh
Ra = Gr·Pr
Il caractérise la convection naturelle. Selon le mode d’échange (à température de paroi
constante ou à flux thermique constant), on fait intervenir dans la relation ci-avant le nombre
de Grashof ou le nombre de Grashof modifié.
5. Convection naturelle
5.1 Cas général
En régime laminaire, c’est-à-dire pour 104<Ra< 109, on peut admettre que Nu =B·Ra 1/4.
B est un terme qui ne dépend que du nombre de Prandtl : (0)
Pr = 0,72 1,00 10
100 1 000
B = 0,52 0,53 0,61 0,65 0,65
En régime turbulent, c’est-à-dire pour Ra> 109, on peut admettre la corrélation de Mac Adams
:
Nu= 0,13Ra1/3
5.2 Surface chauffante dans l’air ambiant
Pour différentes surfaces, Mac Adams a proposé la série de corrélations ci-après.
a. Plaque horizontale plane avec surface chauffante en dessous : pour 3×105<Ra< 3×1010, on
a:
Nu = 0,27 Ra 1/4
b. Plaque horizontale plane avec surface chauffante en dessus : pour 105<Ra< 107 (régime
laminaire), Nu= 0,54Ra 1/4; pour 107<Ra< 3×1010 (régime turbulent), Nu= 0,14Ra 1/3.
c. Plaque verticale plane en régime laminaire :
On a, pour 104<Ra< 109 :
— si Tp = Cte, Nu = 0,59Ra1/4;
4
— si Φ=Cte, Nu =
0,67Ra 1 / 4
  0,437  9 / 16 
 
1 + 
  Pr  
4/9
d. Plaque verticale plane en régime turbulent :
Pour 109<Ra< 1012, on a Nu= 0,13Ra 1/3.
e. Tube horizontal isotherme avec 30μm <D< 0,1 m :
— si 0,5 <Pr< 103 et 104<Ra<109, on a Nu = 0,53Ra1/4;
— si 0,5 <Pr< 103et 109<Ra< 1012, on a Nu= 0,13Ra1/3.
f. Tube vertical isotherme de longueur L :
— si D/L>= 35 Gr–1/4, on utilise la même corrélation que pour la plaque verticale plane ;
1/ 4
 2 
D
1/ 4
–1/4
— si D/L< 35 Gr , on a : Nu exp −
 = 0,6  Ra
 Nu 
L
g. Tube vertical à flux constant:
— dans le cas d’un fil : pour Ra(D/L) < 0,05, on a Nu= 0,93 (Ra·D/L)0,05,
— dans le cas d’un cylindre long : pour 0,05 <Ra(D/L) < 104, on a Nu= 1,37 (Ra·D/L)0,16,
— dans le cas d’un cylindre court : pour 104<Ra(D/L), on a Nu= 0,6 (Ra·D/L)1/4
.
6. Convection forcée sans changement de phase
6.1 Écoulement le long d’une plaque
a. Écoulement laminaire avec Re< 3×105 et Pr>0,5 : Nu= 0,664Re1/2Pr1/3
b. Écoulement turbulent avec Re> 5×105 et Pr> 0,5 : Nu= 0,035Re4/5Pr1/3
6.2 Écoulement à l’intérieur d’un tube
a. Écoulement laminaire avec Re < 2 300 :
— température de paroi uniforme ............................ Nu = 3,66 ;
— flux de chaleur uniforme....................................... Nu = 4,36.
b. Écoulement turbulent avec Re > 104 :
On utilise la corrélation de Dittus-Boelter :
Nu = 0,023 Re0,8 Prn
Avec n = 0,4 si le fluide s’échauffe et n = 0,3 si le fluide se refroidit.
c. Cas des surfaces dites raclées (échangeur à film agité) :
Nu = 1,128 (Rer · Pr · n) 1/2
Avec n nombre de pales, Rer nombre de Reynolds de rotation : Re r =
Dr 2 N

Dr (m) diamètre du rotor,
N (tr/s) fréquence de rotation.
6.3 Écoulement à l’extérieur des tubes
a. Écoulement parallèle aux tubes :
— en régime laminaire : Nu = 3,66 ;
5
— en régime turbulent, on applique la relation de Dittus-Boelter :
Nu = 0,023 Re0,8 Prn
Avec n = 0,4 si le fluide s’échauffe et n = 0,3 si le fluide se refroidit.
On fait intervenir, pour le calcul du nombre de Reynolds, le diamètre hydraulique Dh = 4A/P.
b. Écoulement perpendiculaire aux tubes
Il faut distinguer les deux types d’arrangement des tubes ci-après :
— pas carré et écoulement dans des faisceaux alignés (figure 1) ;
Figure 1 – Représentation schématique d’un faisceau de tubes alignés
— pas triangulaire et écoulement dans des faisceaux en quinconces (figure 2).
Figure 2 – Représentation schématique d’un faisceau de tubes en quinconces
Les valeurs correspondantes de Nu pour les différents régimes d’écoulement du fluide
(fonctions de Re) sont rassemblées dans le tableau 1.
c. Influence du nombre de rangées de tubes
Dans la pratique, le coefficient de convection h des premières rangées de tubes d’un faisceau
(dans le sens de l’écoulement du fluide) est plus faible que celui des rangées suivantes. Les
corrélations énoncées ci-avant sont valables pour des faisceaux de 20 rangées de tubes ou
plus. Pour des faisceaux moins importants, on applique dans l’expression de Nu les facteurs
correctifs (Fc) suivants.
Nombre de rangées 1
2
4
6
10
15
20
Facteur correctif
0,7
0,8
0,9
0,95 0,98 0,99 1,0
6
Tableau 1 : Expression du nombre de Nusselt en fonction des nombres de Reynolds et de
Prandtl pour différents écoulements perpendiculaires aux tubes
Régime
1<Re<102
Nu=0,9Re0,4Pr0,36
Faisceaux alignés
laminaire
102<Re<103
Nu=0,52Re0,5Pr0,36
Régime
103<Re<2.105
Nu=0,27Re0,63Pr0,36
transitoire
Régime
Re>2.105
Nu=0,033Re0,8Pr0,4
turbulent
Régime
1<Re<50
Nu=1,04Re0,4Pr0,36
3
Faisceaux
en laminaire
50<Re<10
Nu=0,71Re0,5Pr0,36
quinconce
Régime
103<Re<2.105
Nu=bRe0,6Pr0,36
transitoire
Régime
Re>2.105
Nu=0,031(Pt/Pl)0,2Re0,8Pr0,4
turbulent
avec b = 0,35 (Pt/Pl)0,2 pour Pt/Pl <2
et b = 0,40 pour Pt/Pl >2
Pt pas transversal et Pl pas longitudinal du faisceau de tubes en quinconce.
6.4 Écoulement dans un espace annulaire
C’est le cas, en particulier, dans une double enveloppe. On définit le diamètre hydraulique :
Dh = 4A/P = (De – Di)
Avec De diamètre intérieur du tube extérieur,
Di diamètre extérieur du tube intérieur.
- si l’écoulement est laminaire, c’est-à-dire si l’on a Re < 2 300, on calcule Nu∞ qui est la
valeur limite que prend le nombre de Nusselt lorsque la longueur du tube tend vers l’infini.
Avec 0 < Di /De < 1, Nu∞ = 3,66 + 1,2 (Di/De)–0,8
Pour des espaces de longueur L finie, on a :
0 ,8
0,19(Re . Pr .Dh / L )
−0,5
Nu = Nu + 1 + 0,14(Di / De )
0 , 467
1 + 0,117(Re . Pr .Dh / L )
- Si l’écoulement est turbulent, on utilise la relation de Dittus-Boelter (§ 2.5.2) en
remplaçant D par Dh dans le calcul de Re et Nu. Le résultat Nu tube est pondéré comme suit
en fonction de la géométrie de l’espace annulaire :
Nuannulaire = Nutube [0,86 (Di/De)–0,16]


6.5 Écoulement dans un canal rectangulaire
- Dans un canal rectangulaire lisse, en régime laminaire, on établit le rapport L/l de la plus
grande à la plus petite dimension du canal, perpendiculairement à l’écoulement. Les valeurs
limites du nombre de Nusselt, lorsque les régimes d’écoulement et de transfert thermique sont
établis, sont :
L/l
1,0
1,4
2,0
3,0
4,0
8,0
10,0 ∞
Nu
2,98 3,08 3,39 3,96 4,44 5,60 5,86 7,54
À titre comparatif, on avait Nu = 3,66 pour l’écoulement laminaire dans un tube.
- En régime turbulent, on utilise la relation de Dittus-Boelter en remplaçant D par
Dh=2Ll/(L+l)
6.6 Échangeurs à serpentin
Considérons le serpentin de la figure 3. Si L est la longueur développée du serpentin, n le
nombre de tours et p le pas de l’hélice, le volume du serpentin est :
7
Vs = (/4) (D2 L)
Figure 3 – Représentation schématique d’un échangeur à serpentin
Le volume de l’espace annulaire est :
Va = ( / 4) D22 − D12 np
Le volume réservé au fluide est :
V f = Va − Vs
(
On définit alors un diamètre équivalent Deq =
4V f
DL
)
qui est utilisé pour le calcul de Re et Nu
et l’on a :
Nu= 0,6Re0,5 Pr 0,31 pour 50 <Re< 10 000
Nu= 0,36Re0,55 Pr 0,33 pour Re> 10 000
7. Convection avec condensation
Pour la condensation sur une paroi verticale, on recommande la formule de Mc Adams.
1/4
𝜆3 𝜌𝑙2 𝐿𝑣 𝑔
ℎ = 1,13 [
]
𝜇𝐿(𝑇𝑣 − 𝑇𝑝 )
𝜆 conductivité thermique du condensat
l masse volumique du condensat
Lv chaleur latente de vaporisation
Tv température de la vapeur
Tp température de la paroi
Les propriétés du fluide sont estimées à la température moyenne suivante : T=Tv -0,75(Tv-Tp)
Pour la condensation sur une paroi horizontale, on recommande la relation de Nusselt
1/4
𝜆3 𝜌𝑙2 𝐿𝑣 𝑔
ℎ = 0,725 [
]
𝜇𝐷(𝑇𝑣 − 𝑇𝑝 )
D diamètre du tube
Pour une rangée de tubes horizontaux on utilise la relation proposée par Nusselt
1/4
𝜆3 𝜌𝑙2 𝐿𝑣 𝑔
ℎ𝑁 = 0,725 [
]
𝜇𝑁𝐷(𝑇𝑣 − 𝑇𝑝 )
hN coefficient local de condensation pour une rangée de N tubes
ℎ𝑁 = ℎ1 𝑁 −1/4
h1 coefficient pour un tube isolé
8