poly fluide plp

Polycopié de physique des fluides – CAPLP2 Maths – Sciences Page n°1
SOMMAIRE
1. Ascension atmosphérique
➢Atmosphère en équilibre p.2
➢Ascension du ballon météorologique p.4
➢Ascension de la montgolfière p.5
➢Différents modèles d'atmosphère p.6
➢Concours externe CAPESA p.19
2. Statique des fluides et forces pressantes
➢Equilibre d'un aréomètre p.9
➢Calcul de la densité d'un liquide p.9
➢Manomètre différentiel p.10
➢Citerne à fioul p.11
➢Mouvement du ludion p.12
➢Tube en U p.14
➢Barrage prismatique p.14
➢Etude de barrages p.16
3. Tension superficielle
➢Loi de Laplace p.22
➢Ascension capillaire p.22
➢L'impossible montée p.22
➢Loi de Tate (Capesa) p.24
➢Méthode d'arrachement p.25
➢Densimètre p.25
Danièle FRISTOT

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4. Dynamique des fluides parfaits
➢Ecoulement vertical p.27
➢Alliage d'aluminium p.27
➢Nettoyage au jet d'eau p.28
➢Chauffage central p.28, 36
➢Théorème de Bernoulli (CAPLP) p.20, 35
➢Vidange d'un réservoir (BTS) p.29, 30, 37, 38,40
➢Temps de vidange (PLPA) p.21
➢Contrôle BTS ( Bernoulli) p.30
➢Citerne p.31
➢Tube de Venturi p.34
➢Phénomène de cavitation (CAPESA) p.27, 46
➢Coup de Bélier p.34, 47
➢Fonctionnement d'une hélice p.43, 44,48
5. Dynamiques des fluides non parfaits
➢Ecoulement de Poiseuille p.51
➢Formule de Stockes p.51
➢Réfrigérant à huile p.51
➢Perte de charge dans une pipeline p.52
➢Puissance dissipée dans un oléoduc p.52
➢Ecoulement laminaire sur p.52
un plan incliné
➢Etude de l'eau sucrée au p.53
viscosimètre à chute de bille
➢Viscosimètre capillaire p. 53
➢Etude de la viscosité du lait p.55
➢Turbine p.56
Danièle FRISTOT

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1. A
1. ASCENSION SCENSION ATMOSPHÉRIQUE ATMOSPHÉRIQUE
Exercice n°1 - Ascension atmosphérique (Extrait Concours spécial T' – Session 1993)
Introduction
Le problème traite de l'ascension atmosphérique en ballon et montgolfière.
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Le champ de pesanteur, d'intensité uniforme g,
est dirigé suivant l'axe vertical Oz, et de sens opposé. Tous les mouvements étudiés
s'effectuent suivant cet axe vertical.
Dans tout le problème, les gaz ont les propriétés du gaz parfait. R désigne la constante des gaz
parfaits.
I. Etude de l'atmosphère en équilibre.
La masse molaire moyenne de l'air est égale à Me. Sa pression est égale à p, sa masse
volumique est égale à
. On désigne par po et
o
les valeurs de p et
au niveau du sol (où
z=0).
1. On s'intéresse à l'équilibre de l'atmosphère isotherme. On appelle T la température
uniforme de l'air.
a. Exprimer la valeur de la masse volumique de l'air en fonction de p, R, T et Me.
b. Ecrire la condition d'équilibre statique de l'air. En déduire la valeur de la pression p,
en fonction de po, g, z, Me, R et T.
c. A quelle altitude H la pression est-elle égale po/2 ?
d. Evaluer H, après avoir indiqué les valeurs numériques retenues pour chacune des
données intervenant.
2. Le modèle de l'atmosphère isotherme n'est pas très réaliste ; aussi, on s'intéresse à
l'équilibre polytropique de l'atmosphère. Jusqu'à une altitude de 10 km, on admet que la
température de l'air vérifie la loi :
T=To1−z,
expression dans laquelle le gradient de température
−To
est une constante
négative. To est la température de l'air au niveau du sol.
a. Proposer une valeur numérique plausible pour la constante
, indiquer sur quelles
bases numériques repose votre évaluation.
Danièle FRISTOT

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b. Calculer la pression p de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres
po,,Me, g , R
et
To
.
c. Calculer la masse volumique
de l'air en fonction de l'altitude z, et des paramètres
o,,Me, g ,R
et
To
.
d. Exprimer p et
en fonction de l'altitude z, des paramètres
po,o,,
et de la
constante
dont on donnera l'expression. Montrer que :
p=po1 − z=o1 − z−1
e. A quelle altitude H la pression est-elle égale à po/2 ?
Dans toute la suite du problème, on utilisera le modèle de l'atmosphère polytropique.
Les expressions de la pression et de la masse volumique de l'atmosphère seront notées
pe
et
e
à l'altitude z.
II. Ascension du ballon météorologique
Le ballon météorologique est constitué d'une enveloppe de volume maximal égal à Vm.
La masse de l'enveloppe et des instruments de mesure est égale à m, tandis que leur
volume total est négligeable.
Au niveau du sol, l'enveloppe n'est pas complètement dilatée et occupe le volume Vo,
tandis que la température interne est égale à To.
Le ballon est gonflé avec de l'hélium dont la masse molaire est égale à Mi. La masse
totale de l'hélium est égale à mi. On notera
pi
et
i
la pression et la masse
volumique du gaz à l'intérieur de l'enveloppe. La masse volumique initiale de l'hélium
sera notée
io .
L'ascension du ballon s'effectue en deux phases ; au cours de la première, l'enveloppe
se dilate jusqu'à atteindre le volume Vm ; au cours de la seconde, qui se fait à volume
constant, le ballon s'élève jusqu'à ce qu'il atteigne sa position d'équilibre et son altitude
maximale.
On notera
le rapport des capacités calorifiques à pression et volume constants pour
l'hélium.
1. Première phase de l'ascension. On admet que l'hélium, à l'intérieur de
l'enveloppe, subit une détente adiabatique réversible. On admet aussi que l'équilibre de
pression est réalisé entre l'intérieur et l'extérieur du ballon.
a. Quelle est la valeur du rapport
pour l'hélium, considéré comme un gaz parfait ?
Danièle FRISTOT

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b. Ecrire la condition sur
o,V o, m
et
mi
, pour que le ballon puisse décoller.
c. A l'altitude z, calculer la masse volumique de l'hélium, en fonction de
io,,,
et z.
d. Calculer la poussée d'Archimède
exercée sur le ballon. Exprimer la valeur
0
de
au niveau du sol, en fonction de mi, g, Mi et Me, puis la valeur de
en fonction de
0
,
,,
et z.
e. Sachant que
≈5,4
, indiquer le sens de variation de
avec l'altitude.
f. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter la ballon, en fonction de m, mi, Me,
Mi, g,
,,
et z.
g. On admettra que la masse m est choisie de telle sorte que la force ascensionnelle F
reste positive lorsque l'enveloppe est complètement dilatée. Quelle est alors l'altitude zd
atteinte par le ballon ?
2. Deuxième phase de l'ascension. Le ballon continue son ascension, sans
augmentation du volume de son enveloppe.
a. Quelle est la température de l'hélium au début de cette phase ?
b. Exprimer la force ascensionnelle F qui fait monter le ballon, en fonction de m, mi, Vm,
g,
,,o
et z. Quelle est alors l'altitude zm atteinte par le ballon à la fin de cette
seconde phase ?
c. L'altitude zm atteinte, le ballon se met en équilibre thermique avec l'air extérieur.
Quel serait le volume de l'hélium, exprimé en fonction de
o
, m, mi, Vo et Vm, dans les
conditions de pression et de température régnant à cette altitude ?
d. En utilisant le résultat de la question II.1.b, montrer que le ballon reste gonflé à son
volume maximal, et qu'il se stabilise à l'altitude zm.
III. Ascension de la montgolfière
La montgolfière est constituée d'une enveloppe ouverte de volume intérieur Vo, et d'une
nacelle. La masse totale de l'enveloppe, de la nacelle et des passagers est égale à m ;
le volume propre de ces différents éléments est négligeable.
Le volume de l'enveloppe est constant, mais la masse mi de l'air chaud emprisonné à
l'intérieur de l'enveloppe est variable.
Dans un but de simplification, on supposera, dans cette partie, que la température Ti et
la pression pi sont uniformes à l'intérieur de l'enveloppe.
L'ouverture inférieure de l'enveloppe permet, d'autres part, de réaliser en permanence
Danièle FRISTOT