annales-bac-algorithmique-spe

TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Étape 1 :
.
Exercices bac --2013-2016-Algorithmique
Étape 2 :
E
1
Amérique du Nord 2013
. correction
Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
Étape 3 :
À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre m correspondant
dans le tableau.
On calcule le reste de la division euclidienne de 9m + 5 par 26 et on
le note p .
Au nombre p , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
Partie A
1. Coder la lettre U.
On considère l'algorithme suivant :
2. Modifier l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de m entrée par l'utilisateur, il affiche
la valeur de p , calculée à l'aide du procédé de codage précédent.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
a est un entier naturel
b est un entier naturel
c est un entier naturel
Affecter à c la valeur 0
Partie C
Demander la valeur de a
Demander la valeur de b
Tant que a ⩾ b
Affecter à c la valeur c + 1
Affecter à a la valeur a − b
Fin de tant que
Afficher c
Afficher a
1. Trouver un nombre entier x tel que 9x ≡ 1
[26] .
2. Démontrer alors l'équivalence :
9m + 5 ≡ p
3. Décoder alors la lettre B.
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 13 et b = 4 en indiquant les valeurs des variables à
chaque étape.
2. Que permet de calculer cet algorithme ?
Partie B
À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris
entre 0 et 25 .
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Page 1
[26] ⇐⇒ m ≡ 3p − 15
[26].
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
(
2
Antilles 2013
. correction
Commun ayant suivi l'enseignement de spécialité
On définit les suite (u n ) et (v n ) sur l'ensemble
3. Pour tout entier naturel n on définit le vecteur colonne X n
(
N des entiers naturels par :
A=


 u n+1
un + v n
=
2
u 0 = 0 ; v 0 = 1 , et
u n + 2v n

 v n+1 =
3
Le but de cet exercice est d'étudier la convergence des suites (un ) et (v n ) .
1
2
1
3
1
2
2
3
)
.
(a) Vérifier que, pour tout entier naturel n , Xn+1 = AXn .
(b) Démontrer par récurrence que Xn = An X0 pour tout entier naturel n .
(
1. Calculer u 1 et v 1 .
′
4. On définit les matrices P , P et B par P =
2. On considère l'algorithme suivant :
)
(
, P =
1
2
1
2
− 21
1
3
Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n , An = P ′ Bn P .
(
1
(b) On admet que pour tout entier naturel n , B =
0
n
)
0
( 1 )n .
6
En déduire l'expression de la matrice An en fonction de n .
(
5. (a) Montrer que X n =
3
5
3
5
( )n )
− 35 16
( )n pour tout entier naturel n .
+ 25 16
En déduire les expressions de un et v n en fonction de n .
Fin du Pour
Afficher u
Afficher v
Fin de l'algorithme
(b) Déterminer alors les limites des suites (un ) et (v n ) .
(a) On exécute cet algorithme en saisissant N = 2 . Recopier et compléter le tableau donné cidessous contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme.
u
′
On admet que P ′ BP = A .
w +v
u prend la valeur
2
w + 2v
v prend la valeur
3
w
6
5
6
5
4
5
− 65
(a) Calculer le produit PP ′ .
Variables : u , v et w des nombres réels
N et k des nombres entiers
Initialisation : u prend la valeur 0
v prend la valeur 1
Début de l'algorithme
Entrer la valeur de N
Pour k variant de 1 à N
w prend la valeur u
k
)
un
par X n =
et la matrice A par
vn
v
1
2
(b) Pour un nombre N donné, à quoi correspondent les valeurs affichées par l'algorithme par
rapport à la situation étudiée dans cet exercice ?
Page 2
)
(
1
et B =
0
0
1
6
)
.
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
3 . correction
Antilles 2014
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
En montagne, un randonneur a effectué des réservations dans deux types d'hébergements :
L'hébergement A et l'hébergement B.
Une nuit en hébergement A coûte 24 e et une nuit en hébergement B coûte 45 e.
Il se rappelle que le coût total de sa réservation est de 438 e.
On souhaite retrouver les nombres x et y de nuitées passées respectivement en hébergement A et en
hébergement B
1. (a) Montrer que les nombres x et y sont respectivement inférieurs ou égaux à 18 et 9.
(b) Recopier et compléter les lignes (1), (2) et (3) de l'algorithme suivant afin qu'il affiche les
couples ( x ; y ) possibles.
Entrée :
Traitement :
x et y sont des nombres
Pour x variant de 0 …
(1)
Pour y variant de 0 … (2)
Si …
(3)
Afficher x et y
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Fin traitement
2. Justifier que le coût total de la réservation est un multiple de 3.
3. (a) Justifier que l'équation 8x + 15y = 1 admet pour solution au moins un couple d'entiers
relatifs.
(b) Déterminer une telle solution.
(c) Résoudre l'équation (E) : 8x + 15y = 146 où x et y sont des nombres entiers relatifs.
4. Le randonneur se souvient avoir passé au maximum 13 nuits en hébergement A.
Montrer alors qu'il peut retrouver le nombre exact de nuits passées en hébergement A et celui des
nuits passées en hébergement B.
Calculer ces nombres.
Page 3
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
4
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Étape 1 : on choisit deux entiers naturels p et q compris entre 0 et 25 .
Étape 2 : à la lettre que l'on veut coder, on associe l'entier x correspondant dans le tableau cidessus.
Étape 3 : on calcule l'entier x ′ défini par les relations
Antilles 2015
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A
Pour deux entiers naturels non nuls a et b , on note r (a, b) le reste dans la division euclidienne
de a par b .
On considère l'algorithme suivant :
Variables :
c est un entier naturel
a et b sont des entiers naturels non nuls
Demander a
Demander b
Affecter à c le nombre r (a, b)
Tant que c ̸= 0
Affecter à a le nombre b
Affecter à b la valeur de c
Affecter à c le nombre r (a, b)
Entrées :
Traitement :
[26]
et 0 ⩽ x ′ ⩽ 25.
Étape 4 : à l'entier x ′ , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2 .
(a) Démontrer que la lettre V est codée par la lettre J.
(b) Citer le théorème qui permet d'affirmer l'existence de deux entiers relatifs u et v tels que
9u + 26v = 1 . Donner sans justifier un couple (u, v) qui convient.
(c) Démontrer que x ′ ≡ 9x + 2
[26] équivaut à x ≡ 3x ′ + 20
[26] .
(d) Décoder la lettre R.
Fin Tant que
Afficher b
Sortie :
x ′ ≡ px + q
2. Dans cette question, on choisit q = 2 et p est inconnu. On sait que J est codé par D.
1. Faire fonctionner cet algorithme avec a = 26 et b = 9 en indiquant les valeurs de a , b et c à
chaque étape.
2. Cet algorithme donne en sortie le PGCD des entiers naturels non nuls a et b .
Déterminer la valeur de p (on admettra que p est unique).
3. Dans cette question, on choisit p = 13 et q = 2 . Coder les lettres B et D. Que peut-on dire de
ce codage ?
Le modifier pour qu'il indique si deux entiers naturels non nuls a et b sont premiers entre eux ou
non.
Partie B
À chaque lettre de l'alphabet on associe grâce au tableau ci-dessous un nombre entier compris entre
0 et 25.
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
Page 4
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
F
5
Asie 2013
. correction
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
Un logiciel permet de transformer un élément rectangulaire d'une photographie.
Ainsi, le rectangle initial OEFG est transformé en un rectangle OE ′ F ′ G ′ , appelé image de OEFG.
G
F′
E
F
E′
G
O
E
G
Figure 2
′
1. (a) Calculer les coordonnées des points E ′ , F ′ et G ′ , images des points E, F et G par cette
transformation.
O
Figure 1
(b) Comparer les longueurs OE et OE ′ d'une part, OG et OG ′ d'autre part.
L'objet de cet exercice est d'étudier le rectangle obtenu après plusieurs transformations successives.
( )
( )
x′
x
Donner la matrice carrée d'ordre 2, notée A , telle que : ′ = A
.
y
y
Partie A
(
)
Partie B
Le plan est rapporté à un repère orthonormé O ;⃗ı,⃗ȷ .
Les points E, F et G ont pour coordonnées respectives (2 ; 2), (−1 ; 5) et (−3 ; 3) .
La transformation du logiciel associe à tout point M(x ; y) du plan le point M′ (x ′ ; y ′ ) , image du
point M tel que :



 x′
=


 y′
=
5
3
x+ y
4
4
3
5
x+ y
4
4
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet F du rectangle
OEFG lorsqu'on applique plusieurs fois la transformation du logiciel.
1. On considère l'algorithme suivant destiné à afficher les coordonnées de ces images successives.
Une erreur a été commise.
Modifier cet algorithme pour qu'il permette d'afficher ces coordonnées.
Page 5
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Entrée
Saisir un entier naturel non nul N
Affecter à x la valeur −1
Affecter à y la valeur 5
POUR i allant de 1 à N
Affecter à a la valeur 54 x + 34 y
Affecter à b la valeur 34 x + 45 y
Affecter à x la valeur a
Affecter à y la valeur b
FIN POUR
Afficher x , afficher y
Initialisation
Traitement
Sortie
2. (a) Démontrer que, pour tout entier naturel n , le point En est situé sur la droite d'équation
y =x.
(
(
1
2, 5
5, 5
2
7, 25
8, 75
3
15, 625
16, 375
4
31,812 5
32,187 5
5
63,906 3
64,093 8
10
2 047,997 1
2 048,002 9
15
65 535,999 9
65 536,000 1
Conjecturer le comportement de la suite des images successives du point F.
Partie C
Dans cette partie, on étudie les coordonnées des images successives du sommet E du rectangle
(
)
OEFG. On définit la suite des points En x n ; y n du plan par E0 = E et la relation de récurrence :
(
(
)
( )
x n+1
xn
=A
,
y n+1
yn
)
où x n+1 ; y n+1 désignent les coordonnées du point En+1 .
Ainsi x 0 = 2 et y 0 = 2 .
1.
que, pour tout entier n ⩾ 1 , la matrice An peut s'écrire sous la forme : An =
( On admet
)
αn
βn
βn
.
αn
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ⩾ 1 , on a :
αn = 2n−1 +
1
2n+1
et βn = 2n−1 −
)
( )
xn
n 2
=A
.
yn
2
(b) Démontrer que la longueur O En tend vers +∞ quand n tend vers +∞ .
2. On a obtenu le tableau suivant :
i
x
y
)
On pourra utiliser que, pour tout entier naturel n , les coordonnées x n ; y n du point En vérifient :
1
.
2n+1
Page 6
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
6
Asie 2014
. correction
Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
(c) En déduire que si un entier k supérieur ou égal à 2 n'est pas premier, alors Mk ne l'est pas
non plus.
Partie A
3. (a) Prouver que le nombre de Mersenne M11 n'est pas premier.
Le but de celle partie est de démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini en raisonnant
par l'absurde.
(b) Que peut-on en déduire concernant la conjecture de la question 1. b. ?
1. On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés p 1 , p 2 , . . . , p n .
Partie C
On considère le nombre E produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 :
Le test de Lucas-Lehmer permet de déterminer si un nombre de Mersenne donné est premier. Ce
test utilise la suite numérique (un ) définie par u 0 = 4 et pour tout entier naturel n :
E = p 1 × p 2 × · · · × p n + 1.
u n+1 = u n2 − 2.
Démontrer que E est un entier supérieur ou égal â 2, et que E est premier avec chacun des nombres
p1, p2, . . . , pn .
2. En utilisant le fait que E admet un diviseur premier conclure.
Si n est un entier naturel supérieur ou égal à 2, le test permet d'affirmer que le nombre Mn est
premier si et seulement si u n−2 ≡ 0 modulo Mn . Cette propriété est admise dans la suite.
1. Utiliser le test de Lucas-Lehmer pour vérifier que le nombre de Mersenne M 5 est premier
2. Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 3.
Partie B
L'algorithme suivant, qui est incomplet, doit permettre de vérifier si le nombre de Mersenne Mn
est premier, en utilisant le test de Lucas-Lehmer.
Pour tout entier naturel k ⩾ 2 , on pose Mk = 2k − 1 .
On dit que Mk est le k -ième nombre de Mersenne.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
1. (a) Reproduire et compléter le tableau suivant, qui donne quelques valeurs de Mk :
k
Mk
2
3
3
4
5
6
7
8
9
10
Fin Pour
Si M divise u alors afficher « M ……… »
sinon afficher « M ……… »
(b) D'après le tableau précédent, si k est un nombre premier, peut-on conjecturer que le nombre
Mk est premier ?
2. Soient p et q deux entiers naturels non nuls.
(a) Justifier l'égalité : 1 + 2p + + (2p )2 + (2p )3 + · · · (2p )q−1 =
u, M, n et i sont des entiers naturels
u prend la valeur 4
Demander un entier n ⩾ 3
M prend la valeur ……
Pour i allant de 1 à …faire
u prend la valeur …
Recopier et compléter cet algorithme de façon à ce qu'il remplisse la condition voulue.
(2p )q − 1
.
2p − 1
(b) En déduire que 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 .
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TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
7 . correction
Centres Étrangers 2013
Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
⋆ ⋆ ⋆ Algorithme lancé ⋆ ⋆ ⋆
En l'année 2013, a prend la valeur 20 et b prend la valeur 10
En l'année 2014, a prend la valeur 19 et b prend la valeur 11
En l'année 2015, a prend la valeur 18,5 et b prend la valeur 11,5
En l'année 2016, a prend la valeur 18,25 et b prend la valeur 11,75
En l'année 2017, a prend la valeur 18,125 et b prend la valeur 11,875
En l'année 2018. a prend la valeur 18,042 5 et b prend la valeur 11,937 5
En l'année 2019, a prend la valeur 18,031 25 et b prend la valeur 11,968 75
En l'année 2020, a prend la valeur 18,015 625 et b prend la valeur 11,984 375
⋆ ⋆ ⋆ Algorithme terminé ⋆ ⋆ ⋆
Une espèce d'oiseaux ne vit que sur deux îles A et B d'un archipel.
Au début de l'année 2013, 20 millions d'oiseaux de cette espèce sont présents sur l'île A et 10
millions sur l'île B.
Des observations sur plusieurs années ont permis aux ornithologues d'estimer que, compte tenu
des naissances, décès, et migrations entre les deux îles, on retrouve au début de chaque année les
proportions suivantes :
□
sur l'île A : 80 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et
30 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente ;
□
sur l'île B : 20 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île A au début de l'année précédente et
70 % du nombre d'oiseaux présents sur l'île B au début de l'année précédente.
Au vu de ces résultats, émettre des conjectures concernant le sens de variation et la convergence
des suites (an ) et (bn ) .
Pour tout entier naturel n , on note an (respectivement bn ) le nombre d' oiseaux (en millions)
présents sur l'île A (respectivement B) au début de l'année (2013 + n) .
Partie B - Étude mathématique
Partie A - Algorithmique et conjectures
On note Un
On donne ci-contre un algorithme
qui doit afficher le nombre d'oiseaux
vivant sur chacune des deux iles,
pour chaque année comprise entre
2013 et une année choisie par l'utilisateur.
Début de l'algorithme
Lire n
Affecter à a la valeur 20
Affecter à b la valeur 10
Affecter à i la valeur 2013
Afficher i
Afficher a
Afficher b
Tant que i < n faire
Affecter à c la valeur (0, 8a + 0, 3b)
Affecter à b la valeur (0, 2a + 0, 7b)
Affecter à a la valeur c
Fin du Tant que
Fin de l 'algorithme
(
)
an
la matrice colonne
.
bn
1. Montrer que, pour tout entier naturel n , Un+1 = MUn , où M est une matrice carrée d'ordre
2 que l'on déterminera.
On admet alors que Un = Mn U0 pour tout entier naturel n ⩾ 1 .
2. À l'aide d'un raisonnement par récurrence, justifier que, pour tout entier naturel n ⩾ 1 :
(
0, 6 + 0, 4 × 0, 5n
M =
0, 4 − 0, 4 × 0, 5n
n
)
0, 6 − 0, 6 × 0, 5n
.
0, 4 + 0, 6 × 0, 5n
On ne détaillera le calcul que pour le premier des coefficients de la matrice Mn .
3. Exprimer an en fonction de n , pour tout entier naturel n ⩾ 1 .
4. Avec ce modèle, peut-on dire qu'au bout d'un grand nombre d'années, le nombre d'oiseaux sur
l'île A va se stabiliser ? Si oui, préciser vers quelle valeur.
1. Cet algorithme comporte des oublis dans le traitement. Repérer ces oublis et les corriger.
2. On donne ci-dessous une copie d'écran des résultats obtenus après avoir corrigé l'algorithme
précédent dans un logiciel d'algorithmique, l'utilisateur avant choisi l'année 2020.
Page 8
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
(
8
2
4. Soient P =
1
Liban 2013
. correction
Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel non nul n, An = PDn Q .
5. À l'aide des questions précédentes, on peut établir le résultat suivant, que l'on admet.
1. Calculer u 2 et u3 .
Pour tout entier naturel non nul n ,
2. Pour tout entier naturel n ⩾ 2 , on souhaite calculer u n à l'aide de l'algorithme suivant :
Traitement :
(
−2n+1 + 3n+1
A =
−2n + 3n
n
a, b et c sont des nombres réels
i et n sont des nombres entiers naturels supérieurs ou égaux à 2
a prend la valeur 3
b prend la valeur 8
Saisir n
Pour i variant de 2 à n faire
c prend la valeur a
a prend la valeur b
b prend la valeur …
La suite (u n ) a-t-elle une limite ?
(a) Recopier la ligne de cet algorithme comportant des pointillés et les compléter.
On obtient avec cet algorithme le tableau de valeurs suivant :
n
un
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4 502
13 378
39 878
119 122
356 342
1 066 978
3 196 838
9 582 322
28 730 582
(b) Quelle conjecture peut-on émettre concernant la monotonie de la suite (un ) ?
3. Pour tout entier naturel n , on note Cn
)
3 × 2n+1 − 2 × 3n+1
.
3 × 2n − 2 × 3n
En déduire une expression de un en fonction de n .
Fin Pour
Afficher b
Sortie :
)
3
.
−2
On admet que A = PDQ .
u n+2 = 5u n+1 − 6u n .
Initialisation :
)
(
0
−1
et Q =
3
1
Calculer QP .
On considère la suite (u n ) définie par u 0 = 3, u 1 = 8 et, pour tout n supérieur ou égal à 0 :
Variables :
)
(
3
2
,D=
1
0
(
)
u n+1
la matrice colonne
.
un
On note A la matrice carrée d'ordre 2 telle que, pour tout entier naturel n ,
Cn+1 = ACn .
Déterminer A et prouver que, pour tout entier naturel n, Cn = An C0 .
Page 9
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
9
(b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul,
Liban 2014
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

0,95n

n
D = 0
0
Un laboratoire étudie la propagation d'une maladie sur une population.
Un individu sain est un individu n'ayant jamais été touché par la maladie.
Un individu malade est un individu qui a été touché par la maladie et non guéri.
Un individu guéri est un individu qui a été touché par la maladie et qui a guéri.
Une fois guéri, un individu est immunisé et ne peut plus tomber malade.
Les premières observations nous montrent que, d'un jour au jour suivant :

0,95n

1

(0,95n − 0,8n )
3
1
(3 − 4 × 0,95n + 0,8n )
3
On admet que An = 
• 5 % des individus tombent malades ;
0
0
0,8n
1 − 0,8n


0


1
1
3
• 20 % des individus guérissent.
4. (a) Vérifier que pour tout entier naturel n , bn = (0,95n − 0,8n )
Pour tout entier naturel n , on note an la proportion d'individus sains n jours après le début de
l'expérience, bn la proportion d'individus malades n jours après le début de l'expérience, et cn
celle d'individus guéris n jours après le début de l'expérience.
On suppose qu'au début de l'expérience, tous les individus sont sains, c'est à dire que a0 = 1 ,
b 0 = 0 et c 0 = 0
(b) Déterminer la limite de la suite (bn ) .
(c) On admet que la proportion d'individus malades croît pendant plusieurs jours, puis décroit.
On souhaite déterminer le pic épidémique, c'est à dire le moment où la proportion d'individus
malades est à son maximum.
1. Calculer a1 , b1 et c1 .
2. (a) Quelle est la proportion d'individus sains qui restent sains d'un jour au jour suivant ? En
déduire an+1 en fonction de an .
(b) Exprimer bn+1 en fonction de an et de bn .
On admet que c n+1 = 0,2bn + c n .


an

Conclure.
cn
0
0,8
0,2
À cet effet, on utilise l'algorithme donné en annexe 2 (à rendre avec la copie), dans lequel on
compare les termes successifs de la suite (bn ) .
Compléter l'algorithme de façon qu'il affiche le rang du jour où le pic épidémique est atteint et
compléter le tableau fourni en annexe 2.

Pour tout entier naturel n , on définit Un = bn 

0,95

On définit les matrices A = 0,05
0

0

0
1
0
0,8n
0


0,95
0


0 et D =  0
0
1
0
0,8
0

0

0
1
Annexe 2
À rendre avec la copie
On admet qu'il existe une matrice inversible P telle que D = P −1 × A × P et que, pour tout entier
naturel n supérieur ou égal à 1, An = P × Dn × P −1 .
3. (a) Vérifier que, pour tout entier naturel n , Un+1 = A × Un .
E
n
On admet que, pour tout entier naturel n , Un = A × U0 .
4
Algorithme et tableau à compléter
Page 10
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Variables
:
b, b ′ , x, y sont des réels
k est un entier naturel
Initialisation
:
Affecter à b la valeur 0
Affecter à b ′ la valeur 0,05
Affecter à k la valeur 0
Affecter à x la valeur 0,95
Affecter à y la valeur 0,8
Traitement
:
Tant que b < b ′ faire :
Affecter à k la valeur k + 1
Affecter à b la valeur b ′
Affecter à x la valeur 0,95x
Affecter à y la valeur 0,80y
Affecter à b ′ la valeur · · · · · ·
Fin Tant que
Sortie
Après le 7e passage
dans la boucle Tant que
:
Afficher · · · · · ·
k
b
x
y
b′
7
0,162 8
0,663 4
0,167 8
0,165 2
Test : b < b ′ ?
V
Après le 8e passage
éventuel dans la boucle
Tant que
Après le 9e passage
éventuel dans la boucle
Tant que
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TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
10
(b) On admet que cette relation de récurrence permet de conclure que pour tout entier naturel n ,
Métropole 2014
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Un pisciculteur dispose de deux bassins A et B pour l'élevage de ses poissons. Tous les ans à la
même période :
□
□
Y2n = 2n Y0 .
En déduire que Y2n+1 = 2n Y1 puis démontrer que pour tout entier naturel n ,
il vide le bassin B et vend tous les poissons qu'il contenait et transfère tous les poissons du
bassin A dans le bassin B ;
a 2n = 600 × 2n − 400
et
a 2n+1 = 800 × 2n − 400.
la vente de chaque poisson permet l'achat de deux petits poissons destinés au bassin A.
4. Le bassin A a une capacité limitée à 10 000 poissons.
Par ailleurs, le pisciculteur achète en plus 200 poissons pour le bassin A et 100 poissons
pour le bassin B.
(a) On donne l'algorithme suivant.
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1, on note respectivement an et bn les effectifs de
poissons des bassins A et B au bout de n années.
En début de première année, le nombre de poissons du bassin A est a0 = 200 et celui du bassin B
est b0 = 100 .
0
2. On désigne par A et B les matrices telles que A =
1
( )
an
naturel n , on pose Xn =
.
bn
Demander à l'utilisateur la valeur de p .
Si p est pair
p
2
Affecter à a la valeur 600 × 2n − 400.
Affecter à n la valeur
1. Justifier que a1 = 400 et b1 = 300 puis calculer a2 et b2 .
(
a, p et n sont des entiers naturels.
Sinon
p −1
2
Affecter à a la valeur 800 × 2n − 400.
)
(
)
2
200
et B =
et pour tout entier
0
100
Affecter à n la valeur
Sortie :
Fin de Si.
Afficher a .
(a) Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n , X n+1 = AXn + B .
Que fait cet algorithme ? Justifier la réponse.
( )
( )
x
x
(b) Déterminer les réels x et y tels que
=A
+B.
y
y
(b) Écrire un algorithme qui affiche le nombre d'années pendant lesquelles le pisciculteur pourra
utiliser le bassin A.
(
)
a n + 400
(c) Pour tout entier naturel n , on pose Yn =
.
b n + 300
Démontrer que pour tout entier naturel n, Yn+1 = AYn .
3. Pour tout entier naturel n , on pose Zn = Y2n .
(a) Démontrer que pour tout entier naturel n, Zn+1 = A2 Zn . En déduire que pour tout entier
naturel n, Zn+1 = 2Z n .
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TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
11
Nouvelle Calédonie 2014
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
3. On considère les suites d'entiers naturels (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par
{
u n = 2 + 221n
On considère l'algorithme suivant, où A et B sont des entiers naturels tels que A < B :
Entrées :
A et B entiers naturels tels que A < B
Variables :
D est un entier
Les variables d'entrées A et B
et
v0
v n+1
=
=
3
v n + 331
(a) Exprimer v n en fonction de l'entier naturel n .
(b) Déterminer tous les couples d'entiers naturels (p ; q) tels que
up = v q ,
0 ⩽ p ⩽ 500
et
Traitement :
0 ⩽ q ⩽ 500 .
Annexe à rendre avec la copie
Affecter à D la valeur de B − A
réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Tant que D > 0
B prend la valeur de A
A prend la valeur de D
Si B > A Alors
D prend la valeur de B − A
Sinon
D prend la valeur de A − B
Fin Si
Fin Tant que
Sortie :
Afficher A
1. On entre A = 12 et B = 14 .
En remplissant le tableau donné en annexe, déterminer la valeur affichée par l'algorithme.
2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres A et B .
En entrant A = 221 et B = 331 , l'algorithme affiche la valeur 1.
(a) Justifier qu'il existe des couples (x ; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation
(E )
221x − 331y = 1.
(b) Vérifier que le couple (3 ; 2) est une solution de l'équation (E).
En déduire l'ensemble des couples (x ; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
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A
B
12
14
D
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
12
Variables :
Traitement :
Polynésie 2014
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro
du mois de naissance, le rang du mois dans l'année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et le numéro
du mois de naissance est 5.
Partie A
Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant :
« Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre
mois de naissance et multipliez-le par 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous
donner la date de votre anniversaire ».
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : « Votre anniversaire
tombe le 1er août ! ».
1. Vérifier que pour une personne née le
le nombre 308 .
1er
août, le programme de calcul (A) donne effectivement
j et m sont des entiers naturels
Pour m allant de 1 à 12 faire :
Pour j allant de 1 à 31 faire :
z prend la valeur 12 j + 31m
Afficher z
Fin Pour
Fin Pour
Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que 12 j + 31m =
503 .
2. Deuxième méthode :
(a) Démontrer que 7m et z ont le même reste dans la division euclidienne par 12.
(b) Pour m variant de 1 à 12, donner le reste de la division euclidienne de 7m par 12.
(c) En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B).
3. Troisième méthode :
2. (a) Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son
mois de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
Exprimer z en fonction de j et de m et démontrer que z et m sont congrus modulo 12.
(b) Retrouver alors la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A).
(a) Démontrer que le couple (−2 ; 17) est solution de l'équation 12x + 31y = 503 .
(b) En déduire que si un couple d'entiers relatifs (x ; y) est solution de l'équation 12x + 31y =
503 , alors 12(x + 2) = 31(17 − y) .
(c) Déterminer l'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs (x ; y) , solutions de l'équation
12x + 31y = 503 .
Partie B
(d) Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs (x ; y) tel que 1 ⩽ y ⩽ 12 .
Lors d'une autre représentation, le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un
spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m , le
magicien demande de calculer le nombre z défini par z = 12 j + 31m .
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur.
En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme
de calcul (B).
1. Première méthode :
On considère l'algorithme suivant :
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E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
13
. correction
Candidats ayant suivi la spécialité
(
xn
2. On définit la suite (Un ) par Un =
yn
Pondichéry 2014
Chaque jeune parent utilise chaque mois une seule marque de petits pots pour bébé. Trois marques
X, Y et Z se partagent le marché. Soit n un entier naturel.
On note : Xn l'évènement « la marque X est utilisée le mois n »,
Yn l'évènement « la marque Y est utilisée le mois n »,
Z n l'évènement « la marque Z est utilisée le mois n ».
Les probabilités des évènements X n , Yn , Z n sont notées respectivement x n , y n , z n .
La campagne publicitaire de chaque marque fait évoluer la répartition.
Un acheteur de la marque X le mois n , a le mois suivant :
)
pour tout entier naturel n .
)
( )
0, 4
0, 1
et B =
.
0, 1
0, 2
( )
0, 5
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0 ), on estime que U0 =
.
0, 3
(
0, 4
On admet que, pour tout entier naturel n, Un+1 = A × Un + B où A =
0, 2
On considère l'algorithme suivant :
Variables
Entrée et initialisation
50 % de chance de rester fidèle à cette marque,
40 % de chance d'acheter la marque Y,
10 % de chance d'acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Y le mois n , a le mois suivant :
30 % de chance de rester fidèle à cette marque,
50 % de chance d'acheter la marque X,
Tant que i < n
U prend la valeur A × U + B
i prend la valeur i + 1
Fin de Tant que
Afficher U
Traitement
20 % de chance d'acheter la marque Z.
Un acheteur de la marque Z le mois n , a le mois suivant :
n et i des entiers naturels.
A, B et U des matrices
Demander la valeur de n
i prend la valeur 0(
)
0, 4 0, 4
A prend la valeur
0, 2 0, 1
( )
0, 1
B prend la valeur
0, 2
( )
0, 5
U prend la valeur
0, 3
Sortie
70 % de chance de rester fidèle à cette marque,
(a) Donner les résultats affichés par cet algorithme pour n = 1 puis pour
10 % de chance d'acheter la marque X,
n =3.
20 % de chance d'acheter la marque Y.
(b) Quelle est la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril ?
Dans la suite de l'exercice, on cherche à déterminer une expression de Un en fonction de n .
(
1. (a) Exprimer x n+1 en fonction de x n , y n et z n .
1
On note I la matrice
0
On admet que :
y n+1 = 0, 4x n + 0, 3y n + 0, 2z n et que z n+1 = 0, 1x n + 0, 2y n + 0, 7z n .
)
0
et N la matrice I − A .
1
3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
(b) Exprimer z n en fonction de x n et y n . En déduire l'expression de x n+1 et y n+1 en fonction
de x n et y n .
(a) Démontrer que C = A × C + B équivaut à N × C = B .
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TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique

45

23
(b) On admet que N est une matrice inversible et que N−1 = 
 10
23
 
17
 46 

En déduire que C = 
 7 .
23

20
23 
.
30 
23
4. On note Vn la matrice telle que Vn = Un − C pour tout entier naturel n .
(a) Montrer que, pour tout entier naturel n, Vn+1 = A × Vn .
(b) On admet que Un = An × (U0 − C) + C .
Quelles sont les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai ?
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E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
14
4. On donne l'algorithme suivant où MOD (N, k) représente le reste de la division euclidienne de
Pondichéry 2015
. correction
Candidat ayant suivi l'enseignement de spécialité
N par k .
Les nombres de la forme 2n − 1 où n est un entier naturel non nul sont appelés nombres de
Mersenne.
Variables :
n entier naturel supérieur ou égal à 3
k entier naturel supérieur ou égal à 2
Initialisation :
Demander à l'utilisateur la valeur de n .
Affecter à k la valeur 2.
p
Tant que MOD(2n − 1, k) ̸= 0 et k ⩽ 2n − 1
Affecter à k la valeur k + 1
Fin de Tant que.
Afficher k .
p
Si k > 2n − 1
Afficher « CAS 1 »
Sinon
Afficher « CAS 2 »
Fin de Si
1. On désigne par a, b et c trois entiers naturels non nuls tels que
Traitement :
PGCD (b ; c) = 1 .
Prouver, à l'aide du théorème de Gauss, que :
Sortie :
si b divise a et c divise a alors le produit bc divise a .
2. On considère le nombre de Mersenne 233 − 1 .
Un élève utilise sa calculatrice et obtient les résultats ci-dessous.
( 33
)
2 −1 ÷3
(a) Qu'affiche cet algorithme si on saisit n = 33 ? Et si on saisit n = 7 ?
2863311530
( 33
)
2 −1 ÷4
(b) Que représente le CAS 2 pour le nombre de Mersenne étudié ? Que représente alors le nombre
k affiché pour le nombre de Mersenne étudié ?
2147483648
( 33
)
2 − 1 ÷ 12
(c) Que représente le CAS 1 pour le nombre de Mersenne étudié ?
715827882,6
(
)
(
)
(
)
Il affirme que 3 divise 233 − 1 et 4 divise 233 − 1 et 12 ne divise pas 233 − 1 .
(a) En quoi cette affirmation contredit-elle le résultat démontré à la question 1. ?
(
)
(b) Justifier que, en réalité, 4 ne divise pas 233 − 1 .
(c) En remarquant que 2 ≡ −1
[3] , montrer que, en réalité, 3 ne divise pas 233 − 1 .
( )2
( )3
( )10
(d) Calculer la somme S = 1 + 23 + 23 + 23 + · · · + 23
.
(e) En déduire que 7 divise 233 − 1 .
3. On considère le nombre de Mersenne 27 − 1 . Est-il premier ? Justifier.
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TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
15
On définie la suite (An ) de points du plan de coordonnées (x n : y n ) vérifiant pour tout n entier
naturel :

{
Antilles 2016
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
=
=
x0
y0
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
1
2
−13
 2
7x − 3y = 1.
(E)
1. Un algorithme incomplet est donné ci-dessous. Le recopier et le compléter, en écrivant ses
lignes manquantes (1) et (2) de manière à ce qu'il donne les solutions entières (x ; y) de l'équation
(E) vérifiant −5 ⩽ x ⩽ 10 et
−5 ⩽ y ⩽ 10 .
1. On note M la matrice 
(
Xn =
)
=
− 13
2 x n + 3y n
 y
n+1
=
− 35
2 x n + 8y n


On considère l'équation suivante d'inconnues x et y entiers relatifs :
et
 x n+1
3
 . Pour tout entier naturel n , on pose
8
−35
2
xn
.
yn
(a) Montrer que, pour tout entier naturel n , X n+1 = MXn .
(b) Sans justifier, exprimer pour tout entier naturel n , X n en fonction de Mn et X 0 .
Variables :
Début :
(
X est un nombre entier
Y est un nombre entier
Pour X variant de −5 à 10
(1) . . . . . . . . . . . . . . .
(2) . . . . . . . . . . . . . . .
Alors Afficher X et Y
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
−2
2. On considère la matrice P =
−5
(
)
7 −3
est définie par P −1 =
.
−5 2
)
−3
et on admet que la matrice inverse de P , notée P −1 ,
−7
(a) Vérifier que P−1 MP est une matrice diagonale D que l'on précisera.
(b) Pour tout entier naturel n , donner Dn sans justification.
(c) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , Mn = PDn P −1 .
Fin


−14 + 215n
6 − 26n
.
3. On admet que, pour tout entier naturel n , Mn = 
−35 + 235n 15 − 214n
En déduire que, pour tout entier naturel n , une expression de x n et y n en fonction de n .
2. (a) Donner une solution particulière de l'équation (E).
(b) Déterminer l'ensemble des couples d'entiers relatifs solutions de l'équation (E).
(c) Déterminer l'ensemble des couples (x ; y) d'entiers relatifs solutions de l'équation (E) tels
que −5 ⩽ x ⩽ 10 et −5 ⩽ y ⩽ 10 .
4. Montrer que, pour tout entier naturel n , le point An appartient à la droite D .
Partie B
(
)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé O;⃗
u ,⃗
v .
On considère la droite D d'équation
7x − 3y − 1 = 0
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TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
16
2. On considère l'algorithme suivant :
CentresetrangersS2016-exo-5.tex
. correction
Candidat/e/s ayant choisi la spécialité mathématique
VARIABLES :
TRAITEMENT :
Le but de cet exercice est d'étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en 1929
par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée d'une matrice
A , connue uniquement de l'émetteur et du destinataire.
(
)
Dans tout l'exercice, on note A la matrice définie par : A =
5
7
a, u , et r sont des nombres (a est naturel et premier avec 26)
Lire a
u prend la valeur 0, et r prend la valeur 0
Tant que r ̸= 1
u prend la valeur u + 1
r prend la valeur du reste de la division euclidienne de u × a par 26
Fin du Tant que
Afficher u
2
.
7
Partie A -- Chiffrement de Hill
SORTIE
Voici les différentes étapes de chiffrement pour un mot comportant un nombre pair de lettres :
On entre la valeur a = 21 dans cet algorithme.
Étape 1
Étape 2
On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on
effectue chacune des étapes suivantes.
On associe aux deux lettres du bloc les deux entiers x 1 et x 2 tous deux compris entre
0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le même ordre, dans le tableau suivant :
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L M
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
N
13
Étape 3
Étape 4
Étape 5
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
(
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
)
( )
x1
y1
On transforme la matrice X =
en la matrice Y =
vérifiant Y = AX.
x2
y
( )
(2 )
y1
r1
On transforme la matrice Y =
en la matrice R =
, où r 1 est le reste de la
y2
r2
division euclidienne de y 1 par 26 et r 2 celui de la division euclidienne de y 2 par 26.
On associe aux entiers r 1 et r 2 les deux lettres correspondantes du tableau de l'étape
2.
Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres.
Question : utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer le mot « HILL ».
Partie B - Quelques outils mathématiques nécessaires au déchiffrement
1. Soit a un entier relatif premier avec 26.
Démontrer qu'il existe un entier relatif u tel que u × a ≡ 1 modulo 26 .
(a) Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, jusqu'à l'arrêt de l'algorithme.
u
r
0
0
1
21
2
…
…
…
(b) En déduire que 5 × 21 ≡ 1 modulo 26 .
(
5
3. On rappelle que A est la matrice A =
7
)
(
2
1
et on note I la matrice : I =
7
0
)
0
.
1
(a) Calculer la matrice 12A − A2 .
(b) En déduire la matrice B telle que BA = 21I .
(c) Démontrer que si AX = Y , alors 21X = BY .
Partie C - Déchiffrement
On veut déchiffrer
( ) le mot VLUP.
x1
la matrice associée, selon le tableau de correspondance, à un bloc de deux lettres
x2
( )
(
)
y1
5 2
avant chiffrement, et Y =
la matrice définie par l'égalité : Y = AX =
X.
y2
7 7
Si r 1 et r 2 sont les restes respectifs de y 1 et y 2 dans la(division
euclidienne par 26, le bloc de
)
r1
deux lettres après chiffrement est associé à la matrice R =
.
r2
On note X =
Page 19
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
{
1. Démontrer que :
21x 1
21x 2
=
=
7y 1 − 2y 2
−7y 1 + 5y 2
{
2. En utilisant la question B .2., établir que :
x1
x2
≡
≡
9r 1 + 16r 2
17r 1 + 25r 2
modulo 26
modulo 26
(
)
( )
21
20
3. Déchiffrer le mot VLUP, associé aux matrices
et
.
11
15
Page 20
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
17
Liban 2016
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Variables :
Initialisation :
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un
point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
Traitement :
{
•
On considère le système
Sortie :
n
n
≡
≡
1
3
[5]
[4]
Affirmation 4 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10 .
Affirmation 3 : Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que
d'être dans l'état B .
Affirmation 2 : Pour tout entier relatif k , l'entier 11 + 20k est solution du système.
Affirmation 3 : Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif
k tel que n = 11 + 20k .
Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans
l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste
ci-dessous.
Pour tout entier naturel n , on note an la probabilité que l'automate se trouve dans l'état
A après n secondes et bn la probabilité que l'automate se trouve dans l'état B après n
secondes. Au départ, l'automate est dans l'état B.
0,7
0,3
Fin Pour
Afficher a
Afficher b
d'inconnue n entier relatif.
Affirmation 1 : Si n est solution de ce système alors n − 11 est divisible par 4 et par 5.
•
a et b sont des réels
a prend la valeur 0
b prend la valeur 1
Pour k allant de 1 à 10
a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b
b prend la valeur 1 − a
B
A
0,2
0,8
On considère l'algorithme suivant :
Page 21
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
3
18
7
Métropole 2016
. correction
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
4. Soit ∆ la droite d'équation y = x − . Cette droite possède-t-elle un point dont les coordon8
4
nées sont des entiers relatifs ? Justifier.
Pour tout couple d'entiers relatifs non nuls (a, b)
, on note
pgcd (a, b) le plus grand diviseur com(
)
mun de a et b . Le plan est muni d'un repère O ;⃗ı,⃗ȷ .
5. On donne l'algorithme suivant :
5
4
2
3
Variables :
1. Exemple. Soit ∆1 la droite d'équation y = x − .
(a) Montrer que si (x, y) est un couple d'entiers relatifs alors l'entier 15x − 12y est divisible par
3.
Entrées :
Traitement et sorties :
(b) Existe-il au moins un point de la droite ∆1 dont les coordonnées sont deux entiers relatifs ?
Justifier.
M, N, P, Q : entiers relatifs non nuls, tels que pgcd(M, N) =
pgcd(P, Q) = 1
X : entier naturel
Saisir les valeurs de M, N, P, Q
Si Q divise N alors
X prend la( valeur 0
)
P
M
X − n'est pas entier
N
Q
(
)
M
P
et − X − n'est pas entier faire
N
Q
X prend la valeur X + 1
Tant que
Généralisation
On considère désormais une droite ∆ d'équation (E) : y =
m
p
x−
où m, n, p et q sont des
n
q
entiers relatifs non nuls tels que pgcd (m, n) = pgcd(p, q) = 1 . Ainsi, les coefficients de l'équation
(E) sont des fractions irréductibles et on dit que ∆ est une droite rationnelle. Le but de l'exercice est de déterminer une condition nécessaire et suffisante sur m, n, p et q pour qu'une droite
rationnelle ∆ comporte au moins un point dont les coordonnées sont deux entiers relatifs.
(
)
2. On suppose ici que la droite ∆ comporte un point de coordonnées x 0 , y 0 où x 0 et y 0 sont
Fin tant que
Si
M
P
X − est entier alors
N
Q
M
P
Afficher X, X −
N
Q
Sinon
des entiers relatifs.
Afficher −X, −
(a) En remarquant que le nombre n y 0 − mx 0 est un entier relatif, démontrer que q divise le
produit np .
Fin Si
Sinon
Afficher « Pas de solution »
Fin Si
(b) En déduire que q divise n .
(
M
P
X−
N
Q
)
3. Réciproquement, on suppose que q divise n , et on souhaite trouver un couple x 0 , y 0 d'entiers relatifs tels que y 0 =
m
p
x0 − .
n
q
(a) Justifier que cet algorithme se termine pour toute entrée de M, N, P, Q , entiers relatifs non
nuls tels que pgcd (M, N) = pgcd (P, Q) = 1 .
(a) On pose n = qr , où r est un entier relatif non nul. Démontrer qu'on peut trouver deux entiers
relatifs u et v tels que qr u − mv = 1 .
(
(b) Que permet-il d'obtenir ?
)
(b) En déduire qu'il existe un couple x 0 , y 0 d'entiers relatifs tels que
y0 =
m
p
x0 − .
n
q
Page 22
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
19
Métropole septembre 2016
. correction
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
variables
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 3 pièces A, B et C ayant chacune
un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou
4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les 3 pièces sont toutes du côté face.
1er passage boucle Pour
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
d
a
b
c
s
initialisation
1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face et 1 code le côté pile. Si a code un côté de la
pièce A, alors 1 − a code l'autre côté de la pièce A.
Variables :
i
2e passage boucle Pour
3e passage boucle Pour
(b) Cet algorithme permet-il de savoir si, après une exécution de n tirages, les trois pièces sont
du côté pile ?
2. Pour tout entier naturel n , on note :
•
X n l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, les trois pièces sont du côté face »
• Yn l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres
sont du côté face »
a , b , c , d , s sont des entiers naturels
i , n sont des entiers supérieurs ou égaux à 1
a prend la valeur 0
b prend la valeur 0
c prend la valeur 0
Saisir n
Pour i allant de 1 à n faire
d prend la valeur d'un entier aléatoire compris
•
Z n l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et
l'autre est du côté face »
•
Tn l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile ».
De plus on note, x n = p (X n ) ; y n = p (Yn ) ; z n = p (Zn ) et tn = p (Tn ) les probabilités respectives des évènements X n , Yn , Zn et Tn .
(a) Donner les probabilités x 0 , y 0 , z 0 et t0 respectives qu'au début du jeu il y ait 0, 1, 2 ou 3
pièces du côté pile.
entre 1 et 6
Si d ⩽ 2
alors a prend la valeur 1 − a
sinon Si d ⩽ 4
alors b prend la valeur 1 − b
sinon c prend la valeur 1 − c
FinSi
FinSi
s prend la valeur a + b + c
FinPour
Afficher s
(b) Recopier l'arbre ci-dessous et compléter les probabilités sur ses branches :
Xn
xn
yn
Yn+1
X n+1
Yn
Z n+1
zn
tn
(a) On exécute cet algorithme en saisissant n = 3 et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour d sont 1 ; 4 et 2. Recopier et compléter le tableau donné ci-dessous
contenant l'état des variables au cours de l'exécution de l'algorithme :
Page 23
Yn+1
Zn
Tn+1
Tn
Z n+1
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
(
)
3. Pour tout entier naturel n , on note Un la matrice ligne x n y n z n t n .
(a) Donner la matrice U0 .
(b) À l'aide de l'arbre précédemment rempli, déterminer la matrice carrée M telle que, pour tout
entier naturel n , Un+1 = Un × M .
4. Démontrer que, pour tout entier naturel n , Un = U0 × Mn .
5. On admet que, pour tout entier n ⩾ 1 ,
xn =
yn =
zn =
tn =
( )n
( )n
(−1)n + 3 × − 13 + 3 × 13 + 1
8
;
( )n
( )n
−3 × − 13 + 3 × 13 − (−1)n × 3 + 3
( )n
−3 × − 13 − 3 ×
8
( 1 )n
3
+ (−1)n × 3 + 3
8
( )n
(
)
n
−(−1)n + 3 × − 13 − 3 × 13 + 1
8
;
;
.
(a) Calculer la probabilité, arrondie à 10−3 près, qu'au bout de 5 lancers de dés, une seule des
trois pièces soit du côté pile.
(b) Préciser si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Une réponse non justifiée n'est
pas prise en compte
• Première affirmation :
« À l'issue d'un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile ».
• Deuxième affirmation :
« Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à
1
».
4
• Troisième affirmation :
« Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à 0, 249 ».
Page 24
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Partie B
.
Correction
E
À chaque lettre de l'alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris
entre 0 et 25 .
1
Amérique du Nord 2013
. énoncé
Candidats AYANT SUIVI l'enseignement de spécialité mathématiques
Partie A
On considère l'algorithme suivant :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
a est un entier naturel
b est un entier naturel
c est un entier naturel
Affecter à c la valeur 0
Demander la valeur de a
Demander la valeur de b
Tant que a ⩾ b
Affecter à c la valeur c + 1
Affecter à a la valeur a − b
Fin de tant que
Afficher c
Afficher a
a
b
Initialisation
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
W
22
X
23
Y
24
Z
25
1. On va coder la lettre U.
Étape 1 :
Étape 2 :
Étape 3 :
La lettre U correspond à m = 20.
9m + 5 = 9 × 20 + 5 = 185 ; le reste de la division de 185 par 26 est p = 3.
Au nombre p = 3, on associe la lettre D.
Donc la lettre U se code en D.
2. On modifie l'algorithme de la partie A pour qu'à une valeur de m entrée par l'utilisateur, il
affiche la valeur de p , calculée à l'aide du procédé de codage précédent :
c
Variables :
m est un entier naturel
p est un entier naturel
Initialisation :
Demander la valeur de m
Affecter à p la valeur 9m + 5
Tant que p ⩾ 26
Affecter à p la valeur p − 26
Fin de tant que
Afficher p
0
Entrées
13
4
0
Traitement
9
4
1
5
4
2
1
4
3
Sortie
B
1
On définit un procédé de codage de la façon suivante :
Étape 1 : À la lettre que l'on veut coder, on associe le nombre m correspondant dans le tableau.
Étape 2 : On calcule le reste de la division euclidienne de 9m + 5 par 26 et on le note p .
Étape 3 : Au nombre p , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
1. En faisant tourner l'algorithme avec a = 13 et b = 4 , on obtient :
Variables
A
0
Traitement :
Sortie :
On affiche la valeur de c : 3
On affiche la valeur de a : 1
2. Dans cet algorithme, on retire le nombre b du nombre a autant de fois que l'on peut et on fait
afficher le nombre de fois que l'on a retiré b et ce qui reste dans a ; cet algorithme fournit donc
le quotient (dans c ) et le reste (dans a ) de la division de a par b .
Partie C
1. On sait que 9 × 3 = 27 ≡ 1 [26] ; donc pour x = 3 , on a 9x ≡ 1 [26] .
Page 25
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
2. 9m + 5 ≡ p [26] =⇒ 27m + 15 ≡ 3p [26] ⇐⇒ 27m ≡ 3p − 15 [26]
Or 27 ≡ 1 [26] donc 27m ≡ m [26]
27m ≡ 3p − 15
27m ≡ m [26]
}
=⇒ m ≡ 3p − 15 [26]
Réciproquement :
m ≡ 3p − 15 [26] ⇐⇒ m + 15 ≡ 3p [26] =⇒ 9m + 135 ≡ 27p [26]
Or 27 ≡ 1 [26] donc 27p ≡ p [26] ; de plus 135 = 5 × 26 + 5 donc 135 ≡ 5 [26] .
135 ≡ 5 [26] =⇒ 9m + 135 ≡ 9m + 5 [26]

9m + 135 ≡ 9m + 5 [26] 

=⇒ 9m + 5 ≡ p [26]
27p
≡ p [26]


9m + 135 ≡ 27p [26]
On peut donc dire que : 9m + 5 ≡ p [26] ⇐⇒ m ≡ 3p − 15 [26] .
3. Pour décoder une lettre, on procèdera donc ainsi :
Étape 1 :
Étape 2 :
Étape 3 :
À la lettre que l'on veut décoder, on associe le nombre p correspondant dans le tableau.
On calcule le reste de la division euclidienne de 3p − 15 par 26 et on le note m .
Au nombre m , on associe la lettre correspondante dans le tableau.
Pour décoder la lettre B :
Étape 1 : À la lettre B, on associe le nombre p = 1.
Étape 2 : 3p − 15 = −12 ≡ 14 [26] donc m = 14.
Étape 3 : Au nombre m = 14, on associe la lettre O.
Donc la lettre B se décode en la lettre O.
Page 26
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
2
□
Antilles 2013
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
En conclusion, pour tout n ∈
(b) On a, pour tout n ∈
(
u0 + v 0 1
u 0 + 2v 0 2
1. On a u 1 =
= et v 1 =
= .
2
2
3
3
n
A =
1
2
1
2
− 21
1
3
)(
1
0
N):(
0
( 1 )n
6
4
5
− 56
N : An = P′Bn P .
6
5
6
5
)
2. (a) Pour N = 2 , le tableau de l'état des variables dans l'algorithme est :
n
5. (a) En multipliant la matrice A
k
1
2
w
0
1/2
u
1/2
7/12
v
2/3
11/18
(
3. (a) Soit n ∈
N , alors : AXn =
(
1
2
2
3
1
2
1
3
)(
)
) (
u n +v n
un
2
= X n+1 .
= un +2v
n
vn
3
(b) Démontrons par récurrence que, pour tout n ∈
N , Xn = An X0 .
□
Pour n = 0 , on a A0 X0 = I2 X0 = X0 (ou I2 désigne la matrice identité d'ordre 2), donc la
propriété est vraie pour n = 0
□
Supposons que la propriété soit vraie pour un certain entier naturel n :
X n = An X 0 , alors : AX n = AAn X 0 = An+1 X 0 , c'est-à-dire X n+1 = An+1 X 0 et la propriété est
donc héréditaire.
□
Donc, pour tout entier naturel n : X n = An X 0 .
4. (a) On a :
(
4
5
− 65
6
5
6
5
)(
1
2
1
2
− 12
1
3
)
(
1
=
0
)
0
= I2
1
en d'autres termes la matrice P est inversible et son inverse est P ′ .
Démontrons par récurrence que, pour tout n ∈ , An = P ′ Bn P .
N
□
A0 = I2 , or P ′ B0 P = P ′ I2 P = P ′ P = I2 , la propriété est donc vraie pour n = 0 .
□
Supposons que, pour un certain entier naturel n , An = P ′ Bn P , alors
=
1
2
1
2
( )n ) (
− 12 16
( )
1 1 n
3 6
4
5
− 65
6
5
6
5
)
(
=
2
5
2
5
( )n
+ 35 16
( )n
− 25 16
3
5
3
5
( )n )
− 35 16
( )n .
+ 25 16
( )
0
précédente à droite par le vecteur colonne X0 =
, on
1
( )n )
− 35 16
( )n . D'où l'on tire
obtient X n = A X 0 =
+ 25 16
( )n
( )n
u n = 35 − 35 61
et v n = 35 + 25 16 .
( )n
1
= 0 (car −1 < 16 < 1 ), on obtient par opérations que les suites (u n ) et
(b) Comme lim
n→+∞ 6
3
(v n ) convergent toutes deux vers .
5
n
(b) Plus généralement, pour un entier N saisi par l'utilisateur, l'algorithme affichera uN et v N .
(
An+1 = AAn = P ′ BPP ′ Bn P = P ′ BI2 Bn P = P ′ BBn P = P ′ Bn+1 P
et la propriété est donc héréditaire.
Page 27
3
5
3
5
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
3
15 et 8 sont premiers entre eux et 15 divise 8(x − 292) , donc, d'après le théorème de
Gauss, 15 divise x − 292 .
Antilles 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Il existe donc un entier relatif k tel que x −292 = 15k ⇐⇒ x = 292 +15k . La relation
(1) entraîne alors que 8 × 15k = 15(−y − 146) , d'où y = −146 − 8k .
x et y sont des entiers naturels tels que 24x + 45y = 438 , par conséquent :
1. (a)
□
438
24x ⩽ 438 d'où x ⩽
= 18,25 , donc x ⩽ 18 ;
24
□
45y ⩽ 438 d'où y ⩽
Les couples solutions sont donc de la forme (292 + 15k ; −146 − 8k) .
Réciproquement, de tels couples sont bien solutions de (E) car :
438
≈ 9,73 , donc y ⩽ 9 .
45
8(292 + 15k) + 15(−146 − 8k) = 146.
{
(b) Voici l'algorithme complété :
Entrée :
Traitement :
L'ensemble des solutions de (E) est donc (292 + 15k ; −146 − 8k) où k ∈
(e) Soit x et y le nombre de nuitées passées respectivement dans les hébergements A et B, alors
24x +45y = 438 ⇔ 8x +15y = 146 . Il existe alors un entier relatif k tel que x = 292+15k , et par
ailleurs x ⩾ 0 et x ⩽ 13 , d'où :
x et y sont des nombres
Pour x variant de 0 à 18
(1)
Pour y variant de 0 à 9 (2)
Si 24x + 45y = 438 (3)
Afficher x et y
0 ⩽ 292 + 15k ⩽ 13 ⇐⇒ −
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
292
279
≈ −19,47 et −
= −18,6 , la seule possibilité est que k = −19 .
15
15
On en déduit que x = 292 + 15 × (−19) = 7 et que y = −146 − 8 × (−19) = 6 .
Ce randonneur a donc passé 7 nuits en hébergement A et 6 nuits en hébergement B.
(c) Le coût total de réservation étant de 438 €, et 438 étant égal à 146×3 , ce montant est multiple
de 3 !
(i)
Les entiers 8 et 15 étant premiers entre eux, le théorème de Bézout entraîne l'existence d'un couple (x ; y) d'entiers relatifs tels que 8x + 15y = 1 .
(ii)
279
292
⩽k ⩽−
.
15
15
Comme −
Fin traitement
(d)
On a de façon évidente 8 × 2 + 15 × (−1) = 1 , le couple (2 ; −1) est donc une solution
particulière.
(iii) On a 8 × 2 + 15 × (−1) = 1 , donc, en multipliant par 146 :
8 × 292 + 15 × (−146) = 146.
Soit (x ; y) un autre couple solution de (E), alors :
8x + 15y = 8 × 292 + 15 × (−146) ⇐⇒ 8(x − 292) = 15(−y − 146).
Z} .
(1)
Page 28
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
4
(a) Dans le tableau V correspond à 21, or 9 × 21 + 2 = 189 + 2 = 191 et 191 = 26 × 7 + 9 ; donc
x ′ ≡ 9 [26] .
Antilles 2015
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans le tableau 9 correspond à la lettre J.
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante
Partie A
(b) 9 et 26 étant premiers entre eux, le théorème de Bezout permet d'affirmer l'existence de deux
entiers relatifs u et v tels que 9u + 26v = 1 .
1.
Le couple (3 ; −1) est un couple simple solution de cette équation.
valeur de a
valeur de b
valeur de c
Affichage
26
9
8
9
8
1
8
1
0
1
Z
(c) On a x ′ ≡ 9x +2 [26] ⇐⇒ il existe k ∈ , x ′ = 26k +9x +2 ⇐⇒ 3x ′ = 26k ′ +27x +6 ⇐⇒
3x ′ = 26k ′ + 26x + x + 6 ⇐⇒ 3x ′ = 26r ′′ + x + 6 ⇐⇒ x = 26(−r ′′ ) + 3x ′ − 6 ⇐⇒ x =
26(−r ′′ ) + 3x ′ + 20 , soit x ≡ 3x ′ + 20 [26]
(d) R correspond à x ′ = 17 , donc 3x ′ + 20 = 51 + 20 = 71 et
71 = 26 × 2 + 19 , soit 71 ≡ 19
2.
[26] .
On a donc x = 19 qui correspond à la lettre T.
Variables :
Entrées :
Traitement :
Sortie :
c est un entier naturel
a et b sont des entiers naturels non nuls
Demander a
Demander b
Affecter à c le nombre r (a, b)
Tant que c ̸= 0
Affecter à a le nombre b
Affecter à b la valeur de c
Affecter à c le nombre r (a, b)
2. J correspond à x = 9 et D correspond à x ′ = 3 . de plus q = 2 ; on a donc :
3 = 9p + 2 [26] ⇐⇒ 9p ≡ 1 [26] ou encore 27p ≡ 3 [26] , mais on sait que 27 ≡ 1
il en résulte que p ≡ 3 [26] et comme p est compris entre 0 et 25, on a donc p = 3 .
3. B correspond à x = 1 , d'où x ′ = 13x + 2 ≡ 15
D correspond à x = 3 , d'où x ′ = 13x + 2 ≡ 41
P.
[26] ;
[26] et 15 correspond à la lettre P.
[26] et 41 ≡ 15
[26] et 15 correspond à la lettre
Conclusion : deux lettres différentes sont codées par la même lettre. Ce codage n'est pas bon
puisque le décryptage donnera plusieurs solutions.
Fin Tant que
Si b = 1
Afficher « les nombres entrés sont premiers entre eux »
Sinon
Afficher « les nombres entrés ne sont pas premiers entre eux »
Fin de Si
Partie B
1. Dans cette question, on choisit p = 9 et q = 2 .
Page 29
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
(
5
αp
Hérédité : supposons qu'il existe un naturel p tel que : A =
βp
Asie 2013
. énoncé
Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité
p
αp = 2p−1 +
Partie A
1. (a) On a :
{
{
{
=
=
5
4
3
4
× 2 + 34 × 2
× 2 + 54 × 2
x F′
y F′
=
=
5
4
3
4
× (−1) + 34 × 5
× (−1) + 54 × 5
x G′
y G′
=
=
5
4
3
4
× (−3) + 34 × 3
× (−3) + 54 × 3
x E′
y E′
{
⇐⇒
⇐⇒
{
⇐⇒
=
=
x F′
y F′
=
=
x G′
y G′
=
=
5
2
11
2
De même :
(
− 32
p
3
4
2
p−1
+
1
)
(
2p+1
+
5
4
2
p−1
−
1
On a donc démontré par récurrence que pour tout entier naturel n ⩾ 1 , on a :
p
OG 2 = (−3)2 + 32 = 9 + 9 = 18 , donc OG = 3 2 ;
On a A =
3
4
5
4
, donc OG ′ =
p
3 2
2
)
8
2 1
1
= 2p−1 −
= 2p − p+2 .
2p+1
4
4 2p+1
2
Donc les relations sont vraies au rang p + 1 .
βp+1 =
3
2
OE ′2 = 42 + 42 = 32 , donc OE ′ = 4 2 . Donc OE ′ = 2OE .
5
4
3
4
1
.
2p+1
βp+1 = 34 αp + 45 βp , soit en utilisant la relation de récurrence :
(
(
)
)
1
1
1
1
αp+1 = 54 2p−1 + p+1 + 34 2p−1 − p+1 = 84 2p−1 + 24 p+1 = 2p + p+2 .
2
2
2
2
p
18
4
βp = 2p−1 −
et
αp+1 = 54 αp + 34 βp et
4
4
(b) OE 2 = 22 + 22 = 8 , donc OE = 2 2 .
( )2 ( )2
OG ′2 = − 23 + 32 =
(
)
et
)
La relation Ap+1 = A × Ap entraîne que :
{
x E′
y E′
1
2p+1
βp
αp
αn = 2n−1 +
1
. Donc OG ′ = OG .
2
2. (a) L'égalité
1
2n+1
(
.
et
βn = 2n−1 −
( )
)
xn
n 2
=A
.
yn
2
se traduit par :
{
Partie B
1. Il suffit d'écrire avant le FIN POUR : afficher x , afficher y
=
=
2αn + 2βn
2βn + 2αn
On a quel que soit le naturel n , x n = y n .
2. Il semble que les cordonnées sont de plus en plus grandes tout en se rapprochant (les points
images sont de plus en plus proches de la droite y = x .)
(b) OE 2n = x n2 + y n2 = 2x n2 ;
(
)
Avec x n = 2αn + 2βn = 2 αn + βn et αn + βn = 2n , on obtient
OE 2n = 2 × 4 (2n )2 = 22n+3 .
Partie C
(
1. Initialisation : pour n = 1 , on a bien A1 =
xn
yn
5
4
3
4
3
4
5
4
Or lim 22n+3 = +∞ , donc lim OEn = +∞ .
n→+∞
)
et :
α1 = 20 + 212 et β1 = 20 − 212 .
Page 30
n→+∞
1
.
2n+1
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
(b) Le nombre 1 + 2p + + (2p )2 + (2p )3 + · · · (2p )q−1 est entier et, d'après la question précédente,
)
1 + 2p + + (2p )2 + (2p )3 + · · · (2p )q−1 × (2p − 1) = 2pq − 1 donc 2pq − 1 est divisible par 2p − 1 .
6
Asie 2014
. énoncé
Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
(
1. On suppose qu'il existe un nombre fini de nombres premiers notés p 1 , p 2 , . . . , p n . On considère
le nombre E produit de tous les nombres premiers augmenté de 1 : E = p 1 × p 2 × · · · × p n + 1 .
(c) Soit k un nombre non premier ; alors il existe deux entiers strictement plus grands que 1 tels
que k = pq .
Le nombre 2 est premier donc il est dans la liste {p 1 , p 2 , . . . , p n } donc le produit de ces nombres
premiers est supérieur ou égal à 2 et donc E est supérieur ou égal à 2.
Soit i un entier de l'intervalle [1 ; n] .
Le reste de la division de E par p i est 1 ; donc E n'est pas divisible par p i . Comme p i est un
nombre premier, et que E n'est pas divisible par p i , alors E et p i sont premiers entre eux.
Donc E est premier avec chacun des nombres p 1 , p 2 , …, p n .
Mk = 2k −1 = 2pq −1 est divisible par 2p −1 qui est strictement plus grand que 1 : donc Mk n'est
pas premier.
3. (a) M11 = 211 − 1 = 2 047 = 23 × 89 donc M11 n'est pas premier.
(b) La conjecture de la question 1.b. est donc fausse : 11 et premier et M11 ne l'est pas.
Soit (un ) la suite définie sur
2. Tout nombre supérieur à 1 admet au moins un diviseur premier, donc E admet un diviseur premier. Ce diviseur premier ne peut être ni p 1 , ni p 2 , ni …, ni p n ; donc il existe un autre nombre
premier qui n'est ni p 1 , ni p 2 , ni …, ni p n , ce qui contredit l'hypothèse faite au départ.
Il existe donc une infinité de nombres premiers.
N par :
{
u0 = 4
u n+1 = u n2 − 2
pour tout entier naturel n
1. D'après le test de Lucas-Lehmer, M5 est premier si et seulement si u 3 ≡ 0 modulo M5 .
M5 = 31 ; u 0 = 4 ; u 1 = u 02 − 2 = 14 ; u 2 = u 12 − 2 = 194 ; u 3 = u 22 − 2 = 37 634 = 31 × 1 214
Donc u3 est divisible par M5 donc le test de Lucas-Lehmer est vérifié pour k = 5 .
Pour tout entier naturel k ⩾ 2 , on pose Mk = 2k − 1 . On dit que Mk est le k -ième nombre de
Mersenne.
2. L'algorithme suivant permet de vérifier si le nombre de Mersenne Mn est premier, en utilisant
le test de Lucas-Lehmer :
1. (a) On calcule Mk pour quelques valeurs de k :
k
Mk
2
3
3
7
4
15
5
31
6
63
7
127
8
255
9
511
Variables :
Initialisation :
Traitement :
10
1023
(b) Pour k = 2 premier, M2 = 3 est premier. Pour k = 3 premier, M3 = 7 est premier. Pour
k = 5 premier, M5 = 31 est premier. Pour k = 7 premier, M7 = 127 est premier.
D'après ce tableau, on peut conjecturer que si k est premier, alors Mk est premier.
2. Soient p et q deux entiers naturels non nuls.
(a) 1 + 2p + + (2p )2 + (2p )3 + · · · (2p )q−1 est la somme des q premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de raison 2P ; cette somme est égale à :
premier terme ×
1 − raisonnombre de termes
1 − (2p )q (2p )q − 1
= 1×
= p
1 − raison
1 − 2p
2 −1
Page 31
u , M, n et i sont des entiers naturels
u prend la valeur 4
Demander un entier n ⩾ 3
M prend la valeur 2n − 1
Pour i allant de 1 à n − 2 faire
u prend la valeur u 2 − 2
Fin Pour
Si M divise u alors afficher « M est premier »
sinon afficher « M n'est pas premier »
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
7
2. Initialisation :
Centres Étrangers 2013
. énoncé
Candidats ayant choisi la spécialité mathématique
(
Affecter à i la valeur i + 1
)
0, 3
= M . La propriété est vraie au rang 1 .
0, 7
(
)
0, 6 + 0, 4 × 0, 5p 0, 6 − 0, 6 × 0, 5p
p
Hérédité : on suppose que pour p ∈ , on a M =
.
0, 4 − 0, 4 × 0, 5p 0, 4 + 0, 6 × 0, 5p
(
) (
)
0, 8 0, 3
0, 6 + 0, 4 × 0, 5p 0, 6 − 0, 6 × 0, 5p
p+1
p
.
Alors M
= M×M =
×
0, 4 − 0, 4 × 0, 5p 0, 4 + 0, 6 × 0, 5p
0, 2 0, 7
Afficher i
Le premier coefficient de cette matrice est :
Affecter à c la valeur (0, 8a + 0, 3b)
0, 8 × (0, 6 + 0, 4 × 0, 5p ) + 0, 3 × (0, 4 − 0, 4 × 0, 5p ) = 0, 48 + 0, 32 × 0, 5p + 0, 12 − 0, 2 × 0, 5p =
Afficher c
0, 6 + 0, 2 × 0, 5p = 0, 6 + (0, 4 × 0, 5) × 0, 5p = 0, 6 + 0, 4 × 0, 5p+1 .
Affecter à b la valeur (0, 2a + 0, 7b)
On démontrerait de la même façon que :
0, 6 + 0, 4 × 0, 51
M =
0, 4 − 0, 4 × 0, 51
1
Partie A - Algorithmique et conjectures
) (
0, 6 − 0, 6 × 0, 51
0, 8
=
0, 4 + 0, 6 × 0, 51
0, 2
N
1. Tant que i < n faire
Afficher b
M
Affecter à a la valeur c
p+1
(
0, 6 + 0, 4 × 0, 5p+1
=
0, 4 − 0, 4 × 0, 5p+1
)
0, 6 − 0, 6 × 0, 5p+1
.
0, 4 + 0, 6 × 0, 5p+1
La propriété est donc vraie au rang p +1 : elle est donc vraie quel que soit le naturel n ∈
Fin du Tant que
N, n ⩾ 1 .
3. Exprimer an en fonction de n , pour tout entier naturel n ⩾ 1 .
2. Au vu de ces résultats, la suite (an ) semble décroître vers 18 et la suite (bn ) semble croître
vers 12.
Partie B - Étude mathématique
1. an et bn étant les nombres respectifs d'oiseaux présents sur les îles A et B au début de l'année
203 + n , on a l'année suivante :
sur l'île A, 80 % des oiseaux de l'île A de l'année précédente et et 30 % des oiseaux de l'île B de
l'année précédente, soit :
a n+1 = 0, 8a n + 0, 3b n ,
sur l'île B, 20 % des oiseaux de l'île A de l'année précédente et et 70 % des oiseaux de l'île B de
l'année précédente, soit :
N, n ⩾ 1,
Un = Mn U0 soit :
)( )
an
0, 6 + 0, 4 × 0, 5n 0, 6 − 0, 6 × 0, 5n a 0
=
= 10
bn
0, 4 − 0, 4 × 0, 5n 0, 4 + 0, 6 × 0, 5n b 0
( ) (
)
an
20 (0, 6 + 0, 4 × 0, 5n ) + 10 (0, 6 − 0, 6 × 0, 5n )
.
=
bn
20 (0, 4 − 0, 4 × 0, 5n ) + 10 (0, 4 + 0, 6 × 0, 5n )
4. On admet donc que pour n ∈
(
)
(
Finalement quel que soit n ∈
N, n ⩾ 1 :
a n = 20 (0, 6 + 0, 4 × 0, 5n ) + 10 (0, 6 − 0, 6 × 0, 5n ) = 12 + 8 × 0, 5n + 6 − 6 × 0, 5n = 18 + 2 × 0, 5n .
Comme −1 < 0, 5 < 1 , on sait que lim 0, 5n = 0 . Il s'ensuit que lim 2 × 0, 5n = 0 et donc que
n→+∞
n→+∞
lim a n = 18 .
n→+∞
Au bout de quelques années la population sur l'île A va se rapprocher de 18 millions (au bout de
10 ans : ≈ 18, 002 )
b n+1 = 0, 2a n + 0, 7b n .
(
)
0, 8 0, 3
Donc avec M =
, on a bien Un+1 = MUn .
0, 2 0, 7
Page 32
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
8
. énoncé
Liban 2013
1. u 2 = 5u 1 − 6u 0 = 40 − 18 = 22
u 3 = 5u 2 − 6u 1 = 110 − 48 = 62
2. (a) « b prend la valeur 5a − 6c »
(b) La suite semble être croissante.
(
3. A =
5
1
−6
0
)
Prouvons par récurrence que Cn = An C0 .
C'est vrai pour n = 0 , car A0 est la matrice identité.
Supposons que Cn = An C0 , alors
Cn+1 = ACn = A(An C0 ) = A × An C0 = An+1 C0
En conclusion, pour tout entier naturel n , on a
(
4. QP =
−1
1
3
−2
) (
2
1
3
1
)
(
=
Cn = An C0
−2 + 3
2−2
−3 + 3
3−2
)
(
=
1
0
0
1
)
5. C'est trivialement vrai pour n = 1 .
Supposons que An = PDn Q , alors :
An+1 = An × A = PDn Q(PDQ) = PDn (QP)DQ = PDn DQ = PDn+1 Q
En conclusion, pour tout entier naturel n , non nul on a
An = PDn Q.
6. Puisque Cn = An C0 , on obtiendra u n comme la somme :
u n = 8(−2n + 3n ) + 3(3 × 2n − 2 × 3n ) = −8 × 2n + 8 × 3n + 9 × 2n − 6 × 3n = 2n + 2 × 3n .
Les deux suites de terme général 2n et 3n ayant pour limite +∞ , il en résulte que la suite (u n )
n'a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu'elle diverge vers +∞ ).
Page 33
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
9
Liban 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
(b) (bn ) est la somme de deux suites géométriques de raisons comprises entre 0 et 1 qui
convergent vers 0, il en est donc de même de (bn ) .
1. Calculer a1 = 0,95 , b1 = 0,05 et c 1 = 0 .
2. (a) 95% des individus restent sains d'un jour au jour suivant d'où
Variables
:
Initialisation
:
Traitement
:
a n+1 = 0,95a n
(b) Au jour n + 1 , 5% des individus sains ( an ) deviennent malades (soit 0,05an ) et 80% des
individus malades bn le reste ( 0,8bn ), d'où
b n+1 = 0,05a n + 0,8b n
3. (a) Pour tout entier naturel n ,

0,95

A × Un = 0,05
0
0
0,8
0,2
   

0
an
0,95a n
   

0 × b n  = 0,05a n + 0,08b n  = Un+1
1
cn
0,2b n + c n


1 0 0


(b) C'est vrai pour n = 0 car D0 = 0 1 0
0 0 1


n
0,95
0
0


Supposons que Dn =  0
0,8n 0 alors :
0
0
1
 

0,95 0 0
0,95n
 

n+1
n
D
= D×D =  0
0,8 0 ×  0
0
0 1
0
(c)
Sortie
0
0,8n
0
4. (a) Un = An × U0 , Soit

0,95n
an

1
  
(0,95n − 0,8n )
b n  = 
1 3
cn
(3 − 4 × 0,95n + 0,8n )
3
0
 
0
0,95n+1
 
0 =  0
1
0
0
0,8n+1
0

0

0
1
1 − 0,8
n



 
0,95n
1



1

  
0
(0,95n − 0,8n )

 ×  0 = 
3


1
0
n
n
1
(3 − 4 × 0,95 + 0,8 )
3
0
0,8n
Fin Tant que
Afficher k
7
b
0,162 8
x
0,663 4
y
0,167 8
b′
0,165 2
8
0,165 2
0,630 2
0,134 2
0,165 3
V
9
0,165 3
0,598 7
0,107 3
0,163 7
F
k
Après le 7 passage
dans la boucle Tant que
Après le 8e passage éventuel
dans la boucle Tant que
Après le 9e passage éventuel
dans la boucle Tant que
Par récurrence, cela sera vrai pour tout entier naturel n .

:
b, b ′ , x, y sont des réels
k est un entier naturel
Affecter à b la valeur 0
Affecter à b ′ la valeur 0,05
Affecter à k la valeur 0
Affecter à x la valeur 0,95
Affecter à y la valeur 0,8
Tant que b < b ′ faire :
| Affecter à k la valeur k + 1
| Affecter à b la valeur b ′
| Affecter à x la valeur 0,95x
| Affecter à y la valeur 0,80y
1
| Affecter à b ′ la valeur (x − y)
3
e
C'est donc vrai au rang n + 1

)
1(
0,95n − 0,8n
3
bn =
Pour chaque ligne du tableau, b désigne bk et b ′ désigne bk+1 ; on a donc :
k
bk
7
8
9
10
0,162 8
0,165 2
0,165 3
0,163 7
Le rang du jour où le pic épidémique est atteint est donc le 9.
d'où
Page 34
Test : b < b ′ ?
V
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
10
Métropole 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
1. Au bout d'un an, puisque le bassin B contenait 100 poissons (car b0 = 100 ), la vente de ces
poissons permettra d'en acheter un nombre deux fois plus élevé à mettre dans le bassin A, soit 200.
A cela, il faut ajouter les 200 poissons que le pisciculteur achète de toutes façons pour le bassin A.
Cela confirme bien a1 = 200 + 200 = 400 .
Pour le bassin B, on va commencer par y transférer les 200 poissons qui étaient dans le bassin A
(car a0 = 200 ), auxquels on ajoute les 100 poissons supplémentaires que le pisciculteur achète
pour le bassin B, cela confirme bien : b1 = 200 + 100 = 300 .
On aura ensuite a2 = 2 × b1 + 200 = 2 × 300 + 200 = 800 et, là encore de façon analogue
b 2 = a 1 + 100 = 400 + 100 = 500 .
2. (a) On généralise le raisonnement établi à la question précédente : pour tout entier naturel n ,
on a :
□
a n+1 = 2 × b n + 200 : le double du nombre de poissons dans le bassin B l'année précédente,
auxquels on ajoute 200 poissons.
□
b n+1 = a n +100 : les poissons transférés du bassin A l'année précédente, auxquels on ajoute
100 poissons.
(
On calcule le produit matriciel AXn :
On a donc (la somme
) (: )
(
0
1
×
2
1
)
)
an
b
( n )
2b n
=
an
.
( )
( )
( )
x
x
x
=A
+ B ⇐⇒ C
=B
y
y
y
( )
x
⇐⇒
= C−1 × B
y
Calculons le produit C−1 × B : (
On a donc S = C
−1
×
−1
−1
−2
−1
)
(
)
(
200
100
−200 − 200
=
−200 − 100
)
(
)
−400
×B =
, donc les nombres x et y sont respectivement −400 et −300 .
−300
(
)
a n + 400
(c) Pour tout entier naturel n , en posant Yn =
, on pose en fait Yn = X n − S , où S
b n + 300
est la matrice déterminée à la question précédente, solution de l'équation AX + B = X , donc telle
que AS + B = S , ou bien AS = S − B . On a donc, pour n entier naturel :
AYn = A × (X n − S)
= AX n − AS
= AX n − (S − B) car S est solution de l'équation AX + B = X .
= AX n + B − S
= X n+1 − S
d'après la relation de récurrence du 2. a.
= Yn+1
d'après la définition de la matrice Yn .
On a donc démontré que, pour tout entier naturel n , Yn+1 = AYn .
3. (a) Soit n un entier naturel. On a :
(
) (
)
2b n
200
2b n + 200
a n+1
AX n + B =
+
=
=
= X n+1 .
an
100
a n + 100
b n+1
( )
( )
( )
( )
x
x
x
x
(b) On a :
=A
+ B ⇐⇒
−A
=B
y
y
y
y
( )
x
⇐⇒ (I2 − A) ×
=B
y
(
)
(
)
1 0
1 −2
Où la matrice I2 est
et donc C = (I2 − A) =
est une matrice de déterminant
0 1
−1 1
(
)
−1 −2
−1
non nul (le déterminant vaut −1 ), donc elle est inversible et C =
. On a donc :
−1 −1
Z n+1 = Y2×(n+1) = Y2n+2 = AY2n+1( = A ×)(AY2n ) = A2 Y2n = A2 Z n .
0 2
×
1 0
)
(
)
Or, on calcule A2 : (
0 2
2 0
=
1 0
0 2
On a donc A2 = 2I2 et donc Zn+1 = A2 Zn = 2I2 Zn = 2Z n , ce qu'il fallait démontrer.
(b) On admet que pout tout entier n on a Y2n = 2n Y0 . En multipliant à gauche par la matrice A ,
cette égalité devient : AY2n = 2n AY0 et, en utilisant la relation de récurrence établie à la question
2. c., cela donne bien : Y2n+1 = 2n Y1 .
n
On
( en déduit
) donc,
( en utilisant
) (Y2n = 2 Y
)0 , que pour tout entier n , on a :
Page 35
a 2n + 400
a 0 + 400
600 × 2n
= 2n
=
, donc en particulier :
b 2n + 300
b 0 + 300
400 × 2n
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
a 2n + 400 = 600 × 2n , soit a 2n = 600 × 2n − 400 .
n
Puis,
en utilisant
(
) Y2n+1
( = 2 Y)1 , que
( pour tout
) entier n , on a :
n
a 2n+1 + 400
a 1 + 400
800 × 2
= 2n
=
, donc en particulier :
b 2n+1 + 300
b 1 + 300
600 × 2n
a 2n+1 + 400 = 800 × 2n , soit a 2n = 800 × 2n − 400 .
4. (a) L'algorithme suivant demande un entier p à l'utilisateur, et renvoie dans la variable a qui
sera affichée le nombre de poissons dans le bassin A au bout de p années. En effet :
□
□
Cet algorithme initialise les variables a à a0 et p à 0. Après chaque itération de la boucle "Tant
que", p aura été incrémenté de 1, et la variable a aura été recalculée de sorte qu'elle contient la
valeur a p , donc après n itérations, p contient la valeur n et a contient an .
On sort de la boucle "Tant que" dès que la valeur dans a est strictement supérieur à 10 000 , c'est à
dire le nombre de poissons pour la première année où le bassin A ne suffira plus, nombre d'années
qui est contenu dans la variable p , donc le nombre d'années où le bassin A suffit est un de moins
que ce qui est contenu dans la variable p , d'où la dernière affectation de p avant la sortie de
l'algorithme.
p
si p est un nombre pair, alors on affecte à n la valeur
, qui sera donc entière et on a
2
p = 2n . On affecte à a la valeur qui est le résultat de la formule pour a 2n , c'est à dire
a p , formule établie à la question précédente. Donc si p est pair, à la fin de l'algorithme, a
contient le nombre de poissons au bout de p années.
On peut aussi proposer un algorithme un peu plus raffiné : chaque itération de la boucle "Tant que"
nous fera passer deux ans au dessus :
Variables :
Initialisation :
p −1
si p est un nombre impair, alors p − 1 est pair et n est l'entier
et donc 2n = p − 1 ,
2
soit p = 2n +1 . Et comme on affecte à a la valeur obtenue en appliquant la formule obtenue
à la question précédente pour calculer a2n+1 , à nouveau, la valeur renvoyée sera a p .
Traitement :
a, p et n sont des entiers naturels.
Affecter à a la valeur 400
Affecter à p la valeur 1.
Tant que a ⩽ 10 000 :
p +1
2
Affecter à a la valeur 600 × 2n − 400.
Si a ⩽ 10 000 :
Affecter à p la valeur p + 1
p
Affecter à n la valeur
2
Affecter à a la valeur 800 × 2n − 400.
Si a ⩽ 10 000 :
Affecter à p la valeur p + 1
Affecter à n la valeur
(b) On peut modifier de façon assez basique l'algorithme présenté précédemment pour l'inclure
dans une boucle :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
a, p et n sont des entiers naturels.
Affecter à a la valeur 200
Affecter à p la valeur 0.
Tant que a ⩽ 10 000 :
Affecter à p la valeur p + 1
Si p est pair
p
Affecter à n la valeur
2
Affecter à a la valeur 600 × 2n − 400.
Sortie :
Fin de Si
Fin de Si
Fin de Tant que
Afficher p .
Sinon
p −1
2
Affecter à a la valeur 800 × 2n − 400.
Affecter à n la valeur
Sortie :
Fin de Si.
Fin de Tant que
Affecter à p la valeur p − 1
Afficher p .
Ici, on initialise a avec la valeur a1 et p avec 1. Du coup, on entre dans la boucle "Tant que" avec
une valeur p impaire. On commence par calculer a p+1 avec la formule utilisée pour les indices
pairs ( p impair implique p + 1 pair). a contient donc la valeur a p+1 .
Si cette valeur reste inférieure à 10 000 alors, cela veut dire que l'année p + 1 reste valable pour
le bassin A, donc on affecte cette valeur p + 1 à la variable p , qui est maintenant paire. On a à ce
moment là a qui contient la valeur a p .
Page 36
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
A ce moment, on va calculer a p+1 avec la formule utilisée pour les indices impairs ( p pair implique p + 1 pair). a contient donc la valeur a p+1 .
Si cette valeur reste inférieure à 10 000 alors, cela veut dire que l'année p + 1 reste valable pour
le bassin A, donc on affecte cette valeur p + 1 à la variable p , qui est redevient impaire. On a à
ce moment là a qui contient la valeur a p .
On termine l'itération de la boucle avec une valeur à nouveau impaire. Après n itérations de la
boucle, si les deux "Si" sont appliqués, on a p contenant la valeur 2n + 1 et a contenant a p .
Par contre, quand l'un ou l'autre des "Si" n'est pas appliqué, cela signifie que la variable a , calculée
et contenant la valeur a p+1 ne permet plus d'utiliser le bassin A, donc la dernière année valable
pour le bassin A est bien p , et donc c'est pour cela que l'on incrémente pas la valeur de p .
Le fait que l'un des "Si" ne soit pas appliqué va aussi provoquer la sortie de la boucle "Tant que"
(puisque le test est le même), et donc la valeur contenue dans p est bien la dernière pour laquelle
le bassin A peut contenir a p poissons.
Page 37
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E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
11
(E)
Nouvelle Calédonie 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
On considère l'algorithme suivant, où A et B sont des entiers naturels tels que A < B :
221 × x − 331 × y = 1
221 × 3 − 331 × 2 = 1
221(x − 3) − 331(y − 2) = 0
par soustraction
Donc 221(x − 3) = 331(y − 2) et donc 221 divise 331(y − 2) . Or on sait que 221 et 331 sont
premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, 221 divise y − 2 .
Z et donc que y = 2 + 221k .
Entrées :
A et B entiers naturels tels que A < B
On peut donc dire que y − 2 = 221k où k ∈
Variables :
D est un entier
De 221(x − 3) = 331(y − 2) on déduit 221(x − 3) = 331 × 221k ce qui équivaut à x − 3 = 331k ;
donc x = 3 + 331k .
Les variables d'entrées A et B
Traitement :
Sortie :
L'ensemble solution de l'équation (E) est
Affecter à D la valeur de B − A
Tant que D > 0
B prend la valeur de A
A prend la valeur de D
Si B > A Alors
D prend la valeur de B − A
Sinon
D prend la valeur de A − B
Fin Si
Fin Tant que
{(
)}
3 + 331k ; 2 + 221k k∈Z
3. On considère les suites d'entiers naturels (u n ) et (v n ) définies pour tout entier naturel n par
{
u n = 2 + 221n et
v0 = 3
v n+1 = v n + 331
(a) La suite (v n ) est arithmétique de raison r = 331 et de premier terme v 0 = 3 ; donc, pour
tout entier naturel n , v n = v 0 + n × r = 3 + 331n .
(b) u p = v q ⇐⇒ 2 + 221p = 3 + 331q ⇐⇒ 221p − 331q = 1
D'après les questions précédentes, on a : (p , q) = (3 + 331k , 2 + 221k)k∈Z
}
{
}
{
}
0 ⩽ p ⩽ 500 ⇐⇒ 0 ⩽ 3 + 331k ⩽ 500 =⇒ k ∈ 0 , 1
{
} =⇒ k ∈ 0 , 1
0 ⩽ q ⩽ 500 ⇐⇒ 0 ⩽ 2 + 221k ⩽ 500 =⇒ k ∈ 0 , 1 , 2
Afficher A
Pour k = 0 , (p , q) = (3 , 2) donc u 3 = v 2 = 665 .
1. On entre A = 12 et B = 14 . On remplit le tableau donné en annexe ; voir page ??.
Pour k = 1 , (p , q) = (334 , 223) donc u 334 = v 223 = 73 816 .
La valeur affichée par l'algorithme est 2.
2. Cet algorithme calcule la valeur du PGCD des nombres A et B .
En entrant A = 221 et B = 331 , l'algorithme affiche la valeur 1.
(a) On a fait tourner l'algorithme pour A = 221 et B = 331 donc le PGCD de 221 et 331 est 1 ;
ces deux nombres sont donc premiers entre eux.
D'après le théorème de Bézout, on peut dire qu'il existe des entiers relatifs x et y tels que
221x − 331y = 1 (équation (E)).
(b) 221 × 3 − 331 × 2 = 663 − 662 = 1 donc le couple (3 ; 2) est une solution de (E).
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Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Annexe de l'exercice 4 -- Spécialité
réservé aux candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
A
B
D
12
14
2
2
12
10
10
2
8
8
10
2
2
8
6
6
2
4
4
6
2
2
4
2
2
2
0
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TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
12
Le spectateur est donc né un 29 mai.
Polynésie 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
2. Deuxième méthode :
1. Une personne née le 1er août, le programme de calcul (A) donne le nombre 308 :
□
Numéro du jour de naissance multiplié par 12 : j = 1 × 12 = 12 ;
□
Numéro du mois de naissance multiplié par 37 : m = 8 × 37 = 296 ;
□
m + j = 308 .
(a) 12a ≡ 0 [12] pour tout a entier, donc
z = 12 j + 31m ≡ 31m = (2 × 12 + 7)m = 12 × 2m + 7m ≡ 7m [12]
7m et z ont donc le même reste dans la division euclidienne par 12.
2. (a) Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son
mois de naissance et z le résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (A).
(b) Pour m variant de 1 à 12, reste de la division euclidienne de 7m par 12 :
z = 12 j + 37m, or 12 j ≡ 0 [12], donc z = 12 j + 37m ≡ 37m [12]
m
(b) Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A) :
{
z = 474 = 39 × 12 + 6
=⇒ z = (3 × 12 + 1)m ≡ 6 [12] =⇒ m ≡ 6 [12], le mois est donc juin
z ≡ 37m [12]
reste
1
7
2
2
3
9
4
4
5
11
6
6
7
1
8
8
9
3
10
10
11
5
12
0
On remarque qu'à chacun des 12 restes possibles correspond un seul mois.
z = 474 = 12 j + 37 × 6 =⇒ 12 j = 474 − 37 × 6 = 252 = 21 × 12 =⇒ j = 21
(c) Date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de
calcul (B) :
Le spectateur est donc né un 21 juin.
{
Le magicien décide de changer son programme de calcul. Pour un spectateur dont le numéro du
jour de naissance est j et le numéro du mois de naissance est m , le magicien demande de calculer
le nombre z défini par z = 12 j + 31m .
1. Première méthode :
z = 503 = 41 × 12 + 11
=⇒ 7m ≡ 11 [12] =⇒ m = 5, le mois est donc mai
z ≡ 7m [12]
z = 503 = 12 j + 31 × 5 =⇒ 12 j = 503 − 31 × 5 = 29 × 12 =⇒ j = 29
Le spectateur est donc né un 29 mai.
Algorithme modifié (AlgoBox) pour qu'il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que
12 j + 31m = 503 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
VARIABLES
j EST_DU_TYPE NOMBRE
m EST_DU_TYPE NOMBRE
z EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
POUR m ALLANT_DE 1 A 12
DEBUT_POUR
POUR j ALLANT_DE 1 A 31
DEBUT_POUR
z PREND_LA_VALEUR 12*j+31*m
SI (z==503) ALORS
DEBUT_SI
3. Troisième méthode :
13
14
15
16
17
18
19
20
AFFICHER
AFFICHER
AFFICHER
AFFICHER
FIN_SI
FIN_POUR
FIN_POUR
FIN_ALGORITHME
j
"\ "
m
"; "
***Algorithme lancé***
29\ 5;
***Algorithme terminé***
(a) Le couple (−2 ; 17) est solution de l'équation 12x + 31y = 503 :
12 × (−2) + 31 × (17) = 503
(b) Un couple d'entiers relatifs (x ; y) est solution de l'équation 12x + 31y = 503 :
{
12x + 31y = 503
12 × (−2) + 31 × (17) = 503
L1
=⇒ 12(x+2)+31(y−17) = 0 (L1 −L2 ) ⇐⇒ 12(x+2) = 31(17−y) (E)
L2
(c) Résolution de l'équation 12x + 31y = 503 :
Page 40
TS-spe
□
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Partie directe :
{
12x + 31y = 503 =⇒
12(x + 2) = 31(17 − y) G
=⇒ 31 divise x + 2
pgcd(12; 31) = 1
Ainsi, il existe un entier relatif k vérifiant x + 2 = 31k ⇐⇒ x = −2 + 31k .
En remplaçant dans (E) , on obtient :
{
□
12(x + 2) = 31(17 − y)
3
1(17 − y) ⇐⇒ 12k = 17 − y ⇐⇒ y = 17 − 12k
3
1k = =⇒ 12 ×
x + 2 = 31k
Réciproque : pour tout k de
Z , on a :
−
= 503
12(−2 + 31k) + 31(17 − 12k) = 12 × (−2) + 31 × (17) +
12
× 31k
12
× 31k
|
{z
}
503
□
Pour tout k de
Z , le couple (x; y) = (−2 + 31k; 17 − 12k) est solution de 12x + 31y = 503 .
(d) Il existe un unique couple d'entiers relatifs (x ; y) tel que 1 ⩽ y ⩽ 12 :
1 ⩽ y ⩽ 12 ⇐⇒ 1 ⩽ 17 − 12k ⩽ 12 ⇐⇒ −16 ⩽ −12k ⩽ −5 ⇐⇒ 5 ⩽ 12k ⩽ 16 ⇐⇒
5
16
⩽k ⩽
12
12
5
16
≃ 0,416 6 et
≃ 1,333 3 .
12
12
L'unique couple recherché est donc : (−2 + 31 × 1; 17 − 12 × 1) = (29; 5)
Ainsi k = 1 est l'unique entier compris entre
Le spectateur est donc né un 29 mai.
Page 41
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
13
(b) Le mois de janvier correspond à n = 0 , donc le mois d'avril correspond à n = 3 .
Pondichéry 2014
. énoncé
Candidats ayant suivi la spécialité
(
1. (a) D'après le texte, les acheteurs de la marque X le mois n + 1 sont formés de 50 % des
acheteurs de X le mois n donc 0, 5x n , de 50 % des acheteurs de Y le mois n donc 0, 5y n , et de
10 % des acheteurs de Z le mois n donc 0, 1z n ; on a donc x n+1 = 0, 5x n + 0, 5y n + 0, 1z n .
On admet que : y n+1 = 0, 4x n + 0, 3y n + 0, 2z n et que z n+1 = 0, 1x n + 0, 2y n + 0, 7z n .
x n+1 = 0, 5x n + 0, 5y n + 0, 1z n = 0, 5x n + 0, 5y n + 0, 1(1 − x n − y n )
)
( )
0, 4
0, 1
et B =
.
0, 1
0, 2
( )
0, 5
Au début de l'étude statistique (mois de janvier 2014 : n = 0 ), on estime que U0 =
.
0, 3
(a) En faisant tourner l'algorithme donné dans le texte, pour n = 1 on entre une fois dans la
boucle
; on va donc appliquer une fois l'instruction « U prend la valeur A × U + B ».
U2 = A × U1 + B =
(
0, 4
0, 2
0, 4
U3 = A × U2 + B =
0, 2
L'affichage obtenu pour
23 23


  
45 20
45 20
1
( )






0,
1
23 23 
 23 23   10 
N × C = B ⇐⇒ C = N−1 × B ⇐⇒ C = 
 10 30  × 0, 2 ⇐⇒ C =  10 30  ×  2  ⇐⇒
23 23
23 23
10






 
45
1
20
2
45
40
85
17
 23 × 10 + 23 × 10 
 230 + 230 
 230 
 46 
 ⇐⇒ C = 
 ⇐⇒ C = 

 
C=
 10
 10
 70  ⇐⇒ C =  7 
1
30
2
60 
×
+
×
+
23 10 23 10
230 230
230
23

0, 4
On admet que, pour tout entier naturel n, Un+1 = A × Un + B où A =
0, 2
) (
) ( ) (
)
0, 4
0, 42
0, 1
0, 4
×
+
=
puis
0, 1
0, 33
0, 2
0, 317
) (
) ( ) (
)
0, 4
0, 4
0, 1
0,386 8
×
+
=
0, 1
0, 317
0, 2
0,311 7
(
)
0,386 8
n = 3 est
.
0,311 7
0
et N la matrice I − A .
1
C = A × C + B ⇐⇒ I × C − A × C = B ⇐⇒ (I − A) × C = B ⇐⇒ N × C = B


45 20
 23 23 

(b) On admet que N est une matrice inversible et que N−1 = 
 10 30  .
= 0, 4x n + 0, 3y n + 0, 2 − 0, 2x n − 0, 2y n = 0, 2x n + 0, 1y n + 0, 2
( )
xn
2. On définit la suite (Un ) par Un =
pour tout entier naturel n .
yn
(
(
1
0
(a) I est la matrice unité d'ordre 2 donc I × C = C .
y n+1 = 0, 4x n + 0, 3y n + 0, 2z n = 0, 4x n + 0, 3y n + 0, 2(1 − x n − y n )
Pour n = 3 , l'algorithme calcule successivement U1 puis
Dans la suite de l'exercice,
on
(
) cherche à déterminer une expression de Un en fonction de n .
3. On désigne par C une matrice colonne à deux lignes.
= 0, 5x n + 0, 5y n + 0, 1 − 0, 1x n − 0, 1y n = 0, 4x n + 0, 4y n + 0, 1
)
0, 5
La valeur de U en entrée de boucle est U0 =
, donc la valeur affichée en sortie est :
0, 3
(
) ( ) ( ) (
)
0, 4 0, 4
0, 5
0, 1
0, 42
U1 = A × U0 + B =
×
+
=
0, 2 0, 1
0, 3
0, 2
0, 33
Donc la probabilité d'utiliser la marque X au mois d'avril est x 3 = 0,386 8 .
On note I la matrice
(b) D'après le texte, on peut dire que pour tout n , x n + y n + z n = 1 donc z n = 1 − x n − y n .
(
) (
)
x3
0,386 8
La matrice U3 est la matrice
=
y3
0,311 7
4. On note Vn la matrice telle que Vn = Un − C pour tout entier naturel n .
(a) Vn+1 = Un+1 − C = A × Un + B − C ; or la matrice C est définie par C = A × C + B .
Donc Vn+1 = A × Un + B − A × C − B = A × (Un − C) = A × Vn
(b) On admet que Un = An × (U0 − C) + C .
Remarque : ce résultat s'obtient en partant de l'égalité Vn+1 = A × Vn ; on pourrait démontrer par récurrence que, pour tout n , Vn = An × V0 ce qui équivaut à Un − C =
An × (U0 − C) ou encore Un = An × (U0 − C) + C.
Le mois de janvier correspond à n = 0 donc le mois de mai correspond à n = 4 . Les probabilités
d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont respectivement x 4 , y 4 et z 4 .
Page 42
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
On cherche donc U4 qui donnera x 4 et y 4 ; puis on calculera z 4 = 1 − x 4 − y 4 .
(
0,379 4
À la calculatrice, on trouve : U4 = A × (U0 − C) + C =
0,308 53
)
4
De plus, 1 − 0,379 4 − 0,308 53 = 0,312 07 .
Donc les probabilités d'utiliser les marques X, Y et Z au mois de mai sont respectivement
x 4 = 0,379 4 , y 4 = 0,308 53 et z 4 = 0,312 07 .
Page 43
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
14
. énoncé
Pondichéry 2015
1. Si b divise a alors il existe k ∈
il existe k ′ ∈ tel que a = k ′ c .
Z
□
24 ≡ 1 (5)
Z tel que a = kb. De la même manière, si c divise a , alors
□
□
□
(b) 4 divise 233 donc 233 ≡ 0 (4) . On en déduit alors 233 − 1 ≡ −1 (4) puis 233 − 1 ≡ 3 (4) .
2 ≡ −1 (3)
=⇒
=⇒
=⇒
=⇒
Si n = 7 , 27 − 1 = 127 est premier et
« CAS 1 ».
p
127 ≈ 11,27 donc l'algorithme va afficher 12 puis
(c) « CAS 1 » signifie que le nombre de Mersenne étudié est premier.
233 ≡ (−1)33 (3)
233 ≡ −1 (3)
233 − 1 ≡ −2 (3)
233 − 1 ≡ 1 (3)
On en conclut que 3 ne divise pas 233 − 1.
(d)
( )11
( 3 )10 1 − 23
233 − 1
S = 1+2 +...+ 2
=
=
.
1 − 23
7
(e)
233 − 1 = 7 × S donc 7 divise 233 − 1.
3
□
on sait que 7 divise 233 − 1,
(b) « CAS 2 » signifie que le nombre de Mersenne étudié n'est pas premier et k est son plus petit
diviseur premier.
(c)
□
6 ne divise pas 233 − 1 car ni 2 ni 3 ne divisent 233 − 1,
l'algorithme va donc afficher 7 puis « CAS 2 ».
2. (a) 3 et 4 sont premiers entre eux. Si 3 et 4 divisent 233 −1 alors le produit 3×4 = 12 divise
233 − 1 . Or 12 ne divise pas 233 − 1 , cette affirmation contredit donc le résultat de la question 1.
4. (a)
( 4 )8
2 ≡ 18 (5)
( 4 )8
2 × 2 ≡ 2 (5)
233 − 1 ≡ 1 (5)
5 ne divise donc pas 233 − 1,
En remplaçant k ′ par k ′′ b il vient alors a = k ′′ bc ce qui nous permet de conclure que bc divise
a.
3. 27 − 1 = 127 et
premier.
=⇒
=⇒
=⇒
On a donc kb = k ′ c et par conséquent b divise k ′ c . Or b et c sont premiers entre eux, d'après
le théorème de Gauss on en déduit que b divise k ′ . Il existe donc un entier k ′′ tel que k ′ = k ′′ b .
4 ne divise donc pas 233 − 1 .
Vérifions que 5 ne divise pas 233 − 1 :
p
127 ≈ 11,27. 127 n'est pas divisible par 2, 3, 5, 7 et 11 donc 127 est
Si n = 33 ,
on sait que 233 − 1 n'est pas pair donc 2 ne divise pas 233 − 1 ,
□
3 ne divise pas 233 − 1 d'après 2.(c),
□
4 ne divise pas 233 − 1 d'après 2.(b),
Page 44
TS-spe
E
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
15
Il n'y a donc que trois couples vérifiant les conditions demandées :
Antilles 2016
. énoncé
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
(−2, 5)
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
et
(1, 2)
(4, 9).
Partie B
1. L'algorithme complété est le suivant :
Variables :
1. (a) Soit n ∈
3
×
8
7x − 3y = 7 × 1 − 3 × 2
⇐⇒
7(x − 1) = 3(y − 2)
(
P
−1
MP
=
=
(b) On a, pour tout n ∈
(c) Soit (x, y) un couple solution de (E), alors il existe k ∈
Par conséquent :
⩽
⩽
x
y
⩽
⩽
10
10
{
⇐⇒
{
⇐⇒
⇐⇒
Z tel que x = 1 + 3k et y = 2 + 7k .



=
x n+1
1
0
(
1
, D =
0
n
0
1
2n
0
)
−3
2
)
□
□
)(
− 13
2
− 15
2
3
8
)(
−2
−5
−3
−7
N , on a Mn = PDn P−1 .
Initialisation. On a M0 = I3 (où I3 est la matrice identité d'ordre 3), et PD0 P −1 = PI3 P −1 =
PP −1 = I3 . La propriété est donc vraie pour n = 0 .
Hérédité. Supposons que pour n ∈
trer que Mn+1 = PDn+1 P −1 .
On a
3
=
PDn × P −1 P × DP −1
8
7
=
PDn P −1
⩽ k
⩽ k
Mn+1
N quelconque on ait Mn = PDn P−1 , on doit alors monPDn P −1 × PDP −1
−2
−1
k ∈ {−1 ; 0 ; 1}.
ce qu'il fallait démontrer.
Page 45
)
.
=
⩽ 10
⩽ 10
N
1
2
Mn × M
⩽ 1 + 3k
⩽ 2 + 7k
 = X n+1
y n+1
=
−5
−5
⩽
⩽
N
7
−5
(c) Montrons par récurrence que, pour tout n ∈
Ainsi 3 divise (x − 1) , or 3 et 7 sont premiers entre eux, donc, par le théorème de Gauss, 3
divise x −1 . Il existe donc un entier relatif k tel que x −1 = 3k ⇐⇒ x = 1+3k . On obtient alors
7 × 3k = 3(y − 2) d'où y = 2 + 7k . Réciproquement, on vérifie aisément que les couples du type
(1 + 3k ; 2 + 7k) avec k ∈ sont bien solutions de (E).
Z
− 35
2 x n + 8y n
2. (a) On a, à l'aide de la calculatrice :
(b) Soit (x, y) un couple d'entiers relatifs, alors :
⇐⇒
=
− 13
2 x n + 3y n
Mn = Mn X 0 .
(
(x, y) solution de (E)

(b) La suite (X n ) est géométrique de raison M et de premier terme M0 , donc, pour tout n ∈
on a :
2. (a) Le couple (1, 2) est une solution particulière de (E) car 7 × 1 − 3 × 2 = 1 .
−5
−5
xn
yn
Fin
{

 
− 13
2
MX n = 
− 35
2
X est un nombre entier
Y est un nombre entier
Pour X variant de −5 à 10
Pour Y variant de −5 à 10
Si 7*X-3*Y=1 alors :
Afficher X et Y
Fin Si
Fin Pour
Fin Pour
Début :
N alors:
TS-spe
□
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
N
Conclusion. La relation est vraie au rang 0 et pour n ∈ quelconque Mn = PDn P −1 entraîne Mn+1 = PDn+1 P−1 , donc d'après le principe de récurrence, pour tout entier n , on a
Mn = PDn P −1 .
3. (a) Soit n ∈
N , alors
Xn
=
=
=
=
On a donc, pour tout n ∈
Mn X 0
( )

−14 + 215n
6 − 26n
 1

35
14
−35 + 2n 15 − 2n 2


−14 + 215n + 12 − 212n


−35 + 235n + 30 − 228n
(
)
−2 + 23n
−5 + 27n
N , xn = −2 + 23
n
)
; −5 + 27n et
)
3
7
21
21
7 −2 + n − 3 −5 + n − 1 = −14 + n + 15 − n − 1 = −15 + 15 = 0
2
2
2
2
ce qui prouve bien que An ∈ D .
4. Soit n ∈
N (, alors An)(−2 (+ 23
et y n = −5 + 27n .
n
Page 46
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
16
Partie A
. énoncé
CentresetrangersS2016-exo-5.tex
D'une part :
( )
( ) ( )
( ) (
H
x1
7
y1
5
HI −→
−→
=
−→
=
I
x2
8
y2
7
3. (a)
12A − A
)( ) (
)
( ) ( )
( )
2 7
51
r1
25
Z
=
−→
=
−→
7 8
105
r2
1
B
D'autre part :
( )
( ) ( )
( ) (
H
x1
11
y1
5
LL −→
−→
=
−→
=
I
x2
11
y2
7
2
7
)(
2
=
=
(
5
12
7
) (
2
5
−
7
7
(
5
12
7
) (
2
5×5+2×7
−
7
7×5+7×7
(
60
84
) (
24
39
−
84
84
=
21
0
0
21
=
21 × I
=
) (
)
( ) ( )
( )
11
77
r1
25
Z
=
−→
=
−→
11
154
r2
24
Y
(
Le mot HILL est chiffré par le mot ZBZY
Partie B
2
7
)(
24
63
5
7
2
7
)
5×2+2×7
7×2+7×7
)
)
)
(b) L'égalité 12A − A2 = 21I s'écrit (12I − A) × A = 21I . Par suite :
1. Puisque a et 26 sont premiers entre eux, alors, d'après le théorème de Bèzout, il existe deux
entiers u et v tels que
B = 12I − A
au + 26v = 1
(c) Supposons :
Puisque 26 ≡ 0 mod 26 , alors 26v ≡ 26 × 0 mod 26 , soit 26v ≡ 0 mod 26 .
A×X = Y
En ajoutant au à chacun des deux membres de la congruence précédente, on obtient :
au + 26v ≡ au
Multiplions chacun des deux membres de l'égalité (à gauche) par B :
mod 26
B×A×X = B×Y
soit
Puisque BA = 21I , l'égalité ci-dessus s'écrit :
au ≡ 1 mod 26
P.G.C.D (a,26)=1 =⇒ ∃u ∈
Z
21X = BY
a × u ≡ 1 mod 26
On a prouvé :
AX = Y =⇒ 21X = BY
2. (a)
u
r
0
0
1
21
2
16
3
11
4
6
5
1
Partie C
(b) L'algorithme affiche 5, qui est donc le plus petit entier u tel que a ×u ≡ 1 mod 26 . Par suite :
5 × 21 ≡ 1 mod 26
1. Puisque, par hypothèse, Y=AX, on en déduit, d'après la partie précédente :
(
12
où B est la matrice 12I − A =
0
Page 47
21X = BY
) (
0
5 2
7
−
=
12
7 7
−7
) (
−2
5
)
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
(
)
21x 1
• On a d'une part 21X =
21x 2
( ) ( ) (
) (
) ( )
r1
20
9r 1 + 16r 2
420
4
UP →
=
→
=
→
→ EN
r2
15
17r 1 + 25r 2
715
13
• D'autre part :
(
)( ) (
)
7 −2 y 1
7y 1 − 2y 2
BY =
=
On en déduit :
−7 5
y2
−7y 1 + 5y 2
{
21x 1 = 7y 1 − 2y 2
21x 2 = −7y 1 + 5y 2
VLUP code le mot BIEN
2. Multiplions chacune des deux égalités ci-dessus par 5 :
{
105x 1 = 35y 1 − 10y 2
105x 2 = −35y 1 + 25y 2
• Prouvons : x 1 ≡ 9r 1 + 16r 2 mod 26 :
Puisque 105 ≡ 1 mod 26 , alors
105x 1 ≡ x 1
De
De


 35 ≡ 9 mod 26
et
, on déduit, par somme : 35y 1 ≡ 9r 1 mod 26 (1) .


y 1 ≡ r 1 mod 26


 −10 ≡ 16 mod 26


et
mod 26 (a)
, on déduit, par somme : −10y 2 ≡ 16r 2 mod 26 (2) .
y 2 ≡ r 2 mod 26
En ajoutant membre à membre les congruences (1) et (2), on obtient
35y 1 − 10y 2 ≡ 9r 1 + 16r 2
mod 26 (b)
De (a) et (b) on déduit :
x 1 ≡ 9r 1 + 16r 2
mod 26
• Un raisonnement analogue montre que
x 2 ≡ 17r 1 + 25r 2
3.
mod 26
( ) ( ) (
) (
) ( )
r1
21
9r 1 + 16r 2
365
1
VL →
=
→
=
→
→ BI
r2
11
17r 1 + 25r 2
632
8
Page 48
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
E
17 . énoncé
Liban 2016
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Affirmation 3 vraie
{
Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Un
point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte
et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.
{
•
On considère le système
n
n
≡
≡
1
3
[5]
[4]
d'inconnue n entier relatif.
Affirmation 1 : Si n est solution de ce système alors n − 11 est divisible par 4 et par 5.
• Si n est solution du système, alors n ≡ 1 [5] ; donc n − 11 ≡ −10 [5] . Or −10 =
5 × (−2) ≡ 0 [5] , donc n − 11 ≡ 0 [5] , donc n − 11 est divisible par 5.
• Si n est solution du système, alors n ≡ 3 [4] ; donc n − 11 ≡ −8 [4] . Or −8 =
4 × (−2) ≡ 0 [4] , donc n − 11 ≡ 0 [4] , donc n − 11 est divisible par 4.
On a démontré que l'ensemble solution du système est 11 + 20k
•
}
k∈
Z
.
Un automate peut se trouver dans deux états A ou B. À chaque seconde il peut soit rester dans
l'état où il se trouve, soit en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste
ci-dessous.
Pour tout entier naturel n , on note an la probabilité que l'automate se trouve dans l'état
A après n secondes et bn la probabilité que l'automate se trouve dans l'état B après n
secondes. Au départ, l'automate est dans l'état B.
0,7
0,3
0,2
B
A
0,8
On a donc démontré que si n est solution du système, alors n − 11 est divisible par 4 et par
5.
Affirmation 1 vraie
On considère l'algorithme suivant :
Affirmation 2 : Pour tout entier relatif k , l'entier 11 + 20k est solution du système.
• 11 = 2×5+1 donc 11 ≡ 1
11 + 20k ≡ 1 [5] .
[5] ; 20k = 5(4k) ≡ 0
[5] . Par somme, on peut dire que
• 11 = 2×4+3 donc 11 ≡ 3
11 + 20k ≡ 3 [4] .
[4] ; 20k = 4(5k) ≡ 0
[4] . Par somme, on peut dire que
11 + 20k ≡ 1
[5] et 11 + 20k ≡ 3
Variables :
Initialisation :
Traitement :
[4] donc 11 + 20k est solution du système.
Affirmation 2 vraie
Sortie :
Affirmation 3 : Si un entier relatif n est solution du système alors il existe un entier relatif
k tel que n = 11 + 20k .
On a vu que si n est solution du système, alors n − 11 était divisible à la fois par 4 et par 5.
Or 4 et 5 sont premiers entre eux donc, d'après le théorème de Gauss, le nombre n − 11 est
divisible par 4 × 5 = 20 ; donc il existe un entier relatif k tel que n − 11 = 20k .
Page 49
a et b sont des réels
a prend la valeur 0
b prend la valeur 1
Pour k allant de 1 à 10
a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b
b prend la valeur 1 − a
Fin Pour
Afficher a
Afficher b
Affirmation 4 : En sortie, cet algorithme affiche les valeurs de a10 et b10 .
{
D'après le graphe, on peut dire que
a n+1 = 0, 3a + 0, 8b
b n+1 = 0, 7a + 0, 2b
{
avec
a0 = 0
b1 = 1
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Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
Dans l'algorithme, on a « a prend la valeur 0, 8a + 0, 3b » et il faudrait avoir « a prend la
valeur 0, 3a + 0, 8b ».
D'après la question précédente, 15x 0 − 12y 0 est un multiple de 3.
Or 15x 0 − 12y 0 est égal à 8. Comme 8 n'est pas un multiple de 3
Aucun point de la droite ∆1 n'a ses coordonnées entières.
Affirmation 4 fausse
Affirmation 5 : Après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que
d'être dans l'état B.
On cherche a4 :
{
{
a 1 = 0, 3a 0 + 0, 8b 0 = 0, 3 × 0 + 0, 8 × 1 = 0, 8
b1 = 1 − a1
=
0, 2
a 3 = 0, 3a 2 + 0, 8b 2
b3 = 1 − a3
2. (a) Puisque le point de coordonnées (x 0 , y 0 ) appartient à ∆ , on en déduit :
y0 =
{
a 2 = 0, 3a 1 + 0, 8b 1 = 0, 3 × 0, 8 + 0, 8 ×
0, 2: = 0, 4
Soit
b2 = 1 − a2
=
0, 6
{
= 0, 3 × 0, 4 + 0, 8 × 0, 6 = 0, 6
a 4 = 0, 3a 3 + 0, 8b 3 = 0, 3 × 0, 6 +Ou
0, 8encore
× 0, 4 =
: 0, 5
=
0, 4
b4 = 1 − a4
=
0, 5
a 4 = 0, 5 donc après 4 secondes, l'automate a autant de chances d'être dans l'état A que dans
l'état B.
p
m
x0 −
n
q
nq y 0 = mq x 0 − pn
q(mx 0 − n y 0 ) = np
Puisque x 0 , y 0 , m et n sont des entiers, alors mx 0 − n y 0 est un entier :
q(mx 0 − n y 0 ) est donc un multiple de q
Affirmation 5 vraie
Puisque np = q(mx 0 − n y 0 ) , alors
q divise np
E
18
. énoncé
Métropole 2016
1. (a) Soit (x, y) un couple d'entiers relatifs. On a
(b) D'après la question précédente, q divise np . Comme, par hypothèse, q et p sont premiers
entre eux, on en déduit, d'après le théorème de Gauss, que q divise n .
15x − 12y = 3(5x − 4y)
q divise n
5x et 4y sont deux entiers. La différence de deux entiers étant un entier, 5x − 4y est un entier,
et 3(5x − 4y) est ainsi un multiple de 3 :
Si x et y sont deux entiers relatifs, alors l'entier 15x − 12y est divisible par 3
(b) Supposons qu'existe un point de la droite ∆1 dont les coordonnées (x 0 , y 0 ) sont entières.
On a alors
5
2
y0 = x0 −
4
3
Soit :
3. (a) Puisque n et m sont premiers entre eux, alors, en vertu du théorème de Bézout, il existe
deux entiers relatifs u et v ′ tels que
nu + mv ′ = 1
Puisque n = qr , l'égalité précédente s'écrit :
qr u − m(−v ′ ) = 1
soit, en posant v = −v ′ :
qr u − mv = 1
15x 0 − 8 = 12y 0
Il existe deux entiers u et v tels que qr u − mv = 1
Ou encore :
15x 0 − 12y 0 = 8
Page 50
TS-spe
Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
(b) L'égalité
P
5. Soit ∆ la droite d'équation y = M
Nx−Q .
m
p
y 0 = x0 −
n
q
On applique le résultat énoncé au début de la question précédente :
est équivalente, d'après la question 2.a, à l'égalité
q(mx 0 − n y 0 ) = np
(a)
□
soit :
□
q(mx 0 − n y 0 ) = qr p
Puisque q ̸= 0 , cette dernière égalité est équivalente à l'égalité :
mx 0 − n y 0 = r p
Si Q ne divise pas N, alors l'algorithme affiche « pas de solution » : il se termine donc.
Si Q divise N, on sait qu'il existe un point de ∆ à coordonnées entières. Autrement dit, il
existe un couple d'entiers (x 0 , y 0 ) tel que
y0 =
(1)
M
P
x0 −
N
Q
Il est clair qu'un tel couple existe si et seulement si il existe un entier relatif x 0 tel que
M
P
N x 0 − Q est un entier.
D'après la question précédente, on sait qu'il existe deux entiers relatifs u et v tels que
nu − mv = 1
N
Lorsque X parcourt
(i.e prend les valeurs 0, 1, 2, . . . ), il existe donc un entier naturel X 0
M
P
M
tel que N X 0 − Q ou − N X0 − QP est un entier relatif : l'algorithme se termine donc.
Multiplions chacun des deux membres de cette égalité par r p . On obtient alors :
nur p − mvr p = r p
soit :
m(−vr p) − n(−ur p) = r p
L'algorithme se termine
(2)
En comparant les égalités (1) et (2), on en déduit :
Le point de coordonnées (−vr p, −ur p) est un point de ∆
(b)
P
L'algorithme affiche les coordonnées du point de la droite d'équation y = M
N x − Q dont l'abscisse a la
valeur absolue.
4. Les questions 2 et 3 permettent d'énoncer le résultat suivant :
Soit ∆ la droite d'équation y =
m
p
x−
où m , n , p et q sont des entiers relatifs non nuls tels que
n
q
E
pgcd(n, m) =pgcd(p, q) = 1.
Alors il existe un point de ∆ dont les coordonnées sont des entiers si et seulement si q divise n .
3
8
7
4
Dans le cas présent ∆ est la droite d'équation y = x − .
Puisque


 pgcd(3, 8) = pgcd(7, 4) = 1


et
4 divise 8
, alors
Il existe un point de ∆ dont les coordonnées sont des entiers
19
Métropole septembre 2016
. énoncé
On dispose d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 et de 3 pièces A, B et C ayant chacune
un côté pile et un côté face.
Un jeu consiste à lancer une ou plusieurs fois le dé.
Après chaque lancer de dé, si l'on obtient 1 ou 2, alors on retourne la pièce A, si l'on obtient 3 ou
4, alors on retourne la pièce B et si l'on obtient 5 ou 6, alors on retourne la pièce C.
Au début du jeu, les 3 pièces sont toutes du côté face.
1. Dans l'algorithme ci-dessous, 0 code le côté face et 1 code le côté pile. Si a code un côté de la
pièce A, alors 1 − a code l'autre côté de la pièce A.
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Exercices bac --2013-2016-- Algorithmique
2. Pour tout entier naturel n , on note :
Variables :
Initialisation :
Traitement :
Sortie :
a , b , c , d , s sont des entiers naturels
i , n sont des entiers supérieurs ou égaux à 1
a prend la valeur 0
b prend la valeur 0
c prend la valeur 0
Saisir n
Pour i allant de 1 à n faire
d prend la valeur d'un entier aléatoire compris
•
X n l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, les trois pièces sont du côté face »
• Yn l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, une seule pièce est du côté pile et les autres
sont du côté face »
• Z n l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, exactement deux pièces sont du côté pile et
l'autre est du côté face »
•
entre 1 et 6
Si d ⩽ 2
alors a prend la valeur 1 − a
sinon Si d ⩽ 4
alors b prend la valeur 1 − b
sinon c prend la valeur 1 − c
FinSi
FinSi
s prend la valeur a + b + c
FinPour
Afficher s
Tn l'évènement : « À l'issue de n lancers de dés, les trois pièces sont du côté pile ».
De plus on note, x n = p (X n ) ; y n = p (Yn ) ; z n = p (Zn ) et tn = p (Tn ) les probabilités respectives des évènements X n , Yn , Zn et Tn .
(a) Au début du jeu, les trois pièces sont du côté face donc x 0 = 1 , y 0 = 0 , z 0 = 0 et t 0 = 0 .
(b)• À chaque tirage, on retourne une pièce et une seule ; donc si les trois pièces sont du côté face
après le n -ième tirage, il y aura une et une seule pièce du côté pile après le n + 1 -ième tirage. On
en déduit que PXn (Yn+1 ) = 1 .
(a) On exécute cet algorithme en saisissant n = 3 et en supposant que les valeurs aléatoires générées successivement pour d sont 1 ; 4 et 2.
• Par un raisonnement analogue, on démontre que PTn (Zn+1 ) = 1 .
• Si après le n -ième tirage, il y a une seule pièce du côté pile, il y a deux possibilités :
On complète le tableau :
◦ c'est cette pièce qui est retournée lors du n + 1 -ième tirage, avec une probabilité de
variables
i
d
initialisation
a
b
c
0
0
0
s
1er
passage boucle Pour
1
1
1
0
0
1
2e
passage boucle Pour
2
4
1
1
0
2
3e passage boucle Pour
3
2
0
1
0
1
PYn (X n+1 ) =
◦ c'est une des deux autres pièces qui est retournée, avec une probabilité de
2
.
3
(b) Les variables a , b et c sont à 0 ou 1 selon que la pièce montre le côté face ou le côté pile ;
la variable s = a + b + c donne donc le nombre de pièces qui sont du côté pile.
Après une exécution de n tirages, les trois pièces sont du côté pile si s = 3 .
1
;
3
• Par un raisonnement analogue, on démontre que PZn (Yn+1 ) =
On peut donc compléter l'arbre proposé :
Page 52
1
, et donc
3
2
, et donc PYn (Zn+1 ) =
3
2
1
et que PZn (Tn+1 ) = .
3
3
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1
Xn

Yn+1
xn
1/3
X n+1
2/3
Z n+1
2/3
Yn+1
0

1


3
Et donc M = 


0


0
Yn
yn
zn
Zn
Tn+1
1/3
Tn
3. Pour tout entier naturel n , on note Un la matrice ligne x n
y0
z0
) (
t0 = 1
0
0
yn
zn
Up+1 = Up × M = U0 × Mp × M = U0 × Mp+1 donc la propriété est vraie au rang p + 1 ; elle est
donc héréditaire.
• Conclusion
1
yn
3
La propriété est vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout n ⩾ 0 .
2
+ zn
3
On a donc démontré que, pour tout n , Un = U0 × Mn .
+t n
5. On admet que, pour tout entier n ⩾ 1 ,
1
zn
3
xn =

y n+1
z n+1
(
t n+1 = x n
1
On suppose la propriété vraie pour un rang p ⩾ 0 , c'est-à-dire Up = U0 × Mp .
Cela s'écrit sous forme matricielle :
x n+1
0
• Hérédité
2
yn
3
)
0
U0 × M0 = U0 × I4 = U0 donc la propriété est vraie au rang 0.
tn .
D'après l'arbre et le théorème des probabilités totales, on peut dire que :
(
2
3
0


0


1


3

0
Pour n = 0 , M0 = I4 la matrice identité d'ordre 4.
)
(b) On cherche la matrice carrée M telle que, pour tout entier naturel n , Un+1 = Un × M .



z n+1 =







 t n+1 =
0
2
3
• Initialisation
)
0 .



x n+1 =








 y n+1 = x n
0
Soit Pn la propriété Un = U0 × Mn .
Z n+1
1
(
(
1
4. On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , Un = U0 × Mn .
tn
(a) U0 = x 0

yn
zn
0

1
) 

3
tn × 


0


0

1
0
0
2
3
2
3
0
0
1
0


0


1


3

0
zn =
( )n
( )n
(−1)n + 3 × − 13 + 3 × 31 + 1
yn =
;
8
( )n
( )n
−3 × − 31 − 3 × 13 + (−1)n × 3 + 3
8
;
tn =
( )n
( )n
−3 × − 13 + 3 × 13 − (−1)n × 3 + 3
8
( )n
( )n
−(−1)n + 3 × − 31 − 3 × 13 + 1
8
(a) La probabilité qu'au bout de 5 lancers de dés, une seule des trois pièces soit du côté pile est
y5 .
y5 =
Page 53
( )5
( )5
−3 × − 13 + 3 × 31 − (−1)5 × 3 + 3
8
=
61
≈ 0, 753 .
81
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(b)• Première affirmation
Donc il existe un rang n 0 à partir duquel u n > 0, 249 .
« À l'issue d'un nombre pair de lancers de dés, les pièces peuvent être toutes les trois du côté pile ».
La suite (tn ) coïncide avec la suite (u n ) pour tous les n impairs.
On veut savoir si, à l'issue d'un nombre pair de lancers, on peut avoir tn = 1 .
Donc si n 0 est impair, t n0 = u n0 > 0, 249 .
(
Si n est pair, alors (−1)n = 1 et −
1
3
)n
( )n
1
=
; on en déduit que t n = 0 .
3
Et si n 0 est pair, on prend n1 = n 0 + 1 et tn1 = un1 > 0, 249 .
Les suites extraites ne sont certes pas au programme de terminale S mais cet exemple est assez facile
à comprendre pour un élève attentif. Et puis, c'est tellement plus joli qu'avec la calculatrice !
Enfin ce raisonnement permet de dire qu'il existe un rang à partir duquel tn > 0,249 999 .
Donc l'affirmation est fausse.
• Deuxième affirmation
« Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à
1
».
4
On a vu que si n était pair, tn valait 0 qui est inférieur à
(
( )n
1
.
3
( )n
( )n
( )n
1
1
1
( )n
1−3×
−3×
+1 2−6×
1 3
1
1
3
3
3
Donc t n =
=
= − ×
<
8
8
4 4
3
4
Si n est impair, (−1)n = −1 et −
1
3
)n
1
.
4
=−
Donc l'affirmation est fausse.
• Troisième affirmation
« Au cours du jeu, la probabilité que les pièces soient toutes les trois du côté pile peut être supérieure ou égale à 0, 249 ».
On calcule t n pour quelques valeurs de n :
n
tn
1
0
2
0
3
0,222 22
4
0
5
0,246 91
6
0
7
0,249 65
t 7 > 0, 249 donc l'affirmation est vraie.
Remarque
( )n
1 3
1
.
− ×
4 4
3
( )n
1 3
1
1
par u n = − ×
est convergente et a pour limite .
4 4
3
4
On a vu plus haut que, pour n impair, tn =
La suite (u n ) définie sur
N
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