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MONTIGNY Eric
TD 4
Travaux Dirigés
MONTIGNY Eric
Matière : Electromagnétisme
Date : Novembre 2005.
Exercice 1 : Utilisation de l’abaque de Smith
A l’extrémité d’une ligne sans pertes, l’impédance caractéristique Z0 = 100Ω est placée une charge d’impédance :
ZT = (30 + j55)Ω. La fréquence de travail est f = 1000Mhz et la vitesse de phase est VΦ=2.108m/s.
a)
Déterminer le coefficient de réflexion Τt (module et argument) sur la charge :
Pour utiliser un abaque de Smith, il faut procéder par étapes :
ETAPE1 : Détermination de l’impédance réduite
Impédance réduite :
Z REDUITE =
Z CHARGE
Z CARACTERISTIQUE
On utilise une impédance réduite, car cela permet d’avoir un seul abaque (standard). Dans le cas contraire, il faudrait avoir
autant d’abaques qu’il y a de valeurs d’impédances…
Dans notre cas, on a :
Z CHARGE = Z T = (30 + j 55)Ω 
Z CHARGE
Z
30 + j 55)
= 0 ⇒ Z REDUITE =
= 0,3 + j 0,55
Z REDUITE =
Z CARACTERISTIQUE = Z 0 = 50Ω
Z CARACTERISTIQUE Z T
100
ETAPE 2 : Placement du point sur l’abaque de Smith
Il va falloir placer la partie résistive, et la partie réactive de l’impédance, et l’intersection des deux courbes nous donnera
l’impédance caractéristique. Voici comment fonctionne l’abaque de Smith :
Pour la partie résistive :
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Il suffit de lire sur l’axe « composante résistive », la valeur de la partie résistive de l’impédance réduite :
Comme on peut le voir ci-dessus, on peut aller de 0Ω (non représenté ici), à 50Ω, mais il ne faut pas oublier qu’il s’agit de la
partie résistive de l’impédance réduite !
Pour la partie réactive :
Pour la partie réactive, la valeur peut-être positive (quadrant du haut), ou négative (quadrant du bas) :
Partie positive
Partie négative
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Avec toutes ces informations, on peut placer notre impédance réduite : Z REDUITE =
30 + j 55)
= 0,3 + j 0,55 .
50
Ensuite nous allons déduire le coefficient de réflexion, et pour ce faire il faut procéder en deux étapes.
Etape A : On relie le point d’impédance Z, au centre 0 de l’abaque :
Etape B : On reporte la longueur de la droite que l’on vient de tracer, sur l’échelle placée en bas de l’abaque :
On a ici un coefficient de réflexion, qui vaut (en module) : 0,6
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Venons-en maintenant à la phase. C’est très simple (triviale, pourrions-nous dire !), car c’est exactement comme le cercle
trigonométrique (en plus, les valeurs d’angles sont indiquées, et qui plus est en degrés !) :
Avec ces informations, on a donc :
Γ = 0,6 
j199°
Γ = 0,6.e
θ = 119°
b) Déterminer l’admittance de la charge :
1
1
Par définition YT =
donc YREDUITE =
, et on a :
ZT
Z REDUITE
1+ Γ
1− Γ
ZR =
, donc YR =
, ces grandeurs sont déphasés de 180 (ou de π).
1− Γ
1+ Γ
Pour le trouver sur l’abaque de Smith, il faudra faire pivoter de 180° (dans le sens trigonométrique), le point que nous avions
trouvé pour l’impédance. Ensuite, il faudra lire les coordonnées du point ainsi obtenu :
On trouve Y = 0,8 + j(-1,4), mais il s’agit d’une admittance normalisée.
Pour retrouver l’admittance ‘normale’, on multiplie par la valeur de la normalisation (ici 1/100Ω), ce qui nous permet de
trouver l’admittance Y = 0,00775 –j0,014
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c) Déterminer à l’aide de l’abaque, la valeur de l’impédance réduite ramenée à 12 cm de la charge :
Pour une ligne sans pertes, on a Γ = Γt .e j.2.β .l , avec ‘l’ qui représente la distance à laquelle on se trouve.
Pour pouvoir utiliser l’abaque de Smith, il faut savoir combien de fractions de longueur d’onde on s’est déplacé :
2.π

β = λ
v
v
v
w
2.π
⇔
=
⇔ λ = Φ .2.π ⇔ λ = Φ .2.π ⇔ Φ

vΦ
w
f
λ
2.π . f
β = w

vΦ
Faisons l’application numérique :
λ=
λ=
vΦ
f
2.10 8
= 0,2m = 20cm
10 9
La longueur d’onde vaut 20cm, et notre déplacement est de 12cm, ce qui correspond à une fraction de 12/20 = 0,6.λ
« Lorsque l’on fait un tour sur l’abaque de Smith, cela revient à se déplacer d’une demi-longueur d’onde »
Donc en faisant un tour, on va se déplacer de 0,5λ, auquel il faudra rajouter 0,1λ, pour arriver aux 0,6λ.
Au point que nous allons trouver par cette méthode, on aura l’impédance réduite :
ZREDUITE = 1,05+j1,8
Soit Z = 105 +j180
d) Même question pour Z0 = 50Ω :
Γ = 0,6
Coefficient de réflexion :
θ = 72°
Admittance :
y REDUITE = 0,35 + j (−0,7)
y = 0,0075 − j (0,014)
A 12 cm de la charge : z REDUITE = 4,0 + j 0,6
Exercice 2 : Adaptation à l’aide de lignes quart-d’onde
1. Donner la relation qui lie l’impédance réduite ramenée à une distance λ/4 noté ZR(λ/4) à l’impédance terminale ZT
L’expression qui lie l’impédance ZL en bout de ligne, à l’impédance ramenée ZR à une distance l est :
 Z + j.Z C . tan( β .l ) 
.Z C
Z R (−l ) =  L

 Z C + j.Z L . tan( β .l ) 
2.π
Pour une ligne quart d’onde, on a l = λ/4, et on a β =
, donc :
λ
2.π 
2.π λ π

. =
λ β .l =
λ 4 2
l = λ / 4 
π 
Et on sait (généralement on l’oublie !), que tan   = +∞ , donc :
2
Z ²
λ Z 
Z R ( ) =  C .Z C = C
4
ZL
 ZL 
β=
On retiendra donc que pour une ligne quart d’onde :
Z RAMENEE ( λ / 4) =
2
Z CARACTERIS
TIQUE
Z CHARGE
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2.
On étudie le dispositif d’adaptation décrit sur la figure donnée ci-dessous. Quelle relation doit on avoir entre Z1, Z2, ZT
et Z0 pour que la charge ZT soit adaptée à la ligne d’impédance caractéristique Z0 ?
ZT
Z1
λ/4
Z2
Z0
λ/4
On donne ZT = 200Ω, Z0 = 50Ω. On choisira Z1 et Z2 de façon à avoir ZT > Z1 > Z2 > Z0
Plaçons-nous dans un premier temps, à une distance λ/4 de la charge, et intéressons-nous à l’impédance que nous voyons
depuis ce point :
ZT
Z1
λ/4
Z2
Z0
λ/4
ZA
On applique la formule vue précédemment :
ZA =
2
Z CARACTERIS
TIQUE
Z CHARGE
=
Z1 ²
ZT
Dans un deuxième temps, il faut se placer à nouveau à λ/4 plus loin, et déterminer quelle est l’impédance vue en ce point :
ZB
ZT
Z1
λ/4
Z2
Z0
λ/4
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On applique toujours est encore la même formule :
2
Z CARACTERIS
Z ²
Z2 ²
TIQUE
= 2 =
ZB =
Z CHARGE
ZA
 Z1 ² 


 ZT 
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