TPpompe

Etude d’une pompe
centrifuge
monocellulaire
Séminaire à mi-parcours du 08 au 10
février 2010
Lise CEBALLOS, Paul GUILLARD, Jean-Baptiste LEPRETRE
Introduction
Une pompe centrifuge monocellulaire est une turbomachine, ie qu’il y a transfert d’énergie
mécanique entre une roue mobile et un fluide. Dans notre cas, la pompe fournit de l’énergie au
fluide et augmente ainsi sa pression par l’intermédiaire d’un arbre relié à un moteur électrique
entraine en rotation une roue.
La pompe étudiée est une machine à passage radiale : les particules fluides se déplacent dans
des plans normaux à l’axe de la roue.
L’eau entre de façon axiale puis est déviée radialement et rencontre alors les aubes. La
rotation de la roue fournit une énergie cinétique à l’eau. Puis, lors de la sortie de la roue, le diffuseur
permet de convertir une partie de l’énergie cinétique en pression, avec diminution de la vitesse
d’écoulement. (Augmentation de la section et conservation du débit volumique). Ensuite, le courant
d’eau se rassemble dans la volute qui se comporte comme un collecteur puis l’eau sort de la roue a
une pression plus élevée qu’en entrée.
2
Etude théorique
Question 1
Afin d'étudier des écoulements semblables, nous allons chercher leurs caractéristiques
communes. Pour cela, nous allons calculer les coefficients de Rateau. Procédons à une analyse
dimensionnelle.
Le fonctionnement d'une turbomachine est défini par une relation :
f(gH, Q, N, D, ρ, P) = 0
Avec :
– gH : g est l'accélération de la pesanteur et H la charge du liquide. Cela s'exprime en m²/s²;
3 -1
– Q : le débit volumique du liquide en m .s ;
– N : la vitesse de rotation de l'arbre en nombre de tours par seconde ;
– D : le diamètre de la pompe en mètres ;
3
– ρ : la masse volumique du fluide en kg/m ;
– P : la puissance de la pompe en Watts ;
Tous ces coefficients s'expriment avec trois unités fondamentales : le mètre, le kilogramme et
la seconde. On isole trois grandeurs fondamentales : N, D et ρ. On peut alors exprimer les
groupements Π adimensionnels :
- Πδ = Q/(NaDbρc) ce qui donne pour équations
b-3c = 3
-a = -1
c=0
D'où a = 1, b=3 et c=0.
On obtient ainsi le premier coefficient de Rateau Πδ = Q/(ND3) = δ (coefficient de débit)
- ΠH = gH/(NaDbρc) ce qui donne comme équations
b – 3c = 2
-a = -2
c=0
D'où a = 2, b = 2 et c = 0.
On obtient ainsi le second coefficient de Rateau ΠH = gH/(N²D²) = µ (coefficient manométrique)
- ΠP = P/(NaDbρc) ce qui donne comme équations
b – 3c = 2
- a = -3
c=1
D'où a = 3, b = 5 et c = 1.
On obtient ainsi ΠP = P/(N3D5ρ) = τ (coefficient de puissance)
En conclusion, on a obtenu les trois coefficients de Rateau.
3
Question 2
Pour tracer les courbes théoriques de Hth en fonction de Q et β2 , angle d'aubage, on
commence par déterminer leurs expressions théoriques.
D'après la théorie d'Euler, on a :
C = ρQ*(Moment en sortie de l'eau – moment en entrée de l'eau)
soit
C = ρQ*(R2V2cosα2 – R1V1cosα1)
D'autre part, la puissance s'exprime de la façon suivante :
P = Cω donc P = ρQ*(R2V2cosα2 – R1V1cosα1)*ω
soit
P = ρQ*(R2ωV2cosα2 – R1ωV1cosα1)
u2
u1
Donc P = ρQ*(u2V2cosα2 – u1V1cosα1)
Or, on a aussi Pth = ρgHthQ.
D'où Hth = (u2V2cosα2 – u1V1cosα1)/g
On fait l'hypothèse que l'entrée est radiale, donc α1 = Π/2.
On a ainsi Hth = (u2V2cosα2)/g.
De plus, si l'on projette la relation v2 = u2 + w2 sur la direction u2 , on obtient :
v2cosα2 = u2 – cos(Π – β2)*w2
v2cosα2 = u2 + cos(β2)*w2
u2 étant la vitesse d'entrainement à la périphérie de la roue, on a u2 = N*R
avec u2 en m/s, N en rad/s et R le rayon extérieur en mètres.
Donc, Hth = RN/g * (u2 +cos(β2)*w2 )
soit Hth = RN/g * (RN +cos(β2)*w2 )
Par ailleurs, w2 = Q/S, d'où Hth = RN/g * (RN +cos(β2)*Q/S ).
Cette relation nous permet d’établir une forme de l’évolution de H en fonction de Q :
Tracé de l'évolution de H en fonction
de Q
12
10
H
8
6
4
2
0
0
2
4
6
Q
4
8
10
12
Question 3
Nous cherchons ici à établir la vitesse spécifique, nous savons qu'elle correspond à la vitesse
de rotation d'une pompe semblable à celle utilisée qui débiterait à 1 m3/s avec une hauteur
manométrique de 1m.
Comme la pompe est semblable à celle utilisée, on a δs = δ, donc :
Qs/NsDs3 = Q/ND3
3
Or Qs = 1, d'où (D/Ds) = Q*Ns/N
De même, comme la pompe est semblable à celle utilisée, on a µs = µ, donc :
gHs/Ns²Ds² = gH/N²D²
Or gHs = 1 m²/s², d'où (D/Ds)² = gH*(Ns/N)²
On en déduit que (QNs/N)² = (gHNs²/N²)3
On a donc : Q² = (g*H)3 * (Ns/N)4
On retrouve donc l'expression de la vitesse spécifique : Ns = N*Q1/2/(gH)3/4
Mesures
Durant le TP, nous avons réalisé plusieurs mesures sur la pompe centrifuge ETANORM. Nous
avons fait varier la vitesse de rotation N du moteur (1500, 2000 et 2500tr/min) à l’aide d’un
potentiomètre puis à N fixés, nous avons effectué plusieurs mesures différentes du débit via un
système déprimogène : le diaphragme.
Pour chaque mesure, nous avons relevé Ps (pression en sortie de la pompe), Pe (pression en entrée
de la pompe), ΔP (différence de pression dans le diaphragme) et C, le couple fournit par le moteur
asynchrone (à cage d’écureuil) à l’arbre moteur. ΔP se règle à l’aide d’une vanne située sur le conduit
de sortie de l’eau.
A l’aide de ces résultats expérimentaux, nous avons pu calculer :

Le débit =
24 2Δ avec α=0,59, d=43mm, diamètre intérieur du diaphragme et
ρ=1000kg/m3 , masse volumique du fluide, en l’occurrence ici de l’eau.

La hauteur manométrique =(

La puissance mécanique

La puissance hydraulique ℎ=

Le rendement global = ℎ/
é
−
)
=
.
.
.
é
.
Les résultats obtenus ont été rassemblés en annexe.
5
Exploitation des résultats
1. Etude de la charge
Tout d’abord, nous avons étudié la variation de la hauteur manométrique H, (c'est-à-dire la
charge apportée au fluide par la pompe) en fonction du débit Q. Nous avons, dans la partie théorique
que cette évolution devrait être affine.
Nous avons obtenu les résultats suivants :
Tracé de l'évolution de H en fonction de Q, pour
plusieurs vitesses de rotation
45
40
H (en m d'eau)
35
30
25
20
N=1500 Tr/min
15
N=2000 Tr/min
10
N=2500 Tr/min
5
0
0
1
2
3
4
5
Q (en L/s)
Nous voyons ici qu’en pratique, que H n’évolue que de façon affine en fonction de Q pour
des débits ni trop grand, ni trop petit : En effet, on peut imaginer que pour des faibles débits (de
l’ordre de Q= 1L/s), il se forme des phénomènes de cavitation qui entraînent alors des pertes de
charges. De même, à fort débit (de l’ordre de Q=4L/s), des phénomènes de turbulences et
d’oscillations entraînent une chute plus importante de charges, d’où l’éloignement avec la théorie.
2. Etude de la puissance hydraulique
Puis, nous avons étudié la variation de puissance hydraulique Pv, en fonction du débit Q.
Nous avons obtenu les résultats suivants :
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Tracé de l'évolution Pv en fonction de Q, pour
plusieurs vitesses de rotation
1600
1400
Pv (en W)
1200
1000
800
N=1500 Tr/min
600
N=2000 Tr/min
400
N=2500 Tr/min
200
0
0
1
2
3
4
5
Q (en L/s)
Dans la partie théorique, on a vu que ℎ=
=
, avec , la vitesse de rotation du
moteur, C le couple moteur et , le rendement de la pompe. Ainsi, lorsque ω (ie N) augmente la
puissance hydraulique augmente ce qui est conforme aux courbes (courbe N=2500 tr/min > courbe
N=2000 tr/min).
De plus, étant donné que ℎ=
, à N fixée, lorsque Q augmente, on a tout d’abord une
augmentation de Ph quasi-linéaire puis une diminution à partir d’un seuil à cause d’une baisse de la
charge (due à des phénomènes de turbulence), comme nous venons de le voir. Nous voyons
l’apparition de l’idée de l’existence d’un point de fonctionnement optimale, pour un débit donné.
3. Etude du rendement global de la pompe
Nous avons étudié ensuite l’évolution du rendement global de la pompe en fonction du débit
Q. Pour rappel, le rendement global se définit de la manière suivante : = ℎ/ é .
7
Nous obtenons les résultats suivants :
Tracé de l'évolution rendement global de la pompe en
fonction de Q, pour plusieurs vitesses de rotation
0,35
rendement global
0,3
0,25
0,2
N=1500 Tr/min
0,15
N=2000 Tr/min
0,1
N=2500 Tr/min
0,05
0
0
1
2
3
4
5
Q (en L/s)
C’est courbe confirme l’existence, pour une vitesse de rotation du moteur donnée, d’un point
de fonctionnement optimal. Ceci peut s’expliquer par :
-
A faible débit, la pompe ne tourne pas assez vite donc l’eau n’est pas expulsée assez
rapidement (stagnation) donc le régime de l’écoulement n’est pas tout à fait établi.
A fort débit, la turbulence devient assez importante pour perturber l’écoulement puis si Q
augmente, on a phénomène de cavitation (la pression descend en dessous de la pression de
vapeur saturante et l’eau se met à bouillir, on a alors formation de bulles de vapeur d’eau).
On peut évaluer ce point optimal :
N (en Tr/min)
1500
2000
1500
Qoptimal en L/s
2,8
3,5
4,2
4. Etude de la similitude
Afin de vérifier la similitude de notre étude dans les différent cas, c'est-à-dire la conservation
des groupements adimensionnels de Rateau, nous avons tracé la courbe de µ, le coefficient
manométrique en fonction de δ, le coefficient de débit et le courbe de τ, le coefficient de
puissance en fonction de δ.
Nous obtenons les courbes suivantes :
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Tracé de l'évolution du coefficient manométrique en fonction
du coefficient de débit, pour plusieurs vitesses de rotation
0,0025
0,002
µ
0,0015
N=1500 Tr/min
0,001
N=2000 Tr/min
N=2500 Tr/min
0,0005
0
0
0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 0,0004
δ
Et
Tracé de l'évolution du coefficient de puissance
en fonction du coefficient de débit, pour
plusieurs vitesses de rotation
0,0000006
0,0000005
τ
0,0000004
0,0000003
N=1500 Tr/min
0,0000002
N=2000 Tr/min
N=2500 Tr/min
0,0000001
0
0
0,00005 0,0001 0,00015 0,0002 0,00025 0,0003 0,00035 0,0004
δ
Au vue de ces résultats, quelques soit la configuration, les courbes se superposent, signe de
la similitude. On vérifie donc une cohérence dans nos mesures pour des vitesses différentes.
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5. Calcul de la valeur de la vitesse spécifique optimale
Avec les valeurs de la partie Mesures, on détermine la vitesse spécifique au point de
rendement maximum.
On obtient ainsi les résultats suivants :
N (en Tr/min)
1500
2000
2500
Qoptimal en L/s
2,8
3,5
4,2
Vitesse spécifique (Tr/s)
0,78
0,68
0,54
Rendement
0,29
0,3
0,29
Conclusion
Ce TP nous a permis de découvrir le fonctionnement des turbomachines à travers un
exemple concret. Nous avons ainsi exploré un nouveau domaine de la mécanique des fluides qui
nous était inconnu malgré le fait qu’on a utilisé des formules connues (théorème de Bernoulli par
exemple).
Ce TP nous a obligés à réfléchir sur nos mesures afin de savoir si celles-ci étaient physiquement
plausibles et nous avons ainsi appris quelques ordres de grandeur de variables physiques.
Enfin, nous avons pu aussi faire des manipulations ce qui change quelque peu des cours théoriques
et nous montre de plus près le côté pratique de la physique.
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Annexes
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