CNC-AnnalesCorriges

Exercices Sp´e Alg`ebre
Alg`ebre
lin´eaire
(r´evision)
Arithm´etique
R´eduction
Dualit´e
Espaces
vectoriels
euclidiens
Analyse
Espaces
vectoriels
norm´es
Calcul
diff´erentiel
Suites et
s´eries de
fonctions
G´eom´etrie
Dualit´e
Coniques
et
quadriques
Formes
diff´erentielles
Analyse
S´eries
num´eriques
S´eries
enti`eres
S´eries de
Fourier
Analyse
Int´egrales
`a
param`etre
Int´egrales
multiples
´
Equations
diff´erentielles
.
Professeur Docteur-Agr´eg´e
CPGE My Youssef, Rabat,
myismail.chez.com
mamouni.my[email protected]
My Ismail Mamouni
.
Annales CNC
MP-TSI-PSI-BCPST
27 concours corrigés

Sommaire
•MP
•Corrigé Math II, 2006
•Corrigé Math I, 2006
•Corrigé Math I, 2005
•Corrigé Math II, 2004
•Corrigé Math I, 2004
•Corrigé Math II, 2003
•Corrigé Math I, 2003
•Corrigé Math II, 2001
•Corrigé Math II, 2000
•TSI
•Corrigé Math I, 2008
•Corrigé Math II, 2007
•Corrigé Math I, 2007
•Corrigé Math II, 2006
•Corrigé Math II, 2005
•PSI
•Corrigé Math II, 2007
•Corrigé Math II, 2006
•Corrigé Math I, 2006
•Corrigé Math II, 2004
•Corrigé Math II, 2003
•Corrigé Math I, 2003
•BCPST
•Corrigé Math II, 2008
•Corrigé Math I, 2008
•Corrigé Math II, 2007
•Corrigé Math II, 2006
•Corrigé Math I, 2005
•Corrigé Math II, 2004
•Corrigé Math II, 2003

ROYAUME DU MAROC
Minist` ere de l’ ´ Education Nationale, de l’Enseignement
Sup´ erieur, de la Formation des Cadres
et de la Recherche Scientifique
Pr´ esidence du Concours National Commun 2006
´
Ecole Mohammadia d’Ing´ enieurs
EMI
Concours National Commun
d’Admission aux
Grandes ´ Ecoles d’Ing´ enieurs ou Assimil´ ees
Session 2006
´
EPREUVE DE MATH ´ EMATIQUES II
Dur´ ee 4 heures
Fili` ere MP
Cette ´ epreuve comporte 4 pages au format A4, en plus de cette page de garde
L’usage de la calculatrice est interdit

Concours National Commun – Session 2006 – MP
L’´enonc´e de cette ´epreuve, particuli`ere aux candidats du concours MP,
comporte 4 pages.
L’usage de la calculatrice est interdit .
Les candidats sont inform´es que la pr´ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´e `a la r´edaction et
`a la pr´esentation des copies seront des ´el´ements pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de
rappeler avec pr´ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ees
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui peut lui sembler ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il
le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est
amen´ e` a prendre .
NOTATIONS ET RAPPELS
Dans tout le probl` eme, Kd´ esigne le corps des r´ eels ou celui des complexes (K=Rou C) et n
un entier naturel sup´ erieur ou ´ egal ` a2. Si p∈N∗, on note Mn,p(K)l’espace vectoriel des matrices
`
a coefficients dans K,` anlignes et pcolonnes ; si p=n,Mn,p(K)est not´ e simplement Mn(K), c’est
l’alg` ebre des matrices carr´ ees d’ordre n` a coefficients dans K. Le groupe des matrices inversibles de
Mn(K)est not´ eGLn(K)et la matrice identit´ e se notera In.
Pour toute matrice Ade Mn,p(K),t Ad´ esigne la matrice transpos´ ee de Aet rg(A) son rang. Si
p=n,SpK(A)repr´ esente l’ensemble des valeurs propres de Aappartenant ` aK,Tr (A)sa trace et
χAson polynˆ ome caract´ eristique ; il est d´ efini par
∀λ∈K, χA(λ) = det(A−λ In).
Pour tout couple (i, j)d’´ el´ ements de {1, . . . , n}, on note Ei,j la matrice de Mn(K)dont tous les
coefficients sont nuls sauf celui de la i-` eme ligne et la j-` eme colonne valant 1; on rappelle que la
famille ¡Ei,j ¢16i,j6nest une base de Mn(K), dite base canonique, et que
∀(i, j, k, l)∈ {1, . . . , n}4, Ei,j Ek,l =δj,k Ei,l,avec δj,k = 1 si j=ket 0 sinon.
Pour tout couple (P, Q)d’´ el´ ements de GLn(K), on notera uP,Q et vP,Q les endomorphismes de
Mn(K)d´ efinis par
∀M∈ Mn(K), uP,Q(M) = P M Q et vP,Q(M) = Pt MQ.
PR ´ ELIMINAIRES
1. Soit A= (ai,j )∈ Mn(K).
(a) Pour tout couple (i, j)d’´ el´ ements de {1, . . . , n}, exprimer les matrices AEi,j et Ei,j Adans
la base canonique de Mn(K).
(b) On suppose que, pour toute matrice M∈ Mn(K),AM =MA ; montrer que Aest une
matrice scalaire, c’est ` a dire de la forme λInavec λ∈K.
2. Soit A= (ai,j )∈ Mn(K).
(a) Pour tout couple (i, j)d’´ el´ ements de {1, . . . , n}, exprimer la trace de la matrice AEi,j .
(b) On suppose que, pour toute matrice M∈ Mn(K),Tr (AM ) = 0 ; montrer que Aest nulle.
3. Montrer que, pour tout couple (A, B)d’´ el´ ements de Mn(K),Tr (AB) = Tr (BA).
4. Justifier que, pour tout P, Q ∈GLn(K), les endomorphismes uP,Q et vP,Q conservent le rang.
´
Epreuve de Math´ ematiques II 1 / 4 Tournez la page S.V.P.

Concours National Commun – Session 2006 – MP
Dans la suite du probl`eme, on admettra que tout endomorphisme Φde Mn(C)qui conserve
le rang, c’est `a dire tel que
∀M∈ Mn(C),rg(Φ(M)) = rg(M),
est de la forme uP,Q ou vP,Q pour un certain couple (P, Q)d’´el´ements de GLn(C).
PREMI` ERE PARTIE
A. ´ Etude des endomorphismes de Mn(C)qui conservent le d´eterminant
Dans cette section , Φd´ esigne un endomorphisme de Mn(C)qui conserve le d´ eterminant, c’est
`
a dire tel que
∀M∈ Mn(C),det Φ(M) = det M.
Pour tout r∈ {1, . . . , n}, on pose Kr=In−Jro` uJrest la matrice de Mn(C)d´ efinie par
Jr=µIr0
0 0 ¶.
1. Soit s∈ {1, . . . , n}et soit A= (ai,j )∈ Mn(C)une matrice quelconque. Montrer que
det (λJs+A)est, en fonction de λ∈C, un polynˆ ome ` a coefficients complexes de degr´ e
inf´ erieur ou ´ egal ` as.
2. Soit M∈ Mn(C)une matrice de rang r∈ {1, . . . , n}.
(a) Justifier qu’il existe deux matrices Ret S,´ el´ ements de GLn(C), telles que M=RJrS.
(b) On pose N=RKrS; exprimer, en fonction du complexe λ, le d´ eterminant de la matrice
λM +N.
(c) On note sle rang de Φ(M). Montrer que det (λΦ(M) + Φ(N)) est, en fonction de λ∈C,
un polynˆ ome ` a coefficients complexes de degr´ e inf´ erieur ou ´ egal ` as, puis en d´ eduire que
r6s, c’est ` a dire rg (M)6rg (Φ(M)).
3. Montrer alors que l’endomorphisme Φest injectif puis justifier qu’il est inversible.
4. V´ erifier que l’endomorphisme Φ−1conserve le d´ eterminant.
5. Conclure que l’endomorphisme Φconserve le rang et pr´ eciser toutes ses formes possibles.
B. ´ Etude des endomorphismes de Mn(C)qui conservent le polynˆome caract´eristique
Dans cette section, Φd´ esigne un endomorphisme de Mn(C)qui conserve le polynˆ ome car-
act´ eristique, c’est ` a dire tel que
∀M∈ Mn(C), χΦ(M)=χM.
1. Montrer que Φconserve le d´ eterminant et la trace.
2. En d´ eduire qu’il existe un couple (P, Q)d’´ el´ ements de GLn(C)tel que Φ = uP,Q ou Φ = vP,Q.
3. Un tel couple (P, Q)ayant ´ et´ e choisi.
(a) Montrer que, pour tout couple (i, j)d’´ el´ ements de {1, . . . , n},Tr (P Ei,j Q) = Tr (Ei,j ).
(b) En d´ eduire que Q=P−1.
4. Pr´ eciser alors les endomorphisme de Mn(C)qui conservent le polynˆ ome caract´ eristique.
´
Epreuve de Math´ ematiques II 2 / 4 −→