L2 en cours 5 Aop regimelineaire

Les montages à Amplificateurs Opérationnels
Les montages à Amplificateurs Opérationnels
1ere partie
Chapitre 1 : Rappel sur les outils d’analyse
Chapitre 2 : L' Amplificateur Opérationnel
Chapitre 3 : Les montages de base de l’ AO en régime linéaire
Chapitre 4 : Les montages de base à AO en régime non-linéaire
Chapitre 5 : Montages pratiques
1
2
3
4
Rappel sur les outils d’analyse
1) Les lois de Kirchoff
1) Les lois de Kirchoff
1.1) La loi des nœuds
1. 2) La loi des mailles
La somme des courants qui arrivent à un nœud est égale à la somme
des courants qui en partent.
La somme algébrique des tensions le long d’une maille est égale à zéro
i5
i1
i
i1 + i2 = i5 + i4 +i3
i4
i3
i2
R1.i
5
 in = 0
n=1
R2.i
R1
Maille
R2
E1
Avec une convention de signe sur le sens des courants
entrants et sortants
E1 – R1.i – R2.i = 0
5
6
1.3 Théorème de Thévenin / Norton
Le procédé consiste à modifier le schéma du circuit en substituant un
certain nombre d’éléments par un schéma équivalent.
1.2 Le diviseur de tension
Cette formule s’obtient facilement à partir des lois précédentes mais
elle est très utile car elle permet d’obtenir rapidement le bon résultat.
Schéma équivalent de Thévenin
Schéma équivalent de Norton
A
V
i
Rth
In
R1
Rn = Rth
i’=0
i
V’
R2
A
Eth
R2
V '=
⋅V
R1 + R2
B
B
Tension de Thévenin : Eth
Courant de Norton : In
Résistance de Thévenin : Rth
Résistance de Norton : Rn
C’est la résistance vue des deux bornes (A,B) avec les générateurs remplacés par leur
résistance interne
Résistance de Thévenin = Résistance de Norton
Attention pour que la formule soit valable il faut que le courant de
sortie (i’) soit nul ou négligeable.
7
8
Exemple : Application du théorème de Thévenin
1.4 Théorème de superposition
Calculez le générateur de Thévenin équivalent entre les bornes A et B
R3
R1
A
A
R2
Rth
R4
B
Tension de Thévenin (Eth)
R3
R4
Eth
h
E
Dans un circuit linéaire soumis à l’action de plusieurs sources
indépendantes, la tension aux bornes d’un élément s’obtient en effectuant
la somme algébrique des tensions, dues à chaque source prise
individuellement et agissant seule.
B
L’annulation d’une source de tension revient à la remplacer par un courtcircuit et l’annulation d’une source de courant revient à la remplacer par
un circuit ouvert.
Résistance de Thévenin (Rth)
R3
i=0 A
A
Eth
R2
R1
Ce théorème est très pratique car il permet de séparer des actions créées
par différents phénomènes, mais il nécessite que le dispositif étudié soit
linéaire.
R2
R1
E
B
B
9
1.4 Théorème de superposition
Exemple
10
1.5 Théorème de Millman
A
Ce théorème est très utile pour les circuits comptants de nombreuses
branches en parallèle.
Il se démontre en faisant la somme des courants de chaque branche, cette
somme étant nulle.
UAB
R1
R2
E1
E2
A
B
UAB
A
A
UAB’
R1
UAB’’
R2
R1
R2
R1
R2
R3
E1
E2
E3
R4
R5
E5
E2
E1
B
n
B
E
 Rii = U AB
i =1
B
11
 n 1
⋅   
 i =1 Ri 
12
Généralité
Les montages à Amplificateurs Opérationnels
Chapitre 1 : Rappel sur les outils d’analyse
L' amplificateur opérationnel comprend trois étages :
-un étage d'entrée différentiel chargé d'amplifier une différence de
potentiel entre deux signaux (V+ et V-) :
A. (V+ - V-),
Chapitre 2 : L' Amplificateur Opérationnel
Chapitre 3 : Les montages de base de l’ AO en regime linéaire
Chapitre 4 : Les montages de base à AO en régime non-linéaire
- un étage présentant un très fort gain, idéalement proche de l'infini,
Chapitre 5 : Montages pratiques
- un étage de sortie permettant de délivrer le signal de sortie avec une
faible résistance
13
Généralité
14
2 Boîtier
Schéma interne d’un AO : LM 741
Boîtier DIL (Dual In Line)
Etage
différentiel
IC op-amp diagram
15
16
4 Caractéristiques essentielles de l' a.o.
3 Symbole
Le symbole normalisé AFNOR, IEEE
+
V -, la tension entre l'entrée inverseuse et le potentiel de référence
∞
V+, la tension entre l'entrée positive et le potentiel de référence
ε, la tension d'entrée différentielle (V+-V-)
Le symbole généralement utilisé
ε
V+
+
A.ε
Zin
is
Vs
Zout
-
V-
17
4 Caractéristiques essentielles de l' a.o.
4 Caractéristiques essentielles de l' a.o.
1) Son amplification aux fréquences basses est considérable (par exemple de 103 à
109), cela est dû aux nombreux étages amplificateurs qu'il comporte :
A = Vs
V+-V2) Bien sur, quelque soit le gain, la tension de sortie ne peut jamais dépasser la
tension d'alimentation,
4) Son impédance d'entrée est très élevée (de 1 MΩ à MΩ) :
Zin = (V+ - V-)
I+
3) Le module de l'amplification décroît lorsque la fréquence augmente (par suite
des «capacités parasites» des transistors) mais sa bande passante est souvent
considérable (par exemple plusieurs dizaines de mégahertz)
ε
V+
+
Zin
V-
A.ε
18
5) Son impédance de sortie (Zout) est très faible (au maximum quelques kiloohms).
is
Zout
Vs
ε
V+
-
Zin
V-
19
+
A.ε
is
Zout
Vs
-
20
5 Branchement des alimentations des a.o
6 Le slew-rate
Le Slew rate (SL) est la vitesse de croissance maximale de la tension de
sortie.
Il s’exprime en volts par micro seconde
La sortie Vs doit pouvoir prendre des valeurs positives et négatives et donc
l'AO doit être alimenté par des tensions positives et négatives
ε
V+
Vcc
+
Vs
V-
-Vcc
-
Vs
Vcc
Pente : A
(très grande)
ε
-Vcc
Zone linéaire
(très petite)
21
22
7 L'A.O. idéalisé
AO réel
Amplification en boucle ouverte : A = 20. 104 à 20 106
6 Le slew-rate
Pour un signal sinusoïdal de sortie le dVs/dt ne peut pas dépasser le SL.
Il en résulte une limitation en fréquence en fonction de l’amplitude
(triangularisation).
: Zin= 1MΩ à 20 M Ω
Impédance d’entrée
Impédance de sortie :
0Ω
Courant de polarisation : Ip=(Ip+-Ip-)/2 = 20pA à 500pA
0 pA
Id = | Ip+-Ip-|= 20pA à 100pA
0 pA
0,5V/µS à 100V/µS
infini
Slew rate :
ε
V+
+
A.ε
is
Zout
Vs
ε
V+
+
A.ε
is
Vs
Zin
V-
23
infini
Zout= 10Ω
Courant de décalage
Par exemple :
Si Vs = Vm .cos ω.t est le signal de sortie, la condition est
dVs < SL
dt
soit encore
AO idéal
infini
-
V-
-
24
7 L'A.O. idéalisé
Montage à Amplificateur opérationnel en
fonctionnement linéaire
Idéalement, on considère que :
* Gain en tension (A) infini Vs = A. (V+ - V-).
* Impédance d'entrée infinie, ce qui entraîne que les courants d'entrée sont nuls
* Impédance de sortie nulle, ce qui conduit à considérer la sortie comme une
source de tension indépendante du courant is.
* Bande passante infinie
Chapitre 1 : Rappel sur les outils d’analyse
ε
V+
+
A.ε
Chapitre 2 : L' Amplificateur Opérationnel
is
Vs
Chapitre 3 : Les montages de base de l’ AO en fonctionnement linéaire
V-
-
25
Cours d’Electronique, IG2I, ENI2, Bruno FRANÇOIS
26
Régime linéaire
1 La réaction (Automatique)
Montage à Amplificateur opérationnel en
fonctionnement linéaire
Le principe de la réaction consiste à réinjecter une partie du signal de sortie à l’entrée
du circuit pour le combiner avec le signal de sortie.
3.1 La contre réaction
Dans la réaction positive, on réinjecte une partie du signal de sortie en phase avec le
signal d’entrée.
3.2 Principe et règles d'or
Ceux ci vont s’additionner pour produire un signal de sortie plus grand.
3.3 Amplificateur Inverseur
Ces montages ont un fonctionnement non linéaire Vs ∈{-Vcc,+Vcc} et seront étudiés
plus tard
3.4 Amplificateur Non Inverseur
3.5 Opérations non-linéaires
Dans la réaction négative, on réinjecte une partie du signal de sortie en opposition de
phase avec le signal d’entrée.
3.6 Intégrateur/dérivateur
Ceux ci vont se soustraire pour produire un signal de sortie inférieur.
Ces montages ont un fonctionnement linéaire Vs ∈[-Vcc,+Vcc] et sont maintenant
étudiés.
27
28
1 La contre réaction
1 La contre réaction (Automatique)
Source
Ve
A.O.
ε A
+_
Source
Récepteur
Vs
ε A
+_
Ve
Vs
B
B
Vr
Vr
Vs =A. ε
Vs =A. (Ve- Vr) =A. (Ve- B.Vs)
Vs =
Vs = 1 .Ve
B
Le gain en tension du montage en boucle fermée devient indépendant
de A
A est le gain en boucle ouverte
B est le gain de contre réaction
Vs (1+A.B) =A.Ve
Vs =
Récepteur
A .Ve
1+A.B
Si A est infini
1
.Ve
Vs = 1 .Ve
1 +B
B
A
Le gain du montage ne dépend plus de celui de l’AO !
On a une diminution du gain et une meilleure stabilité par
rapport aux perturbations.
La preuve …
29
1 La contre réaction: Impact sur une perturbation
Perturbation
Vp
Source
Récepteur
+
ε A
+
+_
Vs
Ve
30
1 La contre réaction
Exemple : Contre réaction (B) réalisée avec des résistances
Source
+_
Ve
Vs
Vr
Vs =A. ε + Vp
Vs =A. (Ve- Vr) + Vp =A. (Ve- B.Vs) + Vp
Vp
Vs =A. ε
Vs =A. (Ve- Vr)
+15 V
Vs (1+A.B) =A.Ve + Vp
Ve
+
-
A .Ve + 1 .Vp
1+A.B
1+A.B
Récepteur
B
B
Vr
Vs =
ε A
Si A est infini
Vs
-15 V
R2
La tension parasite
avec Vr =
R1 .Vs
R1 + R2
VR
R1
est atténuée
On a une meilleure stabilité par rapport aux perturbations
31
32
1 La contre réaction
Exemple : Contre réaction (B) réalisée avec des résistances
1 La contre réaction
Exemple : Contre réaction (B) réalisée avec des résistances
Vs =A. ε
avec Vr = R1 .Vs
Vs =A. (Ve- Vr)
R1 + R2
Vs .(1+ A. R1 ) = A.Ve
R1 + R2
Si A est infini
.Ve
1
1+
R1
A
R1 + R2
+
Vs
-
-15 V
R2
VR
R1
Si, à cause d’une perturbation quelconque, la tension de sortie Vs
augmentait un peu
Vs .( 1 + R1 ) = Ve
A R1 + R2
Vs =
+15 V
Ve
Vs = R1 + R2
Ve
R
La tension Vr augmenterait également
Vs =1+ R2
Ve
R
ce qui forcerait la sortie à diminuer car Vs= A .ε
La tension différentielle ε (=Ve-Vr) diminuerait
1
+15 V
Ve
+
-
Vs
-15 V
R2
1
Le retour de la tension de sortie sur l’entrée négative a un effet
stabilisateur
VR
R1
33
1 La contre réaction
Caractéristique fréquentielle
Av 0
34
1 La contre réaction
Caractéristique fréquentielle
A.O. idéal
Av (s )
Av 0
Av (s )
A.O. compensé
par le pôle pd
Av (s )
A.O. non compensé
ω
ωd
Le gain réel (Av) n’est pas constant en fonction de la fréquence:
ω
ωd
La caractéristique du gain est assimilable à un filtre passe bas
1
: Gain statique
A v ( jω ) = A v0 ⋅
A
v0
ω
1 + j.
ω : Pulsation dominante
ω
d
A v ( jω
d
La bande passante (à -3dB) est définie par la fréquence fb telle que :
ωd = 2 ⋅ π ⋅ f d
)=
A v0 ⋅
1
1 + j.
ω
ωd
La bande passante (à -3dB) est définie par la fréquence fb telle que :
ωd =2⋅π ⋅ fb
Le produit gain-bande passante est alors donné par :
Remarque:
Pour rendre la fonction de transfert Av(s) équivalente à un premier ordre, une capacité est
ajoutée dans le composant
Av0 ⋅ ωd = CONSTANTE
35
36
1 La contre réaction
Caractéristique fréquentielle
Av0
V s (j ω )
=
⋅
Ve (j ω )
1 + B ⋅ Av0 1 + j.
On considère l’A.O. contre réactionné par un gain B.
Source
Ve
+_
ε Av
Récepteur
Av ( B )
Vs
ω
(1 + B ⋅ Av0 ) ⋅ ω d
1
1 + j.
ω
ωc
ω c ( B ) = (1 + B ⋅ Av 0 ) ⋅ ω d
Le produit gain-bande passante du système en boucle fermée est constant :
B
Vs (1+B. Av) =Av.Ve
= Av ⋅
La pulsation de coupure varie en fonction de la valeur du gain K :
GBW BF = Av0⋅ωd = Av(B ) .ωc(B )
Vr
Vs =Av. ε
Vs =Av. (Ve- Vr) =Av. (Ve- B.Vs)
1
Constante
Av0 .
Av est le gain en boucle ouverte
Exemple :
B est le gain de contre réaction
A


 = v 0
B = 10 , Av  10
11
Av0
 Av 0 
Av 0 . ω d
 10 
GBW BF
 =
ω c 
=
= 11 . ω d
Av 0
 10 
 Av 0 

Av 
11
 Av 0 
1
1 + j.
V s (j ω )
A v (j ω )
=
=
1 + B . A v (j ω )
V e (j ω )
1 + B . Av0 .
ω
ωd
1
1 + j.
=
=
ω
ωd
Av0
1 + j.
Av0 ⋅
1+ B⋅ Av0 1 + j.
ω
+ B . Av
ωd
1
Av BF
Nous ne pouv ons pas afficher l’image.
0
B = 100 ,
Av0


 Av 0 
ω
ω c  100  =
(1 + B⋅ Av0) ⋅ω d
37
B =0
Av 0
Av 0 . ω d
GBW BF
=
= 101 . ω d
Av 0
 100 

Av 
101
 Av 0 
Diagramme de Bode pour différents gains
Av
11
0
B = 10
Av 0
A v
101
0
B = 100
Av 0
ω
ωd
11.ωd
101.ωd
38
2 Principe et règles d'or
1 La contre réaction
Caractéristique fréquentielle
Si l’A.O. est idéal
Les courants d'entrée de l'amplificateur opérationnel
négligeables. En effet les impédances d'entrée sont infinies.
I+ = I- = 0
Plus le gain de réaction B est grand :
_ plus la bande passante est importante
_ plus le gain du montage est petit
ε
V+
V-
+
I+
A.ε
sont
is
Vs
- I-
Av BF
Av 0
B =0
Diagramme de Bode pour différents gains
Av
11
0
B = 10
Av 0
A v
101
0
B = 100
Av 0
ωd
Si il y a une réaction de la tension de sortie sur l'entrée inverseuse
(principe de réaction négative), alors
Le montage fonctionne en linéaire
V+ = V-
ω
11.ωd
101.ωd
39
Preuve :
ε= (V+ - V-) = Vs
A
-> 0, si A tend vers l’infini,
40
3 Amplificateur Inverseur
3 Amplificateur Inverseur
2.1 Montage de base
3.1 Montage de base
R1
i
M
ve
ε
-
R1
ie
+15 V
-
M i
-
+15 V
+
-15 V
ve
ε i+
vs
+
R2
is
R2
-15 V
vs
Montage en contre réaction négative, donc ε = 0, donc V+ =VL’A.O. est idéal: I+ = I- = 0
Fonction de transfert -> déterminer Vs(t) en fonction de Ve(t) et des éléments du
montage
La loi des mailles / loi des nœuds :
Ve = R1.Ie
Vs =−R2.Is
Vs =− R2
Ve R1
Ve Vs
+
=0
R1 R 2
Vs =− R2
Ve R1
et Ie=Is car I- =0
Plusieurs méthodes sont envisageables
Théorème de Millman : Ie – Is = I-
A titre d’exemple en voici trois
41
42
3 Amplificateur Inverseur
3 Amplificateur Inverseur
3.1 Montage de base
R2
is
ie
R1
M i
2.1 Montage de base
is
-
ve
ε i+
-
+15 V
ie
vs
+
R1
M i
R2
-
ie
R1
A i
-
ve
ve
ε i+
ε i+
-15 V
R2
is
-
+15 V
+
-15 V
vs
Vs =− R2
Ve R1
Le théorème de superposition :
On annule Vs la tension ε vaut : −Ve⋅ R1R+2R2
Un signal positif en entrée devient négatif en sortie.
Inverseur
Le gain du montage est fixé par les valeurs des résistances.
ε = − Ve⋅ R 1R+2R 2 −Vs ⋅ R 1R+1R 2
0=Ve⋅ R2 +Vs⋅ R1
R1+R2
R1+R2
Vs =− R2
Ve R1
43
Comme l’entrée non inverseuse est reliée à la masse, indirectement l’entrée
inverseuse l’est aussi !
On dit encore que l’entrée inverseuse est une masse virtuelle.
44
3 Amplificateur Inverseur
3.1 Montage de base
R2
is
R1
ie
A i
-
ve
ε i+
-
+15 V
+
-15 V
vs
C:\utilisateur\bruno\cours\ig2i\L2 ao\aop.htm
Vs =− R2
Ve R1
1,5
Ve (V)
1
Vs (V)
Exemple : R1 = 10kΩ et R2=100kΩ
0,5
Vs =−10
Ve
0
0
2
4
6
-0,5
-1
-1,5
45
46
3 Amplificateur Inverseur
3 Amplificateur Inverseur
3.1 Montage de base
3.3 Généralisation à des impédances quelconques
R2
is
ie
R1
A i
-
ve
ε i+
+15 V
ie
A i
-
ve
vs
+
R1
ε i
-15 V
Z2
R2
is
+15 V
I
+
-15 V
A
-
ε
vs
+
Z1
+
Ve
Vs
B
Vs =− R2
Ve R1
Résistance d’entrée : Re =
Ve
Ie
Vs =− R2
Ve R1
Re=R1
Ve=R1.Ie
Vs =− Z2
Ve Z1
R1 -> Z1
R2 -> Z2
47
48
3 Amplificateur Inverseur
3 Amplificateur Inverseur
3.3 Généralisation à des impédances quelconques
3.4 Sommateur inverseur
R1
Si Ve(t) est une sinusoïde de pulsation ω, on utilise les impédances harmoniques
v1
Vs ( jω )
Z 2( jω )
=−
Ve( jω )
Z1( jω )
R
Rn-1
vn-1
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
Si Ve(t) est un signal quelconque, on utilise la variable de Laplace (p)
Théorème de superposition :
On annule tous les générateurs sauf V1
Vs ( p )
Z 2( p )
=−
Ve( p )
Z1( p )
R1
v1
R
Rn-1
Rn
Toutes les résistances d’entrée sont
en parallèle sauf R1
-
+15 V
+
-15 V
vs’
R’= (Rn//Rn-1// ... //R2)
49
50
3 Amplificateur Inverseur
3 Amplificateur Inverseur
3.4 Sommateur inverseur
3.4 Sommateur inverseur
R1
R1
v1
v1
R
Rn-1
vn-1
vn-1
Rn
vn
R
Rn-1
-
+15 V
+
-15 V
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
vs
Théorème de superposition sur chaque entrée
On annule tous les générateurs sauf V1
On détermine le générateur équivalent de
Thévenin et son impédance
Eth1 =V1 . R'
R1 + R'
Rth1 =
R'.R1
R1 + R'
Théorème de superposition sur chaque entrée
On éteint tous les générateurs sauf V1
R
R1
v1
R’
-
+15 V
vs’
+
-15 V
51
On détermine le générateur équivalent de
Thévenin et son impédance
Eth
R
'.
R
1
Eth1 =V1 . R'
Rth1 =
R1 + R'
R1 + R'
R'+R1
R'+R1 R'
Vs' =− R .Eth1 =−R.
.Eth1 =−R.
.V1
.
Rth1
R'.R1
R'.R1 R'+R1
Vs' =− R .V1 pour l’entrée V1
R1
R
Rth 1
1
-
+15 V
+
-15 V
vs’
52
3 Amplificateur Inverseur
3.4 Sommateur inverseur
R1
v1
R
Rn-1
vn-1
Rn
vn
-
+15 V
+
-15 V
vs
C:\utilisateur\bruno\cours\ig2i\L2 ao\aop.htm
Vs' =− R .V1
R1
En recommencant pour chaque entrée et en faisant la somme :
Pour l’entrée V1 :


Vs = -R. 1 .V1 +...+ 1 .V,n−1+ 1 .V,n 
Rn−1
Rn 
 R1
1/Rn est un coefficient pondérateur affecté à chaque entrée
qui permet de faire varier ou d'adapter le gain de chaque entrée
53
54
3 Amplificateur Inverseur
3.5 Convertisseur numérique - analogique
Objectif: Convertir un nombre binaire en une tension analogique.
Application: Générer un signal audio à partir d’un fichier binaire (mp3)
Un chiffre binaire, 0 ou 1, est représenté sous forme analogique par une tension prenant
les valeurs respectives entre 0V et 5V.
b3 : 0
b2 : 1
b1 : 0
b0 : 0
R4
R3
R
R2
R1
Eréf
ia
-
+15 V
+
-15 V
vs
Montrer que ce montage est une application du montage sommateur inverseur
55
56
4 Amplificateur Non Inverseur
4 Amplificateur Non Inverseur
4.1 Montage de base
4.2 Montage suiveur
C’est un montage non inverseur pour lequel : R1=∝ et R2=0
R2
R1
-
+15 V
+
-15 V
R2
Vs
Ve
R1
-
+15 V
+
-15 V
+15 V
+
-15 V
Vs
Vs
Ve
Ve
V - = V+
Le gain en tension est toujours positif et supérieur à 1.
R1
Vs =Ve
R1 + R2
La résistance d'entrée de ce montage est très grande.
Théoriquement si le courant d'entrée est nul, cette
résistance d'entrée serait infinie.
Ve
Re théorique =
=∞
ie
Vs = R1 + R2
Ve
R
1
Vs =1+ R2
Ve
R1
Vs =1
Ve
Ce montage est utilisé comme adaptateur d'impédance car sa résistance d'entrée est
très importante. Résistance d'entrée ∞
57
58
4 Amplificateur Non Inverseur
4 Amplificateur Non Inverseur
4.2 Montage suiveur
Application en adaptateur d’impédance
4.3 Montage sommateur non inverseur
RB
R2
Lorsque l’on charge un montage par un autre, l’interaction des impédances des
montage amont et aval altère la tension E prélevée. Et, alors Vc devient différent de E
R1
-
+15 V
+
-15 V
RA
Zs
Vc =
Vc
E
Ve
Montage aval
Zc
Zc
.E
Z s + Zc
+15 V
+
-15 V
R1
Vs
Montage amont
-
v1
Vs
Rn-1
vn-1
Rn
vn
Pour éviter cet inconvénient, il faut transmettre la tension avec un courant extrait nul.
C’est ce que réalise le montage suiveur.
Vc=Ve
Montage amont
E
+15 V
Montage aval
Zs
Ve
+
Vc
-15 V
Zc
Ve= E car I + =0
Vc=E
59
60
5 Amplificateur Différentiel
R2
R1
v1
-
+15 V
+
-15 V
vs
v2
R3
R4
Théorème de superposition :
On annule tous les générateurs sauf V1
R2
On obtient un montage inverseur
R1
v1
-
+15 V
+
-15 V
V’s
R
Vs' = − 2 .V1
R1
R3
R4
61
5 Amplificateur Différentiel
Théorème de superposition :
On annule tous les générateurs sauf V1
R1
Vs = AVMD.( V2 - V1 )
R2
-
+15 V
+
-15 V
En réalité, à cause des imperfections de l’amplificateur opérationnel,
il existe un gain en mode commun : AVMC
vs’’
v2
R3
R4
R
R +R
− R2
.V1 + 1 2 . 4 .V2
R3 + R4
R1
R1
Si (R1 + R2) = (R3 + R4)
Vs = Vs' + Vs'' =
Vs =
Avec R2 = R4 et R1 = R3
Gain en mode différentiel : AVMD =
Gain en mode différentiel : AVMD = R2
R1
 R  R
Vs'' = 1+ 2  . 4 .V2
 R1  R3 + R4
Vs = Vs' + Vs'' =
5 Amplificateur Différentiel
R
Vs' = − 2 .V1
R1
On annule tous les générateurs sauf V2
On obtient un montage non inverseur
(
Vs = AVMD (V2 - V1 ) + AVMC .(V2 + V1 )
Le gain en mode commun : AVMC doit etre le plus petit possible
R
− R2
.V1 + 4 .V2
R1
R1
R2
.V2 − V1
R1
Taux de réjection du mode commun τ MC = AvMD
Av MC
)
En dBτ MC _dB = 20logAvMD − 20log AvMC
Amplificateur soustracteur
R2
R1
62
63
64
6 Opérations non-linéaires
6.1 Convertisseur logarithmique
vd
id
ve
I
R
-
+15 V
+
-15 V
vs
I = 1 .Ve
R
I = I d = I sat .e
−
q .Vd
k .T
Vd = - Vs
avec Isat, le courant de saturation de la diode.
V
Vs = k.T .Ln e
q
R.Isat
Ve doit se trouver dans la caractéristique exponentielle de la diode :
0<Ve <Vseuil
-> transistor polarisé et fonctionnement en diode.
65
66
6 Opérations non-linéaires
6 Opérations non-linéaires
6.2 Convertisseur exponentiel
6.3 Multiplicateur
R
ve
-
+15 V
+
-15 V
Ve 1
ln
Sommateur
inverseur
vs
Ve 2
I d = I sat.e
−
I = − 1 .Vs
R
exponentiel
Vs
ln
q.Ve
k.T
avec Isat, le courant de saturation de la diode.
Vs = - R .I sat .e
−
q .Ve
k .T
67
68
6 Opérations non-linéaires
7 Intégrateur/dérivateur
6.3 Multiplicateur
7.1 Dérivateur
R
T
R
C
+15 V
ve1
+
ve
R’
vsa
+
R’
-Vcc
vs
+15 V
-
v1
-15 V
vs1
+
I c (t ) = C.
-15 V
+15 V
+
+
+15 V
-
ve2
+Vcc
R
-15 V
R’
R
-
dVes (t )
dt
I (t ) = − 1 .Vs (t )
R
vsb
-15 V
Ic (t ) = I (t )
 k .T
V
V
k .T
.Ln e 2
.Ln e1 +
−
 q
q
R .I sat
R .I sat

−




(
Vs = α . Ve1 .Ve 2
k .T
V .V
.Ln e1 e 22
q
R .I sat
(
)
dV (t )
Vs (t ) = − R.C . e .
dt
)
69
70
7 Intégrateur/dérivateur
7.1 Dérivateur
7 Intégrateur/dérivateur
7.1 Dérivateur
R
C
ve
-
+Vcc
+
-Vcc
R
R’
vs
dV (t )
Vs (t ) = − R.C . e .
dt
ve
C
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
Inconvénient :
Ce montage est sensible aux tensions parasites (bruits).
Les fortes variations introduites par les perturbations sont amplifiées et la sortie
sera couverte d'oscillations.
Ce montage fonctionne en dérivateur aux basses fréquences.
Solution :
Diminuer le gain de ce montage aux hautes fréquences (fréquences auxquelles
apparaissent les perturbations
-> on ajoute une résistance R’
71
72
7 Intégrateur/dérivateur
7.2 Intégrateur
7.2 Intégrateur ou Intégrateur inverseur de Miller
7 Intégrateur/dérivateur
Application: On applique un signal d’entrée en créneau, déterminez le signal de
sortie
C
Ve
R
ve
-
+Vcc
+
-Vcc
V
M ax
vs
I (t ) = 1 .Ve (t )
R
dV (t )
Ic (t ) = −C. s
dt
Ic (t ) = I (t )
t
Vs
I ( p ) = 1 .Ve ( p )
R
Transformée
V s (t0 )
Ic ( p ) = −C .p .Vs ( p)
t
Ic ( p) = I ( p)
de Laplace
-V cc
1 .V ( p) = −C .p .V ( p)
s
R e
Transformée inverse
Vs (t) = −1 . Ve (t) dt + C.I.
R.C
Vs ( p) = −1 .Ve ( p)
R.C.p

de Laplace
73
Il faut décharger le condensateur !
74
7 Intégrateur/dérivateur
R’
7.2 Intégrateur
C
Ic
R
ve
I
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
Ce montage fonctionne
en intégrateur aux fréquences élevées (quand le condensateur est actif) et
en amplificateur aux basses fréquences. − R'
R
75
76
ANNEXE
ANNEXE
Amélioration du montage inverseur
par utilisation d’une résistance de compensation
Amélioration du montage inverseur
par utilisation d’une résistance de compensation
R2
Généralement, pour les études théoriques, on considère les amplificateurs
opérationnels comme idéaux.
(I+
En réalité, il existe des courants de polarisation
et I entrant dans les entrées
inverseuses et non inverseuses.
On considère donc deux sources de courant qui représentent les courants
absorbés par les entrées.
R1
- I-
+15 V
+ I
vs
+
-15 V
R0
Pour déterminer l'influence des trois entrées (Ve, I+, I -), on applique le théorème de
R2
superposition.
Ve seul (I-=0 ;I+=0)
+15 V
v1
ε
- I-
ε
R2
Ie
R1
Ie
ve
-)
R1
-
ε
vs
I+
+
Idéal
+
-15 V
Ve
Vs’
R0
R0
La résistance R0 connectée sur l'entrée non inverseuse permet de réaliser une
compensation de ces courants et donc de les négliger
Vs ′ = −
77
R2
⋅ Ve
R1
78
ANNEXE
ANNEXE
Amélioration du montage inverseur
par utilisation d’une résistance de compensation
Amélioration du montage inverseur
par utilisation d’une résistance de compensation
R2
R1
Ie
- I-
R2
Ie
+15 V
ve
R1
- I-
+15 V
ve
ε
+ I
ε
vs
+
-15 V
vs
+
-15 V
R0
R0
Vs ′ = −
Ve seul (I-=0 ; I+=0)
R2
⋅ Ve
R1
I- seul (Ve=0 ; I+=0)
On veut maintenir la condition : ε=0 et donc V+-V -=0
0V
+
Idéal
Vs’’
I-
Le courant I- ne peut circuler que dans R2
Vs ′ = −
Ip- seul (Ve=0 ;Ip+=0)
Vs" =R2⋅I −
V − =V +
R1
⋅ Vs ′′′ = − R 0 ⋅ Ip +
R1 + R 2
R1
ε
R2
⋅ Ve
R1
Ve seul (I-=0 ;I+=0)
Ip+ seul (Ve=0 ;Ip-=0)
On veut toujours maintenir la condition : ε=0
R2
R0
+ I
Vs /// =−R0⋅ R1+ R2 ⋅I +
R1
Vs" =R2⋅I −
79
R2
R1
ε
I
+
+
Idéal
Vs’’’
R0
I+
80
ANNEXE
Application des amplificateurs
opérationnels au filtrage analogique
Amélioration du montage inverseur
par utilisation d’une résistance de compensation
R2
Ie
R1
- I-
+15 V
ve
ε
+ I
vs
+
-15 V
R0
R2
⋅ Ve
R1
Ve seul (I-=0 ;I+=0)
Vs ′ = −
I- seul (Ve=0 ;I+=0)
Vs" =R2⋅I −
Vs /// =−R0⋅ R1+ R2 ⋅I +
R1
I+ seul (Ve=0 ;I-=0)
Vs = Vs / +Vs // +Vs /// = − R2⋅Ve + R2⋅I − − R1+ R2⋅R0⋅I +
R1
R1
Tension de décalage
Généralement
I+=I-
Pour l’annuler, il faut choisir : R0 =
R1 ⋅ R 2
R1 + R 2
Vd = R2⋅I − − R1+ R2 ⋅R0⋅I +
R1
81
82
Les filtres
Cours d’Electronique, ENI2, Bruno François
84
Décomposition d'un signal en série de Fourier
Un signal périodique se décompose en une série infinie de fonctions
∞
∞
sinusoïdales
(
)
(
x(t ) = X o +  Cn . cos n.ωo .t +  S n . sin n.ωo .t
n =1
∞
(
n =1
x(t ) = X o +  X n . sin n.ωo .t − ϕ n
n =1
)
)
Exemple : La courbe périodique rouge est la somme de 4 premières
sinusoïdes de pulsations différentes et d’amplitudes différentes00
x
1
1
To
To/2
T
t
0
0
-1
-1
T/2
x
ωo =
83
2.π
To
ωο
2.ωo 3.ωo
4.ωο
ω
t
Décomposition d'un signal en série de Fourier
Définition et types de filtres
Définition :
On peut extraire de la courbe rouge la courbe verte (de période T) en
éliminant les trois autres sinusoïdes
La fonction filtrage permet de supprimer des signaux de fréquence non désirée.
Il existe deux types de filtres :
Les filtres passifs :
x
Action du filtrage
1
T
T/2
t
ωο
0
2.ωo 3.ωo
Ils ne sont composés que d’éléments passifs ( résistances, condensateurs, bobines ).
ω
4.ωο
-1
Ve
Vs
Ve
Vs
Les filtres actifs :
Il y a en plus une amplification du signal d’entrée par un élément actif ( AOP,
Transistor ).
1
Ve
T
0
t
T/2
Vs
Ve
Vs
-1
85
Caractérisation d’un filtre
Comportement des impédances en fonction de la fréquence
L’impédance d’une résistance est constante en fonction de la fréquence
Un système linéaire est mathématiquement décrit par sa FONCTION DE
TRANSFERT ou TRANSMITTANCE :
Pour les autres …
Basses Fréquences
Hautes Fréquences
j.L .ω
0
∝
1
j. C .ω
∝
0
86
T( jω ) =
Vs ( jω )
Ve ( jω )
Vs ( jω ) est le signal en sortie du filtre
Ve ( jω ) est le signal à l’entrée du filtre
Qu’ils soient actifs ou passifs, les filtres laissent ou ne laissent pas passer certaines
fréquences.
FILTRE
Ve
Ainsi on distingue 4 sortes de filtres :
Vs
• Les filtres Passe-Bas ( ne laissent passer que les fréquences basses )
• Les filtres Passe-Haut ( ne laissent passer que les fréquences hautes )
• Les filtres Passe-Bande ( ne laissent passer qu’une plage de fréquences )
• Les filtres Coupe-Bande ( ne laissent pas passer une plage de fréquences )
87
88
Représentation par un lieu de Bode
Représentation par un lieu de Bode
1) Il faut normaliser l’expression de la fonction de transfert en faisant
apparaître que des parties réelles unitaires.
2) L’expression logarithmique de la fonction de transfert permet de
transformer les multiplications et divisions en additions et
soustractions.
Pour un signal d’entrée quelconque :
x(s)
y(s)
système
( s + z1 ).( s + z 2 ) . ..( s + z m )
Y( s )
=T( s )= K .
X( s )
( s + p1 ).( s + p2 ) .. . ( s + pn )
Exemple :
Pour un signal d’entrée sinusoidal :
x(jω)
système
y(t)
x(t)
x0
y(jω)
t
jω
jω
+1) .
(
Y ( jω )
c1
c2
ω
ω
= T ( jω ) = K .
jω
jω
X ( jω )
+1) .
(
ωc 3
20 log T ( jω ) =
x0
y0
= 20.log | K | + 20.log |
t
φ
( jω + z1 )( jω + z 2 ) .. .( jω + z m )
Y ( jω )
= T ( jω ) = K .
X ( jω )
( jω + p1 )( jω + p2 ) . . . ( jω + pn )
jω
ωc1
+ 1 | + 20.log |
jω
ωc 2
ωc 4
| − 20.log |
jω
ωc 3
+ 1 | − 20.log |
jω
ωc 4
|
En général, quatre termes génériques sont à distinguer :
20.log|K| 20.log| jω | - 20.log | jω | 20.log| jω +1|
ωc
ωc
ωc
89
90
Représentation par un lieu de Bode
Représentation d’un lieu de Bode
Feuille de papier semilogarithmique pour le tracé de lieu de Bode
Le terme 20.log|K|, ne dépend pas de la fréquence,
il est constant quel que soit la pulsation
20.log|K|
20
ω
0
-20
ω (rad/sec)
91
ωc
10
ωc
10.ωc
92
Représentation d’un lieu de Bode
20.log|
jω
| = 0dB
ωc
-> infini
-> -infini
= +20dB
= -20dB
si
si
si
si
si
ω = ωc
ω -> infini
ω -> 0
ω= 10.ωc
ω= ωc/10
Représentation d’un lieu de Bode
si ω = ωc
20.log| 1 | = 0dB
jω
-> infini si ω -> 0
ωc
-> -infini si ω -> infini
= -20db si ω= 10.ωc
-20db/dec
= +20dB si ω= ωc/10
+20db/dec
20
20
ω
0
-20
-20
ωc
ωc
ωc
10.ωc
10
ωc
10.ωc
10
93
Représentation d’un lieu de Bode
20.log|
ω
0
94
Représentation d’un lieu de Bode
jω
+1| = 0dB
ωc
si ω -> 0
-> infini si ω -> infini
= 3dB
si ω = ωc
≈ +20dB si ω= 10.ωc
= 0dB
si ω -> 0
-> -infini si ω -> +infini
= -3dB
si ω = ωc
≈ - 20dB si ω= 10.ωc
20.log| 1 |
jω
+1
ωc
20
20
ω
0
0
-20
-20
ωc
10
ωc
ωc
10.ωc
95
10
ωc
10.ωc
96
Représentation d’un lieu de Bode
T ( jω ) = 25000 .
jω + 10
( jω + 5) . ( jω + 500)
97
Exemple : filtre passif du 1er ordre
98
Exemple : filtre passif du 1er ordre
Traçé du lieu de Bode
Le calcul de la TRANSMITTANCE sera faite sur un filtre RC de type Passe-Bas.
Le gain s’exprime en décibel :
G ( dB ) = 20 * log Vs(jω)
Ve (jω)
( Log du module de T( jω ) )
Quelques valeurs :
G ( dB ) = 20 * log
Vs( jω ) =
1
√ ( 1 + R12 C12 ω2 ) )
F = 10Hz  G = 0 dB
F = 160Hz  G = - 3dB
F = 1000Hz  G = - 38dB
99
100
Courbe de gain d’un filtre passif du 1er ordre
Quelques remarques et définitions
La courbe de gain du filtre RC
 La fréquence pour laquelle la tension de sortie est atténuée de √2 par rapport à sa
valeur maximale s’appelle :
0
la FREQUENCE de COUPURE
Le gain est nul ( Vs = Ve )
 C’est aussi la fréquence pour laquelle le gain est atténué de -3 dB par rapport au
gain maximum ( ici 0 dB )
Le gain commence à chuter
( Vs < Ve )
-20 dB
Vs(jωc) = Vs_max
Ve(jωc)
10 Hz
100 Hz
C’est un filtre passe bas
√2
20 * log Vs(jωc) = 20 * log Vs_max
Le gain devient faible
( Vs << Ve )
-40 dB
Ve(jω)
1
Ve (jωc)
1 kHz
-20
* log √2
Ve
G(jωc) = Gmax - 3 dB
101
102
Quelques remarques et définitions
Fréquence de coupure d’un filtre passif du 1er ordre
Gmax
 Le filtre étant d’ORDRE 1, le gain diminue de 20 dB / décade après la fréquence
de coupure
0
-3 dB
c’est-à-dire chaque fois que l’on multipliera par 10 la fréquence,
le gain baissera de 20 dB.
-20 dB
Notre exemple :
A f = 1 kHz le gain est de – 40 dB environ.
A f = 10 kHz le gain sera de –60 dB environ
A f = 100 kHz le gain sera de –80 dB environ …
-40 dB
10 Hz
100 Hz fc
1 kHz
Avant la fréquence de coupure, on retrouve en sortie la quasi totalité du signal
 Après cette fréquence, le signal de sortie est fortement atténué
103
104
Déphasage d’un filtre passif du 1er ordre
Déphasage d’un filtre passif du 1er ordre
Il apparaît aussi un déphasage entre la tension d’entrée et la tension de sortie.
Chronogrammes ( déphasage )
déphasage en radians
0
La fréquence du signal d’entrée est de 10Hz
et on observe un déphasage pratiquement nul.
L’amplitude du signal de sortie est quasiment
la même qu’en entrée.
-0,5
-1
La fréquence du signal d’entrée est de
160Hz et on observe un déphasage de 45°.
Nous sommes à la fréquence de coupure !
-1,5
100 Hz
10 Hz
1 kHz
Vs max = Ve max / √ 2
Celui-ci est nul une décade avant la fréquence de coupure,
Il est de 45° à la fréquence de coupure et
de 90° une décade de fréquence après la fréquence de coupure.
G ( dB) = -3 dB
105
106
Les filtres actifs du 1er ordre
Intérêt des filtres actifs
Ils sont constitués de résistances, de condensateurs et d’amplificateurs
opérationnels
20.Log(A)
Les filtres passe bas
T ( j.ω )
-3 dB
1
= A⋅
1 + j. ω
ωc
Les avantages :
_ une impédance d’entrée élevée
Les filtres passe haut
_ une faible impédance de sortie
T
_ un gain en tension > 1
( j.ω )
Limites :
j. ω
ωc
= A ⋅
1 + j. ω
ωc
ω = ωc
ω -> 0
ω -> infini
ω= 10.ωc
ω= ωc/10
Remarque :
Idéalement, il faudrait Ze= infini et Zs=0
Voir cours sur l’adaptation d’impédance (montage suiveur)
107
fc
f
fc
f
20.Log(A)
-3 dB
108
Les filtres actifs du 1er ordre
Filtre actif passe bas du 1er ordre
R’
Les filtres passe bande
C
Ic
20.Log(A)
-3 dB
R
I
ve
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
f
fc1
fc2
Vs
R'
1
=−
.
Ve
R 1 + j .ω .R '.C
Vs
Z
= − 2
Ve
Z1
Les filtres coupe bande
A
Détermination de la fréquence de coupure
1
T(j.ω) = R' .
R 1 +ω 2.R' 2.C 2
20.Log(A)
-3 dB
Le module de la transmittance est maximum pour ω=0
f
fc1
fc2
Et donc ωc =
1
R'.C
110
Synthèse des filtres en utilisant des quadripôles
Filtre actif passe haut du 1er ordre
i2_cc
R
R’
T(j.ω) max = R'
R
R' .
1
= R' . 1
R 1 +ω 2.R' 2.C 2 R 2
c
T(j.ωc ) = 1 .T(j.ω) max
2
109
ve
Passe bas
Q2
C
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
j.ω .R .C
1
T ( j . ω ) = Vs = − R .
=−
Ve
j . ω . R '. C +1
R '+ 1
j.ω .C
Détermination de la fréquence de coupure
ω.R.C
T(j.ω) =
= R.
R'
1 +ω 2.R' 2.C 2
T(j.ωc ) = 1 .T(j.ω) max
2
R .
R'
ε
Z th1
T(j.ω) max = R
R'
1
R'.C
i1_cc i2_cc
Eth1
-
+Vcc
+
-Vcc
vs
Z th2
Eth2
ε
1
= R .1
R' 2
1
+
1
ωc2.R' 2.C 2
Et donc ωc =
i1_cc
Le théorème de Thévenin permet de considérer chaque quadripôle par une
mise en série d’un générateur de tension et d’une impédance
1
1
+1
ω 2.R' 2.C 2
Le module de la transmittance est maximum pour ω=∝
Q1
ve
Eth1 dépend de Ve, donc Eth1 (ve )
111
Eth 2 dépend de Vs, donc Eth 2 (vs )
112
Synthèse des filtres en utilisant des quadripôles
Synthèse des filtres en utilisant des quadripôles
i 2_cc
La tension aux bornes de chaque quadripôle vaut ε = 0
i1 _ cc ( jω ) =
Eth1 (ve )
est le courant de court circuit de Q1, d’où
Z th1
i1_ cc ( jω ) = α ( jω ).ve ( jω )
α est une admittance
Q1
ve
α (j ω)
De même
i2 _ cc ( jω ) =
Eth 2 (vse ) est le courant de court circuit de Q2, d’où
Z th 2
i ( jω ) = β ( jω ).v
2 _ cc
Z th1
i1_cc i2_cc
s
( jω )
i 1_cc
ε
-
+V cc
+
-Vcc
vs
i1_ cc = α .Ve
i2 _ cc = β .Vs
Z th2
Eth1
i1_cc = −i2_cc
Eth2
ε
α
Vs( jω )
=−
Ve( jω )
β
α ( jω )
v s ( jω )
=−
ve ( jω )
β ( jω )
i1_cc = −i2_cc
Q2
β( j ω)
113
114
Synthèse des filtres en utilisant des quadripôles
i 2_cc
Exemple d’application
Q2
C2
β( j ω)
Q1
ve
i 1_cc
α (j ω)
ε
Application :
ie
R1
M
ve
ε
+V cc
+
-Vcc
-
+15 V
+
-15 V
vs
R
R
i
vs
C1
R
α
Vs
=−
β
Ve
R2
is
-
Q2
α=
i1_ cc
Ve
Q1
R
ve
=
1
R1
β=
1
Vs
R2
R
=− 1 =−
1
Ve
R1
R2
i2 _ cc
Vs
+15 V
2
C1
=
1
R2
115
3
+
7
6
vs
4
-15 V
116
117
118
Filtre normalisé du second ordre
Filtre passe bas :
To ( j .ω ) =
A
1 + j .2.ζ
Filtre passe haut :
T ( j .ω ) = −
2
ω ω
− 2
ωn ωn
ω2
.T ( j .ω )
ω n2 o
Filtre passe bande : T ( jω ) = j .2.ζ ω .To ( jω )
ωn
Filtre coupe bande : T ( j .ω ) = (1 −
ζ est le coefficient d’amortissement
119
ω2
) .To ( j .ω )
ω n2
ζ= 1
Butterworth
2
ζ < 1 Chebyschev
2
1
Bessel
ζ>
2
120
Filtre normalisé du second ordre
Déphasage (rad)
10
Chebyschev
1,2
0
1
1
0,8
ω
ωn
ve
Bessel
-20
0,4
ω
ωn
Bessel
2
4
6
8
10
R
R
1
2
A
C
vs
2
-30
Passe-bas du 2ème ordre
0
0
1
10
-10
0,6
0,2
Cellules prédéfinies: filtre de Sallen-Key (1965)
C
Gain (dB)
Chebyschev
1,4
filtrage
-40
A
vs =
ve R C R C ( jω)2 + [C (R + R ) + R C (1− A)]( jω) +1
1 1 2 2
2 1
2
1 1
Butterworth
Bessel
Chebyschev
stabilité
A
(R1 + R 2 )C2 + 1
R1C1
Les cellules de Sallen-Key permettent de réaliser tous les filtres polynomiaux
121
filtrage
Cellules prédéfinies: cellule de Rauch (2ème ordre)
R
2
C
ve
R
R
1
3
2
+
C
vs
1
vs
=
ve
−
R2
R1
 1
1
1 
 ( jω ) + 1
+
R2 R3C1C 2 ( jω ) 2 + C 2 R2 R3  +
R
R
R
3 
2
 1
Y4
Généralisation:
Toujours stable
Y5
Y1
ve
Y2
Y3
+
vs
vs
ve
=
− Y1Y3
Y3Y4 + Y5 (Y1 + Y2 + Y3 + Y4 )
123
122