Telechargé par David Dibi

Chapitre 12345

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COURS
D’ELECTROMAGNETISME
Prof. Olivier OBROU
Université FHB Cocody
ICTP Research Associate
Copyright c 2018 Olivier OBROU
Reproduction interdite sans l’autorisation de l’auteur
Table des Matières
1
2
Outils mathématiques
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Systèmes de coordonnées . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Coordonnées Cartésiennes (~ex , ~ey ,~ez ) . . . . .
1.2.2 Coordonnées cylindriques (~eρ , ~eϕ , ~ez ) . . . .
1.2.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . .
1.3 Flux et Circulation d’un champ de vecteur . . . . . .
1.3.1 Champ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Champ vectoriel . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Ligne de champ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Tube de champ . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Champ scalaire et champ vectoriel particulier
1.3.6 Orientation d’une surface . . . . . . . . . . .
1.3.7 Flux d’un champ de vecteur . . . . . . . . .
1.3.8 Formule d’Ostrogradsky . . . . . . . . . . .
1.4 Circulation d’un champ de vecteur . . . . . . . . . .
1.4.1 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Opérateurs différentielles . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Le gradient d’une fonction scalaire . . . . . .
1.5.2 Divergence d’un champ de vecteur . . . . . .
1.5.3 Exercice d’application . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Rotationel d’un champ de vecteur . . . . . .
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17
Le champ magnétique - propriétés du champ magnétique
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Sources du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Action magnétique entre deux aimants . . . . . . . . . . .
2.2.2 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Expression du Champ, loi de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Champ créé par une charge en mouvement . . . . . . . . .
2.3.2 Champ créé par un ensemble de charges discrètes . . . . . .
2.3.3 Champ créé par une distribution continue de charges . . . .
2.3.4 Champ créé par un circuit électrique : Loi de Biot et Savart .
2.3.5 Formule de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Orientation du vecteur champ magnétique . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Unité de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4
TABLE DES MATIÈRES
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
3
Propriété de symétrie du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.1 Plan de symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6.2 Plan d’antisymétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Invariance des sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Invariance des sources par translation le long d’un axe . . . . .
2.7.2 Invariance des sources par rotation autour d’un axe . . . . . . .
Champs magnétiques créés par des circuits filiformes de forme simple .
2.8.1 Champ magnétique créé par un fil rectiligne de longueur infinie
2.8.2 Champ magnétique créé par une spire circulaire . . . . . . . . .
2.8.3 Solénoïde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriétés du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Circulation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Théorème d’Ampère (forme intégrale) . . . . . . . . . . . . . .
2.9.3 Théorème d’Ampère (forme locale) . . . . . . . . . . . . . . .
Flux du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.1 Divergence du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10.2 Flux du champ magnétique à travers une surface fermée . . . .
Potentiel vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.2 Invariance de Jauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11.3 Equation de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potentiel vecteur créé par une distribution de courant . . . . . . . . . .
2.12.1 Distribution surfacique/linéique de courant . . . . . . . . . . .
Equation de Passage du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . .
2.13.1 Continuité de la composante normale du champ . . . . . . . . .
2.13.2 Discontinuité de la composante tangentielle du champ . . . . .
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Action du magnétique - Energie magnétique
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Conducteur dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Force élémentaire sur un élément de conducteur placé dans un champ magnétique
3.2.2 Force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Orientation de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Différences entre la force de Laplace et la force de Lorentz . . . . . . . . . .
3.2.5 Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique uniforme . . . .
3.3 Effet Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Champ et Tension de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Coefficient de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Loi des actions électrodynamiques d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Définition de l’unité ’Ampère’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Travail électromoteur et travail des forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Travail des forces de Laplace en fonction du flux - Flux coupé . . . . . . . .
3.5.2 Expression de la force de Laplace en fonction du flux - Cas d’un mouvement
de translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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46
TABLE DES MATIÈRES
4
5
Induction électromagnétique
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Approche expérimentale . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Interprétation et enoncé de la loi de Farady . .
4.2.3 Relation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . .
4.2.4 Exemple de calcul de la force électromotrice .
4.2.5 Potentiel Vecteur et Potentiel Scalaire . . . . .
4.3 Auto-induction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Loi de Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Circuit mobile dans un champ magnétique . . . . . . .
4.4.1 Expression générale de la force électromotrice
4.4.2 Cas particuliers d’application de fem générale .
5
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Inductances mutuelles -Inductances propres des circuits électriques
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Inductance mutuelle de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Inductance mutuelle de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Inductance propre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Expression de l’induction propre d’un circuit . . . . . . .
5.5 Inductance d’un ensemble de deux circuits couplés . . . . . . . .
5.5.1 Matrice inductance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Inductance équivalente à deux inductances en série . . . .
5.6 Transformateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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60
Chapter 1
Outils mathématiques
1.1
Introduction
Pour préciser l’écriture des lois de l’électromagnétisme, et plus généralement celles de la physique il
est utile de connaître les expressions des éléments différentielles,
−r ,
• de longueurs d →
• de surface dS
• de volume dV dans les principaux système de coordonnées.
L’on peut représenter la position d’un point dans l’espace en utilisant différents systèmes de coordonnées. Ce sont les conditions particulières du problème à traiter qui permettent de choisir celui qui sera
occasionnellement le plus adapté. Par exemple, la symétrie de distribution, l’expression du champ etc
...
1.2
1.2.1
Systèmes de coordonnées
Coordonnées Cartésiennes (~ex , ~ey ,~ez )
−−→
−r a pour expression
Un déplacement élémentaire MM 0 = d →
−r = dx→
−
−
−
d→
e x + dy→
e y + dz→
ez
(1.1)
Les trois éléments de surfaces sont :
−
−
dSz →
e z = dxdy→
ez
→
−
→
−
dSx e x = dydz e x
−
−
dSy →
e y = dzdx→
ey
(1.2)
(1.3)
(1.4)
dV = dxdydz
(1.5)
L’élément de volume s’écrit
6
CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES
7
Figure 1.1:
1.2.2
Coordonnées cylindriques (~eρ , ~eϕ , ~ez )
Un point M dans la base est repéré en coordonné cylindrique par ρ, ϕ et z où ρ est la distance OP
−→
(projeté de M sur le plan xOy) et ϕ, l’angle que fait OP avec l’axe (Ox).
x = ρ cos ϕ
et
y = ρ sin ϕ
−
−
−
Les vecteur (→
e ρ, →
e ϕ, →
e z ) forment au point M une base orthonormée locale de l’espace Euclidien
que l’on utilise dans l’étude des problèmes à symétrie cylindrique.
Figure 1.2: Repère cylindrique
Dans cette base, le déplacement élémentaire s’écrit comme suit
8
1.2. SYSTÈMES DE COORDONNÉES
−→
−r = −
−
−
−
d→
MM 0 = dρ →
e ρ + ρdϕ →
e ϕ + dz→
ez
(1.6)
Les trois éléments de surfaces sont :
−
−
e z = ρdρdϕ →
ez
dSz →
→
−
→
−
dSρ e ρ = ρdϕdz e ρ
−
−
dSϕ →
e ϕ = dρdz→
eϕ
(1.7)
(1.8)
(1.9)
dϑ = ρdρdϕdz
(1.10)
L’élément de volume s’ecrit
1.2.3
Coordonnées sphériques
Un point M dans la base est repéré par ses coordonnées sphériques par r , θ et ϕ où r est la norme du
−−→
−−→
vecteur OM et θ l’angle que fait OM avec l’axe (Oz)
x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ
x = r cos θ
Dans cette base le déplacement élémentaire s’écrit comme suit
Figure 1.3: Repère sphérique
−→
−r = −
−
−
−
d→
MM 0 = dr→
e r + rdθ →
e θ + r sin θ dϕ →
eϕ
(1.11)
CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES
9
Les trois élments de surfaces sont :
−
−
dSθ →
e θ = r sin θ dϕ × dr→
eθ
→
−
→
−
dSr e r = r sin θ dϕ × rdθ e r
−
−
e ϕ = rdθ × dr→
eϕ
dSϕ →
(1.12)
(1.13)
(1.14)
dϑ = r sin θ dϕ × rdθ × dr
(1.15)
L’élément de volume dϑ s’écrit
Les vecteurs (~er , ~eθ et ~eϕ ) forment au point M une base orthonormée locale de l’espace Euclidien que
l’on utilise dans l’étude des problèmes à symétrie sphérique.
1.3
1.3.1
Flux et Circulation d’un champ de vecteur
Champ scalaire
A tout point M(q1 , q2 , q3 ) de l’espace, on peut associer une grandeur locale scalaire f (q1 , q2 , q3 ), on
défini une fonction à valeur scalaire
f (M) = f (q1 , q2 , q3 )
L’ensemble des valeurs prises par f (M) en tout point de l’espace constitue un champ scalaire.
1.3.2
Champ vectoriel
→
−
A tout point M(q1 , q2 , q3 ) de l’espace, on peut associer une grandeur locale vectorielle F (q1 , q2 , q3 ).
On défini une fonction de point à valeur vectorielle
→
−
→
−
F (M) = F (q1 , q2 , q3 )
(1.16)
→
−
L’ensemble des valeurs prises par F (M) en chaque point de l’espace constitue un champ vectoriel.
Comme le champ scalaire, le champ vectoriel peut être à la fois fonction de variables d’espace et du
temps.
1.3.3
Ligne de champ
→
−
Une ligne de champ associée au champ vectoriel F (M), est une courbe tangente en chaque point M
→
−
→
−
au champ vectoriel F (M). Elle est orientée dans le même sens que le champ vectoriel. Si dl (M) est
un déplacement élémentaire autour du point M de la ligne de champ on a
→
−
→
−
→
−
F (M) ∧ dl (M) = 0
(1.17)
10
1.3. FLUX ET CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEUR
Figure 1.4: Ligne de champ
Figure 1.5: Tube de champ
1.3.4
Tube de champ
On appelle tube de champ, la surface déterminée par l’ensemble des lignes de champ s’appuyant sur
une couvre fermée.
1.3.5
Champ scalaire et champ vectoriel particulier
Il arrive qu’un champ scalaire ou vectoriel soit indépendant des variables spatiales ou temporelles.
Lorsque le champ est indépendant de la coordonnée temporelle t, on dit qu’il est stationnaire.
Lorsque le champ est indépendant des coordonnées spatiales (q1 , q2 , q3 ) on dit qu’il est uniforme.
→
−
Les lignes de champ sont dans ce cas des droites parallèles. En tout point M, les vecteurs F (M) ont le
même sens et la même norme. La figure 1.6 est une illustration d’un champ vectoriel uniforme entre
deux instants t1 (a) et t2 (b)
Lorsque qu’un champ scalaire ou vectoriel est à la fois uniforme et stationnaire, on dit qu’il est
Figure 1.6: Champ vectoriel uniforme
constant. La figure 1.7 en est une illustration ( instant t1 (a) et instant t2 (b))
Figure 1.7: Champ vectoriel uniforme
CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES
1.3.6
Orientation d’une surface
1.3.6.1
Surface ouverte
11
Soit une surface ouverte S dont l’unique ouverture est délimitée par un contour fermé C (figure 1.8)
. On dit alors que S s’appuie sur C . Orienter la surface S consiste à définir en tout point M ∈ S un
−
vecteur unitaire →
n orthogonal à S dont l’orientation est déterminée comme suit.
Figure 1.8: Surface ouverte
• On choisit sur C un sens positif qui est en général imposé par des raisons d’ordre physique.
• Le sens de progression du tire-bouchon de Maxwell tournant dans le sens positif choisi sur C
permet de distinguer la face “entrante” ou négative (sud) et la face “sortante” ou positive (nord)
de S
−
Le vecteur unitaire →
n normal à S en M est orienté de la face sud vers la face nord. En considérant
la surface élémentaire d’aire dS autour du point M, on définit le vecteur surface élémentaire par la
relation
→
−
−
d S = dS→
n
1.3.6.2
Surface fermée
−
Le vecteur unitaire →
n normal en tout point M appartenant à la surface fermée (S) est orienté par
convention positivement de l’intérieur (négative) vers l’extérieur (positive).
Une surface fermée S délimite un volume ϑ alors qu’un contour délimite une surface.
Figure 1.9: Surface fermée
12
1.3.7
1.4. CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEUR
Flux d’un champ de vecteur
Considérons une surface quelconque (S) (qui peut être soit fermée ou ouverte) et un champ de vecteur
→
−
→
−
F . On appelle flux de F à travers S l’intégrale
Figure 1.10: Surface fermée
−
→
− →
FdS
ZZ
Φ=
(1.18)
S
Lorsque la surface S est fermée, le flux s’écrit alors
−
→
− →
FdS
I I
Φ=
(1.19)
S
Si le flux à travers une surface fermée quelconque est nul on dit que le champ vectoriel est à flux
concervatif. Exemple : le champ magnétique
1.3.8
Formule d’Ostrogradsky
→
−
Le flux d’un champ de vecteur F à travers une surface fermée S est lié à l’intégrale de sa divergence
dans le volume ϑ délimité par S grace à la relation ci-après
Z I
→
− →
F ·−
n dS =
S
1.4
ZZZ
→
−
div F dϑ
(1.20)
ϑ
Circulation d’un champ de vecteur
→
−
La circulation d’un champ de vecteur F sur le contour AB est donnée par la relation
Z
C=
→
− →
F d −r
(1.21)
AB
1.4.1
Formule de Stokes
→
−
La circulation d’un champ de vecteur F le long d’une courbe fermée C est l’intégrale
Z
C
→
− →
F · d −r
(1.22)
CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES
13
Figure 1.11: Contour AB
→
−
La formule de Stokes est la relation qui relie la circulation du vecteur F le long d’une courbe fermée
C au flux de son rotationel à travers une surface ouverte S qui s’appuie sur le contour. On a
Z
→
− →
F · d −r =
C
1.5
Z
− −
−
→→
rot F · →
n dS
(1.23)
S
Opérateurs différentielles
Les opérateurs différentiels sont des combinaisons de dérivées partielles par rapport aux coordonnées
d’espace.
1.5.1
Le gradient d’une fonction scalaire
Soit la fonction réelle f (u, v, w) défine, continument dérivable dans une partie de R3 . On appelle
−−→
gradient de la fonction f noté grad f le vecteur défini par
−−→
−r
d f = grad f · d →
où d f , la différentielle de f s’écrit
∂f
∂f
∂f
du +
dv +
dw
∂u
∂v
∂w
−
−
−
le vecteur déplacement élementaire dans la base ( →
e ,→
e ,→
e ) s’écrit
df =
u
v
w
−r = du→
−
−
−
d→
e u + dv→
e v + dw→
ew
on déduit alors
−−→
∂f→
∂f→
∂f→
−
−
−
grad f =
e u+
e v+
ew
∂u
∂v
∂w
−−→
−r = 0
d f = grad f · d →
−−→
−r , donc orthogonale à la surface.
alors grad f est orthogonale à d →
1.5.1.1
Gradient d’une fonction en coordonnées cartésiennes
Le gradient d’une fonction scalaire f en coordonnée cartésienne est donnée par
−−→
∂f→
∂f→
∂f→
−
−
−
grad f =
e x+
e y+
ez
∂x
∂y
∂z
(1.24)
14
1.5.1.2
1.5. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELLES
Gradient d’une fonction en coordonnées cylindriques
Le gradient d’une fonction scalaire f en coordonnées cylindriques est donnée par
−−→
∂f→
1∂f→
∂f→
−
−
−
grad f =
eρ+
eϕ+
ez
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1.5.1.3
(1.25)
Gradient d’une fonction en coordonnées sphériques
Le gradient d’une fonction scalaire f en coordonnées sphériques est donnée par
−−→
1∂f→
1 ∂f→
∂f→
−
−
−
e r+
eθ+
eϕ
grad f =
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ ϕ
1.5.2
(1.26)
Divergence d’un champ de vecteur
Soit un champ de vecteur
→
−
−
−
−
A (x, y, z) = Ax (x, y, z)→
e x + Ay (x, y, z)→
e y + Az (x, y, z)→
ez
→
−
−
−
−
dans une base cartésiènne (→
e x, →
e y, →
e z ). On appelle divergence de A le nombre scalaire
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
→
−
div A =
+
+
∂x
∂y
∂z
(1.27)
que l’on note également
→
− →
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
−
+
+
∇·A =
∂x
∂y
∂z
où l’opérateur nabla est
→
−
∂ −
∂ −
∂ −
∇= →
e x+ →
e y+ →
ez
∂x
∂y
∂z
1.5.2.1
Interprétation de la divergence
→
−
Que représente la divergence d’un champ de vecteurs A ?
−
−
On considère un volume élémentaire dϑ = dxdydz de l’espace. Soient →
n x et →
n x+dx les vecteurs
unitaires normaux aux faces gauche et droite de ce volume et orientés de l’intérieur vers l’extérieur.
→
−
Les flux du champ vectoriel A à travers ces deux faces élémentaires sont respectivement égaux à
→
−
−
−
−
A (x, y, z) · →
n x dS = Ax (x, y, z)dS→
e x ·→
nx
et
→
−
−
−
−
A (x + dx, y, z) · →
n x+dx = Ax (x + dx, y, z)dS→
e x ·→
n x+dx
→
−
La variation des flux de A sur ces deux faces élémentaires est donc
dΦx = Ax (x + dx, y, z) dydz − Ax (x, y, z) dydz
CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES
15
Soit
∂ Ax
dxdydz
∂x
En faisant le même raisonnement sur les faces dxdz et dxdy, on en déduit que la variation des flux de
→
−
A sur l’ensemble des faces du volume élémentaire dϑ est
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
+
+
dΦ =
dϑ
∂x
∂y
∂z
dΦx =
Soit
→
−
dΦ = div A dϑ
La divergence d’un champ de vecteurs en un point M de l’espace représente le flux par unité de volume
de ce champ à travers la surface délimitant une unité de volume en ce point.
• Une divergence positive en un point M(x, y, z) correspond à un flux majoritairement sortant
autour de ce point. On parle alors de champ divergent, comme c’est le cas de l’expansion d’un
fluide.
• Une divergence négative en un point M(x, y, z) correspond à un flux majoritairement entrant
autour de ce point. On parle alors de champ convergent. Exemple : Compression d’un fluide.
• Une divergence nulle en un point M(x, y, z) correspond à des flux entrant et sortant autour de
ce point qui se compensent. C’est le cas d’un champ uniforme (Fluide incompressible) ou
tourbillonnant.
1.5.2.2
Divergence en coordonnées cartésiennes
→
−
Soit un champ de vecteur A de composantes Ax , Ay et Az dans une base cartésiènne. Le flux de ce
champ à travers une surface entourant un volume élementaire dϑ = dxdydz construit au point M(x, y,
z) est
dΦ = Ax (x + dx, y, z) dydz − Ax (x, y, z) dydz
+Ay (x, y + dy, z) dxdz − Ay (x, y, z) dxdz
+Az (x, y, z + dz) dxdy − Az (x, y, z) dxdy
∂ Ay
∂ Ax
∂ Az
dΦ =
dxdydz +
dxdydz +
dxdydz
∂x
∂y
∂z
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
dΦ =
+
+
dϑ
∂x
∂y
∂z
(1.28)
(1.29)
(1.30)
On sait d’après la relation d’Ostrogradsky que
→
−−
→
−
dΦ = A →
n dS = div A dϑ
(1.31)
On déduit alors
→
−
div A =
∂ Ax ∂ Ay ∂ Az
+
+
∂x
∂y
∂z
(1.32)
16
1.5. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELLES
1.5.2.3
Divergence en coordonnées cylindriques
A l’aide des différents éléments de surface on calcule le flux d’un champ de vecteur à travers chaque
−
face. Ainsi dans la direction →
e ρ , la variation du flux est
dΦρ = Aρ (ρ + dρ, ϕ, z)(ρ + dρ)dϕdz − Aρ (ρ, ϕ, z)ρdϕdz
(1.33)
−
Dans la direction →
e ϕ on a
dΦϕ = Aϕ (ρ, ϕ + dϕ, z)dρdz − Aϕ (ρ, ϕ, z)dρdz
(1.34)
dΦz = Az (ρ, ϕ, z + dz)ρdρdϕ − Az (ρ, ϕ, z)ρdρdϕ
(1.35)
−
suivant →
ez
→
−
En additionant les trois équation ci-dessus, on déduit la divergence du vecteur A par la relation
1 ∂
∂A
1 ∂
→
−
div A =
(ρAρ ) +
(Aϕ ) +
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
1.5.2.4
(1.36)
Divergence en coordonnées sphériques
On applique la même méthode que précédemment.
1 ∂
1 ∂
1
∂
→
−
div A = 2 (r2 Ar ) +
(sin θ Aθ ) +
(Aϕ )
r ∂r
r sin θ ∂ θ
r sin θ ∂ ϕ
1.5.3
(1.37)
Exercice d’application
−r = x→
−
−
−
−
−
−
On considère le champ vectoriel →
e x + y→
e y + z→
e z dans un base cartésienne (→
e x, →
e y +→
e z ).
→
−
1. Calculer la divergence de r .
2. En déduire le volume d’une sphère de centre O et de rayon R
−r
1. Calcul de la divergence de →
−r = div(x→
−
−
−
div→
e x + y→
e y + z→
e z)
−r = ∂ x + ∂ y + ∂ z
div→
∂x ∂y ∂z
−r = 3
div→
2. Volume de la sphère
1
ϑ=
3
1
3dϑ =
3
ϑ
−r dϑ = 1
div→
3
ϑ
→
−
→
−
En remplaçant la normale et le rayon vecteur par e et R e , on a
ZZZ
ZZZ
I I
r
ϑ=
R3
4π
3
r
S
→
−r · →
−
n dS
CHAPTER 1. OUTILS MATHÉMATIQUES
17
Figure 1.12: Rotationel d’un champ de vecteur
1.5.4
Rotationel d’un champ de vecteur
Le rotationnel d’un champ permet d’exprimer comment, localement en un point M, le champ ~A tourne
autour de M
1.5.4.1
Rotationel en coordonnées cartésiennes
On considère le contour MUVW parallèle au plan xOy (figure 1.13) pour la détermination de la
composante suivant z du rotationel.
−
−
→→
(rot A )z dxdy = Ax (x, y, z)dx + Ay (x + dx, y, z)dy −
Ax (x + dx, y + dy, z)dx − Ay (x, y + dy, z)dy
∂
∂
−
−
→→
(rot A )z dxdy = − Ax dydx + Ay dydx
∂y
∂y
(1.38)
(1.39)
En appliquant la même règle au composantes suivant x et y on a l’expression ci-après
−
−
→→
rot A =
∂ Ay ∂ Ax →
∂ Ax ∂ Az →
∂ Az ∂ Ay →
−
−
−
−
e x+
−
e y+
−
ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Figure 1.13: Circulation de ~A le long du contour MUVW
(1.40)
18
1.5.4.2
1.5. OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELLES
Rotationel en coordonnées cylindriques
→
−
En réutilisant les mêmes techniques que pour la divergence nous écrivons la circulation de A le long
du contour MUVW (figure 1.14) correspondant à un petit morceau de cylindre orthogonal à (Oz)
1 ∂ Az ∂ Aϕ
−
−
→→
−
(rot A )ρ =
ρ ∂ϕ
∂z
(1.41)
∂ Aρ ∂ Az
−
−
→→
(rot A )ϕ =
−
∂z
∂ρ
(1.42)
1 ∂
1 ∂ Aρ
−
−
→→
(rot A )z =
(ρAρ ) −
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
(1.43)
Figure 1.14: Circulation de ~A le long du contour MUVW
1.5.4.3
Rotationel en coordonnées Sphériques
Les composantes du rotationel sont
−
−
→→
(rot A )r =
1 ∂
1 ∂ Aθ
(Aϕ sin θ ) −
r sin θ ∂ θ
r sin θ ∂ ϕ
−
−
→→
(rot A )θ =
(1.44)
1 ∂ Ar 1 ∂ (rAϕ )
−
r sin θ ∂ ϕ
r ∂r
(1.45)
1 ∂ (rAθ ) 1 ∂ (Ar )
−
−
→→
(rot A )ϕ =
−
r ∂r
r ∂θ
(1.46)
Chapter 2
Le champ magnétique - propriétés du champ
magnétique
2.1
Introduction
Contrairement à l’électrostatique qui étudie l’interaction entre particules chargées immobiles, la
magnétostatique est l’étude des interactions entre particules chargées en mouvement (en régime
indépendant du temps).
2.2
Sources du champ magnétique
Comme pour l’électrostatique, les premières observations concernant les phénomènes de magnétisme
remontent à l’antiquité. Des corps naturels tel que la magnétite (ou oxyde de fer Fe3 O4 ) ont la propriété
d’attirer des morceaux de fer. Ce sont les aimants naturels. Un aimant possède :
• un pôle nord
• un pôle sud
La magnétite était une pierre provenant de la région de Magnésie en Grèce d’où l’origine des mots
magnétique et magnétisme. Les quelques substances attirées par l’aimant sont dites “magnétiques”.
On trouve principalement le fer, le cobalt, le nickel et certains de leurs composés et alliages. Convenablement traités, ces corps magnétiques peuvent donner naissance à des aimants artificiels.
2.2.1
Action magnétique entre deux aimants
Si on approche deux aiguilles aimantées libres de s’orienter on constate que
- Deux pôles de même nature se repoussent
- Deux pôles de nature différente s’attirent
19
20
2.2. SOURCES DU CHAMP MAGNÉTIQUE
Figure 2.1: Position instable. Les pôles de même nature se repousent
Figure 2.2: Position stable. Les pôles de nature différente s’attirent
2.2.2
Force de Lorentz
−
Une charge électrique ponctuelle q, de vitesse →
v , située en un point M du référentiel Galiléen d’étude,
subie une force électromagnétique dite force de Lorentz sous la forme
→
−
→
− − →
−
F = q( E + →
v ∧ B)
(2.1)
La force peut être séparée en deux parties. A savoir :
-la force électrique
→
−
→
−
f e = qE
-la force magnétique
→
−
→
−
−
f m = q(→
v ∧ B)
La force magnétique se caractérise par :
→
−
−
- un vecteur perpendiculaire au plan formé par la vitesse →
v et le champ magnétique B
→
− −
→
− −
−
un travail toujours nul, puisque f m · →
v dt = q(→
v ∧ B )·→
v dt = 0
-
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
2.3
2.3.1
21
Expression du Champ, loi de Biot-Savart
Champ créé par une charge en mouvement
−
On considère une charge q en P se déplaçant à la vitesse →
v . Le champ magnétique créé par cette
charge en un point M du repère Galiléen est donné par la relation
−→
−
µo q(→
v ∧ PM)
→
−
B (M) =
4π kPMk3
(2.2)
où µo = 4π × 10−7 H/m est la perméabilité du vide.
2.3.2
Champ créé par un ensemble de charges discrètes
On considère un ensemble de charges qi placées en des points Pi . Si vi est le vecteur vitesse de chaque
charge, le champ crée par cet ensemble en un point M d’un repère Galiléen est donné par la relation
suivante
−−→
−
vi ∧ Pi M)
µo i=n qi (→
→
−
B (M) =
∑ kPiMk3
4π i=0
2.3.3
(2.3)
Champ créé par une distribution continue de charges
Le champ obéit au principe de superposition des charges. Si l’ensemble des charges se localise dans
−
un volume élémentaire dϑ , la charge de celui-ci sera désignée par dq et animée de la vitesse →
v . On a
alors
−→
Z
−
µo
dq(→
v ∧ PM)
→
−
B (M) =
(2.4)
4π ϑ
kPMk3
On sait
dq = ρdϑ
(2.5)
−
−
avec ρ la densité volumique de charge dq→
v = ρdϑ →
v or le vecteur densité de courant peut s’écrire
comme suit
→
−
−
J = ρ→
v
d’où
→
−
−
dq→
v = J dϑ
→
−
→
−
−
où J est le vecteur densité de courant d’une distribution volumique. En remplaçant dq→
v par J dϑ
on a l’expression du champ créé par un courant volumique. Ainsi le champ créé par une distribution
volumique est
22
2.4. ORIENTATION DU VECTEUR CHAMP MAGNÉTIQUE
µo
→
−
B (M) =
4π
2.3.4
−
Z →
v
−→
J ∧ PM
dϑ
kPMk3
(2.6)
Champ créé par un circuit électrique : Loi de Biot et Savart
On considère un circuit électrique C, parcouru par un courant d’intensité I. Un élément de longueur dl
du conducteur en P a un volume dϑ tel que
→
− →
−
dϑ = dl × dS = d l · d S
.
Figure 2.3: Portion élémentaire de courant
D’autre part,
−
→
−
− →
→
−
→
− →
J dS × dl = J d S · d l = dId l
Remplaçons l’expression de dϑ dans l’equation (6), on a
µo
→
−
B (M) =
4π
RR →
−
[
I
S
C
−→
J dS × dl ∧ PM]
kPMk3
(2.7)
l’intensité du courant est définie par l’expression ci-après
ZZ
I=
−
→
− →
JdS
S
2.3.5
Formule de Biot et Savart
En un point M quelconque de l’espace, le champ magnétique créé par un circuit parcouru par un
courant permanent I est
− −→
I →
µo I d l ∧ PM
→
−
B (M) =
(2.8)
4π C kPMk3
2.4
Orientation du vecteur champ magnétique
Le champ magétique créé par un circuit fermé est la somme vectorielle des champs élémentaires
→
−
→
−
d B engendrés par chaque élément de circuit d l dont dont le sens est donné par celui du courant I.
L’orientation du vecteur champ magnétique est déterminé par les règles mnémotechniques ci-après
• Règle du bonhomme d’Ampère
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
23
• Règle du tire-bouchon de Maxwell
• Règle des trois doigts de la main droite
Figure 2.4: Sens du courant - sens du champ
Imaginons avoir un tire-bouchon disposé le long du conducteur. On le fait tourner de sorte à ce qu’il
se déplace dans le même sens que le courant. Le sens de rotation indique le sens des lignes de champ
magétique
2.5
Unité de mesure
Le champ magnétique s’exprime en Tesla du nom du Physicien Russe N. Tesla. La dimension du
champ est le Volt Second par Mètre carré (V · s · m−2 ),
1T = 1V · s · m−2
Il existe des sous unités du champ magnétique. Le plus courament utilisé est le Gauss 1G = 10−4 T .
Figure 2.5: Un Teslamètre
Le champ magnétique de la terre mesuré au jardin botanique de l’Université FHB Cocody est de l’ordre
de 0, 5 × 10−4 T
24
2.6
2.6. PROPRIÉTÉ DE SYMÉTRIE DU CHAMP MAGNÉTIQUE
Propriété de symétrie du champ magnétique
La connaissance des symétries et invariances que présentent les sources permet de déduire certaines
caractéristiques du champ résultant. D’après la loi de Biot et Savart le champ magnétique élémentaire
est proportionnel à un produit vectoriel. L’étude du comportement du produit vectoriel pour différentes
symétries permet de déduire les propriétés de symétrie que présente le champ magnétique résultant.
2.6.1
Plan de symétrie
On dit qu’une distribution de courant possède un plan de symétrie (πs ) si les courants volumiques en
deux points P et Ps symétriques par rapport à (πs ) sont eux-même symétriques.
Figure 2.6: Plan de symétrie πs
2.6.2
Plan d’antisymétrie
On dit qu’une distribution de courant possède un plan d’antisymétrie (πa ) si les courants volumiques
en deux points P et Ps symétriques par rapport à (πas ) sont eux-même antisymétriques.
Figure 2.7: Plan d’antisymétrie πas
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
2.7
2.7.1
25
Invariance des sources
Invariance des sources par translation le long d’un axe
−
Lorsqu’une distribution de courant est invariante par une translation parallèle à un vecteur →
u , on a α
étant un réel
→
− →
→
− −
−
J (−r + α →
u ) = J (→
r)
2.7.2
Invariance des sources par rotation autour d’un axe
Lorsqu’une distribution de courant est invariante par rotation autour d’un axe Oz, on a en coordonnées
cylindriques quel que soit ϕ 0 comprise en 0 et 2π.
→
−
→
−
J (ρ, ϕ + ϕ 0 , z) = J (ρ, ϕ, z)
2.8
2.8.1
Champs magnétiques créés par des circuits filiformes de forme
simple
Champ magnétique créé par un fil rectiligne de longueur infinie
Figure 2.8: Fil rectiligne de longueur infinie
Considérons dans un repère cylindrique, un circuit filiforme, constituée d’éléments rectilignes
parcouru par un courant stationnaire d’intensité I. Le champ magnétique créé par une telle distribution
est la somme vectorielle des champs produits par chaque élément de longueur pris sur le conducteur.
→
−
Un élément de longueur du conducteur cré en tout point M, un champ élémentaire d B . L’expression
du champ élémentaire est donnée par
→
− −→
µo I d l ∧ PM
→
−
d B (M) =
4π kPMk3
→
− −→
Exprimons les vecteurs d l et PM dans la base cylindrique. On a
→
−
−
d l = dz→
ez
−→ −→ −−→
−
−
PM = PO + OM = −z→
e z + ρ→
eρ
→
− −→
−
d l ∧ PM = ρdz→
eϕ
(2.9)
2.8.
26 CHAMPS MAGNÉTIQUES CRÉÉS PAR DES CIRCUITS FILIFORMES DE FORME SIMPLE
On exprime la distance PM et dz en fonction de l’angle α, on a
ρ
dα
cos2 (α)
1 3
cos(α) 3
=
PM
ρ
dz =
Pour un conducteur rectiligne infini, l’angle α varie de − π2 à + π2
µo I →
→
−
−
B (M) =
eϕ
2πρ
(2.10)
Les lignes de champ sont des cercles contenus dans un plan perpendiculaire au fil. Les centres de ces
cercles sont situés sur le fil.
Figure 2.9: Ligne de champ
2.8.2
Champ magnétique créé par une spire circulaire
Considérons une spire circulaire de rayon R, d’axe (Oz), parcouru par un courant d’intensité I.
Calculons le champ produit par ce circuit en un point M situé sur l’axe Oz à une distance z du centre O
de la spire.
Figure 2.10: Spire circulaire
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
2.8.2.1
27
Etude des symétries et invariances
Tout plan contenant l’axe de la spire est un plan d’antisymétrie πas pour les courants (voir figure 2.10.)
Le champ magnétique doit être dans tous ces plans, donc suivant leur intersection c’est-à-dire l’axe Oz.
Le plan contenant la spire et perpendiculaire à l’axe Oz est un plan de symeétrie πs pour les courants
Figure 2.11: Plan de symétrie de la spire
(voir figure 2.11. Le champ magnétique est alors perpendiculaire à πs donc suivant l’axe Oz.
2.8.2.2
Expression du champ créé par la spire
Le champ résultant créé par la spire est orienté suivant l’axe (Oz),
→
−
−
B (M) = Bz →
ez
c’est-à-dire
→
− −
Bz = B · →
ez
Appliquons la loi de Biot − Savart.
→
− −→
d l ∧ PM
3
C kPMk
→
− −→
−
−
−
Exprimons les vecteurs d l et PM dans la base cylindrique (→
e ρ,→
e ϕ,→
e z)
µo I
→
−
B (M) =
4π
I
(2.11)
→
−
−
d l = Rdϕ →
eϕ
−→ −→ −−→
−
−
PM = PO + OM = −R→
e ρ + z→
ez
−→
−
d~l ∧ PM = Rdϕ~eϕ ∧ (−R~eρ + z~ez ) = R2 dϕ~ez + Rzdϕ →
eρ
D’autre part
sin(α) 3
1
=
PM 3
R
Remplaçons chaque élément par son expression.
µo I 3
→
− −
Bz = B · →
ez=
sin (α)
4πR
En définitive on a
Bz =
µo I 3
sin (α)
2R
Z 2π
dϕ
(2.12)
0
(2.13)
2.8.
28 CHAMPS MAGNÉTIQUES CRÉÉS PAR DES CIRCUITS FILIFORMES DE FORME SIMPLE
2.8.2.3
intensité du champ en fonction de la position du point M
L’on peut exprimer le sinus de l’angle α en fonction de position du point M. C’est-à-dire
sin3 (α) =
1
R3
=
3/2
3/2
2
2
(R + z )
(1 + (z/R)2 )
(2.14)
Losque que α = π/2 on obtient le champ magnétique au centre O de la spire soit
Bz (O) =
µo I
2R
(2.15)
et
→
−
B (M) = Bz (O)
1
3/2
(1 + (z/R)2 )
→
−
ez
(2.16)
Figure 2.12: Profil de l’intensité de Bz en fonction de z/R
La figure ci-dessus est une représentation graphique de la variation du champ créé par une source
de courant circulaire en fonction de la côte z de tout point de son axe. Cet exemple correspond à un
champ créé par une spire de rayon R = 2cm, parcouru par un courant d’intensité I = 1A.
2.8.3
Solénoïde
2.8.3.1
Définition
Un solénoïde est constitué d’un enroulement d’un fil conducteur autour d’un cylindre. On suppose
que ce fil est suffisamment mince pour pouvoir modéliser ce solénoïde comme une juxtaposition de
spires coaxiales, avec N spires par unité de longueur. Chaque spire est alors parcourue par un courant
permanent I.
2.8.3.2
Champ magnétique sur l’axe d’un solénoïde de longueur finie
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
29
On considère un solénoïde de longueur L constitué de N spires circulaires par unité de longueur de
rayon R, parcouru par un courant d’intensité I. Comme pour la spire simple, les propriétés de symétrie
du courant montrent que le champ magnétique du solénoïde, qui est la somme vectorielle du champ
créé par chaque spire, est suivant l’axe z uniquement. Autour d’un point P situé en z, sur une épaisseur
dz, il y a Ndz spires. Ces spires créent donc un champ en un point M quelconque de l’axe
µo NIdz 3
→
−
−
dB =
sin (α)→
ez
2R
Dans cette expression apparaissent les deux variables z et α liées par la relation
(2.17)
R
OM − z
(2.18)
R
tan α
(2.19)
R
dα
sin2 α
(2.20)
tan α =
OM − z =
soit
dz =
Le champ magnétique total s’écrit donc
µo NI
→
−
B =
2
Z α2
−
sin αdα →
ez
µo NI
→
−
−
(cos(α1 ) − cos(α2 )) →
ez
B =
2
2.8.3.3
(2.21)
α1
(2.22)
Champ créé par un solénoïde de longueur infinie
Pour un solénoïde infini, on a α1 → 0 et α2 → π, d’où un champ sur l’axe
B = µ0 NI
2.9
2.9.1
(2.23)
Propriétés du champ magnétique
Circulation du champ magnétique
Considérons un fil parcouru par un courant d’intensité I et un contour fermé (C). Calculons la
circulation du champ produit par le conducteur le long du contour. On rappelle que le champ créé par
Figure 2.13:
30
2.9. PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
une source de courant rectiligne est
µo I →
→
−
−
B (M) =
eϕ
2πρ
et le déplacement élémentaire sur un contour quelconque en coordonnées cylindriques est
−r = dρ →
−
−
−
d→
e ρ + ρdϕ →
e ϕ + dz→
ez
µo I
→
− −
C = B · d→
r =
2π
c
Discutons la valeur du contour (C).
I
I
dϕ
(2.24)
c
• Si le contour (C) n’enlace pas le fil on a C = 0
• Si le contour enlace le fil une fois C = µ0 I
• Si le contour enlace le fil n fois, C = nµ0 I
2.9.2
Théorème d’Ampère (forme intégrale)
La circulation du champ magnétique le long d’une courbe fermée quelconque est égale au produit de
µ0 par la somme algébrique des courants qui traverse la surface délimitée par ce contour
Figure 2.14:
I
c
→
− →
B · d −r = µo It
avec
(2.25)
i=n
It = ∑ Ii
i=1
2.9.3
Théorème d’Ampère (forme locale)
En utilisant la forme intégrale du théorème d’Ampère l’on peut écrire
I
C
→
− →
B · d −r = µo It = µo
car
ZZ
It =
S
ZZ
−
→
− →
j ·d S
S
−
→
− →
j ·d S
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
31
et S représente la surface délimitée par le contour C. D’autre part d’après la formule de Stokes
I
→
− →
B · d −r =
ZZ
c
−
− →
−
→→
rot B · d S
S
on en déduit alors que
−
→
−
−
→→
rot B = µo j
(2.26)
qui est la forme locale du théorème d’Ampère
2.10
Flux du champ magnétique
2.10.1
Divergence du champ magnétique
Calculons la divergence du champ magnétique à partir du champ créé par un courant volumique.
µo
→
−
B (M) =
4π
µo
→
−
div B =
4π
On rappelle que
−→
→
− PM
J ∧
dϑ
PM 3
v
Z
−→ !
→
− PM
div J ∧
dϑ
PM 3
v
ZZZ
→
−
→
− −
−
→− →
−
→→
−
div(→
a ∧ b ) = b · rot →
a −−
a · rot b
−→
−−→ 1
PM
= −grad
PM 3
PM
−→ !
−→
−→
PM
PM
PM
→
−
→
−
−
→
−
→
div J~ ∧
=
·
rot
J
−
J
·
rot
PM 3
PM 3
PM 3
Comme le vecteur densité de courant volumique étant uniforeme au point P
−
− →
−
→→
rot J = 0
Par ailleurs,
−→
→
− −
→
− −
→ PM
→ −−→ 1
= J · rot grad
− J · rot
=0
PM 3
PM
Il vient
→
− →
−
∇· B =0
(2.27)
On dit que le champ magnétique est non divergent. Cette propriété est indépendante du courant.
32
2.11. POTENTIEL VECTEUR
Figure 2.15: Ligne de champ à travers une surface fermée
2.10.2
Flux du champ magnétique à travers une surface fermée
Considérons une surface fermée S, le flux du champ magnétique à travers S est donnée par
I
Φ=
−
→
− →
B ·d S
s
or d’après la formule d’Ostrogradsky
I
−
→
− →
B ·d S =
s
ZZZ
→
−
div B dϑ
v
or
→
−
div B = 0
donc
−
→
− →
B ·d S = 0
I
(2.28)
s
2.11
2.11.1
Potentiel vecteur
Définition
→
−
→
−
Le champ magnétique est non divergent (div B = 0), il existe alors un champ de vecteur A tel que
−
→
− −
→→
B = rot A
(2.29)
→
−
Le champ vectoriel A est appelé Potentiel vecteur du champ magnétique. Exprimons le flux du champ
magnétique à travers une surface S
ZZ
Φ=
s
→
− →
B ·−
n dS =
− −
−
→→
rot A · →
n dS =
ZZ
s
I
→
− →
A · d −r
c
Le flux du champ magnétique à travers une surface quelconque S est la circulation du potentiel vecteur
le long du contour C s’appuyant sur S
I
→
− −
Φ = A · d→
r
(2.30)
c
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
2.11.2
33
Invariance de Jauge
La définition du potentiel vecteur indique qu’il n’est déterminé qu’au gradient d’une fonction scalaire
près. En effet, le rotationnel du gradient d’une fonction scalaire est nul. Faisons le changement de
variable suivant soit,
→
−0 →
− −−→
A = A + grad f
On aura
−
− −
→
−0 −
→
−
→→
−
→→
→ −−→
B = rot A 0 = rot A + rot(grad f ) = B
On impose alors une condition supplémentaire à savoir
→
−
div A = 0
dite condition de Jauge de Coulomb.
2.11.3
Equation de Poisson
On rappelle
−
→
−
−
→→
rot B = µo J
et
−
→
− −
→→
B = rot A
en combinant ces deux expressions, on a
→
→
−
−
→ −
→−
rot rot A = µo J
or
→
−−→ →
−
→
−
−
→ −
→−
rot rot A = grad div A − ∆ A
En tenant compte de la condition de Jauge de Coulomb, on a
→
−
−
→
− →
∆ A + µo J = 0
(2.31)
qui est l’équation de Poisson. Elle permet d’établir une relation entre le potentiel vecteur et le vecteur
densité de courant d’une source de champ.
→
−
→
−
∆ A désigne le Laplacien vectoriel de A . C’est le champ de vecteurs dont les composantes sont
→
−
les Laplacien des composantes de A . En coordonnées cartésiennes, ses composantes sont :
∆Ax =
∂ 2 Ax ∂ 2 Ax ∂ 2 Ax
+
+
∂ x2
∂ y2
∂ z2
∆Ay =
∂ 2 Ay ∂ 2 Ay ∂ 2 Ay
+
+
∂ x2
∂ y2
∂ z2
∂ 2 Az ∂ 2 Az ∂ 2 Az
∆Az =
+
+
∂ x2
∂ y2
∂ z2
34
2.12
2.12. POTENTIEL VECTEUR CRÉÉ PAR UNE DISTRIBUTION DE COURANT
Potentiel vecteur créé par une distribution de courant
Si P est le point où se situe la distribution de courant volumique, le potentiel vecteur en un point M de
l’espace est donné par l’expression
µo
→
−
A (M) =
4π
2.12.1
−
Z →
v
J (P)
dϑ
PM
(2.32)
Distribution surfacique/linéique de courant
Pour une distribution surfacique de courant, on a
→
−
→
−
J (P)dϑ = J s dS
et
µo
→
−
A (M) =
4π
Pour une distribution linéique de courant, on a
(2.33)
−
Z →
s
J s (P)
ds
PM
→
−
→
−
J (P)dϑ = Id l
et
µo I
→
−
A (M) =
4π
→
−
dl
c PM
(2.34)
(2.35)
I
Exemple 1: Calcul du potentiel vecteur sur l’axe Oz d’une spire
−
I →
µo I d l
→
−
A (M) =
4π c PM
La composante sur l’axe Oz est donnée par l’expression
(2.36)
2.12.1.1
(2.37)
→
− →
→
−
A ·−
ez= 0
Le potentiel vecteur sur l’axe Oz d’une spire est nul.
2.12.1.2
Exemple 2: Potentiel vecteur d’un champ uniforme
L’on adopte comme potentiel vecteur d’un champ magnétique uniforme l’expression
→
− →
B ∧ −r
→
−
A (r) =
2
(2.38)
→
−
−
Consiérons un champ uniforme (indépendant des coordonnées spaciales) tel que B = Bz →
e z dans un
système de coordonnés cartésiennes.
→
− →
B ∧ −r
Bz −
yBz →
xBz →
→
−
−
−
−
−
−
= →
e z ∧ (x→
e x + y→
e y + z→
e z) = −
e x+
ey= A
2
2
2
2
−
−
→→
Calculons le rot A en utilisant l’expression ci-dessus
(2.39)
CHAPTER 2. LE CHAMP MAGNÉTIQUE - PROPRIÉTÉS DU CHAMP MAGNÉTIQUE
−
−
→→
rot A =
"
∂
∂y
xBz
2
∂
∂x
− yB2 z
∂
∂z
#
0
=
35
Bz Bz →
−
+
ez
2
2
En définitive
−
−
→→
−
ez
rot A = Bz →
2.13
Equation de Passage du champ magnétique
2.13.1
Continuité de la composante normale du champ
L’on veut étudier ce qui se passe à la traversée d’une surface séparant deux milieux. Pour ce faire,
→
−
considérons une nappe de courant de densité surfacique j s séparant l’espace en deux régions 1 et 2.
−
Le vecteur →
n 12 représente le vecteur normal orienté de la région 1 vers la région 2 Soit une surface
fermée fictive traversant la nappe. La conservation du flux à travers cette surface s’écrit comme suit
ZZ
−
→
− →
Bd S +
s1
ZZ
−
→
− →
Bd S +
S2
ZZ
−
→
− →
B ·d S = 0
(2.40)
SL
avec SL la surface latérale. Lorsqu’on fait tendre SL vers 0, c’est-à-dire que S1 et S2 se rapprochent de
la nappe, on a
−
→
− →
Bd S +
ZZ
s1
ZZ
−
→
− →
Bd S =0
(2.41)
S2
Comme
→
−
→
−
−
−d S 1 = d S 2 = dS→
n 12
ZZ
s1 =S2
On a
→
−
→
−
−
( B 2 − B 1) · →
n 12 dS = 0
→
−
→
−
−
( B 2 − B 1) · →
n 12 = 0
A la traversée d’une surface quelconque, même parcourue par des courants surfaciques, la
composante normale du champ magnétique est continue
(2.42)
(2.43)
36
2.13.2
2.13. EQUATION DE PASSAGE DU CHAMP MAGNÉTIQUE
Discontinuité de la composante tangentielle du champ
Considérons le contour CDAB dans un plan orthogonal à la surface S au centre de l’élément MN et
−
−
−
−
−
−
u,→
n 12 , →
u =→
n 12 ∧ →
τ Le théorème d’Ampère appliqué à ce
introduisons le trièdre direct →
τ tel que →
contour donne
Z D
C
~B2 · d~l +
Z A
~B · d~l +
D
Z B
A
~B1 · d~l +
Z C
→
−
→
−
B · d l = µ0
B
Z
→
−
−s
j s · d→
(2.44)
−
−
−s = 1 × dl →
d→
τ =→
τ dl
→
−
→
−
→
−
où j s est le vecteur densité surfacique de courant. On désigne par B 1 et B 2 , les composantes
tangentielles dans les régions 1 et 2 respectivement. Faisons tendre les dimensions transversales de
l’élément de surface vers zéro. Les deuxième et quatrième termes sont alors nuls. Les points D et A
viennent se confondre en M et les points B et C en N:
Z N
→
−
M
→
−
→
−
( B 1 − B 2 ) · d l = µo
Z N
→
− →
−
M
( j s · τ )dl
(2.45)
→
− −
→
− − →
→
−
−
−
−
On rappelle →
a ·( b ∧→
c ) = b · (→
c ∧−
a)=→
c · (→
a ∧ b)
→
−
→
− −
→
− −
−
( B 1 − B 2 )(→
n 12 ∧ →
τ ) = µo ( j s · →
τ)
(2.46)
h→
−
→
− i →
→
−
→
−
−
τ · B 1 − B 2 ∧−
n 12 = µo (→
τ · j s)
(2.47)
h→
−
→
− i →
→
−
B 1 − B 2 ∧−
n 12 = µo j s
(2.48)
En définitive on a
A la traversée d’une distribution surfacique de courant, la composante tangentielle du champ
magnétique est discontinue.
Chapter 3
Action du magnétique - Energie magnétique
3.1
Introduction
Dans les chapitres précédents, l’étude du champ magnétique a mis en évidence le fait qu’il est
principalement influencé par le courant électrique. Nous nous proposons d’étudier dans ce présent
chapitre le phénomène inverse.
• Que se passe t-il lorsque des charges en mouvement sont en présence d’un champ magnétique?
• Nous supposerons dans cette étude que les sources du champs ne sont pas influencées par le
mouvement des charges.
Les vitesses de dérive des charges mobiles sont suffisamment faibles pour justifier l’approximation
newtonienne de la mécanique
3.2
Conducteur dans un champ magnétique
3.2.1
Force élémentaire sur un élément de conducteur placé dans un champ
magnétique
On considère un conducteur (constitués de charges fixes et de charges mobiles) dans un espace où
→
−
→
−
reigne un champ magnétique uniforme B et annimé d’une vitesse V . Les charges mobiles ont une
−
vitesse de dérive →
u . La force élémentaire qui s’exerce sur l’élément de volume est donnée par
→
−
→
−
→
−
d f = d f m +d f f
où
→
−
d f m est la force qui s’exerce sur les porteurs mobiles
→
−
f f est la force qui s’exerce sur les porteurs fixes. En explicitant, il vient
h→
→
→
−
− →
→
− →
−i
− →
− →
−
−
d f = ρm E + u + V ∧ B dϑ + ρ f E + V ∧ B dϑ
(3.1)
où ρm et ρ f sont respectivement les charges volumiques des porteurs mobiles (électrons) des porteurs
fixes (ions).
37
38
3.2. CONDUCTEUR DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE
→
−
→
−
−
d f = ρm →
u ∧ B dϑ
(3.2)
→
−
−
u
J = ρm →
(3.3)
comme
soit
→
−
f =
→
− →
−
J ∧ B dϑ
Z (3.4)
ϑ
3.2.2
Force de Laplace
Considérons un conducteur filiforme parcouru par un courant d’intensité i placé dans un champ
magnétique uniforme. La section du conducteur étant suffisamment faible pour que l’on suppose le
courant volumique et le champ appliqué uniforme sur toute la section. L’équation 3.4 peut s’écrire
→
−
f =
→
−
→
−
J dϑ ∧ B
Z ϑ
Le vecteur densité de courant est alors colinéaire à la direction du fil, par conséquent
→
−
→
−
J dϑ = id l
Il en résulte l’expression de la force
→
−
f =i
I
c
→
− →
−
dl ∧B
(3.5)
CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE
3.2.3
39
Orientation de la force de Laplace
La force de Laplace tout comme le champ magnétique resulte d’un produit vectoriel. Son orientation
→
− →
−
− →
est telle que id l , B et f forment un triedre direct. La figure ci-après est un exemple d’Application
de la règle de la main droite.
Figure 3.1: Force de Laplace sur un conducteur rectiligne
Figure 3.2: Règle de la main droite
3.2.4
Différences entre la force de Laplace et la force de Lorentz
La force de Laplace s’exerce sur un fil électrique,
La force de Lorentz s’exerce sur une particule chargée
La force de Laplace travaille,
La force de Lorentz ne travaille pas.
NB : Il convient donc de ne pas dire Lorentz à la place de Laplace, et réciproquement !
3.2.5
Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique uniforme
Considérons une particule de masse m de charge q placée dans un champ magnétique uniforme
→
−
−
−
B = B→
e z aoverrightarrow une vitesse →
v . La relation fondamentale de la dynamique s’écrit
−
d→
v
q− →
−
v ∧B
= →
dt
m
soit
dvy →
dvx →
dvz →
qB →
−
−
−
−
−
−
−
−
e x+
e y+
ez=
(vx −
e x ∧→
e z + vy →
e y ∧→
e z + vz →
e z ∧→
e z)
dt
dt
dt
m
40
3.3. EFFET HALL
dvy →
dvx →
dvz →
qB
−
−
−
−
−
e x)
e y + vy →
e x+
e y+
ez=
(−vx →
dt
dt
dt
m
dvx
qB
= + vy
dt
m
dvy
qB
= − vx
dt
m
dvz
=0
dt
2
d 2 vx
qB dvy
qB
=+
=−
vx
2
dt
m dt
m
2
d 2 vy
qB dvx
qB
=
−
=
−
vy
dt 2
m dt
m
d 2 vz
=0
dt 2
On pose ω =
qB
m
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
2
vx = v0 cos(ωt)
vy = −v0 sin(ωt)
En intégrant une deuxième fois, on a
v0
sin(ωt)
ω
v0
y(t) = cos(ωt)
ω
x(t) =
qui sont les équations paramétriques d’une trajectoire circulaire de centre O, de rayon v0 / |ω| =
mv0 / |q| B, parcourue avec une vitesse de module constant v0
−
La vitesse initiale d’une particule chargée dans un champ magnétique peut s’écrire comme →
v =
→
−
→
−
→
−
→
−
v ⊥ + v // . Elle décrit dans ce champ une hélice de rayon R = m | v ⊥ | /q B et progresse selon une
−
direction du champ à la vitesse constant →
v .
//
3.3
Effet Hall
On considère une petite plaquette, réaliseée dans ce matériau, ayant la forme d’un parallélépipède
rectangle, de longueur a, grande devant la largeur b et dont l’épaisseur c est très faible devant b. Cette
plaquette est traversée par un courant d’intensité I de vecteur densité de courant
→
−
−
−
−
J = nq→
v == −ne→
v = +nev→
ex
CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE
41
Figure 3.3:
Cette plaquette est placée maintenant dans un champ magnétique
→
−
−
B = B→
ez
Les charges mobiles c’est à dire les électrons dans notre sont alorsa soumises à la force de Lorentz
→
−
→
−
−
f = −e(→
v ∧ B)
Cette force a pour effet de faire dévier les électrons vers la face N qui se charge progressivement
d’électrons pendant que la face opposée se retrouve avec un déficit en électrons. Il apparaît alors un
→
−
champ électrique E H à l’intérieur du matériau (dirigé dans ce cas de P vers N) qui va exercer une force
→
−
−
E H = −EH →
ey
3.3.1
Champ et Tension de Hall
Le régime stationnaire est atteint dès lors que les deux forces s’équilibrent. C’est à dire,
→
−
→
− →
−
f EH + f = 0
42
3.4. LOI DES ACTIONS ÉLECTRODYNAMIQUES D’AMPÈRE
soit
→
−
−
E H = −vB→
ey
EH = vB
(3.12)
Il s’établit ainsi entre les faces N et P une différence de potentiel VH telle que
−−→
→
−
E H = −gradVH
soit
VH = VP −VN =
Z P
→
−
N
→
−
E H d l = vbB
VH = vbB
(3.13)
appélé tension de Hall.
3.3.2
Coefficient de Hall
→
−
L’intensité du courant qui est le flux de J à travers la section droite du conducteur est donnée par
ZZ
I=
−
→
− →
J · d S = nevbc
avec n, la densité volumique des charges. On a
vb =
soit
VH = (vb)B =
I
nec
I
IB
1
IB
B=
= AH
nec
c
ne
c
où
AH =
est le coefficient de Hall.
1
ne
(3.14)
CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE
3.4
43
Loi des actions électrodynamiques d’Ampère
Considérons deux conducteurs filiformes C1 et C2 parcourus par des courants respectifs i1 et i2 . On
suppose le circuit C1 plongé dans le champ magnétique créé par le circuit C2 . La force de Laplace qui
s’exerce sur le circuit C1 est donnée par la relation
→
−
F 2/1 = i1
→
−
→
−
d l 1∧ B2
(3.15)
→
−
−r
d l 2 ∧→
r3
C2
(3.16)
I
C1
avec
µo i2
→
−
B2 =
4π
µo i1 i2
→
−
F 2/1 =
4π
I
I
→
−
→
−
−r )
d l 1 ∧ (d l 2 ∧ →
r3
C2
I
C1
→
−
→
−
−r )
−r →
−r →
−
→
− →
−
→
− →
d l 1 ∧ (d l 2 ∧ →
d
l
·
d
l2
=
d
l
d
l
·
−
1
2
1
r3
r3
r3
P2 étant fixé on a
→
−
−−→
−−→
−→
−r = d(−
d→
P2 P1 ) = d OP1 − d OP2 = d l 1
→
− −
−r · →
−r
d→
dr
1
d l 1 ·→
r
=
=
=
−d
r3
r3
r2
r
I
1
−d
=0
r
C1
−r
→
−
→
− →
(d l 1 · d l 2 ) 3
r
C2
(3.17)
−r
→
−
→
− →
→
−
(d l 2 · d l 1 ) 3 = − F 2/1
r
C1
(3.18)
µo i1 i2
→
−
F 2/1 = −
4π
I
C1
I
En permutant les indices 1 et 2, on obtient
µo i2 i1
→
−
F 1/2 = −
4π
I
C2
I
L’interaction magnétique entre deux circuits fermés vérifie l’opposition des actions réciproques.
44
3.5. TRAVAIL ÉLECTROMOTEUR ET TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE
3.4.1
Définition de l’unité ’Ampère’
Considérons deux fils rectilignes disposés parallèlement l’un par rapport à l’autre et séparés d’une
distance d
La force exercée sur une longueur l de C1 vaut
→
− →
→
−
−
F 2/1 = i1 l ∧ B 2
(3.19)
µo i2 →
→
−
−
ey
B2 =
2πd
d’où
µo i2 →
→
−
−
−
F 2/1 = i1 l →
e z∧
ey
2πd
(3.20)
l−
µo
→
−
ex
F 2/1 = − i1 i2 →
2π
d
(3.21)
On observe que les deux fils s’attirent si i1 i2 > 0, c’est à dire les deux fils parcourus par des
courants de même sens. Les fils se repoussent dans le cas contraire. Ce exemple conduit à la définition
légale de l’Ampère:
L’Ampère est l’intensité d’un courant électrique qui maintenu constant dans deux conducteurs
parallèles, rectilignes de longueur infinie de section circulaire négligeable et placés à une distance de
1m l’un de l’autre dans le vide produit entre ces deux conducteurs une force égale à 2 × 10−7 N/m de
longueur du fil.
3.5
Travail électromoteur et travail des forces de Laplace
→
−
Considérons une élément dϑ d’un conducteur animé d’une vitesse V dans le référentiel Galiléen. Le
travail des forces agissant sur les charges mobiles et fixes d’un volume dϑ de conducteur s’écrit
CHAPTER 3. ACTION DU MAGNÉTIQUE - ENERGIE MAGNÉTIQUE
45
→
−
→
−
→
− →
−
−
δW = d F m · (→
u + V )dt + d F f · V dt
h→
→
→
−
− − →
− →
−i
→
−
− →
− →
−
avec d F m = ρm E + →
u + V ∧ B dϑ et d F f = ρ f E + V ∧ B dϑ Après développement,
en tenant compte de (ρm + ρ f = 0 ) on a
→
− →
− →
− −
→
− →
−
−
δW = ρm E + V ∧ B · →
u dtdϑ + ρm →
u ∧ B · V dtdϑ
→
− →
− →
−
→
− →
− →
− →
−
δW = J · E + V ∧ B dtdϑ + J ∧ B · V dtdϑ
→
− →
− →
− →
−
δWm = J · E + V ∧ B dtdϑ
δWL =
→
− →
− →
−
J ∧ B · V dtdϑ
Wm et WL sont respectivement le travail électromoteur et le travail de la force de Laplace.
Z →
− →
− →
−
WL = dt
J ∧ B · V dϑ
(3.22)
(3.23)
(3.24)
ϑ
Il représente la partie de l’énergie électromagnétique reçue par le conducteur qui est transformée en
travail mécanique.
3.5.1
Travail des forces de Laplace en fonction du flux - Flux coupé
−r . Le travail des forces
Considérons un conducteur filiforme subissant un déplacement élémentaire d →
→
−
→
−
→
−
de Laplace agissant sur un élément id l du conducteur. On remplace J dϑ par id l
→
− →
− →
−
δWL = i d l ∧ B · V dt
→
− →
→
−
− →
→
− →
−
−
δWL = i d l ∧ B · d r = i B · d r ∧ d l
−
−r = →
avec d →
V dt
−
→
−
→
−
−r ∧ d →
La norme du vecteur d →
l est l’aire d S balayée par l’élément d l au cours du déplacement
→
− −
δWL = i B · →
n dS = idΦc
(3.25)
WL = IΦc
(3.26)
Φc est le flux coupé du champ magnétique à travers la surface dS balayée par l’ensemble du circuit au
−r
cours du déplacement élémentaire d →
46
3.5. TRAVAIL ÉLECTROMOTEUR ET TRAVAIL DES FORCES DE LAPLACE
Figure 3.4:
3.5.2
Expression de la force de Laplace en fonction du flux - Cas d’un mouvement de translation
−r , le travail des forces de Laplace
Lorsqu’un circuit C indéformable subit une translation d’ensemble d →
→
−
du à un champ appliqué B a est
I
→
− →
−
−
−r = →
−r = F dr
δWL =
Id l ∧ B a · d →
F L · d→
L,r
c
→
−
−r /r. D’autre par
où FL,r est la composante de F L suivant la direction →
δWL = IdΦc
On a alors
dΦ
(3.27)
dr
Lorsqu’un circuit subit un mouvement de rotation élémentaire d’angle dα autour d’un axe (∆), le
travail élémentaire des forces de Laplace est donnée par la relation
FL,r = I
δWL = ΓL dα = IdΦ
(3.28)
d’où
ΓL = I
dΦ
dα
(3.29)
Chapter 4
Induction électromagnétique
4.1
Introduction
A la suite de l’expérience d’œrsted sur les propriétés magnétiques d’un fil parcouru par un courant, les
phénomènes d’induction électromagnétique ont été activement recherchés pendant plus de dix ans et
finalement découverts pas M Faraday. Nous aborderons la notion d’induction électromagnétique par
l’approche expérimentale. Nous donnerons l’expression generale de la loi d’induction.
4.2
4.2.1
Loi de Faraday
Approche expérimentale
Considérons deux circuits électriques C1 et C2 placés l’un à coté de l’autre. Le circuit C1 est constituée
d’une bobine, d’un générateur et un interrupteur K en sérié. Le circuit C2 est constitué d’une bobine et
d’un galvanomètre en série. Les deux circuits étant fixes, l’on réalise les expériences suivantes.
• L’interrupteur K est ouvert (i1 = 0), le courant dans C2 est alors nul (i2 = 0)
• On ferme K, un courant i1 > 0 s’installe dans C1. Tant que i1 n’a pas atteint une valeur
stationnaire, un courant i2 < 0 circule dans C2.
• L’interrupteur K est fermé avec une valeur constant de i1 , le courant i2 est alors nul.
• Lorsqu’on ouvre K, un courant i2 circule dans C2 tant que i1 n’est pas nul
• L’on change les polarités du générateur, tous les effets observés changent de sens
4.2.2
Interprétation et enoncé de la loi de Farady
Les expériences de Faraday s’interprètent à partir de 2 relations générales qui sont la conservation du
→
−
flux du champ B et de loi d’induction de Faraday. En régime variable, le champ magnétique est à flux
conservatif, ce qui se traduit pour toute surface fermée par la relation
I
→
− →
B ·−
n dS = 0
S
47
(4.1)
48
4.2. LOI DE FARADAY
Figure 4.1:
La force électromotrice induite dans un circuit filiforme C , immobile dans un ref. R où le champ
magnétique est B a pour expression
dΦ(t)
e(t) = −
(4.2)
dt
où
Z
→
−−
Φ(t) = B →
n dS
S
→
−
est le flux de B à travers une surface ouverte s’appuyant sur un contour C. Φ(t) ne dépend que de la
géométrie du circuit et du temps.
4.2.3
Relation de Maxwell-Faraday
4.2.3.1
Forme intégrale
Explicitons la force électromotrice e(t) et le flux Φ(t) dans la loi de l’induction. On sait d’une part que
−
→
− →
E ·d l
I
e(t) =
C
et d’autre part que
dΦ
d
=
dt
dt
Z
→
− →
B ·−
n dS =
S
Comme
e(t) = −
il vient
→
− →
E · d −r = −
I
dΦ
dt
→
−
∂B →
·−
n dS
∂t
S
Z
C
C’est l’équation de Maxwell-Faraday. En regime variable
à circulation conservative.
4.2.3.2
→
−
∂B→
−
n dS
∂t
S
Z
→
−
∂B
∂t
6= 0, le champ electrique n’est donc pas
Forme locale
D’après le théorème de Stokes
I
C
→
− →
E · d −r =
Z
S
(4.3)
− −
−
→→
rot E · →
n dS
CHAPTER 4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
49
La relation de Maxwelle-Faraday s’écrit alors
Z
−−
−
→→
rot E →
n dS = −
S
→
−
∂B→
−
n dS
S ∂t
Z
Il en résulte puis que S est quelconque la relation
→
−
→
−
− ∂B
−
→→
= 0
rot E +
∂t
(4.4)
→
− →
−
Cette équation fondamentale, traduit localement une propriété du champ électromagnétique ( E , B )
→
−
→
−
qui montre qu’à toute variation temporelle du champ B est associée un champ électrique E .
4.2.4
4.2.4.1
Exemple de calcul de la force électromotrice
Spire dans un champ magnétique alternatif
Une spire de rayon R, est placée dans un champ magnétique uniforme, perpendiculaire au plan de la
spire et variant sinusoïdalement au cours du temps tel que
→
−
−
B = Bm cos(ωt)→
ez
→
−
Le flux de B et la force électromotrice d’induction sont respectivement
Figure 4.2:
Φ(t) = Bm πR2 cos(ωt)
et
e(t) = −
dΦ(t)
= Bm πR2 ω sin(ωt)
dt
L’intensité i(t) du courant connaissant sa résistance r est
i(t) =
Bm πR2 ω
sin(ωt)
r
50
4.2.4.2
4.2. LOI DE FARADAY
Générateurs d’électricité
Le générateur électrique ou dynamo transforme l’énergie mécanique en énergie électrique. L’énergie
mécanique fournie au générateur fait tourner son axe et entraîne dans sa rotation une (plusieurs) spire
de conducteur qui se met à tourner entre les pôles d’un aimant. Il en résulte une variation du flux
magnétique au travers de la spire et par conséquent une f.é.m. et un courant sont induits dans le
conducteur. Ce courant est collecté vers un circuit extérieur par l’intermédiaire de deux bagues sur
lesquelles sont fixées les extrémités du conducteur formant la spire, et deux balais qui établissent le
contact avec le circuit extérieur. La f.é.m. induite dans un tel générateur peut être calculée à l’aide de
la loi de Faraday
Figure 4.3:
dΦ
dt
d (BS cos θ )
e(t) = −
dt
Si la spire est tournée à une vitesse angulaire constante ω, on a
e(t) = −
ω=
dθ
dt
En définitive, on a
e(t) = E0 sin (ωt)
avec
E0 = BSω
4.2.5
Potentiel Vecteur et Potentiel Scalaire
Pour une surface quelconque s’appuyant sur un contour C on a
Z
Φ=
S
soit
→
− →
B ·−
n dS =
I
→
− →
A · d −r
C
→
−
→
− ∂A →
(E +
)d −r = 0
∂t
C
I
(4.5)
CHAPTER 4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
51
Il existe en régime variable une fonction scalaire V, appelée potentiel scalaire telle que
→
−
−−→
→
− ∂A
= −gradV
E+
∂t
(4.6)
→
−
Cette équation montre qu’en régime variable, les potentiels V et A sont indissociables. Le couple
→
−
(V, A ) est appelé potentiel électromagnétique.
4.3
Auto-induction
Un circuit embrassant un flux variable produit par un autre circuit ou par un aimant, est le siège d’une
fem d’induction. Ce phénomène s’observe aussi si le flux variable est dû au circuit lui-même. On dit
alors qu’il se produit une auto-induction.
4.3.1
Loi de Lenz
4.3.1.1
Approche expérimentale
On considère un circuit s’appuyant sur un contour (C) dans un espace où règne un champ magnétique
variable comme l’indique la figure ci-après. Une variation positive du flux embrassé, correspond à une
fem négative, donc un courant dans le circuit qui produit un champ dont le flux s’oppose, en définitive,
à cette augmentation du flux embrassé.
f
Figure 4.4:
4.3.2
Loi de Lenz
Le sens du courant induit est tel que le champ magnétique qu’il produit s’oppose à la variation de flux
qui le produit.
4.4
4.4.1
Circuit mobile dans un champ magnétique
Expression générale de la force électromotrice
On considère un circuit C dans un référentiel ℜ où règne un champ électromagnétique (E, B). Une
→
−
charge initialement au repos se déplace à une vitesse V égale à celle du point du circuit où elle se
trouve. La force susceptible de la mettre en mouvement par rapport au circuit est celle qu’exerce sur
52
4.4. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE
Figure 4.5:
elle le champ électromagnétique.
→
−
→
− →
− →
−
F = q( E + V ∧ B )
La f.e.m induite dans le circuit mobile C, à l’instant t est donc :
−
I
I →
F →
→
− →
− →
−
−r
· d −r = ( E + V ∧ B ) · d →
e(t) =
q
C
C
En Appliquant la relation de Maxwell-Faraday au circuit C, à l’instant t.
I
e(t) =
→
− →
E · d −r +
C
I
→
− →
−
−r
( V ∧ B ) · d→
C
→
−
I
∂B →
→
− →
−
−r
e(t) = −
·−
n dS + ( V ∧ B ) · d →
(4.7)
S ∂t
C
Qui est l’expression générale de la force électromotrice induite. L’équation 4.7 met en évidence
l’induction statique
Z
→
−
∂B →
·−
n dS
−
S ∂t
Z
et l’induction motionnelle
I
→
− →
−
−r
( V ∧ B ) · d→
C
Remarque : Cette expression générale de la fem induite ne fait appel qu’à des grandeurs, des contours
ou des surfaces bien définis à chaque instant dans le référentiel
4.4.2
Cas particuliers d’application de fem générale
4.4.2.1
Force électromotrice induite par une spire fixe dans un champ magnétique tournant
On considère une spire rectangulaire MNOP, de côte a et b, immobile dans un plan vertical. Elle est
soumise à l’action d’un champ magnétique uniforme tournant dans un repère cartésien (x, y, z) tel que
−
→
−
−
Ba = Ba cos(ωt)→
e x + Ba sin(ωt)→
ey
La vitesse de déplacement étant nulle, l’expression générale de la fem se résume à
→
−
∂B →
e(t) = −
·−
n dS
S ∂t
Z
CHAPTER 4. INDUCTION ÉLECTROMAGNÉTIQUE
53
Figure 4.6:
La normale à la spire a pour expression
−
−
→
−
ey
ex + sin α0 →
n = cos α0 →
où αo est l’angle que fait la normale avec l’axe Ox
→
−
∂B
−
−
= −ωBa sin(ωt)→
ex + ωBa cos(ωt)→
ey
∂t
En intégrant on trouve la fem d’induction
e(t) = Ba abω sin(ωt − α0 )
4.4.2.2
Force électromotrice induite par une spire en rotation dans un champ magnétique
constant
La spire rectangulaire précédente tourne avec une vitesse angulaire Ω autour de l’axe Oz et subit
→
−
−
l’action d’un champ magnétique uniforme B a = Ba →
e x.
Figure 4.7:
La normale positive à pour expression
→
−
−
−
n = cos(Ωt + α0 )→
e x + sin(Ωt + α0 )→
ey
Calculons la fem due au mouvement de la spire dans le champ
I
e(t) =
C
Sur les brins horizontaux
→
− →
−
−r
( V ∧ B a) · d→
→
− →
−
−r = 0
( V ∧ B a) · d→
54
4.4. CIRCUIT MOBILE DANS UN CHAMP MAGNÉTIQUE
seuls les termes liés aux brins verticaux identiques en raison de symétrie sont non nuls. Les coordonnées
d’un point de ces brins sont : Le point P sur le brin SP est tel que
π −
a
π −
−→ a
e x + sin(Ωt + α0 − )→
ey
OP = cos(Ωt + α0 − )→
2
2
2
2
La vitesse du point P est alors
−→
d OP
a
π −
a
π −
→
−
V =
= − Ω sin(Ωt + α0 − )→
e x + Ω cos(Ωt + α0 − )→
ey
dt
2
2
2
2
En effectuant le produit vectoriel et en intégrant on a
Z −b/2
e(t) = 2
b/2
a
π
− Ω cos(Ωt + α0 − )B0 dz
2
2
e(t) = B0 abΩ sin(Ωt + α0 )
4.4.2.3
(4.8)
(4.9)
Force électromotrice induite dans un circuit de constitution variable
On considère le système constitué d’un barreau conducteur MN, de longeur l, de résistance r, glissant
le long de deux rails parallèles, perpendiculairement à leur direction. Ce système beigne dans un
→
−
−
espace où reigne un champ magnétique uniforme B a = Ba →
ez
Figure 4.8:
→
−
Le champ B a étant stationnaire, seul le barreau MN est mobile. Il vient
I Z
→
− →
→
− →
− →
− →
− →
− →
− −−→
−
e(t) =
V ∧ B a ·d r =
V ∧ B a · d l = V ∧ B a · MN = −BaV l
c
MN
−
−
En notant d →
x =→
v dt, fa fem peut s’écrire à l’aide du flux coupé.
I →
− →
− −
e(t) =
V ∧ B a · d→
r
c
1
e(t) = −
dt
Z
MN
→
− →
−
→
−
d x ∧d l · B a
e(t) = −BaV l
Chapter 5
Inductances mutuelles -Inductances propres
des circuits électriques
5.1
Introduction
Le phénomène d’induction a pour conséquence l’apparution dans les circuits des fem induites liées
à l’interaction électromagnétique. Il résulte de cette interaction un couplage magnétique. Celui-ci
s’exprime en fonction des coefficients géométriques appelés inductance mutuelles et inductances
propres des circuits.
5.2
Inductance mutuelle de deux circuits
Considérons deux circuits filiformes C1 et C2 parcourues par des courants I1 et I2 On caractérise
Figure 5.1:
l’interaction magnétique à l’aide du flux du champ magnétique crée par l’un des circuits à travers
l’autre. Le flux Φ12 , à travers C1 du champ B2 crée par C2 est proportionnel au courant I2 .
5.3
Inductance mutuelle de deux circuits
On peut donc introduire le coefficient suivant
L12 =
Φ12
I2
55
(5.1)
56
5.3. INDUCTANCE MUTUELLE DE DEUX CIRCUITS
qui ne dépend pas de l’intensité I2 . L’expression de L12 s’obtient en explicitant Φ12
Z
Φ12 =
S1
I
~B2 (~r) · n~1 dS1 =
C1
~A2 (~r1 ) · d~r1
(5.2)
~A2 est le potentiel vecteur associé à ~B2 et S1 la surface s’appuyant sur le circuit C1 .
~A2 (~r1 ) = (µ0 I2 /4π)
d~r2
c2 k~r1 −~r2 k
(5.3)
d~r2 d~r1
c2 k~r1 −~r2 k
(5.4)
I
I I
Φ12 = (µ0 I2 /4π)
c1
d’où
d~r2 · d~r1
c2 k~r1 −~r2 k
I I
L12 = (µ0 /4π)
c1
(5.5)
De même
L21 =
Z
Φ21 =
S2
Φ21
I1
(5.6)
~B1 (~r2 ) · n~2 dS21 =
I
C2
~A1 (~r2 ) · d~r2
(5.7)
On tire L21
d~r2 · d~r1
c2 k~r1 −~r2 k
I I
L21 = (µ0 /4π)
c1
(5.8)
On a
L12 = L21 = M
avec
d~r2 · d~r1
c2 k~r1 −~r2 k
I I
M = (µ0 /4π)
c1
(5.9)
M est le coefficient d’induction mutuelle des circuits C1 et C2 . En introduisant l’expression d’un
courant volumique, on a
L21 =
1
I1 I2
1
J~1 · ~A2 dϑ1 =
I1 I2
ϑ1
Z
Z
J~2 · ~A1 dϑ2
(5.10)
ϑ2
Remarque : L’inductance mutuelle est une grandeur qui ne dépend que de la géométrie et de la
disposition relative des deux circuits. C’est une quantité algébrique dont le signe dépend de l’orientation
relative choisie. Sa valeur SI se mesure en Henry et a pour symbole H
CHAPTER 5. INDUCTANCES MUTUELLES -INDUCTANCES PROPRES DES CIRCUITS
ÉLECTRIQUES
5.4
5.4.1
Inductance propre
57
Définition
Tout circuit parcouru par un courant I crée un champ magnétique ~B dans lequel il est plongé. Le
flux de ce champ à travers le circuit, quand il peut être défini, est donc proportionnel à I. On appelle
inductance propre d’un circuit notée L, le rapport
Φ
I
L=
5.4.2
(5.11)
Expression de l’induction propre d’un circuit
Utilisons l’expression de l’induction mutuelle entre deux circuits. Ici on confond les circuits C1 et C2
en un même circuit C de volume ϑ . Le coefficient d’induction propre est dans ces conditions
1
L= 2
I
→
−
→
−
J (r) · A (r)dϑ
Z
(5.12)
ϑ
Dans le cas d’une distribution superficielle de courant, cette formule devient puisque
→
−
→
−
J dϑ = Js dS
Le coefficient d’induction propre est dans ces conditions
1
L= 2
I
−
→
− →
Js · A dS
Z
(5.13)
ϑ
Exemple : Inductance propre d’un solénoïde
Un solénoïde d’axe Oz de rayon R, de n spire par unité de longueur parcourue par un courant d’intensité
I, peut être assimilé à une nappe cylindrique de courant surfacique
~JS = nI~eϕ
Le potentiel vecteur créé par une telle distribution est pour ρ 6 R donné par
µ0 nIρ
→
−
A in =
~eϕ
2
(5.14)
L’inductance propre du solénoïde, pour une longueur l est
1
L = 2
I
Z l Z 2π
nI
0
0
µ0 nIR
Rdϕdz
2
(5.15)
L’inductance propre par unité de longueur est alors
L/l = µ0 n2 πR2
On constate que l’inductance propre dépend des caractéristiques géométrique.
(5.16)
58
5.5
5.5.1
5.5. INDUCTANCE D’UN ENSEMBLE DE DEUX CIRCUITS COUPLÉS
Inductance d’un ensemble de deux circuits couplés
Matrice inductance
On considère deux circuits C1 et C2 . Le flux du champ magnétique à travers C1 est la somme des flux
Φ11 et Φ12 qui sont respectivement le flux produit par C1 sur lui même et le flux produit par C2 . On a
Φ1 = Φ11 + Φ12
(5.17)
De même, le flux Φ2 à travers C2 est la somme de Φ21 du champ produit par C1 et Φ22 le flux produit
par C2 sur lui même.
Comme
Φ11 = L11 I1
Φ12 = MI2
Φ21 = MI1
et
Φ22 = L22 I2
Il en résulte
Φ1 = L11 I1 + MI2
Φ2 = MI1 + L22 I2
(5.18)
(5.19)
Ces relations linéaires peuvent être condensées sous une forme matricielle. On a alors
[Φ] = [L] [I]
(5.20)
où
[L] =
L11 M
M L22
est la matrice inductance du système des deux circuits. Le déterminant de la matrice [L] est donné par
la relation
L11 L22 − M 2
On introduit le facteur de couplage magnétique k tel que
|M|
k= √
L11 L22
(5.21)
Le couplage est dit serré si k ' 1 et lâche si k ' 0. En pratique k = 1 signifie que toutes les lignes
du champ créé par un des circuits traverse entièrement l’autre circuit et réciproquement. C’est cette
condition qui est réalisée dans un transformateur.
CHAPTER 5. INDUCTANCES MUTUELLES -INDUCTANCES PROPRES DES CIRCUITS
ÉLECTRIQUES
5.5.2
Inductance équivalente à deux inductances en série
59
On considère deux circuits couplés magnétiquement. Soit L1 , L2 et M les coefficients d’inductance
pour une disposition donnée des deux enroulements A1 B1 et A2 B2 . On a
Φ1 = L1 I1 + MI2
et
Φ2 = MI1 + L2 I2
Si l’on place en série les deux enroulements en joignant les points B1 et A2 , les intensités sont les
mêmes, c’est à dire que I1 = I2 = I, Le flux à travers le circuit résultant est la somme
Figure 5.2:
Φ = Φ1 + Φ2
Φ = (L1 + L2 + 2M) I
L = L1 + L2 + 2M
(5.22)
(5.23)
(5.24)
Si la mise en série est réalisée en reliant B1 à B2 , on a I1 = −I2 = I. Les flux se retranchent Φ = Φ1 −Φ2 .
Il en résulte que
Φ = (L1 + L2 − 2M) I
L = L1 + L2 − 2M
(5.25)
(5.26)
L’inductance propre équivalente à deux bobinages en série peut varier suivant la valeur de M
Figure 5.3:
5.6
Transformateurs
Un transformateur est constitué de deux circuits en général électriquement isolés. Ils sont bobinés
sur un même matériau ferromagnétique de façon à réaliser un couplage magnétique maximale par
canalisation des lignes de champ dans le milieu. L’un des enroulement, le primaire est alimenté par
une source de tension u1 (t). Si l’on désigne par r1 sa résistance et Φ1 le flux total qui le traverse on a
u1 (t) = r1 i1 (t) +
dΦ1
dt
60
5.7. CONCLUSION
Figure 5.4: Représentation schématique d’un transformateur
Pour le deuxième enroulement, c’est à dire au secondaire
u2 (t) = r2 i2 (t) +
dΦ2
dt
En général, les résistances des enroulements sont négligeables devant les forces électromotrices
d’induction. Les équations précédentes devienne alors
u1 '
di1
dΦ1
di2
= L11
+M
dt
dt
dt
(5.27)
u2 '
dΦ2
di1
di2
=M
+ L22
dt
dt
dt
(5.28)
et
En combinant les deux équations on tire u2
M
L11 L22 − M 2 di2
u2 =
+
L11
L11
dt
(5.29)
M
u2 (t)
=
u1 (t) L11
(5.30)
Comme k ' 1 on a
Comme
L11 = N1 Φ/i1
et
M = N2 Φ/i1
On a la loi
u2 (t) N2
=
u1 (t) N1
(5.31)
Dans un transformateur idéal, le rapport des tensions aux bornes des deux circuits primaires et
secondaire est égale au rapport des nombres de spires de ces enroulements.
5.7
Conclusion
L’inductance mutuelle M de deux circuits et l’inductance propre L d’un circuit ont pour expressions
respectives
CHAPTER 5. INDUCTANCES MUTUELLES -INDUCTANCES PROPRES DES CIRCUITS
ÉLECTRIQUES
Φ12
I2
Φ
L=
L
M=
61
(5.32)
(5.33)
Alors que L est toujours positif, M peut être positif ou négatif suivant le choix d’orientation des circuits
en interaction.
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