annales-bac-algorithmique-spe

TS-spe Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
..
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E 1 .. correction Amérique du Nord 2013
Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
Partie A
On considère l'algorithme suivant :
Variables : aest un entier naturel
best un entier naturel
cest un entier naturel
Initialisation : Affecter à cla valeur 0
Demander la valeur de a
Demander la valeur de b
Traitement : Tant que a⩾b
Affecter à cla valeur c+1
Affecter à ala valeur a−b
Fin de tant que
Sortie : Afficher c
Afficher a
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a=13 et b=4en indiquant les valeurs des variables à
chaque étape.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris
entre 0et 25 .
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre mcorrespondant
dans le tableau.
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m+5par 26 et on
le note p.
Étape 3 : Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. Coder la lettre U.
2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de mentrée par l'utilisateur, il affiche
la valeur de p, calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
Partie C
1. Trouver un nombre entier xtel que 9x≡1 [26] .
2. Démontrer alors l'équivalence :
9m+5≡p[26] ⇐⇒ m≡3p−15 [26].
3. Décoder alors la lettre B.
Page 1

TS-spe Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E 2 .. correction Antilles 2013
Commun ayant suivi l'enseignement de spécialité
On définit les suite (un)et (vn)sur l'ensemble des entiers naturels par :
u0=0 ; v0=1 , et 
un+1=un+vn
2
vn+1=un+2vn
3
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites (un)et (vn).
1. Calculer u1et v1.
2. On considère l'algorithme suivant :
Variables : u,vet wdes nombres réels
Net kdes nombres entiers
Initialisation : uprend la valeur 0
vprend la valeur 1
Début de l'algorithme
Entrer la valeur de N
Pour kvariant de 1 à N
wprend la valeur u
uprend la valeur w+v
2
vprend la valeur w+2v
3
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l'algorithme
(a) On exécute cet algorithme en saisissant N=2. Recopier et compléter le tableau donné ci-
dessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
k w u v
1
2
(b) Pour un nombre Ndonné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par
rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
3. Pour tout entier naturel non définit le vecteur colonne Xnpar Xn=un
vnet la matrice Apar
A=1
2
1
2
1
3
2
3.
(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n,Xn+1=AXn.
(b) Démontrer par récurrence que Xn=AnX0pour tout entier naturel n.
4. On définit les matrices P,P′et Bpar P=4
5
6
5
−6
5
6
5,P′=1
2−1 2
1
2
1
3et B=1 0
01
6.
(a) Calculer le produit PP′.
On admet que P′BP =A.
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n,An=P′BnP.
(b) On admet que pour tout entier naturel n,Bn=1 0
01
6n.
En déduire l'expression de la matrice Anen fonction de n.
5. (a) Montrer que Xn=3
5−3 51 6n
3
5+2 51 6npour tout entier naturel n.
En déduire les expressions de unet vnen fonction de n.
(b) Déterminer alors les limites des suites (un)et (vn).
Page 2

TS-spe Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E 3 .. correction Antilles 2014
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements :
L'hébergement A et l'hébergement B.
Une nuit en hébergement A coûte 24 eet une nuit en hébergement B coûte 45 e.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 e.
On souhaite retrouver les nombres xet yde nuitées passées respectivement en hébergement A et en
hébergement B
1. (a) Montrer que les nombres xet ysont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
(b) Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les
couples ( x;y) possibles.
Entrée : xet ysont des nombres
Traitement : Pour xvariant de 0… (1)
Pour yvariant de 0 … (2)
Si … (3)
Afficher xet y
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Fin traitement
2. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
3. (a) Justifier que l'équation 8x+15y=1admet pour solution au moins un couple d'entiers
relatifs.
(b) Déterminer une telle solution.
(c) Résoudre l'équation (E) : 8x+15y=146 où xet ysont des nombres entiers relatifs.
4. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des
nuits passées en hébergement B.
Calculer ces nombres.
Page 3

TS-spe Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E 4 .. correction Antilles 2015
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A
Pour deux entiers naturels non nuls aet b, on note r(a,b)le reste dans la division euclidienne
de apar b.
On considère l'algorithme suivant :
Variables : cest un entier naturel
aet bsont des entiers naturels non nuls
Entrées : Demander a
Demander b
Traitement : Affecter à cle nombre r(a,b)
Tant que c̸=0
Affecter à ale nombre b
Affecter à bla valeur de c
Affecter à cle nombre r(a,b)
Fin Tant que
Sortie : Afficher b
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a=26 et b=9en indiquant les valeurs de a,bet cà
chaque étape.
2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls aet b.
Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls aet bsont premiers entre eux ou
non.
Partie B
À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre
0 et 25.
A B C D E F G H I J K L M
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N O P Q R S T U V W X Y Z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Étape 1 : on choisit deux entiers naturels pet qcompris entre 0et 25 .
Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier xcorrespondant dans le tableau ci-
dessus.
Étape 3 : on calcule l'entier x′défini par les relations
x′≡px +q[26] et 0⩽x′⩽25.
Étape 4 : à l'entier x′, on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. Dans cette question, on choisit p=9et q=2.
(a) Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
(b) Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs uet vtels que
9u+26v=1. Donner sans justifier un couple (u,v)qui convient.
(c) Démontrer que x′≡9x+2 [26] équivaut à x≡3x′+20 [26] .
(d) Décoder la lettre R.
2. Dans cette question, on choisit q=2et pest inconnu. On sait que J est codé par D.
Déterminer la valeur de p(on admettra que pest unique).
3. Dans cette question, on choisit p=13 et q=2. Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de
ce codage ?
Page 4

TS-spe Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E 5 .. correction Asie 2013
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.
Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE ′F′G′, appelé image de OEFG.
E
F
G
O
E′
F′
G′
Figure 1
L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
Partie A
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O;⃗ ı,⃗ ȷ.
Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), (−1 ; 5) et (−3 ; 3) .
La transformation du logiciel associe à tout point M(x;y)du plan le point M′(x′;y′), image du
point Mtel que :
x′=5
4x+3 4y
y′=3
4x+5 4y
O
E
F
G
Figure 2
1. (a) Calculer les coordonnées des points E′, F ′et G ′, images des points E, F et G par cette
transformation.
(b) Comparer les longueurs OE et OE ′d'une part, OG et OG ′d'autre part.
Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée A, telle que : x′
y′=Ax y.
Partie B
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle
OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.
1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
Une erreur a été commise.
Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
Page 5