Confrontation essais-modèle sur une structure composite sandwich originale - Du projet encadré au TP - François Louf (35 ans) Agrégé - Docteur es Mécanique Maître de conférences Enseignements en CAO, conception, calculs éléments finis Recherche en validation/recalage de modèles & incertitudes Emmanuel Baranger (33 ans) Olivier Dorival (33 ans) Agrégé - Docteur es Mécanique Agrégé - Docteur es Mécanique Chercheur CNRS Enseignements en mécanique non linéaire et structures composites Agrégé préparateur Enseignements en ondes et vibrations Recherche sur les composites sandwich & à matrices céramiques Recherche en dynamique des structures basses et moyennes fréquences C A C H A N Ecole Normale Supérieure de Cachan Département de Génie Mécanique www.bksv.com Brüel & Kjær Sound & Vibration Measurement A/S. Copyright © Brüel & Kjær. All Rights Reserved. Référence du projet : 2011-BKUC-0105 Cursus de formation au sein de l’ENS Cachan La formation en sciences pour l’ingénieur a pour principaux objectifs de donner : une culture scientifique de haut niveau une culture technologique orientée vers les défis industriels actuels et futurs La formation des normaliens se déroule en 4 ans Concours Ingénierie Mécanique et Technologie L3 Matériaux et Structures M1 Césure Ingénierie Numérique de Production FES : Sciences Mécaniques Césure M2 autre VTD TACS MAGIS IN2P ISC Etudes Doctorales FES Formation d’Enseignants du Supérieur VTD Véhicules Transports Durables ISC Ingénierie des Systèmes Complexes MAGIS Material & Engineering Sciences TACS Techniques Avancées en Calcul des Structures IN2P Ingénierie Numérique des Produits et Process Cette double culture permet aux normaliens de s’orienter : vers l’enseignement (Agrégés en Ecoles d’ingénieurs, classes préparatoires, IUT) vers l’enseignement supérieur et la recherche vers les services de R&D des grands groupes www.bksv.com, 2 autre Concours Contexte thématique : modélisation & validation La formation dispensée au Département de Génie Mécanique s’appuie fortement sur les projets, et les Travaux Pratiques Ces activités, réalisées au sein des différents laboratoires d’enseignement, permettent notamment : de mettre en oeuvre une démarche de modélisation et des outils techniques adaptés vus en cours de valider le modèle proposé en le confrontant à une réalité expérimentale Domaine du «Réel» Environnement fonctionnel Environnement expérimental •Echantillon important •Statistiques •Méconnaissances •Echantillon réduit •Protocole Diagnostic & Validation Modélisation •Conditions Limites •Défauts •Géométrie •... Analyse fonctionnelle du besoin •Mesure d’erreur •Optimisation •Identification •Cahier des charges fonctionnelles •Critères et valeurs Domaine du «Virtuel» Maquette virtuelle •Modèle CAO •Modèle système •Plan de définition www.bksv.com, 3 Modèle théorique •Principes •Loi de comportement •Couplages Modèle numérique •Solveurs •Méthodes d’approx. •Discrétisation Présentation du projet initial Contexte industriel Peaux tissu de carbone, matrice epoxy Emergence de nouveaux matériaux composites (sur mesure) Organisation 3 étudiants de M1 : Mécanique des Matériaux et des Structures 10 séances de 4 heures Ame en kevlar type «origami» Objectifs pédagogiques - «L’étudiant doit être capable de : » Modéliser une structure et paramétrer le modèle obtenu Réaliser un modèle éléments finis associé pertinent Réaliser des essais vibratoires sur la structure fabriquée Définir une formulation d’un écart essais/modèle Recaler le modèle proposé Critiquer la modélisation et/ou les essais réalisés Ressources Laboratoire d’élaboration de composites Laboratoire de CAO et Calcul éléments finis Laboratoire de dynamique des structures www.bksv.com, 4 Peaux époxy Ame type treillis Elaboration de la «structure» O Moyens de production propres au département èl d Mo Laboratoire d’élaboration de composites stratifiés Imprimante 3D ABS Permet de maîtriser toute la chaîne, et notamment d’être conscient des défauts de fabrication A eC ! Modélisation de l’âme Im p Réalisation de la maquette numérique d’un treillis à maille tétraédrique entièrement paramétrée res sio Nombre de motifs dans deux directions, hauteur du motif, diamètre des barres (2.5 mm ici) Fabrication de l’âme Impression de la maquette numérique Matériau ABS mal connu (orthotropie), défauts d’impression ée Fabrication des peaux ture c u r t Réalisation de deux plaques composites carbone-époxy Géométrie finale comportant des défauts Assemblage f Peau Ame ABS Collage des plaques sur l’âme en treillis Epaisseur de colle mal maîtrisée www.bksv.com, 5 S iqu abr Caractéristiques : L x l x h : 295mm x 62mm x 18 mm Masse : 95 g n3 D Caractérisation par essais dynamiques Support élastique Objectifs Accéléromètre Réaliser des essais en dynamique Post-traiter les essais Essais en libre-libre Suspensions élastiques Impact au marteau en 93 points sur chaque face (186 points) Mesure avec un accéléromètre uniaxe fixe Bande de fréquences : [0 - 3500] Hz Extraction des modes Succession de modes de flexion et torsion Flexion 1 : 617 Hz Torsion 1 : 662 Hz Flexion 2 : 1023 Hz Torsion 2 : 1521 Hz Flexion 4 : 1814 Hz Torsion 3 : 2116 Hz www.bksv.com, 6 Flexion 3 : 1461 Hz Torsion 4 : 2447 Hz Modélisation éléments finis paramétrée Objectifs 31 Modélisation éléments finis de la structure (CATIA V5) Représentatif de la structure composite (prise en compte de la masse de colle notamment) Suffisamment léger en terme de coût de calculs Paramétré par les coefficients matériaux mal-connus Modules d’élasticité des peaux (quasi-isotrope) et de l’âme en ABS n xio 1 :6 e Fl Réaliser le calcul des premiers modes propres 86 Résultats Un modèle composé de poutres (treillis) pour l’âme et de coques pour les peaux (47000 ddl) Temps de calcul pour 20 modes : env. 30 s sur une machine standard n sio 1 r To ion x e Fl 5 www.bksv.com, 7 To ion s r 3: Hz e Fl 4 Hz 2 :1 e 20 n xio n xio Fl Eléments poutres 88 0 2 21 0 Eléments coques Hz Hz :6 Alternance de modes de flexion et de torsion Intérêt de l’étude dynamique : multi-sollicitation de la structure 8 21 2 : Hz Hz 02 Hz 5 8 :1 r To n sio 2 :1 4 48 Fl e n xio 3 :1 Hz Etude paramétrique et recalage Objectifs pédagogiques Mode num. Mode exp. Etre capable de formuler un critère de distance entre essai et modèle Evaluer l’impact du choix de la distance essais/ modèles sur la pertinence du recalage Travail réalisé ef = n ! p=1 fph − fpm fpm Appairage manuel des modes en cas de permutation (délicat) Résultats Une surface de réponse décrivant l’évolution de l’erreur pour un jeu de paramètres (module peaux/module âme) Un jeu de paramètres optimaux www.bksv.com, 8 50 Erreur % Formulation d’un critère en fréquence simple à manipuler " #2 40 30 20 Module d!Young âme (relatif) 0.4 0.6 Module de l!âme (relatif) 0.8 1 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 Module des peaux (relatif) Ecart en fréquence cumulé sur les modes et fonction des deux paramètres variant dans des intervalles «raisonnables» 1.25 Du projet au(x) TP(s) Du projet au TP : réaliser un TP de niveau M1 illustrant l’intérêt du MAC dans la démarche expérimentale, en utilisant le modèle de la structure composite et les mesures effectuées lors du projet Prérequis Cours, TD, et TP d’éléments finis (L3 et début de M1) Cours et TD de dynamique des structures (Vibrations de systèmes continus et discrets, Orthogonalité des modes) Nos objectifs de formation Mettre en évidence l’intérêt d’avoir un modèle éléments finis dès la préparation de l’essai afin de définir au mieux la position et l’orientation des points de mesures Mettre en évidence la difficulté d’appairer les modes expérimentaux et éléments finis manuellement Mettre en évidence l’intérêt d’un critère portant sur la forme des modes : le critère de MAC Organisation de la séance de TP Présentation des ressources par l’enseignant (15 min) Support physique (réalisation, originalité) et modèle numérique réalisé dans CATIA (calcul, paramètres, exports des modes) Base de données expérimentale (186 points de mesures, extraction et export des modes) A {Φp }T [M ]{Φq } = 0 ∀p "= q Présentation du MAC (30 min) Origine du critère, hypothèses associées et définition M ACp,q = Intérêt du MAC pour préparer une mesure (90 min) B C Calcul du MAC à partir des modes analytiques sur un exemple simple (poutre) Application à la structure étudiée en utilisant le modèle éléments finis fourni Etude du résultat en fonction du nombre de points de mesures Intérêt du MAC pour valider un modèle (90 min) Calcul du MAC à partir des modes expérimentaux et numériques Intérêt du MAC pour appairer les modes puis pour valider un modèle Conclusions (15 min) Bilan effectué avec les étudiants - Synthèse 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 25 www.bksv.com, 9 13 1112 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 ({Φhp }T {Φhq })2 {Φhp }T {Φhp }{Φhq }T {Φhq } Détail de la partie théorique : le MAC A Origine de l’idée : orthogonalité des modes / opérateur de masse Vu en Cours/TD sur des milieux continus ou discrets Cas des modèles discrets : Orthogonalité des modes : {Φp }T [M ]{Φq } = 0 ∀p "= q Forme des matrices de masse consistante et «lumpée» (masse concentrée aux noeuds) Pour une barre avec 3 éléments de même longueur : 2 ρSl 1 [M ] = 6 0 0 1 4 1 0 0 1 4 1 0 0 1 2 3 ρSl 0 [MD ] = 6 0 0 0 6 0 0 0 0 6 0 0 0 0 3 ρSl = M/3 Hypothèse de masse uniformément répartie : matrice de masse lumpée proche de l’identité [MD ] ≈ M/n[Id ] Sous cette hypothèse, on a donc une relation proche de l’orthogonalité théorique : {Φp }T {Φq } ≈ 0 ∀p #= q Définition du MAC (Modal Assurance Criterion) C’est une matrice de terme courant M ACp,q www.bksv.com, 10 ({Φp }T {Φq })2 = {Φp }T {Φp }{Φq }T {Φq } Le terme courant est compris entre 0 et 1 Le MAC : 3 outils en 1 Un outil de pré-test A 1.0 On utilise un modèle éléments finis suffisamment représentatif du comportement On calcule les modes dans la bande de fréquence étudiée (et un peu plus) On définit un jeu de points de mesures, et on réduit les modes à cet ensemble On calcule le MAC associé à ces modes éléments finis (h) réduits : ({Φhp }T {Φhq })2 M ACp,q = {Φhp }T {Φhp }{Φhq }T {Φhq } 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 5 10 15 20 25 13 1112 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 La forme de la matrice MAC nous renseigne sur la capacité des points de mesures retenus à distinguer les modes les uns des autres Un outil de validation des essais On calcule le MAC associé aux modes expérimentaux (m) : M ACp,q T m 2 ({Φm p } {Φq }) = T m m T m {Φm p } {Φp }{Φq } {Φq } Le MAC donne alors une idée de la qualité de l’analyse modale effectuée Un outil de validation d’un modèle / une référence expérimentale On calcule le MAC associé aux modes expérimentaux/numériques : M ACp,q www.bksv.com, 11 2 ({Φhp }T {Φm q }) = T m {Φhp }T {Φhp }{Φm q } {Φq } Développé dans le TP proposé Le MAC, un outil de pré-test - Exemple analytique Support simple B ! pπx " 2.3. RÉPONSE À UNE EXCITATION PARsin SUPERPOSITION MODALE Φ (x) = p Une poutre sur deux appuis simples Les modes propres sont connus (cours) Nombre de points de mesures variables, équirépartis 1.0 0.5 0.2 Travail demandé Calculer, à l’aide de Matlab, le MAC 31 L PSfrag replacements 0.6 0.8 1 Mode 1 Mode 2 Mode 3 Mode 4 -0.5 Pour {1,2,3,...30} points de mesures Pour {5,10,15, 25, 30} modes calculés 0.4 -1.0 Calculer, à chaque fois, la somme des termes non diagonaux (nommé résidu) pour F IG . 2.3 – Les quatrequantifier premiers modesla pour une poutre de longueur unitaire possibilité de distinguer des modes différents par le jeu restreint de points de mesures En multipliant respectivement (2.29) et (2.30) par φn et φp , en intégrant de 0 à L, et en faisant la différence des deux équations, on obtient, après deux intégrations par parties : Le résidu diminue avec le nombre de points de mesures Avec seulement 3 points de mesure, présence de forts termes non diagonaux : les modes 3, 4 et 5 sont très similaires 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1 2 3 5 4 4 3 5 www.bksv.com, 12 2 1 ! 0 0 L 10 (βp4 L (3) L (2) ! L (2) ! L − βn4 )φn φp dx + [φ(3) n φp ]0 − [φp φn ]0 − [φn φp ]0 + [φp5 φmodes n ]0 = 0 (2.31) 10 modes 15 modes ! L 20 modes (βn4 − βp4 )φn φp dx = 0 (2.32) 25 modes 0 30 modes sont différents, l’orthogonalité de deux modes distincts est dé- Puisque φn et φp doivent vérifier les mêmes conditions aux limites, on a : Log(Résidu) Résultats !# 10 Enfin, puisque βn "= βp montrée. Comme au chapitre précédent, on choisit le coefficient Dn qui permet de rendre unitaire la masse modale Mn . On obtient : !" " 10 2 Dn = (2.33) ρSL 2.3 Réponse à une excitation par superposition modale 0 5 10 15 20 25 30 Nombre de points de mesures Dans ce paragraphe on cherche la solution du problème de dynamique posé par une technique de superposition modale. La mise en œuvre est faite pour deux chargements différents concentrés en milieu de poutre. 2.3.1 Les différents chargements envisagés On considère ici un chargement de type effort concentré au point milieu de la poutre. Le MAC, un outil de pré-test - Sandwich B Le modèle éléments finis, associé à une macro CATIA, permet D’exporter les modes et fréquences propres D’exporter les coordonnées des points de mesure Un programme Matlab à disposition des étudiants permet De relire ces fichiers De calculer le MAC De prendre en compte dans le calcul différents nombres de points de mesures 350 Conclusions 1 300 Le nombre de points de mesure joue sur la facilité à distinguer les modes Au delà de 40 points de mesure, le gain est faible Certains modes rigides ne peuvent être distingués (3 modes principalement dans le plan normal à la direction de mesure) 0.8 0.6 non diagonaux du MAC Somme des termes 0.4 0.2 0 0 5 25 10 250 20 15 15 10 20 25 5 0 200 150 1 0.8 0.6 100 0.4 0.2 0 0 5 25 10 20 15 25 1 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 15 10 20 50 1 0.8 0 0 5 25 10 5 25 20 15 15 10 20 25 10 20 15 0 0.8 0.2 0 0 5 0 1 15 10 20 5 25 0 5 0 0.6 0.4 0 20 40 60 80 100 120 140 Nombre de points de mesure 160 180 0.2 0 0 www.bksv.com, 13 5 10 25 Le MAC un outil de corrélation essai/modèle C 1.0 0.8 0.6 0.4 0 0.2 Des modes rigides non extraits dans les essais 0.0 0 5 10 Pas de corrélation essais/modèle sur les 6 premiers modes EF 15 20 25 13 1112 9 10 7 8 5 6 3 4 1 2 Une bonne corrélation essais/modèle sur les 7 premiers modes Modes numériques Les valeurs sur la diagonale sont supérieures à 0.6 Les termes hors diagonaux sont inférieurs à 0.2 5 10 Deux modes numériques non vus expérimentalement Un mode de flexion (n°15) dans le plan de la structure Il n’est pas observable expérimentalement : mesure de le composante hors plan avec un accéléromètre mono-axe 15 Deux modes (n°14 & 18) Sans doute non extraits expérimentalement 20 Des modes numériques qui n’ont pas d’équivalents dans les essais (n° > 20) Ces modes, plus hautes fréquences, ont été calculés «par sécurité» 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Modes expérimentaux www.bksv.com, 14 Conclusions & Perspectives Un projet original a été mené avec trois étudiants de M1 Réalisation complète d’une structure composite Caractérisation expérimentale (analyse modale) Caractérisation numérique Corrélation/recalage du modèle Le modèle recalé apparaît comme très représentatif des essais réalisés Ce projet a permis de construire un TP opérationnel en M1 pour sept. 2011 Les objectifs pédagogiques de ce TP sont centrés sur la compréhension de l’outil MAC sur l’utilisation de l’outil MAC en pré-test et corrélation calcul/essais En fonction du déroulement de ce TP en 2011, des évolutions sont possibles Amener les étudiants à formuler une distance essais-modèle à partir du MAC Travailler sur la position des points de mesures à l’aide du modèle éléments finis en plus du nombre de points retenus Amener les étudiants à formuler un critère basé sur le MAC permettant l’optimisation des points de mesures Exemple avec 15 points de mesures choisis au hasard (10000 tirages) - configurations extrêmes : 15 points bien placés - MAC de bonne qualité - 15 points mal placés - MAC de mauvaise qualité - 1 1 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0 0 0 0 5 25 10 20 15 15 10 20 25 5 0 www.bksv.com, 15 5 25 10 20 15 15 10 20 25 5 0