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Paquet d'onde — Wikipédia

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Paquet d'onde
En physique, un paquet d'onde, ou train
d'onde, est une enveloppe ou un paquet
contenant un nombre arbitraire d'ondes
élémentaires. Il existe aussi des demi
paquets d'onde, qui sont des paquets
d'onde scindés en quadrature de phase.
En mécanique quantique, le paquet
d'onde possède une signification
particulière : il est interprété comme
étant une onde de probabilité qui décrit la
probabilité pour une particule (ou des
particules) dans un état donné d'avoir
une position et une quantité de
mouvement données. Cette
interprétation n'est pas compatible avec
l'onde du chat de Schrödinger : comme
on ne peut pas faire une combinaison
linéaire des ondes de matière du chat
vivant et du chat mort, ces ondes
n'obéissent pas à une équation linéaire
comme le suppose la mécanique
quantique. L'utilisation de la mécanique
quantique pour traiter des problèmes
complexes nécessite des corrections par
exemple l'introduction de particules
convenables.
En appliquant l'équation de Schrödinger
en mécanique quantique, il est possible
de déduire l'évolution temporelle d'un
système, de manière similaire au
formalisme hamiltonien en mécanique
classique. Le paquet d'onde est une
solution mathématique de l'équation de
Schrödinger. Le carré de l'aire en dessous
du paquet d'onde solution (intégrale
quadratique) est interprétée comme
étant la densité de probabilité de trouver
une particule dans cette région.
Dans une représentation à coordonnées
d'une onde (comme en coordonnées
cartésiennes), la position de l'onde est
donnée par la position du paquet. De
plus, plus le paquet d'onde est petit,
mieux est définie la position du paquet
d'onde, mais plus l'incertitude sur la
quantité de mouvement est grande. Cette
particularité est connue sous le nom de
principe d'incertitude de Heisenberg.
Bases
Au début des années 1900, il devint
évident que la mécanique classique
montrait des défaillances majeures.
Albert Einstein proposa originellement
l'idée que la lumière se déplaçait en
paquets discrets appelés
« corpuscules », mais le comportement
ondulatoire de nombreux phénomènes
lumineux conduisit les scientifiques à
favoriser une description en termes
d'ondes de l'électromagnétisme. Ce n'est
que dans les années 1930 que la nature
particulaire de la lumière commença
réellement et largement à être acceptée
en physique. Le développement de la
mécanique quantique - et son succès
dans l'explication de résultats
expérimentaux qui pouvaient sembler
paradoxaux - fut la base principale de
cette acceptation.
Un des concepts les plus importants
dans la formulation de la mécanique
quantique est l'idée que la lumière se
déplace en quantités discrètes appelées
photons. L'énergie de la lumière est une
fonction discrète de la fréquence :
L'énergie est le produit d'un entier n (d'où
le terme de quantification), de la
constante de Planck h et la fréquence f.
Cette quantification permit la résolution
d'un problème de la physique classique,
appelé catastrophe ultraviolette.
Les idées de la mécanique quantique
continuèrent à être développées tout au
long du
e
siècle. L'image qui fut
développée fut celle d'un monde
particulaire, avec tous phénomènes et
toute matière faits de particules et
interagissant avec des particules
discrètes. Cependant, ces particules sont
décrites par une onde de probabilité. Les
interactions, localisations, et toute la
physique peuvent être réduits à des
calculs de ces ondes d'amplitudes de
probabilités. La nature particulaire du
monde physique fut confirmée de
manière expérimentale, alors que les
phénomènes ondulatoires peuvent être
caractérisés par la nature en paquets
d'ondes des particules.
Mathématiques
Considérons les ondes solutions de
l'équation d'onde (ou équation de
d'Alembert) suivante :
où est la vitesse de phase, c'est-à-dire la
vitesse de propagation de l'onde dans un
milieu donné.
L'équation d'onde possède comme
solutions des ondes planes du type :
où
est la pulsation de l’onde (
sa fréquence) et
étant
est le vecteur d’onde,
un vecteur perpendiculaire au plan
d’onde. Le produit scalaire
est
associé à la norme euclidienne notée
Afin de satisfaire l’équation, ces deux
quantités sont liées par la relation de
dispersion :
.
.
La valeur complexe de
est
essentiellement un artifice visant la
simplification des expressions et des
traitements : pour décrire un phénomène
physique à grandeur réelle, le résultat
significatif est la partie réelle de
.
Un paquet d'ondes est une perturbation
localisée résultant de la somme de
différentes fonctions d'ondes. Si le
paquet est très localisé, diverses
fréquences sont nécessaires afin de
permettre la superposition constructive
de la région de la localisation et la
superposition destructive hors de cette
région.
Mise en évidence
…
Considérons maintenant une
superposition d’ondes ayant chacune un
vecteur , une pulsation
amplitude
et une
. L’onde résultante s’écrit
alors
une quantité qui, par linéarité, satisfait
encore l’équation d’onde. Cette relation
englobe le cas d’une superposition d’un
nombre fini d’ondes : dans ce cas,
est non nul uniquement pour certaines
valeurs de
somme.
et l’intégrale devient une
Supposons que les divers
contributifs
se situent dans le voisinage
vecteur
d’un
et considérons le
développement de Taylor au premier
ordre :
où
est le gradient, c'est-à-dire le
vecteur des dérivées partielles de
par
rapport aux composantes de . Les
imprécisions de cette relation sont
d’autant plus faibles que les
proches de
.
Par substitution, il découle
restent
où
Ainsi
s’identifie à une onde de
pulsation
qui est modulée par
.
Le paquet d’ondes est caractérisé par
son enveloppe
vitesse
qui se déplace à la
(amplitude et
direction) appelée vitesse de groupe : en
effet,
reste constant en tout point
évoluant à cette vitesse.
Paquet d’ondes dans un milieu unidimensionnel et
non dispersif.
Dans un milieu non dispersif (le vide par
exemple), la vitesse de phase ne
dépend pas de la pulsation. Dans ce cas,
la relation de dispersion
un gradient
implique
et ainsi
: la
vitesse de groupe est égale à la vitesse
de phase. Dans un milieu
unidimensionnel, le profil de l’onde subit
une simple translation uniforme (il est
figé s’il est vu d’un référentiel se
déplaçant à vitesse
). L’animation
correspond à une telle situation. Ce n’est
plus le cas dans un milieu de dimension
supérieure à cause des diverses
directions des vecteurs d’onde .
Dans un milieu dispersif par contre, la
vitesse de phase d’une onde dépend de
sa pulsation (
) : si
, l’onde
rattrape le paquet d’ondes.
Cette équation d’onde possède une
solution simple et utile qui est en accord
avec la statistique de MaxwellBoltzmann :
où
et
sont constants.
Spectre
…
Pour simplifier, supposons que les ondes
se déplacent dans un espace à une
dimension. Une solution élémentaire est
de la forme suivante :
où le premier terme reflète une onde se
déplaçant dans le sens des
croissants
et le second correspondant au sens
opposé.
La fonction générale d'un paquet d'ondes
peut s’exprimer par :
Le facteur
provient des conventions
utilisées pour les transformées de
Fourier. L'amplitude
contient les
coefficients de la superposition linéaire
des ondes planes solutions.
Ces coefficients peuvent alors s’exprimer
comme fonctions de
évaluées en
:
Paquet d'onde et train
d'onde
C'est l'expression anglaise « wave
packet » qui a donné l'expression
« paquet d'onde », en français. En
français, « train d'onde » se rencontrerait
plus facilement. Elle met bien en exergue
le fait que les trains d'ondes ont une tête
et une queue, soit un début et une fin
bien définis, dans le temps et dans
l'espace, et que chaque onde occupe un
rang spécifique dans la chaîne de ces
ondes.
On peut ajouter que l'expression « paquet
d'ondes » laisse entendre que ses ondes
peuvent être quelconques, alors que le
train d'onde suggère que ses ondes sont
issues d'une même source, sont
cohérentes (c'est-à-dire en phase), de
même polarisation et homogènes (de
même énergie), bien que cela ne soit pas
forcément le cas.
La cohérence
La cohérence d'un train d'onde est
préservée lorsque toutes les ondes du
train n'interfèrent pas au point de détruire
la visibilité du signal. Lorsque la
décohérence a lieu, la phase devient
imprévisible et les interférences
destructives et constructives aboutissant
à un signal « chaotique ».
Lorsque ces interférences sont dues à
l'environnement et qu'un signal lumineux
a une bonne capacité à résister à ces
parasites, on emploie l'expression de
« force de cohérence » du signal
lumineux.
En mathématiques, la cohérence d'un
signal correspond à sa corrélation.
Cohérence temporelle
…
La cohérence temporelle d'une onde est
le lieu et la durée, où et quand on peut la
discerner sans mal. L'exemple des ronds
dans l'eau illustre ce propos : en lançant
une pierre dans un lac, des vagues
circulaires sont générées. Tant que les
vagues sont discernables, on dit que la
cohérence de l'onde est préservée. Une
photographie du phénomène permet de
compter les vagues (les ondes). Au bout
d'un certain temps, les vagues, parce
qu'elles n'ont pas parfaitement la même
fréquences se mélangent et finissent pas
perdre leur cohérence : elles ne sont plus
discernables. La décohérence se
manifeste là plus ou moins subitement.
Du nombre de vagues nettes
discernables, on en déduit une « longueur
de cohérence » et, connaissant leur
vitesse, une « durée de cohérence ».
_ illustration ronds dans l'eau à l'adresse
https://cdn.pixabay.com/photo/2014/01/
14/09/14/stones-244244_960_720.jpg
Une source de lumière monochromatique
parfaite ne connaîtrait pas ce
phénomène d'interférence de ses ondes
et le temps pendant lequel ses ondes
seraient discernables serait infini (on
parlerait de durée et de longueur de
cohérence infinies). La cohérence
temporelle serait dite totale.
Cohérence spatiale
…
Une source de lumière, non ponctuelle,
mais qui s'étend sur une longueur ou
dans un espace (comme le filament
d'une ampoule ou la sphère d'une étoile)
génère des ondes qui - même si elles
sont supposées parfaitement
monochromatiques et exactement en
phase - sont légèrement espacées les
unes des autres, à leur émission, du fait
de l'étendue de la source. Recueillies sur
un écran ou une lentille, ces ondes ne
parcourent pas les mêmes distances et
ces « différences de marche » se
traduisent par des différences légères de
phase. Lorsque les différences sont trop
importantes, la cohérence spatiale est
perdue et le signal ondulatoire n'est plus
perçu nettement mais brouillé.
_ illustration d'interférence spatiale dont
un très bon exemple est visible à
l'adresse http://zeiss-
campus.magnet.fsu.edu/tutorials/cohere
nce/indexflash.html
Une source de lumière parfaitement
ponctuelle ne connaîtrait pas ce
phénomène de décohérence spatiale. La
cohérence spatiale serait dite totale.
Voir l'article Cohérence pour des
compléments.
Caractérisation d'un train
d'onde
Ces aspects de cohérence permettent de
caractériser un train d'onde avec les
grandeurs suivantes (on utilise ν (lettre
grecque nu) la fréquence de l'onde et c la
célérité de la lumière dont on connaît les
rapports entre eux :
):
Largeur spectrale : la source de
lumière n'étant pas parfaitement
monochromatique, ce paramètre
caractérise l'étendue des longueurs
d'onde autour de la raie de référence
qui peuvent être émises :
, soit
pour une largeur
en fréquence. Lorsque la définition de
la largeur spectrale n'est pas évidente,
on définit généralement ses bornes par
les raies dont l'intensité vaut moitié
celle de la raie de référence.
Durée de cohérence : elle correspond à
la durée de cohérence du signal et son
maximum se déduit de la largeur
spectrale :
C'est un maximum car la durée peut être
forcée à une valeur plus faible : en
augmentant la fréquence de répétition
des trains d'onde (en faisant empiéter le
début d'un train d'onde sur la fin du
précédent), on peut réaliser un forçage
de la durée de cohérence :
Une proposition équivalente : la durée de
cohérence est le temps pendant lequel
une onde générée demeure discernable
dans le motif du train d'onde. C'est aussi
le temps mis par une onde pour traverser
toute la longueur du train d'onde.
Le laser est une des meilleures source de
lumière cohérente dont on dispose.
Longueur de cohérence : c'est la
longueur du train d'onde dans
l'espace :
Surface de cohérence : elle vaut
où ρ est le rayon apparant
de l'objet. On approxime cette
expression :
où θ est
le diamètre apparent. Il s'approxime luimême et la formule finale devient :
où D est la distance
de l'objet jusqu'à son point
d'observation et R son rayon réel (pour
les formules exactes, consulter l'article
sur la taille apparente).
Plus le filament d'une lampe à
incandescence est court, ou vu de loin, et
plus sa cohérence spatiale est grande.
Quelques exemples chiffrés
Source de lumière
Durée de
cohérence
Longueur
de
cohérence
Raie de
Largeur
référence spectrale
Commentaires
Sources dites cohérentes
- En fonctionnement
Laser HéliumNéon[1]
monomode
~ 1 µs
~ 100 m
633 nm
~ 1 fm
- Première technologie
Laser mondiale
- Source non
Laser
monochromatique
femtoseconde
(multimode),
pulsé TitaneSaphir
- mais utilisé par pulsations
~ 6 ps
536 nm
800 nm
380 nm
de trains cohérents,
(sa cohérence
n'est pas
- émettant principalement
privilégiée)
autour de la raie de
longueur d'onde 800 nm
Sources dites incohérentes
- Source monochromatique
Lampe jaune au
Sodium[1]
2 ps
1 mm
590 nm
[1]
Soleil
- Communs dans les
lampadaires urbains
Lumière blanche
composite du
20 nm
~ 1 fs
~ 1 µm
600 nm
400 - 800
nm
Toutes les ondes visibles
On peut noter l'existence de l'adresse
Coherence length, nonlinear optics,
holography (in Encyclopedia of Laser
Physics and Technology) qui permet, en
ligne, d'obtenir la Longueur de Cohérence
à partir d'une Raie de Référence et de sa
Largeur de Bande (en longueur d'onde ou
en fréquence).
Notes et références
(en)
Cet article est partiellement ou en
totalité issu de l’article de Wikipédia en
anglais intitulé « Wave packet » (voir la
liste des auteurs).
1. Valeurs tirées du Traité de la lumière
de Libero Zuppiroli, Marie-Noëlle
Bussac et Christiane Grimm, PPUR
(Presse Polytechnique Universitaire
Romande), Lausanne, 2009
Source
…
John David Jackson (trad. de l'anglais),
Électrodynamique classique
[« Classical Electrodynamics »] [détail
de l’édition]
Voir aussi
Articles connexes
…
Paquet d'onde gaussien
Liens externes
(en)
« Une simulation de 2D-paquet-d-
onde »
(Archive • Wikiwix • Archive.is • Google •
Que faire ?)
Simulation d'un paquet d'ondes,
application à l'effet tunnel. Université
Paris XI
…
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