MécaniqueSolides Partie 3

Partie III
Les Actions Mécaniques
L'équilibre ou le mouvement s'un solide ou d'un ensemble de solides
résulte des actions mécaniques exercées. Ces actions seront d'abord
considérées sans se préoccuper des phénomènes physiques qui leur
donnent naissance et seront alors classées en force, couple et action
quelconque. Les actions de gravitation et de pesanteur seront étudiées
dans un chapitre particulier. Un chapitre sera consacré aux actions de
liaison, dont le concept est à la base de la conception technologique
des systèmes mécaniques. L'étude de quelques problèmes d'équilibre
statique des solides permettra de comprendre la structuration des
actions mécaniques exercées sur un solide ou un ensemble de solides.
CHAPITRE 11
Généralités sur les Actions
Mécaniques
11.1 CONCEPTS RELATIFS AUX ACTIONS
MÉCANIQUES
11.1.1 Notion d'action mécanique
Les phénomènes mécaniques résultent d'actions mécaniques, dont nous avons
une notion usuelle :
— un objet, abandonné à lui-même, tombe : la Terre attire l'objet ;
— le même objet, posé sur une table, ne tombe plus : la table exerce sur l'objet
une action qui l'empêche de tomber ;
— un enfant qui pétrit de la pâte à modeler exerce une action qui déforme la
pâte ;
— le cycliste exerce sur les pédales une action qui produit le déplacement du
vélo ;
— le frein exerce une action qui s'oppose à ce déplacement ;
— etc.
Ainsi, d'une manière générale, une action mécanique est un processus qui
maintient un équilibre, provoque une déformation, produit un mouvement ou
s'oppose à un mouvement.
11.1.2 Représentation d'une action mécanique
Si la notion d'action mécanique est usuelle, elle n'est pas en fait directement
accessible par la mesure. Nous n'en avons une connaissance que par ses
conséquences : présence ou absence d'équilibre, mesure de déplacements, mesure
de déformations, établissement de lois des mouvements, etc. Ainsi, afin de
156
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
traduire par des équations les divers phénomènes mécaniques, on est amené à
énoncer l'axiome suivant :
Toute action mécanique s'exerçant sur un ensemble matériel peut être représentée par un torseur associé à cet ensemble.
Nous entendons par ensemble matériel soit un solide, soit un ensemble de solides.
11.1.3 Classification des actions mécaniques
À chaque type de torseur correspond un type d'action mécanique dont les
propriétés sont des conséquences immédiates des résultats établis au chapitre 5.
11.1.3.1 Force
On dit qu'une action mécanique exercée est une force, si et seulement si le
torseur représentant l'action mécanique est un glisseur.
Il résulte des propriétés établies au paragraphe 5.2.1, qu'une force est
caractérisée par :
— la résultante du glisseur associé à la force, généralement appelée par
contraction de langage : la résultante de la force (la norme de la résultante de la
force appelée intensité de la force s'exprime en newtons : N) ;
— l'axe de moments nuls du glisseur (déterminé par un seul point lorsque l'on
connaît la résultante), appelé support de la force ou ligne d'action.
Si l'action mécanique exercée sur l'ensemble (D) est une force, nous pourrons
la représenter symboliquement en faisant figurer le support (∆) Jde
G la force et un
bipoint (A, B) dont l'image dans \3 est la résultante de la force : R (figure 11.1a).
Si nous sommes dans le cas étudié au paragraphe 5.3.3 du chapitre 5, la force
possède un centre de mesure H défini par (5.69) ou (5.72) ; et nous prendrons
pour point A le centre de mesure (figure 11.1b).
Enfin, notons qu'une force tend à déplacer l'ensemble sur lequel elle s'exerce,
suivant la direction définie par la résultante, donc parallèlement au support de la
force.
11.1.3.2 Couple
On dit qu'une action mécanique est un couple (action-couple), si et seulement
si le torseur représentant cette action est un torseur-couple.
Il résulte des propriétés établies au paragraphe 5.2.2 qu'un couple est caractérisé par son vecteur-moment, indépendant du point considéré, et dont l'intensité
s'exprime en N m. Ce vecteur-moment est parfois appelé couple. Notons toutefois
qu'il y a lieu de distinguer l'action-couple, du torseur-couple et de son vecteurmoment.
D'autre part, il résulte du paragraphe 5.2.2 qu'un couple est équivalent à un
couple de deux forces de résultantes opposées, donc de supports parallèles. Il
11.1 Concepts relatifs aux actions mécaniques
157
(∆)
(∆)
B
H
B
A
(D)
(D)
(a)
(b)
(∆): support de la force
JJJG JG
HB = R : résultante de la force
H: centre de mesure
(∆): support de la force
JJJG JG
AB = R : résultante de la force
FIGURE 11.1. Représentation symbolique d'une force.
existe une infinité de couples de forces équivalents à un couple ; ces couples sont
obtenus conformément aux résultats du paragraphe 5.2.2.3. Un couple tend à faire
tourner l'ensemble sur lequel il s'exerce, dans le sens direct autour de la direction
définie par le vecteur-moment du couple (figure 11.2).
11.1.3.3 Action mécanique quelconque
On dit qu'une action mécanique est quelconque, si et seulement si le torseur
représentant cette action est un torseur quelconque.
Suivant les résultats établis au paragraphe 5.2.3, une action mécanique
quelconque peut être décrite comme étant la superposition d'une force et d'un
couple. L'action mécanique est alors réduite à une force et un couple. Il existe une
infinité d'ensembles force-couple équivalents à une action mécanique quelconque
(paragraphe 5.2.3.2).
B
A
(D)
JJJG JJG
AB = M : moment du couple
FIGURE 11.2. L'action-couple tend à faire tourner l'ensemble (D).
158
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
11.1.4 Actions mécaniques s'exerçant entre les ensembles
matériels
Soit deux ensembles (D1) et (D2). Les actions mécaniques exercées par (D1)
sur (D2) sont représentées par le torseur que nous noterons :
{D1 → D2} .
(11.1)
De même, les actions mécaniques exercées par (D2) sur (D1) sont représentées par
le torseur noté :
(11.2)
{D2 → D1} .
1. Superposition des générateurs d'actions mécaniques
Si l'ensemble (D1) est constitué de la réunion de deux ensembles disjoints ( D1′ )
et ( D1′′) , nous écrirons :
{D1 → D2} = {( D1′ ∪ D1′′) → D2} = {D1′ → D2} + {D1′′ → D2} .
(11.3)
2. Superposition des récepteurs d'actions mécaniques
Si l'ensemble (D2) est constitué de la réunion de deux ensembles disjoints
( D2′ ) et ( D2′′ ) , nous écrirons de même :
{D1 → D2} = {D1 → ( D2′ ∪ D2′′ )} = {D1 → D2′ } + {D1 → D2′′} .
(11.4)
Les relations (11.3) et (11.4) se composent et s'étendent aux cas où les
ensembles considérés sont des réunions d'un nombre quelconque fini d'ensembles
disjoints.
11.1.5 Actions mécaniques extérieures s'exerçant sur un
ensemble matériel
L'Univers que nous noterons (U) est l'ensemble matériel de tous les systèmes
physiques qui sont plus ou moins éloignés : chaise, table, maison, ville, pays,
Terre, planètes, Soleil, étoiles, etc. Étant donné un ensemble (D), on appelle
extérieur de l'ensemble (D), que nous noterons ( D) , le complémentaire de (D) sur
l'Univers ; c'est-à-dire tout ce qui dans l'Univers n'est pas (D) :
( D ∪ D ) = (U ) ,
( D ∩ D) = ∅ .
(11.5)
Nous appelons actions mécaniques s'exerçant sur l'ensemble (D), ou actions
extérieures à (D), l'ensemble des actions mécaniques exercées sur (D) par
l'extérieur de (D). Ces actions sont représentées par le torseur :
{D → D} .
(11.6)
L'extérieur de (D) est constitué de sous-ensembles disjoints : ( D1 ) , ( D2 ) , . . . , ( Dn ) .
11.2 Divers types d'actions mécaniques
159
Soit :
( D) = ( D1 ∪ D2 . . . ∪ Dn ) ,
(11.7)
et le torseur des actions extérieures à (D) s'écrit :
{D → D} =
n
∑{Di → D} .
(11.8)
i =1
11.2 DIVERS TYPES D'ACTIONS MÉCANIQUES
11.2.1 Natures physiques des actions mécaniques
Les actions mécaniques s'exerçant sur l'ensemble (D) peuvent être de natures
différentes et classées suivant :
— Soit des actions de contact, notées C , qui s'exercent sur l'ensemble (D) au
niveau de la frontière entre (D) et ( D) : action du vent sur une voile, action de
l'eau sur un bateau, action de l'air sur un avion, action du sol sur une roue, etc. Les
actions de contact interviennent dans les contacts entre solides, entre solides et
fluides, etc. Les actions de contact entre solides seront étudiées au chapitre 13.
— Soit des actions à distance dues à des phénomènes physiques :
• la gravitation G qui sera étudiée au chapitre 12 ;
• l'électromagnétisme E, dans lequel nous classons tous les phénomènes
électriques, magnétiques et électromagnétiques. Par exemple certains matériaux
frottés avec un morceau de laine exercent sur des morceaux de papier une action
électrostatique ; la Terre exerce sur une aiguille aimantée une action mécanique ;
un fil conducteur parcouru par un courant exerce sur cette même aiguille une
action électromagnétique, etc.
Ces trois types d'actions sont actuellement les seules connues. Notons dès
maintenant, qu'outre leurs natures physiques, les actions de contact et les actions à
distance diffèrent fondamentalement par le fait que les actions à distance sont
déterminées par les phénomènes physiques mis en jeu et sont donc calculables à
priori. Par contre, les actions de contact dépendent, et cela contrairement aux
précédentes, des autres actions mécaniques exercées sur l'ensemble matériel
considéré.
11.2.2 Environnement et actions efficaces
Chacun des sous-ensembles de ( D ) (paragraphe 11.1.5) peut exercer sur l'ensemble (D) des actions mécaniques de chaque type, représentées par les torseurs :
{ Di C→ D} ,
{ Di G→ D} ,
{ Di E→ D}.
(11.9)
160
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
Si le sous-ensemble ( Di ) exerce simultanément les trois types d'actions, les
actions exercées par ( Di ) sur l'ensemble (D) sont représentées par le torseur :
{ Di → D} = { Di G→ D} + { Di C→ D} + { Di E→ D} ,
(11.10)
et le torseur (11.8) des actions mécaniques exercées sur (D) s'écrit :
{D
→ D} =
n
∑{ Di G→ D} + { Di C→ D} + { Di E→ D} .
(11.11)
i =1
Dans la pratique, en tenant compte de l'expression des lois physiques des
actions à distance, il sera possible de négliger telle ou telle action de tel ou tel
ensemble ( Di ) de l'extérieur de l'ensemble (D) étudié. Par exemple, pour un ensemble matériel au voisinage de la Terre, les actions de gravitation exercées par la
Terre sont prépondérantes devant les actions de gravitation exercées par la Lune,
les planètes, le Soleil. De même l'action de gravitation exercée sur une aiguille
aimantée par un fil conducteur parcouru par un courant peut être négligée devant
son action électromagnétique. Ainsi, l'expression (11.11) du torseur des actions
mécaniques exercées sur l'ensemble (D) pourra être simplifiée, suivant les
problèmes, en ne tenant compte que des actions mécaniques prépondérantes.
Nous noterons généralement {T ( D )} le torseur (11.11) simplifié des actions
prépondérantes s'exerçant sur l'ensemble (D). Nous écrirons :
{T ( D )} =
∑{T j ( D )} ,
(11.12)
j
où
{T j ( D )} est le torseur représentant l'action prépondérante j.
11.3 PUISSANCE ET TRAVAIL
11.3.1 Définition de la puissance
On appelle puissance développée, à l'instant t, dans le repère (T), par l'action j
s'exerçant sur le solide (S) et représentée par le torseur {T j ( S )} , le scalaire :
{T j ( S )} = {T j ( S )} ⋅{V S(T )} .
( )
PT
Si M est un point du solide (S), la puissance s'écrit, d'après (5.15) :
JG
JJG
JJG
JG
( )
P T {T j ( S )} = R {T j ( S )} ⋅ MM {V S(T )} + MM {T j ( S )} ⋅ R {V S(T )} ,
(11.13)
(11.14)
ou, en introduisant les éléments de réduction (9.18) et (9.19) du torseur cinématique au point M :
JG
JJG
G( )
G( )
( )
P T {T j ( S )} = R {T j ( S )} ⋅ v T ( M , t ) + MM {T j ( S )} ⋅ ωST .
(11.15)
11.3 Puissance et travail
161
11.3.2 Changement de repère
Soit (1) et (2) deux repères. La puissance développée dans le repère (1) est :
P 1 {T j ( S )} = {T j ( S )} ⋅ {V S(1)} ,
( )
(11.16)
la puissance développée dans le repère (2) est :
P
{T j ( S )} = {T j ( S )} ⋅{V S( 2)} .
( 2)
(11.17)
De ces deux relations et de la loi des compositions de mouvements (9.39), nous
tirons la relation :
P 1 {T j ( S )} = P
( )
{T j ( S )} + {T j ( S )} ⋅{V 2(1)} .
( 2)
(11.18)
11.3.3 Énergie potentielle
Il arrive, qu'ayant calculé la puissance développée, on constate qu'elle se
présente comme la dérivée par rapport au temps d'une fonction qui ne dépend que
des paramètres de situation (q1 , q2 , . . . , qk ) et éventuellement du temps. Soit :
{T j ( S )} = − ddt Ep(T ) (q1, q2 , . . . , qk , t ) .
( )
PT
(11.19)
( )
La fonction EpT , ainsi définie à une constante additive près (indépendante des qi
et de t), est appelée énergie potentielle du solide (S) relativement au repère (T).
On dit alors que l'action mécanique exercée sur (S) et représentée par le torseur
{T j ( S )} admet une énergie potentielle dans le repère (T). Il faut cependant noter
que ce cas n'est pas général.
Exemple. Action exercée par un ressort.
Considérons un ressort (R) (figure 11.3) de masse négligeable et d'axe AA1 fixe
dans le repère (T). L'étude expérimentale montre que l'action mécanique exercée
par le ressort (R) sur le solide (S) est une force de support AA1, représentée par un
glisseur {R → S} dont la résultante est proportionnelle à l'allongement (positif ou
négatif) de A1A à partir de la longueur l0 du ressort lorsque aucune action ne
s'exerce sur lui : le point A1 est alors en A0. Pour une position du point A1, définie
par AA1 = l , nous observons expérimentalement que :
— si l > l0 , le ressort est tendu et il tend à ramener le point A1 en A0 en
l'attirant vers A0 ;
— si l < l0 , le ressort est comprimé et il tend à repousser le point A1 vers A0.
JJG
En prenant comme axe Ax , l'axe du ressort, les résultats expérimentaux
observés sont décrits en écrivant :
162
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
(T)
A
A0
A1
(S)
FIGURE 11.3. Ressort de traction-compression.
JG
G
⎧⎪ R {R → S} = − k ( x − l0 ) i ,
JJG
G
⎨ JJG
⎪⎩ MP {R → S} = 0, ∀P point de l'axe Ax,
(11.20)
où k est une constante caractéristique du ressort, appelée JJG
coefficient de rigidité ou
raideur du ressort, et x est l'abscisse du point A1 sur l'axe Ax .
JJG
Dans le cas d'un mouvement de translation rectiligne d'axe Ax , le torseur
cinématique relatif au mouvement du solide (S) par rapport au repère (T) s'écrit
au point A1 :
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωG S(T ) = 0,
(11.21)
⎨ JJG
G
G (T )
(T )
{
}
M
v
(
A
,
t
)
x
i
.
V
=
=
⎪⎩
A1
1
S
En explicitant dans le cas présent la relation (11.13), nous obtenons :
( )
2
P T {R → S} = −k ( x − l0 ) d x = − d ⎡⎢k ( x − l0 ) ⎤⎥ .
⎦
dt
d t ⎣2
(11.22)
Nous en déduisons que l'action exercée par le ressort admet une énergie potentielle dans le repère (T) de la forme :
EpT = k ( x − l0 ) + cte .
2
( )
2
(11.23)
11.3.4 Travail
On appelle travail dans le repère (T), entre les instants t1 et t2, d'une action
mécanique représentée par le torseur {T j ( S )} l'intégrale :
11.3 Puissance et travail
163
W
(T )
(t1 , t2 ) =
∫
t2
( )
PT
t1
{T j ( S )} d t .
(11.24)
Si l'action mécanique admet une énergie potentielle dans le repère (T), le
travail s'écrit d'après (11.19) :
W
(T )
( )
( )
(t1, t2 ) = EpT (t1 ) − EpT (t2 ) .
(11.25)
Le travail ne dépend alors que de l'état initial et de l'état final du solide.
11.3.5 Puissance et travail d'une force
11.3.5.1 Puissance
Si l'action s'exerçant sur le solide (S) est une force, le torseur
{T j ( S )}
représentant cette action est un glisseur, et l'expression (11.15) s'écrit en un point
P du support de la force :
JG
G( )
( )
P T {T j ( S )} = R {T j ( S )} ⋅ v T ( P, t ) .
(11.26)
Si le vecteur position du point P dans le repère (T) ne dépend pas explicitement
du temps, nous avons, en introduisant les paramètres qi de situation :
(T ) JJJG
G( )
v T ( M , t ) = d OP =
dt
k
∑
i =1
JJJG
∂OP q ,
∂qi i
(11.27)
où O est un point fixe du repère (T). L'expression (11.26) de la puissance s'écrit
alors :
JJJG
k JG
(T )
∂
OP
(11.28)
P {T j ( S )} =
R {T j ( S )} ⋅
q .
∂qi i
∑
i =1
Cas où la force admet une énergie potentielle
Dans le cas où la force admet dans le repère (T) une énergie potentielle ne
dépendant pas explicitement du temps, la relation (11.19) s'écrit :
P
k
{T j ( S )} = −∑
(T )
i =1
∂ E (T )(q , q , . . . , q ) q .
k
i
∂qi p 1 2
En comparant les expressions (11.28) et (11.29), nous obtenons :
JJJG
JG
( )
( )
∂
OP
(
)
R {T j S } ⋅
= − ∂ EpT = ∂ U T ,
∂qi
∂qi
∂qi
en posant :
( )
( )
U T = − EpT + C ,
(11.29)
(11.30)
164
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
où C est une constante indépendante des paramètres qi et du temps. La fonction
U(T) des variables q1 , q2 , . . . , qk est appelée fonction de force. On dit alors que la
force dérive d'une fonction de force dans le repère (T). L'expression (11.19) de la
puissance s'écrit alors :
(T )
{T j ( S )} = dd t
( )
PT
U
(T )
(q1, q2 , . . . , qk ) .
(11.31)
11.3.5.2 Travail
Le travail entre les instants t1 et t2 est, d'après (11.24) et (11.26) :
W
(T )
(t1 , t2 ) =
∫
W
(t1, t2 ) =
(11.32)
t1
JJJG
JG
∂
OP
(
)
d qi ,
R {T j S } ⋅
∂qi
(11.33)
G( )
R {T j ( S )} ⋅ v T ( P, t ) d t
ou d'après (11.28) :
(T )
,
t2 JG
P2 k
∫ ∑
P1 i =1
p
où l'intégrale curviligne est étendue à la trajectoire P
1P2 décrite entre les dates t1
et t2.
Dans le cas où la force dérive d'une fonction de force, le travail est :
W
(T )
(t1 , t2 ) = U
(T )
(M 2 ) − U
(T )
( M1 ) .
(11.34)
11.3.6 Ensemble de solides
Soit un ensemble (D) constitué (figure 11.4) de solides ( S1 ) , ( S2 ) , . . . , ( S n )
disjoints :
( D ) = ( S1 ∪ S 2 . . . ∪ S n ) .
(11.35)
Les actions exercées sur un solide (Si) de l'ensemble (D) sont classées suivant :
— des actions intérieures exercées sur (Si) par les autres solides de l'ensemble
(D) :
(11.36)
{S j → Si } , avec i, j = 1, 2, . . . , n, et j ≠ i ,
(D)
(S1)
(S2)
(Sj)
(Sj)
(Sn)
FIGURE 11.4. Ensemble de solides.
Exercices
165
— des actions extérieures exercées sur (Si) par l'extérieur de (D) :
{D → Si } .
(11.37)
L'action mécanique résultante exercée sur le solide (Si) est représentée par le
torseur :
n
{Si → Si } = {D → Si } + ∑ {S j → Si } ,
(11.38)
j =1
≠i
actions extérieures
actions intérieures
et la puissance développée par l'ensemble des actions exercées sur le solide (Si)
s'écrit :
P
{S i → S i } =
(T )
P
n
{ D → Si } + ∑
(T )
P T {S j → Si } .
( )
(11.39)
j =1
≠i
On appelle puissance développée dans le repère (T) sur l'ensemble (D), la
somme des puissances développées sur tous les solides. Soit :
(T )
P {T ( D )} =
n
∑P
n
i =1
n
{ D → Si } + ∑ ∑
(T )
P T {S j → Si } .
( )
(11.40)
i =1 j =1
≠i
Le premier terme peut se mettre sous la forme :
n
∑
P
{ D → Si } = P
(T )
(T ) ⎡
i =1
n
⎤
⎧
⎫
⎢
{D → Si }⎥ + P(T ) ⎪⎨D → i = 1 Si ⎪⎬ . (11.41)
⎩⎪
⎭⎪
⎣⎢ i =1
⎦⎥
n
∪
∑
Soit finalement :
( )
P {T ( D )} = P T {D → Si } +
(T )
n
n
∑ ∑ P T {S j → Si } .
( )
(11.42)
i =1 j =1
≠i
ensemble des
actions extérieures
ensemble des
actions intérieures
EXERCICES
11.1 Dans un avant-projet de calcul d'une charpente, on est amené à considérer
(figure 11.5) le champ de forces défini sur l'ensemble des points Mi reportés sur
la figure. Les supports des forces Fi correspondant à chaque point Mi sont
contenus dans le plan Oxy. La figure indique la direction du support de chaque
166
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
y
JG
R5
JG
R4
B
C
M5
A
JG
R6
M6
3m
3m
M4
O
D
4m
M7
JG
R7
x
4m
M1
JG
R1
4m
M2
JG
R2
M3 4 m
JG
R3
4m
4m
FIGURE 11.5. Charpente.
JG
force, en figurant un bipoint dont l'image est la résultante Ri de la force Fi :
JG JG JG
G
— R1, R 2 , R3 sont colinéaires au vecteur j ;
JG JG JG JG
JJJG
— R 4 , R5 , R 6 , R 7 sont respectivement orthogonales aux vecteurs OA ,
JJJG JJJG JJJG
AB , CD , DE ;
— les points M4, M5, M6, M7 sont les milieux respectifs des segments OA,
AB, CD, DE ;
— les intensités exprimées en N des résultantes sont :
R1
R2
R3
R4
R5
R6
R7
2000
1000
1500
1500
1000
1500
2000
Caractériser au mieux l'action mécanique exercée sur la charpente.
11.2 On considère (figure 11.6) un barrage vertical rectangulaire de largeur a. La
profondeur de la retenue est h.
11.2.1. Déterminer, en fonction de la pression atmosphérique p0, de la masse
volumique ρ de l'eau, de l'intensité du champ de pesanteur g, la résultante de la
force exercée sur un élément de surface d S(M) entourant un point M du barrage
(force exercée par l'eau de la retenue). Application : a = 50 m, h = 30 m.
11.2.2. Caractériser l'action mécanique exercée par la retenue sur le barrage.
11.2.3. Caractériser l'action mécanique exercée sur une vanne circulaire de
diamètre D et dont le centre est situé à une distance d de la surface de l'eau. La
vanne est complètement immergée : d ≥ D .
2
11.3 Une sphère de rayon a est immergée dans un liquide de masse volumique ρ,
de telle sorte que son centre O soit à une profondeur h supérieure à a.
Étudier l'action mécanique exercée par le liquide sur la sphère.
Commentaires
167
z
h
M
barrage
d S(M)
x
eau
a
y
FIGURE 11.6. Action exercée sur un barrage.
COMMENTAIRES
Toute action mécanique exercée sur un solide peut être représentée par
un torseur. Les concepts introduits pour les torseurs (chapitre 5) peuvent
donc être transposés aux actions mécaniques. Dans le cas où l'action
mécanique est représentée par un glisseur, l'action mécanique est une force,
caractérisée par sa résultante qui est celle du glisseur et par son support ou
sa ligne d'action qui est l'axe des moments nuls du glisseur. Dans le cas où
l'action mécanique est représentée par un torseur-couple, l'action mécanique est une action-couple, généralement appelée couple. Cette action est
caractérisée par une résultante nulle et un moment indépendant du point
considéré. Elle peut être décomposée en un couple de deux forces de résultantes opposées et de supports parallèles. Enfin, lorsque l'action mécanique
est représentée par un torseur quelconque, l'action mécanique est
quelconque. Elle peut être décomposée en la somme d'une force et d'un
couple.
Les actions mécaniques exercées sur un ensemble matériel sont de
natures physiques différentes et peuvent être classées suivant des actions à
distance et des actions de contact. Les actions à distances résultent de
phénomènes physiques : gravitation (ou pesanteur) et électromagnétisme.
Ces actions sont entièrement déterminées par les phénomènes physiques
mis en jeu. Les actions de gravitation et pesanteur seront étudiées au
chapitre 12. Les actions électromagnétiques résultent des phénomènes
168
Chapitre 11 Généralités sur les actions mécaniques
électrostatiques, électriques, magnétiques et de leurs couplages. Les actions
de contact s'exercent sur un ensemble au niveau de sa frontière. Contrairement aux actions à distance, les actions de contact dépendent des autres
actions exercées sur l'ensemble matériel. Leur caractérisation complète ne
peut alors être obtenue que lors de la résolution du problème de mécanique.
Une notion importante introduite est celle de la puissance développée par
une action mécanique exercée sur un solide en mouvement. Cette puissance
s'exprime simplement comme le produit du torseur qui représente l'action
mécanique et du torseur cinématique relatif au mouvement du solide. La
puissance est une grandeur instantanée qui traduit un état à chaque instant.
La notion de travail qui en est déduite, par intégration de la puissance dans
le temps, est moins intéressante.
CHAPITRE 12
Gravitation. Pesanteur
Centre de masse
12.1 PHÉNOMÈNE DE GRAVITATION
12.1.1 Loi de la gravitation
La loi de la gravitation (ou loi de Newton) fait intervenir la notion de masse
d'un ensemble matériel, grandeur physique qui permet de mesurer la quantité de
matière de l'ensemble. La loi de la gravitation peut se formuler de la manière
suivante.
Soit deux éléments matériels de centres M et M', de masses respectives m et m'.
Du fait de sa présence, l'ensemble de centre M' exerce sur l'ensemble de centre M
une action mécanique (le torseur représentant cette action mécanique sera noté
{M ′ G
→ M } . Cette action est une force de support MM' et de résultante :
JJJJJG
JG
MM ′
G
R { M ′ → M } = Kmm′
,
( MM ′ )3
(12.1)
où K est la constante universelle de gravitation :
K = 6,67 × 10–11 m3 kg–1 s–2.
La loi de la gravitation est d'autant mieux vérifiée que les éléments matériels
ont des dimensions (figure 12.1) faibles devant la distance de M à M ′. Tout se
passe alors comme si les masses des ensembles étaient respectivement
concentrées aux points M et M ′. Les points M et M ′ affectés de leurs masses
respectives m et m' sont appelés points matériels.
Il résulte de l'énoncé de la loi de la gravitation que :
1. Le torseur { M ′ G
→ M } représentant l'action de gravitation exercée par M ′ sur
M est un glisseur d'éléments de réduction :
170
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
M(m)
M'(m')
FIGURE 12.1. Éléments matériels.
JJJJJG
JG
MM ′
G
R { M ′ → M } = Kmm′
,
( MM ′ )3
(12.2)
JJG
G
MP { M ′ G
→ M } = 0, ∀P point de la droite passant par M et M ′.
2. L'action de gravitation exercée par M sur M' est une force opposée à la
précédente, c'est-à-dire de même support que l'action exercée par M' sur M, mais
de résultante opposée.
12.1.2 Champ gravitationnel
On appelle vecteur du champ gravitationnel en un point de l'espace, la
résultante de l'action de gravitation exercée en ce point sur une masse unité.
Le champ gravitationnel créé par le point matériel (M', m') est alors défini au
point M par le vecteur :
JJJJJG
JG
MM ′
GM ′ ( M ) = Km′
,
(12.3)
( MM ′ )3
et la résultante de l'action de gravitation s'écrit :
JG
JG
R{M ′ G
→ M } = m GM ′ ( M ) .
(12.4)
L'intensité du champ gravitationnel s'exprime en N kg–1.
12.1.3 Action de gravitation créée par une sphère
Considérons (figure 12.2) un point matériel (M, m) situé à une distance r du
centre O d'une sphère (S) de masse mS. Un élément de masse d m( M ′) entourant
le point M' de la sphère exerce sur M une force de résultante :
JJJJJG
JG
MM ′
G
d R { M ′ → M } = Km
d m( M ′) ,
(12.5)
( MM ′ )3
ou
JJJJJG
JG
MM ′
dR{M ′ G
ρ ( M ′) d V ( M ′) ,
(12.6)
→ M } = Km
( MM ′ )3
12.1 Phénomène de gravitation
171
M
r
(S)
O
M′
d m(M')
FIGURE 12.2. Action de gravitation exercée par une sphère.
où ρ ( M ′) est la masse volumique de la sphère au point M ′ et d V ( M ′) est l'élément
de volume qui entoure le point M'. L'action de gravitation exercée par la sphère
sur le point (M, m) est donc représentée par le torseur associé au champ de
glisseurs défini par (12.5) ou (12.6). Soit, d'après (5.54) et (5.55) :
JJJJJG
JG G
R {S → M } =
Km MM ′ 3 ρ ( M ′) d V ( M ′),
( MM ′)
(S )
(12.7)
JJG
JJJJJG
JG
G
G
MM {S → M } =
MM ′ ∧ d R {M ′ G
→ M } = 0.
∫
∫
(S )
L'action de gravitation est donc une force de support passant par le point M.
Dans le cas où la sphère est homogène par couches concentriques c'est-à-dire
pour une sphère dont la masse volumique ne dépend que de la distance R au
centre de la sphère :
(12.8)
ρ ( M ′) = ρ ( R) ,
on montre (exercice 12.7) que la résultante de l'action s'exprime suivant :
JJJJG
JG
MO
G
.
R { S → M } = KmmS
OM 3
(12.9)
L'action de gravitation exercée par la sphère sur le point matériel est donc une
force de support OM et identique à l'action de gravitation qui serait exercée par un
point matériel de masse égale à celle de la sphère et placé au centre de la sphère.
Le champ gravitationnel créé au point M par la sphère est alors :
JJJJG
JG
MO
.
(12.10)
GS ( M ) = KmS
OM 3
L'expression du champ peut être réécrite en introduisant le vecteur directeur
172
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
G
unitaire n ( M ) de la droite MO orientée de M vers O :
JG
Km G
GS ( M ) = 2 S n ( M ) ,
r
(12.11)
où r est la distance du point M au centre de la sphère (figure 12.2).
12.1.4 Action de gravitation terrestre
Dans tous les problèmes de l'ingénieur à la surface de la Terre ou en son
voisinage, les actions gravitationnelles des autres astres, en particulier de la Lune
et du Soleil, sont négligeables devant l'action de gravitation de la Terre. D'autre
part, en première approximation, le schéma simplificateur d'une Terre sphérique et
homogène par couches concentriques est suffisant. Il résulte alors des résultats du
paragraphe précédent que l'action de gravitation exercée par la Terre au point M
est une force de support passant par le point M et le centre de la Terre, et de
champ gravitationnel :
JG
KmTe G
(12.12)
G Te( M ) =
n(M ) ,
r2
où mTe est la masse de la Terre, r est la distance du point M au centre de la Terre
G
et n ( M ) le vecteur directeur unitaire de la droite passant par le point M et le
centre de la Terre, orientée vers le centre de la Terre (figure 12.3).
Si le point M est situé à la surface de la Terre, le champ gravitationnel s'écrit :
JG
G
G Te( M ) = G n ( M ) ,
(12.13)
avec
KmTe
,
(12.14)
G=
R2
M
G
n(M )
r
OTe
R
Terre
FIGURE 12.3. Action de gravitation exercée par la Terre.
12.2 Action de pesanteur
173
où R est le rayon de la Terre. Si le point M se trouve à l'altitude h, le champ de
gravitation terrestre s'écrit :
JG
G
G Te( M ) = G (h) n ( M ) ,
(12.15)
avec :
G
G ( h) =
.
(12.16)
2
h
1+
R
Nous constatons que pour une altitude beaucoup plus faible que le rayon
terrestre, l'intensité G(h) du champ gravitationnel terrestre ne dépend pas de h et
est confondu avec sa valeur à la surface de la Terre. Par ailleurs, à l'échelle des
G
ouvrages technologiques le vecteur unitaire n ( M ) est indépendant du point M :
G
G
n(M ) = n ,
(12.17)
G
où n est le vecteur unitaire de la direction du lieu de l'ouvrage au centre de la
Terre. Il en résulte que le champ gravitationnel est uniforme en tout point de
l'ouvrage :
JG
G
∀M point de l'ouvrage G Te ( M ) ≈ G n.
(12.18)
(
)
C'est le schéma que nous adopterons par la suite pour tout problème de mécanique
relatif à des ensembles situés au voisinage de la Terre.
12.2 ACTION DE PESANTEUR
12.2.1 Champ de pesanteur terrestre
À l'action de gravitation, exercée par la Terre sur un ensemble matériel placé à sa
surface ou en son voisinage se superpose une autre action mécanique due au
mouvement de rotation (figure 12.4) de la Terre autour de son axe Sud-Nord.
Nord
M
OTe
Terre
Sud
FIGURE 12.4. Action de pesanteur exercée par la Terre.
174
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
L'action résultante est appelée l'action de pesanteur terrestre. Nous verrons
(chapitre 19, paragraphe 19.3.2) que l'action de pesanteur diffère très peu de
l'action de gravitation qui est prépondérante.
En particulier, à la surface de la Terre ou en son voisinage, le champ de
G
pesanteur terrestre, que nous noterons g est uniforme. Dans la pratique, son
intensité g à la surface de la Terre varie légèrement en raison de l'aplatissement de
la Terre aux pôles :
g (N kg–1)
Pôles
Paris
Équateur
9,8322
9,8066
9,7804
Le champ de pesanteur s'écrit alors :
G
G
g = gu ,
(12.19)
G
où u est le vecteur directeur unitaire de la verticale descendante (direction donnée
G
par le fil à plomb) au lieu de l'étude, différant très peu du vecteur n introduit en
(12.17).
Note. Un corps abandonné à lui-même au voisinage de la surface de la Terre est
soumis à une accélération de valeur g (paragraphe 18.4.2.1 du chapitre 18). Il en
résulte que l'intensité g est généralement exprimée en m s–2.
12.2.2 Action de pesanteur exercée sur un ensemble
matériel
Soit un ensemble matériel (D). Un élément de matière (figure 12.5) entourant
le point M est caractérisé par sa masse :
d m( M ) = ρ ( M )d e( M ) ,
(12.20)
où ρ ( M ) est la masse spécifique (volumique, surfacique ou linéique) au point M
et d e( M ) est l'élément de volume, de surface ou de courbe entourant le point M,
suivant que l'ensemble (D) est un volume, une surface ou une courbe. Si
l'ensemble (D) est au voisinage de la Terre, l'action de pesanteur exercée par la
M
d m(M)
(D)
FIGURE 12.5. Ensemble matériel.
12.2 Action de pesanteur
175
G
Terre sur l'élément d e( M ) est une force de support ( M , u ) et de résultante :
JG
G
d R ( M ) = g ( M ) d m( M ) ,
(12.21)
G
où g ( M ) est le champ de pesanteur au point M. Pour un ensemble matériel situé
au voisinage de la Terre, le champ de pesanteur est uniforme et donné par
l'expression (12.19). La résultante s'écrit donc :
JG
G
G
d R ( M ) = u g d m ( M ) = u g ρ ( M ) d e( M ) .
(12.22)
L'action de pesanteur exercée sur l'ensemble (D) est donc représentée par le
torseur associé au champ de glisseurs (ou champ de forces) défini sur l'ensemble
(D) par la relation (12.22). Nous sommes dans le cas d'un champ de glisseurs
ayant des axes parallèles indépendants du point M (paragraphe 5.3.3). Des
résultats établis dans ce paragraphe, nous déduisons les conséquences suivantes.
Le torseur {Pe ( D )} représentant l'action de pesanteur exercée par la Terre
sur l'ensemble (D) situé à sa surface ou en son voisinage :
1. possède un centre de mesure G, appelé le centre de masse de l'ensemble
(D) et défini par l'une des relations équivalentes déduites de (5.69) et (5.72) :
JJJG
OG = 1
m
∫
( D)
JJJJG
OM d m( M ) ,
(12.23)
ou
∫
( D)
JJJJG
G
GM d m( M ) = 0 ,
(12.24)
où m est la masse de l'ensemble (D) ;
G
2. est un glisseur d'axe ( G, u ) et de résultante :
JG
G
R {P e ( D )} = mg u ,
(12.25)
G
où u est le vecteur directeur unitaire de la verticale descendante au lieu de
l'étude.
L'action de pesanteur terrestre exercée sur l'ensemble (D) est donc une force
dont la ligne d'action passe par le centre de masse de l'ensemble (D) et dont la
direction est donnée par la verticale descendante. L'intensité de cette force :
P = mg
(12.26)
est appelée le poids de l'ensemble (D).
12.2.3 Puissance développée par l'action de pesanteur
Soit un ensemble matériel (D) de masse m et de centre de masse G, situé à la
surface de la Terre ou en son voisinage. La puissance développée par l'action de
pesanteur exercée sur l'ensemble (D) est, d'après (11.26) :
176
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
z
G1
G
u
(D)
G
G2
O
y
x
FIGURE 12.6. Puissance développée par l'action de pesanteur entre deux positions du
centre de masse d'un ensemble matériel.
G G( )
( )
P T {Pe ( D )} = mg u ⋅ v T (G, t ) .
(12.27)
JJG
Dans un trièdre (Oxyz) lié à la Terre et tel que l'axe Oz soit vertical ascendant :
G
G
k = −u ,
(12.28)
le vecteur position du centre de masse s'écrit :
JJJG
G
G
G
OG = xG i + yG j + zG k ,
(12.29)
en introduisant les coordonnées cartésiennes (xG, yG, zG) du point G. Le vecteur
vitesse du centre de masse est :
G
G
G
G( )
v T (G, t ) = xG i + yG j + zG k ,
(12.30)
et la puissance (12.27) s'écrit :
( )
P T {P e ( D )} = − m g zG .
(12.31)
La puissance développée ne dépend que de la cote du centre de masse. Par
ailleurs, l'expression précédente montre que l'action de pesanteur admet une
énergie potentielle :
( )
EpT {Pe ( D )} = m g zG + cte .
(12.32)
Le travail de l'action de pesanteur entre deux positions de l'ensemble (D), où le
centre de masse est respectivement en G1 puis en G2 (figure 12.6) s'exprime alors
suivant :
W
(T )
(G1, G2 ) = −mg ( zG 2 − zG1 ) .
(12.33)
12.3 Détermination du centre de masse
177
z
M
d m(M)
O
y
(D)
x
FIGURE 12.7. Détermination du centre de masse.
12.3 DÉTERMINATION DU CENTRE DE MASSE
12.3.1 Centre de masse d'un ensemble matériel
La détermination de la position du centre de masse d'un ensemble matériel se
fait en appliquant l'expression générale (12.23) à chaque cas particulier de coordonnées.
Si par exemple, l'on travaille dans un trièdre cartésien (Oxyz) (figure 12.7), les
coordonnées cartésiennes du centre de masse G s'expriment d'après (12.23) par les
relations :
⎧
1
⎪ xG = m ( ) x( M ) d m( M ),
D
⎪
⎪
1
(12.34)
y ( M ) d m( M ),
⎨ yG =
m
(
)
D
⎪
⎪
1
z ( M ) d m( M ).
⎪ zG = m
( D)
⎩
∫
∫
∫
où x(M), y(M), z(M) sont les coordonnées cartésiennes du point M, m est la masse
de l'ensemble matériel et la masse d m( M ) d'un élément est exprimée par la
relation (12.20).
Les relations précédentes sont adaptées à une méthode de détermination
littérale. Toutefois, il est toujours possible d'utiliser une méthode numérique en
remplaçant dans les expressions (12.34) les intégrales par des sommes. On
décompose alors l'ensemble (D) en n éléments (figure 12.7). L'élément i est repéré
par le point Mi centre de l'élément et de coordonnées cartésiennes (xi, yi, zi). On
affecte ensuite au point Mi la masse mi de l'élément l'entourant. Les expressions
(12.34) sont alors remplacées par les relations :
178
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
Mi
(D)
FIGURE 12.8. Décomposition d'un ensemble matériel.
⎧
1
⎪ xG =
m
⎪
⎪
⎪
1
⎨ yG =
m
⎪
⎪
⎪ z = 1
⎪ G m
⎩
n
∑ xi mi ,
i =1
n
∑
n
yi mi ,
i =1
n
avec m =
∑ mi .
(12.35)
i =1
∑ zi mi ,
i =1
La précision du calcul augmente avec le nombre d'éléments utilisés.
12.3.2 Centre de masse de la réunion de deux ensembles
Considérons un ensemble (D) constitué (figure 12.9) de la réunion des deux
ensembles (D1) et (D2). Nous cherchons la position du centre de masse G de
l'ensemble (D), connaissant celles des centres de masses G1 et G2 respectivement
des ensembles (D1) et (D2).
Le centre de masse de (D1) est défini par rapport à un point O de référence, par
JJJG
JJJJG
OG1 = 1
OM d m( M ) ,
m1 ( D1 )
∫
(12.36)
où m1 est la masse de l'ensemble (D1). De même, le centre de masse de (D2) est
défini par :
JJJG
JJJJG
OG 2 = 1
OM d m( M ) ,
(12.37)
m2 ( D2 )
∫
où m2 est la masse de l'ensemble (D2). La position du centre de masse de l'ensemble (D) est donnée par :
12.3 Détermination du centre de masse
179
(D2)
G
G2
G1
(D1)
O
FIGURE 12.9. Centre de masse de la réunion de deux ensembles.
JJJG
JJJJG
OG = 1
OM d m( M ) ,
m ( D1 ∪ D2 )
∫
(12.38)
m = m1 + m2 .
(12.39)
JJJG
JJJJG
JJJJG
⎡
⎤
OG = 1 ⎢
OM d m( M ) +
OM d m( M )⎥ .
m ⎣ ( D1 )
( D2 )
⎦
(12.40)
où m est la masse de (D) :
La relation (12.38) conduit à :
∫
∫
Compte tenu des expressions (12.36) à (12.40), nous trouvons :
JJJG
JJJG
JJJG
1
( m1OG1 + m2 OG 2 ) .
OG =
m1 + m2
(12.41)
Si le point de référence O est confondu avec G1, l'expression précédente s'écrit :
JJJJG m JJJJG
G1G = 2 G1G 2 .
m
(12.42)
Le centre de masse G appartient au segment G1G2. Si le point O est confondu avec
G, l'expression (12.41) conduit à :
JJJG
JJJG
G
m1 GG1 + m2 GG 2 = 0 .
(12.43)
12.3.3 Centre de masse d'un ensemble homogène
Un ensemble matériel est de masse homogène, lorsque la masse spécifique est
indépendante du point M :
ρ ( M ) = ρ , ∀M ∈ ( D ) .
(12.44)
La masse de l'élément d e( M ) est :
d m( M ) = ρ d e( M ) ,
(12.45)
et la masse de l'ensemble matériel est :
m = ρ e( D ) ,
(12.46)
180
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
où e( D) est le volume, la surface ou la longueur de l'ensemble (D). L'expression
(12.23) du centre de masse se réduit alors à :
JJJG
OG =
1
e( D )
∫
( D)
JJJJG
OM d e( M ) .
(12.47)
Cette expression montre que le centre de masse d'un ensemble homogène est confondu avec le centre géométrique de l'ensemble (D).
Les coordonnées cartésiennes de G s'écrivent alors :
⎧
1
⎪ xG = e( D)
⎪
⎪
1
⎨ yG =
(
e
D)
⎪
⎪
1
⎪ zG = e( D)
⎩
∫
∫
∫
( D)
( D)
( D)
x( M ) d e( M ),
y ( M ) d e( M ),
(12.48)
z ( M ) d e( M ).
Dans une détermination numérique, nous aurons :
⎧
1
⎪ xG =
e
D)
(
⎪
⎪
⎪
1
⎨ yG =
e( D )
⎪
⎪
⎪ z = 1
⎪ G e( D )
⎩
n
∑ xi ei ,
i =1
n
∑ yiei ,
i =1
n
n
avec e( D ) =
∑ ei .
(12.49)
i =1
∑ ziei ,
i =1
12.3.4 Corps homogènes présentant des symétries
géométriques
Dans le cas où un solide homogène présente des symétries géométriques, les
expressions (12.47) et (12.48) donnant la position du centre masse, montrent que
si un corps homogène possède :
— un centre de symétrie, le centre de masse est confondu avec le centre de
symétrie,
— un plan de symétrie, le centre de masse est contenu dans ce plan,
— un axe de symétrie, le centre de masse appartient à cet axe.
Ces considérations faciliteront la détermination du centre de masse d'un
ensemble homogène possédant des symétries géométriques.
12.4 Exemples de déterminations de centres de masses
181
12.4 EXEMPLES DE DÉTERMINATIONS
DE CENTRES DE MASSES
12.4.1 Demi-boule homogène
Nous cherchons le centre de masse d'une demi-boule homogène (figure 12.10),
JJG
de masse m et rayon a. Nous choisissons un trièdre (Oxyz) tel que l'axe Oz soit
l'axe de symétrie de la demi-boule. Le centre de masse G est sur l'axe de symétrie
et ses coordonnées sont :
xG = 0,
zG = 1
V
yG = 0,
∫
(S )
z ( M ) d V ( M ),
(12.50)
où V est le volume de la sphère, et d V ( M ) est le volume de l'élément entourant le
point M de cote z(M). Pour calculer l'intégrale étendue à la demi-boule (S), il est
possible de choisir comme élément de volume un élément tel que z(M) ne varie
pas, pour tout point M de cet élément : un élément compris entre les tranches z et
z + d z (figure 12.10). Cet élément de volume est un cylindre de hauteur dz et de
rayon :
Son volume est :
r = a2 − z 2 .
(12.51)
d V ( M ) = π r 2d z = π ( a 2 − z 2 ) d z .
(12.52)
La cote du centre de masse est donc obtenue, d'après (12.50), par :
zG =
3
2π a3
∫
a
zπ ( a 2 − z 2 ) d z .
(12.53)
0
Nous obtenons :
zG = 3 a .
8
(12.54)
z
r
a
dz
z
O
(S)
x
FIGURE 12.10. Demi-boule homogène.
y
182
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
12.4.2 Solide homogène à géométrie complexe
Nous considérons le solide de la figure 12.11 constitué d'un parallélépipède et
d'un cylindre de même matière homogène.
Parallélépipède
• son volume est : V1 = Llh ;
• son centre de masse G1 est le centre de symétrie du parallélépipède :
xG1 = L , yG1 = l , zG1 = h .
2
2
2
Cylindre
1 2
• son volume est : V2 = π d c ;
4
• son centre de masse G2 (centre du cylindre) a pour coordonnées :
xG2 = L − a, yG2 = b, zG2 = h + c .
2
La relation (12.41), s'écrit dans le cas de solides homogènes de même masse volumique :
JJJG
JJJG
JJJG
OG = 1 (V1OG1 + V2 OG 2 ) .
(12.55)
V1 + V2
D'où les coordonnées cartésiennes du centre de masse :
2
2 (
)
xG = 2hlL + π d c 2L − a ,
4 Llh + π d c
2
2
yG = 2hl L + π d 2bc ,
4 Llh + π d c
(12.56)
)
(
2h 2lL + π d 2c h + c
2 .
zG =
2
4 Llh + π d c
z
d
y
c
(S2)
b
a
h
l
(S1)
x
L
FIGURE 12.11. Solide à géométrie complexe.
12.4 Exemples de déterminations de centres de masse
183
z
a
(S2)
h
O
(S1)
FIGURE 12.12. Solide non homogène.
12.4.3 Solide non homogène
Soit le solide (figure 12.12), constitué par une demi-boule de masse volumique
ρ1 et de rayon a, et par un cylindre de hauteur h, de masse volumique ρ2 et ayant
la même base que la demi-boule.
Demi-boule
m1 = 2 π a 3 ρ1 ;
3
• son centre de masse G1 a été déterminé au paragraphe 12.4.1. Ses
coordonnées sont :
xG1 = 0, yG1 = 0, zG1 = − 3 a .
8
Cylindre
• sa masse est :
• sa masse est :
m2 = π a 2 h ρ 2 ;
• son centre de masse G2 est le centre de symétrie de coordonnées :
xG2 = 0,
yG2 = 0,
zG2 = h .
2
Le centre de masse du solide est déduit de la relation (12.41). Nous obtenons :
JJJG
2 ρ h 2 − ρ1a 2 G
(12.57)
OG = 3 2
k.
4 2 ρ1a + 3ρ 2 h
184
Chapitre 12 Gravitation. Pesanteur. Centre de masse
EXERCICES
12.1 Déterminer le centre de masse d'un arc de cercle (figure 12.13).
12.2 Déterminer le centre de masse d'un secteur circulaire (figure 12.14).
12.3 Déterminer le centre de masse d'un segment circulaire (figure 12.15).
12.4 Déterminer le centre de masse d'un cône (figure 12.16).
12.5 Déterminer le centre de masse d'une calotte sphérique (figure 12.17).
12.6 Déterminer le centre de masse d'un cylindre de rayon a et hauteur h, dans
lequel est creusé un cylindre de rayon moitié (figure 12.18).
12.7 On considère une sphère de centre O et de rayon a. Déterminer l'action de
gravitation exercée par la sphère en un point M extérieur à la sphère et situé à une
distance r du centre O (r > a), dans le cas où la sphère est homogène par couches
concentriques.
a
a
2α
2α
FIGURE 12.13. Arc de cercle.
a
FIGURE 12.14. Secteur circulaire.
h
2α
a
FIGURE 12.15. Segment circulaire.
FIGURE 12.16. Cône.
Commentaires
185
a
h
h
a
FIGURE 12.17. Calotte sphérique.
FIGURE 12.18. Cylindre creusé.
COMMENTAIRES
Les actions de gravitation résultent des phénomènes d'attraction entre
masses et sont caractérisées par la loi de Newton. Elles permettent de
caractériser l'action exercée par la Terre sur un ensemble matériel. À
l'action de gravitation se superpose une action mécanique induite par le
mouvement de la Terre autour de l'axe de ses pôles Sud-Nord. L'action
résultante est l'action de pesanteur terrestre qui diffère peu de l'action de
gravitation. Cette action de pesanteur exercée sur un solide ou un ensemble
de solides est une force dont l'intensité est le produit de la masse du solide
ou ensemble des solides par l'intensité du champ de pesanteur terrestre et
dont le support est l'axe vertical descendant passant par le centre de masse.
CHAPITRE 13
Actions de contact entre solides
Liaisons
13.1 LOIS DU CONTACT ENTRE SOLIDES
13.1.1 Introduction
Pour déplacer sur le sol un solide (armoire, caisse (figure 13.1), etc.) il est
nécessaire d'exercer une action mécanique suffisante pour vaincre l'action exercée
par le sol sur le solide, action qui s'oppose à tout mouvement du solide sur le sol.
Les actions de contact entre solides sont de caractère inter-moléculaire et ne se
manifestent qu'à cette échelle. Elles ne s'exercent donc qu'à des distances
extrêmement faibles, d'où leur nom d'actions de contact. De ce fait, les actions de
contact sont très sensibles à l'état des surfaces en contact. Par ailleurs, les actions
de contact dépendent des autres actions mécaniques exercées. Par exemple, il est
plus difficile de tirer la caisse remplie que la caisse vide. Les phénomènes de
contact sont complexes, et les lois du contact que nous énoncerons ne sont
qu'approchées. Elles constituent toutefois une approche satisfaisante dans de
nombreux problèmes mettant en jeu des actions de contact entre solides.
FIGURE 13.1. Déplacement d'une caisse.
13.1 Lois de contact entre solides
187
13.1.2 Contact ponctuel
13.1.2.1 Lois du contact ponctuel
Soit deux solides (S) et (T), en contact au point P à un instant donné (figure
13.2). En fait le contact se fait suivant des surfaces de dimensions très faibles et
peut être assimilé à un contact ponctuel. Les deux solides étant supposés
indéformables et impénétrables, ils sont tangents en P. Nous sommes dans le
schéma cinématique étudié au chapitre 10 (paragraphe 10.1.1).
Du fait du contact des deux solides en P, le solide (T) exerce sur le solide (S)
C
une action de contact représentée par le torseur {T → S } . Les lois du contact
ponctuel sont les suivantes :
1ère loi
L'action de contact exercée par le solide (T) sur le solide (S) est une force dont
la ligne d'action passe par le point de contact P.
C S } est donc un glisseur d'axe passant par le point de contact
Le torseur {T →
P. En particulier :
JJG
C S } = 0G .
MP {T →
(13.1)
L'étude expérimentale des phénomènes de contact montre que la résultante de
l'action de contact exercée par le solide (T) , n'est pas, comme les actions à
distance, connue ou calculable à priori, mais dépend des autres actions
mécaniques exercées sur (S). L'action de contact doit toutefois vérifier certaines
conditions exprimées dans des lois que nous énonçons ci-après.
(S)
P
(T)
FIGURE 13.2. Solides en contact ponctuel.
188
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
La force de contact exercée par le solide (T) sur le solide (S) est décomposée
en deux forces :
JG
— une force de résultante Rt , appelée force de résistance au glissement ou
force de frottement, dont la ligne d'action est contenue dans le plan tangent en P
aux deux solides ;
JG
— une force de résultante R n appelée force de contact normale, dont la ligne
d'action est la droite normale en P au plan tangent.
La résultante de l'action de contact s'écrit ainsi :
JG C
JG JG
R {T → S } = Rt + R n .
(13.2)
2ème loi
G
Si le vecteur n est le vecteur directeur unitaire de la normale en P orientée du
solide (T) vers le solide (S), dans tous les cas où (S) et (T) ne sont pas collés au
point P, on a :
JG
G
R n = Rn n , avec Rn ≥ 0,
(13.3)
où Rn est la composante de la force de contact normale. Cette loi exprime le fait
que la force de contact normale s'oppose à la pénétration du solide (S) dans le
solide (T). La représentation symbolique de la force de contact est reportée sur la
figure 13.3.
3ème loi ou loi de Coulomb
Il existe un coefficient f positif appelé coefficient de frottement réciproque de
(S) sur (T), dépendant des matériaux dont sont constitués (S) et (T), dépendant de
l'état des surfaces en contact, mais indépendant des mouvements ou de l'équilibre
de (S) et de (T), tel que soit vérifiée à chaque instant la condition :
JG
Rt ≤ f Rn .
(13.4)
JG
R
JG
Rn
(S)
G
n
JG
Rt
P
plan tangent
(T)
FIGURE 13.3. Composantes normale et tangentielle de la force de contact.
13.1 Lois de contact entre solides
189
Cette loi doit être précisée de la manière qui suit :
— Si le solide (S) glisse sur (T), donc si sa vitesse de glissement n'est pas nulle
JJG
G
G( )
( )
(13.5)
v gTS ( P, t ) = MP{V ST } ≠ 0 ,
• d'une part, c'est l'égalité qui est vérifiée :
JG
Rt = f Rn ,
• d'autre part,
JG
G( )
Rt et v gTS ( P, t ) sont colinéaires et de signes opposés :
JG G (T )
JG G ( )
G
Rt ∧ v g S ( P, t ) = 0, Rt ⋅ v gTS ( P, t ) < 0.
(13.6)
(13.7)
— Si le solide (S) ne glisse pas sur (T), donc si sa vitesse de glissement est
nulle :
JJG
G
G( )
( )
v gTS ( P, t ) = MP{V ST } = 0 ,
(13.8)
c'est l'inégalité qui est vérifiée :
JG
R t < f Rn .
(13.9)
Ce qui précède peut également se traduire en disant que, tant que l'inégalité
(13.9) est vérifiée, le solide (S) ne peut pas glisser sur le solide (T). Le glissement
ne se produit que lorsque les autres actions exercées sur le solide (S) sont assez
grandes pour que soit vérifiée la relation (13.6). Le solide (S) glisse alors sur (T),
la force de frottement étant opposée au vecteur vitesse de glissement au point P.
En outre, pour une valeur donnée de Rn, l'égalité (13.6) est d'autant plus
facilement réalisée que f sera petit. Ce résultat s'exprime en disant que "plus le
coefficient de frottement est faible, plus le glissement est aisé". Des ordres de
grandeurs peuvent être données pour le coefficient de frottement suivant la nature
des solides en contact :
bois sur bois : 0,3 à 0,5 ;
acier sur bois : 0,25 ;
bronze sur bronze : 0,2 ;
acier sur acier : 0,15 ;
garniture de frein sur tambour d'acier : 0,4 ;
pneu sur chaussée : 0,2 à 0,6.
13.1.2.2 Corrections à la loi de Coulomb
Les lois de frottement solide ne sont applicables qu'au cas du frottement sec
(non lubrifié) entre deux solides. La loi de Coulomb fournit généralement une
approche qualitative satisfaisant aux phénomènes de frottement sec. Si les
résultats quantitatifs qu'on en tire ne sont pas toujours en accord avec les valeurs
mesurées, cela résulte du fait que le coefficient de frottement est très sensible à
l'état de surface des matériaux en contact, à des traces d'humidité ou de
lubrifiants, etc., et cela variant d'une région à l'autre des solides en contact. En
190
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
outre le coefficient de frottement dépend de la température des parties en contact,
or le frottement les échauffe, d'où une diminution du coefficient de frottement.
L'importance de cet effet est mis en évidence dans le comportement du freinage
d'une automobile. Le coefficient f dépend également dans une certaine mesure de
la composante normale Rn. Enfin, le coefficient de frottement dépend de la vitesse
de glissement.
Une manière assez simple de tenir compte de la dépendance du coefficient de
frottement vis à vis de la vitesse consiste à prendre deux valeurs différentes pour
les deux éventualités de la loi de Coulomb : un coefficient de frottement au repos
fr et un coefficient de frottement de glissement fg, de valeur inférieure à celle du
coefficient au repos. Cette distinction entre les deux conditions de frottement
permet alors de rendre compte d'effets usuels. Par exemple, un solide se trouve en
équilibre sur un plan incliné. Dans le cas d'un équilibre précaire, une très faible
impulsion suffit pour rompre l'équilibre, le corps ayant ensuite un mouvement de
glissement accéléré. Si le plan est horizontal, un effort plus élevé est nécessaire
pour faire bouger le solide que celui nécessaire pour le déplacer ensuite.
13.1.2.3 Puissance développée
La puissance développée dans le repère (T) par l'action exercée sur le solide
(S), en contact ponctuel en P avec (T) est, d'après (11.13) :
P
C S } = {T →
C S } ⋅{V ( T )} .
{T →
S
(T )
(13.10)
Soit, exprimée au point de contact P :
P
C S } = JRG{T →
C S } ⋅ vG ( T )( P, t ) ,
{T →
gS
(T )
JG
G( )
ou encore puisque v gTS ( P, t ) est orthogonal à R n :
( )
C S } = JRG t ⋅ vG ( T )( P, t ) .
P T {T →
gS
(13.11)
(13.12)
La puissance développée par la force de contact normale est nulle. La puissance
se réduit à celle développée par la force de frottement. D'après la loi de Coulomb
cette puissance est négative ou nulle.
13.1.2.4 Contact sans frottement
Si le frottement est nécessaire dans certains cas (marche sur le sol,
entraînement d'une automobile, etc.), dans d'autres cas il est nécessaire de le
diminuer le plus possible afin de diminuer l'énergie dissipée par frottement et
d'éviter une usure prématurée des pièces en contact.
Dans le cas extrême où le coefficient de frottement est nul, on dit que le contact
a lieu sans frottement ou que le contact est parfait au point de contact considéré.
13.1 Lois de contact entre solides
Dans un tel schéma, nous avons :
JG G
Rt = 0 et
191
JG C
JG
R{T → S } = R n .
(13.13)
Le solide (T) n'exerce sur (S) qu'une action de contact normale. La moindre
action exercée sur le solide (S) produira un glissement du solide (S). D'autre part,
l'expression (13.12) montre que la puissance développée est nulle.
En conclusion, nous dirons que le contact entre deux solides est parfait ou sans
frottement au point P, si et seulement si l'une des conditions équivalentes
suivantes est vérifiée :
— le coefficient de frottement est nul,
— l'action de contact est normale en P aux deux solides,
— la puissance développée par l'action de contact est nulle.
Ce schéma de contact parfait reste toutefois un schéma idéal, vers lequel on tend à
se rapprocher en polissant les surfaces en contact et en les lubrifiant.
13.1.3 Couples de roulement et pivotement
13.1.3.1 Introduction
Dans le paragraphe précédent, nous avons étudié le cas d'un contact ponctuel
pour lequel l'action de contact peut être réduite à une force de contact. Dans la
pratique, le contact entre les deux solides se fait suivant une surface localisée de
centre P. L'action de contact exercée doit alors être décomposée au point P, en
une force de contact, dont les propriétés ont été étudiées dans le paragraphe 13.1.2
JJG
précédent, et un couple de contact de vecteur-moment M égal au moment en P
de l'action de contact :
JJG JJG
C S} .
(13.14)
M = MP {T →
Comme la force de contact (relation (13.2)), le couple est décomposé en deux
couples :
JJG
— un couple de résistance au roulement de vecteur-moment Mt , dont la
direction est contenue dans le plan tangent en P aux deux solides ;
JJG
— un couple de résistance au pivotement de vecteur-moment Mn de direction
orthogonale au plan tangent.
Le vecteur-moment s'écrit ainsi :
JJG JJG JJG
M = Mt + Mn .
(13.15)
Les propriétés des couples de contact sont complexes. Des lois semblables à la
loi de Coulomb sont cependant formulées pour une analyse qualitative des phénomènes de roulement et de pivotement.
192
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
13.1.3.2 Lois du roulement
Le schéma généralement retenu est le suivant.
— Si le solide (S) ne roule pas sur (T), donc si le vecteur rotation de roulement
(paragraphe 10.1.2) est nul :
G( ) G
ωSTt = 0 ,
(13.16)
le moment du couple de résistance au roulement vérifie l'inégalité :
JJG
Mt < hR n .
(13.17)
— Si le solide (S) roule sur (T), soit si :
G( ) G
ωSTt ≠ 0 ,
(13.18)
• d'une part :
JJG
Mt = hR n ,
(13.19)
JJG
G (T )
• d'autre part Mt et ωS t sont colinéaires et de signes opposés.
Le paramètre h est appelé coefficient de résistance au roulement. Il a la dimension d'une longueur.
13.1.3.3 Lois du pivotement
Les lois du pivotement peuvent être énoncées de la même manière en remJJG
G( )
plaçant dans les lois du roulement ωSTt et Mt , respectivement par le vecteur
JJG
G( )
rotation de pivotement ωSTn et par le moment Mn du couple de résistance au
pivotement, et en introduisant un coefficient de résistance au pivotement. Notons
que la résistance au pivotement résulte de la résistance au glissement des surfaces
en contact. Elle est donc une fonction du coefficient de frottement et des dimensions des éléments en contact. Cette fonction est toutefois difficile à expliciter.
13.2 LIAISONS
13.2.1 Introduction
Les mouvements d'un solide (S) par rapport à un repère (T), dont nous avons
étudié la cinématique au chapitre 9, sont obtenus en réalisant une liaison entre les
solides (S) et (T). Cette liaison est réalisée en mettant en contact des surfaces des
solides (S) et (T), le contact ayant lieu suivant un arc de courbe ou une surface.
L'action de contact exercée par le solide (T) sur le solide (S) résulte des actions de
contact exercées en chaque point de l'arc de courbe ou de la surface de contact.
Cette action de contact est généralement appelée action de liaison. Elle est
représentée par un torseur que nous noterons {L T ( S )} .
13.2 Liaisons
193
13.2.2 Classification des liaisons
13.2.2.1 Liaisons simples
Deux solides (S) et (T) sont liés par une liaison simple, s'ils sont en contact
suivant deux surfaces géométriques élémentaires, l'une appartenant à (S), l'autre
à (T).
Nous nous limiterons dans ce chapitre aux surfaces élémentaires : plan,
cylindre de révolution et sphère. Ces surfaces sont simples à réaliser, ce ne sont
toutefois pas les seules surfaces élémentaires utilisées. Par mise en contact de ces
surfaces, nous obtenons six liaisons simples :
plan
plan
cylindre
sphère
appui plan
appui linéique
appui simple
liaison verrou
(ou pivot glissant)
liaison gouttière
cylindre
liaison rotule
(ou liaison sphérique)
sphère
Les schémas des ces liaisons, avec leurs symboles, sont représentés sur les
figures 13.4 à 13.9.
Appui plan (figure 13.4)
Les surfaces en contact sont planes. Le solide (S) a, par rapport au solide (T), 3
degrés de liberté : 2 degrés en translation et 1 en rotation.
Appui linéique (figure 13.5)
Les solides sont en contact suivant un segment de droite. Le solide (S) a, par
rapport au repère (T), 4 degrés de liberté : 2 en translation et 2 en rotation.
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.4. Appui plan.
194
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.5. Appui linéique.
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.6. Appui simple.
Appui simple (figure 13.6)
Les solides sont en contact en un point. Le solide (S) a 5 degrés de liberté : 2 en
translation et 3 en rotation.
Liaison verrou (ou pivot glissant) (figure 13.7)
Les solides sont en contact suivant un cylindre. Le solide (S) a, par rapport à
(T), 2 degrés de liberté : 1 en translation et 1 en rotation.
Liaison gouttière (figure 13.8)
Les solides sont en contact suivant un cercle. Le solide (S) a 4 degrés de liberté :
1 en translation et 3 en rotation.
Liaison rotule (ou liaison sphérique) (figure 13.9)
Les solides sont en contact suivant une sphère. Le solide (S) possède 3 degrés
de liberté en rotation.
13.2 Liaisons
195
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.7. Liaison verrou.
(S)
(S)
(T)
(T)
FIGURE 13.8. Liaison gouttière.
(S)
(S)
(T)
FIGURE 13.9. Liaison rotule.
(T)
196
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
(S)
l1
l3
l2
(T)
FIGURE 13.10. Représentation symbolique d'une liaison composée.
13.2.2.2 Liaisons composées
Deux solides (S) et (T) sont liés par une liaison composée, si la liaison est
réalisée à l'aide de plusieurs liaisons simples.
Une liaison composée peut être représentée symboliquement par le schéma de
la figure 13.10, où l1, l2, l3, ..., sont des liaisons simples.
Exemples de liaisons composées
— Une liaison rotoïde (ou liaison pivot) peut être réalisée par exemple à l'aide
d'une liaison verrou et d'une rotule (figure 13.11a), ou à l'aide de deux rotules
(figure 13.11b). Le solide (S) possède, par rapport au solide (T), 1 degré de liberté
en rotation.
— Une liaison prismatique (ou glissière) peut être réalisée (figure 13.12) à
l'aide de deux appuis plans. Le solide (S) possède 1 degré de liberté en
translation.
13.2.2.3 Liaisons complexes
Deux solides (S) et (T) sont liés par une liaison complexe, si la liaison est
réalisée par l'intermédiaire d'un ou plusieurs solides.
Une liaison complexe est symbolisée sur le schéma de la figure 13.13a. Les
solides (S) et (T) sont liés par l'intermédiaire des solides (S1) et (S2), liés les uns
(S)
(S)
(T)
(T)
(a)
(b)
(S)
(c)
(T)
FIGURE 13.11. Liaison rotoïde.
13.2 Liaisons
197
(T)
(S)
(T)
(S)
FIGURE 13.12. Liaison prismatique.
aux autres par des liaisons l1, l2, l3. La figure 13.13b donne un exemple de liaison
complexe : les solides (S) et (T) sont liés par l'intermédiaire d'une liaison verrou,
d'une rotule et d'une liaison rotoïde, les axes des liaisons verrou et rotoïde étant
concourants au centre de la rotule.
13.2.3 Actions de liaison
13.2.3.1 Généralités
Les éléments de réduction en un point P de l'action de liaison exercée par le
G G G
solide (T) sur le solide (S) peuvent être exprimés dans une base (i , j , k ) suivant :
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L T ( S )} = X l i + Yl j + Zl k ,
(13.20)
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ MP {L T ( S )} = Ll i + M l j + Nl k .
L'action de liaison, et par conséquent les composantes Xl, Yl, Zl, Ll, Ml et Nl
l3
l2
(S2)
(S)
(S1)
l1
(S)
(T)
(T)
(a)
FIGURE 13.13. Liaison complexe.
(b)
198
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide (S). Toutefois
pour résoudre les problèmes de mécanique des solides, il est nécessaire
d'introduire des hypothèses sur certaines composantes suivant la nature physique
des liaisons : liaison sans frottement, liaison avec frottement sec ou liaison avec
frottement visqueux.
13.2.3.2 Puissance développée par les actions de liaison
La puissance développée dans le repère (T) par l'action de liaison exercée par
le solide (T) sur le solide (S) est d'après (11.13) :
P
où
{V S( T )}
{ L T ( S ) } = { L T ( S ) } ⋅ {V S( T )} ,
(T )
(13.21)
est le torseur cinématique relatif au mouvement du solide (S) par
rapport au solide (T).
En introduisant les éléments de réduction en P de l'action de liaison (13.20), la
relation précédente s'écrit :
JG
JJG
JJG
JG
( )
P T { L T ( S ) } = R { L T ( S ) } ⋅ MP {V S( T ) } + MP { L T ( S ) } ⋅ R {V S( T ) } , (13.22)
ou
P
(T )
JG
G
JJG
G
{ L T ( S ) } = R { L T ( S ) } ⋅ v ( P, t ) + MP { L T ( S ) } ⋅ ωS( T ) ,
(13.23)
en introduisant le vecteur vitesse du point P et le vecteur rotation instantané.
13.2.4 Liaison sans frottement
13.2.4.1 Schéma de liaison parfaite
De manière à réduire l'énergie dissipée et à diminuer l'usure des surfaces en
contact, il est nécessaire de réaliser des surfaces telles que le contact en chaque
point se rapproche le plus possible d'un contact parfait. Nous dirons qu'une liaison
entre deux solides est parfaite, si le contact entre deux solides est parfait en tout
point. Par extension des résultats établis au paragraphe 13.1.2.4, nous déduisons
alors :
Une liaison est parfaite, si et seulement si la puissance développée par l'action
de liaison est nulle.
Nous prendrons cette propriété comme définition d'une liaison parfaite. Le
modèle de liaison parfaite n'est toutefois qu'un modèle idéalisé, vers lequel on
tend généralement à s'approcher dans les réalisations technologiques.
13.2.4.2 Liaison rotoïde
Dans le cas d'une liaison rotoïde, le solide (S) est animé, par rapport au repère
(T), d'un mouvement de rotation autour de l'axe de liaison rotoïde. Ce mouvement
a été étudié au paragraphe 9.4.1. Le solide (S) possède un degré de liberté en
13.2 Liaisons
199
rotation ψ et le torseur cinématique est défini (paragraphe 9.4.1.2) par ses
éléments de réduction en un point OS quelconque de l'axe de rotation :
G
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k ,
(13.24)
G
⎨ JJG
G (T )
(T )
{
}
⎪⎩ MOS V S = v (OS , t ) = 0.
La puissance développée, dans le repère (T), par l'action de liaison est d'après
(13.23) :
JJG
G( )
( )
P T { L T ( S ) } = MOS { L T ( S ) } ⋅ ωST = Nl ψ .
(13.25)
La condition de liaison parfaite s'écrit donc :
P
(T )
{ L T ( S ) } = Nl ψ = 0,
∀ψ .
(13.26)
Soit :
Nl = 0 .
(13.27)
D'où le résultat :
Si le solide (S) est
G lié au solide (T) par une liaison rotoïde parfaite, d'axe de
vecteur directeur k , l'action exercée par (T) sur (S) est représentée par un
G G G
torseur ayant dans une base (i , j , k ) :
— une résultante quelconque de composantes Xl, Yl, Zl ;
— un moment en un point quelconque de l'axe de la liaison rotoïde orthogonal
à la direction de cet axe, donc de composantes Ll , Ml, 0.
Nous écrivons ce résultat sous la forme :
{ L T ( S ) }OS = { X l , Yl , Zl , Ll , M l , 0}OS ,
(13.28)
où OS est un point quelconque de l'axe de la liaison rotoïde. Les composantes Xl,
..., Ml, dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide (S).
13.2.4.3 Liaison prismatique
Dans le cas d'une liaison Gprismatique, le solide (S) est animé d'un mouvement
de translation rectiligne. Si i est la direction de la liaison prismatique, le solide
(S) possède un degré de liberté en translation x (abscisse d'un point P quelconque
du solide (S)). Les éléments de réduction au point P du torseur cinématique sont :
JG (T )
G (T ) G
⎪⎧ R {V S } = ωS = 0,
(13.29)
⎨ JJG
G
G (T )
(T )
⎪⎩ MP{V S } = v ( P, t ) = x i , ∀P ∈ ( S ) .
La puissance développée, dans le repère (T), par l'action de liaison est :
JG
G( )
( )
P T { L T ( S ) } = R { L T ( S ) } ⋅ v T ( P, t ) = Xl x .
(13.30)
La condition de liaison parfaite s'écrit donc :
Xl = 0 .
(13.31)
200
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
D'où le résultat :
Si le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison prismatique parfaite de
G
par (T) sur (S) est représentée par un torseur ayant
direction i , l'action exercée
G G G
dans une base (i , j , k ) :
G
— une résultante orthogonale à i , donc de composantes 0, Yl, Zl,;
— un moment quelconque de composantes Ll, Ml, Nl quel que soit le point du
solide (S).
Soit donc :
(13.32)
{ L T ( S ) } P = {0, Yl , Zl , Ll , M l , Nl }P ,
où P est un point quelconque du solide (S).
13.2.4.4 Liaison verrou
Dans leG cas où le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison verrou de
direction k , le solide (S) possède (paragraphe 9.4.3) un degré de liberté en
translation z (abscisse d'un point OS quelconque de l'axe du verrou) et un degré
de liberté en rotation ψ. Les éléments de réduction au point OS du torseur
cinématique (relations (9.66) et (9.67)) sont :
G
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k ,
(13.33)
G
⎨ JJG
G (T )
(T )
{
}
⎪⎩ MOS V S = v (OS , t ) = z k .
La puissance développée, dans le repère (T), par l'action de liaison est d'après
(13.23) :
( )
P T { L T ( S ) } = Zl z + Nl ψ
(13.34)
La condition de liaison parfaite s'écrit donc :
Zl z + Nlψ = 0, ∀ z, ψ .
(13.35)
Soit :
Zl = 0, Nl = 0.
(13.36)
D'où le résultat :
Si le solide
(S) est lié au solide (T) par une liaison verrou parfaite d'axe de
G
direction k , l'action Gexercée par (T) sur (S) est représentée par un torseur ayant
G G
dans une base (i , j , k ) :
— une résultante de composantes Xl, Yl, 0 ;
— un moment de composantes Ll, Ml, 0, en un point quelconque de l'axe de la
liaison verrou.
Ce résultat peut être écrit sous la forme :
{ L T ( S ) }OS = { X l , Yl ,
0, Ll , M l , 0}O ,
S
(13.37)
où OS est un point quelconque de l'axe de la liaison verrou. Les composantes Xl,
Yl, Ll, et Ml dépendent des autres actions mécaniques exercées sur le solide (S).
13.2 Liaisons
201
13.2.4.5 Liaison rotule
Dans le cas où le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison rotule de centre
A, le solide (S) possède trois degrés de liberté en rotation. Le mouvement de (S)
est un mouvement de rotation autour d'un point (paragraphe 9.4.4) et le torseur
cinématique s'exprime en A suivant :
G
G
JG
G
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k + θ i3 + ϕ k S ,
(13.38)
G
⎨ JJG
G (T )
(T )
⎪⎩ M A {V S } = v ( A, t ) = 0.
La condition de liaison parfaite s'écrit :
JJG
G( )
( )
P T { L T ( S ) } = M A{ L T ( S ) } ⋅ ωST = 0 .
(13.39)
Cette condition doit être vérifiée quel que soit le mouvement de rotation du solide
G( )
(S), donc quel que soit le vecteur rotation ωST . La condition de liaison parfaite
s'écrit donc ici :
JJG
G
M A{ L T ( S ) } = 0 .
(13.40)
D'où le résultat :
Si le solide (S) est lié au solide (T) par une liaison rotule parfaite de centre A,
l'action de liaison exercée par (T) sur (S) est une force dont la ligne d'action
passe par le centre A de la rotule.
Les composantes de la résultante de la force dépendent des autres actions
mécaniques exercées sur le solide (S).
13.2.4.6 Appui plan
Dans le cas d'un appui plan, le solide (S) est animé d'un mouvement plan sur
plan (paragraphe 9.4.5), par rapport au solide (T). Le solide (S) possède deux
degrés de liberté en translation x et y (coordonnées d'un point P quelconque du
plan de contact) et un degré de liberté en rotation ψ autour de la direction
orthogonale au plan de contact (figure 13.14).
Les éléments de réduction, au point P du plan de contact, du torseur
cinématique s'écrivent :
G
JG
G
⎧⎪ R {V S(T )} = ωS(T ) = ψ k ,
(13.41)
⎨ JJG
G
G
G( )
( )
⎪⎩ MP {V ST } = v T ( P, t ) = x i + y j .
La puissance développée est :
P
(T )
{ L T ( S ) } = Xl x + Yl y + Nlψ ,
(13.42)
et la condition de liaison parfaite s'écrit :
X l = 0,
Yl = 0,
Nl = 0.
(13.43)
202
Chapitre 13 Actions de contact entre solides. Liaisons
z
z
(T )
(S )
y
O
yS
P
x
x
ψ
y
xS
FIGURE 13.14 Solide en appui plan.
Nous écrivons ce résultat sous la forme :
{ L T ( S ) } P = {0,
0, Zl , Ll , M l , 0}P
(13.44)
où P est un point quelconque du plan de contact.
13.2.4.7 Conclusions
Les exemples étudiés dans les paragraphes précédents montrent que, dans le
cas d'une liaison sans frottement, les composantes de l'action de liaison, qui
correspondent aux degrés de liberté du solide (S), s'annulent : composantes de la
résultante pour les degrés de liberté en translation et composantes du moment
pour les degrés de liberté en rotation. Cette propriété résulte de l'expression
(13.23) de la puissance et de la condition de liaison sans frottement qui explicite
que cette puissance est nulle.
13.2.5 Liaison avec frottement
Dans la pratique, il est nécessaire de tenir compte des frottements entre les
surfaces de contact des solides en liaison. Dans le cas d'un frottement solide, il
sera possible de transposer les lois énoncées au paragraphe 13.1 et de les
appliquer à l'action de liaison exercée par le solide (T) sur le solide (S). Dans le
cas d'un frottement visqueux, il est possible de rendre compte du frottement en
prenant des composantes de l'action de liaison proportionnelles aux composantes
des vitesses et de signes opposés. Par exemple :
(13.45)
Xl = − fx x , Yl = − fy y , Zl = − fz z, Nl = − fψ ψ ,
où les coefficients fi (i = x, y, z, ψ) sont des coefficients de frottement visqueux.
Commentaires
203
COMMENTAIRES
Les liaisons ont une importance particulière dans le cadre de la conception des systèmes mécaniques. Le lecteur devra donc apporter une
attention toute particulière aux notions développées dans le présent chapitre. En application des concepts généraux, ce chapitre s'est intéressé aux
liaisons entre solides par l'intermédiaire des liaisons élémentaires. Le
lecteur devra avoir bien assimilé les éléments développés dans ce cadre.
Contrairement aux actions à distance, les actions de contact dépendent
des autres actions exercées sur le solide ou l'ensemble de solides considéré.
Certaines conditions sur les actions de liaison sont toutefois apportées
suivant que les liaisons se font avec frottement ou sans frottement. Ces
conditions sont aisément obtenues dans le cas où il n'y a pas de frottement,
en écrivant la nullité de la puissance développée dans le mouvement des
solides en liaison. Pour tenir compte des conditions de frottement le
schéma le plus simple à traiter est celui du frottement visqueux où les
composantes des actions de liaison sont proportionnelles aux composantes
des vitesses et de signes opposés. Le frottement de type solide est
généralement assez difficile à analyser. Le comportement est transposé de
la loi de frottement de Coulomb énoncée dans le cas de deux solides en
contact ponctuel et des lois de roulement et de pivotement.
CHAPITRE 14
Statique d'un solide
et d'un ensemble de solides
14.1 INTRODUCTION
Ce chapitre a pour objet d'analyser les actions mécaniques exercées sur un
ensemble matériel, à travers l'étude de l'équilibre d'un ensemble matériel (un
solide ou un ensemble de solides).
Un ensemble matériel est en équilibre par rapport à un repère donné, si au
cours du temps, chaque point de l'ensemble garde une position fixe par rapport au
repère.
Les lois de la statique sont une conséquence du principe fondamental de la
dynamique qui fera l'objet du chapitre 18.
14.2 LOIS DE LA STATIQUE
14.2.1 Cas d'un solide
Un solide (S) soumis à des actions mécaniques est en équilibre, si et seulement
si le torseur représentant l'ensemble des actions mécaniques exercées sur le solide
est le torseur nul.
Soit :
{T ( S )} = {0} ,
(14.1)
avec
{T ( S )} = {S → S} .
Les actions mécaniques exercées sur un solide peuvent être séparées en :
— actions connues ou calculables (actions de gravitation ou pesanteur, actions
électromagnétiques) représentées par le torseur {A ( S )} ;
14.2 Lois de la statique
205
— actions de liaison, dépendant des autres actions exercées sur le solide (S),
représentées par le torseur {L ( S )} .
La loi de la statique pour le solide (S) s'écrit alors :
{A ( S )} + {L ( S )} = {0} .
(14.2)
Cette relation conduit à deux équations vectorielles :
— l'équation de la résultante :
JG
JG
G
R {A ( S )} + R {L ( S )} = 0 ,
(14.3)
— l'équation du moment en tout point P :
JJG
JJG
G
MP{A ( S )} + MP{L ( S )} = 0 .
(14.4)
L'équilibre d'un solide fournit donc 6 équations scalaires dont la résolution sera
facilitée par un choix judicieux du point P et des bases dans lesquelles seront
explicités la résultante et le moment.
14.2.2 Cas d'un ensemble de solides
Un ensemble de solides est en équilibre si et seulement si chaque solide est en
équilibre.
Considérons l'ensemble (D) constitué de n solides : ( S1 ), ( S 2 ), . . . , ( Si ), . . . ,
( S j ), . . . , ( Sn ). Les actions exercées sur le solide (Si) se décomposent en :
— actions extérieures, actions exercées par l'extérieur de (D) :
{D → Si} = {T ( Si )} = {A ( Si )} + {L ( Si )} ,
actions connues (ou calculables)
exercées par l'extérieur de (D)
(14.5)
actions de liaisons
avec l'extérieur de (D)
— actions intérieures, exercées par les autres solides de (D) :
n
∑
j =1
≠i
{S j → Si} =
n
n
j =1
≠i
j =1
≠i
∑{T j (Si )} = ∑ ⎡⎣{A j (Si )} + {L j (Si )}⎤⎦ .
actions connues exercées
par les solides (Sj)
(14.6)
actions de liaisons
avec les solides (Sj)
L'équilibre de chaque solide (Si) s'écrit donc sous l'une des formes :
n
{D → Si} + ∑ {S j → Si} = {0} ,
j =1
≠i
ou
(14.7)
206
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
n
{A ( Si )} + {L ( Si )} + ∑ ⎡⎣{A j ( Si )} + {L j ( Si )}⎤⎦ = {0} ,
(14.8)
j =1
≠i
pour i = 1, 2, . . . , n.
L'équilibre de l'ensemble (D) conduit donc à n équations de torseurs, 2n équations
vectorielles et 6n équations scalaires.
Des équations, combinaisons linéaires des précédentes, peuvent être trouvées
en écrivant l'équilibre d'une partie de l'ensemble (D). Ces équations pourront, dans
certains cas, remplacer avantageusement certaines des équations (14.7) ou (14.8).
En particulier il est possible d'écrire l'équilibre global de l'ensemble (D), soit :
{D → D} = {0} ,
(14.9)
ou d'après (11.4) :
n
∑{D → Si} = {0} .
(14.10)
i =1
Cette équation ne fait intervenir que les actions extérieures à l'ensemble (D).
14.2.3 Actions mutuelles
Soit deux ensembles matériels disjoints (D1) et (D2). Les actions mécaniques
exercées sur l'ensemble (D1) sont représentées par le torseur :
{D1 → D1} = {D1 ∪ D2 → D1} + {D2 → D1} .
(14.11)
Les actions mécaniques exercées sur l'ensemble (D2) sont :
{D2 → D2} = {D1 ∪ D2 → D2} + {D1 → D2} .
(14.12)
L'équilibre de chaque ensemble (D1) et (D2) s'écrit :
{D1 → D1} = {0} ,
{D2 → D2} = {0} .
(14.13)
(14.14)
L'équilibre de l'ensemble ( D1 ∪ D2 ) s'écrit :
ou
{D1 ∪ D2 → D1 ∪ D2} = {0} ,
(14.15)
{D1 ∪ D2 → D1} + {D1 ∪ D2 → D2} = {0} .
(14.16)
L'association des relations précédentes conduit à la relation :
{D2 → D1} = − {D1 → D2} .
(14.17)
14.3 Statique des fils ou des câbles souples
207
Cette relation traduit le théorème des actions mutuelles :
L'action mécanique exercée par un ensemble matériel sur un autre ensemble
matériel est opposée à l'action mécanique exercée par le second sur le premier.
La relation (14.17) associée à l'expression (11.9) des actions mécaniques
exercées sur un ensemble donné conduit à une relation globale des actions de
gravitation, des actions de contact et des action électromagnétiques exercées sur
un ensemble :
{ D2 G→ D1} + { D2 C→ D1 } + { D2 E→ D1 } =
(14.18)
E D }⎤ .
G D } + { D C→ D } + { D →
− ⎡{ D1 →
1
2
2
1
2 ⎥
⎣⎢
⎦
La relation (14.17) du théorème des actions mutuelles est en fait étendue à
chaque type d'actions mécaniques prises séparément. Soit :
ϕ
ϕ
{ D2 → D1 } = − { D2 → D1 } ,
(14.19)
quelle que soit la loi physique ϕ exercée sur les deux ensembles (ϕ = G ,
C ou E ) .
14.3 STATIQUE DES FILS OU CÂBLES SOUPLES
14.3.1 Action mécanique exercée par un fil ou un câble
souple
Les fils ou câbles souples sont des solides déformables linéiques, utilisés
généralement pour relier les solides entre eux. Soit A et B (figure 14.1a) deux
points d'un fil ou câble (extensible ou non) et M un point situé entre A et B. Dans
le cas général d'un câble présentant une rigidité en flexion, l'action mécanique
A
A
JG
T (M )
M
M
M
JG
T ′( M )
(a)
B
(b)
B
FIGURE 14.1. Action mécanique exercée sur un fil ou câble souple.
208
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
exercée par la partie AM sur la partie MB est quelconque et peut être décomposée
en une force et un couple dépendant du point M.
On dit que le fil (ou câble) est souple, si et seulement si le couple exercé est nul
en tout point du fil.
L'action mécanique exercée par la partie AM sur la partie MB est alors une
force, appelée
JG tension au point M, dont le support passe par le point M et dont la
résultante T ( M ) dépend du point M. En outre, il est possible de montrer et l'expérience confirme que :
La ligne d'action de la force exercée par la partie AM sur la partie BM est
confondue avec la tangente en M au fil, orientée de B vers M (figure 14.1b).
Les rôles de A et B pouvant être échangés, la partie BM exerce sur la partie AM
JG
une force de résultante T ′ ( M ) colinéaire à la précédente mais de signe opposé :
JG
JG
T ′ ( M ) = −α T ( M ), avec α > 0 .
(14.20)
14.3.2 Équation de la statique d'un fil
q′ du fil (figure 14.2). La résultante des
Considérons un élément ds = MM
forces de tension qui s'exercent sur cet élément est :
JG
JG
JG
JG d T
T ( s + d s) − T ( s) = d T =
ds .
(14.21)
ds
L'équilibre de l'élément s'écrit :
JG
G G
dT
(14.22)
d s + ρl d s g = 0 ,
ds
G
en introduisant la masse linéique ρl du fil et g le champ de pesanteur terrestre.
D'où l'équation d'équilibre du fil :
JG
G 1 dT G
g+
= 0.
(14.23)
ρl d s
A
M
G
en
M
M'
M'
G
et
JG
T
B
FIGURE 14.2. Action mécanique exercée sur un élément de fil.
14.3 Statique des fils ou des câbles souples
La tension du fil au point M s'écrit :
209
JG
G
T = T et ,
(14.24)
d'où :
JG
dT dT G T G
e + e ,
=
(14.25)
ds ds t R n
G G
en introduisant les vecteurs unitaires ( et , en ) de la tangente et de la normale
principale, et le rayon de courbure R du fil au point M. L'équation d'équilibre
(14.23) du fil peut donc s'écrire sous la forme :
G
G 1 dT G T G
g+
et + en = 0 .
(14.26)
ρl d s
R
(
)
Dans le cas d'un fil de masse négligeable, l'équation d'équilibre (14.22) de
l'élément se réduit à :
JG
dT G
= 0.
(14.27)
ds
Cette relation montre que :
Si les tensions en A et B ne sont pas nulles, la tension exercée par la portion
AM sur la portion MB a même résultante, quel que soit le point M de AB. La
portion AB du fil est rectiligne.
14.3.3 Fil ou câble souple soumis à l'action de pesanteur
Nous cherchons la forme que prend un fil ou un câble souple de masse linéique
homogène soumis à l'actionJJG
de pesanteur. Choisissons (figure 14.3) un trièdre
(Oxyz) de manière que l'axe Oy soit vertical ascendant et que les points A et B du
fil soient contenus dans le plan Oxy. L'équation d'équilibre (14.23) conduit, en
JJG
introduisant l'angle α que fait la tangente en M à la courbe avec l'axe Ox , aux
deux équations :
y
B
A
M
α
JG
T
a
O
FIGURE 14.3. Fil soumis à l'action de pesanteur.
x
210
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
⎧ d (T cos α ) = 0,
⎪ ds
⎨
⎪ − g + 1 d (T sin α ) = 0.
ρl d s
⎩
(14.28)
D'où en intégrant :
T cos α = C1 ,
T sin α = ρl gs + C2 .
(14.29)
Il en résulte que :
s=
1
(C tan α − C2 )
ρl g 1
et
ds =
C1
dα .
ρl g cos 2 α
(14.30)
Les coordonnées (x, y) du point M du fil s'expriment suivant :
⎧ d x = d s cos α = a d α ,
⎪
cos α
⎨
⎪ d y = d s sin α = a sin α d α ,
⎩
cos 2 α
(14.31)
en posant :
a=
C1
.
ρl g
(14.32)
En intégrant, nous obtenons :
⎧ x = a ln tan( π + α ) + x ,
0
⎪
4 2
⎨
⎪ y = a + y0 .
⎩
cos α
(14.33)
Il est possible d'éliminer α , en tenant compte des relations suivantes :
(
α
)
1 + tan
x − x0
π α
2,
= tan( + ) =
exp
α
a
4 2
1 − tan
2
α
1 + tan 2
x − x0
x − x0
x − x0
2 = 2 .
= exp
+ exp −
=2
cosh
α
a
a
a
cos α
1 − tan 2
2
Nous en déduisons que :
x − x0
.
(14.34)
y − y0 = a cosh
a
(
)
(
)
Cette équation est l'équation d'une chaînette, reportée sur la figure 14.3 dans le cas
où les constantes x0 et y0 sont prises égales à 0.
14.3.4 Contact d'un fil avec un solide
Considérons un fil en contact avec un solide (S) (figure 14.4). Le fil est soumis
14.3 Statique des fils ou des câbles souples
211
en ses points A et B à des tensions TA et TB. Le contact avec le solide (S) se fait
entre les points M1 et M2. Chaque élément ds du fil est soumis à une force de
contact, qui peut être décomposée (13.2) en une force de frottement de résultante
JG
JG
Rt et une force normale de résultante R n . Dans le cas où l'action de pesanteur
peut être négligée devant les autres actions exercées sur l'élément de fil, l'équation
d'équilibre (14.23) est modifiée suivant :
JG
G
d T JG JG
+ Rt + R n = 0 ,
(14.35)
ds
ou en introduisant les composantes Rt et Rn de la force de frottement et de la force
normale :
JG
G
G G
dT
+ Rt et + Rn en = 0 ,
(14.36)
ds
G
G
où et et en sont les vecteurs unitaires de la tangente et de la normale en M au fil
(figure 14.4). En tenant compte de la relation (14.25), l'équation d'équilibre
conduit aux deux équations :
dT
+ Rt = 0 ,
(14.37)
ds
T
dα
+ Rn = 0 ou T
+ Rn = 0 ,
(14.38)
R
ds
où T est l'intensité deJJJJ
laG tension du fil au point M et α l'angle que fait la direction
G
et avec la direction AM1 du fil au point M1.
1. Dans le cas où il n'y a pas de frottement avec le solide (S) : Rt = 0, et la
relation (14.37) montre que l'intensité de la tension se conserve le long du fil.
2. Dans le cas où le contact entre le solide (S) et le fil se fait avec frottement,
caractérisé par un coefficient de frottement f, la loi de Coulomb implique que
JG
TB
JG
TA
B
A
M2
M1
α2
G
en
M
(S)
α eG
t
FIGURE 14.4. Fil en contact avec un solide.
212
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
l'équilibre est conservé tant que :
Rt < f Rn ,
(14.39)
dT
dα
< fT
.
ds
ds
(14.40)
ou d'après (14.37) et (14.38) :
L'équilibre limite est donc obtenu lorsque :
dT
dα
= f
.
T
ds
(14.41)
Soit, en intégrant entre les points M1 et M2 :
TB = TA e f α 2 ,
(14.42)
où α2 est l'angle d'enroulement au point M2, compté à partir du point M1.
Pour un coefficient de frottement de 0,25, nous trouvons que, pour 3 tours
d'enroulement (α2 = 6π), TB ≈ 111TA . La tension à exercer en B pour faire glisser
le fil est donc bien plus élevée que la tension exercée en A. Ce résultat est
largement utilisé dans la pratique, par exemple pour l'amarrage des bateaux.
14.4 EXEMPLES D'ÉQUILIBRES
14.4.1 Cas d'un solide
Nous considérons le dispositif de la figure 14.5. Une manivelle ABE peut
tourner autour d'un axe horizontal BE. Cet axe est lié au bâti (T) par
l'intermédiaire de deux liaisons de centres respectifs C et E. Une poulie de centre
D, solidaire de la manivelle, est reliée à une masse M par l'intermédiaire d'un fil
souple et d'une deuxième poulie liée au bâti. La position de la manivelle est
repérée par la valeur α de l'angle que fait AB avec l'horizontale (figure 14.5b).
Pour maintenir l'équilibre de la manivelle, on exerce à l'extrémité A une force
JJJG
d'intensité F et de support ayant une direction β par rapport à la direction BA
(figure 14.5b). La poulie de centre D a un rayon R et une masse m. La masse de la
manivelle ABE est négligeable devant les masses M et m. La nature des liaisons en
C et E est à déterminer pour que le système soit entièrement déterminé. On dit
alors que le système est isostatique.
14.4.1.1 Analyse des actions mécaniques exercées sur la manivelle
Nous notons : AB = a , BC = b , CD = d1, DE = d2, et γ l'angle que fait, avec
la verticale, le fil relié à la poulie.
Comme trièdre lié à l'ensemble
(S) manivelle-poulie, nous choisissons le
JJG
JJG
trièdre (Bxyz), tel que l'axe Bz soit confondu avec BE et que l'axe Bx soit
14.4 Exemples d'équilibres
213
z
γ
E
y
F
A
x
D
d1
α
d2
a
b
C
M
B
F
(a)
y
β
A
α
x
(b)
B
horizontale
FIGURE 14.5. Équilibre d'une manivelle.
horizontal. Les coordonnées cartésiennes des divers points sont alors :
A ( a cos α , a sin α , 0) ,
D (0, 0, b + d1 ) ,
B (0, 0, 0) ,
E (0, 0, b + d1 + d 2 ) ,
C (0, 0, b) ,
F ( R cos γ , R sin γ , b + d1 ) .
1. Action de pesanteur
L'action de pesanteur exercée sur la poulie est représentée par le torseur
{ Pe ( S )} dont les éléments de réduction au point D sont :
JG
G
⎧⎪ R { Pe ( S )} = − mg j ,
G
⎨ JJG
⎪⎩ MD{ Pe ( S )} = 0.
2. Force exercée au point A
Elle est représentée par le torseur {A ( S )} d'éléments de réduction :
JG
G
G
⎪⎧ R {A ( S )} = F ⎣⎡i cos (α + β ) + j sin (α + β )⎦⎤ ,
G
⎨ JJG
⎪⎩ M A{A ( S )} = 0.
214
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
y
γ
γ
x
F
G
u
R
D
poulie
FIGURE 14.6. Tension exercée par le fil sur la poulie.
3. Action exercée par le fil en F
Le fil étant souple, il transmet intégralement l'action de pesanteur exercée par
la masse M. L'action exercée est une force dont la direction du support est donnée
par celle du fil (figure 14.6). L'action est représentée par le torseur {A f ( S )} :
JG
G
G
G
⎧⎪ R {A f ( S )} = Mg u = Mg ( −i sin γ + j cos γ ) ,
G
⎨ JJG
( )
⎩⎪ MF {A f S } = 0.
4. Action exercée par le bâti au niveau de la liaison en C
Elle est représentée par le torseur {L C ( S )} d'éléments de réduction au point C
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L C ( S )} = X C i + YC j + ZC k ,
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ MC {L C ( S )} = LC i + M C j + NC k.
Les composantes XC, YC, ..., NC, de liaison sont à déterminer.
5. Action exercée par le bâti au niveau de la liaison en E
Elle est représentée par le torseur {L E ( S )} d'éléments de réduction au point E :
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L E ( S )} = X E i + YE j + Z E k ,
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ ME {L E ( S )} = LE i + M E j + N E k.
Les composantes XE, YE, ..., NE, de liaison sont également à déterminer.
14.4.1.2 Équation d'équilibre de l'ensemble manivelle-poulie
L'équation d'équilibre s'écrit :
{ Pe ( S )} + {A ( S )} + {A f ( S )} + {L C ( S )} + {L E ( S )} = {0} .
14.4 Exemples d'équilibres
215
1. Équation de la résultante
Elle s'écrit :
JG
JG
JG
JG
JG
G
R { Pe ( S )} + R {A ( S )} + R {A f ( S )} + R {L C ( S )} + R {L E ( S )} = 0 ,
et conduit aux trois équations scalaires :
⎧ F cos (α + β ) − Mg sin γ + X C + X E = 0,
⎪
⎨ − mg + F sin (α + β ) + Mg cos γ + YC + YE = 0,
⎪ Z + Z = 0.
E
⎩ C
2. Équation du moment
L'équation du moment doit être écrite en un même point. Généralement,
l'équation sera simplifiée en choisissant un point appartenant à une liaison et
intermédiaire aux points où les divers moments ont été explicités. Dans le cas
présent, nous choisissons le point C. D'où l'équation :
JJG
JJG
JJG
JJG
JJG
G
MC { Pe ( S )} + MC {A ( S )} + MC {A f ( S )} + MC {L C ( S )} + MC {L E ( S )} = 0 .
Le calcul des divers moments au point C donne :
JJG
JG
JJJG
G
MC { Pe ( S )} = R{ Pe ( S )} ∧ DC = mgd1 i ,
G
JJG
JG
JJJG
G
G
MC {A ( S )} = R{A ( S )} ∧ AC = F ⎡⎣i b sin (α + β ) − j b cos (α + β ) + k a sin β ⎤⎦ ,
G
JJG
JG
JJJG
G
G
MC {A f ( S )} = R {A f ( S )} ∧ FC = Mg ( −i d1 cos γ − j d1 sin γ + R k ) ,
JJG
JJG
JG
JJJG
MC {L E ( S )} = ME {L E ( S )} + R {L E ( S )} ∧ EC
G
G
G
= [ LE − ( d1 + d 2 ) YE ] i + [M E + ( d1 + d 2 ) X E ] j + NE k .
D'où les équations du moment au point C :
⎧ mgd1 + bF sin (α + β ) − Mgd1 cos γ + LC + LE − ( d1 + d 2 ) YE = 0,
⎪
⎨ −bF cos (α + β ) − Mgd1 sin γ + M C + M E + ( d1 + d 2 ) X E = 0,
⎪ aF sin β + MgR + N + N = 0.
C
E
⎩
L'équilibre de l'ensemble manivelle-poulie conduit donc à 6 équations scalaires :
F cos (α + β ) − Mg sin γ + X C + X E
−mg + F sin (α + β ) + Mg cos γ + YC + YE
ZC + Z E
mgd1 + bF sin (α + β ) − Mgd1 cos γ + LC + LE − ( d1 + d 2 ) YE
−bF cos (α + β ) − Mgd1 sin γ + M C + M E + ( d1 + d 2 ) X E
aF sin β + MgR + NC + N E
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
pour 13 inconnues à déterminer: X C , YC , . . . , NC , X E , YE , . . . , N E , et F l'intensité de la force nécessaire pour obtenir l'équilibre.
216
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
14.4.1.3 Choix des liaisons
Le choix des liaisons doit se faire de manière à trouver 7 équations de liaisons,
pour que le système précédent puisse être résolu. Le système mécanique est alors
dit "isostatique". Il faut dans le cas présent trouver en C et E, deux liaisons qui au
total auront 7 degrés de liberté.
Par exemple, mettons en E une liaison rotule (3 degrés de rotation). Si la
liaison est parfaite, nous avons (paragraphe 12.2.4.5) :
LE = ME = NE = 0 ,
(les composantes du moment correspondant aux 3 rotations autour du point E sont
nulles). Il faut alors en C une liaison à 4 degrés de liberté. Considérons une liaison
gouttière d'axe BE. Si la liaison est parfaite, nous avons :
ZC = 0 (composante correspondant à la translation suivant l'axe),
LC = MC = NC = 0 (correspondant aux rotations autour du point C).
Le système précédent des équations d'équilibre s'écrit alors :
F cos (α + β ) − Mg sin γ + X C + X E = 0,
− mg + F sin (α + β ) + Mg cos γ + YC + YE = 0,
Z E = 0,
mgd1 + bF sin (α + β ) − Mgd1 cos γ − ( d1 + d 2 ) YE = 0,
−bF cos (α + β ) − Mgd1 sin γ + ( d1 + d 2 ) X E = 0,
aF sin β + MgR = 0.
Le système peut alors être résolu.
Il faut noter que le choix des deux liaisons n'est pas arbitraire. Outre que les
liaisons doivent avoir un total de 7 degrés de liberté, le choix doit conduire à un
système d'équations qui puisse être résolu.
14.4.1.4 Exploitation des équations d'équilibre
La sixième équation des équations d'équilibre donne l'intensité F de la force
exercée en A nécessaire pour obtenir l'équilibre :
F =−
R
Mg .
a sin β
L'intensité F est indépendante de l'inclinaison α de la manivelle et de l'angle γ du
fil. Par ailleurs F > 0 impose sin β < 0 , soit −π < β < 0 (figure 14.7). Pour une
masse M donnée, F est minimum pour sin β = −1 soit pour β = −
alors :
F=
R
Mg .
a
π
2
. Nous avons
14.4 Exemples d'équilibres
217
y
β
A
F
α
x
horizontale
B
FIGURE 14.7. Orientation pratique de la force exercée en A.
Les autres équations permettent ensuite de déterminer les composantes de liaison
sur lesquelles aucune hypothèse n'a été émise :
Rb cos (α + β ) ⎤
⎡
sin
γ
−
d
1
⎢⎣
⎥⎦ Mg ,
a sin β
⎡ Rb sin (α + β )
⎤ ⎫
1 ⎧
YE =
+ d1 cos γ ⎥ M ⎬ g ,
⎨md1 − ⎢
d1 + d 2 ⎩
⎣ a sin β
⎦ ⎭
XE =
1
d1 + d 2
⎡ R cos (α + β )
⎤
XC = ⎢
+ sin γ ⎥ Mg − X E ,
⎣ a sin β
⎦
⎧
⎡ R sin (α + β )
⎤ ⎫
YC = ⎨m + ⎢
+ cos γ ⎥ M ⎬ g − YE .
⎣ a sin β
⎦ ⎭
⎩
14.4.2 Cas d'un ensemble de deux solides
Une potence murale (S) est constituée (figure 14.8) d'une poutre AC (solide
(S1)) en liaison en C avec le mur, et d'un tirant AB (solide (S2)). Le tirant est en
liaison en B avec le mur et en A avec la poutre. La poutre sert de chemin de
roulement à un monorail qui supporte une masse de valeur m. La masse de la
potence (S) est négligeable devant la masse m.
Nous noterons :
BC = h, CA = l , CM = x ( M point de contact avec la poutre).
JJG
Nous choisissons le trièdre (Cxyz) de manière que l'axe Cx passe par les points
JJG
C et A, et que l'axe Cy passe par les points C et B.
14.4.2.1 Actions mécaniques exercées sur la poutre (S1)
1. Action exercée par la masse m, représentée par le torseur
JG
G
⎧⎪ R {A ( S1 )} = −mg j ,
G
⎨ JJG
⎪⎩ MM {A ( S1 )} = 0.
{A ( S1 )} :
218
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
y
B
h
C
A
l
x
M
x
m
FIGURE 14.8. Potence murale.
2. Action exercée par le mur en C, représentée par le torseur
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L C ( S1 )} = X C i + YC j + ZC k ,
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ MC {L C ( S1 )} = LC i + M C j + NC k ,
{L C ( S1 )} :
où les composantes XC, YC, ..., NC, sont à déterminer.
3. Action exercée par le tirant (S2) en A, représentée par le torseur
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L 2 ( S1 )} = X 21 i + Y21 j + Z 21 k ,
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ M A{L 2 ( S1 )} = L21 i + M 21 j + N 21 k ,
{L 2 ( S1 )} :
où les composantes X21, Y21, ..., N21, sont à déterminer.
14.4.2.2 Actions mécaniques exercées sur le tirant (S2)
1. Action exercée par le mur en B, représentée par le torseur
G
JG
G
G
⎧⎪ R {L B ( S2 )} = XB i + YB j + ZB k ,
G
G
G
⎨ JJG
⎪⎩ MB {L B ( S2 )} = LB i + MB j + NB k ,
où les composantes XB, YB, ..., NB, sont à déterminer.
{L B ( S2 )} :
14.4 Exemples d'équilibres
219
2. Action exercée par la poutre (S1) en A, représentée par le torseur
{L 2 ( S1 )} :
La propriété des actions mutuelles permet d'écrire :
{L 2 ( S1 )} = − {L1 ( S2 )} .
14.4.2.3 Équilibre de la poutre (S1)
L'équation d'équilibre de la poutre (S1) s'écrit :
{A ( S1 )} + {L C ( S1 )} + {L 2 ( S1 )} = {0} .
1. Équation de la résultante
Elle conduit aux trois équations scalaires :
⎧ X C + X 21 = 0,
⎪
⎨ − mg + YC + Y21 = 0,
⎪ Z + Z = 0.
21
⎩ C
2. Équation du moment
Cette équation peut être écrite au point A, en explicitant les moments :
G
JJG
JG
JJJG
M A{A ( S1 )} = R{A ( S1 )} ∧ MA = mg (l − x ) k ,
JJG
JJG
JG
JJJG
M A{L C ( S1 )} = MC {L C ( S1 )} + R {L C ( S1 )} ∧ CA
G
G
G
= LC i + ( M C + lZC ) j + ( NC − lYC ) k .
D'où les trois équations scalaires du moment :
⎧ LC + L21 = 0,
⎪
⎨ M C + lZC + M 21 = 0,
⎪ N − lY + N + mg (l − x) = 0.
21
C
⎩ C
14.4.2.4 Équilibre du tirant (S2)
L'équation d'équilibre du tirant (S2) s'écrit :
{L B ( S2 )} − {L 2 ( S1 )} = {0} .
1. Équation de la résultante
Elle conduit aux trois équations scalaires :
⎧ X B − X 21 = 0,
⎪
⎨ YB − Y21 = 0,
⎪ Z − Z = 0.
21
⎩ B
2. Équation du moment
Elle peut être écrite au point A, avec :
220
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
JJG
JJG
JG
JJJG
M A{L B ( S2 )} = MB {L B ( S2 )} + R {L B ( S2 )} ∧ BA
G
G
G
= ( LB + hZ B ) i + ( MB + lZ B ) j + ( NB − hXB − lYB ) k .
D'où les trois équations scalaires du moment :
⎧ LB + hZ B − L21 = 0,
⎪
⎨ M B + lZ B − M 21 = 0,
⎪ N − hX − lY − N = 0.
21
B
B
⎩ B
14.4.2.5 Équilibre de la potence (S)
L'équation d'équilibre s'écrit :
{A ( S1 )} + {L C ( S1 )} + {L B ( S2 )} = {0} .
C'est l'équation obtenue en superposant les équations d'équilibre de la poutre (S1)
et du tirant (S2). Cette équation est indépendante de l'action de liaison entre (S1) et
(S2). Les moments ayant été calculés précédemment au même point A, les
équations scalaires de l'équilibre de la potence sont obtenues par superposition des
équations scalaires obtenues pour les équilibres de la poutre et de la potence. Soit :
⎧ X C + X B = 0,
⎪ − mg + Y + Y = 0,
C
B
⎪
⎪ ZC + Z B = 0,
⎨
⎪ LC + LB + hZ B = 0,
⎪ M C + lZC + M B + lZ B = 0,
⎪
⎩ NC − lYC + mg (l − x) + N B − hX B − lYB = 0.
Les équations ainsi obtenues ne sont pas de nouvelles équations par rapport aux
équations obtenues pour l'équilibre de la poutre et l'équilibre du tirant. Elles
constituent une autre forme de ces équations.
14.4.2.6 Choix des liaisons
Nous disposons de 12 équations scalaires (parmi les équations d'équilibre de la
poutre, du tirant ou de la potence), pour déterminer 18 inconnues : X B , YB ,
. . . , NB ; X C , YC , . . . , NC ; X 21 , Y21 , . . . , N 21. Pour rendre le système isostatique, il
faut mettre en A, B et C des liaisons qui auront au total 6 degrés de liberté et qui
permettent de résoudre les équations d'équilibre.
Au point B, nous choisissons une liaison rotule. Si la liaison est parfaite, nous
avons :
LB = 0, MB = 0, NB = 0.
JJG
Au point A, nous mettons une liaison rotoïde d'axe Az . Si la liaison est parfaite :
N21 = 0.
14.4 Exemples d'équilibres
221
JJG
Enfin au point C, nous choisissons une liaison verrou d'axe Cz . Si la liaison est
parfaite :
ZC = 0, NC = 0.
Dans le cas des liaisons parfaites, les équations scalaires de l'équilibre de la
potence s'écrivent donc :
— Équilibre de la poutre (S1)
X C + X 21 = 0,
− mg + YC + Y21 = 0,
Z 21 = 0,
LC + L21 = 0,
M C + M 21 = 0,
−lYC + mg (l − x) = 0.
— Équilibre du tirant (S2)
X B − X 21 = 0,
YB − Y21 = 0,
Z B − Z 21 = 0,
hZ B − L21 = 0,
lZ B − M 21 = 0,
− hX B − lYB = 0.
— Équilibre de l'ensemble poutre-tirant
XC + X B
−mg + YC + YB
ZB
LC
MC
−lYC + mg (l − x) − hX B − lYB
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0,
= 0.
Les équations précédentes peuvent être résolues et nous en tirons :
Z B = 0.
LC = 0,
Z 21 = 0,
x
XB = mg ,
h
x
YB = mg ,
l
M C = 0,
L21 = 0,
NC = 0.
M 21 = 0.
X C = − XB ,
X 21 = XB .
YC =
l−x
mg ,
l
Y21 = YB .
222
Chapitre 14 Statique d'un solide et d'un ensemble de solides
EXERCICES
14.1 Deux barres de longueur l1 et l2 sont liées entre elles en B et liées à un bâti
en A et C figure 14.9). La nature des liaisons est à déterminer. Deux masses m1 et
m2 sont suspendues respectivement aux points M1 et M2 distants de α1l1 et α2l2
des points A et C. Les masses des barres sont négligeables devant les masses m1 et
m2.
14.1.1. Analyser les actions mécaniques exercées sur chaque barre.
14.1.2. Établir les équations d'équilibre du système.
14.1.3. Choisir les liaisons pour que le système soit isostatique.
14.1.4. Avec le choix effectué, déterminer les actions de liaison.
14.2 Une personne (P) monte sur une échelle (S). L'échelle est appuyée à un mur
en B et repose sur le sol en A (figure 14.10). Pour traiter le problème, on admettra
qu'il y a symétrie. En particulier, la personne est telle qu'elle se "trouve" dans le
plan de symétrie de l'échelle.
La personne se tient à l'échelle, les pieds posés sur l'échelon C et les mains en
D. Le centre de masse de la personne est en G.
14.2.1. Analyser les actions mécaniques exercées sur la personne, sur l'échelle.
14.2.2. Étudier l'équilibre échelle-personne.
B
M1
α1 l 1
A
M2
α2 l 2
horizontale
h
C
l
FIGURE 14.9. Ensemble de deux barres.
Commentaires
223
B
mur
D
G
C
A
sol
FIGURE 14.10 Équilibre d'une échelle.
COMMENTAIRES
Les lois de la statique résultent du principe fondamental de la dynamique
(chapitre 18), et l'étude de la statique devrait donc être faite après en avoir
énoncé le principe. L'analyse de l'équilibre d'ensembles matériels permet
toutefois d'avoir une bonne compréhension des actions exercées sur ces
ensembles. Les deux exemples traités au paragraphe 14.4 montrent la
manière de traiter les problèmes d’équilibre d’un solide ou de plusieurs
solides. Ils seront donc étudiés avec le plus grand intérêt.