LP EEI// TD : LES CAPTEURS TD1 : Montage potentiométriques d'une résistance thermométrique On désire mesurer la température par une résistance thermométrique de nickel dont le comportement avec la température T exprimée en ◦C est donné par : R(T ) = R0(1 + AT + BT 2) Avec R0 = 100 Ω, A = 5,49167.10−3/◦C et B = 6,66667.10−6/◦C2. La résistance thermométrique est montée en série avec une résistance fixe R et le tout est alimenté par une source de tension de fem Vg = 1 V et de résistance interne Rg = 50 Ω. 1. Donner l’expression de la tension de mesure Vmes(T ) prise aux bornes de la résistance thermométrique 2. On choisit comme référence de température T0 = 0 ◦C et on limite l’étendue de mesure à E.M. = 10◦C. Donner l’expression de la variation ΔR(T ) de la valeur de la résistance thermométrique pour une température T à partir de la référence prise pour T0. 3. En déduire la variation ΔVmes correspondante. 4. Quelle valeur donner à R pour avoir un maximum de sensibilité (on ne considérera pour cela que la partie linéaire ΔVmes,lin de l’expression ΔVmes ? 5. Donner dans ce cas l’expression de la sensibilité en fonction de A, B et T. Que devient cette sensibilité dans le cas d’une approximation linéaire du fonctionnement ? LP EEI// TD : LES CAPTEURS TD2 : Potentiomètre linéaire en capteur de position push-pull Un capteur de déplacement rectiligne est constitué d’un potentiomètre linéaire schématisé sur la figure 1. On désigne par Δx la valeur du déplacement du curseur par rapport à la position milieu que l’on prend pour origine de l’axe x. Figure 1 : Potentiomètre linéaire en capteur push-pull 1. La course utile du potentiomètre est 2l = 10 cm et sa résistance totale est 2R0. En déduire l’expression des résistances Rb(Δx) et Rh(Δx) du potentiomètre (voir figure 1) pour un déplacement Δx du curseur par rapport à la position milieu. 2. Le potentiomètre est monté suivant le schéma de la figure 1. La tension de mesure Vmes, image de la position du curseur, est mesurée par une électronique d’impédance d’entrée Rapp. Exprimer Vmes en fonction de Rb(Δx), Rh(Δx), Rg, Rapp et Vg. 3. Que devient cette expression pour Rapp × R0 ? 4. En déduire la sensibilité S mes de la mesure. 5. Quelle valeur doit-on donner à Rg pour que cette sensibilité soit maximale ? Que deviennent dans ce cas Vmes et S mes ? Calculer la sensibilité réduite S r. LP EEI// TD : LES CAPTEURS 6. Afin d’assurer un fonctionnement correct du capteur, le constructeur a fixé une limite vmax= 0,2 m.s−1 pour la vitesse de déplacement v du curseur. En admettant que le curseur a un mouvement sinusoïdal d’amplitude a = 1 cm autour d’une position x0 donnée, calculer la fréquence maximale fmax des déplacements que l’on peut traduire avec ce système TD3 : Capteur capacitif push-pull à glissement du diélectrique On considère la structure de la figure 3.1, constituée de deux condensateurs plans identiques C1 et C2, de surface carrée ou rectangulaire d’aire A, entre les armatures desquels se déplace selon l’axe x un noyau diélectrique de permittivité relative εr. 1. 2. 3. Figure3.1 : condensateur à diélectrique glissant Le noyau étant à sa position initiale, centré en x = 0, déterminer l’expression des capacités C1(x = 0) = C2(x = 0) que l’on notera C0 (on négligera pour cela les eff ets de bords et le couplage possible entre les deux condensateurs). On donne ε0 = 8,85.10−12 F.m−1, εr = 3, e = 1 mm et A = 6 cm2. Le noyau est déplacé de x de sa position d’origine, déterminer les expressions de C1(x) et C2(x). Les écrire sous la forme C1(x) = C0 + ΔC1(x) et C2(x) = C0 + ΔC2(x) en précisant les expressions de ΔC1(x) et de ΔC2(x) en fonction de C0, x, l et εr. Les deux condensateurs sont montés dans un circuit en pont selon le schéma de la figure 3.2. Exprimer la tension diff érentielle de mesure Vmes en fonction de x, l, εr et Vg. LP EEI// TD : LES CAPTEURS Figure 3.2 : Montage du capteur 4. En déduire la sensibilité S de la mesure. On donne : l = 2 cm et Vg = 10 V. 5. Quelles sont les valeurs de l’étendue de mesure E.M. et de l’excursion de Vmes ? TD4 : Capteur de niveau Capacitif On désire réaliser un capteur de niveau pour une cuve d’huile. Soit le condensateur plan schématisé figure 4.1 dont les armatures sont de surface S et de hauteur h. Le condensateur est initialement dans l’air (permittivité ε1). Un liquide, de l’huile de permittivité ε2, monte jusqu’à une hauteur x mesurée à partir du bas des armatures ; soit C(x) la capacité correspondante du condensateur. Figure 4.1 : schéma de principe du capteur 1. Déterminer l’expression de la capacité C(x). 2. Calculer les capacités minimale et maximale du capteur ainsi que les impédances correspondantes sous une alimentation sinusoïdale à 10 kHz. On donne ε1 = ε0 = 8,85.10−12 LP EEI// TD : LES CAPTEURS F/m, ε2 = 4ε0, S =2.10−2 m2, e = 5 mm et h = 1 m. 3. Le capteur est monté dans un circuit en pont selon le schéma de la figure 4.2. Le condensateur Cv est un condensateur variable dont on règle la valeur à C0 = C(x = 0). 4. Donner l’expression de la tension différentielle de mesure Vmes en fonction de x, h, ε1, ε2 et Vg. On donne Vg = 10 V. Figure 4.2 Circuit de conditionnement du capteur 5. Montrer que quelle que soit la forme que l’on donne aux deux armatures, par exemple deux tubes coaxiaux ou une tige et la paroi extérieure de la cuve si elle est métallique, on obtient un résultat similaire. 6. Quel problème majeur peut fausser la mesure ? Corrigé TD1 : Montage potentiométriques d'une résistance thermométrique 1. La tension de mesure Vmes(T) s’écrit simplement : 𝑅(𝑇) 𝑉𝑚𝑒𝑠 (𝑇) = 𝑅+𝑅 𝑔 +𝑅(𝑇) 𝑉𝑔 (1.1) 2. Avec R(T=0)= 𝑅0 et R(T)= 𝑅0 (1+AT+BT²)=R(0) +Δ𝑅, il vient pour la variation de la résistance du capteur 𝛥𝑅 = 𝑅0 (𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 2 ) = 3. En utilisant (1.1), il vient : Δ𝑉𝑚𝑒𝑠 = 𝑉𝑚𝑒𝑠 (𝑇) − 𝑉𝑚𝑒𝑠 (0) = ( = 𝑅0 +Δ𝑅 𝑅+𝑅𝑔 +𝑅0 +Δ𝑅 𝑅 − 𝑅+𝑅 0+𝑅 )𝑉𝑔 𝑔 (𝑅0 + 𝑅)Δ𝑅 0 (1.2) Δ𝑅 𝑅 + 𝑅𝑔 + 𝑅0 )²(1 + 𝑅 + 𝑅 + 𝑅 ) 𝑔 0 𝑉𝑔 4. L’approximation linéaire de la variation de la tension de mesure est obtenue en prenant le LP EEI// TD : LES CAPTEURS développement à l’ordre 1 de (1.2) : (𝑅𝑔 + 𝑅)Δ𝑅 𝑉 (𝑅 + 𝑅𝑔 + 𝑅0 )² 𝑔 Δ𝑉𝑚𝑒𝑠,𝑙𝑖𝑛 = A Δ𝑅 donné, il convient de rendre Δ𝑉𝑚𝑒𝑠,𝑙𝑖𝑛 maximum. Pour cela on annule la dérivée de Δ𝑉𝑚𝑒𝑠,𝑙𝑖𝑛 par rapport à 𝑅 + 𝑅𝑔 soit : 𝑑 Δ𝑉𝑚𝑒𝑠,𝑙𝑖𝑛 𝑑(𝑅+𝑅𝑔 ) 𝑅0 −(𝑅𝑔 +𝑅) = Δ𝑅 (𝑅+𝑅 𝑉𝑔 = 0 3 𝑔 +𝑅0 ) (1.3) (1.3) conduit à choisir 𝑅 = 𝑅0 − 𝑅𝑔 = 50Ω 5. Compte tenu de ce choix, la variation de la tension de mesure s’écrit maintenant : Δ𝑉𝑚𝑒𝑠 𝐵𝑇 ) 𝐴𝑉𝑔 𝐴 = 𝑉 = 𝑇 𝑔 Δ𝑅 𝐴𝑇 + 𝐵𝑇 2 4 4𝑅0 (1 + 2𝑅 (1 + ) 2 0𝑔 (1 + Δ𝑅 Pour la sensibilité, il vient : 𝑆= Δ𝑉𝑚𝑒𝑠 ΔT = Δ𝑉𝑚𝑒𝑠 T = 𝐵𝑇 ) 𝐴𝑉𝑔 𝐴 𝐴𝑇+𝐵𝑇2 (1+ ) 4 2 (1+ (1.4) 6. sous l’approximation linéaire (développement à l’ordre 0 de (1.4), la sensibilité devient constante et est donnée par : 𝑆= A𝑉𝑔 4 = 1.373 𝑚𝑉/°𝐶 TD2 : Potentiomètre linéaire en capteur de position push-pull 1. D’après la figure 1, on a : 𝑅𝑏 (𝛥𝑥) = 𝑅0 + 2𝑅0 2𝑙 𝛥𝑥 = 𝑅0 (1 + 𝑅𝑏 (𝛥𝑥) = 𝑅0 − 𝛥𝑥 𝑙 ) (2.1) 2𝑅0 𝛥𝑥 𝛥𝑥 = 𝑅0 (1 − ) 2𝑙 𝑙 2. Compte tenu du montage réalisé, la tension de mesure est donnée par 𝑅𝑏 (𝛥𝑥)/𝑅𝑎𝑝𝑝 𝑉𝑔 (𝛥𝑥)+𝑅 𝑔 +𝑅ℎ 𝑏 (𝛥𝑥)//𝑅𝑎𝑝𝑝 𝑉𝑚𝑒𝑠 = 𝑅 𝑉𝑚𝑒𝑠 = (2.2) 𝑅𝑏 (𝛥𝑥)𝑅𝑎𝑝𝑝 𝑉 𝑅𝑏 (𝛥𝑥)𝑅𝑎𝑝𝑝 + (𝑅𝑏 (𝛥𝑥) + 𝑅𝑎𝑝𝑝 )(𝑅𝑔 + 𝑅ℎ (𝛥𝑥)) 𝑔 LP EEI// TD : LES CAPTEURS 3. Pour 𝑅𝑎𝑝𝑝 ≫ 𝑅0 a fortiori 𝑅𝑎𝑝𝑝 ≫ 𝑅𝑏 (𝛥𝑥) et 𝑅𝑎𝑝𝑝 ≫ 𝑅ℎ (𝛥𝑥), en utilisant (2.1), (2.2) devient : 𝑉𝑚𝑒𝑠 = 𝑅𝑏 (𝛥𝑥) 𝑅0 𝛥𝑥 𝑉𝑔 = (1 + )𝑉𝑔 𝑅𝑏 (𝛥𝑥) + 𝑅𝑔 + 𝑅ℎ (𝛥𝑥)) 𝑅𝑔 + 2𝑅0 𝑙 Sous cette approximation la mesure est linéaire. 4. La sensibilité Smes de la mesure est donnée par : 𝑉𝑔 𝛥𝑉𝑚𝑒𝑠 𝑅0 𝑆𝑚𝑒𝑠 = = . 𝛥𝑥 𝑅𝑔 + 2𝑅0 𝑙 5. Pour que cette sensibilité soit maximale on doit avoir 𝑅𝑔 = 0. Dans ce cas, on a alors 𝑉𝑚𝑒𝑠 = (1 + 𝛥𝑥 𝑉𝑔 𝑙 ) 2 Et 𝑆𝑚𝑒𝑠 = 𝑉𝑔 2𝑙 La sensibilité réduite d’en déduit immédiatement et on a : 𝑆𝑟 = 𝑆𝑚𝑒𝑠 . 1 1 = = 0.1𝑉/𝑐𝑚. 𝑉 𝑉𝑔 2𝑙 6. Comme on a 𝑥 = 𝑥0 + 𝑎𝑠𝑖𝑛𝑤𝑡, la vitesse de déplacement du curseur est donné par 𝑣 = 𝑤𝑎𝑐𝑜𝑠(𝑤𝑡), on en déduit 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 2𝜋𝑎 = 3.2 𝐻𝑧. TD3 : Capteur capacitif push-pull à glissement du diélectrique 1. Le diélectrique étant centré, chaque condensateur équivalent à la mise en parallèle de deux condensateurs plans de surface A/2, l’un de diélectrique de permittivité ε0 , l’autre de permittivité ε𝑟 ε0 . On a donc immédiatement : 𝐶0 = ε0 𝐴 ε𝑟 ε0 𝐴 ε0 𝐴 (1 + ε𝑟 ) = 10.62 𝑝𝐹 + = 2𝑒 2𝑒 2𝑒 2. Si le diélectrique est déplacé d’une quantité x, on a alors : 𝐶1 (𝑥) = ε0 𝐴 𝑙 ε𝑟 ε0 𝐴 𝑙 ε0 𝐴 2𝑥 ε𝑟 − 1 (1 + ε𝑟 ) [1 + ( − 𝑥) + ( + 𝑥) = ( )] 𝑒. 𝑙 2 𝑒. 𝑙 2 2𝑒 𝑙 ε𝑟 + 1 = 𝐶0 [1 + De même, on obtient : 2𝑥 ε𝑟 − 1 ( )] = 𝐶0 + ∆𝐶1 (𝑥) 𝑙 ε𝑟 + 1 LP EEI// TD : LES CAPTEURS 𝐶2 (𝑥) = ε0 𝐴 𝑙 ε𝑟 ε0 𝐴 𝑙 ε0 𝐴 2𝑥 ε𝑟 − 1 (1 + ε𝑟 ) [1 − ( + 𝑥) + ( − 𝑥) = ( )] 𝑒. 𝑙 2 𝑒. 𝑙 2 2𝑒 𝑙 ε𝑟 + 1 = 𝐶0 [1 − 2𝑥 ε𝑟 − 1 ( )] = 𝐶0 + ∆𝐶2 (𝑥) 𝑙 ε𝑟 + 1 Les deux condensateurs fonctionnent en mode push-pull puisque ∆𝐶2 (𝑥) = −∆𝐶1 (𝑥). 3. D’après la figure 3.2, il vient en notant respectivement 𝑍1 et 𝑍2 les impédances des condensateurs 𝐶1 (𝑥) et 𝐶2 (𝑥) : 𝑉𝑚𝑒𝑠 = ( 𝑍2 1 𝐶1 (𝑥) − 𝐶2 (𝑥) 𝑉𝑔 𝑥 ε𝑟 − 1 − ) 𝑉𝑔 = = ( )𝑉 𝑍1 + 𝑍2 2 𝐶1 (𝑥) + 𝐶2 (𝑥) 2 𝑙 ε𝑟 + 1 𝑔 La mesure est linéaire puisque le signal de mesure, ici la tension 𝑉𝑚𝑒𝑠 , est proportionnelle au déplacement x. 4. On en déduit la sensibilité de la mesure donnée par : 𝑆= 𝑉𝑚𝑒𝑠 1 ε𝑟 − 1 = ( ) 𝑉 = 2.5 𝑉/𝑐𝑚 𝑥 𝑙 ε𝑟 + 1 𝑔 𝑙 5. Au maximum x=± 2, ce qui correspond à l’étendue de mesure : EM= [-1cm, +1cm], il vient alors 𝑉𝑚𝑒𝑠 ∊ [−2.5 𝑉, +2.5 𝑉]. TD4 : Capteur de niveau Capacitif 1. Tout se passe comme si on était en présence de deux condensateurs plans en parallèle : un condensateur de capacité 𝐶1 , de surface 𝑆1 et dont le diélectrique est de permittivité ε1 et un condensateur de capacité 𝐶2 , de surface 𝑆2 et dont le diélectrique est de permittivité ε2 . La capacité du condensateur résultant est donc donnée par : ε1 S1 ε2 S2 ε1 𝑆 ε2 𝑆 (ℎ − 𝑥) + 𝐶(𝑥) = C1 + C2 = + = 𝑥 𝑒 𝑒 𝑒 ℎ 𝑒 ℎ ε1 S1 𝑆 = + (ε2 − ε1 )𝑥 𝑒 𝑒ℎ ε1 𝑆 ε2 −ε1 𝑥 = 𝑒 [1 + ( ε ) ℎ] = C0 (1 + 𝐾𝑥) 1 (4.1) En régime permanent sinusoïdal, le capteur d’impédance Z𝑐 (𝑥) = 1/𝑗𝐶(𝑥)𝑤 n’est pas linéaire pour une mesure proportionnelle à son impédance, il est linéaire pour une mesure proportionnelle à son admittance. (4.1) permet d’obtenir C𝑚𝑖𝑛 = 𝐶(𝑥 = 0) = C0 = 35.4 𝑝𝐹 et C𝑚𝑎𝑥 = 𝐶(𝑥 = ℎ) = 141.6 𝑝𝐹. Les impédances correspondantes à une fréquence f = 10 kHz sont |Z(x = 0)| = 449,6kΩ et |Z(x = h)| = 112,4kΩ. 3. On a C𝑣 = C0 = 𝐶(𝑥 = 0), compte tenu de (4.1) la tension de mesure s’écrit : 2. LP EEI// TD : LES CAPTEURS 𝑉𝑚𝑒𝑠 = (𝑍 𝑍0 𝑐 +𝑍0 = 1 𝐶(𝑥)−𝐶 𝑉𝑔 − 2) 𝑉𝑔 = 𝐶(𝑥)+𝐶0 0 2 (4.2) (1 + 𝐾𝑥) − 1 𝑉𝑔 𝐾𝑥 𝑉𝑔 = (1 + 𝐾𝑥) + 1 2 (2 + 𝐾𝑥) 2 1 𝑉𝑔 𝐾𝑥 𝐾𝑥 1+ 2 4 (4.2) et la courbe de la figure 4.3 montrent clairement que la mesure est non-linéaire. Figure 4.3 Circuit de conditionnement du capteur 4. Quelle que soit la géométrie donnée aux armatures, on a C0 = 𝑐ℎ où c est la capacité par unité de longueur du capteur. Si x≠0, on a : 𝐶(𝑥) = C(h − x) + ε2 ε2 − ε1 𝑥 𝑐𝑥 = 𝑐ℎ [1 + ( ) ] = C0 (1 + 𝐾𝑥) ε1 ε1 ℎ La valeur de la capacité dépend via C0 de la géométrie au travers de c. En revanche, une fois le pont équilibré pour x =0, c’est-à-dire une fois réglé C0 = C𝑣 , la tension de mesure garde la même forme. Ce type de mesure est habituellement réalisé à l’aide de condensateurs cylindriques, ce qui réduit les perturbations par effet de bord (effets négligés dans ce qui précède). 5. Le phénomène le plus gênant qui peut entacher la mesure est lié à la viscosité de l’huile. Celle-ci peut former une couche résiduelle à la surface des armatures, si bien que même avec une cuve vide on peut avoir C𝑣 ≠ 𝐶(𝑥 = 0) et donc 𝑉𝑚𝑒𝑠 ≠ 0, simulant par là une cuve non vide. On peut améliorer le procédé en réglant la valeur de Cv à chaque fois que l’on est certain que la cuve est vide
