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Rappels et généralités :
1. Définition du génie de la réaction chimique :
Le "génie de la réaction chimique" est une branche du génie des procédés qui traite des
méthodes de mise en œuvre rationnelle des transformations de la matière et des appareils dans
lesquels sont conduites les réactions.
Le génie de la réaction chimique en tant que nouvelle discipline est né au début des années
1950 sous l'impulsion de chercheurs du centre de recherche de Shell à Amsterdam et l'université
de technologie de Delft. Le terme « génie de la réaction chimique » aurait été proposé par J.C.
Vlugter au cours de la préparation du premier symposium européen sur le génie de la réaction
chimique qui a eu lieu à Amsterdam en 1957.
Le génie de la réaction chimique vise à étudier et à optimiser les réactions chimiques en vue
de concevoir un réacteur optimisé. Par conséquent, les interactions entre les écoulements, le
transfert de masse, le transfert de chaleur et la cinétique chimique des réactions sont d'une
importance primordiale afin de pouvoir relier la performance du réacteur à la composition de
la charge et aux conditions opératoires.
2. Définition d’un réacteur :
En chimie, un réacteur est une enceinte ou récipient apte à la réalisation et l'optimisation de
réactions chimiques et généralement de procédés de transformation de la matière (génie des
procédés). Le but recherché dans un réacteur est l'homogénéité du milieu réactionnel du point
de vue de la température et du mélange des réactifs.
3. Les lois qui réagissent un réacteur :
1
La figure 1 indique schématiquement les principaux facteurs gouvernant le fonctionnement
d'un réacteur. Ce sont d'abord les données physicochimiques sur la nature des transformations
mises en jeu:
 vitesse des réactions,
 thermicité,
 présence d'équilibres,
 influence de la pression,
 influence de la température,
 état de dilution sur ces paramètres.
Ce sont ensuite les données hydrodynamiques sur l'écoulement des phases et leur mode de
mélange et de mise au contact.
 phénomènes de transfert et de transport de chaleur,
 phénomènes de transfert de matière
 phénomènes de transfert de quantité de mouvement
Les données de transfert à l'intérieur d'une phase, entre phases ou entre le mélange
réactionnel et la paroi du réacteur ;
 la cinétique physique,
 la cinétique chimique
 la cinétique biologique
Tous les facteurs que nous venons d'énumérer concourent à relier l'ensemble des paramètres
opératoires à l'ensemble des résultats de l'opération :
 nature des espèces chimiques entrant dans le réacteur,
 pression,
 température,
 concentrations, débits et temps de séjour des phases
L'ensemble des résultats de l'opération :
 taux de conversion des réactifs,
 nature et distribution des produits,
 rendements matériels et énergétiques.
2
4. Famille des réacteurs :
Réacteur
Discontinue
Réacteur à
marche
discontinue
Continue
Ecoulement à travers un tube
Ecoulement à travers un
récipient parfaitement agité
Réacteur tubulaire ou
Réacteur à cuve parfaitement
agité
Réacteur à gradient de
concentration
L’équation stœchiométrique d’une réaction chimique peut être représentée de la manière
suivante :
∑ vj . Aj = 0
j
Où :
vj : Coefficient stœchiométrique du composéAj , positif s’il s’agit d’un produit, négatif pour un
réactif
5. Définition de l’état de référence:
L’état de référence se définit généralement par l’état du système pour lequel : P,T,V, N0
sont connus , autrement dit c’est l’instant initiale (t=0) en système fermé ou de l’entrée du
réacteur en système ouvert.
3
6. Taux de conversion :
Le taux de conversion représente la fraction initiale du réactif clé transformé à mesure que
la réaction progresse, ce réactif clé est généralement le réactif limitant, on le notera A.
 Système ouvert :
𝐹𝐴0 − 𝐹𝐴
𝐹𝐴0
𝑋𝐴 =
Où :
𝑭𝑨𝟎 : Débit molaire initiale de A
𝑭𝑨 : Débit molaire de A au cours de la réaction
 Système fermé :
𝑵𝑨𝟎 − 𝑵𝑨
𝑵𝑨𝟎
𝑿𝑨 =
Où :
𝑵𝑨𝟎 : Nombre de moles initiales de A
𝑵𝑨 : Nombre de moles de A au cours de la réaction
7. Variation du volume réactionnel en système fermé :
En phase liquide, la constance du débit et du volume est prise en considération,
contrairement à l a phase gazeuse où la variation du volume gazeux dépends de la variation
de T, P ou du nombre de moles total.
Définition du coefficient d’expansion 𝜺 :
Par définition :
ε = YA0 . δ
Avec :
𝑌𝐴0 ∶ 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑐é𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒ℎ𝑦𝑑𝑒
𝛿=
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑟é𝑎𝑔𝑖
Définition du coefficient de dilatation 𝜷 :
Par définition :
𝛽=
𝑃0 𝑇
.
𝑃 𝑇0
En supposant que le gaz est parfait, on aboutit à ces trois relations qui seront démontrées
par la suite :
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0 .
(1 − 𝑋𝐴 ). 𝛽 −1
1 + 𝜀𝑋𝐴
4
𝑉 = 𝑉0 (1 + 𝜀𝑋𝐴 )𝛽
𝐶𝐴 =
𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )
1 + 𝜀𝑋𝐴
Bilan matière :
Il est fait / à un constituant sous la base d’une seule mole de A tel que :
Nombre de moles de A entrant = Nombre de moles de A sortant (+ ou - ) Nombre de
moles produites + Nombre de moles de accumulées
 Système ouvert :
Acc = 0
Donc :
E = S(+ou-) R
 Système fermé :
E=S=0
Donc :
(+ou-)R+Acc = 0
8. Réacteur discontinue :
C’est un appareil dans lequel on introduits les réactifs et on laisse la réaction se dérouler au
cours du temps. Le fonctionnement de ce type d’appareil est caractérisé par un cycle
réactionnel dit cycle de fonctionnement (temps actif et temps mort).
Figure : schémas d’un réacteur discontinue
5
Bilan sur le constituant Ai sur le réacteur entier :
E
=
S
+
P
+
Acc
Les termes d'entrée et de sortie sont nuls (pas d'échange de matière avec l'extérieur). Il reste :
Production = Accumulation
L’équation de bilan s’écrit donc :
R=-A
Considérons l’intervalle de temps t, t + dt :
R = A . V . dt
Avec A
: vitesse de la réaction en mole de A par unité de temps et de volume
A = (NA)(t + dt) – (NA)t = NA + dNA – NA = dNA
L’équation de bilan devient :
A . V . dt = - dNA
Or
XA 
N A0  N A
N A0
L’équation 1 devient :
Eq. 1
- dNA = NA0 . dXA

A.V.dt = NA.dXA 
t AC

dt  N A 0 .
0
t ac  N A 0 .
X AF

0
X AF

0
dX A
v A .V
dX A
v A .V
Cette équation est valable quelle que soit la nature du fluide (liquide ou gaz) car la variation
du volume est prise en considération.
Cas d’un liquide à masse volumique constante (V = Cste) :
XA 
C A0  C A
dX A  
C A0
D’ou :
C Af
t ac  

C A0
6
dC A
vA
dC A
C A0
Eq. 2
9. Réacteurs à marche continue :
Les hypothèses liées au modèle du réacteur continu sont les suivantes :

mélange homogène au niveau moléculaire ;

température homogène du milieu ;

volume et densité constants (débit d'entrée = débit de sortie) ;

concentrations et température du flux de sortie sont les mêmes que celles dans le réacteur.
Le bilan de matière s’écrit de la façon suivante :
Entrée = Sortie +Réaction + Accumulation
Or, dans le cas d’un réacteur continu, le terme Accumulation est nul.
On distingue ainsi deux types de réacteur à marche continue, le Réacteur Agité Continu ou RAC
et la Réacteur Tubulaire ou piston
1. Le Réacteur Agité Continu
Ce réacteur est caractérisé par :

Une composition uniforme

Une température uniforme

Le temps de remplissage doit être infiniment petit

Le temps mise par une molécule pour aller d’un point à un autre est infiniment petit
devant le temps de passage
Pour une réaction :
A+B
produits
Le bilan de matière s’écrit donc :
Entrée = Sortie + Réaction
FAE = FAS +vAV
Avec :
 FAE : débit volumique d’entrée
 FAS : débit volumique de sortie
 vAV : terme lié à la réaction
7
2. Le Réacteur tubulaire :
Ce réacteur est caractérisé par la non-uniformité des concentrations, lesquelles varient avec
la position longitudinale z le long de l'écoulement. Puisque la composition du fluide varie
spatialement, le bilan de matière doit être effectué sur un élément de volume différentiel.
Ce réacteur est caractérisé par :

Ecoulement piston : la vitesse d’écoulement est la même partout dans l’appareil

Pas de mélange dans direction axial : deux tranches de fluide infiniment minces
perpendiculaires à la direction d’écoulement sont supposés ne pas échanger de la
matière.

Mélange radial parfait : concentration est uniforme dans toute section perpendiculaire à
la direction d’écoulement du fluide.
Pour une réaction :
A+B
produits
Le bilan de matière s’écrit donc :
Entrée = Sortie + Réaction
Considérons un élément de volume dV.
On a :
 Entrée
: FAdt
 Sortie
: (FA + dFA)dt
 Réaction
: vA.dV.dt
L’équation du bilan s’écrit donc :
FAdt = (FA + dFA)dt + vA.dV.dt + 0
Donc :
𝑋𝐴,𝑓
𝑉 = (1 + 𝑅) × 𝐹𝐴,0 ∫
0
8
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
Un élève ingénieur ne doit pas se limiter à l’assimilation d’une
relation mathématique mais doit maitriser son origine et sa
démonstration
La variation du volume réactionnel doit être prise en considération pour les systèmes gazeux.
Ainsi, il est indispensable de démontrer les relations suivantes :
𝑉 = 𝑉0 (1 + 𝜀𝑋𝐴 )𝛽
𝑄 = 𝑄0 (1 + 𝜀𝑋𝐴 )𝛽
𝐶𝐴 =
𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )
1 + 𝜀𝑋𝐴
Démonstration :
Variation du volume réactionnel en système fermé :
En se basant sur l’équation des gaz parfaits, on obtient :
𝑃𝑉 = 𝑁𝑇 𝑅𝑇 é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (1)
Où :

V : volume total du système

𝑁𝑇 : Nombre de moles totales

T : température °K

P : pression totale (K Pa,1 atm = 101.3 KPa )

R : Cste du gaz (R=0.08206 atm 𝑑𝑚3 /𝑚𝑜𝑙 °𝐾
Cette équation est valable à tout point du système pour un temps t donné :
A t=0 : l’équation (1) s’écrit :
𝑃0 𝑉0 = 𝑁𝑇0 𝑅𝑇0 (2)
En établissant le rapport (1)/(2), on obtient :
𝑃0 𝑇 𝑁𝑇
𝑉 = 𝑉0 ( ) ( ) (
)
𝑃 𝑇0 𝑁𝑇0
D’après le tableau stœchiométrie, on a : 𝑁𝑇 =fct(X)
𝑁𝑇 = 𝑁𝑇0 + 𝛿𝑁𝐴0 𝑋
𝑁𝑇
𝑁𝐴0
=1+
𝛿𝑋
𝑁𝑇0
𝑁𝑇0
𝑁𝑇
= 1 + 𝑌𝐴0 𝛿𝑋
𝑁𝑇0
9
Où :
𝑌𝐴0 = fraction molaire initiale.
Si toutes les espèces chimiques sont en phase gazeuse, l’équation générale de la réaction
sera :
𝛿=
𝛿=
𝑑 𝑐 𝑏
+ − −1
𝑎 𝑎 𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑟é𝑎𝑔𝑖𝑡
On pose 𝜀 = 𝑌𝐴0 𝛿
𝜀=
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑢𝑛𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠
Avec :
𝛽=
𝑃0 𝑇
: Facteur de dilatation physique
𝑃 𝑇0
𝜀 : Coefficient d’expansion chimique, il traduit la variation du volume chimique.
Donc l’équation (3) devient :
𝑉 = 𝑉0 (1 + 𝜀𝑋𝐴 )𝛽
Pour les systèmes ouverts :
𝐶𝑇 =
𝐹𝑇
𝑃
=
𝑄
𝑅𝑇
é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (3)
𝐶𝑇 =
𝐹𝑇0
𝑃0
=
𝑄0 𝑅𝑇0
é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (4)
En établissant le rapport (4)/(3) :
𝑄 = 𝑄0 (
𝑄 = 𝑄0 𝛽
𝐹𝑇
𝑇 𝑃0
)( )( )
𝐹𝑇0 𝑇0 𝑃
𝐹𝑇
𝐹𝑇0
é𝑞𝑢𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 (5)
D’après le tableau stœchiométrique :
𝐹𝑇 = 𝐹𝑇0 + 𝛿𝐹𝐴0 𝑋𝐴
En remplaçant 𝐹𝑇 dans l’équation (5), on obtiendra :
𝑄 = 𝑄0 𝛽
𝐹𝑇0 + 𝛿𝐹𝐴0 𝑋𝐴
𝐹𝑇0
10
𝑄 = 𝑄0 𝛽(1 +
𝐹𝐴0
𝛿𝑋 )
𝐹𝑇0 𝐴
𝑄 = 𝑄0 𝛽(1 + 𝑌𝐴0 𝛿𝑋𝐴 )
𝑄 = 𝑄0 𝛽(1 + 𝜀𝑋𝐴 )
Nous allons maintenant employer l’expression de la concentration :
𝐶𝐴 =
𝐹𝐴
𝑄
En sachant que :
𝐹𝐴 = 𝐹𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )
Donc :
𝐶𝐴 =
𝐹𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )
𝑄0 𝛽(1 + 𝜀𝑋𝐴 )
Finalement :
𝐶𝐴 =
𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 ) −1
𝛽
(1 + 𝜀𝑋𝐴 )
11
Démonstration de l’inégalité du temps séjour et de passage dans le
cas d’un système gazeux :
Expression du temps de passage :
Par définition c’est le temps mis pour traiter un volume de réactifs égal au volume du
réacteur, autrement dit , il représente la capacité du renouvèlement du contenu des réacteurs , il
s’exprime en secondes par la relation suivante :
τ=
V
Q0
Expression du temps de séjour moyen :
Il correspond au temps moyen nécessaire à une molécule pour traverser le réacteur depuis le
lieu d'introduction des réactifs jusqu'à la sortie. Les valeurs de temps de séjour admettent une
valeur moyenne 𝑡𝑠 calculée par la relation suivante :
𝑡𝑠 =
𝑉
𝑄
(1)
Où :
Q : est le débit de sortie du réacteur
En sachant que pour un système gazeux :
Q = Q0 β(1 + ε. X j )
Donc l’équation (1) devient :
𝑡𝑠 =
𝑉
Q0 β(1 + ε. X j )
𝑡𝑠 =
𝛕
β(1 + ε. Xj )
Ces 2 temps ne sont égaux que si le débit est uniforme dans le réacteur chose qui s’accorde
avec le cas d’un liquide où l’écoulement est convectif et la densité du mélange est constante.
 Pour un système gazeux, le temps de passage est donc différent du temps de séjour.
12
Calcul d’une cascade de réacteurs parfaitement agités :
Le calcul d’une cascade de réacteur parfaitement agité consiste à déterminer le nombre
de cuves en série de la cascade N pour assurer une production donnée. D’où la nécessité de
faire appel aux deux méthodes suivantes :
Méthode algébrique :
Cette méthode exige la connaissance de l’équation de vitesse v A  f(C A) .
L’équation du bilan de matière dans le nième réacteur donne
C A n 1  C A n  v A .

Vn
F0
Eq. 1
C A n 1  C A n  v A . n
Où n = temps de séjour moyen des particules dans la nième cuve.
Si la vitesse est d’ordre 2 :
v A  k.C A2
L’équation 1 devient :
C An1  C An  kn .C A2n  n
C An 

 1  1  4 K n n C An 1
 1  1  4.K n . n [
C An 
2 K n . n
 1  1  4.K n 1. n 1.C An2
2 K n 1. n 1
]
2 K n . n
Conclusion :
Trouver numériquement la relation entre CAN et CA0 est impossible, c’est ce qui fait appel à
d’autres méthodes à savoir les méthodes graphiques.
13
Démonstration de l’équation définissant le volume d’un réacteur
tubulaire avec recyclage
Un autre moyen de faire varier les performances d’un réacteur tubulaire consiste à effectuer un
recyclage des produits sortant, vers l’entrée du réacteur. Un taux de recyclage élevé conduit à
un système identique à un réacteur parfaitement agité.
𝐹𝐴0
𝐹𝐴,1
Réacteur tubulaire
𝐹𝐴,𝑓 𝐹,𝑓
𝐹𝐴,2
𝑋𝐴,0
𝐶𝐴,0
𝐹𝐴,𝑅 𝐹𝑅
Avec :

FA0
: débit molaire de A à l’entrée,

FAf
: débit molaire de A à la sortie,

FAR
: débit molaire de A de recyclage,

F0
: débit volumique de A à l’entrée,

Ff
: débit volumique à la sortie,

FR
: débit volumique de recyclage.
Bilan matière par rapport au composé A :
Par définition du bilan de matière :
E = S+R+Acc
Entrée : 𝐹𝐴 𝑑𝑡
Sortie : (𝐹𝐴 + 𝑑𝐹𝐴 )𝑑𝑡
Accumulation : 𝑣𝐴 𝑑𝑉𝑑𝑡
Donc :
𝐹𝐴 𝑑𝑡 = (𝐹𝐴 + 𝑑𝐹𝐴 )𝑑𝑡 + 𝑣𝐴 𝑑𝑉𝑑𝑡
Le temps n’est donc pas une variable du système
𝐹𝐴 = (𝐹𝐴, + 𝑑𝐹𝐴 ) + 𝑣𝐴 𝑑𝑉
−𝑑𝐹𝐴 = 𝑣𝐴 𝑑𝑉
Par définition du taux de conversion pour un réacteur tubulaire avec recyclage
𝑋𝐴 =
(𝐹𝐴,𝑜 + 𝐹𝐴,𝑅 ) − (𝐹𝐴 + 𝐹𝐴,𝑅 )
(𝐹𝐴,𝑜 + 𝐹𝐴,𝑅 )
14
𝑋𝐴,𝑓
𝑑𝐹𝐴 = −𝐹𝑜 (𝐶𝐴𝑜 + 𝐶𝐴𝑜 ∗
𝐹𝑅
)𝑑𝑋𝐴
𝐹𝑓
𝐹𝐴 = −𝐹𝑜 𝐶𝐴𝑜 (1 + 𝑅)𝑑𝑋𝐴
𝑑𝑉 = (1 + 𝑅) × 𝐹𝐴,0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
Donc :
𝑋
𝑉 = (1 + 𝑅) × 𝐹𝐴,0 ∫𝑋 𝐴,𝑓
𝑑𝑋𝐴
𝐴1
𝑣𝐴
(*)
Détermination de 𝑿𝑨𝟏 :
Par définition, le taux de recyclage est exprimé par la relation suivante :
𝑅=
𝑭𝑨,𝑹 𝑭𝑹
=
𝑭𝑨,𝒇 𝑭𝒇
(1)
En se référant au réacteur schématisé ci-dessus, on obtiendra
𝐹𝐴,2 = 𝐹𝐴,𝑅 + 𝐹𝐴,𝑓
En se référant à l’équation (1), on aura :
𝐹𝐴,2 = (𝑅. 𝐹𝐴,𝑓 )+𝐹𝐴,𝑓 = 𝐹𝐴,𝑓 . (1 + 𝑅) (2)
En introduisant le taux de conversion, on obtiendra :
𝐹𝐴,𝑓 = 𝐹𝐴0 × (1 − 𝑋𝐴,𝑓 )
L’équation (2) devient donc :
Donc:
𝐹𝐴,2 = (1 + 𝑅) × (1 − 𝑋𝐴,𝑓 ) × 𝐹𝐴,0
(3)
Cependant, pour un réacteur tubulaire sans recyclage, l’équation (3) devient :
FA,2 = FA,f = FA,0 . (1 − XA,f )
(4)
En comparant (3) et (4), on constante que :
(3) = (1+R). (4)
En revenant au cas d’un réacteur tubulaire avec recyclage schématisé ci-dessus, on
obtiendra :
𝐹𝐴,1 = 𝐹𝐴,0 . (1 − 𝑋𝐴1 ). (1 + 𝑅)
(5)
𝐹𝐴,2 = 𝐹𝐴,0 . (1 − 𝑋𝐴,𝑓 ). (1 + 𝑅)
Cependant :
𝐹𝐴,1 = 𝐹𝐴,𝑅 + 𝐹𝐴,0
En introduisant la relation du taux de recyclage, on obtient :
D’une part :
𝐹𝐴,1 = 𝐹𝐴,0 + (𝐹𝐴,𝑓 . 𝑅)
15
(6)
D’autre part :
𝐹𝐴,2 = 𝐹𝐴,𝑅 + 𝐹𝐴,𝑓 = 𝐹𝐴,𝑓 + (𝐹𝐴,𝑓 . 𝑅)
=>
𝐹𝐴,2 = 𝐹𝐴,𝑓 . (1 + 𝑅)
Donc :
𝐹𝐴,𝑓 = 𝐹𝐴,2 .
1
1+𝑅
(7)
En substituant (7) dans (6) :
𝐹𝐴,1 = 𝐹𝐴,0 + (
𝑅
.𝐹 )
1 + 𝑅 𝐴,2
(8)
La détermination de XA1 reposera sur l’établissement de l’égalité des deux équations
suivantes :
(5) = (8) :
𝐹𝐴,0 . (1 − 𝑋𝐴1 ). (1 + 𝑅) = 𝐹𝐴,0 + (
𝐹𝐴,0 × (1 − 𝑋𝐴1 ) × (1 + 𝑅) = 𝐹𝐴,0 +
𝑅
.𝐹 )
1 + 𝑅 𝐴,2
𝑅
× 𝐹𝐴,0 × (1 − 𝑋𝐴,𝑓 ) × (1 + 𝑅)
1+𝑅
(1 − 𝑋𝐴1 ) × (1 + 𝑅) = 𝑅 × (1 − 𝑋𝐴,𝑓 ) + 1
1 + 𝑅 − 𝑋𝐴1 − 𝑅𝑋𝐴1 = 1 + 𝑅 − 𝑅𝑋𝐴,𝑓
Donc:
𝑋1 =
𝑅𝑋𝐴,𝑓
1+𝑅
En remplaçant dans l’équation (*), on obtient :
𝑿𝑨,𝒇
𝑉 = (𝟏 + 𝑹) × 𝑭𝑨,𝟎 ∫
𝑹
𝑿
𝟏+𝑹 𝑨,𝒇
𝒅𝑿𝑨
𝒗𝑨
Influence de R :
 En tendant R vers 0, le volume du réacteur tubulaire avec recyclage sera égal à :
𝑋𝐴,𝑓
𝑑𝑋𝐴
𝑉 = (1 + 𝑅) × 𝐹𝐴,0 ∫
𝑣𝐴
0
On constate donc que c’est le volume du réacteur tubulaire sans recyclage.
 En tendant R vers +oo, nous serons projetés dans le cas d'un réacteur parfaitement
agité à marche continue.
16
Démonstration du nombre domkohler:
Cas 1 : 𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝒏𝑨
Pour un RAC :
Bilan matière :
𝐹0 × 𝐶𝐴0 = 𝐹1 × 𝐶𝐴1 + 𝑣𝐴 × 𝑉𝑅𝐴𝐶
Donc :
𝐹1
𝑉𝑅𝐴𝐶 𝐶𝐴0 − 𝐹0 𝐶𝐴1
=
𝐹0
𝑣𝐴
𝐹1
𝑉𝑅𝐴𝐶 𝐶𝐴0 − 𝐹0 𝐶𝐴1
=
𝐹0
𝐾 × 𝐶𝐴𝑛1
(1)
En sachant que :
𝐹1 = 𝐹0 (1 + ℰ𝑋𝐴1 )
𝐶𝐴1 = 𝐶𝐴0 ×
1 − 𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
Donc on remplace dans l’équation (1) :
𝑉𝑅𝐴𝐶
=
𝐹0
𝐶𝐴0 −
𝐹0 (1 + ℰ𝑋𝐴1 )
1 − 𝑋𝐴1
×
𝐶
×
𝐴
0
𝐹0
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 − 𝑋𝐴
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝑛 × (1 + ℰ𝑋 1 )𝑛
𝐴1
Donc :
𝑋𝐴1 × (1 + ℰ𝑋𝐴1 )𝑛
𝑉𝑅𝐴𝐶
=
𝐹0
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝑛−1 × (1 − 𝑋𝐴1 )𝑛
Donc :
Ʈ𝑅𝐴𝐶 =
𝑋𝐴1 × (1 + ℰ𝑋𝐴1 )𝑛
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝑛−1 × (1 − 𝑋𝐴1 )𝑛
Et on a par définition :
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝐷𝐴𝑀𝐾𝑂𝐻𝐿𝐸𝑅 = Ʈ𝑅𝐴𝐶 × 𝐾 × 𝐶𝐴0 𝑛−1
𝐿𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑟é𝑠𝑖𝑑𝑢𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝐴 𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑜𝑟𝑡𝑖𝑒 𝑑𝑢 𝑟é𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 = 1 − 𝑋𝐴1
Donc :
𝑋𝐴1 × (1 + ℰ𝑋𝐴1 )𝑛
𝐷𝑎 =
𝑓𝑛
17
Pour un Tub :
Bilan matière pour le réacteur tubulaire :
𝐸 = 𝑆 + 𝑅 + 𝐴𝐶𝐶 (1)
Il s’agit d’un réacteur tubulaire fonctionnant en mode continu donc :
𝐴𝐶𝐶 = 0
D’autre part :
𝐸 = 𝐹𝐴 . 𝑑𝑡
S = (𝐹𝐴 + dFA ). dt
𝑅 = 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉. 𝑑𝑡
En remplaçant donc dans l’équation (1), on obtient :
𝐹𝐴 . 𝑑𝑡 = (𝐹𝐴 + 𝑑𝐹𝐴 ). 𝑑𝑡 + 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 (2)
D’autre part, par définition de taux de conversion :
𝑋𝐴 =
𝐹𝐴𝑒 −𝐹𝐴
𝐹𝐴𝑒
Donc :
−𝑑𝐹𝐴 = 𝐹𝐴𝑒 .𝑑𝑋𝐴
En substituant dans l’équation (2), on trouve :
𝐹𝐴 = 𝐹𝐴 − (𝐹𝐴𝑒 . 𝑑𝑋𝐴 ) + 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉
Finalement :
𝑋𝐴𝑓
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
𝑉 = 𝐹𝐴𝑒 ∫
𝑋𝐴0
Avec :

FAe = FA0

𝑋𝐴0 = 0

𝑋𝐴𝑓 = 𝑋1
Donc :
𝑋1
𝑉 = 𝐹𝐴0 ∫
0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
𝑋1
𝑉 = 𝐹0 × 𝐶𝐴0 ∫
0
18
𝑑𝑋𝐴
𝐾 × 𝐶𝐴𝑛1
𝑋1
Ʈ𝑇𝑢𝑏 = 𝐶𝐴0 ∫
0
Ʈ𝑇𝑢𝑏 =
𝑑𝑋𝐴
1 − 𝑋𝐴
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝑛 × (1 + ℰ𝑋 1 )𝑛
𝐴1
𝑋1
1
𝐾 × 𝐶𝐴0
𝑛−1 ∫
0
𝑑𝑋𝐴
1 − 𝑋𝐴
(1 + ℰ𝑋 1 )𝑛
𝐴1
Donc :
𝐷𝑎 = ∫
𝑋1 (1
0
+ ℰ𝑋𝐴1 )𝑛 𝑑𝑋𝐴
𝑓𝑛
𝜷
Cas 2 : 𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝜶𝑨 × 𝑪𝑩
Pour un RAC :
Bilan matière :
𝐹0 × 𝐶𝐴0 = 𝐹1 × 𝐶𝐴1 + 𝑣𝐴 × 𝑉𝑅𝐴𝐶
Donc :
𝛽
𝐹0 × 𝐶𝐴0 = 𝐹1 × 𝐶𝐴1 + 𝐾 × 𝐶𝐴𝛼 × 𝐶𝐵 × 𝑉𝑅𝐴𝐶
𝐹0 × 𝐶𝐴0 = 𝐹0 (1 + ℰ𝑋𝐴1 ) × 𝐶𝐴0 ×
1 − 𝑋𝐴1
1 − 𝑋𝐴1 𝛼
1 − 𝑋𝐴1 𝛽
+ 𝐾 × (𝐶𝐴0 ×
) × (𝐶𝐴0 ×
) × 𝑉𝑅𝐴𝐶
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴0 × (1 − 𝑋𝐴1 ) + 𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽 × (
1 − 𝑋𝐴1 𝛼
𝑀 − 𝑋𝐴1 𝛽
) ×(
) × Ʈ𝑅𝐴𝐶
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
Avec :
𝑀=
𝐶𝐴0
𝐶𝐵0
Donc :
1 = 1 − 𝑋𝐴1 + 𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽−1 × (
𝑋𝐴1 = 𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽−1 × (
Ʈ𝑅𝐴𝐶 =
1 − 𝑋𝐴1 𝛼
𝑀 − 𝑋𝐴1 𝛽
) ×(
) × Ʈ𝑅𝐴𝐶
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 − 𝑋𝐴1 𝛼
𝑀 − 𝑋𝐴1 𝛽
) ×(
) × Ʈ𝑅𝐴𝐶
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
𝑋𝐴1
1 − 𝑋𝐴1 𝛼
𝑀 − 𝑋𝐴1 𝛽
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽−1 × (
) ×(
)
1 + ℰ𝑋𝐴1
1 + ℰ𝑋𝐴1
Ʈ𝑅𝐴𝐶 =
𝑋𝐴1 (1 + ℰ𝑋𝐴1 )𝛼+𝛽
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽−1 × (1 − 𝑋𝐴1 )𝛼 × (𝑀 − 𝑋𝐴1 )𝛽
19
Donc :
𝑋𝐴1 (1 + ℰ𝑋𝐴1 )𝛼+𝛽
𝐷𝑎 = 𝛼
𝑓 × (𝑀 − 𝑋𝐴1 )𝛽
Pour un Tub :
On a :
𝑋1
𝑉 = 𝐹𝐴0 ∫
0
𝑋1
𝑉 = 𝐹0 × 𝐶𝐴0 ∫
0
Ʈ𝑇𝑢𝑏
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
𝑑𝑋𝐴
1 − 𝑋𝐴
𝑀 − 𝑋𝐴
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽 × (1 + ℰ𝑋 1 )𝛼 × (1 + ℰ𝑋 1 )𝛽
𝐴1
𝐴1
(1 + ℰ𝑋𝐴1 )𝛼+𝛽 𝑑𝑋𝐴
=
∫
𝐾 × 𝐶𝐴0 𝛼+𝛽−1 0 (1 − 𝑋𝐴1 )𝛼 × (𝑀 − 𝑋𝐴1 )𝛽
𝑋1
1
Donc :
𝐷𝑎 = ∫
+ ℰ𝑋𝐴1 )𝛼+𝛽 𝑑𝑋𝐴
𝑓 𝛼 × (𝑀 − 𝑋𝐴1 )𝛽
𝑋1 (1
0
20
Démonstration de l’équation de concentration en fonction de
temps C=f(t) :
1er Cas : 1 réacteur RAC
Figure1 : Schéma d’un RAC
On sait que le bilan de matière s’écrit de la façon suivante :
E=S + R + Acc
Avec:
 E= CA0 . F0 . dt
S= CA1 . F0 . dt
 R= vA dt V
Acc=V dCA

D’où:
CAo . F0 . dt = CA . F0 . dt + vA . V . dt + VdCA
CAo .F0
V
= CA* (
F0+KV
V
)+
dCA
dt
Résolution sans second membre :
CA* (
dCA
dCA
F0+KV
V
)+
= −dt* (
dCA
dt
=0
F0+KV
V
)
On prend dans la suite CA = CA1
F0
CA1 = A. e−t( V +k)
(1)
𝐹0
𝐹0
𝐹0
𝐹0
𝐹0
𝐶𝐴0. 𝐹0
− ( + 𝑘) . 𝐴(𝑡). 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) + ( + 𝑘) . 𝐴(𝑡). 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) +𝐴′ (𝑡)𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) =
𝑉
𝑉
𝑉
𝐴′ (𝑡) =
𝐶𝐴0. 𝐹0. 𝑡(𝐹0+𝑘)
𝑒 𝑉
𝑉
21
𝐴(𝑡) =
On remplace dans l’équation (1) :
𝐶𝐴0. 𝐹0. 𝑡(𝐹0+𝑘)
𝑒 𝑉
+𝐶
𝐹0
𝑉 ( 𝑉 + 𝑘)
𝐶𝐴1(𝑡) =
𝐹0
𝐶𝐴0. 𝐹0.
+ 𝐶𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘)
𝐹0
( 𝑉 + 𝑘)
Conditions aux limites :
𝐴
𝑡=0
=> 𝐶𝐴1 = 0 → 𝐶 = −
D’où :
𝐶𝐴1(𝑡) =
𝐶𝐴0. 𝐹0
𝐹0
( 𝑉 + 𝑘)
𝐹0
𝐶𝐴0. 𝐹0.
−𝑡( +𝑘)
(1 − 𝑒 𝑉
)
𝐹0
( 𝑉 + 𝑘)
2ème Cas : deux réacteurs en séri
Figure 2 : Schéma de deux RAC en série
On sait que le bilan de matière s’écrit de la façon suivante :
E=S + R + Acc
Avec:



E= CA1 . F0 . dt
S= CA2 . F0 . dt
R=vdtV
Acc=Vd CA2
D’où:
CA1 . F0 . dt= CA2 . F0 . dt
+ vA d CA2 + k CA2dtV
CA1. F0 dCA2
F0
=
+ CA2( + k)
V
dt
V
22
Résolution sans second membre :
𝐹0
𝐶𝐴2 = 𝐴. 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘)
Solution particulière :
𝐹0
𝐹0
𝐹0
𝐹0
𝐹0
𝐶𝐴1. 𝐹0
− ( + 𝑘) . 𝐴(𝑡). 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) + ( + 𝑘) . 𝐴(𝑡). 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) +𝐴′ (𝑡)𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) =
𝑉
𝑉
𝑉
𝐹0
𝐶𝐴1. 𝐹0 𝐹0 𝐶𝐴0
𝐶𝐴0. 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘)
=
[
−
]
𝑘𝑉
𝑉
𝑉 1 + 𝑘𝑉
1
+
𝐹0
𝐹0
𝐴′ (𝑡) =
𝐶𝐴0. 𝐹0. 𝑡(𝐹0+𝑘)
𝐶𝐴0. 𝐹0
𝑒 𝑉
−
𝑘𝑉
𝑘𝑉
𝑉 [1 + 𝐹0]
𝑉 [1 + 𝐹0]
On intègre :
𝐴(𝑡) =
𝐶𝐴0. 𝐹0.
𝑘𝑉
[1 + 𝐹0]
2𝑒
𝑡(
𝐹0
+𝑘)
𝑉
−
𝐶𝐴0. 𝐹0
𝑡+𝐵
𝑘𝑉
𝑉 [1 + 𝐹0]
On remplace dans l’équation :
𝐶𝐴2(𝑡) =
𝐶𝐴0. 𝐹0.
𝑘𝑉
[1 + 𝐹0]
2−
𝐹0
𝐶𝐴0. 𝐹0. 𝑡 −𝑡(𝐹0+𝑘)
𝑒 𝑉
+ 𝐵𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘)
𝑘𝑉
𝑉 [1 + 𝐹0]
Conditions aux limites :
𝐴 𝑡 = 0 ≫ 𝐶𝐴2 = 0 → 𝐵 = −
𝐶𝐴0. 𝐹0
𝑘𝑉 2
𝑉 [1 + 𝐹0]
D’où :
𝐶𝐴2(𝑡) =
𝐶𝐴0. 𝐹0.
𝑘𝑉
[1 + 𝐹0]
2 [1 − 𝑡. [𝑘 +
23
𝐹0
𝐹0 −𝑡(𝐹0+𝑘)
]𝑒 𝑉
+ 𝑒 −𝑡( 𝑉 +𝑘) ]
𝑉
Exercice 1 : l’oxydation de SO2 en SO3
Enoncé de l’exercice :
Un mélange gazeux de 28 % de SO2 et de 72 % d’air entre dans un réacteur d’oxydation de
SO2 en SO3 selon le schéma réactionnel suivant :
2 SO2 + O2
2 SO3
Tracer le profil de concentration en fonction taux de conversion pour les différentes espèces
(SO2, O2, SO3 et N2) sachant que Pt = 1485 kPa et T = 227 °C.
Corrigé de l’exercice :
Comme ce qui a été cité dans l’énoncé, le schéma réactionnel est le suivant :
2 SO2 + O2
2 SO3
SO2 étant le réactif clé, le tableau de stœchiométrie sera de la forme suivante :
Espèce
Débit molaire initial
Nombre de moles échangé
Nombre de moles restant
SO2
FSO2 0
- FSO2 0.X
FSO2 = FSO2 0. (1 – X)
O2
FO2 0
- FSO2 0. X / 2
FO2 = FO2 0 – 1/2. FSO2 0.X
SO3
0
+ FSO2 0. X
FSO3= FSO2 0.X
N2
FN2 0
-
FN2 = FN2 0
Total
FT0
-
FT = FT0 - FSO2 0.X / 2
s
On a :
 FSO2 0 = 0.28*1
 FO2 0 = 0.72*0.21*1
 FN2 0 = 0.72*0.79*1
En posant :
1 =
𝐹O2 0
0.72 × 0.21
=
= 0.54
𝐹SO2 0
0.28
2 =
𝐹N2 0
0.72 × 0.79
=
= 2.03
𝐹SO2 0
0.28
24
On obtiendra donc :
 FSO2 = FSO2 0. (1 – X)
 FO2 = FSO2 0. (1 – 1/2.X)
 FSO3= FSO2 0. X
 FN2 = FSO2 0.
Cependant :
Q = Q0 B (1 +  X)
Or :
P = Cste et T = Cste
Q = Q0 (1 +  X)
Donc
Avec :
Donc :
C = F/Q
et
𝐹SO2 0 (1 - X)
C SO2 =
Q0 (1 +  X)
=
C0 = F0/Q0
𝐶SO2 0 (1 - X)
(1 +  X)
Le calcul de C SO2 0 peut être effectué en se basant sur l’équation des gaz parfaits :
PV=nRT
Donc :
P0 V0 = nso2 0 R T0
nso2 0 / V0 = P0 / R T0
Avec :
C SO2 0 = nso2 0 / V0
P0 = Yso2 0. PT
Donc :
C SO2 0 = (Yso2 0. PT) / (R T0)
Application numérique :
𝐶SO2 0 =
0.28 × 1485(𝐾𝑃𝑎)
8.314(kPa dm3⁄mol °k) × 500.15 (°K)
C SO2 0 = 0.1 mol/dm3
25
Détermination du coefficient d’expansion :

= Yso2 0. = 0.28 (1 – 1 – ½) = - 0.14
Les concentrations des différentes espèces en fonction du taux de conversion se définiront
de la manière suivante :
 C SO2 = C SO2 0 (1 – X)/ (1 +  X)

C O2 = C SO2 0 (1 – 1/2 X)/ (1 +  X)

C SO3 = C SO2 0 X/ (1 +  X)
 C N2 = C SO2 0 2/ (1 +  X)
Traçage des profils de concentrations des différents éléments à l’aide de MATLAB :
Programme MATLAB :
clear;
clc;
T=input('donner la température de la réaction[k]:');
P=input('donner la pression de la réaction[KPa]:');
Yso2=input('donner la fraction molaire initiale de SO2[%]:');
R=8.314;
%%%%%%%%%% Calcul des fractions:
Yso2=Yso2/100;
Yair=1-Yso2;
YO2=0.21*Yair;
YN2=0.79*Yair;
a1=YO2/Yso2;
a2=YN2/Yso2;
%%%%%%%%%% Calcul des concentrations:
e=(1-1/2-1)*Yso2;
B=1;
X=0:0.01:1;
for i=1:length(X)
Cso2(i)=((Yso2*P/(R*T))*(1-X(i)))/((1+e*X(i))*B);
CO2(i)=((Yso2*P/(R*T))*(a1-0.5*X(i)))/((1+e*X(i))*B);
Cso3(i)=((Yso2*P/(R*T))*X(i))/((1+e*X(i))*B);
CN2(i)=((Yso2*P/(R*T))*a2)/((1+e*X(i))*B);
end
plot(X,Cso2,'b',X,CO2,'r',X,Cso3,'y',X,CN2,'g')
title('les concentrations en fonction du taux de conversion')
xlabel('taux de conversion')
ylabel('les concentration [mol/dm^3]')
legend('Cso2','CO2','Cso3','CN2')
26
Résultat MATLAB :
Conclusion :
La consommation du réactif clé 𝑆𝑂2 et sa transformation en 𝑆𝑂3 a engendré la diminution de
la concentration du réactif clé𝑆𝑂2 .
La consommation progressive du 𝑂2 au cours de la réaction induira un profil de
concentration de 𝑂2décroissant.
La concentration de l’inerte N2 augmente au fur et à mesure que la réaction progresse, chose
qui peut être expliquée par la diminution du volume.
27
Exercice 2 :
Enoncé de l’exercice :
Considérons le système gazeux (A  2 B) réalisé dans un système fermé à température
constante (340 °K) et à pression constante (P = 2 atm). La constante d’équilibre KC à 340 °K
est égale à 0.1 mol/dm3.
 Calculer la conversion à l’équilibre de A pour un système fermé et à volume
constant.
 Calculer la conversion à l’équilibre de A pour un système ouvert.
Corrigé de l’exercice :
Par définition, l’équilibre d’une réaction chimique se définit par l’égalité suivante :
Q=K
En connaissant l’expression de Q, la constante d’équilibre se définira donc ainsi :
𝐶𝐵2
𝐾=
𝐶𝐴
Cas du système fermé (V = V0) :
Espèce chimique
Nombre de moles
Nombre de moles
Nombre de moles
initiales
échangées
non échangées
A
NA0
- NA0 X
NA = NA0 (1 – X)
B
0
2 NA0 X
NB = 2 NA0 X
T
NT0 = NA0
-
NT = NT0 + NA0 X
Par définition, lorsqu’il s’agit d’un système fermé, on peut appliquer :
𝐶𝑖 =
𝑁𝑖
𝑉
Par application sur les éléments chimiques de cette réaction :
Espèce chimique A :
𝐶𝐴 =
𝑁𝐴
𝑉
(1)
Avec :
𝑉 = 𝑉0
𝑁𝐴 = 𝑁𝐴0 . (1 − 𝑋)
Et
28
Donc l’équation (1) devient :
𝐶𝐴 =
𝑁𝐴0 . (1 − 𝑋)
= 𝐶𝐴0 . (1 − 𝑋)
𝑉0
Espèce chimique B :
𝐶𝐵 =
𝑁𝐵
𝑉
(2)
Avec :
𝑉 = 𝑉0
𝑁𝐵 = 2. 𝑁𝐴0 . 𝑋
Et
Donc l’équation (2) devient :
𝐶𝐵 = 2. 𝐶𝐴0 . 𝑋
(3)
Calcul de 𝐶𝐴0 :
Par définition :
𝐶𝐴0 =
𝑁𝐴0
𝑉
Par application de la loi des gaz parfaits, on obtiendra :
PT
𝑅. 𝑇0
𝐶𝐴0 =
Par application de la loi de Dalton :
𝑃𝐴0 = 𝑌𝐴0 . 𝑃𝑇
Donc :
𝐶𝐴0 =
YA0 . P0
𝑅. 𝑇0
Application numérique :
La fraction molaire du composé A est égale à 1
En prenant :
R=0,082 L.atm/·mol.K
𝐶𝐴0 =
2
= 0,0717 𝑚𝑜𝑙/𝐿
0,082.340
L’équilibre est donc défini par l’égalité X = Xe ; en substituant les équations (2) et (3) dans
(1), on obtient :
𝐾𝑐 =
2
𝐶𝐵2
4. 𝐶𝐴0
. 𝑋𝑒2
4. 𝐶𝐴0 . 𝑋𝑒2
=
=
𝐶𝑎 𝐶𝐴0 . (1 − 𝑋𝑒 )
1 − 𝑋𝑒
𝑋𝑒 = √
𝐾𝐶 (1 − 𝑋𝑒 )
4. 𝐶𝐴0
29
Il existe deux méthodes de détermination de Xe dans ce cas-là, la première consiste à
résoudre une équation du deuxième degré à un seul inconnu alors que la deuxième consiste à
établir des itérations successives ou nous allons dans un premier temps donner des valeurs à Xe
pour calculer le membre droit de l’égalité. Si les deux valeurs de Xe sont égales, la valeur donnée
à Xe est bonne. Si non, il faut refaire le calcul jusqu’à ce qu’on trouve la bonne valeur de Xe.
Dans notre cas :
Xe = 44%
Cas d’un système ouvert :
𝐶𝐴 =
𝐹𝐴 𝐹𝐴0 (1 − 𝑋) 𝐶𝐴0 (1 − 𝑋)
=
=
(1 + 𝜀𝑋)
𝑄 𝑄0 (1 + 𝜀𝑋)
(6)
𝐶𝐵 =
𝐹𝐵
2𝐹𝐴0 𝑋
2𝐶𝐴0
=
=
𝑄
𝑄0 (1 + 𝜀𝑋) (1 + 𝜀𝑋)
(7)
Pendant l’équilibre, l’égalité X = Xe est assurée :
En substituant (6) et (7) dans (1), on obtient :
𝐾𝐶 =
4. 𝐶𝐴0 . 𝑋𝑒2
(1 − 𝑋𝑒 ) (1 + Xe
Finalement :
𝐾𝐶 . (1 − 𝑋𝑒 ). (1 + 𝜀𝑋𝑒 )
Xe = √
4. 𝐶𝐴0
Application numérique :
Xe = 51%
30
Td N° 1 : réaction irréversible d’ordre global
Enoncé de l’exercice :
On désire saponifier une solution d’acétate d’éthyle par la soude. Les concentrations initiales
de réactifs sont les suivantes :
-Concentration en ester : Ce =
2,5
88
moles⁄dm3
-Concentration en soude : Cs = 0,05 moles⁄dm3
A+B
C+D
La réaction essentiellement irréversible est d’ordre un par rapport à chacun des réactifs et la
constante de vitesse a été déterminée au laboratoire pour deux températures :
K L/mole.mn
température °C
92,4
20
307
40
On demande quelle sera la durée d’une réaction à 0°C donnant une saponification de 99 %
de l’ester.
Corrigé de l’exercice :
Par définition du temps actif d’une réaction pour un liquide :
𝑋𝐴
𝑡𝐴 = 𝐶𝐴0 ∫
0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
(1)
La réaction est d’ordre global 2, la vitesse de la réaction prendra la forme suivante :
𝑣𝐴 = 𝐾. 𝐶𝐴 . 𝐶𝐵
Avec :
CA = CA0 (1-XA)
CB = CB0 – (CA0.XA)
Donc :
𝑋𝐴
𝑡𝐴 = 𝐶𝐴0 ∫
0
𝑑𝑋𝐴
𝑘 ∗ 𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 ) ∗ 𝐶𝐴0 (𝜃𝐵 − 𝑋𝐴 )
Avec :
𝜃𝐵 =
𝐶𝐵0
= 1,78
𝐶𝐵0
Donc :
𝑡𝐴 =
𝑋𝐴
1
𝑑𝑋𝐴
∫
𝐾𝐶𝐴0 0 (1 − 𝑋𝐴 ) ∗ (𝜃𝐵 − 𝑋𝐴 )
L’intégration de cette équation nous donnera :
31
𝑋𝐴
∫
0
𝑑𝑋𝐴
1
𝜃𝐵 − 𝑋𝐴
=
∗ ln(
)
(1 − 𝑋𝐴 ) ∗ (𝜃𝐵 − 𝑋𝐴 )
𝜃𝐵 − 1
𝜃𝐵 (1 − 𝑋𝐴 )
Détermination de la constante de vitesse K :
En appliquant la loi d’Arrhenius :
𝐾 = 𝐴 exp(−
𝐸
)
𝑅. 𝑇
Calcul de E : l’énergie d’activation d’Arrhenius
En utilisant donc les données de l’exercice, on obtiendra :
𝐾1 = 𝐴 exp(−
𝐸
)
𝑅𝑇1
𝐾2 = 𝐴 exp(−
𝐸
)
𝑅𝑇2
Donc :
𝐾1
𝐸
1
1
= exp( ∗ ( − ))
𝐾2
𝑅 𝑇2 𝑇1
D’où :
𝐸=𝑅∗
𝐾
ln(𝐾1 )
2
1
1
(𝑇 − 𝑇1)
2
Application numérique :
E = 45775, 6 Kj
Donc :
𝐾1 = 𝐴 exp(−
𝐸
)
𝑅𝑇1
Donc :
A = 1,34 * 10-10
𝐾 = 𝐴 exp(−
𝐸
)
𝑅𝑇
Donc :
K = 23,32 l/mole.mn
Donc le temps actif de la réaction est :
𝑡𝐴 =
1
𝜃𝐵 − 𝑋𝐴
∗ ln(
)
𝐾 ∗ 𝐶𝐴0 ∗ (𝜃𝐵 − 1)
𝜃𝐵 (1 − 𝑋𝐴 )
Application numérique :
tA = 7,45 mn
Donc la saponification de l'acétate d'éthyle est une réaction lente mais complète.
32
TD N° 2 :
Exercice 1 :
Enoncé de l’exercice :
Soit la réaction A + v B
produits, du second ordre en phase liquide, isotherme, on
se propose de déterminer le taux de conversion X de A à la sortie d’un réacteur parfaitement
agité à marche continue.
Corrigé de l’exercice :
En appliquant le bilan matière par rapport à l’élément A, on obtiendra :
𝐹0 𝐶𝐴0 = 𝐹0 𝐶𝐴1 + 𝑣𝐴 𝑉
(1)
Avec :
𝑣𝐴 = 𝑘. 𝐶𝐴 . 𝐶𝐵
𝐶𝐴1 = 𝐶𝐴0 . (1 − 𝑋𝐴 )
Donc l’équation (1) devient :
𝐹0 𝐶𝐴0 = 𝐹0 (1 − 𝑋𝐴 ) + k 𝐶𝐴 𝐶𝐵 𝑉
Donc
𝐹0 𝑋𝐴 = k 𝐶𝐴0 𝑉(1 − 𝑋𝐴 )(𝜃𝐵 − 𝑋𝐴 )
Avec :
𝛳𝐵 =
𝐶𝐵
𝐶𝐴
Et
𝑉
𝜏=𝐹
0
𝑋𝐴
= (1 − 𝑋𝐴 )(𝜃𝐵 − 𝑋𝐴 )
𝑘 𝜏 𝐶𝐴0
D’où, on aura une équation de 2nd degré :
𝑀 𝑋𝐴 2 − 𝑋𝐴 (1 + 𝑀(1 + 𝜃𝐵 )) + 𝜃𝐵 = 0
Avec :
𝑀 = 𝑘 𝜏 𝐶𝐴0
D’où :
2
𝑋𝐴 =
2
−(1 + 𝑀(1 + 𝜃𝐵 )) + √(1 + 𝑀(1 + 𝜃𝐵 )) − 4 ∗ 𝑀 ∗ 𝜃𝐵
2𝑀
33
Exercice 2 : Pyrolyse de l’éthane
Enoncé de l’exercice :
Vers 1000°K, cette pyrolyse est quasiment irréversible et du 1er ordre par rapport à l'éthane.
C2H6
C2H4 + H2
Avec la constante de vitesse k = 0,132 s-l à 1000 °K
Déterminer le de conversion de l'éthane à la sortie d’un petit réacteur agité continu de
volume V = 120 cm3 alimenté sous 1 bar par l'éthane pur dont le débit mesuré à 27°C est Q0 =
Icrn3/s.
La concentration de l’éthane s’exprime par :
𝐶𝐴 = 𝑐𝐴0
1 − 𝑋𝐴 𝑇0
1 + 𝑋𝐴 𝑇
Corrigé de l’exercice :
En effectuant un bilan de matière par rapport à A :
𝐹𝐴𝑒 = 𝐹𝐴𝑆 + 𝑣𝐴 𝑉
Avec :
FAE = FA0 – FA0 XAE
FAS = FA0 – FA0 XAS
Donc :
FA0 XAS = vA V
F0 CA0 XAS = k CA V
Avec:
𝐶𝐴 = 𝑐𝐴0
1 − 𝑋𝐴 𝑇0
1 + 𝑋𝐴 𝑇
Donc :
𝑋𝐴 =
𝑘 𝑉 𝑇0 1 − 𝑋𝐴
∗
∗
𝐹0
𝑇 1 + 𝑋𝐴
𝑋𝐴 = 4,75 ∗
1 − 𝑋𝐴
1 + 𝑋𝐴
D’où :
𝑋𝐴 2 + 5,75. 𝑋𝐴 − 4,75 = 0
Donc :
𝑋𝐴 = 73%
34
TD N° 3 : Réacteurs agités : influence des concentrations initiales
Enoncé de l’exercice :
La réaction entre le benzoquinone (B) et le cyclopentadiène (C), en phase liquide et à 25° C,
a été étudiée par WASSERMANN (J chem soc –p1028-1936) :
B
+
C
P
La vitesse de disparition de B s’écrit : 𝑣𝐵 = 𝑘 ∗ 𝐶𝐵 ∗ 𝐶𝐶
𝐶𝐵 𝑒𝑡 𝐶𝐶 Désignent la concentration respectivement de B et de C (en kmole−1 . 𝑚3 )
A 25 ° C, la constante de vitesse vaut : k=9.9210−3 𝑚3 𝑘𝑚𝑜𝑙 −1 𝑠 −1
La variation de volume du mélange réactionnel est négligeable au cours de la réaction.
1. Réacteur agité a marche discontinue :
Cette réaction est réalisée dans un réacteur parfaitement agité, à 25°C.
Déterminer la durée du temps actif nécessaire pour atteindre 87.5% de conversion :
a. De chacun des réactifs en partant d’un mélange équimolaire de B et de C :
𝐶𝐵0 = 𝐶𝐶0 = 0.08 𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3
b. Du réactif limitant en partant du mélange initial contenant :
𝐶𝐵0 = 0.08 𝑒𝑡𝐶𝐶0 = 0.10𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3
Comparer les résultats obtenus en 1-a et 1-b.
2. Réacteur agité à marche continue :
Cette réaction est maintenant réalisée dans un réacteur parfaitement agité à marche
continue, mono étagé .la température est toujours maintenue à 25°C.
a) Le débit volumique d’alimentation est 𝐹0 = 1𝑚3 ℎ−1
Avec𝐶𝐵0 = 𝐶𝐶0 = 0.08 𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3 .
Calculer le volume nécessaire pour atteindre 𝑋𝐷 = 0.875
b) Même question que précédemment avec :
𝐶𝐵0 = 0.08 𝑒𝑡 𝐶𝐶0 = 0.10𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3 .
Comparer les résultats des questions 2-a et 2-b.
3. Réacteur agite à marche continue, Bi-étagé :
A. On remplace le réacteur agité à marche continue précédent par une cascade de deux
étages de volumes identique.
Pour un débit volumique d’alimentation𝐹0 = 1m3 /ℎ−1 , avec𝐶𝐵0 = 𝐶𝐶0 = 0.08 𝑘𝑜𝑙. 𝑚−3,
calculer le volume totale (𝑉1 + 𝑉2 ) de ce réacteur.
35
B. Quel serait le volume total minimum d’un réacteur agité à marche continue à deux
étages fonctionnant dans les mêmes conditions qu’à la question 3-a (mais avec 𝑉1 #𝑉2).
C. Quelle conclusion peut – on tirer de la comparaison des résultats des questions 3-a
et b ?
Solution de l’exercice :
1. Réacteur agité a marche discontinue :
a) Par définition du temps actif pour un liquide :
𝑡𝑎 = 𝐶𝐵0 ∫
𝑋𝐵 𝑓
𝑋𝐵 0
𝑑𝑋𝐵
𝑘 ∗ 𝐶𝐵 ∗ 𝐶𝐶
(1)
Dressage du tableau stœchiométrique :
Espèces
Nombre de
moles initial
Nombre de
moles échangé
Nombre de moles restant
B
𝑁𝐵0
−𝑋B 𝑁𝐵0
𝑁𝐵0 (1 − 𝑋B )
C
𝑁𝐶0
𝑁𝐵0 (𝜃C − 𝑋B )
P
𝑁𝑃0
1
− 𝑋B 𝑁𝐵0
2
𝑋B 𝑁𝐵0
Total
𝑁T0
𝑁𝐵0 (𝜃P + 𝑋B )
𝑁 𝑇 = 𝑁T0 + 𝛿𝑋B ∗ 𝑁B0
En posant :
𝜃𝐶 =
𝑁𝐶0
𝜃P =
Et
𝑁𝐵0
𝑁𝑃0
𝑁𝐵0
En prenant en considération l’égalité : 𝐶𝐵0 = 𝐶𝐶0
Donc :
𝐶𝐵 = 𝐶𝐶 = 𝐶𝐶0 − 𝐶𝐵0 𝑋𝐵0 = 𝐶𝐵0 (1 − 𝑋𝐵0 )
D’autre part :
𝑣𝐵 = 𝑘 ∗ 𝐶𝐵 ∗ 𝐶𝐶
(3)
En substituant (2) et (3) dans (1) :
𝑡𝑎𝑐 = 𝐶𝐵0 ∫
𝑋𝐵 𝑓
𝑋𝐵 0
𝑑𝑋𝐵
2
𝑘 ∗ 𝐶𝐵0 ∗ (1 − 𝑋𝐵 )2
L’intégration de cette intégrale nous donne :
𝑡𝑎𝑐
1
𝑋𝐵 0.875
=
[
]
𝑘𝐶𝐵0 1 − 𝑋𝐵
𝑡𝑎𝑐 = 8820.56 𝑠 = 2ℎ 27 𝑚𝑖𝑛
36
(2)
b – Dans ce cas:
𝐶𝐶 = 𝐶𝐶0 − 𝐶𝐵0 𝑋𝐵0 = 𝐶𝐵0 (𝜃𝐶 − 𝑋𝐵0 )
Calcul de 𝜽𝑪 :
𝜃𝐶 =
𝐶𝐶0
= 1.25
𝐶𝐵0
Le temps sera encore une fois défini par :
𝑡𝑎𝑐 = 𝐶𝐵0 ∫
𝑋𝐵 𝑓
𝑋𝐵 0
𝑑𝑋𝐵
𝑣𝐵
Avec :
𝑣𝐵 = 𝑘 ∗ 𝐶𝐵 ∗ 𝐶𝐶
Donc :
𝑡𝑎𝑐 = 𝐶𝐵0 ∫
𝑋𝐵 𝑓
𝑋𝐵𝑓0
𝑑𝑋𝐵
𝑘 ∗ 𝐶𝐵 ∗ 𝐶𝐶
En remplaçant 𝐶𝐵 𝑒𝑡 𝐶𝐶 on trouve :
𝑡𝑎𝑐 = 𝐶𝐵0 ∫
𝑋𝐵 𝑓
𝑋𝐵 0
𝑑𝑋𝐵
2
𝑘 ∗ 𝐶𝐵0 ∗ (1 − 𝑋𝐵 ) ∗ (𝜃𝐶 − 𝑋𝐵0 )
En intégrant cette équation, on obtient :
𝑡𝑎𝑐 =
1
(𝜃𝐶 − 𝑋𝐵0 ) 0.875
[𝑙𝑛
]
𝑘𝐶𝐵0
𝜃𝐶 ∗ (1 − 𝑋𝐵 )
Application numérique :
𝑡𝑎𝑐 = 4412.64 𝑠=1h 13 min
Comparaison des résultats obtenus en 1-a et 1-b :
𝑡𝑎𝑐 𝑎 − 𝑡𝑎𝑐 𝑏 2ℎ 27 − 1h 13
=
= 50%
𝑡𝑎𝑐 𝑎
2ℎ 27
𝐶𝐶0 𝑏 − 𝐶𝐶0 𝑎 0.10 − 0.08
=
= 20%
𝐶𝐶0 𝑏
0.10
Une augmentation de 20% de concentration de C engendre une diminution de 50% du temps
actif.
37
2. Cas du réacteur agité à marche continue :
Calcul du volume nécessaire pour obtenir XB = 0.875,
Pour le cas où 𝐶𝐵0 = 𝐶𝐶0 = 0.08 𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3 :
En effectuant un bilan matière par rapport à B, on trouve :
𝐹0 𝐶𝐵0 = 𝐹0 (1 − 𝑋𝐵 ) + k CB CC
D’où :
𝑉=
𝑉=
𝐹0 𝑋𝐵
𝑘 𝐶𝐵 𝐶𝐶
𝐹0 𝑋𝐵
𝑘 𝐶𝐵0 (1 − 𝑋𝐵)²
Application numérique :
V= 19,6 m3
Calcul du volume nécessaire pour obtenir XB = 0.875 :
Pour le cas où 𝐶𝐵0 = 0.08 𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3 et 𝐶𝐶0 = 0.10 𝑘𝑚𝑜𝑙. 𝑚−3 :
D’après le bilan de matière par rapport à B :
𝑉=
𝐹0 𝑋𝐵
𝑘 𝐶𝐵0 (1 − 𝑋𝐵)(𝛳𝐶 − 𝑋𝐵)
Avec :
𝛳𝐵 =
𝐶𝐵
𝐶𝐴
= 1,25
Application numérique :
V= 6, 53 m3
Comparaison des résultats obtenus en 1-a et 1-b :
V𝑎 − V𝑏 19,6 − 6, 53
=
= 66.68%
V𝑎
6, 53
Avec :
𝐶𝐶0 𝑏 − 𝐶𝐶0 𝑎 0.10 − 0.08
=
= 20%
𝐶𝐶0 𝑏
0.10
38
Une augmentation de 20% de concentration de réactif C provoque une diminution du
volume de 66.68%.
3-réacteur agite à marche continue, Bi-étagé :
a-Calcule de volume total de réacteur :
En effectuant un bilan matière dans le réacteur 1 :
𝐹0 𝐶𝐵0 dt = 𝐹0 𝐶𝐵1 dt + 𝑣B 𝑉 𝑑𝑡
𝐹0 𝐶𝐵0 = 𝐹0 𝐶𝐵1 + 𝑣B1 𝑉
(1)
En effectuant un bilan matière dans le réacteur 2:
𝐹0 𝐶𝐵1 = 𝐹0 𝐶𝐵2 + 𝑣B2 𝑉
Donc :
𝑉=
𝐹0 𝐶𝐵1 − 𝐶𝐵2
𝑣B
En le remplaçant dans l’équation 1 :
𝐹0 𝐶𝐵0 = 𝐹0 𝐶𝐵1 + 𝑣B1
𝐹0 𝐶𝐵1 −𝐶𝐵2
𝑣B2
Donc :
𝑣
𝐶𝐵0 = (𝐶𝐵1 − 𝐶𝐵2 ) 𝑣B1 +𝐶𝐵1 (2)
B2
Or on a :
𝑣B1 = 𝑘𝐶𝐵1
2
Et
𝑣B2 = 𝑘𝐶𝐵2 2
En remplaçant dans l’équation (2) :
𝐶𝐵2 2 𝐶𝐵0 = (𝐶𝐵1 − 𝐶𝐵2 )𝐶𝐵1 2 + 𝐶𝐵1 𝐶𝐵2 2
Donc:
𝐶𝐵1 3 − 𝐶𝐵2 𝐶𝐵1 2 + 𝐶𝐵1 𝐶𝐵2 2 = 𝐶𝐵2 2 𝐶𝐵0
Cependant :
𝑋𝐵 = 0.875
39
Donc :
𝐶𝐵2 = 𝐶𝐵0 (1 − 𝑋𝐵 ) = 0.01 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3
D’où:
𝐶𝐵0 𝐶𝐵2 2 = 8 10−6 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3
La détermination de 𝐶𝐵𝐴 reposera sur des itérations successives :
𝐶𝐵2 2 𝐶𝐵0
𝐶𝐵1
0.01
10−6
0.02
6 10−6
0.03
2.110−5
0.025
1.18 10−5
0.022
8 10−6
Donc :
𝐶𝐵1 = 0.022 𝑘𝑚𝑜𝑙/𝑚3
Donc :
𝑉=
𝐹0 (𝐶𝐵1 − 𝐶𝐵2 )
𝑘𝐶𝐵2
2
=
1(0.022 − 0.01)
9.92 10−3 ∗ 3600 ∗ 0.012
Application numérique :
𝑉 = 3.35 𝑚3
Donc :
𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 𝑚3
Application numérique :
𝑉 = 6.7 𝑚3
40
TD 4 : Réacteurs agités à marche discontinue
Enoncé de l’exercice :
L’acétate de sodium est produit suivant la réaction :
𝐶𝐻3 𝐶𝑂𝑂𝐶3 𝐻7 + 𝑁𝑎𝑂𝐻  𝐶𝐻3 𝐶𝑂𝑂𝑁𝑎 + 𝐶3 𝐻7 𝑂𝐻
( A )
( C )
( B )
( D )
La vitesse de réaction est : 𝑣 = 𝑘. 𝐶𝐴 . 𝐶𝐵
Avec :
k = 4,53.10-2 l/mole/mn,
𝐶𝐴 𝑒𝑡 𝐶𝐵 étant des concentrations de A et de B ( en 𝑚𝑜𝑙𝑒⁄𝑙 )
1- On réalise cette réaction, en phase aqueuse et à température constant, dans 5 réacteurs
parfaitement agités à marche discontinue, de volume 𝑉1 = 2 𝑚3 chacun.
La composition de la charge est :
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐵0 = 0,736 𝑚𝑜𝑙𝑒⁄𝑙
On admet que la masse volumique du mélange réactionnel reste constante au cours de
la réaction.
1- a) Etablir l’expression donnant le nombre de moles (𝑁𝐶 )𝑓 d’acétate de sodium formé
en fonction du temps actif (ou temps de réaction) 𝑡𝑎 .
1- b) Sachant que le temps mort (ou temps d’arrêt) de chaque cycle de fonctionnement est
𝑡𝑚 = 30 mn, quelle doit être la durée totale du cycle pour que la vitesse moyenne de
production soit maximum.
Calculer alors la production molaire d’acétate de sodium par cycle de fonctionnement.
2- On désire réaliser cette fabrication en marche continue, en utilisant les 5 réacteurs agités
existants.
Le débit volumique d’alimentation disponible est : F0=10 m3 /h, contenant :
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐵0 = 0,736 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
2- a) Calculer la production horaire d’acétate de sodium dans les deux cas suivants :
α) les 5 réacteurs agités sont disposés en série.
41
β) les 5 réacteurs agités sont disposés en parallèle.
2- b) Peut-on prévoir qualitativement la meilleure disposition des 5 réacteurs ?
Réponse de l’exercice :
1-a) Il s’agit d’un réacteur discontinu où se déroule une réaction dont le réactif clé est A.
(𝑁𝑐 )𝑓 = (𝑁𝑐 )0 + ((𝑁𝐴 )0 . 𝑋𝐴 )
Par définition :
Avec :



(𝑁𝑐 )0 : Nombre de moles initiales d’acétate de sodium.
(𝑁𝐴 )0 : Nombre de moles initiales du composé A.
𝑋𝐴 : Taux de conversion du composé A
Dans ce cas-là : (𝑁𝑐 )0 = 0 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠
Donc :
(𝑁𝑐 )𝑓 = ((𝑁𝐴 )0 . 𝑋𝐴𝑓 )
-
(∗)
Détermination de 𝑿𝑨 :
En effectuant un bilan matière par rapport à A :
E = S+R+Acc (1)
Où :
𝐸= 0
S=0
R = 𝑣𝐴 . 𝑉. 𝑑𝑡
A = ( 𝑁𝐴 + 𝑑𝑁𝐴 )𝑡+𝑑𝑡 − (𝑁𝐴 )𝑑𝑡 = 𝑑𝑁𝐴
Or par définition, on a :
𝑋𝐴 =
𝑁𝐴0 − 𝑁𝐴
𝑁𝐴0
Donc :
−𝑑𝑁𝐴 = 𝑁𝐴0 . 𝑑𝑋𝐴
L’équation (1) devient donc :
𝑣𝐴 . 𝑉. 𝑑𝑡 = 𝑁𝐴0 . 𝑑𝑋𝐴
Finalement :
𝑋𝐴𝑓
𝑡𝐴 = 𝑁𝐴0 . ∫
𝑋𝐴0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴 . 𝑉
42
(2)
Ce temps actif qui représente le temps nécessaire pour convertir A en produits dans un
réacteur de volume V avec une vitesse cinétique 𝑣𝐴 et un taux de conversion 𝑋𝐴𝑓 qu’on
déterminera après intégration de l’équation (2).
Cependant :
𝑣𝐴 = 𝑘. 𝐶𝐴 . 𝐶𝐵
Avec :
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0 . (1 − 𝑋𝐴 )
Sachant que : 𝐶𝐴0 = 𝐶𝐵0
Donc l’équation (2) devient :
𝑋𝐴𝑓
𝑑𝑋𝐴
− 𝑋𝐴 )2
𝑡𝐴 = 𝐶𝐴0 . ∫
2
𝑋𝐴0 𝑘. 𝐶𝐴0 . (1
Avec :
𝐶𝐴0 =
𝑁𝐴0
𝑉
Et puis que k et 𝐶𝐴0 ne dépendent pas de 𝑋𝐴 donc :
𝑡𝐴 =
𝑋𝐴𝑓
1
𝑑𝑋𝐴
∫
𝑘. 𝐶𝐴0 𝑋𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )2
Donc en intégrant, on obtiendra :
𝑡𝐴 =
1
1
𝑋
.[
] 𝐴
𝑘. 𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴𝑓 𝑋𝐴0 =0
𝑡𝐴 =
1
1
.[
− 1]
𝑘. 𝐶𝐴0 1 − 𝑋𝐴𝑓
Donc :
𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 = [
[
1
− 1]
1 − 𝑋𝐴𝑓
1
] = 1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
1 − 𝑋𝐴𝑓
1 − 𝑋𝐴𝑓 =
1
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
𝑋𝐴𝑓 = 1 −
1
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
Finalement :
43
En remplaçant dans l’équation (*)
On obtiendra :
(𝑁𝑐 )𝑓 = (𝑁𝐴 )0 . ( 1 −
1
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 − 1
(𝑁𝑐 )𝑓 = (𝑁𝐴 )0 . (
)
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
(𝑁𝑐 )𝑓 = (𝑁𝐴 )0 . (
𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
)
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
Puis qu’il s’agit de 5 réacteurs parfaitement agités et en sachant que :
𝐶𝐴0 =
𝑁𝐴0
𝑉
Donc :
5. 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 2 . 𝑉
(𝑁𝑐 )𝑓 = (
)
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
(3)
1-b) Afin de déterminer la durée totale du cycle garantissant une vitesse moyenne de
production maximale, il impose de résoudre l’équation :
𝑑𝑃𝑅
=0
𝑑𝑡𝐴
Par définition :
𝑃𝑅 =
𝑁𝑐𝑓
𝑡𝐴 + 𝑡𝑀
Donc :
𝑁𝑐𝑓
𝑑 (𝑡 + 𝑡 )
𝐴
𝑀
=0
𝑑𝑡𝐴
(4)
En remplaçant (3) dans (4) :
5. 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 2 . 𝑉
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
𝑑(
)
𝑡𝐴 + 𝑡𝑀
=0
𝑑𝑡𝐴
(5)
Puis que k , 𝐶𝐴0 et V sont des constantes donc :
L’équation (5) devient :
𝑡𝐴
𝑑(
)
(1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 ). (𝑡𝐴 + 𝑡𝑀 )
= 0
𝑑𝑡𝐴
44
 𝑡𝐴 + 𝑡𝑀 + 𝑡𝐴² . 𝑘. 𝐶𝐴0 + 𝑡𝐴 . 𝑡𝑀 . 𝑘. 𝐶𝐴0 = 𝑡𝐴 . ((𝑘. 𝐶𝐴0 . (𝑡𝐴 + 𝑡𝑀 )) + (1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 ))
Après élimination des termes égaux, on aura :
 𝑡𝐴 + 𝑡𝑀 + 𝑡𝐴² . 𝑘. 𝐶𝐴0 + 𝑡𝐴 . 𝑡𝑀 . 𝑘. 𝐶𝐴0 = 𝑡𝐴2 . 𝑘. 𝐶𝐴0 + 𝑘. 𝐶𝐴0 . 𝑡𝑀 . 𝑡𝐴 + 𝑡𝐴 + 𝑡𝐴2 . 𝑘. 𝐶𝐴0
Finalement :
𝑡𝐴 = √
𝑡𝑀
𝑘. 𝐶𝐴0
Application numérique :
𝑡𝐴 = √
30
= 30 𝑚𝑖𝑛
4,53. 10−2 . 0,736
Détermination graphique du temps actif :
𝑡𝐴 Peut être déterminé graphiquement en se référant à un programme MATLAB :
Clear
clc
k=4.53*10^-2; %input('Veuillez donner k1=');
NB0=1472;%input('Veuillez donner teta=');
tm=-30;%input('Veuillez donner le temps mort =');
V=2000;%input('Veuillez donner ca0=');%ca0<=10mol/l
ta=0:1:100;
for j=1:length(ta)
NC(j)=NB0*(1-(V/((k*NB0*ta(j))+V)));
end
X=0:0.1:50;
for t=1:length(X)
y(t)=X(t)+30;
end
t0=sqrt((30*V)/(NB0*k))
deriv=NB0^2*((V*k)/((NB0*k*t0+V)^2));
image=NB0*(1-(V/((k*NB0*t0)+V)))
t=tm:1:100;
yt=deriv*(t-t0)+image;
plot(t,yt,'r',ta,NC,'g')
line([t0 t0],[0 image])
line([tm t0],[image image])
axis([-30,100,0,1500])
title('Représentation de la production molaire
actif')
xlabel('temps actif')
ylabel('Nombre de moles finales')
gtext('x=y')
en fonction du temps
Ce programme MATLAB nous fournira le graphe suivant représentant du nombre de moles
finales en fonction du temps actif.
45
Après exécution du programme, l’obtention de cette courbe nous assure la conformité des
résultats algébriques et graphiques, le temps actif de ce problème n’est donc autre que 30 min.
Remarque :
Sur la courbe, la valeur du nombre de moles correspondante au temps actif qui répond au
problème (30 min) est de 735 moles, cette valeur est associée à un seul réacteur parfaitement
agité et doit être multiplié par 5 afin d’obtenir graphiquement la valeur du nombre de moles
finales nécessaires pour le calcul de la production molaire.
Détermination de la production molaire d’acétate de sodium :
𝑃𝑅 =
𝑁𝑐𝑓
𝑡𝐴 + 𝑡𝑀
Or:
𝑁𝑐𝑓
5. 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0 2 . 𝑉 5.30.4,53. 10−2 . 0,7362 . 2. 103
=
=
= 3680.41 moles
1 + 𝑡𝐴 . 𝑘. 𝐶𝐴0
1 + 30.4,53. 10−2 . 0,736
Finalement:
𝑃𝑅 =
𝑁𝑐𝑓
3680.412
=
= 61,34 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠/𝑚𝑖𝑛
𝑡𝐴 + 𝑡𝑀
120
46
2- a) La production horaire d’acétate de sodium :
α) les 5 réacteurs agités sont disposés en série :
Par définition :
𝑃𝑅 = 𝐹0 × 𝐶𝑐
Et on a :
𝐶𝑐 = 𝐶𝐴0 × 𝑋𝐴 (1)
Or on a :
𝑋𝐴 =
𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
𝐶𝐴0
Alors on remplace dans l’équation (1) par l’expression de XA :
𝐶𝑐 = 𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
Alors pour les 5 réacteurs en séries :
𝐶𝑐 5 = 𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴 5
Donc :
𝑃𝑅 = 𝐹0 × (𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴 5 )
Bilan matière :
𝐶𝐴𝑛−1 = 𝐶𝐴𝑛 + 𝑣𝐴𝑛 ×
𝑉
𝐹0
Donc :
𝐶𝐴𝑛−1 = 𝐶𝐴𝑛 + 𝐾𝑛 × 𝐶𝐴𝑛 2 ×
𝑉
𝐹0
Pour résoudre cette équation de second ordre on a trois méthodes :


Une algébrique (le calcul de Δ, puis calculer les concentrations du réactif clé jusqu’on
arrive à la concentration finale).
Deux méthodes graphiques (la méthode d’ELDRIGE et PIRET, et la méthode de
JONES).
La méthode 1 : Algébrique
On a :
𝐶𝐴𝑛−1 = 𝐶𝐴𝑛 + 𝐾𝑛 × 𝐶𝐴𝑛 2 ×
47
𝑉
𝐹0
En calculant de Δ on aura :
𝐶𝐴𝑛 =
𝑉
−1 + √1 + 4 × 𝐾𝑛 × 𝐹 × 𝐶𝐴𝑛−1
0
𝑉
2 × 𝐾𝑛 × 𝐹
0
Application numérique :
2 × 60
10 × 𝐶𝐴0
= 0,5634 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
2 × 60
2 × 4,53 × 10−2 × 10
−1 + √1 + 4 × 4,53 × 10−2 ×
𝐶𝐴1 =
2 × 60
10 × 𝐶𝐴1
= 0,4522𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
2 × 60
2 × 4,53 × 10−2 × 10
−1 + √1 + 4 × 4,53 × 10−2 ×
𝐶𝐴2 =
2 × 60
10 × 𝐶𝐴1
= 0,3755 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
2 × 60
2 × 4,53 × 10−2 × 10
−1 + √1 + 4 × 4,53 × 10−2 ×
𝐶𝐴3 =
2 × 60
10 × 𝐶𝐴3
= 0,3199𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
2 × 60
−2
2 × 4,53 × 10 × 10
−1 + √1 + 4 × 4,53 × 10−2 ×
𝐶𝐴4 =
2 × 60
10 × 𝐶𝐴4
= 0,2779 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
2 × 60
−2
2 × 4,53 × 10 × 10
−1 + √1 + 4 × 4,53 × 10−2 ×
𝐶𝐴5 =
La méthode 2 : ELDRIGE et PIRET
Pour cette méthode on va utiliser MATLAB ou on a la méthode déjà programmé :
48
La représentation graphique de MATLAB :
Donc on peut déduire que :
𝐶𝐴5 = 0,2779 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
La méthode 3 : JONES
Nous allons utiliser la méthode de JONES déjà programmée pour avoir :
La représentation graphique de MATLAB :
49
Donc on peut déduire que :
𝐶𝐴5 = 0,2779 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
Donc on fait l’application numérique pour l’équation :
𝑃𝑅 = 𝐹0 × (𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴 5 )
On aura :
𝑃𝑅 =
10 × 103
× (0,736 − 0,2779)
60
𝑃𝑅 = 4580,61 𝑚𝑜𝑙𝑒/ℎ
50
β) les 5 réacteurs agités sont disposés en parallèle :
Le schéma du montage :
On a par définition :
𝑃𝑅 = 𝐹0 × 𝐶𝑐
Et on a :
𝐶𝑐 = 𝐶𝐴0 × 𝑋𝐴 (1)
Or :
𝑋𝐴 =
𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
𝐶𝐴0
Alors on remplace dans l’équation (1) par l’expression de XA :
𝐶𝑐 = 𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴
Alors pour les 5 réacteurs en parallèles :
𝐶𝑐 𝑓 = 𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴 𝑓
Donc :
51
𝑃𝑅 = 𝐹0 × (𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴 𝑓 )
Et la concentration finale de A est égale à celle à la sortie de chacun des 5 réacteurs :
Donc on fait le bilan matière pour un seul réacteur :
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴𝑓 + 𝑣𝐴 ×
𝑉
𝐹0′
Donc :
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴𝑓 + 𝐾𝑛 × 𝐶𝐴𝑓 2 ×
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴𝑓 + 𝐾𝑛 × 𝐶𝐴𝑓 2 ×
𝑉
𝐹0′
5×𝑉
𝐹0
On résoudre l’équation de second ordre par le Δ :
5×𝑉
× 𝐶𝐴0
𝐹0
5×𝑉
2 × 𝐾𝑛 × 𝐹
0
−1 + √1 + 4 × 𝐾𝑛 ×
𝐶𝐴𝑓 =
Application numérique :
5 × 2 × 60
× 𝐶𝐴0
10
= 0,368 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
5 × 2 × 60
2 × 4,53 × 10−2 ×
10
−1 + √1 + 4 × 4,53 × 10−2 ×
𝐶𝐴𝑓 =
Donc on fait l’application numérique pour l’équation :
𝑃𝑅 = 𝐹0 × (𝐶𝐴0 − 𝐶𝐴 𝑓 )
On aura :
𝑃𝑅 =
10 × 103
× (0,736 − 0,368 )
60
𝑃𝑅 = 3680 𝑚𝑜𝑙𝑒/ℎ
2- b) En se basant sur les deux dernières questions, nous pouvons conclure que la disposition
en série demeure la disposition idéale pour les 5 réacteurs vu qu’elle suscite une production
horaire d’acétate de sodium égale à 4580,61 moles/h et donc supérieure à celle de la disposition
en parallèle.
52
TD 5 :
Enoncé de l’exercice :
L’étude cinétique de la décomposition thermique de l’acétaldéhyde à 518°C et sous 1 atm
absolue a été faite dans un réacteur dynamique. La réaction est la suivante :
𝐶𝐻3 𝐶𝐻𝑂 − − − − > 𝐶𝐻4 + 𝐶𝑂
L’acétaldéhyde est vaporisé dans un bouilleur et passe ensuite dans un tube maintenu à
518°C. Le tube réacteur a un diamètre de 3,3 cm et une longueur de 80 cm. On peut changer le
débit en changeant le débit d’ébullition.
Les analyses à la sortie du tube permettent de calculer la fraction d’acétaldéhyde
décomposé.
Débit (g/h)
130
50
21
10,8
Fraction décomposée
0,05
0 ;13
0,24
0,35
1) Quelle équation de vitesse peut-on proposer pour recouper ces résultats ?
(Détermination de l’ordre de la réaction)
2) Etablir l’expression de la constante de vitesse K.
Corrigé de l’exercice :
vA = k. CAn (*) (1)
Où :
k : constante de la réaction.
L’acétaldéhyde est vaporisé dans un bouilleur avant d’être introduit dans le réacteur, il s’agit
donc d’un système gazeux ce qui induit que :
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0 .




(1 − 𝑋𝐴 ). 𝛽 −1
(∗∗)
1 + 𝜀𝑋𝐴
𝐶𝐴0 ∶ 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑐é𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒ℎ𝑦𝑑𝑒
𝛽 ∶ facteur de dilatation physique
𝜀 ∶ 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑 ′ 𝑒𝑥𝑝𝑎𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑑𝑢𝑖𝑠𝑎𝑛𝑡 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑐ℎ𝑖𝑚𝑖𝑞𝑢𝑒
𝑋𝐴 ∶ 𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑐é𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒ℎ𝑦𝑑𝑒
53
Calcul de 𝜀 :
Par définition :
𝜀 = 𝑌𝐴0 . 𝛿
Avec :
𝑌𝐴0 ∶ 𝐹𝑟𝑎𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑐é𝑡𝑎𝑙𝑑𝑒ℎ𝑦𝑑𝑒
𝛿=
𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑢 𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑁𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑𝑒 𝑚𝑜𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐴 𝑟é𝑎𝑔𝑖
Or :
𝑌𝐴0 = 1 Et 𝛿 = (1 + 1 − 1) = 1
Calcul de 𝛽 :
Par définition :
𝑃0 𝑇
.
𝑃 𝑇0
𝛽=
La température et pression sont constantes tout au long de la réaction donc : 𝛽 = 1
L’équation (**) devient donc :
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0 .
(1 − 𝑋𝐴 )
1 + 𝑋𝐴
Donc :
vA = k. 𝐶𝐴0 .
(1−𝑋𝐴 ) 𝑛
(1+𝑋𝐴 )𝑛
Pour déterminer, l’ordre de la réaction, il suffit de déterminer la valeur de n , il impose donc
de linéariser cette équation en passant par la fonction logarithme :
L’équation (2) devient donc :
log 𝑣𝐴 = log 𝑘 + 𝑛. log (𝐶𝐴0 .
(1 − 𝑋𝐴 )
)
1 + 𝑋𝐴
Afin de déterminer n et k, il faut tracer :
log(
(1 − 𝑋𝐴 )
) = 𝑓(𝑣𝐴 )
1 + 𝑋𝐴
Détermination de 𝒗𝑨 :
Bilan matière par rapport à l’acétaldéhyde :
𝐸 = 𝑆 + 𝑅 + 𝐴𝐶𝐶 (1)
Il s’agit d’un réacteur tubulaire fonctionnant en mode continu donc :
54
𝐴𝐶𝐶 = 0
D’autre part :
𝐸 = 𝐹𝐴 . 𝑑𝑡
S = (𝐹𝐴 + dFA ). dt
𝑅 = 𝑣𝐴 . 𝑣. 𝑑𝑡
En remplaçant donc dans l’équation 1, on obtient :
𝐹𝐴 . 𝑑𝑡 = (𝐹𝐴 + 𝑑𝐹𝐴 ). 𝑑𝑡 + 𝑣𝐴 . 𝑉. 𝑑𝑡 (2)
Or, le temps n’est pas une variable du système
D’autre part, par définition de taux de conversion :
𝑋𝐴 =
𝐹𝐴0 −𝐹𝐴
𝐹𝐴0
Donc :
−𝑑𝐹𝐴 = 𝐹𝐴0 .𝑑𝑋𝐴
En substituant dans l’équation (2), on trouve :
𝐹𝐴 = 𝐹𝐴 − (𝐹𝐴0 . 𝑑𝑋𝐴 ) + 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉
Finalement :
𝑋𝐴𝑓
𝑉 = 𝐹𝐴0 ∫
𝑋𝐴0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
Ce qui nous donne :
𝑑𝑉 = 𝐹𝐴0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
Et donc :
𝑣𝐴 =
𝑑𝑋𝐴
𝑉
𝑑(𝐹 )
𝐴0
Les résultats de calcul seront dressés dans le tableau suivant :
𝑋𝐴
0,05
0,13
0,24
0,35
𝑉
𝐹𝐴0 ′
828
2160
5210
10050
𝑣𝐴
1−𝑋 )
Log ((1+𝑋𝐴 )
Log 𝑣𝐴
𝐴
6,03. 10−5
6, 10−5
3,60. 10−5
2,27. 10−5
55
-0,04
-0,11
-0,21
-0,31
-4,21
-4,22
-4,44
-4,64
1−𝑋 )
En traçant la courbe Log 𝑣𝐴 = f (Log ((1+𝑋𝐴 )) :
𝐴
4,7
y = 1,6911x + 4,0942
R² = 0,9483
log (va)
4,6
4,5
4,4
4,3
4,2
4,1
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
log((1-XA)/(1+XA))
Selon la courbe, on a :
n=1,6 par majoration, l’ordre de la réaction sera égal à 2
C’est donc une réaction d’ordre 2
56
0,3
0,35
TD7 : REACTEUR TUBULAIRE
Enoncé de l’exercice :
La réaction en phase gazeuse :
N2O5 + NO
3 NO2
(mole .l-1.h-1)
Est du premier ordre : V=K.CN2O5
1
1
𝐾 = 0,345. 𝐸𝑥𝑝 [7850 (298 − 𝑇)] (h-1)
Avec :
T (°K)
Cette transformation est réalisée, en présence de l’azote, dans un réacteur tubulaire à
alimentation continue, maintenu à température constante (150°C).
Débit d’alimentation : 10 Kmoles/h, à 150°C sous 1 atm ;
Composition : N2O5 :12,5 % molaire
NO : 12,5 % molaire
N2 : 75,0 % molaire
Calculer le volume du réacteur nécessaire pour atteindre un taux de conversion (de N2O5)
de 50 %.
Nota : on admettra que les gaz sont parfaits.
Réponse de l’exercice :
Bilan matière :
𝐸 = 𝑆 + 𝑅 + 𝐴𝐶𝐶 (1)
Il s’agit d’un réacteur tubulaire fonctionnant en mode continu donc :
𝐴𝐶𝐶 = 0
D’autre part :
𝐸 = 𝐹𝐴 . 𝑑𝑡
S = (𝐹𝐴 + dFA ). dt
𝑅 = 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉. 𝑑𝑡
En remplaçant donc dans l’équation (1), on obtient :
𝐹𝐴 . 𝑑𝑡 = (𝐹𝐴 + 𝑑𝐹𝐴 ). 𝑑𝑡 + 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 (2)
57
D’autre part, par définition de taux de conversion :
𝐹𝐴𝑒 −𝐹𝐴
𝑋𝐴 =
𝐹𝐴𝑒
Donc :
−𝑑𝐹𝐴 = 𝐹𝐴𝑒 .𝑑𝑋𝐴
En substituant dans l’équation (2), on trouve :
𝐹𝐴 = 𝐹𝐴 − (𝐹𝐴𝑒 . 𝑑𝑋𝐴 ) + 𝑣𝐴 . 𝑑𝑉
Finalement :
𝑋𝐴𝑓
𝑉 = 𝐹𝐴𝑒 ∫
𝑋𝐴0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
Avec :


FAe = FA0
𝑋𝐴0 = 0
 𝑋𝐴𝑓 = 0,5
Donc :
0,5
𝑉 = FA0 ∫
0
0,5
𝑉 = FA0 ∫
0
𝑑𝑋𝐴
𝑣𝐴
𝑑𝑋𝐴
𝐾. 𝐶N2O5
(∗)
Et on a :
𝐶N2O5 = 𝐶N2O50 .
(1 − 𝑋𝐴 ). 𝛽 −1
1 + 𝜀𝑋𝐴
Par définition :
𝛽=
𝑃0 𝑇
.
𝑃 𝑇0
La température et pression sont constantes tout au long de la réaction donc : 𝛽 = 1
Donc :
𝐶N2O5 = 𝐶N2O50 .
(1 − 𝑋𝐴 )
1 + 𝜀𝑋𝐴
On remplace la concentration dans (*) :
0,5
𝑉 = FA0 ∫
0
𝑑𝑋𝐴
(1 − 𝑋 )
𝐾. 𝐶N2O50 . 1 + 𝜀𝑋𝐴
𝐴
58
𝑉=
0,5
FA0
(1 + 𝜀𝑋𝐴 )𝑑𝑋𝐴
∫
(1 − 𝑋𝐴 )
𝐾. 𝐶N2O50 0
On calcule l’intégrale :
0,5
FA0
1
𝑉=
[(1 + 𝜀). ln (
) − 𝜀𝑋]
𝐾. 𝐶N2O50
1−𝑋
0
𝑉=
FA0
1
((1 + 𝜀). ln ( ) − 0,5𝜀)
𝐾. 𝐶N2O50
0,5
Donc :
𝑉=
FA0
((1 + 𝜀). ln(2) − 0,5𝜀)
𝐾. 𝐶N2O50
Calcul de 𝜺 :
Par définition :
𝜀 = 𝑌N2O50 . 𝛿
Or :
𝑌N2O50 = 0,125 Et 𝛿 = (3 − 1 − 1) = 1
Donc :
𝜀 = 0,125
Calcul de 𝐶N2O50 :
Par définition :
PV=nRT
Donc :
𝐶N2O50 =
Avec :
𝑛
𝑃0
=
𝑉 𝑅𝑇0
𝑃0 = 𝑌N2O50 × 𝑃𝑇
Donc :
𝐶N2O50 =
𝑌N2O50 × 𝑃𝑇
𝑅𝑇0
Application numérique :
𝐶N2O50 =
0,125 × 105 × 10−3
8,314 × (150 + 273,15)
𝐶N2O50 = 3,55. 10−3 𝑚𝑜𝑙𝑒/𝑙
59
Calcul de K :
On a :
1
1
𝐾 = 0,345. 𝐸𝑥𝑝 [7850 (
− )]
298 𝑇
Application numérique :
1
1
𝐾 = 0,345. 𝐸𝑥𝑝 [7850 (
−
)]
298 (150 + 273,15)
𝐾 = 834,41 ℎ−1
Donc l’application numérique du volume :
10 × 103 × 0,125
𝑉=
((1 + 0,125). ln(2) − 0,5 × 0,125)
834,41 × 3,55 × 10−3
Donc le volume du réacteur nécessaire pour atteindre un taux de conversion de 50% est :
𝑉 = 302,69 𝑙
60
TD 8 : Réacteur tubulaire : influence de l’inerte
Enoncé de l’exercice :
L’éther diméthylique est décomposé en phase gazeuse, à température constante (T=504°C)
dans un réacteur tubulaire de volume V = 50 litres, suivant la réaction du premier ordre :
(CH3 ) 2 O
CH4 + H2 +CO
𝑣 = 𝑘 ∗ 𝐶𝐸𝑡ℎ𝑒𝑟
Avec
𝐾 = 4.3 10−4 𝑠 −1
En fonctionnement normal, l’alimentation d’un débit volumique total de 100 litres /heure
(Mesuré dans les conditions de la réaction) contient : 40% mol d’éther et 60% mol d’inerte.
Le débit molaire d’éther à l’entrée du réacteur restant constant, déterminer l’influence d’une
épuration (élimination) partielle ou totale de l’alimentation sur le taux de conversion de l’éther.
Nota : on appellera 𝛼 la teneur en inerte par rapport à celle de l’éther dans l’alimentation :
 Sans épuration : 𝛼=1.5
 Epuration totale : 𝛼=0
Corrigé de l’exercice :
Soit la réaction en phase gazeuse :
A
𝐹0
𝐶𝐴0
Volume de TUB =50l
SEPARATEUR
𝐹𝐴0
B + C+ D
Elimination d’inerte
En fonctionnement normal, sans épuration :
On a :
𝐹0 = 100 𝑙/ℎ


40% mole de A
60% mole de I
Soit 𝛼 = la teneur en inerte dans l’alimentation
𝛼=
𝐹𝐼0
𝑑é𝑏𝑖𝑡 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐼
=
𝐹𝐴0
𝑑é𝑏𝑖𝑡 𝑚𝑜𝑙𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑡𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝐴
Application numérique :
𝛼=
60%
= 1.5
40%
61
𝑋𝐴𝑓
D’autre part :
Le dimensionnement d’un réacteur tubulaire a définit son volume comme suit :
𝑋𝐴𝑓
𝑉 = 𝐹𝐴0 ∫
𝑋𝐴0
𝑑𝑋
𝜗𝐴
(1)
Avec :
𝜗𝐴 = 𝐾. 𝐶𝐴
Où : A est un éther
Il s’agit d’un système gazeux, donc :
𝐶𝐴 = 𝐶𝐴0 ∗ (
1 − 𝑋𝐴
)
1 + 𝜀 ∗ 𝑋𝐴
Donc, l’équation (1) devient :
𝑋𝐴𝑓
𝑑𝑋
𝑉 = 𝐹𝐴0 ∫
𝐾 ∗ 𝐶𝐴0
𝑋𝐴0
1−𝑋
∗ (1 + 𝜀 ∗ 𝐴𝑋 )
𝐴
(2)
N.B : tous les paramètres de l’équation (1) sont relatif à l’état d’entrée de RT donc l’équation
1 devient.
Or on a :
′
𝐶𝐴0
=
𝐹𝐴0 ′ 𝐹𝐴0
=
𝐹0 ′
𝐹0 ′
′
Car : 𝐹𝐴0
= 𝐹𝐴0
L’équation (2) devient donc :
𝑋𝐴𝑓
𝑑𝑋𝐴
𝑉 = 𝐹𝐴0 ∫
𝑋𝐴0
𝐾 ∗ 𝐶𝐴0
′
(3)
1−𝑋
∗ (1 + 𝜀 ∗ 𝐴𝑋 )
𝐴
Calcule de 𝜀 :
En dressant le tableau stœchiométrique, on obtient :
t
t=0
t#0
A
A
a(1-X)
B
0
aX
C
0
aX
D
0
aX
Par définition :
𝜀 = 𝑌𝐴0 . 𝛿
62
I
i
i
T
a+i
a+i+2aX
Où :
𝛿=2
Et :
𝑌𝐴0 =
𝑎
𝑎+𝑖
Donc :
𝜀=
2∗𝑎
𝑎+𝑖
Or :
𝛼=
𝑖
𝑎
𝑖 = 𝛼∗𝑎
Donc :
𝜀=
2∗𝑎
2
=
𝑎+𝛼∗𝑎 1+𝛼
Finalement :
𝜀=
2
1+𝛼
L’intégration de l’équation (2) nous donne :
𝑉=
𝐹𝐴0
3+𝛼
1
2
ln (
)−
𝑋 ]
′[
1 − 𝑋𝐴𝑓
1 + 𝛼 𝐴𝑓
𝐾 ∗ 𝐶𝐴0 1 + 𝛼
Détermination de 𝑪𝑨𝟎 ′ :
Par définition :
𝐶𝐴0 ′ =
𝑛𝐴0
𝐹𝐴0
= ′
(𝑉𝑡 )𝑡=0 𝐹 0
Avec :
𝐹𝐴0 = 𝑐𝑡𝑒 = (𝐹0 )𝛼=1.5 ∗ (𝐶𝐴0 )𝛼=1.5
Et :
𝐹𝐴0 = (𝐹 ′ 0 )𝛼#1.5 ∗ (𝐶𝐴0 ′ )𝛼#1.5
Donc :
(𝐹 ′ 0 )𝛼#1.5 =
𝐹𝐴0
(𝐶𝐴0 ′ )𝛼#1.5
En supposant que le gaz est parfait :
𝑃𝑉 = 𝑛𝑅𝑇
63
(∗)
𝑃𝐹0 = 𝐹𝑡 𝑅𝑇
Donc :
𝑃𝐹 ′ 0 = 𝐹 ′ 𝑡 . 𝑅. 𝑇
(3)
Avec :


𝐹 ′ 0 =débit volumique à l’entrée
𝐹 ′ 𝑡 = débit molaire total à l’entrée
D’autre part :
𝐹 ′ 𝑡 = 𝐹 ′𝐴0 + 𝐹 ′ 𝐼0
L’équation (3) devient donc :
𝑃(𝐹 ′ 0 )𝛼 = (𝐹 ′𝐴0 + 𝐹 ′ 𝐼0 )𝑅𝑇
Avec :


𝐹 ′𝐴0 = débit molaire totale à l’entrée du réacteur de A
𝐹 ′ 𝐼0 = débit molaire de I à l’entrée du réacteur
La constance du débit molaire de A nous donne :
𝐹 ′𝐴0 = 𝐹𝐴0
Donc en revenant à la définition de, on obtient :
𝛼=
𝐹𝐼0 𝐹 ′ 𝐼0 𝐹 ′ 𝐼0
=
=
𝐹𝐴0 𝐹 ′𝐴0 𝐹 𝐴0
Donc :
𝑃(𝐹 ′ 0 )𝛼 = (𝐹 𝐴0 + 𝛼𝐹 𝐴0 )𝑅𝑇
D’où :
𝑃(𝐹 ′ 0 )𝛼 = (1 + 𝛼)𝐹 𝐴0 𝑅𝑇
(4)
Or pour 𝛼 = 1.5 , on a :
𝐹 ′ 0 = 𝐹 0= 100 l/h
L’équation (4) devient donc :
𝑃𝐹
0
= 2.5 𝐹 𝐴0 𝑅𝑇
(5)
En faisant le rapport (4)/(5) , on obtient :
(𝐹 ′ 0 )𝛼 = 𝐹
0
64
∗
(1 + 𝛼)
2.5
D’où :
′
𝐶𝐴0
=
2,5. 𝐹𝐴0
𝐹0 . (1 + 𝛼)
(6)
En substituant (6) dans (*), on obtient donc :
−3 − 2.5
𝛼=
𝑘
𝑉
+ 2𝑋𝐴𝑓
𝐹 𝐴 0 𝑇𝑈𝐵(𝑅𝑇)
ln(1 − 𝑋𝐴𝑓 )
Interprétation :
En effectuant une épuration totale :
𝛼=0
𝑋𝐴𝑓 = 66%
𝛼 = 1.5
𝑋𝐴𝑓 = 47%
En absence d’épuration :
Calcul de l’augmentation de taux de conversion en effectuant une épuration totale :
Soit Z l’augmentation du taux de conversion :
𝑍=
0,66 − 0,47
= 28%
0,66
En effectuant l’épuration, le taux de conversion augmentera de 28 %, chose qui montre
l’importance de l’épuration avant de commencer la réaction.
65
Exercice d’application : comparaison de RAC et TUB :
Enoncé de l’exercice
L’hydrolyse d’une solution diluée d’anhydride acétique (25 °C) a lieu avec la vitesse
V = 0,158.CA mole/cm3.mn.
CA représente la concentration en anhydride acétique en mole / cm3
La vitesse d’introduction est de 500 cm3/mn avec une concentration en anhydride de
1,5 .10-4 mole /cm3.
On dispose de réacteurs agités : 2 réacteurs de 2,5 l.
1 réacteur de 5l.
1. On demande de comparer le taux de conversion entre les 2 réacteurs de 2,5 l utilisés en
série et le réacteur de 5 l.
Il est évident que l’alimentation du réacteur de 5 l et du réacteur de 2,5l est la même.
2. Obtiendra-t-on un taux de conversion plus élevé si les é réacteurs de 2,5l sont employés
en parallèle dans ce cas l’alimentation de chaque réacteur est de 250 cm3/mn.
3. Comparer le taux de conversion obtenu en 1 et 2 avec celui obtenu pour un réacteur
tubulaire de 5 l.
4. Le taux de conversion sera-t-il plus élevé si l’on dispose en série d’un réacteur agité de
2,5 l et d’un réacteur tubulaire de 2,5 l
On suppose que la densité des solutions est constante dans tous les cas.
Corrigé de l’exercice :
1. La comparaison du taux de conversion entre les deux réacteurs de 2.5 l en série et le réacteur
de 5 L.
En appliquant le bilan de matière pour les deux RAC, on obtient :
𝐶𝐴0 𝐹0 𝑑𝑡 = 𝐶𝐴1 𝐹0 𝑑𝑡 + 𝑣𝐴 𝑉𝑑𝑡
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴1 + 𝑣𝐴
𝑉
𝐹0
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴1 + 𝑘 ∗ 𝐶𝐴1 ∗
𝑉
𝐹0
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴1 (1 + 𝑘
𝑉
)
𝐹0
𝐶𝐴1 = 𝐶𝐴2 (1 + 𝑘
𝑉
)
𝐹0
Et de la même façon on trouve
Donc si on remplace 𝐶𝐴1 par sa valeur dans la première équation on obtient :
66
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴2 (1 + 𝑘
𝑉 2
)
𝐹0
Avec :
𝐶𝐴2 = 𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )
𝐶𝐴0 = 𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )(1 + 𝑘
1 = (1 − 𝑋𝐴 )(1 + 𝑘
(1 − 𝑋𝐴 ) =
𝑉 2
)
𝐹0
𝑉 2
)
𝐹0
1
𝑉
(1 + 𝑘 𝐹 )2
0
𝑋𝐴 = 1 −
1
𝑉
(1 + 𝑘 𝐹 )2
0
Application numérique
𝑋𝐴 = 68.79%
Et pour un seul réacteur de 5 L on trouve que le taux de conversion :
𝑋𝐴 = 1 −
1
𝑉
1+𝑘𝐹
0
𝑋𝐴 = 61.24%
2. Les deux réacteurs de 2.5 L sont employés en parallèle avec une alimentation de
250𝑐𝑚3 /𝑚𝑖𝑛
Puisque on a le même débit à l’entrée alors on ne prend en considération qu’un seul
réacteur
𝑋𝐴 = 1 −
1
𝑉
1+𝑘𝐹
0
𝑋𝐴 = 61.24%
67
3. En appliquant le bilan matière sur le réacteur tubulaire de 5l :
On a :
𝐹𝐴0 𝑑𝑋𝐴 = 𝑑𝑉 𝑣A
D’où :
𝑉 = 𝐹0 𝐶𝐴0 ∫
𝑑𝑋𝐴
𝑣A
Donc :
𝑉=
𝐹0
1
ln(
)
𝑘
1 − 𝑋𝐴
D’où :
𝑋𝐴 = 1 −
1
𝑉𝑘
exp( 𝐹 )
0
Application numérique
𝑋𝐴 = 79,4%
4. Le taux de conversion dans le cas où l’on dispose en série d’un réacteur agité de 2,5 l et
d’un réacteur tubulaire de 2,5 l
D’après la 1ere question, à la sortie du réacteur agité continu, on a
𝑋𝐴 = 44,13%
A la sortie du réacteur tubulaire le taux de conversion sera calculé de la façon suivante :
On a, d’après le bilan de matière :
𝑋𝐴2
𝑉 = 𝐹0 𝐶𝐴0 ∫
𝑋𝐴1
𝑑𝑋𝐴
𝑘𝐶𝐴0 (1 − 𝑋𝐴 )
D’où:
𝐹0 𝑋𝐴2 𝑑𝑋𝐴
𝑉=
∫
𝑘 𝑋𝐴1 (1 − 𝑋𝐴 )
𝑘𝑉
1
1
= ln (
) − ln (
)
𝐹0
1 − 𝑋𝐴2
1 − 𝑋𝐴1
D’où:
1
𝑘𝑉
1
(
) = exp( + ln (
))
1 − 𝑋𝐴2
𝐹0
1 − 𝑋𝐴1
Donc :
68
𝑋𝐴2 = 1 − exp(−(
𝑘𝑉
1
+ ln (
)))
𝐹0
1 − 𝑋𝐴1
Application numérique
𝑋𝐴 = 74,64%
Interprétations :
D’après l’analyse des résultats obtenus, on remarque que :

Le taux de conversion dans le cas d’un seul réacteur tubulaire de 5 l est de 79,4% alors
que lorsqu’on dispose de deux réacteurs RAC en parallèle d’un volume de 2,5 l pour
chacun, le taux de conversion est de 61,24 %, il vaut donc mieux d’utiliser un seul
réacteur tubulaire d’un volume de 5L que de disposer de deux RAC en parallèle.

Le cas idéal c’est de placer un réacteur agité de 2,5 l en série avec un réacteur tubulaire
de 2,5 l, puis que le taux de conversion dans ce cas atteint une valeur de 79,64%.
69
Contrôle 1 :
Réponse de l’exercice :
Bilan matière :
E = S + R + Acc (1)
Il s’agit d’un réacteur tubulaire à marche continue donc :
Avec :
E= FA (w)
S= FA (w+dw)
R= rw .dw
Acc = 0
Donc l’équation (1) devient :
FA(w)= FA (w+dw)+ rw .dw
FA (w)= FA (w)+d FA + rw .dw
- d FA = rw .dw
(*)
Par définition du taux de conversion :
𝑋𝐴 =
FA0 − F0
FA0
Donc :
- d FA =dXA .FA0
Donc l’équation (*) devient :
dXA .FA0= rw .dw
dw =
dXA × FA0
rw
Donc :
𝑋𝐴𝑓
w = FA0 ∫
𝑋𝐴𝑒
𝑑𝑋𝐴
𝑟𝑤
En revenant à l’équation de la vitesse, on obtient donc :
rw = K1 P2 P11 /2 - K2 P3 P21/2 P1-1/2
Donc :
70
𝑋𝐴𝑓
𝑑𝑋𝐴
w = FA0 ∫
1
𝑋𝐴𝑒 𝐾1 𝑃2 𝑃 2
1
−
1
1
−
2
𝐾2 𝑃3 𝑃2 𝑃1 2
(2)
Avec :
P1=Y1 × PT
P2=Y2 × PT
P3=Y3 × PT
Le tableau stœchiométrique :
Espèces
SO2
Nombre de moles
initiales
F10
Nombre de moles
échangées
- F10X1
Nombre de moles
restants
F1= F10 (1-X1)
O2
F20
- (1/2) F10X1
F2= F10 (Ɵ2-(1/2) X1)
SO3
0
+ F10X1
F3= F10 X1
Inerte
FI0
-
FI= FI0
Total
FT0
-
FT= FT0 - (1/2) F10X1
Avec :
Ɵ2 =
F20
F10
Expression des fractions :
Y1 =
F1
FT
Donc :
Y1 =
𝐹10 (1 − 𝑋1 )
1
FT0 − 2 𝐹10 𝑋1
Et :
Y2 =
F2
FT
Donc :
Y2 =
1
𝐹10 (Ɵ2 − 2 𝑋1 )
1
FT0 − 2 𝐹10 𝑋1
71
Et :
Y3 =
F3
FT
Donc :
𝐹10 𝑋1
1
FT0 − 2 𝐹10 𝑋1
Alors les pressions partielles seront définies par les relations suivantes :
Y3 =
𝐹10 (1 − 𝑋1 )
𝑃𝑇
1
FT0 − 2 𝐹10 𝑋1
1
𝐹10 (Ɵ2 − 2 𝑋1 )
P2 =
𝑃𝑇
1
FT0 − 2 𝐹10 𝑋1
𝐹10 𝑋1
P3 =
𝑃𝑇
1
FT0 − 2 𝐹10 𝑋1
Donc en remplaçant dans l’équation (2) les expressions des pressions (P1, P2 et P3 ) :
P1 =
On obtiendra :
𝑊
𝑋𝑓
= 𝐹10 ∫
0
𝑑𝑋
1/2
1/2
−1/2
1
1
𝐹10 (Ɵ2 − 2 𝑋1 )
𝐹10 (Ɵ2 − 2 𝑋1 )
𝐹10 (1 − 𝑋1 )
𝐹10 𝑋1
𝐹10 (1 − 𝑋1 )
𝐾1 [
𝑃𝑇 × (
𝑃𝑇 ) ] − 𝐾2 [
𝑃𝑇 × (
𝑃𝑇 ) × (
𝑃𝑇 )
]
1
1
1
1
1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
2
2
2
2
2
Donc :
𝑋𝑓
𝑑𝑋
𝑤 = 𝐹10 ∫
0
3/2
𝐹10 𝑃𝑇
𝐾1 [(
)
1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
2
1
(Ɵ2 − 𝑋1 ) (1 − 𝑋1 )1/2 ] − 𝐾2 [(
2
1/2
1
Ɵ2 − 2 𝑋1
𝐹10 𝑃𝑇
) 𝑋1 (
) ]
1
1 − 𝑋1
FT0 − 𝐹10 𝑋1
2
Cette intégrale peut être résolue à l’aide de la méthode des trapèzes sur MATLAB
Programme MATLAB :
Clc
clear
FT0=input('entrer le debit molaire du melange en moles par heure:');
T=input('entrer la temperature de la reaction en K: ');
Y10=input('entrer la fraction de S02 :');
Y20=input('entrer la fraction de O2 :');
YI0=input('enter la fraction de l''inerte:');
P1=1;
P2=2;
FT0=(FT0*(10^-3))/3600;
K1=exp(12.070-(15600/T));
K2=exp(22.075-(27000/T));
F10=FT0*Y10;
F20=FT0*Y20;
FI0=FT0*YI0;
72
teta2=F20/F10;
X1=0:0.01:0.956;
X2=0:0.01:0.968;
for i=1:length(X1)
f1(i)=F10/((K1*((((F10*P1)/(FT0-0.5*F10*X1(i)))^(3/2))*(teta20.5*X1(i))*(1-X1(i))^(0.5)))-(K2*(((F10*P1)/(FT00.5*F10*X1(i)))*X1(i)*(((teta2-0.5*X1(i))/(1-X1(i)))^(0.5)))));
end
for j=1:length(X2)
f2(j)=F10/((K1*((((F10*P2)/(FT0-0.5*F10*X2(j)))^(3/2))*(teta20.5*X2(j))*(1-X2(j))^(0.5)))-(K2*(((F10*P2)/(FT00.5*F10*X2(j)))*X2(j)*(((teta2-0.5*X2(j))/(1-X2(j)))^(0.5)))));
end
W1=cumtrapz(X1,f1)
W2=cumtrapz(X2,f2)
plot(X1,W1,'r',X2,W2,'g')
xlabel('taux de conversion X ')
ylabel('masse du catalyseur W en Kg ')
legend('pression = 1 atm ','pression = 2 atm ',-1)
title('la masse du catalyseur en fonction du taux de conversion')
grid on
Résultat obtenu :
73
Graphe W=f(X) :
Conclusion :
On constante que toute augmentation du taux de conversion engendre une augmentation de
la masse du catalyseur. Ainsi, pour une pression de 2 atm, la masse du catalyseur est inférieure
à celle de 1 atm il est donc préférable de travailler avec une pression élevée pour gaspiller moins
en terme de masse du catalyseur.
74
EPREUVE DE CONTROLE DE CALCUL DES REACTEURS
Enoncé du problème :
Une réaction en phase liquide du 1er ordre du type :
𝐴  𝑅 Avec
𝑣 = 𝑘. 𝐶𝐴
Doit être réalisée dans une cascade de réacteurs agités à cuve , tous les étages ayant le même
volume (V) et étant maintenus à température constante de telle sorte que k = 2,5 ( ℎ−1 ).
Le débit volumique d’alimentation est constant et égal à F = 5 𝑚3 ⁄ℎeure ; le taux de
conversion final est fixé à 𝑋 = 0,99.
Le prix de l’appareillage pour une cascade de n étages de volume unitaire V de la forme :
P = n. V 0,6
Quel est le nombre d’étages conduisant à la solution la plus économique ?
Corrigé du problème :
Pour obtenir le nombre d’étages conduisant à la solution la plus économique, il impose de
résoudre l’équation :
dP
=0
dn
(1)
En effectuant un bilan matière sur le 𝑛é𝑚𝑒 réacteur, on obtient :
𝐶𝐴𝑛−1 . 𝐹0 . 𝑑𝑡 = 𝐶𝐴𝑛 . 𝐹0 . 𝑑𝑡 + 𝑣𝐴 . 𝑉. 𝑑𝑡
𝐶𝐴𝑛−1 . 𝐹0 = 𝐶𝐴𝑛 . 𝐹0 + 𝑣𝐴𝑛 . 𝑉
Donc :
𝐶𝐴𝑛−1 = 𝐶𝐴𝑛 + 𝑉𝐴𝑛 .
𝑉𝑛
𝐹0
Donc :
𝐶𝐴𝑛−1 = 𝐶𝐴𝑛 + 𝑘. 𝐶𝐴𝑛 .
𝑉𝑛
𝐹0
D’où :
𝐶𝐴𝑛−1 = 𝐶𝐴𝑛 (1 + 𝑘.
𝐶𝐴𝑛 =
𝐶𝐴𝑛 =
𝑉𝑛
)
𝐹0
𝐶𝐴𝑛−1
𝑉
(1 + 𝑘. 𝐹𝑛 )
0
𝐶𝐴0
𝑉
(1 + 𝑘. 𝐹𝑛 )𝑛
0
75
Donc :
𝐶𝐴0 . (1 − 𝑋𝐴 ) =
𝑉
(1 + 𝑘. 𝐹𝑛 )𝑛
0
𝑉 𝑛
1
) =
(1 − 𝑋𝐴 )
𝐹0
(1 + 𝑘.
𝑘.
𝑉
(1 + 𝑘. 𝐹𝑛 )𝑛
0
1
(1 − 𝑋𝐴 ) =
(1 + 𝑘.
𝐶𝐴0
𝑛
𝑉
1
)= √
𝐹0
1 − 𝑋𝐴
𝑛
𝑉
1
= √
−1
𝐹0
1 − 𝑋𝐴
En remplaçant V, 𝐹0 ,et 𝑋𝐴 par leur valeurs, on obtiendra :
1
𝑉 = 2. (100𝑛 − 1)
1
𝑉
+ 1 = 100𝑛
2
1
𝑉
ln( + 1) = ln(100𝑛 )
2
1
𝑉
+ 1 = 𝑒 ln(100𝑛)
2
1
𝑉 = 2. ( 𝑒
ln(100𝑛 )
− 1)
En revenant à l’équation (1) :
𝑑(𝑛. 𝑉 0,6 )
=0
𝑑𝑛
0,6
1
𝑑 (𝑛. (2. ( 𝑒
ln(100𝑛 )
− 1)
))
=0
𝑑𝑛
0,6
1
𝑑 (20,6 . 𝑛. (. ( 𝑒
ln(100𝑛 )
𝑑𝑛
− 1)
))
=0
1
1
1
𝑛. 0,6. ( 2 . ln(100) . 𝑒 𝑛.ln(100) ) = 𝑒 𝑛.ln(100) − 1
𝑛
76
1
1
0,6
. ln(100) . 𝑒 𝑛.ln(100) = 𝑒 𝑛.ln(100) − 1
𝑛
1
1
−0,6
. ln(100) . 𝑒 𝑁.ln(100) + 𝑒 𝑁.ln(100) = 1
𝑛
1
−0,5
𝑒 𝑁.ln(100) . (
. ln(100) + 1) = 1
𝑛
1
𝑒 𝑁.ln(100) . (−0,5 ln(100) + 𝑛) = ln(𝑛)
1
. ln(100) + ln((−0,5. ln(100) + n) = ln(n)
𝑛
4,6
+ ln(𝑛 − 2,7671) = ln(𝑛)
𝑛
Donc après les itérations on trouve :
n=4
Il impose donc de disposer de 4 étages afin de garantir la solution la plus économique,
l’obtention d’un nombre d’étages supérieur à 4 conduira à une bonne production mais avec un
coût élevé alors que l’obtention d’un nombre d’étages inférieur à 4 va générer moins de coûts
mais aussi une faible production.
77
Programmation sur MATLAB
Programme de la méthode d’ELDRIDGE et PIRET :
Définition de la méthode d’ELDRIDGE et PIRET :
La méthode d’ELDRIDGE et PIRET est une méthode graphique qui vise la détermination
de la concentration finale en ayant le nombre d’étages, elle est aussi inversement valable elle
s’adapte à n’importe quelle forme de vitesse mais exige la connaissance de l’étude cinétique de
la réaction 𝑉𝐴𝑛 = 𝑓(𝐶𝐴𝑛 )
Raisonnement MATLAB :
Ce programme MATLAB traite la méthode d’ELDRIDGE AND PIRET dans son cas le
plus général, il demande à l’utilisateur d’entrer des données communes, aux deux cas de figures,
à savoir la constante de la réaction, le débit, le volume, le temps de séjour ainsi que la
concentration initiale. Nous avons commencé par le cas où l’on cherche le nombre d’étages en
connaissant la concentration finale, nous allons donc tout d’abord demander à l’utilisateur
d’entrer la concentration finale désirée, puis l’ordre de la réaction qui se limitera généralement
à 1 ou 2, nous avons ensuite introduit l’expression mettant en évidence la relation entre 𝐶𝑎𝑛−1
et𝐶𝑎𝑛 , ensuite nous avons tracé à l’aide de la fonction PLOT la droite x=y ainsi que
𝐶𝑎𝑛−1 =f(𝐶𝑎𝑛 ) . Nous avons ensuite fait appel à la fonction LINE , qui a pour rôle de relier à
l’aide d’une ligne deux points de coordonnées connues , elle prend deux entrées à savoir les
cordonnées des deux points , cette fonction sera utilisée dans cet exemple pour le traçage des
différents étages de tel manière à ce que pour chaque concentration, nous allons tracer l’étage
nous permettant de la déterminer , ensuite nous allons introduire la boucle WHILE qui
comprendra une condition d’arrêt 𝐶𝐴𝑖−1 > 𝐶𝐴𝑓 , qui lorsqu’elle sera satisfaite, nous allons
aboutir à la concentration finale , cette boucle traitera donc les réactions d’ordre 1 et d’ordre 2
puis nous allons refaire appel à la fonction LINE, et nous obtiendrons enfin de compte la
concentration finale . En ce qui concerne le deuxième cas, il sera traité de la même manière, la
seule différence se présentera au niveau de la condition d’arrêt de la boucle WHILE vu que l’on
cherche la concentration finale en ayant le nombre d’étages.
Programme MATLAB :
clc
clear
k1=input('Veuillez donner k1= ');
F0=input('Veuillez donner le debit volumique= ');
V=input('Veuillez donner le volume= ');
teta=V/F0;
ca0=input('Veuillez donner la concentration intiale=');%ca0<=10mol/l
78
in=input('Veullez determiner l''inconnu qu''cherche, Si vous cherchez le
nombre d''etages veuillez entrer 1:\n Si vous cherchez la concentration ,
veuillez entrer 2 : ');
%déterminer le nombre d'étages nécessaires pour atteindre la
concentration
%objectif
if in==1
caf=input('Veuillez donner la concentration finale ='); %moles/l
b=1.5*ca0;
ep=b/100;
can=0:ep:b;
a=input('Veuillez donner l''ordre de la reaction (1 ou 2): ');
for j=1:length(can)
can_1(j)=can(j)+k1*teta*can(j)^a;
end
y=can;
plot(can,can_1,'r',can,y,'g')
axis([0,b,0,b])
cai_1=ca0;
line([cai_1 cai_1], [0 cai_1])
n=0;
while cai_1>caf
if a==1
cai=cai_1/(teta*k1+1);
end
if a==2
cai=((-1/(teta*k1))+sqrt((1/(teta*k1))^2+(4*cai_1/(teta*k1))))/2;
end
line([cai cai_1],[cai_1 cai_1])
line([cai cai], [cai cai_1])
n=n+1;
fprintf(' Ca%d = %f \n' , n,cai)
cai_1=cai;
end
line([cai cai],[0 cai])
fprintf('le nombre d''étages est N= %d \n' , n)
title('détermination de nombre d''étages par la méthode d''ELDRIGE et
PIRET ')
xlabel('concentration Can mol/l')
ylabel('concentration Can-1 mol/l')
%déterminer la concentration finale à la sortie d'une cascade à nombre
%d'étages connus
else if in==2
N=input('Veuillez donner le nombre d''étage=');
b=1.5*ca0;ep=b/100;
can=0:ep:b;
a=input('Veuillez donner l''ordre de la reaction: ');
for j=1:length(can)
can_1(j)=can(j)+k1*teta*can(j)^a;
end
y=can;
plot(can,can_1,'r',can,y,'g')
axis([0,b,0,b])
cai_1=ca0;
line([cai_1 cai_1], [0 cai_1])
n=0;
while N>n
if a==1
cai=cai_1/(teta*k1+1);
79
end
if a==2
cai=((-1/(teta*k1))+sqrt((1/(teta*k1))^2+(4*cai_1/(teta*k1))))/2;
end
line([cai cai_1],[cai_1 cai_1])
line([cai cai], [cai cai_1])
n=n+1;
fprintf(' Ca%d = %f \n' , n,cai)
cai_1=cai;
end
line([cai cai],[0 cai])
fprintf('le ca final est caf= %d \n' , cai)
title('détermination du concentration final par la méthode d''ELDRIGE et
PIRET ')
xlabel('concentration Can mol/l')
ylabel('concentration Can-1 mol/l')
else
disp('inconnu mal déterminé')
in=input('Veullez determiner l''inconnu qu''cherche, Si vous
cherchez le nombre d''etages veuillez entrer 1:\n Si vous cherchez la
concentration , veuillez entrer 2 : ');
end
end
80
Programme de la méthode de JONES:
Définition de la méthode de JONES :
La méthode de JONES est une méthode graphique pour déterminer la concentration finale
si on connaît le nombre d’étages, elle est aussi inversement valable, sauf qu’elle n’exige pas la
connaissance de la cinétique de la réaction, cette méthode présente une opportunité d’établir
plusieurs études cinétiques de la réaction.
Raisonnement MATLAB :
Ce programme MATLAB est un programme général similaire au programme MATLAB de
la méthode d’ELDRIDGE et PIRET sauf que l’on va introduire l’expression de la vitesse en
fonction de la concentration afin de tracer la courbe𝑉 = 𝑓(𝐶𝐴𝑛 ).
Programme MATLAB :
clc
clear
k1=input('Veuillez donner k1= ');
F0=input('Veuillez donner debit volumique= ');
V=input('Veuillez donner le volume= ');
teta=V/F0;
ca0=input('Veuillez donner ca intial=');%ca0<=10mol/l
in=input('Veuillez determiner l''inconnu qu''on cherche. entrez 1 pour nb
d''étage et 2 pour la concentration: ');
%déterminer le nombre d'étages nécessaires pour atteindre la
concentration
%objectif
if in==1
caf=input('Veuillez donner ca final='); %moles/l
b=1.5*ca0;ep=b/100;
can=0:ep:b;
a=input('Veuillez donner l''ordre de la reaction:');
for j=1:length(can)
v(j)=k1*can(j)^a;
c=v(j);
end
plot(can,v,'r')
axis([0,b,0,c])
cai_1=ca0;
n=0;
while cai_1>caf
if a==1
cai=cai_1/(teta*(k1+1/teta));
end
if a==2
cai=((-1/(teta*k1))+sqrt((1/(teta*k1))^2+(4*cai_1/(teta*k1))))/2;
end
vi=k1*cai^a;
line([cai_1 cai],[0 vi])
line([cai cai], [0 vi])
n=n+1;
fprintf(' Ca%d = %f \n' , n,cai)
cai_1=cai;
81
end
fprintf('le nombre d''étages est N= %d \n' , n)
title('détermination du nombre d''étages par la méthode de jones ')
xlabel('concentration mol/l')
ylabel('Vitesse de la réaction ')
%déterminer la concentration finale à la sortie d'une cascade à nombre
%d'étages connus
else if in==2
N=input('Veuillez donner le nombre d''étage=');
b=1.5*ca0;ep=b/100;
can=0:ep:b;
a=input('Veuillez donner l''ordre de la reaction:');
for j=1:length(can)
v(j)=k1*can(j)^a;
c=v(j);
end
plot(can,v,'r')
axis([0,b,0,c])
cai_1=ca0;
n=0;
while N>n
if a==1
cai=cai_1/(teta*(k1+1/teta));
end
if a==2
cai=((-1/(teta*k1))+sqrt((1/(teta*k1))^2+(4*cai_1/(teta*k1))))/2;
end
vi=k1*cai^a;
line([cai_1 cai],[0 vi])
line([cai cai], [0 vi])
n=n+1;
fprintf(' Ca%d = %f \n' , n,cai)
cai_1=cai;
end
fprintf('la concentration finale est caf= %d \n' , cai)
title('détermination du concentration final par la méthode de jones ')
xlabel('concentration mol/l')
ylabel('Vitesse de la réaction ')
else
disp('inconnu mal déterminé')
in=input('Veuillez determiner l''inconnu que vous chercher.:\n Si
vous chercher le nombtre d''étages , veuillez taper (1):\n Si vous
cherchez la concentration , veuillez taper (2): ');
end
end
82
Programme de comparaison entre la performance d'un réacteur
parfaitement agité et d'un réacteur tubulaire pour une réaction
d'ordre n
Programme MATLAB :
clc
clear
x=0.01:0.01:0.99;
%1er ordre et 2eme ordre
for i=1:length(x)
for u=1:length(x)
e=0;
y(i)=x(i)*((1+e*x(i))/(1-x(i)))/((1+e)*log(1/(1-x(i)))-e*x(i));
v(u)=x(u)*(((1+e*x(u))/(1-x(u)))^2)/(2*e*(1+e)*log(1x(u))+x(u)*e^2+x(u)*((1+e)^2)/(1-x(u)));
end
end
for j=1:length(x)
for w=1:length(x)
e=1;
g(j)=x(j)*((1+e*x(j))/(1-x(j)))/((1+e)*log(1/(1-x(j)))-e*x(j));
z(w)=x(w)*(((1+e*x(w))/(1-x(w)))^2)/(2*e*(1+e)*log(1x(w))+x(w)*e^2+x(w)*((1+e)^2)/(1-x(w)));
end
end
for k=1:length(x)
for a=1:length(x)
e=2;
f(k)=x(k)*((1+e*x(k))/(1-x(k)))/((1+e)*log(1/(1-x(k)))-e*x(k));
b(a)=x(a)*(((1+e*x(a))/(1-x(a)))^2)/(2*e*(1+e)*log(1x(a))+x(a)*e^2+x(a)*((1+e)^2)/(1-x(a)));
end
end
for l=1:length(x)
for o=1:length(x)
e=-0.5;
h(l)=x(l)*((1+e*x(l))/(1-x(l)))/((1+e)*log(1/(1-x(l)))-e*x(l));
s(o)=x(o)*(((1+e*x(o))/(1-x(o)))^2)/(2*e*(1+e)*log(1x(o))+x(o)*e^2+x(o)*((1+e)^2)/(1-x(o)));
end
end
for m=1:length(x)
for n=1:length(x)
e=-2/3;
p(m)=x(m)*((1+e*x(m))/(1-x(m)))/((1+e)*log(1/(1-x(m)))-e*x(m));
q(n)=x(n)*(((1+e*x(n))/(1-x(n)))^2)/(2*e*(1+e)*log(1x(n))+x(n)*e^2+x(n)*((1+e)^2)/(1-x(n)));
end
end
loglog(1-x,q,1-x,s,1-x,v,1-x,z,1-x,b,1-x,y,1-x,g,1-x,f,1-x,h,1-x,p)
grid
xlabel('1-x')
ylabel('To(RAC)/To(tub)')
text(0.03,45,'second ordre (n=2)')
text(0.011,7.5,'premier ordre (n=1)')
text(0.1,2.4,'\uparrow,r,');
text(0.1,1.9,'e=-2/3')
text(0.07,3.7,'\uparrow');
83
text(0.07,2.9,'e=-1/2')
text(0.15,2.8,'\uparrow');
text(0.15,2.7,'e=0')
text(0.12,3.5,'\uparrow');
text(0.12,3,'e=1')
text(0.02,16,'\downarrow');
text(0.02,19.5,'e=2')
text(0.2,7.1,'\downarrow');
text(0.2,8,'e=2')
text(0.55,2.5,'\downarrow');
text(0.54,3.1,'e=1')
text(0.35,3,'\downarrow');
text(0.35,3.5,'e=0')
text(0.15,5.3,'\downarrow');
text(0.15,5.9,'e=-1/5')
text(0.035,18.8,'\uparrow');
text(0.035,17,'e=-2/3')
axis([0.01,1,1,100])
Résolution MATLAB :
84
Programme d’une réaction isotherme dans un réacteur agité
continu. Influence de l'ordre de la réaction, et du coefficient
d'expansion : 𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝒏𝑨
Raisonnement MATLAB :
Ce programme général traite l’influence de l’ordre de la réaction, et du coefficient
d’expansion dans une réaction isotherme dans un réacteur agité, nous allons tout d’abord
demander à l’utilisateur ce qu’il va fixer comme paramètre, deux cas se présentent, nous allons
donc introduire les expressions définissant le nombre de Damköhler et la fraction résiduelle,
puis nous allons tracer la courbe fA=f(Da)
On constate clairement selon la courbe que le nombre de Damköhler augmente en augmentant
l’ordre de la réaction, cette courbe présente un problème au niveau de l’ordre n = -1.
Programme MATLAB :
clc;clear;
x=0:0.01:1;
var=input('Désirez vous fixer l''ordre de réaction (1) ou le coefficient
d''expansion (2) :')
if var==1
n=input('Veuillez donner l''ordre de la reaction: ');
ep=[-0.75 -0.5 0 1 2];
for j=1:length(ep)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
Da(i,j)=(x(i)*((1+ep(j)*x(i))^n))/((1-x(i))^(n));
end
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme dans un réacteur agité continu.Influence
du coefficient d''expansion')
grid on
gtext('-0.75')
gtext('-0.5')
gtext('0')
gtext('1')
gtext('2')
else if var==2
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion: ');
n=[-1 0 0.5 1 3/2 2];
for j=1:length(n)
for i=1:length(x)
f(i)=1-x(i);
Da(i,j)=(x(i)*((1+ep*x(i))^n(j)))/((1-x(i))^(n(j)))
end
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme dans un réacteur agité continu.Influence
de l''ordre de la réaction')
grid on
gtext('n=-1')
gtext('0')
gtext('1/2')
85
gtext('1')
gtext('3/2')
gtext('2')
end
end
axis([10^-2,10^3,10^-2,1])
xlabel('DaA=Kn.Ca0^(n-1).tA')
ylabel('fA')
Résolution MATLAB :
Influence de l'ordre de la réaction :
Interprétation :
On constate clairement selon la courbe que le nombre de Damköhler augmente en augmentant
l’ordre de la réaction, cette courbe présente un problème au niveau de l’ordre n = -1.
86
Influence du coefficient d'expansion :
Interprétation :
On constate clairement selon la courbe que le nombre de Damköhler augmente en
augmentant le coefficient d’expansion.
87
Programme d’une réaction isotherme dans un réacteur piston
Influence de l'ordre de la réaction, et du coefficient d'expansion :
𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝒏𝑨
Raisonnement MATLAB :
Ce programme général traite l’influence de l’ordre de la réaction, et du coefficient
d’expansion dans un réacteur piston où se déroule une réaction isotherme, nous allons tout
d’abord demander à l’utilisateur ce qu’il va fixer comme paramètre, deux cas se présentent,
nous allons donc introduire les expressions définissant le nombre de Damköhler et la fraction
résiduelle , puis nous allons tracer la courbe fA=f(Da)
Fonction cumtrapz :
Pour le calcul du nombre de Damköhler dans le cas d’un réacteur piston, nous allons faire
appel à la fonction CUMTRAPZ, qui nous donne une approximation de l'intégral cumulé d’un
vecteur en se basant sur la méthode des trapèzes.
Programme MATLAB :
clc;clear;
x=0:0.01:1;
var=input('Si vous désirez fixer l''ordre de réaction, veuillez taper
(1):\n Si vous désirez fixer ou le coefficient d''expansion , veuillez
taper (2): ')
if var==1
n=input('Veuillez donner l''ordre de réaction:');
ep=[-0.75 -0.5 0 1 2];
for j=1:length(ep)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=(((1+ep(j)*x(i))^n)/(1-x(i))^n);
end
Da(:,j)=cumtrapz(x,im);
loglog(Da,f)
end
title('Réaction isotherme dans un réacteur piston.Influence du
coefficient d''expansion')
gtext('-0.75')
gtext('-0.5')
gtext('0')
gtext('1')
gtext('2')
else if var==2
ep=input('Veuillez donner le coef d''expansion: ');
n=[-1 0 0.5 1 3/2 2];
for j=1:length(n)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=(((1+ep*x(i))^n(j)))/(1-x(i))^(n(j));
end
Da(:,j)=cumtrapz(x,im);
loglog(Da,f)
end
88
title('Réaction isotherme dans un réacteur piston.Influence de l''ordre
de la réaction')
gtext('n=-1')
gtext('0')
gtext('1/2')
gtext('1')
gtext('3/2')
gtext('2')
end
end
xlabel('DaA=Kn.Ca0^(n-1).tA')
ylabel('fA')
axis([10^-2,10^3,10^-2,10^0])
grid on
Résolution MATLAB :
Influence de l'ordre de la réaction :
Interprétation :
On constate clairement selon la courbe que le nombre de Damköhler augmente en
augmentant l’ordre de la réaction.
89
Influence du coefficient d'expansion :
Interprétation :
On constate clairement selon la courbe que le nombre de Damköhler augmente en
augmentant le coefficient d’expansion.
90
Programme de Comparaison entre les performances d'un
réacteur agité continu (A) et d'un réacteur piston (P).Réaction
isotherme. Influence du coefficient d'expansion et de l'ordre de la
réaction: 𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝒏𝑨
Raisonnement MATLAB :
Ce programme général traite la comparaison entre les performances d’un réacteur agité et
celles d’un réacteur piston en étudiant l’influence de l’ordre de la réaction et du coefficient
d’expansion de d’expansion dans une réaction isotherme d’une réaction isotherme dans un
réacteur piston, nous allons tout d’abord demander à l’utilisateur ce qu’il va fixer comme
paramètre , deux cas se présentent , nous allons donc introduire les expressions définissant le
nombre de Damköhler et la fraction résiduelle non seulement pour le cas d’un réacteur
parfaitement agité mais aussi pour la piston et puis nous allons tracer fA=f(R) où R est le rapport
entre le nombre de Damköhler (RAC) et celui dans le cas du réacteur piston.
Programme MATLAB :
clc;clear;
x=0:0.001:1;
var=input('Si vous voulez fixer l''ordre de réaction , veuillez taper
(1):\n Si vous voulez fixer le coefficient d''expansion , veuillez taper
(2):\n')
if var==1
n=input('Veuillez donner l''ordre de la reaction:');
ep=[-0.75 -0.5 0 1 2];
for j=1:length(ep)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
DaR(i,j)=(x(i)*((1+ep(j)*x(i))^n))/((1-x(i))^(n));
im(i)=(((1+ep(j)*x(i))^n)/(1-x(i))^n);
end
DaT(:,j)=cumtrapz(x,im);
R=DaR(:,j)./DaT(:,j);
loglog(R,f)
hold on
end
title('Comparaison des performances d''un réacteur agité continu (A)
et d''un réacteur piston (P).Réaction isotherme.Influence du coefficient
d''expansion')
gtext('-0.75')
gtext('-0.5')
gtext('0')
gtext('1')
gtext('2')
else if var==2
ep=input('Veuillez donner le coef d''expansion:');
n=[-1 0 0.5 1 3/2 2];
for j=1:length(n)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
DaR(i,j)=(x(i)*((1+ep*x(i))^n(j)))/((1-x(i))^(n(j)));
91
im(i)=(((1+ep*x(i))^n(j)))/(1-x(i))^(n(j));
end
DaT(:,j)=cumtrapz(x,im);
R=DaR(:,j)./DaT(:,j);
loglog(R,f)
hold on
end
title('Comparaison des performances d''un réacteur agité continu (A)
et d''un réacteur piston (P).Réaction isotherme.Influence de l''ordre n')
gtext('n=-1')
gtext('0')
gtext('1/2')
gtext('1')
gtext('3/2')
gtext('2')
end
end
xlabel('DaA=Kn.Ca0^(n-1).tA')
ylabel('fA')
axis([10^-1,10^2,10^-2,10^0])
grid on
Résolution MATLAB :
Influence de l'ordre de la réaction :
92
Interprétation :
On remarque que le rapport des deux nombres de Damköhler augmente en augmentant
l’ordre de la réaction.
Influence du coefficient d'expansion :
Interprétation :
On remarque que le rapport des deux nombres de Damkohler augmente en augmentant le
coefficient d’expansion
93
Programme d’une réaction isotherme A+B=produits. Réacteur
agité continu. Influence de l'ordre de la réaction par rapport à A,
l'ordre de la réaction par rapport à B, le coefficient d'expansion et
le rapport des concentrations :
𝜷
𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝜶𝑨 × 𝑪𝑩
Raisonnement MATLAB :
Ce programme traite de l’ordre par rapport au composé A et celui par rapport à B , le
coefficient d’expansion ainsi que l’excès stœchiométrique dans une réaction du type A+B  R
se déroulant dans un RAC , nous avons tout d’abord demandé à l’utilisateur le paramètre qu’il
souhaite varier , une fois le paramètre choisi , nous allons fixer les 3 autres et vice versa .. Nous
avons ensuite introduit les expressions du nombre de DA ainsi que la fraction résiduelle pour
le cas d’un RAC afin de tracer fA=f(DA)
Programme MATLAB :
clc;clear;
x=0:0.001:1;
var=input('Si vous désirez varier l''ordre de la réaction par rapport a A
, veuillez taper (1):\n Si vous voulez varier l''ordre de la réaction par
rapport a B , veuillez taper (2):\n Si vous voulez varier le coefficient
d''expansion , veuillez taper (3):\n Si vous voulez varier le rapport des
concentrations, veuillez taper (4):\n')
if var==1
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a B:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentrations:');
a=[0 0.5 1 1.5 2];
for j=1:length(a)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
Da(i,j)=((x(i)*((1+ep*x(i))^(a(j)+b)))/(((1-x(i))^a(j))*(Mx(i))^b));
end
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur agité
continu.Influence de l''ordre de la réaction par rapport a A')
gtext('0')
gtext('0.5')
gtext('1')
gtext('1.5')
gtext('2')
hold on
else if var==2
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a A:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentrations:');
b=[0 0.5 1 1.5 2];
for j=1:length(b)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
94
Da(i,j)=((x(i)*((1+ep*x(i))^(a+b(j))))/(((1-x(i))^a)*(Mx(i))^b(j)));
end
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur agité
continu.Influence de l''ordre de la réaction par rapport a B')
gtext('0')
gtext('0.5')
gtext('1')
gtext('1.5')
gtext('2')
hold on
else if var==3
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a A:');
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a B:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentration:');
ep=[-0.75 -0.5 0 1 2];
for j=1:length(ep)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
Da(i,j)=((x(i)*((1+ep(j)*x(i))^(a+b)))/(((1-x(i))^a)*(Mx(i))^b));
end
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur agité
continu.Influence du coefficient d''expansion')
gtext('-0.75')
gtext('-0.5')
gtext('0')
gtext('1')
gtext('2')
hold on
else if var==4
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a A:');
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a B:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=[1 1.1 1.5 2 5 10];
for j=1:length(M)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
Da(i,j)=((x(i)*((1+ep*x(i))^(a+b)))/(((1-x(i))^a)*(M(j)x(i))^b));
end
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur agité
continu.Influence du rapport des concentrations')
gtext('10')
gtext('5')
gtext('2')
gtext('1.5')
gtext('1.1')
gtext('M=1')
hold on
end
end
end
end
xlabel('DaA=Kn.Ca0.tA')
95
ylabel('fA')
axis([10^-2,10^3,10^-2,10^0])
grid on
Résolution MATLAB :
Influence de l'ordre de la réaction par rapport à A :
Interprétation :
On constate clairement qu’en augmentant l’ordre de la réaction par rapport au composé A,
le nombre de Damköhler augmente
96
Influence de l'ordre de la réaction par rapport à B :
Interprétation :
On constate que le nombre de Damköhler augmente en augmentant l’ordre de la réaction
par rapport au composé B.
97
Influence du coefficient d'expansion :
Interprétation :
On constante que le nombre de Damköhler augmente en augmentant le coefficient
d’expansion.
98
Influence du rapport des concentrations :
Interprétation :
Contrairement aux 3 paramètres précédents, on remarque que le nombre de Damköhler
augmente en diminuant le rapport des concentrations.
99
Programme d’une réaction isotherme A+B=produits. Réacteur
piston. Influence de l'ordre de la réaction par rapport à A, l'ordre
de la réaction par rapport à B, le coefficient d'expansion et le
rapport des concentrations :
𝜷
𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝜶𝑨 × 𝑪𝑩
Raisonnement MATLAB :
Ce programme traite de l’ordre par rapport au composé A et celui par rapport à B , le
coefficient d’expansion ainsi que l’excès stœchiométrique dans une réaction du type A+B  R
dans un réacteur piston , nous avons tout d’abord demandé à l’utilisateur le paramètre qu’il
souhaite varier , une fois le paramètre choisi , nous allons fixer les 3 autres et vice versa .. Nous
avons ensuite introduit les expressions du nombre de DA ainsi que la fraction résiduelle pour
le cas d’un RAC afin de tracer fA=f(DA)
A noter que pour le calcul du nombre de Damkohler, on a encore fait appel à la fonction
(cumtrapz).
Programme MATLAB :
clc;clear;
x=0:0.001:1;
var=input('Si vous désirez varier l''ordre de la réaction par rapport a
A,veuillez taper (1):\n Si vous désirez varier l''ordre de la réaction
par rapport a B , veuillez taper (2):\n Si vous voulez varier le
coefficient d''expansion, veuillez taper (3):\n Si vous désirez varier le
rapport des concentrations, veuillez taper (4):\n')
if var==1
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a B:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentration:');
a=[0 0.5 1 1.5 2];
for j=1:length(a)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=((1+ep*x(i))^b)/(((1-x(i))^a(j))*((M-x(i))^b));
end
Da(:,j)=cumtrapz(x,im);
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur
piston.Influence l''ordre de la réaction par rapport a A')
gtext('0')
gtext('0.5')
gtext('1')
gtext('1.5')
gtext('2')
hold on
else if var==2
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
A:');
ep=input('Veuillezdonner le coefficient d''expansion:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentration:');
b=[0 0.5 1 1.5 2];
100
for j=1:length(b)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=(((1+ep*x(i))^b(j))/(((1-x(i))^a)*((M-x(i))^b(j))));
end
Da(:,j)=cumtrapz(x,im);
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur
piston.Influence l''ordre de la réaction par rapport a B')
gtext('0')
gtext('0.5')
gtext('1')
gtext('1.5')
gtext('2')
hold on
else if var==3
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
A:');
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
B:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentration:');
ep=[-0.75 -0.5 0 1 2];
for j=1:length(ep)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=((1+ep(j)*x(i))^b)/(((1-x(i))^a)*((M-x(i))^b));
end
Da(:,j)=cumtrapz(x,im);
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur
piston.Influence du coefficient d''expansion')
gtext('-0.75')
gtext('-0.5')
gtext('0')
gtext('1')
gtext('2')
hold on
else if var==4
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
A:');
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
B:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=[1 1.1 1.5 2 5 10];
for j=1:length(M)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=((1+ep*x(i))^b)/(((1-x(i))^a)*((M(j)-x(i))^b));
end
Da(:,j)=cumtrapz(x,im);
end
loglog(Da,f)
title('Réaction isotherme de 2eme ordre A+B=produits.Réacteur
piston.Influence l''ordre du rapport des concentrations')
gtext('10')
gtext('5')
gtext('2')
gtext('1.5')
gtext('1.1')
101
gtext('M=1')
hold on
end
end
end
end
xlabel('DaA=Kn.Ca0.tA')
ylabel('fA')
axis([10^-2,10^3,10^-2,10^0])
grid on
Résolution MATLAB :
Influence de l'ordre de la réaction par rapport à A :
Interprétation :
On constate que plus l’ordre de la réaction par rapport à augmente, plus le nombre de
Damkohler augmente.
102
Influence de l'ordre de la réaction par rapport à B :
Interprétation :
On constate qu’en augmentant l’ordre de la réaction par rapport à B, le nombre de
Damkohler augmente.
103
Influence du coefficient d'expansion :
Interprétation :
On constante que plus le coefficient d’expansion augmente, plus le nombre de Damkohler
augmente.
104
Influence du rapport des concentrations :
Interprétation :
On constate que plus le rapport de concentrations diminue, plus le nombre de Damkohler
augmente.
105
Programme de Comparaison entre les performances d'un
réacteur agité continu (A) et d''un réacteur piston (P).Réaction
isotherme A+B=produits. Influence l'ordre de la réaction par
rapport à A, l'ordre de la réaction par rapport à B, le coefficient
d'expansion et le rapport des concentrations :
𝜷
𝒗 = 𝑲 × 𝑪𝜶𝑨 × 𝑪𝑩
Raisonnement MATLAB :
Ce programme général traite la comparaison entre les performances d’un réacteur agité et
celles d’un réacteur piston en étudiant l’influence de l’ordre de la réaction par rapport à A et
celui par rapport à B , du coefficient d’expansion ainsi que du rapport de concentrations dans
une réaction isotherme , nous allons tout d’abord demander à l’utilisateur ce qu’il va fixer
comme paramètre , une fois le paramètre choisi , nous allons faire varier les 3 et vice versa …
Nous allons ensuite introduire les expressions définissant le nombre de Damköhler et la fraction
résiduelle non seulement pour le cas d’un réacteur parfaitement agité mais aussi pour la piston
et puis nous allons tracer fA=f(R) où R est le rapport entre le nombre de Damköhler (RAC) et
celui dans le cas piston
A noter, l’utilisation de la fonction (cumtrapz) déjà défini pour le calcul du nombre de
Damköhler dans le cas d’un réacteur piston.
Programme MATLAB :
clc;clear;
x=0:0.001:1;
var=input('Si vous désirez varier l''ordre de la réaction par rapport a A
, veuillez taper (1):\n Si vous désirez varier l''ordre de la réaction
par rapport a B , veuillez taper 2 (2):\n Si vous désitez varier le
coefficient d''expansion , veuillez taper (3):\n Si vous désirez varier
le rapport des concentrations , veuillez taper (4):\n:')
if var==1
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a B:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentration:');
a=[0 0.5 1 1.5 2];
for j=1:length(a)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=((1+ep*x(i))^b)/(((1-x(i))^a(j))*((M-x(i))^b));
DaR(i,j)=((x(i)*((1+ep*x(i))^(a(j)+b)))/(((1-x(i))^a(j))*(Mx(i))^b));
end
DaT(:,j)=cumtrapz(x,im);
R= DaR(:,j)./DaT(:,j);
loglog(R,f)
hold on
end
106
title('Comparaison des performances d''un réacteur agité continu (A)
et d''un réacteur piston (P).Réaction isotherme de 2eme ordre
A+B=produits.Influence l''ordre de la réaction par rapport a A')
gtext('0')
gtext('0.5')
gtext('1')
gtext('1.5')
gtext('2')
else if var==2
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
A:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=input('Veuillez donner le rapport des concentration:');
b=[0 0.5 1 1.5 2];
for j=1:length(b)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=(((1+ep*x(i))^b(j))/(((1-x(i))^a)*((M-x(i))^b(j))));
DaR(i,j)=((x(i)*((1+ep*x(i))^(a+b(j))))/(((1-x(i))^a)*(Mx(i))^b(j)));
end
DaT(:,j)=cumtrapz(x,im);
R= DaR(:,j)./DaT(:,j);
loglog(R,f)
hold on
end
title('Comparaison des performances d''un réacteur agité continu (A)
et d''un réacteur piston (P).Réaction isotherme de 2eme ordre
A+B=produits.Influence l''ordre de la réaction par rapport a B')
gtext('0')
gtext('0.5')
gtext('1')
gtext('1.5')
gtext('2')
else if var==3
a=input('donner l''ordre de la réaction par rapport a A:');
b=input('donner l''ordre de la réaction par rapport a B:');
M=input('donner le rapport des concentration:');
ep=[-0.75 -0.5 0 1 2];
for j=1:length(ep)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
im(i)=((1+ep(j)*x(i))^b)/(((1-x(i))^a)*((M-x(i))^b));
DaR(i,j)=((x(i)*((1+ep(j)*x(i))^(a+b)))/(((1-x(i))^a)*(Mx(i))^b));
end
DaT(:,j)=cumtrapz(x,im);
R= DaR(:,j)./DaT(:,j);
loglog(R,f)
hold on
end
title('Compariason des performances d''un réacteur agité continu (A)
et d''un réacteur piston (P).Réaction isotherme de 2eme ordre
A+B=produits.Influence du coefficient d''expansion')
gtext('-0.75')
gtext('-0.5')
gtext('0')
gtext('1')
gtext('2')
else if var==4
107
a=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
A:');
b=input('Veuillez donner l''ordre de la réaction par rapport a
B:');
ep=input('Veuillez donner le coefficient d''expansion:');
M=[1 1.1 1.5 2 5 10];
for j=1:length(M)
for i=1:length(x)
f(i) = 1-x(i);
DaR(i,j)=((x(i)*((1+ep*x(i))^(a+b)))/(((1-x(i))^a)*(M(j)x(i))^b));
im(i)=((1+ep*x(i))^b)/(((1-x(i))^a)*((M(j)-x(i))^b));
end
DaT(:,j)=cumtrapz(x,im);
R= DaR(:,j)./DaT(:,j);
loglog(R,f)
hold on
end
title('Comparaison des performances d''un réacteur agité continu (A)
et d''un réacteur piston (P).Réaction isotherme de 2eme ordre
A+B=produits.Influence du rapport des concentrations')
gtext('10')
gtext('5')
gtext('2')
gtext('1.5')
gtext('1.1')
gtext('M=1')
end
end
end
end
xlabel('DaA=Kn.Ca0.tA')
ylabel('fA')
axis([10^-1,10^2,10^-2,10^0])
grid on
108
Résolution MATLAB :
Influence de l'ordre de la réaction par rapport à A :
Interprétation :
En augmentant l’ordre par rapport à A, le nombre de Damköhler ne fait que d’augmenter.
109
Influence de l'ordre de la réaction par rapport à B :
Interprétation :
Quand l’ordre par rapport au composé B augmente, le nombre de Damköhler augmente.
110
Influence du coefficient d'expansion :
Interprétation :
En augmentant le coefficient d’expansion, le nombre de Damköhler augmente.
111
Influence du rapport des concentrations :
Interprétation :
Le nombre de Damköhler augmente en diminuant le rapport des concentrations.
112