CoursENPC

Analyse et Commande des
Syst`emes Non Lin´eaires
J. L´ evine
Centre Automatique et Syst`emes
´ecole des Mines de Paris
35 rue Saint–Honor´e
77305 Fontainebleau Cedex
E-mail : [email protected]
Mars 2004

2

Table des mati`eres
1 Introduction, exemple 7
1.1 Qu’est-ce qu’un syst`eme non lin´eaire command´e ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Un exemple introductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Orientations......................................... 10
2 Introduction `a la g´eom´etrie diff´erentielle 13
2.1 Vari´et´e, diff´eomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Espace tangent, champ de vecteurs, d´eriv´ee de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 CrochetdeLie ....................................... 19
2.4 Distribution de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Int´egrabilit´e......................................... 22
2.6 ´ Equations aux d´eriv´ees partielles du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Formes diff´erentielles, dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.8 Syst`emes de Pfaff, int´egrabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.9 D´eriv´ee de Lie des 1-formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Introduction aux syst`emes dynamiques 33
3.1 Brefs rappels sur les flots, les orbites et leur stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.1.1 Flot, portrait de phases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Point d’´equilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.3 Orbite p´eriodique, application de Poincar´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2 Stabilit´e des points d’´equilibre et des orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2.1 Attracteur...................................... 43
3.2.2 Stabilit´e au sens de Lyapounov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 Remarques sur la stabilit´e des syst`emes instationnaires . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.4 Fonctions de Lyapounov et de Chetaev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.5 Th´eor`eme de Hartman-Grobman, vari´et´e centre . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4 Syst`emes command´es, commandabilit´e 57
4.1 Commandabilit´e des syst`emes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.1 Le crit`ere de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Forme canonique de commandabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Commandabilit´e des syst`emes non lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.1 Commandabilit´e au premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3

4TABLE DES MATI ` ERES
4.2.2 Commandabilit´e locale et crochets de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5 Analyse asymptotique, ´echelles de temps 71
5.1 Persistance de la vari´et´e invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.2 Robustesse de la stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.3 Application `a la mod´elisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6 Commande hi´erarchis´ee 79
6.1 Principe........................................... 79
6.2 Ajout d’int´egrateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3 Applications......................................... 82
7 Jets infinis, ´equivalence de Lie-B¨acklund 85
7.1 Exemple introductif de grue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.2 Description des trajectoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.3 Jets infinis, changements de coordonn´ees, ´equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3.1 Jets infinis, coordonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3.2 Vari´et´es produits, topologie de Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3.3 Champs de vecteurs, flot, syst`eme command´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3.4 Equivalence de Lie-B¨acklund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8 Syst`emes plats 105
8.1 Syst`emes plats, sortie plate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
8.2 Exemples ..........................................106
8.2.1 Syst`eme masses-ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
8.2.2 Commande de robot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.2.3 Pendule .......................................108
8.2.4 V´ehicule non holonome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.2.5 V´ehicule `a remorques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
8.3 Platitude et commandabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.4 Platitude et lin´earisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8.4.1 Syst`eme masses-ressort (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4.2 Commande de robot (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.3 Pendule (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
8.4.4 V´ehicule non holonome (suite) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.5 Caract´erisation des sorties plates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.5.1 L’approche par matrices polynˆomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.5.2 Sorties plates des syst`emes lin´eaires commandables . . . . . . . . . . . . . . . 123
8.5.3 Le calcul pratique de la d´ecomposition de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5.4 Exemples ......................................125
9 Platitude et planification de trajectoires 129
9.1 Planification sans contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
9.1.1 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.1.2 Trajectoires arrˆet-arrˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

TABLE DES MATI ` ERES 5
9.2 Planification sous contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.2.1 Contraintes g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
9.2.2 Contraintes quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.3 Application `a la commande pr´edictive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10 Platitude et suivi de trajectoires 139
10.1 Position du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.1.1 Pendule (suite et fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.1.2 V´ehicule non holonome (suite et fin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
10.2 Commande de l’horloge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142