OPM3001-DocDeCours (1)

OPM3001 - Techniques quantitatives de gestion
Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY
TELECOM ÉCOLE DE MANAGEMENT - 1ÈRE ANNÉE
Décembre 2009

ii Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

Table des matières
Avant propos vii
I Théorie des graphes 1
1 Graphes : définitions et généralités 3
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Graphes non orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Graphes orientés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Matrice d’adjacence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Les problèmes d’ordonnancement 11
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Le diagramme de GANTT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 La méthode potentiel-tâches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Recherche du plus long chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3 Les Arbres 27
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3 L’algorithme de Kruskal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 L’algorithme de Prim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Recherche du plus court chemin 37
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.3 Algorithme de Ford-Moore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5 Flot Maximal 45
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 Description du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.3 Exemple de problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY iii

5.4 L’algorithme de Ford-Fulkerson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.5 Exemple de flot max . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.6 Flot maximal à coût minimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.7 L’algorithme de Busacker et Gowen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.8 Exemple flot max coût min . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.9 Variantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.10 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
II Programmation linéaire 55
6 La programmation linéaire 57
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.2 La forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7 La méthode géométrique 61
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.2 La méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
7.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8 Le simplexe 65
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.2 La forme standard et son tableau associé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
8.3 L’algorithme du simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.4 Interprétation du tableau final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
8.5 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.6 Plus loin au sujet des valeurs marginales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.7 Unités et simplifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
8.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9 Le problème dual 77
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.2 Création du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.3 Exemple de résolution par le problème dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
10 Simplexe : le cas général 81
10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.3 La forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
10.4 La méthode par l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
10.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
iv Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY

11 Programmation linéaire en nombres entiers 87
11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
11.3 La méthode par l’exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
11.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
III Modélisation 95
12 Modélisation 97
12.1 Chemin de la question à la réponse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
12.2 Les erreurs à ne pas faire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
12.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
IV Appendix 105
A Corrections des exercices 107
A.1 Graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.2 Ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.3 Arbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
A.4 Plus court chemin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
A.5 Flot maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
A.6 Méthode géométrique et Simplexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
A.7 Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
A.8 Simplexe : le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.9 Programmation linéaire en nombres entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A.10 Modélisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
Eric LALLET, Jean-Luc RAFFY v