Chapitre 12345

COURS
D’ELECTROMAGNETISME
Prof. Olivier OBROU
Université FHB Cocody
ICTP Research Associate

Copyright c 2018 Olivier OBROU
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Table des Matières
1 Outils mathématiques 6
1.1 Introduction....................................... 6
1.2 Systèmesdecoordonnées................................ 6
1.2.1 Coordonnées Cartésiennes (~ex,~ey,~ez)...................... 6
1.2.2 Coordonnées cylindriques (~eρ,~eϕ,~ez) ..................... 7
1.2.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Flux et Circulation d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Champscalaire................................. 9
1.3.2 Champvectoriel ................................ 9
1.3.3 Lignedechamp................................. 9
1.3.4 Tubedechamp ................................. 10
1.3.5 Champ scalaire et champ vectoriel particulier . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.6 Orientation d’une surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.7 Flux d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.8 Formule d’Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Circulation d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.1 FormuledeStokes............................... 12
1.5 Opérateurs différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.1 Le gradient d’une fonction scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5.2 Divergence d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5.3 Exercice d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.5.4 Rotationel d’un champ de vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 Le champ magnétique - propriétés du champ magnétique 19
2.1 Introduction....................................... 19
2.2 Sources du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.1 Action magnétique entre deux aimants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.2 ForcedeLorentz ................................ 20
2.3 Expression du Champ, loi de Biot-Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.1 Champ créé par une charge en mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2 Champ créé par un ensemble de charges discrètes . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.3 Champ créé par une distribution continue de charges . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.4 Champ créé par un circuit électrique : Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . 22
2.3.5 Formule de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Orientation du vecteur champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5 Unitédemesure..................................... 23
3

4TABLE DES MATIÈRES
2.6 Propriété de symétrie du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6.1 Plandesymétrie ................................ 24
2.6.2 Pland’antisymétrie............................... 24
2.7 Invariancedessources ................................. 25
2.7.1 Invariance des sources par translation le long d’un axe . . . . . . . . . . . . 25
2.7.2 Invariance des sources par rotation autour d’un axe . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Champs magnétiques créés par des circuits filiformes de forme simple . . . . . . . . 25
2.8.1 Champ magnétique créé par un fil rectiligne de longueur infinie . . . . . . . 25
2.8.2 Champ magnétique créé par une spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.8.3 Solénoïde.................................... 28
2.9 Propriétés du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.1 Circulation du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9.2 Théorème d’Ampère (forme intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.9.3 Théorème d’Ampère (forme locale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.10Fluxduchampmagnétique............................... 31
2.10.1 Divergence du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10.2 Flux du champ magnétique à travers une surface fermée . . . . . . . . . . . 32
2.11Potentielvecteur .................................... 32
2.11.1 Définition ................................... 32
2.11.2 InvariancedeJauge............................... 33
2.11.3 EquationdePoisson.............................. 33
2.12 Potentiel vecteur créé par une distribution de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.12.1 Distribution surfacique/linéique de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.13 Equation de Passage du champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.13.1 Continuité de la composante normale du champ . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.13.2 Discontinuité de la composante tangentielle du champ . . . . . . . . . . . . 36
3 Action du magnétique - Energie magnétique 37
3.1 Introduction....................................... 37
3.2 Conducteur dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Force élémentaire sur un élément de conducteur placé dans un champ magnétique 37
3.2.2 ForcedeLaplace ................................ 38
3.2.3 Orientation de la force de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2.4 Différences entre la force de Laplace et la force de Lorentz . . . . . . . . . . 39
3.2.5 Particule chargée en mouvement dans un champ magnétique uniforme . . . . 39
3.3 EffetHall ........................................ 40
3.3.1 Champ et Tension de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.2 CoefficientdeHall ............................... 42
3.4 Loi des actions électrodynamiques d’Ampère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.1 Définition de l’unité ’Ampère’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5 Travail électromoteur et travail des forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5.1 Travail des forces de Laplace en fonction du flux - Flux coupé . . . . . . . . 45
3.5.2 Expression de la force de Laplace en fonction du flux - Cas d’un mouvement
detranslation.................................. 46

TABLE DES MATIÈRES 5
4 Induction électromagnétique 47
4.1 Introduction....................................... 47
4.2 LoideFaraday ..................................... 47
4.2.1 Approche expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.2 Interprétation et enoncé de la loi de Farady . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Relation de Maxwell-Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.4 Exemple de calcul de la force électromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2.5 Potentiel Vecteur et Potentiel Scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Auto-induction ..................................... 51
4.3.1 LoideLenz................................... 51
4.3.2 LoideLenz .................................. 51
4.4 Circuit mobile dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.1 Expression générale de la force électromotrice . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4.2 Cas particuliers d’application de fem générale . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5 Inductances mutuelles -Inductances propres des circuits électriques 55
5.1 Introduction....................................... 55
5.2 Inductance mutuelle de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.3 Inductance mutuelle de deux circuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.4 Inductancepropre.................................... 57
5.4.1 Définition.................................... 57
5.4.2 Expression de l’induction propre d’un circuit . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.5 Inductance d’un ensemble de deux circuits couplés . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.5.1 Matriceinductance............................... 58
5.5.2 Inductance équivalente à deux inductances en série . . . . . . . . . . . . . . 59
5.6 Transformateurs..................................... 59
5.7 Conclusion ....................................... 60