Géométrie – les angles Définition. Un angle est formé de tous les points situés entre __________________ __________________ P Prolonge les demi-droites qui forment l’angle de sommet P. Notation. Dans le quadrilatère ABCD, il y a 4 sommets : _________________. A est un sommet,  est ______________________ _______________. Colorie-le en vert sur le schéma. L’angle  est déterminé par les demi-droites _______ et _______. Pour être plus précis, on note aussi _____ ou encore _____. Les 3 notations de l’angle de sommet C : 𝐶̂ , 𝐵𝐶̂ 𝐷 et 𝐷𝐶̂ 𝐵. Donne les 3 notations qui désignent l’angle de sommet D : Et pour l’angle de sommet B : 1 Sommet. Le sommet d'un polygone est le point d'intersection de deux côtés consécutifs. Les sommets de ce polygone sont : ____________. Les sommets d'un solide sont les sommets des faces de ce solide. Les sommets du solide ci-contre sont : ___________________. Amplitude. L’amplitude d’un angle est la mesure de son ouverture. L’unité utilisée est le degré (…°). On note l’amplitude d’un angle comme ceci : |Â| = 90° On peut donc noter : |Â| = |𝐷Â𝐵| = |𝐵Â𝐷| = 90° Angle droit. Un angle droit a une amplitude de 90°. Sur un dessin, on le représente par un petit angle. ou Amplitude : |Ô| = 90° 2 Angle aigu. Un angle aigu est un angle plus fermé qu'un angle droit. Son amplitude est inférieure à 90°. Amplitude : |Ô| < 90° Angle plat. Un angle plat est un angle dont les côtés forment une droite. Un angle plat a une amplitude de 180°. Amplitude : |Ô| = 180° Angle obtus. Un angle obtus est un angle plus ouvert qu'un angle droit et plus fermé qu'un angle plat. Son amplitude est comprise entre 90° et 180°. Amplitude : 90° < |Ô| < 180° 3 Angle nul. Il est « fermé », l'angle nul a une amplitude de 0°. Un angle nul est un angle aux côtés sont confondus (au même endroit). Amplitude : |Ô| = 0° O Nature d’un angle. Préciser la nature d'un angle signifie qu'il faut indiquer s'il est aigu, obtus, droit, nul ou plat. Complète la synthèse avec tes nouvelles connaissances : Schéma Nom Amplitude Angle nul |Ô| = 0° O 4 Mesure, report et construction d’angles Sur ton équerre, il y a un rapporteur : mesure l’amplitude de Ô. |Ô|= O Comment mesurer l’amplitude d’un angle ? Place ton rapporteur (ou ton équerre) comme ci-dessous : O P |𝐶Ô𝑃| = C |𝐵Â𝐶| = Question… Pourquoi l’angle en haut de la page a-t-il 1 degré d’amplitude ? D’où nous vient cette unité de mesure ? Pour le savoir, calcule combien de fois 1˚ rentre dans le cercle : il rentre _____ fois. 5 La Terre tourne d'environ un degré autour du Soleil chaque jour !! As-tu compris d’où vient le degré ? La Terre fait son tour du Soleil en …… an, donc en …… jours. On a arrondi ce nombre à …… pour pouvoir décider du nombre de degrés dans un tour complet. Un cercle contient ……… angles de 180˚, ……… angles de 90°, ……… angles de 45°, etc. Et enfin ……… angles de 1˚. L’angle d’un disque (espace contenu dans un cercle) mesure 360°. C’est un tour complet. EXERCICES 1. Quelle angle est-il ? Mesure l’amplitude de TÛV puis de HÎJ. T H J V U |TÛV|= I |HÎJ|= 6 2. À présent, donne les amplitudes et natures d’angles que montre l’horloge l’après-midi : Midi 13:00 14:00 15:00 16:00 17:00 18:00 …… …… 60˚ …… …… …… …… ……… ……… aigu ……… ……… ……… ……… 3. C’est l’heure du soir ! Que montre l’horloge à 19:00 ? Trace les deux aiguilles qui forment l’angle 𝑁𝑂̂𝑃. Calcule l’amplitude… En mesurant avec tes outils : |𝑁Ô𝑃| = En te basant sur la suite logique que montre le tableau de l’exercice précédent : |𝑁Ô𝑃| = Remarques Un même angle peut donc avoir deux amplitudes, dépendant du sens de lecture ! Pour éviter les confusions, quand on te demandera de mesurer une amplitude d’angle, on attend la plus ………………… des deux. Donc celle qui est inférieure à ……… degrés. 7 4. Donne la notation et l’amplitude des 10 angles en couleur : |IÂK|= ____˚ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. Angles adjacents. Deux angles sont ADJACENTS si : Ils ont un sommet commun. Ils ont un côté commun. Ils se trouvent de part et d’autre de ce côté commun. Exemples XÔY et XÔZ sont adjacents. OÎZ est adjacent à ZÎS. 8 M Contre-exemple S N G Les angles MSG et NSG ont un __________ commun et un __________ commun. Mais ils ne sont pas __________________ du côté commun… ils sont du même côté du côté [SG. ils ne sont donc pas adjacents. 2. Angles opposés par le sommet. Deux angles dont les ________ sont dans le _____________ l’un de l’autre sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET. X U Propriété : Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. O Y V 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑋Ô𝑌 et 𝑈Ô𝑉 sont opposés par le sommet ⇒ ils ont la même amplitude. Exercice : sur le manuscrit de droite, ajoute 3 paires d’angles adjacents et 2 paires d’angles opposés par le Paires d’angles adjacents sommet. 𝐴𝐸̂ 𝐷 et 𝐷𝐸̂ 𝐵 et et et Paires d’angles opposés par le sommet et et 9 3. Angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants. ALTERNES-INTERNES Angles alternes-internes Situation : deux droites. une 3ème droite sécante. Des angles alternes-internes sont de part et d’autre de la droite sécante, à l’intérieur des deux autres droites. Trace un exemple ici : ALTERNES-EXTERNES Trace un exemple ici : Angles alternes-externes Situation : deux droites. une 3ème droite sécante. Des angles alternes-externes sont de part et d’autre de la droite sécante, à l’extérieur des deux autres droites. 10 CORRESPONDANTS Trace un exemple ici : Angles correspondants Situation : deux droites. une 3ème droite sécante. Des angles correspondants ‘’regardent dans la même direction’’. On observe que 2 droites sont coupées par une troisième droite sécante. Cette droite sécante forme 8 angles avec les deux autres droites. Dans le cadre, trace à nouveau les droites a,b et c avec les angles Â1, Â2, Â3, Â4, 𝐵̂1, 𝐵̂2, 𝐵̂3 et 𝐵̂4. Cette fois, fais en sorte que a soit parallèle à b. 11 D’après le schéma de la page précédente, compare l’amplitude d’une paire d’angles : Alternes-internes : Alternes-externes : Correspondants : Que constates-tu ? Ces paires d’angles ont à chaque fois la ………………………………… 4. Propriété des angles alternes-internes. Si les droites ___ et ___ sont ___________, alors ces angles alternesinternes ont la même amplitude. L P f’ R f S ̂ 𝑹 sont des angles alternes-internes. 𝑳𝑱̂𝑲 𝑒𝑡 𝑱𝑲 Donne l’autre paire d’angles alternes-internes : _________ et ________ 12 5. Propriété des angles alternes-externes. Si les droites ___ et ___ sont ___________, alors ces angles alternesexternes ont la même amplitude. Les angles coloriés sont des angles alternes-externes. 6. Propriété des angles correspondants. Si les droites ___ et ___ sont ___________, alors ces angles correspondants ont la même amplitude. Trace le schéma de cette propriété : 13 Exercices 1. Voici un carré avec ses diagonales et médianes. Complète par correspondants, alternes-internes ou opposés par le sommet : E𝐴̂O et F𝑂̂C sont _________________ E𝑂̂B et D𝑂̂G sont _________________ ̂ G sont ________________ E𝐵̂O et O𝐷 O𝐴̂H et O𝐶̂ B sont _________________ B𝑂̂F et H𝑂̂D sont _________________ ̂ G sont _________________ B𝑂̂F et B𝐷 ̂ A et O𝐵̂C sont ________________ O𝐷 2. D’après les informations de la figure cicontre, donne l’amplitude de AÊD. Justifie ta réponse par une propriété. 3. Calcule l’amplitude de 𝐺𝐶̂ 𝐼 et 𝐻𝐶̂ 𝐼 pour connaître celle de 𝐺𝐶̂ 𝐻. Justifie avec des propriétés. |𝐺𝐶̂ 𝐼|= |𝐻𝐶̂ 𝐼|= |𝐺𝐶̂ 𝐻|= 14 Démontre mathématiquement : la somme des amplitudes des angles intérieurs d’un triangle est-elle toujours de 180° ? 1. On sait que (HYPOTHÈSE) : a. Le triangle ABC est quelconque. b. Les trois angles intérieurs au triangle sont : ______ , _____ et _____. c. La droite d est parallèle à un côté et passe par le sommet opposé à ce côté. Trace ton schéma ici : 2. On veut prouver (THÈSE) : …………………………………………………………………………………… 3. On prouve (DÉMONSTRATION) : La droite d forme 2 nouveaux angles adjacents à _______. Pour pouvoir nommer ces angles, place 2 nouveaux points sur la droite d : ___ et ___. Ces 2 nouveaux angles (____ et ____) et celui entre eux forment un angle _____ et par conséquent : | …………… | + | …………… | + | | Par la propriété des angles _____________ , on a { | …………… ° |= |=| …………. | et |=| | Et donc |…………| + |……………| + |…………| =………….° 15 Définis : un angle extérieur à un polygone. Un angle extérieur à un polygone est ______________________ , entre ………………………………….………………………………….………………………………………………….. Trace le schéma d’un angle extérieur au polygone indiqué : Triangle quelconque Quadrilatère quelconque Propriété : l’amplitude d’un angle extérieur à un triangle vaut : ___________________________ ___________________________ Trace un schéma et prouve cette propriété : 16 A. Somme des amplitudes intérieures d’un polygone convexe On connaît la somme des amplitudes intérieures d’un triangle mais pas encore d’un quadrilatère… Utilise la 1ère relation pour prouver la 2ème ! Dissèque le quadrilatère indiqué en un minimum de triangles : Quadrilatère convexe quelconque Quadrilatère concave en « cerf-volant » en « sablier » Quel que soit le quadrilatère, une dissection géométrique minimale le découpera en ___________________________. Ci-dessous, dissèque un quadrilatère et prouve que la somme de ses amplitudes intérieures vaut 360° : Et pour les pentagones, hexagones, heptagones… bref, pour les polygones convexes à n côtés ? Au verso de cette page, trace des polygones convexes à 5, 6 et 7 côtés puis dissèque-les en un minimum de triangles. 17 À partir de ces schémas, tu peux calculer la somme des amplitudes intérieures d’un polygone convexe à 5, 6, et 7 côtés : Polygone Somme des amplitudes intérieures Triangle Quadrilatère (quelconque) …………………… = …………° Pentagone convexe Hexagone convexe Heptagone convexe D’après les calculs du tableau ci-dessus, penses-tu pouvoir calculer la somme des amplitudes intérieures d’un octogone, ennéagone, décagone et polygone à n côtés sans tracer leur schéma ni les disséquer en triangles ? Polygone Somme des amplitudes intérieures Octogone convexe Ennéagone convexe Décagone convexe … Polygone convexe à n côtés En écrivant cette formule à la dernière ligne du tableau, tu viens de généraliser le calcul d’amplitudes intérieures pour n’importe quel polygone convexe. Réécris la relation ici : __________________________________________________________ _______________________________________________. 18 B. Somme des amplitudes extérieures d’un polygone convexe Trace les angles extérieurs du pentagone convexe ci-dessous, mesure leur amplitude puis calcule leur somme. Utilise tes instruments de mesure avec précision. Remarques : Prolonge tous les côtés dans le même sens. Place un point sur chaque prolongement de côté pour pouvoir nommer les angles extérieurs formés : | |+| |+| |+| ………………… ………………… ………………… 1. 2. 3. |+| ………………… 4. |= ………………… ° ………… 5. Trace un schéma qui prouve cette propriété : Au verso de cette page, retrace avec précision ces 5 angles extérieurs : o En repositionnant leurs sommets Y, B, T, H et N au même endroit, le point O. o Ils auront alors tous le même sommet et seront adjacents l’un avec l’autre. 19 C. Exercices Attention : les schémas des exercices sont erronés. 1. Sur la figure ci-contre, parmi les droites a, b et c, quelles sont celles qui sont parallèles à la droite d ? Justifie. a 103° b d c 78° 103° e 77° 2. Donne la nature du triangle sachant que a est parallèle à b. Justifie. a 60° 120° b 3. Si tu sais que ATOM est un parallélogramme, calcule les angles et justifie par des propriétés. |𝐴̂1 | = 32° 4 A 3 2 1 T 1 |𝐴̂2 | = 80° |Â3|= M 1 2 |Â4|= 3 4 1 O |Ô1|= |Ô2|= |Ô3|= |Ô4|= 20 4. Si TS et QR sont les bases d’un trapèze, calcule l’amplitude de l’angle extérieur de sommet T. Justifie. Q R 131° S T 5. Trouve l’amplitude de l’angle A2 pour que les droites a et b soient parallèles. Justifie. A1 A3 a A2 A4 42° b 6. Complète par // ou //. Justifie. 52° a 48° 48° b d c a …b car : c… d car : 21 7. Ce croquis a été fait à main levée. L’angle 𝐴𝐶̂ 𝐸 est-il plat ? justifie. 8. Retrace cette figure faite à main levée en vraie grandeur. Les points A, R et T sont alignés. 22 Ci-dessous : Calcule les amplitudes intérieures. Vérifie la propriété utilisée. Écris la nature de la figure. 9. Calcul : F |𝑃̂| = 40° …… ̂ | = 50° |𝐻 P …… H …… Vérification de la propriété : C’est un triangle __________ __________. 10. |𝐺̂ | = 𝑥 G …… ̂| = 𝑥 |𝑊 …… W Calcul : …… |𝐽̂| = 98° J Vérification de la propriété : C’est un _______ __________ __________. 11. F |𝐿̂| = 84° ̂| = 𝑥 |𝑀 …… et |𝐹̂ | = 2𝑥 L Vérification de la propriété : …… …… M C’est un __________________. 23 12. |Â|=2x A |𝑌̂| = 𝑥 − 20 et |𝑍̂| = 𝑥 + 20 …… Y …… …… Z Vérification : C’est un __________________. 13. R |𝑇̂| = 30° …… …… |𝑅̂| = 𝑥 𝑒𝑡 |𝑆̂| = 2𝑥 S …… T Vérification : C’est un __________________. 14. |Î|=50° J ̂ | = 𝑥 + 30 |𝐽̂| = 𝑥 et |𝐾 …… I …… …… Vérification : K C’est un __________________. 15. x x-20 2x x+20 Vérification : C’est un… 24 16. 90° x-20 x 90° Vérification : C’est un __________________. 17. M |𝑃̂| = 60° = |𝑆̂| S …… ̂ | = |𝑁 ̂ | = 2|𝑃̂| |𝑀 …… …… …… P N Vérification : MSNP est un __________________. 18. Détermine de quel quadrilatère il s’agit. Calcule d’abord l’amplitude des angles intérieurs et de l’angle extérieur ci-dessous. Justifie. 3x 2x 2x x 25 Constructions « à la règle et au compas » C’est-à-dire avec uniquement ton compas et de quoi tracer bien droit… Apprends à tracer la perpendiculaire à une droite donnée : Élève la perpendiculaire 𝑏 à la droite 𝑎 passant par le point 𝐴. a Notations. A I. II. III. 𝐴 𝑎 𝑏 𝑎 Avec une ouverture de compas arbitraire, place deux points sur 𝑎 à égale distance de 𝐴. À partir des deux points placés et avec une ouverture de compas identique, trace un arc de cercle. Relie les deux points d’intersection des deux arcs de cercle. En traçant la _____________ du segment déterminé par les deux points placés, tu viens d’élever une perpendiculaire passant par un point. Abaisse la perpendiculaire 𝑏 à la droite 𝑎 passant par le point 𝐴. a A Notations. 𝐴 𝑎 𝑏 𝑎 Même méthode que pour l’élévation… 26 Apprends à tracer la parallèle à une droite donnée : Trace la droite 𝐷𝐴 parallèle à la droite 𝐵𝐶 passant par le point 𝐴. A BC Notations. I. II. III. IV. 𝐴 𝐵𝐶 𝐷𝐴 𝐵𝐶 Place deux points sur 𝑎 (𝐵 vers la gauche et 𝐶 vers la droite). Trace un arc de cercle autour de 𝐴 avec une ouverture de compas de mesure |𝐵𝐶|. Trace un arc de cercle autour de 𝐵 avec une ouverture de compas de mesure |𝐶𝐴|. L’intersection des deux arcs de cercle sera le point 𝐷 et formera un parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷. En construisant un _______________ dont les côtés opposés ont la même longueur, tu viens de tracer une parallèle passant par un point. Apprends à construire un angle ayant une amplitude donnée : Au verso de cette page, construis un angle de 60° d’amplitude. I. II. III. Construis deux points 𝐴 et 𝐵. À partir de 𝐴 et 𝐵 et avec une ouverture de compas |𝐴𝐵|, trace un arc de cercle. Relie le point d’intersection des deux arcs de cercle avec 𝐴 et 𝐵. En construisant un triangle ______________, tu as construit trois angles |Â| = |𝐵̂| = |𝐶̂ | = 60°. Constructions à réaliser. ► Un angle de 120° d’amplitude. C’est l’angle __________ à tout triangle équilatéral… 27 Apprends à diviser un angle en deux angles de même amplitude : Au verso de cette page, construis un angle de 45° d’amplitude. I. II. III. IV. Construis deux droites perpendiculaires (tu vas diviser 90° en deux). Avec une ouverture de compas identique et à partir du sommet de l’angle droit, place un point sur chaque côté. À partir des deux points placés et avec une ouverture de compas identique, trace un arc de cercle. Relie les deux points d’intersection des deux arcs de cercle avec le sommet de l’angle droit. En construisant la _________________ d’un angle droit, tu as construit deux angles de 45° d’amplitude. Constructions à réaliser. ► Un angle de 30° d’amplitude. ► 15° d’amplitude. Apprends à construire un angle de deux angles adjacents : Au verso de cette page, construis un angle de 75° d’amplitude. I. II. Construis deux angles que tu sais déjà construire (……° et ……°). Construis-les pour qu’ils soient adjacents. Tu as additionné à 75° l’amplitude de deux angles adjacents. Constructions à réaliser. ► Un angle de 150° d’amplitude. ► 135° d’amplitude. Essaye de reproduire cet étrange symbole en utilisant pour seuls instruments la règle et le compas. Une fois reproduit à la règle et au compas, essaye avec le programme GeoGebra. 28