cours RC 2019 2020 ok

Condensateur et Dipôle RC
Classes : 4ème M-SC-Tech-S.Info
Collection Mr : El Antit Imed
 Définition :
Un condensateur est l’ensemble de deux conducteurs électriques et parallèles séparées par un isolant.
En particulier, si les conducteurs sont plans et parallèles, on a alors un condensateur Plan.
La charge d’un condensateur
E
i
A
i

es
+ -
+
+
+
+
La décharge d’un condensateur
i
A C -B
+
+
+
+
+q
B
C -
R
Les électrons sortent de la borne (-) du générateur,
s’accumulent sur la plaque B du condensateur, en
même temps (par force coulombienne) et sur la plaque
A un nombre d’électrons quitte cette dernière.
Cette circulation s’arrête quand le condensateur et le
générateur auront la même tension.
Les électrons se trouvant sur la plaque B sont attirées
par la charge +q de la plaque A du condensateur, ainsi
on a circulation d’électrons de B vers A d’où circulation
du courant i de la plaque A vers la plaque B.
Le condensateur joue le rôle d’un générateur, il se
décharge à travers le résistor.
 Charge du condensateur et intensité de courant :
Les courants de charge et de décharge sont de sens opposés.
On appelle charge du condensateur q, la charge de la plaque vers laquelle est orienté le courant électrique
Relation entre i et q :
C
i
+q
-q
i
d(Cuc )
du
dq
avec q  C.uc donc i 
 C. c
dt
dt
dt
uC
Capacité d’un condensateur : C =
1mF = 10-3 F
1F = 10-6 F
1nF = 10-9 F
1pF = 10-12 F
q
Uc
 Expression de la capacité d’un condensateur plan :
s
C =  , = 0  r
e

0=
  
: permittivité absolue du vide exprimée en F.m-1.
s : surface en regard des deux armatures exprimée en m2.
e : épaisseur du diélectrique exprimé en m.
0 : permittivité absolue du vide exprimée en F.m-1.
r : permittivité relative du diélectrique exprimée en F.m-1.
 Tension de claquage :
C’est la plus petite valeur de la tension du condensateur faisant jaillir des étincelles entre les deux armatures.
 Tension de service :
C’est la tension nominale qu’il faut appliquer aux bornes du condensateur pour fonctionner à l’état normal.
 Energie emmagasinée par un condensateur :
2
Ee = ½ C U c
; Ee s’exprime en joule.
On a q = C.UC  Ee = ½ q Uc
2
 Ee = ½ q
C
Soit : Qmax = C Ucmax  Qmax = I.t  t = Qmax , a cet instant, le condensateur est chargé à 99%.
I
AS : 2019-2020
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Condensateur et Dipôle RC
Classes : 4ème M-SC-Tech-S.Info
Collection Mr : El Antit Imed
Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un résistor (conducteur ohmique).
C
R
 La charge du condensateur est-elle instantanée ?
On a q= C Uc , puisque Uc augmente progressivement au cours du temps donc q évolue de la même manière.
Donc la charge du condensateur n’est pas instantanée (c’est un phénomène transitoire).
Equation différentielle vérifiée par Uc :
K
Loi des mailles : uR + uc = E
duc
duc
 RC
 uc  E , on pose =RC
dt
dt
du
duc uc E
 c  uc  E ou
 
dt
dt
 
i  C.
E avec uR =Ri  Ri + uc = E avec
R
i
E
i
C
uC
Equation différentielle vérifiée parla charge q :
uR + uc = E avec uR =Ri = R
uR
dq
dq q
dq
E
R
+ = E  RC
+ q = , on pose =RC
dt
dt C
dt
R
dq
E

+q=
dt
R
Equation différentielle vérifiée parla l’intensité de courant i :
q
dq
= E , on dérive toute l’équation  R di + 1
= E  R di + 1 i = 0
dt C dt
dt C
C
E
ou bien R i + 1 ʃ i dt = E  i + 1 ʃ i dt =
, on pose =RC
C
C
R
E
di 

i + ʃ i dt = ou bien + i = 0


dt 
uR + uc = E avec uR =Ri  R i +
La fonction exponentielle : f(x) = ex.
 f : Ошибка!Ошибка!
x Ошибка! ex

La fonction exponentielle est une fonction puissance, elle a les mêmes propriétés que les fonctions puissances.
e1 = 2,718
e-1  0,37
e0 = 1
e a 
ea.eb = ea+b
1
ea
lim ex  0 (donc la fonction ex ne s’annule jamais
x 
pour des valeurs définies de x).
 La dérivée de eax :
(eax )’ = a.eax.
 La réciproque de la fonction ex est ln(x) : Ln(ex) = x et eln(x) = x.
Expression de uc(t) et q(t) :
L’équation différentielle en uc(t) a pour solution

t


t

uc(t)  E(1  e ) . Aussi pour q(t) = Q0 (1- e ).
Expression de uR(t) :
uR = E – uc = E

t
- E(1  e  ) = E –E + E e

t

d’où
uR(t)=E e

t

Expression de i(t) :
u (t)
i(t)  R
donc
R
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E  t
i(t) = e
R
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 Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t)

t
uc(t)  E(1  e  )
uR(t)=E e

t

i(t) =
uR(V)
i(A)
uc
E
Imax 
E=URmax
t(s)
t(s)
0
0
+
0
uc(V)
E
R
t(s)
0
t(s)
E
E  t
e
R
t(s)
uR(V)
0
0
E
+
0
t(s)
0
+
i(A)
E
R
0
 La constante de temps 
a- Définition :
La constante de temps  est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapidité avec laquelle
s’effectue la charge ou la décharge d’un condensateur.
b- Unité de  :
u
V
R  R donc R est en
V A.s
i
A
  RC avec {
d'où  est en .
 s (Seconde) donc  est un temps.
q
A.s
A
V
C or q I.t donc C est en
uc
V
c- Détermination de  :
 Par calcul :

Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement  (en s) .
Graphiquement :
o
1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que  est l’abscisse du point
d’intersection de la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la date t=0 avec
l’asymptote (lorsque t +).
uR(V)
Tangente
E=uRmax
uc(V
)
Tangente
E=Uc
Asymptote
max
Asymptote
Point
d’intersection
0
t(s)
0
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
t(s)

Point
d’intersection
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o 2ème méthode (lecture graphique) :
1 cas : à partir du graphe de uc(t)
Pour t=, quelle est la valeur de uc ?
uc(V)
er
Uc() = E(1- e
τ

τ
4
) = E(1- e-1)  0,63 E car e-1 = 0,37
2,52
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est
égale à 
ème
2
t(s)
0

cas : à partir du graphe de uR(t)
uR(V)
Pour t=, quelle est la valeur de uR ?
UR() = E.e

τ
τ
4
= E e-1  0,37 E
Exemple :
1,48
On a E= 4 V d’où 0,374 =1,48 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 1,48 V est
égale à .
t(s)
0
 Durée de charge d’un condensateur

On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé lorsque sa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée
de charge t  5 = 5RC
Le temps de charge augmente avec R et avec C.
Pour t < 5, on a le régime transitoire.
Pour t  5, on a le régime permanent.
Remarque :


la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un phénomène
transitoire.
Charge d’un condensateur par une tension créneaux.
Pour 5 <
T
, pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes
2
suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) :
Voie YA
K
u(V)
Um
R
i
G.B.F
Voie YB
A
i
uG
C
uc
uc
uG
B
t(s)
5
T
2
T
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Pour 5 >
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T
, pendant une demi-période la tension uc ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes
2
suivantes :
u(V)
uG
uc
t(s)
0
5
T
2
T
 La décharge d’un condensateur
Equation différentielle
K
(on doit garder la même orientation du circuit).
Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles (Additivité des tensions):
uR + uc = 0 avec uR =Ri
R
i
i
duc
Ri + uc = 0 avec i  C.
dt
duc
duc uc
duc
 uc  0 ou
 0
RC
+ uc = 0 , =RC 
dt
dt

dt
uR
C
uC
Solution de l’équation différentielle
L’équation différentielle précédente a pour solution
uc  Ee

t

. Avec =RC.
Expression de uR(t) et de i(t) :
uR = 0 – uc =
 Ee
uR
donc
R
i=
i

t

d’où
uR =  E e

t

-E  t
e
R
Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) :
uc  Ee

t

uR =  E e
uc(V)
t

i=
uR(V)
0
t(s)
0
URmax   E
-E  t
e
R
i(A)
t(s)
E=Ucmax
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
0
Imax  
t(s)
E
R
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