Document élève angles

Géométrie – les angles
 Définition.
Un angle est formé de tous les points situés entre __________________
__________________
P
Prolonge les demi-droites qui forment l’angle de sommet P.
 Notation.
Dans le quadrilatère ABCD, il y a 4 sommets : _________________.
A est un sommet,
 est ______________________
_______________.
Colorie-le en vert sur le schéma.
L’angle  est déterminé par les demi-droites _______ et _______.
Pour être plus précis, on note aussi _____ ou encore _____.
Les 3 notations de l’angle de sommet C :
𝐶̂ , 𝐵𝐶̂ 𝐷 et 𝐷𝐶̂ 𝐵.
Donne les 3 notations qui désignent l’angle de sommet D :
Et pour l’angle de sommet B :
1
 Sommet.
Le sommet d'un polygone est le point d'intersection de deux côtés
consécutifs.
Les sommets de ce polygone sont :
____________.
Les sommets d'un solide sont les sommets des
faces de ce solide.
Les sommets du solide ci-contre sont :
___________________.
 Amplitude.
L’amplitude d’un angle est la mesure de son
ouverture.
L’unité utilisée est le degré (…°).
On note l’amplitude d’un angle comme ceci :
|Â| = 90°
On peut donc noter : |Â| = |𝐷Â𝐵| = |𝐵Â𝐷| = 90°
 Angle droit.
Un angle droit a une amplitude de 90°. Sur un dessin, on le représente
par un petit angle.
ou
Amplitude : |Ô| = 90°
2
 Angle aigu.
Un angle aigu est un angle plus fermé qu'un angle droit. Son amplitude
est inférieure à 90°.
Amplitude : |Ô| < 90°
 Angle plat.
Un angle plat est un angle dont les côtés forment une droite. Un angle
plat a une amplitude de 180°.
Amplitude : |Ô| = 180°
 Angle obtus.
Un angle obtus est un angle plus ouvert qu'un angle droit et plus fermé
qu'un angle plat. Son amplitude est comprise entre 90° et 180°.
Amplitude : 90° < |Ô| < 180°
3
 Angle nul.
Il est « fermé », l'angle nul a une amplitude de 0°.
Un angle nul est un angle aux côtés sont confondus (au même endroit).
Amplitude : |Ô| = 0°
O
 Nature d’un angle.
Préciser la nature d'un angle signifie qu'il faut indiquer s'il est aigu,
obtus, droit, nul ou plat.
Complète la synthèse avec tes nouvelles connaissances :
Schéma
Nom
Amplitude
Angle nul
|Ô| = 0°
O
4
Mesure, report et construction d’angles
Sur ton équerre, il y a un rapporteur : mesure l’amplitude de Ô.
|Ô|=
O
Comment mesurer l’amplitude d’un angle ? Place ton rapporteur (ou ton
équerre) comme ci-dessous :
O
P
|𝐶Ô𝑃| =
C
|𝐵Â𝐶| =
Question…
Pourquoi l’angle en haut
de la page a-t-il 1
degré d’amplitude ?
D’où nous vient cette
unité de mesure ?
 Pour le savoir,
calcule combien de fois 1˚ rentre dans le cercle : il rentre _____ fois.
5
La Terre tourne d'environ un degré autour du Soleil chaque jour !!
As-tu compris d’où vient le degré ? La Terre fait son tour du Soleil en
…… an, donc en …… jours. On a arrondi ce nombre à …… pour pouvoir
décider du nombre de degrés dans un tour complet.
Un cercle contient ……… angles de 180˚, ……… angles de 90°, ………
angles de 45°, etc. Et enfin ……… angles de 1˚. L’angle d’un disque
(espace contenu dans un cercle) mesure 360°. C’est un tour complet.
EXERCICES
1. Quelle angle est-il ? Mesure l’amplitude de TÛV puis de HÎJ.
T
H
J
V
U
|TÛV|=
I
|HÎJ|=
6
2. À présent, donne les amplitudes et natures d’angles que montre
l’horloge l’après-midi :
Midi
13:00
14:00
15:00
16:00
17:00
18:00
……
……
60˚
……
……
……
……
………
………
aigu
………
………
………
………
3. C’est l’heure du soir ! Que montre l’horloge à 19:00 ?
Trace les deux aiguilles qui
forment l’angle 𝑁𝑂̂𝑃.
Calcule l’amplitude…
 En mesurant avec tes
outils :
|𝑁Ô𝑃| =
 En te basant sur la suite
logique que montre le tableau de
l’exercice précédent :
|𝑁Ô𝑃| =
Remarques
 Un même angle peut donc avoir deux amplitudes, dépendant du sens
de lecture !
 Pour éviter les confusions, quand on te demandera de mesurer une
amplitude d’angle, on attend la plus ………………… des deux.
 Donc celle qui est inférieure à ……… degrés.
7
4. Donne la notation et l’amplitude des 10 angles en couleur :
|IÂK|= ____˚
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1. Angles adjacents.
Deux angles sont ADJACENTS si :
Ils ont un sommet commun.
Ils ont un côté commun.
Ils se trouvent de part et d’autre de ce côté commun.
Exemples
XÔY et XÔZ sont adjacents.
OÎZ est adjacent à ZÎS.
8
M
Contre-exemple
S
N
G
Les angles MSG et NSG ont un __________ commun et un __________
commun. Mais ils ne sont pas __________________ du côté commun…
 ils sont du même côté du côté [SG.
 ils ne sont donc pas adjacents.
2. Angles opposés par le sommet.
Deux angles dont les ________ sont dans le _____________ l’un de
l’autre sont OPPOSÉS PAR LE SOMMET.
X
U
Propriété : Si deux angles sont
opposés par le sommet alors ils ont la
même mesure.
O
Y
V
𝑑𝑜𝑛𝑐
𝑋Ô𝑌 et 𝑈Ô𝑉 sont opposés par le sommet ⇒
ils ont la même amplitude.
Exercice : sur le manuscrit de droite, ajoute 3 paires d’angles adjacents
et 2 paires d’angles opposés par le
Paires d’angles adjacents
sommet.
𝐴𝐸̂ 𝐷 et 𝐷𝐸̂ 𝐵
et
et
et
Paires d’angles opposés par le sommet
et
et
9
3. Angles alternes-internes, alternes-externes et correspondants.
ALTERNES-INTERNES
 Angles alternes-internes
Situation :
 deux droites.
 une 3ème droite sécante.
Des angles alternes-internes sont de part
et d’autre de la droite sécante, à l’intérieur
des deux autres droites.
Trace un exemple ici :
ALTERNES-EXTERNES
Trace un exemple ici :
 Angles alternes-externes
Situation :
 deux droites.
 une 3ème droite sécante.
Des angles alternes-externes sont de part et d’autre de la droite sécante,
à l’extérieur des deux autres droites.
10
CORRESPONDANTS
Trace un exemple ici :
 Angles correspondants
Situation :
 deux droites.
 une 3ème droite sécante.
Des angles
correspondants ‘’regardent
dans la même direction’’.
On observe que 2 droites sont coupées par une troisième droite sécante.
Cette droite sécante forme 8
angles avec les deux autres
droites.
 Dans le cadre, trace à
nouveau les droites a,b et c
avec les angles Â1, Â2, Â3, Â4,
𝐵̂1, 𝐵̂2, 𝐵̂3 et 𝐵̂4.
 Cette fois, fais en sorte
que a soit parallèle à b.
11
 D’après le schéma de la page précédente, compare l’amplitude d’une
paire d’angles :
 Alternes-internes :
 Alternes-externes :
 Correspondants :
Que constates-tu ?
 Ces paires d’angles ont à chaque fois la …………………………………
4. Propriété des angles alternes-internes.
Si les droites ___ et ___ sont ___________, alors ces angles alternesinternes ont la même amplitude.
L
P
f’
R
f
S
̂ 𝑹 sont des angles alternes-internes.
 𝑳𝑱̂𝑲 𝑒𝑡 𝑱𝑲
Donne l’autre paire d’angles alternes-internes : _________ et ________
12
5. Propriété des angles alternes-externes.
Si les droites ___ et ___ sont ___________, alors ces angles alternesexternes ont la même amplitude.
 Les angles coloriés sont des angles alternes-externes.
6. Propriété des angles correspondants.
Si les droites ___ et ___ sont ___________, alors ces angles
correspondants ont la même amplitude.
 Trace le schéma de cette propriété :
13
Exercices
1. Voici un carré avec ses diagonales et médianes. Complète par
correspondants, alternes-internes ou opposés par le sommet :
E𝐴̂O et F𝑂̂C sont _________________
E𝑂̂B et D𝑂̂G sont _________________
̂ G sont ________________
E𝐵̂O et O𝐷
O𝐴̂H et O𝐶̂ B sont _________________
B𝑂̂F et H𝑂̂D sont _________________
̂ G sont _________________
B𝑂̂F et B𝐷
̂ A et O𝐵̂C sont ________________
O𝐷
2. D’après les informations de la figure cicontre, donne l’amplitude de AÊD. Justifie
ta réponse par une propriété.
3. Calcule l’amplitude de 𝐺𝐶̂ 𝐼 et 𝐻𝐶̂ 𝐼 pour connaître celle de 𝐺𝐶̂ 𝐻.
Justifie avec des propriétés.
|𝐺𝐶̂ 𝐼|=
|𝐻𝐶̂ 𝐼|=
|𝐺𝐶̂ 𝐻|=
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Démontre mathématiquement : la somme des amplitudes des angles
intérieurs d’un triangle est-elle toujours de 180° ?
1. On sait que (HYPOTHÈSE) :
a. Le triangle ABC est quelconque.
b. Les trois angles intérieurs au triangle sont : ______ , _____ et _____.
c. La droite d est parallèle à un côté et passe par le sommet opposé à
ce côté.
Trace ton schéma ici :
2. On veut prouver (THÈSE) :
……………………………………………………………………………………
3. On prouve (DÉMONSTRATION) :
La droite d forme 2 nouveaux angles adjacents à _______. Pour pouvoir
nommer ces angles, place 2 nouveaux points sur la droite d : ___ et ___.
Ces 2 nouveaux angles (____ et ____) et celui entre eux forment un
angle _____ et par conséquent : |
……………
| + |
……………
| + |
|
Par la propriété des angles _____________ , on a {
|
……………
°
|=
|=|
………….
|
et
|=|
|
Et donc |…………| + |……………| + |…………| =………….°
15
Définis : un angle extérieur à un polygone.
 Un angle extérieur à un polygone est ______________________ ,
entre
………………………………….………………………………….…………………………………………………..
Trace le schéma d’un angle extérieur au polygone indiqué :
Triangle quelconque
Quadrilatère quelconque
 Propriété : l’amplitude d’un angle
extérieur à un triangle vaut :
___________________________
___________________________
 Trace un schéma et prouve cette propriété :
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A. Somme des amplitudes intérieures d’un polygone convexe
On connaît la somme des amplitudes intérieures d’un triangle mais pas
encore d’un quadrilatère… Utilise la 1ère relation pour prouver la 2ème !
Dissèque le quadrilatère indiqué en un minimum de triangles :
Quadrilatère convexe
quelconque
Quadrilatère concave
en « cerf-volant »
en « sablier »
 Quel que soit le quadrilatère, une dissection géométrique minimale le
découpera en ___________________________.
 Ci-dessous, dissèque un quadrilatère et prouve que la somme de ses
amplitudes intérieures vaut 360° :
 Et pour les pentagones, hexagones, heptagones… bref, pour les
polygones convexes à n côtés ? Au verso de cette page, trace des
polygones convexes à 5, 6 et 7 côtés puis dissèque-les en un
minimum de triangles.
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À partir de ces schémas, tu peux calculer la somme des amplitudes
intérieures d’un polygone convexe à 5, 6, et 7 côtés :
Polygone
Somme des amplitudes
intérieures
Triangle
Quadrilatère (quelconque)
…………………… = …………°
Pentagone convexe
Hexagone convexe
Heptagone convexe
D’après les calculs du tableau ci-dessus, penses-tu pouvoir calculer la
somme des amplitudes intérieures d’un octogone, ennéagone, décagone
et polygone à n côtés sans tracer leur schéma ni les disséquer en
triangles ?
Polygone
Somme des amplitudes
intérieures
Octogone convexe
Ennéagone convexe
Décagone convexe
…
Polygone convexe à n côtés
En écrivant cette formule à la dernière ligne du tableau, tu viens de
généraliser le calcul d’amplitudes intérieures pour n’importe quel
polygone convexe. Réécris la relation ici :
__________________________________________________________
_______________________________________________.
18
B. Somme des amplitudes extérieures d’un polygone convexe
Trace les angles extérieurs du pentagone convexe ci-dessous, mesure
leur amplitude puis calcule leur somme. Utilise tes instruments de
mesure avec précision.
Remarques :
 Prolonge tous les côtés dans le même sens.
 Place un point sur chaque prolongement de côté pour pouvoir
nommer les angles extérieurs formés :
|
|+|
|+|
|+|
…………………
…………………
…………………
1.
2.
3.
|+|
…………………
4.
|=
…………………
°
…………
5.
Trace un schéma qui prouve cette propriété :
 Au verso de cette page, retrace avec précision ces 5 angles
extérieurs :
o En repositionnant leurs sommets Y, B, T, H et N au même
endroit, le point O.
o Ils auront alors tous le même sommet et seront adjacents l’un
avec l’autre.
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C. Exercices
Attention : les schémas des exercices sont erronés.
1. Sur la figure ci-contre, parmi les droites a, b et c, quelles sont celles
qui sont parallèles à la droite d ? Justifie.
a
103°
b
d
c
78°
103°
e
77°
2. Donne la nature du triangle sachant que a est parallèle à b. Justifie.
a
60°
120°
b
3. Si tu sais que ATOM est un parallélogramme, calcule les angles et
justifie par des propriétés.
|𝐴̂1 | = 32°
4
A
3
2
1
T
1
|𝐴̂2 | = 80°
|Â3|=
M 1
2
|Â4|=
3 4
1
O
|Ô1|=
|Ô2|=
|Ô3|=
|Ô4|=
20
4. Si TS et QR sont les bases d’un trapèze, calcule l’amplitude de l’angle
extérieur de sommet T. Justifie.
Q
R
131°
S
T
5. Trouve l’amplitude de l’angle A2 pour que les droites a et b soient
parallèles. Justifie.
A1
A3
a
A2
A4
42°
b
6. Complète par // ou //. Justifie.
52°
a
48°
48°
b
d
c
a …b
car :
c… d
car :
21
7. Ce croquis a été fait à main levée. L’angle 𝐴𝐶̂ 𝐸 est-il plat ? justifie.
8. Retrace cette figure faite à main levée en vraie grandeur.
Les points A, R et T sont alignés.
22
Ci-dessous :
 Calcule les amplitudes intérieures.
 Vérifie la propriété utilisée.
 Écris la nature de la figure.
9.
Calcul :
F
|𝑃̂| = 40°
……
̂ | = 50°
|𝐻
P
……
H
……
Vérification de la propriété :
C’est un triangle __________ __________.
10.
|𝐺̂ | = 𝑥
G
……
̂| = 𝑥
|𝑊
……
W
Calcul :
……
|𝐽̂| = 98°
J
Vérification de la propriété :
C’est un _______ __________ __________.
11.
F
|𝐿̂| = 84°
̂| = 𝑥
|𝑀
……
et |𝐹̂ | = 2𝑥
L
Vérification de la propriété :
……
……
M
C’est un __________________.
23
12.
|Â|=2x
A
|𝑌̂| = 𝑥 − 20 et |𝑍̂| = 𝑥 + 20
……
Y
……
……
Z
Vérification :
C’est un __________________.
13.
R
|𝑇̂| = 30°
……
……
|𝑅̂| = 𝑥 𝑒𝑡 |𝑆̂| = 2𝑥
S
……
T
Vérification :
C’est un __________________.
14.
|Î|=50°
J
̂ | = 𝑥 + 30
|𝐽̂| = 𝑥 et |𝐾
……
I
……
……
Vérification :
K
C’est un __________________.
15.
x
x-20
2x
x+20
Vérification :
C’est un…
24
16.
90°
x-20
x
90°
Vérification :
C’est un __________________.
17.
M
|𝑃̂| = 60° = |𝑆̂|
S
……
̂ | = |𝑁
̂ | = 2|𝑃̂|
|𝑀
……
……
……
P
N
Vérification :
MSNP est un __________________.
18. Détermine de quel quadrilatère il s’agit. Calcule d’abord l’amplitude
des angles intérieurs et de l’angle extérieur ci-dessous. Justifie.
3x
2x
2x
x
25
Constructions « à la règle et au compas »
C’est-à-dire avec uniquement ton compas et de quoi tracer bien droit…
 Apprends à tracer la perpendiculaire à une droite donnée :
Élève la perpendiculaire 𝑏 à la droite 𝑎 passant par le point 𝐴.
a
 Notations.
A
I.
II.
III.
𝐴
𝑎
𝑏
𝑎
Avec une ouverture de compas arbitraire, place deux points sur 𝑎 à
égale distance de 𝐴.
À partir des deux points placés et avec une ouverture de compas
identique, trace un arc de cercle.
Relie les deux points d’intersection des deux arcs de cercle.
En traçant la _____________ du segment déterminé par les deux points
placés, tu viens d’élever une perpendiculaire passant par un point.
Abaisse la perpendiculaire 𝑏 à la droite 𝑎 passant par le point 𝐴.
a
A
 Notations.
𝐴
𝑎
𝑏
𝑎
Même méthode que pour l’élévation…
26
 Apprends à tracer la parallèle à une droite donnée :
Trace la droite 𝐷𝐴 parallèle à la droite 𝐵𝐶 passant par le point 𝐴.
A
BC
 Notations.
I.
II.
III.
IV.
𝐴
𝐵𝐶
𝐷𝐴
𝐵𝐶
Place deux points sur 𝑎 (𝐵 vers la gauche et 𝐶 vers la droite).
Trace un arc de cercle autour de 𝐴 avec une ouverture de compas de
mesure |𝐵𝐶|.
Trace un arc de cercle autour de 𝐵 avec une ouverture de compas de
mesure |𝐶𝐴|.
L’intersection des deux arcs de cercle sera le point 𝐷 et formera un
parallélogramme 𝐴𝐵𝐶𝐷.
En construisant un _______________ dont les côtés opposés ont la
même longueur, tu viens de tracer une parallèle passant par un point.
 Apprends à construire un angle ayant une amplitude donnée :
Au verso de cette page, construis un angle de 60° d’amplitude.
I.
II.
III.
Construis deux points 𝐴 et 𝐵.
À partir de 𝐴 et 𝐵 et avec une ouverture de compas |𝐴𝐵|, trace un arc
de cercle.
Relie le point d’intersection des deux arcs de cercle avec 𝐴 et 𝐵.
En construisant un triangle ______________, tu as construit trois angles
|Â| = |𝐵̂| = |𝐶̂ | = 60°.
Constructions à réaliser.
► Un angle de 120° d’amplitude.
C’est l’angle __________ à tout triangle équilatéral…
27
 Apprends à diviser un angle en deux angles de même amplitude :
Au verso de cette page, construis un angle de 45° d’amplitude.
I.
II.
III.
IV.
Construis deux droites perpendiculaires (tu vas diviser 90° en deux).
Avec une ouverture de compas identique et à partir du sommet de
l’angle droit, place un point sur chaque côté.
À partir des deux points placés et avec une ouverture de compas
identique, trace un arc de cercle.
Relie les deux points d’intersection des deux arcs de cercle avec le
sommet de l’angle droit.
En construisant la _________________ d’un angle droit, tu as construit
deux angles de 45° d’amplitude.
Constructions à réaliser.
► Un angle de 30° d’amplitude.
►
15° d’amplitude.
 Apprends à construire un angle de deux angles adjacents :
Au verso de cette page, construis un angle de 75° d’amplitude.
I.
II.
Construis deux angles que tu sais déjà construire (……° et ……°).
Construis-les pour qu’ils soient adjacents.
Tu as additionné à 75° l’amplitude de deux angles adjacents.
Constructions à réaliser.
► Un angle de 150° d’amplitude.
►
135° d’amplitude.
Essaye de reproduire cet étrange
symbole en utilisant pour seuls
instruments la règle et le compas.
Une fois reproduit à la règle et au
compas, essaye avec le programme
GeoGebra.
28